Matematiklærerdag 2008

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Matematiklærerdag 2008"

Ella Kronborg
7 år siden
Visninger:

1 Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008

2 Matematik og kemi.

3 Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit efter Jørgen Brandt.

4 Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit efter Jørgen Brandt. Baseret på noter der kan findes på web-adressen

5 n 2 n + n = (n2 + n) ØØ Ö Ø Ö Ø ÑÔÐ Ô ÈÓÐÝ³ ÓÖÑÐº Ø ÖÐÚÒØ ³ÝÐÔÓÐÝÒÓÑ Ñ³ Ö Ö Z C2 (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 2) ÖÙÔÔÒ Ö ÔÖ ÖÙÒÒ Ö Ò ÝÐ ÖÙÔÔ Ñ ØÓ ÐÑÒØ 2º Ø ÑÖ ÖÐ Ø ÔÖÓÐÑ Ö ÐÒ ÑÔÐ ½º¾ Ä S ÚÖ Ø ÙÐ ØÓ¹ ÐØ ÓÖÑ Ò ÖÙÐÖ ¹ÒØº Ì ÚÖØ ÙÐ ØÓØÓÑ Ò Ò Ø ÑÓÐÝÐ Ö ÑÒÒ C = {H, Cl}º ËÝÑ ØÖÖÒ ØÖ ÖÙÑÐµ ÖÓØØÓÒÖ ¹ÒØÒº ÀÚÓÖ ÑÒ ÓÖ ÐÐ ÓÐÝÐÖ Ö Ö ÀÚÓÖ ÑÒ ÓÖ ÐÐ ÑÓÐÝÐÖ Ö Ö Ñ ÒØÓÔ C ÓÑÖ Cl H H Cl H Cl ÙÖ ½ ÊÙÐÖ ¹ÒØ ÚÒÖ ÒÖ ØÐ ØÐ ØØ ÑÔÐº

6 Hvis S betegner hjørnerne i benzen-ringen er problemet at bestemme antallet af funktioner f : S C (= {H,Cl}) som giver anledning til forskellige molekyler.

7 Hvis S betegner hjørnerne i benzen-ringen er problemet at bestemme antallet af funktioner f : S C (= {H,Cl}) som giver anledning til forskellige molekyler. Gruppen Σ S af alle permutationer af S virker på disse funktioner: g f (s) = f ( g 1 s ) Det tal vi søger er antallet af baner for virkningen af den undergruppe G Σ S som svarer til rumlige transformationer, dvs. drejninger og rotationer, men ikke spejlinger!

8 Polya s formel Theorem Antallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er 1 C c(g) G g G hvor c(g) betegner antallet af g s baner i S.

9 Polya s formel Theorem Antallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er 1 C c(g) G g G hvor c(g) betegner antallet af g s baner i S. Bemærk at ved brug af denne formel bliver problemet ikke sværere ved at tillade flere slags atomer, f.eks. H,Cl og Br.

10 Polya s formel Theorem Antallet af ikke-ækvivalente farvninger (forskellige molekyler) er 1 C c(g) G g G hvor c(g) betegner antallet af g s baner i S. Bemærk at ved brug af denne formel bliver problemet ikke sværere ved at tillade flere slags atomer, f.eks. H,Cl og Br. Jørgen Brandts noter håndterer også farvninger med vægte som gør det let at tælle, f.eks. antallet af forskellige molekyler med netop 3 klor atomer.

11 Et citat The hot topic among medicinal chemists today is a novel technique for chemical synthesis in drug research called combinatorial chemistry, where usually a core structure and some building-block molecules are given and all combinatorially possible combinations are produced. The resulting set of compounds (called a library) can afterwards be systematically screened for a desired biological activity (Thomas Wieland, Journal of Mathematical Chemistry, 1997)

12 Matematik og kemi.

13 Matematik og kemi. Punktgrupper.

14 Matematik og kemi. Punktgrupper. Baseret på noter der kan findes på web-adressen

15 Beslutningstræ til bestemmelse af et molekyles punktgruppe Molekyle D h i? I h C 5? Lineaert? C v To eller flere C n, n > 2? i? O h T d n C 2? C n?

16 Symmetrier En symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n R n : f (x) f (y) = x y.

17 Symmetrier En symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n R n : f (x) f (y) = x y. Theorem En symmetri har formen f (x) = L(x) + b, hvor L er en lineær symmetri og b R n er en fast (translations)vektor.

18 Symmetrier En symmetri i R n er en afstandsbevarende afbildning f : R n R n : f (x) f (y) = x y. Theorem En symmetri har formen f (x) = L(x) + b, hvor L er en lineær symmetri og b R n er en fast (translations)vektor. Heraf følger at en symmetri er invertibel, og den inverse er selv en symmetri: f 1 (x) = L 1 (x) L 1 (b). Symmetrierne udgør en gruppe.

19 Rotation z x f(x) x y Rotation om en akse

20 Spejling Spejling i en plan

21 Dreje-spejling z x x y f(x) En dreje-spejling

22 Symmetri- og punktgrupper En gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når der findes et punkt x 0 R n så f (x 0 ) = x 0 f G.

23 Symmetri- og punktgrupper En gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når der findes et punkt x 0 R n så f (x 0 ) = x 0 f G. Lad M R n være en delmængde. Så er Sym(M) = {f : R n R n : f er en symmetri og f (M) = M} en gruppe - symmetrigruppen for M.

24 Symmetri- og punktgrupper En gruppe G af symmetrier f kaldes for en punkt-gruppe når der findes et punkt x 0 R n så f (x 0 ) = x 0 f G. Lad M R n være en delmængde. Så er Sym(M) = {f : R n R n : f er en symmetri og f (M) = M} en gruppe - symmetrigruppen for M. Theorem Symmetrigruppen for en begrænset delmængde M R n er en punktgruppe.

25 Ækvivalente punktgrupper To punktgrupper, G 1 og G 2, er konjugerede - og dermed ens - når der findes en symmetri g så gg 1 g 1 = G 2.

26 Ækvivalente punktgrupper To punktgrupper, G 1 og G 2, er konjugerede - og dermed ens - når der findes en symmetri g så gg 1 g 1 = G 2. OBS: Isomorfe punktgrupper kan sagtens være forskellige!!

27 Ækvivalente punktgrupper To punktgrupper, G 1 og G 2, er konjugerede - og dermed ens - når der findes en symmetri g så gg 1 g 1 = G 2. OBS: Isomorfe punktgrupper kan sagtens være forskellige!! Beslutningstræet angiver en algoritme til at bestemme punktgruppen for et givet molekyle. Diagrammet indeholder dermed en liste af alle punktgrupper der kan optræde for molekyler. (Og det er langt fra alle punktgrupper der kan.)

28 Om noterne Indeholder:

29 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2.

30 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2. - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner.

31 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2. - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner. - Generaliseringer til 3 dimensioner anført uden bevis.

32 Om noterne Indeholder: - Alle ovennævnte udsagn præciseret og bevist for n = 2. - Forudsætningerne er små: Vektorregning i 2 dimensioner. - Generaliseringer til 3 dimensioner anført uden bevis. - Kemikernes notation for punktgrupper og beslutningstræet.

33 Vands punktgruppe Molekyle D h i? I h C 5? Lineaert? C v To eller flere C n, n > 2? i? O h T d n C 2? C n?

34 Vands punktgruppe - fortsat n C 2? C n? (3) D nh σ h? D nd nσ d? C nh σ h? C s σ? D n C i i? C nv n σ v? S 2n S 2n? C n C 1

Relaterede dokumenter

ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒØº ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ