Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Transkript

1 Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger og strømme. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt for sig. I et lineært og isotropt medium fås fra udtryk (13.3), (1-1-4) og (13.6): D H = Jfri + t E ( H) H = g E+ ε t 1 ( B) H = g E+ ε E μ B B H = g ε t t H H = gμ εμ : H H H gμ με =. (14.1) Ovenstående lineære, andenordens, homogene, partielle differentialligning i r og t med konstante koefficienter kaldes bølgeligningen 1 for H-feltet i et lineært og isotropt medium, der er kendetegnet ved g, μ, ε. Bølgeligningen er udledt på baggrund af Maxwells ligninger og opfyldes dermed af alle H-felter i et lineært, isotropt medium. Med andre ord udgør den fuldstændige løsning til bølgeligningen alle mulige H- felter, der fysisk kan forekomme i et sådant materiale. 1 Pga. sin lighed med den bølgeligning, som opfyldes af mekaniske bølger. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

2 Elektromagnetisme 14 Side af 1 Ved indsættelse af H 1 = B i udtryk (14.1) ses, at B-feltet opfylder en identisk μ bølgeligning: B B B gμ με = I opg. L udledes bølgeligningerne for E og D.. (14.) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

3 Elektromagnetisme 14 Side 3 af 1 Monokromatiske elektromagnetiske bølger Bølgeligningen for E udledt i opg. L har i vakuum formen E E με =. (14.3) Ved indsættelse ses, at Ert Ee (, ) = ikr ωt. (14.4) er en løsning til bølgeligningen i udtryk (14.3) i form af en harmonisk svingning 3, eller mere præcist en plan, monokromatisk bølge med 3 amplitude E. 3 bølgevektor k, bølgetal k. E rt, er konstant, så længe fasen k r ωt er konstant. Bølgeudsvinget ( ) Et konstant udsvings bevægelse 4 er således givet ved r( t) med ω 1s, hver gang t vokser med 1s, svarende til at r( t) hastigheden ω ˆk : k, hvor k r vokser bevæger sig med ω k r t k r k ˆ ω = + 1s ω( t 1s ) k +. Dermed angiver bølgevektoren k bølgens udbredelsesretning, og c = ω k angiver bølgens udbredelsesfart. Det fysisk målbare E-felt må nødvendigvis være reelt og er dermed underforstået givet ved realdelen (eller imaginærdelen) af udtryk (14.4), idet den komplekse repræsentation er begrundet ved matematisk bekvemmelighed. 3 ( i k r ωt) Idet e = cos k r ωt + isin k r ωt. ( ) ( ) 4 Svarende til at ride med bølgen. r( t) kunne således f.eks. angive en bestemt bølgetops bevægelse, idet en bølgetop i denne sammenhæng E r, t = E. forekommer for ( ) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

4 Elektromagnetisme 14 Side 4 af 1 vinkelfrekvens ω. E rt, T Ert, ): Perioden T angiver det korteste tidsinterval, for hvilket ( + ) = ( k r ωt ωt = k r ωt π : π ω = = πν, (14.5) T hvor frekvensen ν og vinkelfrekvensen ω således angiver hhv. antal svingninger og antal radianer pr. sekund. En bølgefront udgøres af punkter, hvori fasen, og dermed udsvinget, er det samme 5. Udtryk (14.4) beskriver en plan bølge, fordi bølgefronterne er plane 6, idet k r er projektionen af r på k og dermed har samme værdi for alle r i en plan vinkelret på k. Bølgefronterne er således planer vinkelret på udbredelsesretningen med en indbyrdes afstand givet ved bølgelængden c π c λ = =. (14.6) ν ω Udtryk (14.4) beskriver en monokromatisk bølge, fordi den er kendetegnet ved netop én frekvens ω, svarende til én bølgelængde λ og dermed én farve 7. 5 F.eks. bølgetop. 6 En bølgefront for en plan bølge kaldes også en ækvifaseplan, idet ækvi er latin og betyder samme. 7 Mono og khroma er græsk og betyder hhv. én og farve. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

5 Elektromagnetisme 14 Side 5 af 1 Ved indsættelse af løsningen (14.4) i bølgeligningen fås ifølge opg. M: ikr ωt ikr ωt kee με ( iω) Ee = +, = k + μεω = E r, t =, ( k μεω ) E( r t) så bølgens udbredelsesfart er dermed ( ) ω 1 8 c = =, m, (14.7) k με s svarende til lysets fart, og udtryk (14.4) udtrykker dermed E-delen af en elektromagnetisk bølge. Dispersionsrelation: Af udtryk (14.7) fås flg. dispersionsrelation for plane, monokromatiske bølger i vakuum: ω ( k) = ck. (14.8) Ved kombination af udtryk (14.8) med udtryk (14.6) fås endvidere ω πν π k = = =. (14.9) c c λ I ideelle lineære, isotrope og ladningsfrie dielektrika, hvori g = og ρ indl =, fås ifølge opg. L samme bølgeligning som i udtryk (14.3) blot med μ, ε generaliseret til μ, ε, og derved fås flg. generaliserede dispersionsrelation: 1 ω( k) = vk, v=. (14.1) με Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

6 Elektromagnetisme 14 Side 6 af 1 Brydningsindeks: Et materiales brydningsindeks angiver, hvor mange gange langsommere lys udbreder sig i det pågældende materiale i forhold til vakuum: c n 1. (14.11) v I ovennævnte dielektrikum er 8 με n = = μrεr, (14.1) με og da χm 1, svarende til μr = 1+ χm 1, fås n ε = 1+ χ. (14.13) r En fotons energi E = hν, og dermed dens frekvens ν, er en grundlæggende egenskab, som ikke ændres ved fotonens overgang fra ét medium til et andet. Derimod bliver en lysbølges bølgelængde mindre, ved en overgang til et materiale med lavere udbredelsesfart: c λ ν λ n = = = v λ ν : n λn λ λ n n = < λ, (14.14) hvor λ og λ n således er bølgelængden i hhv. vakuum og et materiale med brydningsindeks n. 8 Da brydningsindeks kan indføres for alle materialer, er nedenstående en mulig måde at indføre permittiviteten af en leder. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

7 Elektromagnetisme 14 Side 7 af 1 Absorption: I et lineært, isotropt og ladningsfrit medium med endelig ledningsevne fås ifølge opg. L bølgeligningen E E E gμ με =. (14.15) Ved indsættelse ses, at udtryk (14.4) stadig udgør en løsning, hvis bølgevektoren tillades at være kompleks: k + igμω + μεω E r, t = : ( ) ( ) k = μεω + igμω. (14.16) Betragt en plan, monokromatisk bølge, der udbreder sig efter z-aksen: Ert E z t (, ) (, ) ikz ˆ ( xxˆ+ yyˆ+ zzˆ) = Ee ikz ( ωt = E ) e i ( kr iki ) z ωt + = Ee kz ik I ( Rz ωt = Ee e ). ωt (14.17) Bølgen dæmpes således i overensstemmelse med indhylningskurven 9 I ± Ee kz i forbindelse med sin ( ) E zt, / E I Ee kz I Ee kz z udbredelse gennem materialet. For g = er k =, jf. udtryk I (14.16), så det er altså materialets endelige ledningsevne, der fører til denne absorption, idet g angiver, hvor let det er at sætte materialets ladninger i bevægelse, og dermed hvor let det er for lyset at overføre sin energi til materialet 1. 9 Envelope function. 1 Led i udtryk (14.15) er således et dæmpningsled. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

8 Elektromagnetisme 14 Side 8 af 1 Udbredelsen af elektromagnetiske bølger I et lineært, isotropt og ladningsfrit medium fås flg. Maxwellligninger: E B =με, (14.18) B E =, (14.19) t E =, (14.) B =. (14.1) Ifølge opg. M svarer ovenstående Maxwellligninger for plane, monokromatiske bølger til ik B = μεiωe : ik E = iω B : Ert Ee (, ) = Brt Be (, ) = ikr ωt ikr ωt k B= n E, (14.), (14.3) ω, (14.4) c ik E = : k E = ωb, (14.5) k E =, (14.6) k B=. (14.7) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

9 Elektromagnetisme 14 Side 9 af 1 Udtryk (14.6) og (14.7) viser hhv. E k og B k, og da bølgevektoren angiver bølgens udbredelsesretning, er den elektromagnetiske bølge således transversal. Udtryk (14.4) og (14.5) viser hhv., at E står vinkelret på planen udspændt af k og B, og at B står vinkelret på planen udspændt af k og E, så med øje for fortegnene k, E, B udgør et højreorienteret, ortogonalt vektorsæt. ses, at ( ) E B k E k B er forstyrrelser i et koblet elektrisk og magnetisk felt. På samme måde som at f.eks. en vandbølge er en forstyrrelse i vand, er en elektromagnetisk bølge således en forstyrrelse i et elektromagnetisk felt. Dermed adskiller elektromagnetiske bølger sig fra alle andre bølger 11, ved at de ikke udbreder sig i et stofligt medium og dermed kan udbrede sig i det tomme rum. 11 De såkaldte mekaniske bølger. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7

10 Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Polykromatiske elektromagnetiske bølger En laserstråle er tilnærmelsesvist plan og monokromatisk, idet den er kendetegnet ved et snævert frekvensinterval og en veldefineret udbredelsesretning, svarende til at ω og k (og dermed λ ) er relativt veldefinerede. Da bølgeligningen er en lineær differentialligning og dermed overholder superpositionsprincippet 1, kan en generel elektromagnetisk bølge repræsenteres ved en overlejring af plane, monokromatiske bølger i form af flg. Fourierintegral : E rt Ek e dk, (14.8) 3 (, ) ( ) ikr ω t = 3 hvor d k = dk dk dkz er et volumenelement i k-rum, og hvor Fourierkoefficienten E ( k ) kendetegnet ved x y k og ω indgår. således angiver den vægt, hvormed den plane bølge 1 Og da de plane, monokromatiske bølger udgør en såkaldt fuldstændig mængde. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 6/1/7