Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?"

Transkript

1 Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt. Det giver samtidig en teoretisk begrundelse for anvendelse af det såkaldte normalfordelingspapir, der er et praktisk værktøj til en hurtig undersøgelse af et datamateriale og til at give estimater for middelværdi og spredning. Normalfordelingen I grundbogen til B-niveau er normalfordelingen introduceret og behandlet i kapitel 8. Normalfordelingen præsenteres ofte som en klokkeformet kurve, men verden er fuld af forskellige klokkeformede kurver, så hvad er det lige, der udmærker den særlige kurve, vi kalder for en normalfordelingskurve, og som har fundet anvendelse overalt, hvor man anvender statistik. Populært sagt kan man beskrive normalfordelingskurven som den kurve, der fremkommer, hvis man lader rigtig mange kugler falde ned gennem et meget stort Galtonbræt. Et Galtonbræt er præsenteret i bogens kapitel 8 og består af lange rækker af søm placeret med lige store mellemrum, hvor en kugle netop kan trille igennem. Rækkerne af søm er placeret forskudt for hinanden, så en kugle, der triller gennem en åbning falder ned på et søm der er placeret netop midt i mellemrummet. Når kuglen rammer dette søm vil den med lige stor sandsynlighed falde til venstre eller til højre. Når vi lader rigtig mange kugler trille igennem et øverste mellemrum, vil de - efter at have passeret rigtig mange rækker- lande i optællingsbokse med samme bredde som mellemrummene, og hvor således højderne angives af antallet af kugler, der netop landede der. Den kurve, som dette pindediagram tegner er en klokkeformet kurve, der tilnærmer en normalfordelingskurve bedre og bedre hvis vi vælger flere og flere kugler og flere og flere rækker, de skal passere. En sådan bevægelse, hvor man med lige stor sandsynlighed kan gå til højre som til venstre, kaldes for en random walk, og definitionen på en normalfordeling er derfor, at en størrelse (i statistik kalder vi dette for en stokastisk variabel) kaldes for normalfordelt, hvis den er fordelt på samme måde, som en random walk med et meget stort antal skridt. Meget stort betyder ideelt set uendeligt mange, og et forsøg, der tænkes gentaget uendeligt mange gange kaldes netop for et ideelt forsøg. Når man lader antallet af kugler og antallet af rækker, der passeres, vokse mod uendelig, så vil der ske to ting: - Grafen ville komme til at fylde uendeligt meget, hvis vi ikke skalerede ned. Det gør man løbende, så efter at have ladet n kugler trille ned skalerer vi slutværdierne på x-aksen ned med n, hvorved spred- n ningen hele tiden holdes på 1. Samtidig skaleres y-værdierne (højden af pindene ) ned med, hvilket sikrer, at det samlede areal under kurven hele tiden er 1. I grundbogen er der redegjort nærmere for dette. - Grafen vil ændre sig fra at bestå af en samling af enkeltpunkter, vi forbinder, til at være en sammenhængende (kontinuert) kurve. Det samlede areal kan måles ved samlede antal kugler, og derved ser man, at sandsynligheden for at en kugle lander mellem to værdier på x-aksen må svare til det relative antal kugler, der er landet mellem de to værdier. Men det betyder for den kontinuerte kurve i grænsen, at sandsynligheden for at ligge i et bestemt interval må svare til arealet under kurven mellem de to værdier, og dette beregnes som et integral. Værdierne på x-aksen, hvorover vi har afsat højden af pindene ( kuglerne ), kaldes for observationer.

2 Den klokkeformede kurve der fremkommer på denne måde kaldes for standardnormalfordelingskurven. Den har middelværdi 0, idet man lægger x-aksen med begyndelsespunkt lige under det sted, hvor kuglerne trilles ned. Den gennemsnitlige afstand fra der, hvor en kugle lander, og ind til middelværdien kaldes for standardafvigelsen eller spredningen og denne er 1 for standardnormalfordelingen. Middelværdi betegnes med symbolet (græsk bogstav for m, udtales my) og spredningen betegnes med symbolet (græsk bogstav for s, udtales sigma). Man kan vise, at standardnormalfordelingskurven er graf for funktionen: 1 1 x φ( x ) e 5 Normalfordelingen arver en række egenskaber fra random walk fordelingerne, fordi det er en grænseværdi for dem. Blandt de vigtigste er: - ca. 68% af observationerne ligger i en afstand fra middelværdien på 1 spredning, dvs mellem og. - ca. 95% af observationerne ligger i en afstand fra middelværdien på spredning, dvs mellem og. Observationer, der ligger inden for denne afstand, kaldes for normale. - ca. 0,5% af observationerne ligger i en afstand fra middelværdien, der større end 3 spredninger. Observationer, der ligger i denne afstand, kaldes for exceptionelle. Øvelse a) Tegn grafen for φ( x ) e b) Vis at arealet under kurven er 1. x. Overvej selv indretningen af grafvinduet ud fra ovenstående. Lad nu Z være en variabel, der angiver observationer, der er standardnormalfordelt, Dette skriver man ofte således: Z N (0,1) Da arealet under kurven angiver sandsynligheder, så er fx P( Z c ) dels lig med arealet under kurven fra til tallet c og samtidig lig med sandsynligheden for at en tilfældig observation er mindre end c: c 1 1x 1 1x P( Z c) e dx e dx Indfører vi en ny variabel Y a Z b, så har vi: a t b 1 1 x P( Y t) P( a Z b t) PZ e dx a Øvelse Argumenter for, at Y må være en normalfordelt med middelværdi b og spredning a Øvelse 3 Vis ved anvendelse af substitutionen x y b : a c a 1 1 a 1 y b P( Y t) e dy e dy dy a a a a tb t yb t yb t

3 Under integraltegnet står således tæthedsfunktionen for normalfordelingen Y med middelværdi b og spredning a. Betegnes middelværdi med og spredningen med, så gælder: Øvelse 4 Tæthedsfunktionen for Y N (, ) er lig med 1 y. Bestem grafens vendepunkter og bestem af- 1 a) Opret i et værktøjsprogram grafen for φ( x ) e standen fra disse og ind til 0. 1 x 1 y b) Indfør skydere for middelværdi og spredningen og opret grafen for. Hold først spredningen fast på 1 og undersøg betydningen af. Hvor ligger grafens symmetriakse? Bestem grafens vendepunkter og bestem afstanden fra disse og ind til symmetriaksen. c) Sæt middelværdien til 0 og varier spredningen. Hvor ligger grafens symmetriakse? Bestem grafens vendepunkter og bestem afstanden fra disse og ind til symmetriaksen. 1 y d) Giv nu en samlet beskrivelse af det grafiske billede af tæthedsfunktionen Anvendelse af histogram som tilnærmelse til en normalfordelingskurve Når vi ønsker at undersøge om et givet talmateriale følger en normalfordeling, er det første naturlige skridt at repræsenterer talmaterialet med en graf, som kan sammenlignes med en normalfordelingskurve. For at illustrere dette tager vi udgangspunkt i det datasæt, der er behandlet i Grundbogen til B, kapitel 8, afsnit 3.4, og som handler om brudstyrker for hørgarn. Datasættet består af 50 målinger. Du kan hente en tabel over brudstyrkerne her. Gør det og gennemfør selv den følgende behandling af materialet

4 Vi vil prøve at vurdere om brudstyrkerne med rimelighed kan siges at være normalfordelte. Vi grupperer datasættet i intervaller med samme intervalbredde. Her har vi valgt en bredde på 0,. Vi tegner så et histogram over fordelingen og ser da noget der med lidt god vilje godt kunne ligne en klokkeformet fordeling. Men for at kunne sammenligne det med en normalfordeling må vi kende middelværdien, spredningen og arealet hørende til histogrammet. Da der er tale om en stikprøve bruger vi stikprøvespredningen: Histogram tegnet med søjlebredden 0. og startværdi for yderste søjle 1.3. Middelbrudstyrken er.30, mens stikprøvespredningen s er Da der er 50 stykker hørgarn og grundlinjen i søjlerne er 0. fås et samlet areal på 10. Vi tegner derfor fordelingskurven for normalfordelingen med den samme middelværdi, spredning og areal. Resultatet er igen rimeligt. Og så afhænger det i øvrigt af hvordan vi har opdelt histogrammet. Søjlen med. ligger lidt for lavt, mens søjlen med.4 ligger lidt for højt i forhold til det forventede, men ellers følger normalfordelingskurven histogrammet rimeligt pænt. Mange regneark kan konstruere det overlejerede normalfordelingsplot helt automatisk. Histogram med overlejret normalfordelingskurve, der har den samme middelværdi, spredning og areal. Transformation af data til undersøgelse af om datasættet er normalfordelt. Som vi omtalte i indledningen er der mange klokkeformede kurver, og man vil ofte ønske noget mere overbevisende end ovenstående grafiske redegørelse. Og der findes faktisk en anden mulighed for at visuelt at vurdere om et givet observationsmateriale med rimelighed kan siges at følge en normalfordeling. Hvor vi ovenfor ser på histogrammer og de tilhørende tæthedsfunktioner for normalfordelinger, så vil vi her se på sumkurver og de tilhørende fordelingsfunktioner for normalfordelinger. I sumkurver afsættes de kumulerede procenter over observationsintervallernes højre endepunkter. Det giver en kurve der har form som et langstrakt S og som forløber fra 0% til 100%. Den ideelle normalfordelingsfunktion har ingen øvre og nedre grænse for observationerne, så vi vil her aldrig nå helt ned til 0 eller helt op til 100%. Ved fordelingsfunktionen hørende til en (stokastisk) variabel X forstår vi funktionen:

5 F( x) P( X x ), dvs funktionen F måler arealet under kurven fra til x. For standardnormalfordelingen har man indført betegnelsen ( x) for den tilhørende fordelingsfunktion: x Z N (0,1) giver, at ( x) P( Z x) ( t) dt Øvelse 5 Vis som i øvelse 3, at hvis 1 ( x) er fordelingsfunktion for normalfordelingen med middelværdi og spredning x, så er ( x) ( t) dt, hvor 1 () t er tæthedsfunktionen hørende til denne normalfordeling 1 1 Øvelse 6 I et værktøjsprogram betegner man ofte funktionerne således: ( x) normpdf(, x,0,1) ( x) normcdf(, x,0,1) a) Undersøg hvordan dit værktøjsprogram betegner funktionerne. b) Tegn grafen for ( x ). Opfatter vi grafen for ( x) som en sumkurve, så kan vi spørge, hvilken observation der er knyttet til fx 80%=0,8. Svaret på dette spørgsmål findes ved hjælp af den omvendte funktion til ( x ). Den kaldes den inverse normalfordelingsfunktion og betegnes ofte invnorm(x,0,1). Fx gælder der: invnorm(0.8,0,1) = 0,84161, fordi ( ) 0.8 c) Opret i et regneark en søjle hørende til 10 %-fraktilerne: 0,1, 0,, 0,3, 0,9 og lad regnearket beregne en søjle med de tilsvarende x-værdier hørende til standardnormalfordelingen. Opret et punkplot af alle punkterne: (invnorm(0.1,0,1), 0.1), (invnorm(0.,0,1), 0.), (invnorm(0.9,0,1), 0.9) i samme koordinatsystem hvor du har tegnet grafen for ( x ). Det er indlysende, at punkterne i øvelsen ligger på grafen, da vi har konstrueret dem sådan. Men har vi nu i stedet, en række dataværdier, som vi antager er standardnormalfordelt, og opretter vi et punkplot bestående af følgende punkter: (dataværdiernes højre endepunkter, den kumulerede % i denne værdi) så skulle punkterne med tilnærmelse ligge på grafen for ( x ). Dette kan naturligvis generaliseres til normalfordelinger med middelværdi og spredning : Tegner vi sumkurven for et datasæt, som med tilnærmelse er normalfordelt med middelværdi og spredning, så vil sumkurven med tilnærmelse være lig med fordelingsfunktionen. Men det betyder omvendt, at vi kan anvende dette til at undersøge en antagelse om normalfordeling. Det kan stadig være svært at se, hvorvidt en given kurve er tæt ved en anden krum kurve. Derfor ønsker vi at transformere situationen, så vi får strukket graferne for fordelingsfunktionerne og sumkurverne ud, så de bliver rette linjer! Det gør vi på følgende måde: Den vandrette x-akse har en normal inddeling. Her afsættes datasættets højre intervalendepunkter. Den lodrette y-akse har en dobbelt inddeling, en synlig og en næsten skjult. Den skjulte er en akse med en normal inddeling, og med y=0 midt på aksen På den synlige akse afsættes 50% i 0. Dernæst afsættes

6 procenttallet 60 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.6) invnorm (0.6,0,1) 0.53, procenttallet 70 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.7) invnorm (0.7,0,1) 0.54, procenttallet 80 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.8) invnorm (0.8,0,1) 0.84, procenttallet 84, i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.84) invnorm (0.84,0,1) 1,00 procenttallet 97,7 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.977) invnorm (0.977,0,1),00 procenttallet 99,9 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.999) invnorm (0.999,0,1) 3,09 Procenttal under 50 bliver afsat i tilsvarende afstande i den negative retning af den skjulte akse. Fx afsættes procenttallet 15,8 i en afstand fra 0-punktet på 1 (0.158) invnorm (0.158,0,1) 1,00 Som vi ser, så betyder dette, at enheden på den skjulte akse er spredningen! Læg mærke til at mellem de to spredninger ligger der i alt 84,%-15,8%= 68,4%, som vi jo ved er gældende for normalfordelinger Det ligger i selve konstruktionen, at grafen for ( x) er en ret linje med hældning 1: Givet et tal x a på x- aksen, hvor afsættes den tilhørende værdi på sumkurven, y() a? Den afsættes i en afstand fra x-aksen på y a a. Dvs ligningen for fordelingsfunktionen bliver y x. 1 1 ( ) ( ( )) Lad os vende tilbage til vores datasæt. Vi undersøger om dette er normalfordelt ved at se på den såkaldte standardiserede z-score, der måler afstanden fra middelværdien µ i enheder af spredningen. Hvis observationerne X stammer fra en stokastisk variabel med middelværdi µ og spredning, er den standardiserede z-score derfor givet ved X Z. Den standardiserede Z-score er derfor centreret omkring 0 og har spredningen 1. (Læg mærke til, at dette svarer til, at vi ovenfor har isoleret Z i ligningen Y a Z b, hvor Z er standardnormalfordelingen). Hvis X nu rent faktisk er normalfordelt med middelværdi µ og spredning, vil Z derfor være standardnormalfordelt med middelværdi 0 og spredning 1. Det betyder at ligningen for fordelingsfunktionen for z i vores nye koordinatsystem er: x 1 y z x Dette er en ligning for en linje med hældningskoefficienten 1. Samtidig ser vi af det første lighedstegn, at hvor y 0 er x. Fortolkningen af dette er følgende: - Når vi afsætter punkterne til sumkurven i vores nye kordinatsystem, så vi, de med god tilnærmelse følge en ret linje, hvis X er normalfordelt. - Den rette linje skærer x-asken i (,0). - Når vi går frem på x-aksen går vi 1 op til den rette linje. Men 1 enhed på den skjulte y-akse svarer til den %-afvigelse fra middelværdien, der giver 1 spredning. Derfor kan spredningen aflæses ved at bestemme, hvor linjen skærer den vandrette linje med ligning y 1 (i det skjulte koordinatsystem). Det særlige koordinatsystem, vi har behandlet her, kaldes et normalfordelingspapir. Du kan hente et eksmplar af et sådant papir her.

7 Med baggrund i denne fortolkning ser vi, at vi i praksis ikke behøver udregne z-værdierne, men kan gå direkte til de oprindelige dataværdier. Øvelse 7 Opret nu en tabel med en intervalinddeling af brudstyrkerne og med de kumulerede procenter. Afsæt sumkurven i et normalfordelingspapir og vurder om det er normalfordelt. Aflæs i givet fald middelværdi og spredning, og sammenlign med de tidligere bestemte værdier. Øvelse 8 En stokastisk variabel X er normalfordelt og: P (X 7) 0.05 og PX ( 3) 0.40 Tegn på et normalfordelingspapir grafen for fordelingsfunktionen for X. Bestem grafisk middelværdi og spredning for X. Bestem PX ( 1.5) Øvelse 9 En normalfordelt stokastisk variabel X har middelværdi 7 og spredning. Bestem P(5 X 8) både ved grafisk metode og ved beregning Øvelse 10 En virksomhed fremstiller metalplader. Ved kontrol af pladetykkelsen har man fundet, at 1,% af pladerne har en tykkelse under 14,0mm, og at 95,4% har en tykkelse under 16,0mm. Det antages at pladetykkelsen er normalfordelt. Bestem middelværdi og spredning for pladetykkelsen. Øvelse 11 Ved en sortering af en ærtehøst inddelte man ærterne i tre kategorier: fine, mellemfine og store. I det følgende antager vi, at diameteren af en ært kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi 9,4mm og spredning 1,3mm. a) Bestem både grafisk og ved beregning hvor mange procent af ærterne, der har en diameter mindre end 7,0mm. Man foretager inddelingen i de tre kategorier således, at de mindste 30% kaldes fine og de mellemste 45% kaldes mellemfine. b) Bestem hvilken diameterstørr4else der udgør grænserne mellem de tre typer af ærter. Øvelse 1 I Øvelse 8.7 i B-bogen er gengivet datamaterialet fra Michelsohn og Newcombes forsøg på at bestemme lysets hastighed. De foretog i juli-september præcisionsmålinger ved hjælp af en forsøgsopstilling, der er beskrevet nærmere i øvelsen. a) Hent data. Vurder om der er outliers, der skal lægges til side. I øvelse 8.7 er der gennemført en undersøgelse af dat ved hjælp af histogrammer og sammenligning med en normalfordelingsgraf. Her vil vi inddrage den nye metode: b) Træk 4800 fra alle tallene og foretag dernæst en gruppering af materialet i intervaller, fx med bredde 1, udregn de kumulerede procenter og tegn en sumkurve i et normalfordelingspapir.

8 c) Det er rimelig antagelse, at målingerne er normalfordelte. Bestem grafisk middelværdi og spredning. d) Hent på nettet oplysninger om lysets faktiske hastighed. Hvor stor er afstanden, målt i antal spredninger, mellem Newcombes og Michelsons værdi og den i dag accepterede værdi. Kan forskellen forklares ud fra statistisk usikkerhed, eller skal andre firklaringer inddrages. I et projekt om t-test, der er et test som anvendes til at vurdere på og sammenligne middelværdier, vender vi tilbage til dette datamateriale, og gennemfører et egentlig test på det som vi vurderer på i punkt d).

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Normalfordelingen. Erik Vestergaard

Normalfordelingen. Erik Vestergaard Normalfordelingen Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: jakobkramer.dk/jakob Kramer Side 7: istock.com/elenathewise Side 8: istock.com/jaroon

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Grupperede observationer

Grupperede observationer Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

χ 2 test Formål med noten... 2 Goodness of fit metoden (GOF)... 2 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)...

χ 2 test Formål med noten... 2 Goodness of fit metoden (GOF)... 2 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)... χ Indhold Formål med noten... Goodness of fit metoden (GOF)... 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)... ) χ -fordelingerne (fordelingsfunktionernes egenskaber)... 6 3) χ -

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger.

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger. Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen At bestemme kvartilsæt Indhold - At finde kvartilsæt i ikke-grupperet datamateriale (link til dokumentet her) - At bestemme kvartilsæt ved hjælp af Excel (link til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilaget indeholder den tekniske beregning af omkostningsækvivalenterne til brug for benchmarkingen 2013. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 2013/14

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

En statistisk analyse af aktieafkast

En statistisk analyse af aktieafkast En statistisk analyse af aktieafkast Af cand.scient.oecon. Erik Christiansen IBC Kolding Efterår 2008 Forord Kan man ved bruge af statistiske modeller og de historiske aktiekurser forudsige fremtidens

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

ANVENDT STATISTIK (med anvendelse af Excel)

ANVENDT STATISTIK (med anvendelse af Excel) MOGENS ODDERSHEDE LARSEN ANVENDT STATISTIK (med anvendelse af Excel) Hyppighed 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 6,94 7,0 7,1 7,18 7,6 7,34 7,4 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed. udgave 008 FORORD Notatet er bygget op

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere