Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?"

Transkript

1 Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt. Det giver samtidig en teoretisk begrundelse for anvendelse af det såkaldte normalfordelingspapir, der er et praktisk værktøj til en hurtig undersøgelse af et datamateriale og til at give estimater for middelværdi og spredning. Normalfordelingen I grundbogen til B-niveau er normalfordelingen introduceret og behandlet i kapitel 8. Normalfordelingen præsenteres ofte som en klokkeformet kurve, men verden er fuld af forskellige klokkeformede kurver, så hvad er det lige, der udmærker den særlige kurve, vi kalder for en normalfordelingskurve, og som har fundet anvendelse overalt, hvor man anvender statistik. Populært sagt kan man beskrive normalfordelingskurven som den kurve, der fremkommer, hvis man lader rigtig mange kugler falde ned gennem et meget stort Galtonbræt. Et Galtonbræt er præsenteret i bogens kapitel 8 og består af lange rækker af søm placeret med lige store mellemrum, hvor en kugle netop kan trille igennem. Rækkerne af søm er placeret forskudt for hinanden, så en kugle, der triller gennem en åbning falder ned på et søm der er placeret netop midt i mellemrummet. Når kuglen rammer dette søm vil den med lige stor sandsynlighed falde til venstre eller til højre. Når vi lader rigtig mange kugler trille igennem et øverste mellemrum, vil de - efter at have passeret rigtig mange rækker- lande i optællingsbokse med samme bredde som mellemrummene, og hvor således højderne angives af antallet af kugler, der netop landede der. Den kurve, som dette pindediagram tegner er en klokkeformet kurve, der tilnærmer en normalfordelingskurve bedre og bedre hvis vi vælger flere og flere kugler og flere og flere rækker, de skal passere. En sådan bevægelse, hvor man med lige stor sandsynlighed kan gå til højre som til venstre, kaldes for en random walk, og definitionen på en normalfordeling er derfor, at en størrelse (i statistik kalder vi dette for en stokastisk variabel) kaldes for normalfordelt, hvis den er fordelt på samme måde, som en random walk med et meget stort antal skridt. Meget stort betyder ideelt set uendeligt mange, og et forsøg, der tænkes gentaget uendeligt mange gange kaldes netop for et ideelt forsøg. Når man lader antallet af kugler og antallet af rækker, der passeres, vokse mod uendelig, så vil der ske to ting: - Grafen ville komme til at fylde uendeligt meget, hvis vi ikke skalerede ned. Det gør man løbende, så efter at have ladet n kugler trille ned skalerer vi slutværdierne på x-aksen ned med n, hvorved spred- n ningen hele tiden holdes på 1. Samtidig skaleres y-værdierne (højden af pindene ) ned med, hvilket sikrer, at det samlede areal under kurven hele tiden er 1. I grundbogen er der redegjort nærmere for dette. - Grafen vil ændre sig fra at bestå af en samling af enkeltpunkter, vi forbinder, til at være en sammenhængende (kontinuert) kurve. Det samlede areal kan måles ved samlede antal kugler, og derved ser man, at sandsynligheden for at en kugle lander mellem to værdier på x-aksen må svare til det relative antal kugler, der er landet mellem de to værdier. Men det betyder for den kontinuerte kurve i grænsen, at sandsynligheden for at ligge i et bestemt interval må svare til arealet under kurven mellem de to værdier, og dette beregnes som et integral. Værdierne på x-aksen, hvorover vi har afsat højden af pindene ( kuglerne ), kaldes for observationer.

2 Den klokkeformede kurve der fremkommer på denne måde kaldes for standardnormalfordelingskurven. Den har middelværdi 0, idet man lægger x-aksen med begyndelsespunkt lige under det sted, hvor kuglerne trilles ned. Den gennemsnitlige afstand fra der, hvor en kugle lander, og ind til middelværdien kaldes for standardafvigelsen eller spredningen og denne er 1 for standardnormalfordelingen. Middelværdi betegnes med symbolet (græsk bogstav for m, udtales my) og spredningen betegnes med symbolet (græsk bogstav for s, udtales sigma). Man kan vise, at standardnormalfordelingskurven er graf for funktionen: 1 1 x φ( x ) e 5 Normalfordelingen arver en række egenskaber fra random walk fordelingerne, fordi det er en grænseværdi for dem. Blandt de vigtigste er: - ca. 68% af observationerne ligger i en afstand fra middelværdien på 1 spredning, dvs mellem og. - ca. 95% af observationerne ligger i en afstand fra middelværdien på spredning, dvs mellem og. Observationer, der ligger inden for denne afstand, kaldes for normale. - ca. 0,5% af observationerne ligger i en afstand fra middelværdien, der større end 3 spredninger. Observationer, der ligger i denne afstand, kaldes for exceptionelle. Øvelse a) Tegn grafen for φ( x ) e b) Vis at arealet under kurven er 1. x. Overvej selv indretningen af grafvinduet ud fra ovenstående. Lad nu Z være en variabel, der angiver observationer, der er standardnormalfordelt, Dette skriver man ofte således: Z N (0,1) Da arealet under kurven angiver sandsynligheder, så er fx P( Z c ) dels lig med arealet under kurven fra til tallet c og samtidig lig med sandsynligheden for at en tilfældig observation er mindre end c: c 1 1x 1 1x P( Z c) e dx e dx Indfører vi en ny variabel Y a Z b, så har vi: a t b 1 1 x P( Y t) P( a Z b t) PZ e dx a Øvelse Argumenter for, at Y må være en normalfordelt med middelværdi b og spredning a Øvelse 3 Vis ved anvendelse af substitutionen x y b : a c a 1 1 a 1 y b P( Y t) e dy e dy dy a a a a tb t yb t yb t

3 Under integraltegnet står således tæthedsfunktionen for normalfordelingen Y med middelværdi b og spredning a. Betegnes middelværdi med og spredningen med, så gælder: Øvelse 4 Tæthedsfunktionen for Y N (, ) er lig med 1 y. Bestem grafens vendepunkter og bestem af- 1 a) Opret i et værktøjsprogram grafen for φ( x ) e standen fra disse og ind til 0. 1 x 1 y b) Indfør skydere for middelværdi og spredningen og opret grafen for. Hold først spredningen fast på 1 og undersøg betydningen af. Hvor ligger grafens symmetriakse? Bestem grafens vendepunkter og bestem afstanden fra disse og ind til symmetriaksen. c) Sæt middelværdien til 0 og varier spredningen. Hvor ligger grafens symmetriakse? Bestem grafens vendepunkter og bestem afstanden fra disse og ind til symmetriaksen. 1 y d) Giv nu en samlet beskrivelse af det grafiske billede af tæthedsfunktionen Anvendelse af histogram som tilnærmelse til en normalfordelingskurve Når vi ønsker at undersøge om et givet talmateriale følger en normalfordeling, er det første naturlige skridt at repræsenterer talmaterialet med en graf, som kan sammenlignes med en normalfordelingskurve. For at illustrere dette tager vi udgangspunkt i det datasæt, der er behandlet i Grundbogen til B, kapitel 8, afsnit 3.4, og som handler om brudstyrker for hørgarn. Datasættet består af 50 målinger. Du kan hente en tabel over brudstyrkerne her. Gør det og gennemfør selv den følgende behandling af materialet

4 Vi vil prøve at vurdere om brudstyrkerne med rimelighed kan siges at være normalfordelte. Vi grupperer datasættet i intervaller med samme intervalbredde. Her har vi valgt en bredde på 0,. Vi tegner så et histogram over fordelingen og ser da noget der med lidt god vilje godt kunne ligne en klokkeformet fordeling. Men for at kunne sammenligne det med en normalfordeling må vi kende middelværdien, spredningen og arealet hørende til histogrammet. Da der er tale om en stikprøve bruger vi stikprøvespredningen: Histogram tegnet med søjlebredden 0. og startværdi for yderste søjle 1.3. Middelbrudstyrken er.30, mens stikprøvespredningen s er Da der er 50 stykker hørgarn og grundlinjen i søjlerne er 0. fås et samlet areal på 10. Vi tegner derfor fordelingskurven for normalfordelingen med den samme middelværdi, spredning og areal. Resultatet er igen rimeligt. Og så afhænger det i øvrigt af hvordan vi har opdelt histogrammet. Søjlen med. ligger lidt for lavt, mens søjlen med.4 ligger lidt for højt i forhold til det forventede, men ellers følger normalfordelingskurven histogrammet rimeligt pænt. Mange regneark kan konstruere det overlejerede normalfordelingsplot helt automatisk. Histogram med overlejret normalfordelingskurve, der har den samme middelværdi, spredning og areal. Transformation af data til undersøgelse af om datasættet er normalfordelt. Som vi omtalte i indledningen er der mange klokkeformede kurver, og man vil ofte ønske noget mere overbevisende end ovenstående grafiske redegørelse. Og der findes faktisk en anden mulighed for at visuelt at vurdere om et givet observationsmateriale med rimelighed kan siges at følge en normalfordeling. Hvor vi ovenfor ser på histogrammer og de tilhørende tæthedsfunktioner for normalfordelinger, så vil vi her se på sumkurver og de tilhørende fordelingsfunktioner for normalfordelinger. I sumkurver afsættes de kumulerede procenter over observationsintervallernes højre endepunkter. Det giver en kurve der har form som et langstrakt S og som forløber fra 0% til 100%. Den ideelle normalfordelingsfunktion har ingen øvre og nedre grænse for observationerne, så vi vil her aldrig nå helt ned til 0 eller helt op til 100%. Ved fordelingsfunktionen hørende til en (stokastisk) variabel X forstår vi funktionen:

5 F( x) P( X x ), dvs funktionen F måler arealet under kurven fra til x. For standardnormalfordelingen har man indført betegnelsen ( x) for den tilhørende fordelingsfunktion: x Z N (0,1) giver, at ( x) P( Z x) ( t) dt Øvelse 5 Vis som i øvelse 3, at hvis 1 ( x) er fordelingsfunktion for normalfordelingen med middelværdi og spredning x, så er ( x) ( t) dt, hvor 1 () t er tæthedsfunktionen hørende til denne normalfordeling 1 1 Øvelse 6 I et værktøjsprogram betegner man ofte funktionerne således: ( x) normpdf(, x,0,1) ( x) normcdf(, x,0,1) a) Undersøg hvordan dit værktøjsprogram betegner funktionerne. b) Tegn grafen for ( x ). Opfatter vi grafen for ( x) som en sumkurve, så kan vi spørge, hvilken observation der er knyttet til fx 80%=0,8. Svaret på dette spørgsmål findes ved hjælp af den omvendte funktion til ( x ). Den kaldes den inverse normalfordelingsfunktion og betegnes ofte invnorm(x,0,1). Fx gælder der: invnorm(0.8,0,1) = 0,84161, fordi ( ) 0.8 c) Opret i et regneark en søjle hørende til 10 %-fraktilerne: 0,1, 0,, 0,3, 0,9 og lad regnearket beregne en søjle med de tilsvarende x-værdier hørende til standardnormalfordelingen. Opret et punkplot af alle punkterne: (invnorm(0.1,0,1), 0.1), (invnorm(0.,0,1), 0.), (invnorm(0.9,0,1), 0.9) i samme koordinatsystem hvor du har tegnet grafen for ( x ). Det er indlysende, at punkterne i øvelsen ligger på grafen, da vi har konstrueret dem sådan. Men har vi nu i stedet, en række dataværdier, som vi antager er standardnormalfordelt, og opretter vi et punkplot bestående af følgende punkter: (dataværdiernes højre endepunkter, den kumulerede % i denne værdi) så skulle punkterne med tilnærmelse ligge på grafen for ( x ). Dette kan naturligvis generaliseres til normalfordelinger med middelværdi og spredning : Tegner vi sumkurven for et datasæt, som med tilnærmelse er normalfordelt med middelværdi og spredning, så vil sumkurven med tilnærmelse være lig med fordelingsfunktionen. Men det betyder omvendt, at vi kan anvende dette til at undersøge en antagelse om normalfordeling. Det kan stadig være svært at se, hvorvidt en given kurve er tæt ved en anden krum kurve. Derfor ønsker vi at transformere situationen, så vi får strukket graferne for fordelingsfunktionerne og sumkurverne ud, så de bliver rette linjer! Det gør vi på følgende måde: Den vandrette x-akse har en normal inddeling. Her afsættes datasættets højre intervalendepunkter. Den lodrette y-akse har en dobbelt inddeling, en synlig og en næsten skjult. Den skjulte er en akse med en normal inddeling, og med y=0 midt på aksen På den synlige akse afsættes 50% i 0. Dernæst afsættes

6 procenttallet 60 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.6) invnorm (0.6,0,1) 0.53, procenttallet 70 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.7) invnorm (0.7,0,1) 0.54, procenttallet 80 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.8) invnorm (0.8,0,1) 0.84, procenttallet 84, i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.84) invnorm (0.84,0,1) 1,00 procenttallet 97,7 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.977) invnorm (0.977,0,1),00 procenttallet 99,9 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.999) invnorm (0.999,0,1) 3,09 Procenttal under 50 bliver afsat i tilsvarende afstande i den negative retning af den skjulte akse. Fx afsættes procenttallet 15,8 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.158) invnorm (0.158,0,1) 1,00 Som vi ser, så betyder dette, at enheden på den skjulte akse er spredningen! Læg mærke til at mellem de to spredninger ligger der i alt 84,%-15,8%= 68,4%, som vi jo ved er gældende for normalfordelinger Det ligger i selve konstruktionen, at grafen for ( x) er en ret linje med hældning 1: Givet et tal x a på x- aksen, hvor afsættes den tilhørende værdi på sumkurven, y() a? Den afsættes i en afstand fra x-aksen på y a a. Dvs ligningen for fordelingsfunktionen bliver y x. 1 1 ( ) ( ( )) Lad os vende tilbage til vores datasæt. Vi undersøger om dette er normalfordelt ved at se på den såkaldte standardiserede z-score, der måler afstanden fra middelværdien µ i enheder af spredningen. Hvis observationerne X stammer fra en stokastisk variabel med middelværdi µ og spredning, er den standardiserede z-score derfor givet ved X Z. Den standardiserede Z-score er derfor centreret omkring 0 og har spredningen 1. (Læg mærke til, at dette svarer til, at vi ovenfor har isoleret Z i ligningen Y a Z b, hvor Z er standardnormalfordelingen). Hvis X nu rent faktisk er normalfordelt med middelværdi µ og spredning, vil Z derfor være standardnormalfordelt med middelværdi 0 og spredning 1. Det betyder at ligningen for fordelingsfunktionen for z i vores nye koordinatsystem er: x 1 y z x Dette er en ligning for en linje med hældningskoefficienten 1. Samtidig ser vi af det første lighedstegn, at hvor y 0 er x. Fortolkningen af dette er følgende: - Når vi afsætter punkterne til sumkurven i vores nye kordinatsystem, så vi, de med god tilnærmelse følge en ret linje, hvis X er normalfordelt. - Den rette linje skærer x-asken i (,0). - Når vi går frem på x-aksen går vi 1 op til den rette linje. Men 1 enhed på den skjulte y-akse svarer til den %-afvigelse fra middelværdien, der giver 1 spredning. Derfor kan spredningen aflæses ved at bestemme, hvor linjen skærer den vandrette linje med ligning y 1 (i det skjulte koordinatsystem). Det særlige koordinatsystem, vi har behandlet her, kaldes et normalfordelingspapir. Du kan hente et eksmplar af et sådant papir her.

7 Med baggrund i denne fortolkning ser vi, at vi i praksis ikke behøver udregne z-værdierne, men kan gå direkte til de oprindelige dataværdier. Øvelse 7 Opret nu en tabel med en intervalinddeling af brudstyrkerne og med de kumulerede procenter. Afsæt sumkurven i et normalfordelingspapir og vurder om det er normalfordelt. Aflæs i givet fald middelværdi og spredning, og sammenlign med de tidligere bestemte værdier. Øvelse 8 En stokastisk variabel X er normalfordelt og: P (X 7) 0.05 og PX ( 3) 0.40 Tegn på et normalfordelingspapir grafen for fordelingsfunktionen for X. Bestem grafisk middelværdi og spredning for X. Bestem PX ( 1.5) Øvelse 9 En normalfordelt stokastisk variabel X har middelværdi 7 og spredning. Bestem P(5 X 8) både ved grafisk metode og ved beregning Øvelse 10 En virksomhed fremstiller metalplader. Ved kontrol af pladetykkelsen har man fundet, at 1,% af pladerne har en tykkelse under 14,0mm, og at 95,4% har en tykkelse under 16,0mm. Det antages at pladetykkelsen er normalfordelt. Bestem middelværdi og spredning for pladetykkelsen. Øvelse 11 Ved en sortering af en ærtehøst inddelte man ærterne i tre kategorier: fine, mellemfine og store. I det følgende antager vi, at diameteren af en ært kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi 9,4mm og spredning 1,3mm. a) Bestem både grafisk og ved beregning hvor mange procent af ærterne, der har en diameter mindre end 7,0mm. Man foretager inddelingen i de tre kategorier således, at de mindste 30% kaldes fine og de mellemste 45% kaldes mellemfine. b) Bestem hvilken diameterstørr4else der udgør grænserne mellem de tre typer af ærter. Øvelse 1 I Øvelse 8.7 i B-bogen er gengivet datamaterialet fra Michelsohn og Newcombes forsøg på at bestemme lysets hastighed. De foretog i juli-september præcisionsmålinger ved hjælp af en forsøgsopstilling, der er beskrevet nærmere i øvelsen. a) Hent data. Vurder om der er outliers, der skal lægges til side. I øvelse 8.7 er der gennemført en undersøgelse af dat ved hjælp af histogrammer og sammenligning med en normalfordelingsgraf. Her vil vi inddrage den nye metode: b) Træk 4800 fra alle tallene og foretag dernæst en gruppering af materialet i intervaller, fx med bredde 1, udregn de kumulerede procenter og tegn en sumkurve i et normalfordelingspapir.

8 c) Det er rimelig antagelse, at målingerne er normalfordelte. Bestem grafisk middelværdi og spredning. d) Hent på nettet oplysninger om lysets faktiske hastighed. Hvor stor er afstanden, målt i antal spredninger, mellem Newcombes og Michelsons værdi og den i dag accepterede værdi. Kan forskellen forklares ud fra statistisk usikkerhed, eller skal andre firklaringer inddrages. I et projekt om t-test, der er et test som anvendes til at vurdere på og sammenligne middelværdier, vender vi tilbage til dette datamateriale, og gennemfører et egentlig test på det som vi vurderer på i punkt d).

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel: Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

En lille introduktion til WordMat og statistik.

En lille introduktion til WordMat og statistik. En lille introduktion til WordMat og statistik. WordMat er et gratis program som kan arbejde sammen med word 2007 og 2010. Man kan downloade programmet fra nettet. Se hvordan på linket: http://www.youtube.com/watch?v=rqsn8aakb-a

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Løsninger til kapitel 6

Løsninger til kapitel 6 Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS INDHOLD 2 Formål 2 LOPAKS 3 Begreber 6 Eksempler 6. december 2010 LOPAKS er nu udvidet med en ny tabel, der giver mulighed for at opgøre lønspredning på

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) (VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler inden for deskriptiv statistik... 12 Normalfordelingskurver...

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Torben Rønne. Statistik. med TI InterActive

Torben Rønne. Statistik. med TI InterActive Torben Rønne Statistik med TI InterActive Indholdsfortegnelse 1 Beskrivende statistik... 3 1.1 Middelværdi, kvartilsæt og boksplot... 3 1. Histogram og sumkurve... 5 1.3 Varians og spredning... 9 Normalfordelingen...

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Deskriptiv statistik ud fra berømte måleserier

Deskriptiv statistik ud fra berømte måleserier Deskriptiv statistik ud fra berømte måleserier Newcombes måling af lysets hastighed 1 Newcombe arbejdede sammen med Michelson i slutningen af forrige århundrede og indførte nye teknikker til målingen af

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Deskriptiv statistik ud fra berømte måleserier

Deskriptiv statistik ud fra berømte måleserier Deskriptiv statistik ud fra berømte måleserier Newcombes måling af lysets hastighed 1 Newcombe arbejdede sammen med Michelson i slutningen af forrige århundrede og indførte nye teknikker til målingen af

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Dig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17 Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere