Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Anvendelse af den diskrete fouriertransformation"

Transkript

1 KAPITEL SYV Anvendelse af den diskrete fouriertransformation En meget anvendt beregningsprocedure inden for digital signalbehandling er den diskrete fouriertransformation (i det følgende forkortet til DFT), som kan udtrykkes på formen G(m) = 1 N g(n) = N 1 n= N 1 m= g(n) e π N n G(m) e jm π N n (7.1) Set fra et signalanalytisk synspunkt giver disse formler sammenhængen mellem et periodisk digitalt signal g(n) (med perioden N) og dets spektrum G(m), jvf. afsnit Hermed kan man altså umiddelbart beregne spektret for sådanne signaler eller signalet hørende til et forelagt spektrum. Imidlertid gør formen af disse udtryk dem så velegnede til numeriske beregninger - her er ingen uendelige grænser, intergraler eller lignende -, at de også finder anvendelse til andre opgavetyper, f.eks. spektralanalyse og filtrering af alle former for analoge og digitale signaler foruden numerisk løsning af differens- og differentialligninger m.m. Relationerne og deres anvendelse vil derfor blive studeret nøjere i dette kapitel. 7.1 Relation til andre fouriertransformationer I kapitlerne, 3, og 5 er gennemgået relationerne mellem de forskellige fouriertransformationer for analoge og digitale signaler. Heraf ses, at det under passende forudsætninger er muligt at benytte en DFT til beregning af spektret for de forskellige signaltyper. Dette er af stor praktisk betydning, da det stort set altid er DFT en eller dermed beslægtede teknikker (se afsnit 7. om den hurtige fouriertransformation), som er implementeret i signalbehandlingsprogrammel 1. For et digitalt signal g de (n) med endelig energi og en varighed på N samples er relationen til den DFT G dp (m) for det tilsvarende periodiske signal med perioden N givet ved ( ) m G de = NG dp (m) (7.) N T Dette svarer til at g de er gentaget med en periode på N samples. Det kan sålede ses, at G dp (m) er en samplet version af G de (f) for frekvenserne f = m/(n T ) som vist på figur 7.1. De mellemliggende 1 I appendix H er gennemgået programmet Malab og dets implementring af DFT en i afsnit H.6 11

2 7 G de og N G dp (m/n T) 6 5 G de og N G dp (m/n T) Frekvens [Hz] Figur 7.1: Spektrum for digitalt signal med endelig energi og de tilsvarende værdier fra den diskrete fouriertransformation. værdier i spektret kan så vises approksimativet ved at lave linier mellem de samplede værdier. For få spektralværdier (lille N) giver det en ukorrekt gengivelse af spektret for mellemliggende værdier, og oftest øges N for at en korrekt præsentation af spektret. Forøgelsen af N gøres ved at tilføje et antal samples med værdien nul til signalet (zero padding på engelsk). Herved øges den tilsyneladende periodetiden og antallet af beregnede værdier, og en mere korrekt præsentation af G de (f) opnås. Et eksempel er vist på figur 7.. Den diskrete fouriertransformation kan således benyttes for begge typer digitale signaler, og kan også benyttes på passende samplede analoge signaler. For at der skal være ækvivalens mellem spektrene kræves her, at det analoge signal er båndbegrænset og samplet således at G ae (f) for f f s /, hvor G ae (f) er det analoge signals spektrum. Fra afsnit.1 haves at G de (f) = 1 T G ae(f) = f s G ae (f), for f f s / (7.3) hvor g de (t) er det ækvivalente digitale signal. Under disse forudsætninger fås relationen til den DFT ( ) m G ae = 1 NG dp (m) (7.) N T f s For et periodisk analogt signal haves G ap (m) = 1 T G ae ( m T ) (7.5) Antages det at T = N T og G ap (m) for m T f s/ fås Resultatet fra den DFT kan således direkte benyttes. G ap (m) = 1 N T N 1 f s G dp (m) = G dp (m) (7.6) Forøgelsen af N skal naturligvis ikke forveksles med at signalet g de (n) har N diskrete spektrale komponenter. Spektret vi til alle tider være stykvis kontinuert med en frekvensakse f med definitionsmængden de relle tal. 1 Kapitel 7. Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

3 8 N G dp (m/n T) for N=3 N G dp (m/n T) N G (m/n T) for N=18 dp N G dp (m/n T) G de G de Frekvens [Hz] Figur 7.: Effekten af forøgelsen af N i beregningen af spektret. 7. Den hurtige fouriertransformation Når man skal udnytte udtrykkene ovenfor til praktiske beregninger, støder man - trods deres skikkelige form - på problemer, idet der i hvert udtryk indgår N komplekse multiplikationer og lige så mange komplekse additioner. Er N stor, betyder det, at den støj, som er en følge af de numeriske operationer, let bliver meget betragtelig, ligesom den tid, beregningerne tager, hurtigt bliver helt uacceptabelt lang. Selv om de numeriske problemer kan løses ved anvendelse af et stort antal bit i talrepræsentationen, betyder mange bit også, at beregningstiden har tendens til at vokse. På grund af eksponentialfunktionens periodicitet er det imidlertid muligt at organisere beregningerne på en sådan måde, at antallet af komplekse multiplikationer og additioner kan reduceres betragteligt. Dette gøres ved at omskrive den diskrete fouriertransformation til en række transformationer på dele af signalet. Den diskrete fouriertransformation kan skrives som G(m) = = N 1 n= N 1 n= g(n)e j π N mn = N 1 n= g(n)[e j π N ] mn g(n)w mn N. (7.7) Beregningen opdeles nu i to transformationer; en på signalets samples med lige index og en med ulige index: G(m) = = N/ 1 N/ 1 N/ 1 g(r)wn mr + g(r)(w N) mr + W m N g(r + 1)W m(r+1) N N/ 1 g(r + 1)(W N) mr (7.8) 7.. Den hurtige fouriertransformation 13

4 Bemærk her at og hermed fås W N = e j π N = W N/ (7.9) hvor g lige (r) N/ G(m) = = N/ 1 N/ 1 g(r)w mr N/ + W m N g lige (r)w mr N/ + W m N N/ 1 N/ 1 g(r + 1)W mr N/ g ulige (r)w mr N/ = G lige (m) + W m N G ulige (m), (7.1) G lige (m) er fouriertransformationen af signalets samples med lige index og g ulige (r) N/ G ulige (m) med ulige index. I disse to transformationer benyttes faktorerne WN/ mr, som er periodisk med perioden N/, hvilket også er lig antallet af samples i de to delsignaler. Den oprindelig transformation med N samples er herved blevet opdelt i to transformationer indeholdende N/ samples, og (7.1) angiver, hvordan de to mindre transformationer skal kombineres for at opnå den endelige diskrete foruriertransformation. For at lave beregningen i (7.1) skal der udføres N komplekse multiplikationer og additioner. Hvis det nu antages at N = p, hvor p er et heltal, kan hver af de to N/ samples transformationer opdeles igen, således at G lige (m) = = = g lige (r)w mr N/ + g lige (r)(w N/ )mr + W m N/ g lige (r)wn/ mr + W N/ m g lige (r + 1)W m(r+1) N/ g lige (r + 1)(W N/ )mr (7.11) g lige (r + 1)W mr N/ og på lignende måde for G ulige (m). En sådan opdeling kan med N = p fortsættes indtil der kun indgår en sample i de enkelte summer. Der vil være p = log N trin i en sådan opdeling. I hver af trinnen skal der udføres N komplekse multiplikationer og additioner, og den totale beregningsmængde bliver derfor N log N komplekse multiplikationer og additioner. Dette skal sammenlignes med N beregninger for en direkte DFT, og besparelsen ved den hurtige beregningsmetode er N N log (N) = N log (N). (7.1) For N = 96 = 1 er besparelsen på en faktor 31 gange, hvilket er ganske betydeligt. Den hurtige fouriertransformation (FFT - Fast Fourier Transformation) har derfor vundet stor udbredelse og anvendes i alle kommercielle programmer til signalbehandling 3. Der findes en lang række forskellige metoder til at udføre hurtig foruriertransformation, og disse omtales f.eks. af Oppenheimer & Schafer (1989). Der findes algoritmer for alle de primiske faktorer (, 3, 5, etc.), og f.eks. Matlab benytter en opsplitning i primiske faktorer, så ikke kun signaler af længden N = P kan transformeres hurtigt. FFT benyttes også ofte til at udføre foldning med, da en transformation af de to signaler, multiplikation og invers transformation ofte for lange signaler er hurtigere end en direkte implementering af foldningen. 3 Metoden er genopdaget af J.W. Cooley og J.W. Tukey (An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, Math. of Comp., vol. 19, pp ). Det menes, at bl.a. Gauss også kendte til denne beregningsmetode. 1 Kapitel 7. Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

5 7.3 DFT som komplekst digitalt filter Udtrykket i ligning (7.1) lader sig på enkel vis omforme således, at man kan betragte det at udføre en DFT på et signal som resultatet af en digital filtrering af signalet med en samling filtre - en filterbank -, som tilsammen dækker frekvensområdet ( f g, f g ). En sådan betragtningsmåde kan være en hjælp ved fortolkningen af de resultater, der fremkommer, når den DFT benyttes på stokastiske signaler samt på periodiske signaler, hvis periodetid er ukendt. Omformningen af det sædvanlige udtryk for en DFT G(m) = 1 N N 1 q= lettes, dersom man først antager, at m er konstant. Benyttes nu, at kan udtrykket for G(m) skrives på formen g(q)e π N q (7.13) e jm π N N = 1 (7.1) G(m) = 1 N Sammenlignes denne ligning med ligningen N 1 q= g(q)e jm π N (N q) (7.15) y m (n) = n 1 q=n N g(q) 1 N ejm π N (n q) (7.16) ses det umiddelbart, at y m (N) = G(m). Da udtrykket for Y m (n) lader sig fortolke som en foldning mellem signalet g(n) og impulssvaret h m (n) = { 1 N ejm π N n for n=1,,... N ellers (7.17) kan spektrets værdi G(m) for fastholdt m altså opfattes som værdien af udgangssignalet fra dette filter til tidspunktet n = N. (Det kan forekomme lidt besynderligt, at impulssvaret først begynder til n = 1, men forklaringen er, at de følgende regninger derved forenkles.) Figur 7.3 viser impulssvaret for N = 6. Det bemærkes, at filtret er af F.I.R.-typen med varigheden N, og at h m (n) er kompleks. Den sidste kendsgerning komplicerer betragtningerne, men opfylder til gengæld den almindelige forventning om, at G(m) normalt er kompleks. Som det ses af formlen for den DFT, beregner man altså med dette udtryk udgangssignalet til tiden n = N på i alt N filtre med de anførte impulssvar, idet frekvensparameteren m f.eks. varierer i området (, N 1). Overføringsfunktionen for de enkelte filtre findes enklest, dersom man først betragter det filter, hvor m =. For dette filter gælder det, at h (n) = { 1 N for n=1,,... N ellers (7.18) h (n) er således den digitale integrator tidsforskudt tidsrummet T. Overføringsfunktionen H (f) for dette filter kan da straks skrives på formen H (f) = 1 N sin(πfn T ) sin(πf T ) e jπf(n+1) T (7.19) 7.3. DFT som komplekst digitalt filter 15

6 . Re{h (n)}.1 Re{h (n)} n. Im{h (n)}.1 Im{h (n)} n Figur 7.3: Impulssvar for h m (n) for N = 6 og m =. (se f.eks. afsnit.3.). Da T f g = 1, er og følgelig vil man have, at Herved bliver e jm π N n = e jπm f g N n T (7.) fg jπm h m (n) = h (n)e N n T (7.1) H m (f) = H (f m f g N ) (7.) Alle filtrene får altså samme form som H (f), men er forskudt størrelsen mf g /N på frekvensaksen (se figur 7.). Bemærk, at hvor et givet filters H m (f) har maksimum, har alle andre filtre et nulpunkt. En følge af, at h(n) er kompleks, er, at H m (f) ikke har den sædvanlige symmetri omkring f =. 7. Samtidig DFT af to reelle signaler En foldning kan implementeres direkte eller via fouriertransformation, hvor de komplekse spektre for de to signaler ganges sammen, og det resulterende signal findes v.hj.a. den inverse fouriertransformation. Denne metode kan være mere effektiv end en direkte implementering, hvis der benyttes FFT, og signalerne har en passende længde (typisk N > 6 eller 18). Hvis de to signaler yderligere er relle, kan deres fouriertransformation udføres ved hjælp af én transformation som beskrevet i det følgende. Dette vil næsten kunne reducere beregningstiden med en faktor. Lader man g(n) og h(n) være to reelle signaler, hvor vil det som sædvanligt gælde, at g(n) N G(m) og h(n) N H(m) (7.3) G (m) = G(N m) og H (m) = H(N m) (7.) 16 Kapitel 7. Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

7 6 H 1 5 H H 1 H m 3 H H 7 1 H f/f g Figur 7.: Amplitudekarakteristikker for DFT-filtre. N = 16. DFT på det komplekse signal g(n) + j h(n) = c(n) N C(m) = G(m) + j H(m) (7.5) hvis spektrum C(m) ikke opfylder den ovenfor nævnte betingelse, kan nu ved hjælp af simple regninger benyttes til at finde G(m) og H(m). Med de anførte betegnelser vil C(N m) = G(N m) + j H(N m) (7.6) og dermed er Derfor vil C (N m) = G(m) j H(m) (7.7) G(m) = 1 (C(m) + C (N m)) H(m) = j 1 (C(m) C (N m)) (7.8) Disse ligninger kan også skrives på formen Re(G(m)) = 1 [Re{C(m)} + Re{C(N m)}] og Im(G(m)) = 1 [Im{C(m)} Im{C(N m)}] (7.9) Re(H(m)) = 1 [Im{C(m)} + Im{C(N m)}] Im(H(m)) = 1 [Re{C(m)} Re{C(N m)}] (7.3) Det er altså således muligt at få beregnet den DFT af to reelle signaler på een gang. Da de praktiske beregninger af en DFT giver anledning til en vis støj i de beregnede resultater, må man forvente, at en del af denne støj kan karakteriseres som krydstale mellem de to signaler, dvs. at de beregnede spektre vil være lidt påvirkede af hinanden. 7.. Samtidig DFT af to reelle signaler 17

8 7.5 DFT af et reelt digitalt signal af længden N Hvis der blot skal laves en DFT og signalet er reelt, kan antallet af beregninger reduceres ved at benytte fouriertransformation af et komplekst signal dannet ud fra det reelle signal. Det antages her, at g(n) er et reelt signal af længden N, dvs. at g(n) N G(m) (7.31) G(m), som jo altså består af N komplekse værdier, kan da beregnes ved hjælp af en DFT på et komplekst signal c(n) på N værdier Udtrykket for G(m) opdeles nu således, at c(n) N C(m) (7.3) G(m) = 1 N = 1 ( 1 N + 1 N N 1 n= N 1 q= N 1 p= π g(n)e N n π g(p)e N p ) π g(q + 1)e N (q+1) (7.33) Heraf ses det, at er g (p) = g(p), og g 1 (q) = g(q + 1), og er g (p) N G (m) og g 1 (q) N G 1 (m) (7.3) vil G(m) = 1 ) π (G (m) + G 1 (m)e N (7.35) Signalet g(n) deles derfor op i to nævnte reelle delsignaler g o (n) bestående af de N værdier af g(n) med lige tidsparameter og g 1 (n) bestående af resten af g(n) værdierne. Man sætter dernæst c(n) = g (n) + j g 1 (n) (7.36) og benytter resultatet fra afsnit 7. således, at G(m) = 1 ) (C(m) + C (N m) j(c(m) C π (N m))e N (7.37) Det erindres, at C(m) har perioden N, samt at man jo kun behøver at kende de første N værdier af G(m), eftersom G(N m) = G (m) (7.38) 7.6 Omvendt DFT af spektret for et digitalt signal af længden N Er G(m) spektret for et reelt digitalt signal g(n) af længden N kendt, kan man beregne g(n) på følgende måde. Af afsnit 7.5 fås G(m) = 1 ) π (G (m) + G 1 (m)e N (7.39) hvor de reelle signaler g (n) og g 1 (n) hver er af længden N. Det vil nu gælde, at G (N m) = 1 ) π j(n m) (G (m) + G 1 (m)e N (7.) 18 Kapitel 7. Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

9 Simple regninger vil da sammen med føre til udtrykket som med en omvendt DFT giver C(m) = G (m) + j G 1 (m) (7.1) C(m) = G(m) + G (N m) + j(g(m) G π jm (N m))e N (7.) Man danner derpå det ønskede signal af c(n) = g (n) + j g 1 (n) (7.3) { g (n/) for n lige g(n) = g 1 ((n 1)/) for n ulige (7.) 7.6. Omvendt DFT af spektret for et digitalt signal af længden N 19

10 13

Digitale periodiske signaler

Digitale periodiske signaler KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Beregninger på digitale signaler

Beregninger på digitale signaler KAPITEL NI Beregninger på digitale signaler Et digitalt signals værdier kunne repræsenteres ved tal med et endeligt antal cifre (med endelig præcision ). Dette krav er en naturlig følge af, at digital

Læs mere

g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.2) Analogt med begreberne, som benyttes ved det komplekse spektrum, kan man også notere komplekse signaler på formerne

g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.2) Analogt med begreberne, som benyttes ved det komplekse spektrum, kan man også notere komplekse signaler på formerne KAPITEL SEKS Komplekse signaler I forbindelse med en række signalbehandlingsopgaver er de hensigsmæssig a benye komplekse signaler, f.eks. ved karakerisering af den diskree fourier ransformaion (se kapiel

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Spektrumrepræsentation

Spektrumrepræsentation Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede

Læs mere

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede

Læs mere

Sampling og aliasing. Datalogisk Institut Københavns Universitet. Kapitel 4 c Jens D. Andersen

Sampling og aliasing. Datalogisk Institut Københavns Universitet. Kapitel 4 c Jens D. Andersen Sampling og aliasing (Kapitel 4) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/32 Sampling og aliasing Konvertering af signaler mellem analog (kontinuerttids-) og digital (diskrettids-)

Læs mere

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

3 Overføringsfunktion

3 Overføringsfunktion 1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede

Læs mere

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.

(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene. MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Den menneskelige cochlea

Den menneskelige cochlea Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse,

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 6

Matematik F2 Opgavesæt 6 Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip

Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.2.1 Integrator anti-windup.......................... 4.3 Overføringsfunktion

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Talrepræsentation På maskinkodeniveau (Instruction Set Architecture Level) repræsenteres ordrer og operander ved bitfølger

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktionsfamilier Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

Lineære systemer med hukommelse.

Lineære systemer med hukommelse. Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Sampling. Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6. Jan Bendtsen

Sampling. Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6. Jan Bendtsen Sampling Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6 Jan Bendtsen Indhold Basal sampling A/D-konvertering Nyquist-frekvens Kvantisering Aliasing Feedbacksystemer Eksempel: servokontrol af motor Strøm til

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Signalbehandling 1. Compressorer, gates, digitale filtre. Litteratur: Roads s. 390-418

Signalbehandling 1. Compressorer, gates, digitale filtre. Litteratur: Roads s. 390-418 Signalbehandling 1 Compressorer, gates, digitale filtre Litteratur: Roads s. 390-418 Envelopes Tidsvariant forstærkning/dæmpning Mange formål Syntese Overlap (FFT) Klip Musikalsk virkemiddel Compressor

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk

Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

4. Semesterprojekt System Arkitektur. MyP3000 I4PRJ4 E2004

4. Semesterprojekt System Arkitektur. MyP3000 I4PRJ4 E2004 Ingeniørhøjskolen i Århus 20. december 2004 IKT Dalgas Avenue 2 8000 Århus C 4. Semesterprojekt System Arkitektur MyP3000 I4PRJ4 E2004 Gruppe 4: Benjamin Sørensen, 02284 Tomas Stæhr Berg, 03539 Nikki Ashton,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1 MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,

Læs mere

Fra Taylorpolynomier til wavelets

Fra Taylorpolynomier til wavelets Fra Taylorpolynomier til wavelets Ole Christensen DTU Matematik Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Ole.Christensen@mat.dtu.dk (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 1 / 27 Plan for foredraget Personlig

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

EMC. Elektromagnetic Compatibility Sameksistens!

EMC. Elektromagnetic Compatibility Sameksistens! EMC Elektromagnetic Compatibility Sameksistens! Forløb for EMC Mandag: Generelt om EMC, R&S kommer på besøg Tirsdag: Brug af instrumenter, signal teori (Cadence), EMC opgaver Onsdag: EMC opgaver Torsdag:

Læs mere

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg 1 / 18 Mål Målet for disse slides er at beskrive, hvordan tal repræsenteres som bitmønstre i computere. Dette emne er et uddrag af kurset DM548 Computerarkitektur

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun

Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun 1 Analyse af algoritmer Input Algoritme Output En algoritme er en trinvis metode til løsning af et problem i endelig tid 2 Algoritmebegrebet D.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

En sumformel eller to - om interferens

En sumformel eller to - om interferens En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER

ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere