Nanostatistik: Opgaver
|
|
- Charlotte Berg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i
2 ii NANOSTATISTIK: OPGAVER
3 Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner en statistikopgave bør I starte med at angive den model I vil bruge til at beskrive data med, og dermed den model I vil bruge til at besvare spørgsmålene med. Som et eksempel kan vi bruge opgave 7.3 hvor vi vil regne under modellen: X 1,..., X 20 er uafhængige og X i N(µ, σ 2 ). Antal betydende cifre: Når I skal angive et spredningsskøn s bør I have mindst 2 betydende cifre. Dette medfører at I bør have mindst 4 betydende cifre i variansskønnet s 2 (2 gange antallet af betydende cifre i s). Når I skal beregne s 2 er det nemmeste hvis I undgår afrundinger indtil I kommer frem til facit. Hvis I laver afrundinger (pas på fordi der indgår en differens) skal I altså sørge for at facit bliver rigtig på de 4 første betydende cifre. (I kan checke om I får det samme s 2 hvis I medtager et ciffer mere.) Når I har fundet spredningsskønnet s, lad os sige at s = x.y 10 k, skal I angive gennemsnittet x med k + 1 betydende cifre (forklaring følger når vi kommer til konfidensintervaller). Eksempel: hvis s = 0.13 skal I angive x med 2 decimaler: x = Eksempel: hvis s = 120 skal I angive x med -1 decimal : x = Opgave 2 Et experiment består i at tage alle navnene på de kvindelige studerende på Aarhus Universitet og skrive disse på hver sin lap papir. Disse kommes i en stor hat, denne rystes og vi trækker en tilfældig lap op. a) Beskriv udfaldsrummet Ω. b) Beskriv sandsynlighedsmålet P. c) Hvad er sandsynligheden for at trække en person med efternavnet Jensen? Opgave 3 Et experiment består i at kaste en terning én gang. a) Beskriv udfaldsrummet Ω. b) Beskriv sandsynlighedsmålet P. c) Angiv elementerne i hændelsen et lige antal øjne mindre end 6. 1
4 2 NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgave 4 I øvelsestimen skal I alle kaste en mønt 10 gange (dette kan I godt gøre samtidigt) og registrere hvor mange gange I får krone ud af de 10 kast. a) Lav på tavlen en akse med tallene 0, 1,..., 10, og afsæt jeres observationer som kryds over det relevante tal. Instruktoren noterer samtidig jeres resultater ned for at jeg kan få dem. b) Diskuter med hinanden om I alle er lige gode til at kaste en mønt. c) Find gennemsnittet af jeres observationer. Har I fået en værdi tæt på 5? Opgave 5 Et experiment består i at kaste en terning 3 gange. a) Forklar at udfaldsrummet har 216 elementer. b) Angiv sandsynligheden for at få en 6-er i alle 3 kast. c) Hvor mange udfald er der, hvor der ingen 6-er er i de 3 kast? d) Angiv sandsynligheden for ingen 6-er at få i de 3 kast. e) Angiv sandsynligheden for at få mindst én 6-er i de 3 kast. Opgave 6 Et experiment består i at kaste en terning 2 gange. a) Find sandsynligheden for at summen af de to par øjne er et lige tal. Opgave 7 Antag at P(A) = 2 5, P(B) = 2 5, og at P(A B) = 1 2. a) Hvad er P(A B)? Opgave 8 Lad Ω være området {(x, y) 0 x 1, 0 y 1}, også kaldet enhedskvadratet. Lad sandsynlighedsmålet P være givet ved at P(C) er arealet af området C Ω. Lad A være hændelse A = {(x, y) Ω x y} og lad B være hændelse B = {(x, y) Ω y 1 2 }. a) Udregn P(A B). b) Udregn P(A B). Opgave 9 En kasse indeholder 10 kugler med numrene 1, 2,..., 10. Et experiment består i først at trække én kugle, og dernæst trække én kugle mere fra de 9 tilbageblevne.
5 NANOSTATISTIK: OPGAVER 3 a) Angiv udfaldsrummet Ω. b) Angiv sandsynligheden for at tallene på de to udtrukne kugler afviger med 2 eller mere. (Svar: ) Opgave 10 Lad a og b være konstanter. Vis at Cov(aX, by ) = ab Cov(X, Y ). Opgave 11 Lad udfaldsrummet Ω = [0, 1], og lad den kontinuerte stokastiske variabel X have tæthed f X (x) = a + 2(1 a)x for 0 x 1, hvor a er en konstant med 0 < a < 2. Find E(X) og V (X). Opgave 12 R: Prøv at følge vejledningen nedenfor: Tænd computeren Start R (klikke på ikon) Start en editor (notepad eller lignende) Skriv R-ordrer i editor Kopier R-ordrer fra editor (marker, ctrl-c) Indsæt R-ordrer i R-vindue (ctrl-v) Afslut R-sessionen Prøv følgende sekvens af rordrer efter at I har startet R: indhold=c(24.82,25.23,24.89,25.12,25.11,24.96,25.15,25.38, 25.03,25.09,25.19,25.10,24.98,24.87,25.03,25.03,25.04,24.94) n=length(indhold) sum(indhold) sum(indhold)/n mean(indhold) va=(sum(indholdˆ2)-sum(indhold)ˆ2/n)/(n-1) var(indhold)-va c(mean(indhold),var(indhold),sqrt(var(indhold))) qqnorm(indhold) qnorm((c(1:n)-0.5)/n) Den sidste ordre gav jer de værdier I skal bruge hvis I vil lave et qqplot af data i opgave 9.2 i hånden. Opgave 13 Vi kaster en nål 16 gange og registrerer antallet X af gange nålen skærer en linie. Sandsynligheden p for at skære en linie er ukendt. Situationen er altså at X binomial(16, p). a) Hvis p = 1 2 hvad er da variansen σ2 på skønnet ˆp af p? b) Antag at vi har observeret X = 12. Hvad er ˆp?
6 4 NANOSTATISTIK: OPGAVER c) Udtryk forskellen ˆp 1 (ˆp fra spørgsmål b) som et antal gange standardafvigelsen σ fra spørgsmål 2 a. Opgave 14 Ved første øvelsesgang kastede 12 af jer en mønt 10 gange. Antallet af krone for de 12 personer var: 3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,8. (OBS: se efter om der er en opdatering af denne opgave på ugesedlen.) a) Udregn for hver af de 12 personer skønnet ˆp for sandsynligheden for at få krone. b) Lav et pindediagram for antallet af krone baseret på de 12 observationer. c) Indsæt i pindediagrammet sandsynlighederne fra en binomialfordeling med antalsparameter 10 og sandsynlighedsparameter 1 2. Denne opgave kan med fordel laves i R: kast=c(3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,8) x=c(0:10) taet=dbinom(x,10,0.5) phat=kast/10 phat antal=c(0,0,0,1,3,3,4,0,1,0,0) plot(x,antal/12,type= h ) points(x+0.1,taet,type= h,col=2) Opgave 15 Lad X og Y være uafhængige med X binomial(n, p) og Y binomial(n, p 2 ). Find maksimum likelihood estimatet for p. (I skulle gerne komme frem til en andengradsligning.) Opgave 16 En laborant er blevet bedt om at bestemme koncentrationen i 30 prøver. Imidlertid er der kun 15 forskellige prøver idet laboranten har fået den samme prøve 2 gange (i tilfældig rækkefølge). De 15 værdier nedenfor er differens mellem de to målinger der hører til samme prøve. 0.10,-0.32,-0.05,-0.22,0.22,0.23,-0.05, ,-0.35, -0.25,0.20,0.35,0.04,-0.23 a) Opstil en statistisk model til at beskrive de 15 differenser. b) Lav et skøn over middelværdien µ i fordelingen af differensen. c) Lav et skøn over variansen σ 2 i fordelingen af differensen. d) Lav et test for om middelværdien er nul.
7 Opgaver fra Indblik i Statistik Opgave 2.2 Opgave 2.3 Spørgsmål a) omformuleres til: Hvad er udfaldsrummet og sandsynlighedsmålet? Opgave 3.2 Opgave 3.3 Opgave 3.4 Opgave 3.5 Opgave 3.6 Opgave 3.7 Opgave 3.8 I spørgsmål c) skal I beregne P(X = 1 Y = 1); til dette skal I bruge formlen P(Y = j) = i P(Y = j, X = i) = i P(Y = j X = i)p(x = i). Opgave 3.9 Opgave 4.2 5
8 6 NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgave 4.3 Opgave 4.4 Opgave 4.5 Opgave 4.6 Da jeg ikke har indført medianen skal spørgsmål a) omformuleres til: find 0.5- fraktilen for henholdsvis X og Y. Opgave 4.7 Da jeg ikke har indført medianen skal spørgsmål a) omformuleres til: find 0.5- fraktilen for Y. Opgave 4.8 Opgave 4.9 Erstat spørgsmål a) til h) med: a) Find f X og f Y og indse at X og Y ikke er uafhængige; b) Find E(X), E(Y ), V (X), V (Y ), E(XY ), og Cov(X, Y ); c) Lad Z = 2X + 3Y. Find E(Z), V (Z). Opgave 4.10 Opgave 5.2 Udelad spørgsmål f). Opgave 5.3 Udelad spørgsmål e). Opgave 5.4 Udelad spørgsmål c).
9 NANOSTATISTIK: OPGAVER 7 Opgave 5.5 Omformuler spørgsmål a) og b) til: Argumenter for at P(Y = 3) = P(Y = 0) = 3 2. Find dernæst P(Y = 2) og P(Y = 1) og at Opgave 5.6 Lidt svær. Erstat spørgsmål a), b), og c) med: Argumenter for at P(X = 0) = og at P(X = 0) = Opgave 5.7 Omformuler spørgsmål a) og b) til: Forklar at det er rimeligt at beskrive antallet af taxaer i et tidsrum af længde T minutter som en poisonfordelt variabel med middelværdi T/10. Spørgsmål e) udelades. Opgave 5.8 Omformuler spørgsmål a) og c) til: Forklar at det er rimeligt at beskrive X som en poisonfordelt variabel med middelværdi 90/60. Opgave 5.9 Opgave 5.10 Udelad spørgsmål h). Opgave 5.11 Opgave 5.12 Opgave 7.2 Lad i hele opgaven p = 0.3. Erstat spørgsmål a) til d) med følgende spørgsmål: a) Udregn P(X = k) for k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, hvor X er antallet af de 5 udvalgte der er under 18 år. b) Udregn middelværdi og varians af stikprøvegennemsnittet X/5. Opgave 7.3 I skal sige at 20 børn er tilfældigt udvalgt istedet for 200. Hvis X 1,...,X 20 er de 20 højder vil vi bruge en model der siger at X 1,..., X 20 er uafhængige og X i N(µ, σ 2 ). Spørgsmål a) skal I springe over. I spørgsmål d) kan I slette ordet approksimative.
10 8 NANOSTATISTIK: OPGAVER Spørgsmål g) kan være lidt svært at forstå. Det kan formuleres som: find n så at P( X 140 < 1) = 0.9, hvor X = 1 n ni=1 X i, hvor vi altså har n målinger istedet for 20. Opgave 8.2 Opgave 8.3 Opgave 9.2 Erstat alle spørgsmålene med: a) Lav et qqplot af data. b) Beregn stikprøvegennemsnittet. c) Beregn x 2 i, x i, og dernæst s 2. d) Find en værdi x så at 9 observationer er mindre end x og 9 observationer er større end x, og sammenlign denne værdi med stikprøvegennemsnittet. e) Hvis den sande middelværdi er µ = 25 og den sande varians er σ 2 = 0.01, hvad er da sandsynligheden for at få en værdi af X der afviger mere end 0.03 fra 25 (brug tabel 1 i bogen). Hvad er sandsynligheden for at få en værdi af s 2 større end (brug tabel 4 i bogen). Opgave 9.3 Opgave 10.2 Opgave 10.3 Opgave 10.4 Opgave 10.5 Opgave 11.2
11 NANOSTATISTIK: OPGAVER 9 Opgave 11.3 Opgave 11.4 Opgave 11.5 Opgave 11.6 Opgave 12.2 Opgave 12.3 Opgave 12.4 Opgave 12.5 Opgave 13.2 Opgave 13.3 Opgave 13.4 Opgave 13.5 Opgave 13.6 Opgave 13.7
12 10 NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgave 13.8 Opgave 14.2 Opgave 14.3 Opgave 14.4 Opgave 14.5 Opgave 14.6
13 Eksamensopgaver fra tidligere år Naturvidenskabelig bacheloruddannelse. Forår Opgave 1 Lad X og Y være to uafhængige stokastiske variable. Middelværdi og varians er givet ved E(X) = 1, V (X) = 0.2, E(Y ) = 2, V (Y ) = 0.3. Lad endvidere den stokastiske variable Z være på formen Z = 2 X Y. a) Beregn middelværdi og varians af Z. b) Vis, at E(X 2 ) = 1.2 og beregn dernæst E(X Z). Opgave 2 For at undersøge effekten af et sovemiddel har man for 10 personer registreret forskellen mellem sovetiden ved brug af sovemidlet og sovetiden uden brug af sovemidlet (vi kalder dette for tilvæksten i sovetid). De 10 værdier målt i timer er Summen af disse 10 tal er 23.3 og summen af tallene kvadreret er a) Undersøg om disse data kan betragtes som stammende fra en normalfordeling. b) Lav et skøn over middelværdien af tilvæksten i sovetid. Lav også et skøn over variansen på tilvæksten i sovetid. c) Lav et 95% konfidensinterval for middelværdien af tilvæksten i sovetid. d) Har sovemidlet en virkning? 11
14 12 NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgave 3 Et stereogram består af en masse prikker, hvor man ikke umiddelbart kan se noget. Hvis man kigger tilstrækkeligt længe, vil man dog tilsidst kunne se det billede, der er lagt ned i stereogrammet. For at undersøge effekten af forhåndsinformation ved opdagelsen af en figur i et stereogram udførte man et eksperiment med to grupper af personer. I gruppe 1 fik man ingen forhåndsinformation, hvorimod i gruppe 2 blev personerne vist en almindelig tegning af den figur man skulle opdage. For hver person registrerede man logaritmen til den tid der gik inden personen opdagede figuren. For hver gruppe kan man antage at logaritmen til tidsforbruget er normalfordelt. I tabellen nedenfor er antallet af personer n, gennemsnittet x, og variansskønnet s 2 for hver gruppe angivet. Gennemsnittet og variansskønnet er for logaritmen til den tid der bruges til opgaven. n x s 2 Gruppe Gruppe a) Vis, at det kan antages at variansen, af logaritmen til den tid der bruges, er den samme i de to grupper. b) Lav et test for om middelværdien af logaritmen til den tid der bruges til opgaven er den samme i de to grupper.
15 NANOSTATISTIK: OPGAVER 13 Naturvidenskabelig bacheloruddannelse. August Opgave 1 Lad X og Y være to uafhængige stokastiske variable. Middelværdi og varians er givet ved E(X) = 1, V (X) = 1, E(Y ) = 0, V (Y ) = 5. Lad endvidere de stokastiske variable U og V være givet ved U = X 2Y og V = 3X + Y. a) Beregn middelværdi og varians af U. Vis endvidere at E(X 2 ) = 2. b) Beregn E(U V ). Opgave 2 Peter og Paul hævder begge at være bedre til at spille ludo end modparten. For at undersøge dette spiller de 100 spil mod hinanden. Af disse 100 spil vinder Peter 41 spil og Paul vinder 59 spil. a) Baseret på resultatet af de 100 spil, er det da rimeligt at sige, at Peter og Paul er lige gode til at spille ludo? b) Lav et 95% konfidensinterval for sandsynligheden p for at Peter vinder, når Peter og Paul spiller ludo. Opgave 3 For at undersøge højden på 10-årige piger blev 100 piger tilfældigt udvalgt. Højden (i centimeter) på de 100 piger blev målt og betegnes i det følgende x 1, x 2,...,x 100. Summen af x i -erne og summen af de kvadrerede værdier er 100 i=1 x i = og 100 i=1 x 2 i = a) I figur 1 er et qqplot af data. Den mindste værdi af x i -erne er Angiv koordinaterne for punktet længst til venstre i figur 1. b) Find et skøn over middelværdien af højden af en 10-års pige, og find et skøn over variansen på højden af en 10-års pige. c) Lav et 95% konfidensinterval for middelværdien af højden på en 10-års pige. d) Hvis det antages at højden på en tilvældig udvalgt 10-års pige er normalfordelt med middelværdi og varians 47.8, hvad er da sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt 10-års pige har en højde der er mindre end 130 centimeter?
16 14 NANOSTATISTIK: OPGAVER qq plot observationer Figure 1: QQplot for de 100 pigehøjder.
Nanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mere2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:
Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver
Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2 Københavns Universitet Susanne Ditlevsen og Helle Sørensen R opgaver Det er en god ide at vænne sig til at skrive kommandoerne i en editor
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereStatistik i løb Supplerende opgaver
Statistik i løb Supplerende opgaver Preben Blæsild Lars Bo Kristensen 7 SUPPLERENDE OPGAVER Opgave 7.1 Fosforindholdet i letmælk angives til at være 170 µg/100g. I en stikprøve på 20 mælkekartoner blev
Læs mere