SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

Transkript

1 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne passer sammen. Afsnit 0 indeholder opgaver der drejer sig om komplekse tal, og som er beregnet til første øvelsesgang (der jo finder sted før forelæsningsstart). Der vil bliver henvist til dem med Sm.n. Enkelte opgaver er hentet fra I. Stewart & D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press. Den blev brugt tidligere her på stedet, og jeg vil henvise til den med S&T. 0. Komplekse tal... S 0. (trick). Vis identiteten (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu yv) 2 + (xv + yu) 2 for alle x,y,u,v R på en smart måde, fx ved brug af komplekse tal og deres regneregler. Hvad siger det om mængden {a 2 + b 2 a,b N}? S 0.2 (jf. opg. nr. 0.3). Lad z og w være komplekse tal. Opfattes de som 2-vektorer (dvs. i R 2 ), har de et indre produkt z,w. Beregn dette udtrykt ved z og w (og funktionerne Re og Im). S 0.3 (jf. opg. nr. 0.2). Lad z og w være komplekse tal. Betragt i den komplekse plan C parallelogrammet {sz + tw 0 s, t }. Beregn dettes areal udtrykt ved z og w. S 0.4 (reel kvadratrod). Lad f = være den sædvanlige kvadratrodsfunktion : R + R +. Bevis at f(xy) = f(x)f(y) for alle x,y R +. S 0.5 (kompleks kvadratrod). I et kladdehefte fra 788 blev følgende udregning fundet: Hvor gik det galt? = = ( )( ) = = i i = S 0.6 (inversion af [Re z = ]). Beskriv mængden (en kurve i C) { + it t R} Angiv på en tegning kurvepunktet svarende til forskellige tidspunkter, fx t =, 2,, /2,0,/2,,2,.

2 S 0.7 (cirkelligningen: et eks.). Bestem kurven givet ved ligningen z 2 8z 8z = 0 (jargon for {z C z 2 8z 8z = 0}). S 0.8. Løs ligningen z 4 2z 3 27z + 54 = 0 Indtegn rødderne i den komplekse plan. Betegn de fire rødder med α j,j =,2,3,4, og beregn j α j, j<k α jα k, j<k<l α jα k α l og j α j S 0.9 (Billedet af en linje ved en Möbius-transformation). Beskriv mængden (en kurve i C) { t + 3i t + i t R} S 0.0 (cirkelligningen: generelt). Vis at en cirkel(periferi) i den komplekse plan har ligningen a z 2 + bz + bz + c = 0 hvor a,c R og b C. Hvilke betingelser skal koefficienterne a, b, c yderligere opfylde for at ligningen fremstiller en cirkel, men ikke et punkt, en ret linje eller den tomme mængde? Vis at ligningen fremstiller en af mængde af en af de hidtil nævnte slags: cirkel, linje, punkt og. S 0. (forholdscirkel, S&T s. 9). Hvis λ er et positivt reelt tal, vis at {z C z = λ z } er en cirkel medmindre λ antager et bestemt værdi (hvilken?). S 0.2 (midtnormal, S&T, s. 20). Beskriv (verbalt) og tegn mængden Forklar resultatet geometrisk. {z C z < z + } S 0.3 (Möbius-transformation på cirkler og linjer, S&T s. 2 let redigeret). Lad α,β,γ,δ C med αδ βγ. Definer ϕ ved ϕ(z) = αz + β γz + δ indtil videre kun på den punkterede plan C \ { δ/γ}. Vis at ϕ afbilder bijektivt på C \ {α/γ}. Vis at den afbilder cirkler på cirkler. Hvad med cirkler som går gennem δ/γ? S 0.4 (tan 5 ). Find ( + i) /3 (dvs. find de tre rødder ligningen z 3 = + i). Udled heraf et (præcist) udtryk for tan θ hvor θ = π/2 = π 2

3 S 0.5. (a) For hvilke z C eksisterer lim n z n? (b) Betragt for z C delmængden A z = {z n n =,2,3,... } af C. Vi ser på de fire egenskaber begrænset, lukket (i C), kompakt, diskret (betyder at enhver delmængde er åben i den relative topologi). Afgør for hver af disse egenskaber hvilke A z der har egenskaben. (c) Angiv for hvert z afslutningen A z (i C ).. Holomorfe funktioner Endnu ingen supplerende opgaver hertil. 2. Kurveintegraler og stamfunktioner S 2.. Betragt kurven γ(t) = e it, 0 t π (og tegn den). Beregn kurveintegralet γ f(z)dz for hver af funktionerne (i) /z2, (ii) /z, (iii) cos z, (iv) sinhz, (v) (exp(z)) 3, (vi) tan z. Ingen supplerende opgaver hertil. 3. Cauchys sætninger 4. Anvendelse af Cauchys integralformel Ingen supplerende opgaver hertil. 5. Argument. Logaritme. Potens S 5.. Vedr. CB-opg 5.4: T har ingen kontinuert argumentfunktion. Et alternativt bevis kan gennemføres indirekte efter flg. udkast: Antag θ er en sådan. Så er θ(z/ z ) en kontinuert argumentfunktion på C\{0}. Men C\{0} har ingen kontinuert argumentfunktion (hvorfor?). S 5.2. Betragt ellipsen med halvakser a > 0 og b > 0 og parameterfremstilling γ(t) = acos t + ibsin t for 0 t 2π, og benyt det geometrisk indlysende at ω(γ,0) = til at beregne 2π 0 a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t dt (Brug integralformlen for omløbstal, forlæng tæller og nævner med γ(t) og del op i real- og imaginærdel). S 5.3. I en tabel over ubestemte integraler slås følgende op: a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t dt = arctan(b tan t) =: F(t) a Vis at det er rigtigt! Men F(2π) F(0) = 0. Det kan tydeligvis ikke være det bestemte integral i den foregående opgave. Hvad er gået galt? S 5.4. Betragt f(z) =. Gør rede for at den er holomorf på C \ {i, i}. +z 2 Find komplekse tal a og b så f(z) = a z i + b z+i. Udregn kurveintegralerne γ f(z)dz hvor γ er kurven 3

4 () z i = med positivt omløb (2) z + i = med positivt omløb (3) z = 2 med positivt omløb S 5.5. Lad γ og γ 2 være to lukkede kurver i C \ {0} med samme parameterinterval [a,b]. Definer kurven γ(t) = γ (t)γ 2 (t). Gør rede for at den er en lukket kurve i C \ {0}. Vis at ω(γ,0) = ω(γ,0) + ω(γ 2,0) 6. Nulpunkter og isolerede singulariteter I dette afsnit betegner G stedse et område i C. S 6.. Lad a G og f,g H(G). Antag at f har et nulpunkt af orden m i a, og g har nulpunkt i det samme a af orden n. Find ordenen af nulpunktet for fg i a. Samme spørgsmål som ovenfor for poler (med f,g H(G \ {a})). S 6.2. Lad a G og f,g H(G \ {a}). Antag at f har et nulpunkt af orden m i a (herunder at singulariteten er hævelig), og g har en pol i det samme a af orden n. Afgør for hvert m,n arten af singulariteten for fg, herunder angiv udtryk for nulpunkts- og polorden i a. S 6.3. Formuleringen af resultaterne i de to foregående opgaver simplificeres betydeligt med flg. to konventioner: (i) Hvis f i a har en pol of orden n, siges f at have et nulpunkt af orden n og (ii) hvis f har en hævelig singularitet i a med f(a) 0, siges f at have et nulpunkt af orden 0. Find og bevis en formel for ordenen af nulpunktet for fg i a udtrykt ved de to faktorers nulpunktsorden i a. S 6.4 (den meget lille residuesætning). Antag f er holomorf på G \ {a}) med en simpel pol i a. Tallet lim z a f(z)(z a) er i simpel-pol-tilfældet hvad man kalder for residuet for f i a, i symboler Res(f(z),z = a). Lad r > 0 være så lille at K(a,r) G, og betragt randkurven γ = K(a,r) med positivt omløb. Vis at f(z)dz = Res(f(z),z = a) 2πi K(a,r) Vis at Res(f(z),z = a) = d dz ((z a)2 f(z)) z=a (idet selvfølgelig højresiden skal forstås på rette måde, nemlig hvilken?). S 6.5. Vis at f(z) = cos z har en pol z = 0. Hvad er polens orden? Indse (næsten) uden at regne at koefficient nr. i laurentrækken for f omkring 0 er 0. Find et komplekst tal c så g(z) = f(z) + c har en hævelig z 2 singularitet i 0, og angiv g(0). Løs ligningen cos z =, (z C), og angiv konvergensradius (den ydre) for laurentrækken for f omkring 0. Har f(z) en stamfunktion på konvergenscirkelringen? S 6.6. Gør rede for at funktionen f(z) = z +3i er holomorf på ringområdet {z < z < 3}, og find dens laurentrække på dette område. 4 z i +

5 S 6.7. Betragt f(z) = cos z (z π) 2. Gør rede for at z = π er en pol for f, angiv polens orden, og beregn laurentrækken for f omkring dette punkt. S 6.8 (følgekaraterisering af isolerede singulariteter). Flg. tre egenskaber for f H(G \ {a}) karakteriserer sigularitetens art: () Der findes et tal c C så for enhver følge z n med z n a og z n a gælder f(z n ) c (2) For enhver følge z n med lim z n a og z n a gælder f(z n ) for n. (3) For ethvert tal c C findes en følge z n med z n a og z n a så der gælder f(z n ) c Afgør hvilke egenskaber karakteriserer hvilke typer af singulariteter, og bevis hvad du finder frem til. 7. Residuer og deres anvendelse S 7.. Lad f(z) = z 3e iarg(z) 3 være hovedgrenen af kubikrodsfunktion i den opskårne plan G = C \ {t + i0 t R,t 0}. Betragt g(z) = f(z) 2 4. Find singulariterne for g, bestem deres art og beregn residuerne i de fundne punkter. S 7.2. Lad f være holomorf på den udprikkede cirkelskive K (0,r). Antag at f er ulige: f( z) = f(z). Vis at laurentrækken for f omkring 0 kun indeholder led med ulige eksponent. Samme spm. for en lige funktion: f( z) = f(z). Beregn residuet ( ( sin z ) ) 5,z Res = 0 sinhz S 7.3. Lad f være holomorf på G = K (0,π), og antag at f(z) cot z for alle z G. Vis at singulariteten i 0 er enten hævelig eller en simpel pol. Ny oplyses yderligere at f opfylder ulighederne f( n ) n for alle n N. Vis at så er singulariteten hævelig. S 7.4. Lad f H(G \ {a}) opfylde lim n f(a + n ) = og lim n f(a + ) = 2. Vis at singulariteten i a er væsentlig. i n S 7.5. Bestem residuet Beregn kurveintegralet Res(cot z,z = 0) γ cot z dz hvor γ er enhedscirklen gennemløbet positivt. Gør rede for at sin z er nulpunktsfri på den udprikkede cirkelskive K (0,π), men at den ikke har nogen kontinuert logaritme på den mængde. 5

6 S 7.6. Bevis for ethvert n N at d dz cotn z = n cot n z n cot n+ z Sæt r n = Res(cot n z,z = 0) for ethvert n N, og find en rekursionsformel for følgen (r n ). Find til sidst et eksplicit udtryk for r n. S 7.7. Bestem residuet Res( sin 3,z = 0) z S 7.8. Bestem for n N residuet ( ) Res ( + z 2 ) n,z = 0 6