Morse-teori. Forelæsninger af Marcel Bökstedt og Andrew du Plessis. Kompileret: 19. februar 2016, kl. 14:01

Transkript

1 Morse-teori Forelæsninger af Marcel Bökstedt og Andrew du Plessis Kompileret: 19. februar 2016, kl. 14:01 Dette er noter til kurset Morse-teori, afholdt i foråret 2014 på Institut for Matematik, Aarhus Universitet. Noterne vil sikkert mangle både tegninger og korrekturlæsning. Derudover er de fyldt med små noter til mig selv og manglende beviser. De bygger på en hvis baggrund i algebraisk topologi og differentialgeometri, så der vil sikkert også mangle definitioner af almindeligt kendte ting. Forelæsning 1, onsdag 29/01/2014 Introduktion Kurset kræver lidt viden om glatte mangfoldigheder (hvad er en glat mangfoldighed, en delmangfoldighed, et vektorfelt, en glat funktion etc.) og måske lidt basal algebraisk topologi (fra introduktion til topologi). Derudover flytter vi forelæsningen om onsdagen (pga. QGM seminar) til mandag, måske kl men vi skal lige se om vi kan få tid. Hvad er Morse-teori? Vi tager en hurtig gennemgang uden så mange definitioner. En glat mangfoldighedm n er et lokalt euklidisk topologisk rum hvor kortene på M passer sammen. For en sådan kan vi definere glatte afbildninger M R, hvilket er afbildninger hvor sammensætningen med kort på M er glatte. Diffeomorfier defineres som sædvanlig. Eksempel 1. En torus T R 3 har en højde-funktion h : T R. Med denne funktion kan vi definere T a = {x T h(x) a} Hvis a 0 er højden af det laveste punkt p på torusen er T a = for a < a 0. For de andre værdier kan man se på følgende tegning. Bemærk at homotopi-typen for T a ikke ændrer sig når vi ikke varierer a forbi en af de kritiske værdier h(q) og h(r). Det vi gør når vi passerer en kritisk værdi er at lime en disk på. For et topologisk rum Y og en afbildning f : S n 1 Y kan vi danne Y e n = Y e n /(e n S n 1 a f(a) Y) 1

2 Definition 2. Et punkt p M er et kritisk punkt for f hvis D p f : T p M R er triviel. Hvis vi opskriver dette i lokale koordinater får vi at p er kritisk hviss ( ) f D(f ϕ 1 U )(p) = f x 1,..., x n (p) = 0 og p er ikke kritisk hvis der findes en omegn U af p så f 1 (f(p)) U er en delmangfoldighed af dimension n 1. Beviset for dette følger af implicit funktionssætning. De kritiske punkter for f : M R er ikke ens. Definition 3. Et kritisk punkt p er ikke degenereret hvis der er en omegn U så Hess(f ϕ 1 U )(ϕ U(p)) er ikke degenereret, hvor Hess(g) = 2 g x 1 x 1 2 x 2 x 1. 2 g x 1 x g x 2 x... 2 og denne er ikke-degeneret hvis den er invertibel. Anden del af forelæsningen er ikke medtaget da jeg tog til seminar. Næste forelæsning bliver introducerende differential-geometri svarende til første (andet?) kapitel i Johan Duponts noter. Forelæsning 2, fredag 31/01/2014 Introducerende differential-geometri. Den interesserede læser kan slå efter i Johan Duponts noter. Forelæsning 3, mandag 03/02/2014 Flere indledende definitioner. Vi ser på en glat afbildning f : M R og et kritisk punkt p M, hvilket vil sige at D p f = 0. Vi ser på Hessianten for f, hvilket vi definerer som H(f)(v,w) = i,j 2 f x i x j (v i )w j hvor vi har valgt et kort (U,x) omkring p. Vi skal tjekke at dette er veldefineret, hvilket vil sige at vi skal se at et andet kort (V,y) om p skal have H(f)(v,w ) = i,j 2 f y i y j (v i )w j 2

3 Ved at bruge kædereglen får man at hvis p er et kritisk punkt er disse to ens. Hessianten giver os en bilineær, symmetrisk afbildning H(f) : T p M T p M R og vi bruger lidt tid på at genopfriske/lære lineær algebra om sådanne. Eksempelvis at en ikke-degenereret, bilineær, symmetrisk afbildning H har en basis w 1,...,w h så { 0 i j H(w i,w j ) = ±1 i = j og vi vil ordne basen så de negative kommer først. Dermed får vi en opdeling V = V V + med H positiv definit på V + og negativ definit påv. Denne opdeling afhænger af vores valgte basis, men dimensionen af de to skulle være uafhængig af valget. Definition 4. For en symmetrisk, bilineær afbildning H : V V R definerer vi index(h) = max { dimv V V } Lemma 5. Indekset af H er uafhængig af det valgte V. Bevis. Det er klart at index(h) dimw for alle underrum hvor H er negativ definit. Og hvisw V er et underrum hvorh er negativ definit, så erw V + = 0, hvilket giver at 0 = dimw V + dimw +dimv + dimv = dimw dimv Ved at tage et maksimum får vi at de skal være lig hinanden. Definition 6. Et kritisk punkt p er ikke degenereret hvis deth(f) 0. Lemma 7 (Morse lemma). Om et ikke degenereret kritisk punkt p findes der en koordinatomegn så f = f(p) (u 1 ) 2 (u 2 ) 2 (u λ ) 2 +(u λ+1 ) 2 + +(u n ) 2 Tallet λ der indgår er indekset for H p (f). Korollar 8. Hvis p er et ikke degenereret kritisk punkt for f, så findes der en åben omegn U om p hvori p er det eneste kritiske punkt. Bevis. Dette gøres ved at udregne de dobbelt afledte for f i koordinatsystemet giver ovenfor: f u j = ±2uj Bevis. Vælg koordinater (x 1,...,x n ) så x(p) = 0. Da p er kritisk er f x j (p) = 0. Ved et lemma der blev vist sidste gang er f(x 1,...,x n ) = x j g j (x 1,...,x n ) 3

4 hvor g j = f x j igen er 0 i p = 0. Dermed får vi ved brug af samme lemma at f(x) = i,j x i x j g i,j Vi ved at g 1,1 (p) = H p (e 1,e 1 ) 0 så ved at formindske vores omegn kan vi antage g 1,1 (q) 0 for alle q U. Dermed bliver g 1,1 (q) en glat funktion der aldrig er 0. Definer v 1 = g 1,1 x 1 + g 1,2(q) g1,1 (q) x og v j = x j for j 2. Ved at udregne får man at f er på formen (v 1 ) 2 = g 1,1 (x 1 ) 2 +g 1,2 x 1 x m i,j x i x j i,j 2 f(q) = ±(v 1 ) 2 + v i v j g i,j (q) i,j 2 (dette er bare f med g 1,1 x 1 x 1 indsat). Ved at nedskrive tangentafbildningen som en endomorfi af R n ser man at Jakobianten er øvre triangulær og invertibel (da vi kun ændrer på x 1 ) så vi ved at udskifte x 1 med v 1 er en diffeomorfi i en omegn af p. I pausen bliver det besluttet at der skal være et almindeligt målepunkt. En opgave man kan hygge sig med bliver også nævnt og vil blive lagt på aula. Der vil måske blive gennemgået opgaver til forelæsningen en gang imellem (fredag?). En del af Morse-teori er at vise at forskellige mængder er diffeomorfe, eksempelvis når man fylder en torus med vand. Definition 9. En afbildning ϕ : R M M er en 1-parameter familie af diffeomorfier hvis ϕ t : M M er en diffeomorfi. ϕ t+s = ϕ t ϕ s Bemærkning 10. Specielt er ϕ 0 = id, da ϕ 0 ϕ 0 = ϕ 0 og vi kan sammensætte med ϕ 1 0. Vi siger at en familieϕer frembragt af vektorfeltetx påm hvisd (0,q) ϕ(e 1,0) = X q, altså hvis den afledte i 0 af er X q for alle q. Alternativt ved c q : t ϕ(t,q) ϕ t t=0= X ϕ 0 Vi vil generelt konstruere diffeomorfier ud fra vektorfelter, da det er lettere. Vi viser det sædvanlige lemma, at hvis vi har et vektorfelt på M så kan vi lokalt (dvs. for omegne ( ǫ,ǫ) U) finde 1-parameter familier der bliver glatte. For at lave dem defineret på hele R M må vi indskrænke os lidt. 4

5 Lemma 11. Antag at X er et glat vektorfelt på M og at X = 0 uden for en kompakt mængde K. Så er 1-parameter familien af diffeomorfier som X frembringer entydig og defineret på hele R M. Bevis. Bliver ikke skrevet ned. Det er Lemma 2.4 i Milnor. På fredag kommer der en liste med eksempler på kritiske punkter. Forelæsning 4, fredag 07/02/2014 Sidst definerede vi en 1-parameterfamilie af diffeomorfier og så at en sådan gav et vektorfelt ϕ : M R M X q = d dt t=0 ϕ(q,t) Tilsvarende viste vi at hvis X er et vektorfelt der er 0 uden for en kompakt delmængde, så kunne vi finde en entydig 1-parameterfamilie af diffeomorfier der frembragte X. Bemærkning 12. Dette er kernen i Morse-teori. Det er let at konstruere vektorfelter, men svært at konstruere diffeomorfier. Lad M være en mangfoldighed og f : M R være en Morse-funktion (så alle kritiske punkter er ikke-degenererede). Vi så sidst at vi så i en omegn af et kritisk punkt p kunne finde koordinater så f = f(p) (x 1 ) 2 (x λ ) 2 +(x λ+1 ) 2 + +(x n ) 2 Definition 13. Hvis f : M R er en Morse-funktion kan vi ved at tage differentialet i et punkt q få df q : T q M R så df q Tq M, og ved at bruge en Riemannsk metrik giver dette et vektorfelt ξ på M. Dette vektorfelt kaldes gradienten af f, grad(f). Bemærkning 14. Der er mange valg af metrikker. Men af filosofiske grunde betyder det ikke så meget, da vi mellem to metrikker kan lave en konveks linear kombination. Dermed er alle metrikker homotope. Hvis c er flowet for grad(f), så er og ved at udregne ċ(t) = grad(f) c(t) df dt (c(t)) = df(ċ(t)) = grad(f) c(t) 2 = ρ(t) Vi vil se på niveaukurverne for f og bruge gradienten. 5

6 Sætning 15. Lad f være en Morse-funktion på M og lad a < b. Så er f 1 ((,a]) = M a M b = f 1 ((,b]) Antag at f 1 ([a,b]) er kompakt og ikke indeholder nogen kritiske punkter for f. Så er M a diffeomorf til M b. Bevis. Lav et vektorfelt X p = 1 ρ(p) grad(f) p hvor ρ(p) 0 da p ikke er et kritisk punkt (så df p 0). Så kan vi finde en 1-parameter famiie af diffeomorfier, ϕ t, der frembringer X. Sæt c q (t) = ϕ t (q). Da bliver df dt (c q(t)) = df cq(0)(ċ q (0)) = grad(f) cq(0),x q = 1 Dermed er ϕ b a : M a M b en diffeomorfi. Vi har også inklusionen i : M a M b. Lemma 16. Under de samme antagelser findes der en glat afbildning r : M b M a så r i = id og i r er isotop til identiteten. Bevis. En tegning. Vi definerer r ved at på M a er den identiteten og i M b M a følger vi integralkurven for vektorfeltet X, fra p til M a. Isotopien den anden vej får man ved at følge integralkurven tilbage. Bemærkning 17. Dette er noget der gælder mere generelt for topologiske rum. Hvis X Y er en inklusion, så er en retraktion en afbildning r : Y X så r i = id og i r id. En deformations-retraktion er en retraktion så homotopien i r id opfylder at F(x,t) = x for alle x X. Det vi har vist i lemmaet er at inklusionen M a M b er en deformationsretraktion. Herefter fulgte en kort historie om funktorer Top/h Grp. Morse-teori handler om at opbygge mangfoldigheder ud fra niveau-fladerne. Vi har vist at under nogle antagelser sker der ikke noget så længe vi ikke bevæger os forbi et kritisk punkt. Eksempel 18. Hvis vi har to variable får vi f(x,y) = x 2 +y 2 grad(f) = ( 2x,2y) og det fine diagram. Næste gang vil vi analysere dette i alle detaljer. Forelæsning 5, mandag 10/02/2014 I dag er det opgaveregning. Opgaverne findes på aula. 6

7 Opgave 1 Vis at hvis M N er en delmangfoldighed, så er M en mangfoldighed. M er et underrum af et Hausdorffrum, så M er Hausdorff. Samme argument giver at M er andentællelig. Ved at tage et atlas for N hvor kortene opfylder at x i U M = 0 får vi et atlas for M, så M er en mangfoldighed. Vis at S n R n+1 er en delmangfoldighed. Vi skal finde kort ir n+1 der opfylder betingelsenx n+1 (p) = 0 for allep S n. Se på delmængden S n + = { (x 1,...,x n+1 ) R n+1 (x 1 ) 2 + +(x n ) 2 < 1,x n+1 > 0 } S n med kortet (x 1,...,x n+1 ) (x 1,...,x n,x n+1 ) 1 (x 1 ) 2 (x n ) 2 På denne er S n præcist de punkter hvor sidste koordinat er nul. Vis noget om kvadratet M = { (x 1,x 2 ) x 1 + x 2 = 1 } Vi tegner os ud af at det er et atlas. Hvis det var en delmangfoldighed ville en glat funktion på R 2 give os en glat funktion på M. Men vi kan se på e.g. { (x 1 +) 1 (1+y,y) y < 0 (y) = (1 y,y) y > 0 Men hvis vi sammensætter med projektionen på første koordinat er denne funktion ikke glat i y = 0. Opgave 2 Vis at en samling tangentvektorer {X p } definerer et glat vektorfelt hvis og kun hvis X(f)(p) = X p f er glat for alle glatte funktioner f. Vi siger at et vektorfelt X p = [x,v p (x)] er glat hvis funktionen x(u) p v p (x) R n er glat. Herefter blev det et notationshelvede. Kig på koordinatfunktionerne på et kort. Vi prøver igen. ξ : p ξ p T p M er et vektorfelt, og med dette kan vi på et kort (U,x) definere et vektorfelt Y : x(u) R n med Y = (y 1,...,y n ) og vi siger at ξ er glat hvis og kun hvis Y er glat. For en glat funktion f er Y(f) = y i f x i 7

8 som er glat hvis y i er glat. Vi skal vise at Y(f) glat for alle f hvis og kun hvis ξ glat. Vælg p U og sæt q = x(p). Vi skal vise at y i er glat i q. Regne regne og skrive ting ned. Opgave 3 Vis noget om en Morse-funktion på sfæren og dens kritiske punkter. For v n+1 > 0 er funktionen f(v) = 1 v1 2 v2 n og for v n+1 < 0 er den f(v) = 1 v1 2 v2 n Ved at differentiere får vi df dv i = ± v i f(v) og disse er alle nul hviss v i = 0 for alle i (hvilket er på nord- og syd-polen). På ækvator har vi f givet som f(v 1,..., 1 v1 2...,v i+1,...,v n ) = v n som ikke har nogen kritiske punkter. Vi skal derfor koncentrere os om nord- og syd-polen. På nordpolen får vi, for i j, f v i v j = 0 ved bare at aflede, og på diagonalen får vi f 2 v i = 1 Dermed er indekset n for nordpolen.og de samme udregninger giver indeks 0 for sydpolen (hvilket passer med at S n har CW-struktur med en 0-celle og en n-celle). Opgave 4 Springes over. Forelæsning Vi ser på en Morse-funktion f : M R og et ikke-degenereret kritisk punkt p med indeks λ. Så siger Morse-lemmaet at der findes en omegn U af p så i disse koordinater er f f(x 1,...,x n ) = c (x 1 ) 2 (x λ ) 2 +(x λ+1 ) 2 + +(x n ) 2 hvor c = f(p). Antag nu at 8

9 Urbilledet f 1 ([c ε,c+ε]) er kompakt. p er det eneste kritiske punkt i urbilledet. Vi forventer (pr. vores eksempler) at homotopitypen ændrer sig når vi passerer c. Sætning 19. Under de ovenstående antagelser er f 1 ((,c+ε]) f 1 ((,c ε)) e λ Dermed limer vi en celle af indeks λ på når vi passerer et kritisk punkt af indeks λ. Bevis. Vi ved allerede at f 1 ((,c ε]) f 1 ((,c+ε]). Sæt { e λ = (x 1,...,x λ,0,...,0) } (x i ) 2 ε Så kan vi se at e λ f 1 ((,c e]) = e λ. Dermed har vi en inklusion f 1 ((,c ε]) e λ f 1 ((,c+ε]) Påstanden er at dette er en homotopiækvivalens (egentlig en deformationsretraktion). Lad ξ og η være funktionerne ξ = (x 1 ) 2 + +(x λ ) 2 η = (x λ+1 ) 2 + +(x n ) 2 så f = c ξ +η. Definer nu en funktion F så F = f uden for U og på U er F deformeret lidt. Dette gøres ved F(x) = f(x) u(ξ +2η) hvor u : R + R + er en funktion der opfylder u glat. u(0) > ε. For x > 2ε er u(x) = < u (x) 0 for alle x. En sådan funktion kan laves ved at tage en stykvist lineær funktion der opfylder betingelserne og glatte den ud med bump-funktioner. Der er nu flere påstande der skal vises. Påstand 20. F 1 ((,c+ε]) = f 1 ((,c+ε]) Bevis. Da F f har vi at f 1 (I) F 1 (I). Antag at vi har et punkt a F 1 (I) f 1 (I) Så skal ξ(a)+2η(a) < 2ε, da de to funktioner ellers er ens. Dermed får vi at så a f 1 (I). f(a) = c ξ(a)+η(a) c+ 1 ξ(a)+η(a) c+ε 2 9

10 Forelæsning 6, fredag 14/02/2014 Vi snakker om Milnor i den første time og derefter om indledende differentialgeometri. Tidligere så vi på f : M R, et kritisk punkt p og lokale koordinater hvor f har formen ( λ ( n ) f = f(p) (x i ) )+ 2 (x i ) 2 = c ξ +η i=1 i=λ+1 og vi vil se på hvordan M c ε ændrer sig når vi passerer til M c+ε. Vi antager at f 1 ([c ε,c+ε]) er kompakt og kun indeholder det kritiske punkt p. Vi indfører F = f µ(ξ +2η) hvor µ : R R 0 er en hjælpefunktion med egenskaber gennemgået sidst. Dermed er F f og der gælder lighed hvis ξ +2η 2ε. Sæt nu E = {x ξ +2η 2ε} Vi kan nu se på F 1 ((,c ε]) F 1 ((,c+ε]). Først bemærker vi at da F f så gælder f 1 ((,t]) F 1 ((,t]) t Påstand 21. Der gælder F 1 ((,c+ε]) = f 1 ((,c+e]) Bevis. Vi skal vise den anden inklusion, F 1 (I) f 1 (I). Lad q F 1 (I). Hvis q / E så er f(q) = F(q) = q f 1 (I). Hvis q E så er ξ +2η 2ε hvilket giver at Dette viser påstanden. Vi har nu inklusionerne f(q) = c ξ +η c+ ξ +η c+ε 2 F 1 (I) = F 1 ((,c+ε]) F 1 ((,c ε)) f 1 (I) hvilket giver at F 1 (I) er kompakt. Påstand 22. F og f har de samme kritiske punkter. Bevis. Det er nok at se på punkter q E. Vi vil vise at p er det eneste kritiske punkt for F i E. Dette er en hurtig udregning af de afledte F x inddelt efter i i λ eller i > λ. Påstand 23. F har ingen kritiske punkter i F 1 (I). Bevis. Vi udregner F(p) = c µ(0) < c ε Herefter blev det et notationshelvede som jeg har opgivet at skrive ned. Hvis man er interesseret kan kigge i Milnor. 10

11 Forelæsning 7, mandag 17/02/2014 Vi kigger stadig på billedet. Vi har en funktion f : M R med et kritisk punkt p, ikke-degenereret, og i et kort om p er og vi ser på Vi indfører f = f(p) ξ +η M c ε = f 1 ((,c ε]) M c+ε = f 1 ((,c+ε]) F = f µ(ξ +2η) hvor µ : R R er glat og opfylder forskellige betingelser jeg ikke vil skrive ned her. Den interesserede læser kan kigge et par sider tilbage. Vi har vist M c+ε = F 1 ((,c+ε]) F 1 ((,c ε]) M c ε hvor den første inklusion er en homotopiækvivalens. Det er derfor nok at se på inklusionen M c ε F 1 ((,c ε]) = N og vi vil vise at N M c ε e λ hvor e λ = {x η(x) = 0} Sætning 24. Hvis M er en glat mangfoldighed, f er en Morse-funktion (så alle kritiske punkter er ikke-degenererede), f 1 ([c ε,c+ε]) kompakt og indeholder et enkelt kritisk punkt p, så er M c+ε homotopiækvivalent til M c ε e λ hvor λ er indekset af det kritiske punkt. Bevis. Vi mangler at vise at M c ε e λ er et deformations-retrakt af M c ε H hvor H er området midt i billedet (H = M c+ε M c ε ) Definerr : M c ε H M c ε e λ ogr t en homotopi frar = r 0 til identiteten ved x x / H r t (x) = (x 1,...,x λ,tx l+1,...,tx n ) x H,ξ(x) < ε (x 1,...,x λ,a t x λ+1,...,a t x n ) x H,η > 0,ε < ξ < ε+η hvor a t = t+(1 t) ξ ε η. Bemærk at for ξ = ε er a t = t så de to funktioner stemmer overens på den ene grænse. For ξ = ε+η er a t = x, så her stemmer de også overens. Hvis η går mod 0 får vi ξ ε η < ε+η ε η så i dette tilfælde er a t [0,1] hvilket sikrer os at vi ender i det rigtige område. Vi skal tjekke at r t (x) F 1 ((,c ε]) i det midterste tilfælde. Lad os aflede og få Så F(r t ) F(r 1 ) c ε = 1 d dt F(r t) = d dt (c ξ(r t)+η(r t ) µ(ξ(r t )+2η(r t )) = 2tη 4tηµ (ξ(r t )+2η(r t )) 0 11

12 Med denne sætning har vi nu vist at hvis vi har en Morse-funktion med endeligt mange kritiske punkter, p 1,...,p l med indeks λ 1,...,λ l og samme kritske værdi c = f(p i ). Så er M c+ε M c ε e λ1 e λ l da de funktioner vi har defineret kun ændrer på ting i en omegn af p i, så vi kan sætte dem sammen og få en global funktion. Dermed er vores mangfoldighed næsten et CW-kompleks. Dog kan vi godt risikere at lime lav-dimensionelle celler på høj-dimensionelle da vi ikke har styr på lime-rækkefølgen. Dette vil vi godt undgå. Vi bruger lidt tid på at genopfriske/lære noget om CW-komplekser, f.eks. at for et CW-kompleks X og en afbildning S i X gælder at vi kan homotopere til en cellulær afbildning S i X i. Sætning 25. Lad M være en glat mangfoldighed, f en Morse-funktion og antag at M a er kompakt for alle a. Så er M homotopi-ækvivalent til et CW-kompleks X med en λ-celle for hvert kritisk punkt af indeks λ. For at vise dette skal vi bruge et lemma. Lemma 26. Lad f,g : S i 1 X være homotope, så er X g e i X f e i. Bevis. Vi har afbildninger F X e i X g e i X f e i Den unvanvgivne afbildning vi skal konstruere er givet ved at være identiteten på X og fra kanten af e i til 1 2 ei bruger vi homotopien mellem f og g. Essentielt set flytter vi bare f og g rundt på kanten S i 1 af e i med homotopien. Det er klart at vi kan lave en afbildning den anden vej på samme måde. Ved at nedskrive afbildningen er det klart at dette er en homotopi-ækvivalens. Man kan se de korrekte formler i Milnor. Lemma 27. Hvis f : X Y er en homotopi-ækvivalens og ϕ : S k 1 X så er X ϕ e k Y f ϕ e k. Bevis. Beviset er ca. det samme som det tidligere. Vi konstruerer en afbildning osv. Se nu på M kompakt, f en Morse-funktion og a 0 < a 1 < < a n kritiske værdier og vælg regulære værdier b i så a i 1 < b i < a i. Så får vi M bi M bi 1 ϕ e λi Antag induktivt at vi får et CW-kompleks, så giver det foregående lemma at M bi X i 1 e λ hvor vi nu limer med sammensætningen som i lemmaet og vi har homotoperet til en cellulær afbildning. Dermed får vi at M er homotopi-ækvivalent til et CW-kompleks, så længe M er kompakt. 12

13 Hvis vi vil gøre det mere besværligt kan vi se på en ikke-kompakt mangfoldighed M med en Morse-funktion. Antag at M a er kompakt. Ved det foregående giver dette os en afbildning fra M til en forening af CW-komplekser. Denne er en isomorfi på alle homotopi-grupper, så hvis vi antager at M har homotopitype som et CW-kompleks får vi en svag homotopi-ækvivalens mellem CWkomplekser, hvilket er en homotopi-ækvivalens. Dermed kan vi bestemme hvor mange celler af hver dimension M har. Sætning 28. Antag M n er kompakt og f er en Morse-funktion med præcist to kritiske punkter. Så er M homeomorf til en sfære S n. Bevis. Vi ved at da M er kompakt har f et minimum p og maksimum q, og pr. antagelse er disse de eneste kritiske punkter. Ved at skalere kan vi antage at f(p) = 0, f(q) = 1. For ε lille er M ε homotopi-ækvivalent til en disk D n. Det samme gælder f 1 ((1 ε,1]). Stykket imellem er diffeomorft til S n 1 I. Vi kan sammensætte dem til en homeomorfi, men ikke nødvendigvis en diffeomorfi. Forelæsning 8, fredag 21/02/2014 Vi gik i stå i et bevis sidst. Da jeg ikke skrev hele beviset ned vil jeg ikke begynde nu. Sætningen vi viser er Lemma 29. Hvis f : X Y og g : Y X er homotopi-inverser, så er afbildningerne homotopi-ækvivalenser. X ϕ e n Y f ϕ e n X g f ϕ e n X ϕ e n Beviset indeholdt en del information om homotopier. De vigtigste er samlet nedenfor: Bemærkning Homotopi er en ækvivalensrelation. 2. Hvis f g : X Y og h : Y Z så er hf hg. Og tilsvarende gælder f k g k for k : W X. Bemærk at med dette kan vi lave en kategori hvor objekterne er topologiske rum og morfierne er homotopi-klasser af kontinuerte afbildninger. Denne vil blive betegnet Top h, hvis den nogensinde bliver brugt igen i disse noter. Eksempel 31. Lad M = CP n = C n+1 /C 0 være det komplekse projektive plan. Vi kan også definere dette som M = { z S 2n+1 C n+1} /S 1 Vi har en afbildning M M som er surjektiv, da et vilkårligt element i M kan repræsenteres af et element med længde 1. Vi kan også vise at M er Hausdorff og da vi ved at M er kompakt. får vi at de er homeomorfe. Lav kort på M ved U i = {z M z i 0} Disse er homeomorfe til C n = R 2n = D 2n og ved at regne lidt kan vi finde deres inverser. Lav en Morse-funktion på M ved at vælge konstanter λ k og sæt n f(z) = λ i z i 2 λ i > 0,λ i λ j i=0 13

14 Dermed får vi diagrammet Sammensætningen bliver ψ 1 0 U i M f R D 2n fψ 0 (x 1,y 1,...,x n,y n ) = λ 0 + i (λ i λ 0 )(x 2 i +y2 i ) og differentialet er d(fψ 0 ) = (2x 1 (λ 1 λ 0 ),...,2y n (λ n λ 0 )) med Hessiant λ 1 λ λ 1 λ H = 0 0 λ 2 λ λ n λ 0 Denne er ikke-degenereret og har indeks 2 {λ i < λ 0 }. Så i U 0 har vi et kritisk punkt, på formen [1,0,...,0]. Generelt er der i U i et kritisk punkt på formen [0,...,0,1,0,...,0]. Bemærk at for n = 1 har vi nu vist at der kun er to kritiske punkter, den ene af indeks 0 og den anden af indeks 2. Dermed er CP 1 = S 2. I det generelle tilfælde får vi en CW-struktur på CP n med en celle i hver lige dimension op til og med 2n, altså CP n = e 0 e 2 e 2n Der er tre uger tilbage før kvarterspausen og med to gange opgaver ender det med fire almindelige forelæsninger. Vi vil nu arbejde på at konstruere Morse-funktioner på en mangfoldighed M. Til dette skal vi bruge Sætning 32. For en mangfoldighed M k findes der et n og en indlejring (dvs. en diffeomorfi til en delmangfoldighed) ı : M R n Bevis. Vi vil koncentrere os om M kompakt. Sætningen gælder mere generelt men bliver mere teknisk. Vi ved M = x M hvor U x,ϕ x er et kort om x. Vi konstruerer for hvert x omegne og en bumpfunktion b x så x V x V x W x W x U x U x 14

15 og b x er 1 på V x, 0 uden for W x. Vi kan nu lave { b x (p)ϕ x (p) x U x ϕ x (p) = 0 ellers Vi kan finde en endelig overdækning {V xi } og lave en afbildning ϕ : M R kn p ( ϕ 1 (p),..., ϕ N (p)) Hvis denne er injektiv får vi at den er en homeomorfi på sit billede. Resten af beviset er ikke medtaget. Vi kan nu arbejde med delmangfoldigheder af R n. Vi vil se på funktionen L p : M R defineret ved L p (x) = x p 2 Det er let at se at dette ikke altid er en Morse-funktion. E.g. S 1 R 2 har L 0 konstant. Vi vil finde ud af hvornår et punkt q er et kritisk punkt for L p. Se på normalbundtet N for M i R n og vælg q M. Vi kan vælge faste vektorer w 1,...,w n k så vi får en basis for T q M. Dermed får vi ved at vælge koordinater om q en basis for R n på formen ( ) u 1,..., u k,w 1,...,w n k så længe vi befinder os tæt på q. Regne regne, jeg holdt op med at høre efter. Forelæsning 9, mandag 24/02/2014 Opgaveregning Opgave 1 Vi vil vise at man kan udvide en homeomorfi f : S n 1 S n 1 til disken. Dette gøres ved { ( ) x f x x x 0 f(x) = 0 x = 0 Vi har nu en mangfoldighedm = M 1 M 2 såm 1 ogm 2 begge er homeomorfe til D n ved f i og med M 1 M 2 den fælles rand. Vi vil vise at M = S n. Lad g = f 2 f 1 1 : S n 1 S n 1 være defineret på randen og udvid til en homeomorfi G på disken. Så er { ϕ 1 f 1 (x) x M 1 f(x) = ϕ 2 G 1 f 2 (x) x M 2 15

16 hvor ϕ 1 er afbildningen der sender disken til den øvre halvkugle og ϕ 2 sender disken til den nedre halvkugle. Dette giver en homeomorfi fra M til S n. Til sidst vil vi vise at en mangfoldighed med en Morse-funktion der kun har to kritiske punkter er homeomorf til S n. Hvis p angiver minimum for funktionen f, så er der en omegn af p hvor f har formen f = f(p)+ i (x i ) 2 Dermed er M c+ε givet ved i (xi ) 2 < ε. Dette er homeomorft til en disk, så længe ε er så lille at vi ikke når den næste kritiske værdi. Tilsvarende for maksimum q, hvor f har formen ( f = f(q) (x i ) 2) så enhverεomegn der ikke indeholder p er en disk. Dermed giverf en afbildning M = M f(p)+ε M f(q) ε hvis vi vælger ε = f(q) f(p) 2 og den fælles rand er en sfære. Opgave 2 Vi skal vise at dumme-hatten X = conv{(1,0),(0,1),(0,0)}/ er homotopiækvivalent til et punkt, når ækvivalensen identificerer randen som (a,0) (0,a) (a,1 a) Ved at tegne vores rum kan vi se at X er S 1 f e 2 limet sammen med f(e 2πit ) = { e 2πi(3t) t [ ] 0, 2 3 e 2πi(3t) t [ 2 3,1] Denne er homotop til identiteten ved homotopien e 2πi(3t) t [ ] 0, 1 3 e 2πi(3t) t [ 1 f s (t) = 3, ] 2 s 3 e 2πi(3s) t [ 2 s 3, ] 2+s 3 e 2πi(3t) t [ 2+s 3,1] borset fra at denne løber igennem cirklen på en tredjedel af tiden. Opgave 3 Vi har en Riemannsk mangfoldighed M, f : M R en glat funktion og γ = γ q er flowet for gradienten forf. Vi viser først at d dt (fγ(t)) 0. Dette er kædereglen d dt fγ = D γ(t)f( γ) = f 0 16

17 Vi ved at hvis q ikke er kritisk så er Df( γ(0)) > 0. Hvis γ(t) = 0 så er γ(t) et kritisk punkt. Men så er γ konstant og dermed må q være kritisk. Altså er Df( γ) > 0 hvis q ikke er kritisk. Hvis grænseværdien γ(t) p findes for t og p ikke er kritisk, så kan vi i en omegn af p have γ > 0, så ved at lave en integralkurve på denne omegn kan vi udvide γ, hvilket giver en modstrid. Opgave 4 Vi har U en åben omegn af et kritisk punkt p af indeks 1 og ellers samme setup som opgave 3. Så lokalt ser f ud som med gradient f = x 2 +y 2 grad(f) = ( 2x,2y) Se på kurven f = 0 og vælg et punkt q der ikke er kritisk med f(q) = ε. Ved at se på standard-tegningen kan man se at vi ved at vælge mindre og mindre intervaller på kurven f = ε kan lave et fælles snitpunkt der bliver nød til at være et punkt som det vi vil have. Alt dette blev lidt løst. Forelæsning 10, fredag 28/02/2014 Vi viser at en (kompakt) mangfoldighed kan indlejres i R n. Vi kan overdække med kort M = U i og derefter finde åbne mængder med kompakt aflukning x W i W i V i V i U i og udtømme til endeligt mange af disse. DaU i er et kort kan vi finde diffeomorfier Ved at tage bump-funktioner får vi ϕ i : U i imϕ i R n ϕ i : M R n som er lig ϕ på V i. Derudover kan vi finde f i : M R som er 1 på W i og 0 uden for V i. Dan funktionen Φ = (ϕ 1,...,ϕ r,f 1,...,f s ) : M R nr+s Denne er injektiv da x W j medfører f j 0, så hvis Φ(y) = Φ(x) findes der j så y V j. Men på denne mængde er ϕ j en diffeomorfi. 17

18 Eksistens af Morse-funktioner Vi vil nu vise at Morse-funktioner findes generelt. Lad n være så stort at M kan indlejres i R n, vælg et punkt p R n og definer f : M R,x x p 2 I koordinater er x = x(u 1,...,x k ) og vi kan udregne f x = 2(x p) ui u i Dermed er et kritisk punkt for f præcist et x M der opfylder at x p ν x M Derudover kan vi udregne den dobbelt-afledte 2 f u i u j = 2 x x i x u j +2(x p) 2 x u i u j Lad N R 2n være normalbundtet til M og lad e være afbildningen e(x, t j v j ) = x+ t j v j der translaterer punkter i M med en normalvektor. Dermed kan den ovenstående betingelse omskrives til Lemma 33. Et punkt q M er kritisk for L p = f hvis og kun hvis der findes v ν q M så p = e(q,v). Definition 34. Hvis f : M N er glat, så siger vi at p M er et kritisk punkt hvis df : T p M T f(p) N ikke er surjektiv. Et punkt q N er en kritisk værdi hvis q = f(p) hvor p er et kritisk punkt. Sætning 35. Et punkt q M er et degenereret kritisk punkt for L p hvis og kun hvis (q,p q) er et kritisk punkt for e (og dermed er p en kritisk værdi). Der findes derudover punkter p der ikke er kritiske værdier for e. Korollar 36. Der findes Morse-funktioner på M. Bevis. Hvis q er et kritisk punkt for L p, så er p = e(q,v) = q + v en kritisk værdi. Men vi ved at der findes punkter der ikke er kritiske værdier. Til at vise anden del af sætningen vil vi bruge følgende klassiske sætning. Sætning 37 (Sard). Hvis f : R m R n er glat, så er mængden af kritiske værdier for f en nulmængde. Specielt findes der punkter i R n der ikke er kritiske værdier. Dette ser vi på næste gang. I dag vil vi vise første del af sætningen. Bevis. Bemærk først at intet er afhængigt af valget af koordinater, så vi kan vælge koordinaterne så x x g ij = ui, u j = δ ij Herefter blev det en smule teknisk, men vi brugte nogle smarte tricks til at slippe igennem udregningerne. 18

19 Eksempel 38. Hvis f : M R er glat så findes der en Morse-funktion g så at f(x) g(x) < ε for alle x. Vi kan lave en indlejring M R n+1 ved at bruge en indlejring F : M R n og brugef som sidste koordinat. Dermed kan vi antage atf er en højdefunktion. Hvis vi så vælger et punkt p med en meget lille sidste-koordinat, så vil afstanden til et punkt i M ca. være højden for punktet. Forelæsning 11, mandag 03/03/2014 I dag er Marcel forkølet, så han advarer om at han er mere forvirret end normalt. Vi starter med at genopfriske det vi lavede sidst. Vi ser på en indlejret mangfoldighed M k R n og afbildningen L p der måler afstanden til et fast punkt p R n. Derudover betragtede vi N = νm, normalbundtet til M, og afbildningen e : N R n givet ved e(p,v) = p + v. Vi viste at q M er kritisk punkt for L p hvis og kun hvis p = e(q,v) for et v i normalbundtet og at q er degenereret hvis og kun hvis (q,v) er et kritisk punkt for e (så p er en kritisk værdi og De er ikke surjektiv). Herefter kigger vi på nogle af de ting vi lavede sidst, med lidt flere detaljer. For at vise eksistensen af Morse-funktioner på M skal vi finde et p som ikke er en kritisk værdi. Et sådan findes ifølge Sards sætning. Sætning 39 (Sard). Lad f : R n R p. Så er mængden af kritiske værdier en nulmængde i R p. Bevis. Vi genopfrisker lidt om nulmængder En tællelig forening af nulmængder er igen en nulmængde. En version af Fubinis sætning: Hvis der for en målelig mængde X R n gælder at alle mængderne X t = { u R n 1 (u,t) X } er nulmængder, så er X en nulmængde. Definer nu C 0 til at være de kritiske punkter for f i R n. Lad C 1 C 0 være alle de x R n så differentialet af f i x er 0. Lad C 2 være de punkter i C 1 hvor alle anden-ordens afledete er 0. Induktivt defineres { } C k = x C k 1 k f x I (x) = 0 Vi vil nu vise følgende påstande: Påstand 40. f(c 0 C 1 ) er en nulmængde f(c k 1 C k er en nulmængde for alle k 2. Der findes et k så f(c k ) er en nulmængde. 19

20 Lad x f(c 0 C 1 ). Så findes der en åben omegn V så (C 0 C 1 ) V er en nulmængde. Hvis dette gælder så kan vi skrive C 0 C 1 = { x C 0 d(x,c 1 ) 1 } n n Vi vil vise at denne er lukket. Da x ikke tilhører C 1 findes der indekser (som vi antager begge er 1) så den partielt afledte af f er forskellig fra 0. Dermed kan vi danne h = (f 1,x 2,...,x n ) : R n R n og udregne den afledte og se at i nærheden af x er h en diffeomorfi. Det er nok at se på g = f h 1 : h(v) R p og vise at billedet af denne er en nulmængde. Men vi kan regne på h 1 og få g(y 1,...,y n ) = f h 1 (y 1,...,y n ) = (y 1,g 2 (y),...,g p (y)) da y = (f 1 (x),x 2,...,x n ). Dermed er det nok at se på tilfældet hvor f er identiteten på første-koordinaten. Betragt funktionen R n (x 1,...,x n ) (f 2 (x),...,f p (x)) R p 1 og lav induktion over dimensionen af billedet. Herefter mistede jeg koncentrationen. Det blev meget analytisk. Indien-pause Jeg er i Indien i en måned fra d. 07/03 til d. 07/04. Der vil dermed være ca. 5 forelæsninger jeg ikke kan tage noter til. Forelæsning 17, fredag 11/04/2014 I was delayed, so there are no notes for the first part of the lecture. We want to reparametrize the integral curves of a vector field which we know starts and ends at a critical point. Let γ denote the (non-constant) integral curve and consider the function ϕ ϕ(u) = u 0 ξf(γ(s))ds which is strictly monotone since we know ξf 0 everywhere. So we have an inverse h with d dt h = 1 ϕ (h(t)) = 1 ξf(γ(h(t))) Let γ denote the path γ h. Then Hence d dt f γ(t) = d dt (f γ) h(t)h 1 (t) = ξf(γ(h(t))) ξf(γ(h(t))) = 1 f γ(t 1 ) f γ(t 2 ) = t 1 t 2 20

21 We know that ϕ(u) converges for u and γ(u) p i. By the previous we get ϕ(u) = u 0 Likewise we get d ds (f γ)(s)ds = (f γ)(u) (f γ)(0) f(p i) f(γ(0)) ϕ(u) f(p j ) f(γ(0)) u u γ is defined on a bounded open interval (a,b) where a = f(p j ) f(γ(0)) and b = f(p i ) f(γ(0)) and we can extend it to [a,b]. We can reparametrize to get γ : [a+f(γ(0)),b+f(γ(0))] = [f(p j ),f(p i )] M γ(s) = γ(s f(γ(0))) which is a smooth curve satisfying f( γ(s)) = s Now another lemma which we need to work with collar neighbourhoods on manifolds. Lemma 41. Let M be a compact smooth manifold and f : M [0,1] R be smooth. Assume that f t (x,t) > 0 in a neighbourhood of M {0,1} and that f(x,0) < f(x,1) for all x M. Then there is a smooth function F : M [0,1] R with everywhere and in a neighbourhood of M {0, 1}. F t (x,t) > 0 F(x,t) = f(x,t) Bevis. Bump functions. Define g = f t which is smooth. Use compactness to find ε > 0 such that x M we have 1. g(x,t) > 0 for 0 t ε and 1 ε t 1 2. f(x,ε) < f(x,1 ε) By taking the sum of two bump functions we can find ϕ : I I smooth such that ϕ(t) = 1 for t < ε 2 and 1 e 2 < t and ϕ(t) = 0 for ε < t < 1 ε. Now we can define a new (smooth) function by Then we know that g : M [0,1] R g(x,t) = ϕ(t)g(x,t) 1. g(x,t) = g(x,t) for 0 t < ε 2 and 1 ε 2 < t 1 2. g(x,t) = 0 for ε < t < 1 ε 21

22 3. 0 g(x,t) g(x,t) for 0 t < ε and 1 ε < t 1. Now we can define h(x) = f(x,1) f(x,0) and we get 1 0 ε 1 g(x,t)dt = f(x,1) f(x,0) g(x, t)dt g(x, t)dt 0 1 ε h(x) f(x,1) f(x,0) = f(x,1 ε) f(x,ε) > 0 ε 0 g(x, t) by the definition of g and the assumptions on f. Now we can define a new function k : [0,1] [0, ) satisfying 1. k(t) = 0 for 0 t ε 2 and 1 ε 2 t 1 2. k(t) > 0 for 1 2 ε < t < h(t)dt = 1. 0 by taking a bump function for the interval 1 2 ε < t < integral. Use this to define and dividing it by its and For t < ε 2 we have G(x,t) = g(x,t)+k(t)h(x) F(x,t) = t 0 G(x,u)du+f(x,0) F(x,t) = t 0 g(x,u)du+f(x,0) = f(x,t) f(x,0)+f(x,0) = f(x,t) by the definitions of g and k. In the interval 1 ε 2 t we get F(x,t) = = = t G(x,u)+f(x,0) G 1 t G+f(x,0) ( g(x,u)+k(u)h(x))du f(x,1)+f(x,t) f(x,0) We consider the integral and use the definition of h and k to get 1 0 g(x,u)du+h(x) 1 0 k(u)du = f(x,1) f(x,0) 22

23 Together with the above we get for t close to 1. Finally, F(x,t) = f(x,t) F (x,t) = g(x,t)+k(t)h(x) t is a sum of two non-negative functions where at least one of them is stricly positive for all t. Hence F satisfies everything we need. Forelæsning 18, onsdag 23/04/2014 There will be extra lectures, the following Tuesday and Tuesday the 20th of May from 12 to 14 in D0.2. Today we will look at gluing manifolds with boundary when the boundaries are diffeomorphic. Let M 1, M 2 be smooth manifolds with boundary and let f denote a diffeomorphism of the boundaries. Using this we can form the topological space M = M 1 f M 2 and we wish to construct a smooth manifold structure on this set with a submanifold N such that M N = P 1 P 2, M i = Pi N To do this, we choose a collar neighbourhood of M i in M i : c i : M i [0,1) M i which can be expanded to a continous bijection on the closed interval. Denote the projection M 1 M 2 M by q and let N = q( M 1 ) = q( M 2 ). Define a map c : N ( 1,1) M by { q(c 1 (x 1, t)) t < 0 c(q(x 1 ),t) q(c 2 (x 1,t)) t > 0 By a general topological argument M is Hausdorff. c is a homeomorphism on the image which is open in M. The restriction j i = q Mi is a homeomorphism on the image. We now want a smooth atlas on M. For a point x j i (M i M i ) we can choose a chart ϕ near x in M i which gives ϕ ji 1, a chart containing x. For a point x N, choose a chart ψ : V ψ(v) R n 1 around j1 1 (x) M 1. This gives a chart j 1 (V) ψ(v) on N and a chart (ψ j 1 1 ) id ( 1,1) : j 1 (V) ( 1,1) ψ(v) ( 1,1) on N ( 1,1). Composing with c 1 then gives a chart on M. These are all compatible just by checking. We could of course have chosenm 2 to play the role ofm 1 but by composition with f (or f 1 ) we would get a diffeomorphic manifold. For the collars, we have the following result. 23

24 Sætning 42. If we replace c 1 and c 2 by other collars c 1 and c 2 then the manifold M is diffeomorphic to M. Bevis. The underlying topological spaces M and M are the same and the topological identity between them gives a diffeomorphism between the manifolds away from the submanifold N = Ñ. There are some technical problems near N, the details can be found in the notes. Forelæsning 19, fredag 25/04/2014 Vi var ved at vise at når vi limede to mangfoldigheder med rand så kunne vi konstruere en glat struktur ved at vælge kraveomegne og at denne struktur var uafhængig af de valgte omegne. Proposition 43. Hvis ξ = (ξ N,ξ I ) : N ( ε,ε) N ( 1,1) opfylder 1. ξ er en homeomorfi på billedet. 2. Restriktionerne til N ( ε,0] og N [0,ε) er differentiable og bliver sendt til N ( 1,0] og N [0,1) henholdvis. 3. På N {0} er ξ identiteten. 4. De partielt afledte er positive, t ξ I N ( ε,0] > 0 t ξ I N [0,ε) > 0 Så findes ˆξ der er en diffeomorfi på sit billede og ξ = ˆξ i en omegn af N (( ε, δ) (δ,ε)) Bevis. Vi har allerede set beviset for ξ I (x,t) = t i en omegn af N {0}. Kald de to restriktioner af ξ I til ( ε,0] og [0,ε) for ξ og ξ + for at lette notationen. Så kan vi definere p og p + ved p : N ( ε,0] N ( 1,0], (x,t) (x,ξ (x,t)) og tilsvarende for p +. Fra antagelserne får vi att p ± (x,t) begge er strengt stigende og dermed injektive. Derudover er Jakobi-matricerneJ(p ± ) ikke-singulære overalt, da den afledte i N retningen er identiteten og den afledte i t retningen er positive. Dermed er de to afbildninger diffeomorfier på deres billede og har glatte inverser q og q + på formen Vi får at q ± (x,t) = (x,α ± (x,t)) ξ ± (x,α ± (x,t)) = t da dette er anden-koordinaten af sammensætningen p ± (q ± (x,t)). Nu finder vi δ > 0 så N ( δ,0] imp og N [0,δ) imp +. Dette gøres ved at vælge ε (0,ε) og sætte { δ = min min x N { ξ (x, ε ),ξ + (x,ε ) }} 24

25 Lad δ (0,δ) og udvid α på N [ δ,0] til α 1 på N ( 1,0] ved bumpfunktion så de er ens på N [ δ,0] og α 1 (x,t) = t tæt på ε. På lignende vis udvides α +. Vi er nu i en situation hvor vi kan bruge vores tidligere tekniske lemma (Lemma 8 i noterne) til at finde funktioner α og α + på N [ ε,0] og N [0,ε] der har samme egenskaber som α ± 1 og derudover har positive partielle afledte over det hele. Definer nu to nye funktioner ved Φ : N ( ε,0] N ( ε,0], (x,t) (x, α (x,t)) og tilsvarende for Φ +. Disse er diffeomorfier af samme grund som tidligere da den afledte af α er strengt positive. Vi kan så se påξ : N ( ε,ε) N ( 1,1): { ξ ξ (Φ (x,t)) t 0 (x,t) = ξ + (Φ + (x,t)) t 0 Vi skal se at disse giver det samme nær 0, så for t 0 tæt på 0 er ξ (x,t) = ξ (x, α (x,t)) = ξ (x,α (x,t)) = t og tilsvarende for positive t. Så ξ (x,t) = t tæt på 0. Dermed kan vi bruge specialtilfældet omtalt først i beviset til at konstruere en afbildning med de ønskede egenskaber. Dette var det sidste vi manglede for at vise følgende sætning. Sætning 44. Hvis M 1 og M 2 er glatte mangfoldigheder med kompakt rand og f er en diffeomorfi mellem deres rande så er M = M 1 f M 2 en glat mangfoldighed og den glatte struktur er uafhængig af valget af kraveomegne. Korollar 45. Lad M 1,M 2 være differentiable mangfoldigheder, N M 1 en kompakt to-sidet delmangfoldighed af kodimension 1 og f : M 1 M 2 en homeomorfi der er differentiabel væk fra N med differentialet df x ikke-singulært. Hvis f N : N M 2 er en glat indlejring. Så findes en to-sidet krave-omegn U af N og en diffeomorfi f : M 1 M 2 som er lig f uden for U. Bevis. Dette er mest en omformulering af det foregående. Vælg to-sidede kraveomegne c 1 : N ( 1,1) M 1 og c 2 : f(n) ( 1,1) M 2. Fra kompakthed findes ε > 0 så f(c 1 (N ( ε,ε))) imc 2. Definer så ξ = (f 1 f(n) id ( 1,1) ) c 1 2 f c 1 Herefter kan man tjekke at denne opfylder betingelserne i den foregående proposition så vi får ˆξ der er lig ξ på N ( ε,ε) V hvor V er en omegn af N {0}. Definer nu { f(x) x c 1 (V) ˆf : M 1 M 2, f(x) = c 2 (f N,id) ˆξ c 1 1 (x) x c 1(N ( ε,ε) V) Det ses nemt at ˆf er veldefineret og at det er en diffeomorfi. 25

26 Nu vil vi gå den anden vej. I stedet for at lime en mangfoldighed fra to mangfoldigheder med rand vil vi se hvad der sker når man skærer en mangfoldighed op langs en delmangfoldighed. Lad M være en differentiabel mangfoldighed, N en to-sidet delmangfoldighed af kodimension 1 og M N = U 1 U 2 Lemma 46. I det ovenstående er M i = U i N en glat mangfoldighed med rand N. Bevis. Vi skal finde et differentiabelt atlas på M i. Lad p U i. Så kan vi finde et kort omkring p i M og restringere til snittet med U i. For p N kan vi vælge et delmangfoldighedskort for N i M, så ϕ : V R n, N V = ϕ 1 (ϕ(v) R n 1 ) Ved at snitte med M i får vi et kort om p i M i hvor ϕ(p) = (x,0) er et randpunkt i R n. Dermed får vi to mangfoldigheder M 1 og M 2 og en diffeomorfi, nemlig identiteten, mellem deres rande. Dette giver os en ny differentiabel struktur på M fra det ovenstående. Vi vil vise Lemma 47. M 1 id M 2 = M Bevis. Vælg en to-sidet krave-omegn c om N i M og restringer (+ omparametriser) til to krave-omegne c i for M i i M i. Dette giver os en glat struktur på foreningen. Brug identitets-afbildnigen som en diffeomorfi M 1 id M 2 M. På U i er kortene bare restriktioner af kort på M, så der er ingen problemer. I randpunkterne p N får vi delmangfoldighedskort for N og de to halve kort limer sammen til et helt. Forelæsning 20, tirsdag 29/04/2014 I dag skal vi snakke om isotopier. Vi starter med lidt genopfriskning. Definition 48. En funktion f : M N kaldes en indlejring hvis f(m) er en delmangfoldighed i N og afbildningen f : M f(m) er en diffeomorfi. Definition 49. En isotopi mellem to indlejringer f,g : M N er en glat afbildning F : M I N som opfylder F r = f,f 1 r = g for r < ε og F t er en indlejring for alle t. En isotopi gennem diffeomorfier er en isotopi F hvor F t er en diffeomorfi for alle t. Bemærkning 50. Bemærk at vi kunne nøjes med at kræve F 0 = f,f 1 = g da vi så kunne reparametrisere intervallet og få det ovenstående krav, men det er ofte rart at bruge den ovenstående definition. 26

27 Definition 51. Vi siger at to indlejringer f 0,f 1 : M N er ambient isotope hvis der findes en isotopi gennem diffeomorfier fra G 0 = id N til G 1 : N N så f 1 = G 1 f 0. Bemærkning 52. Bemærk at en ambient isotopi giver en isotopi vedf t = G t f 0. Definition 53. En isotopi F t : M M har kompakt støtte hvis der findes en kompakt mængde K M så F t = id på M K. Vi skal bruge dette til at lime mangfoldigheder sammen. Lad M 1,M 2 være mangfoldigheder med rand og lad θ være en diffeomorfi mellem randene. Så er M = M 1 θ M 2 en glat mangfoldighed. Vi vil nu se på tilfældet hvor vi har to isotope diffeomorfier. Proposition 54. Lad θ,ϕ : M 1 M 2 være diffeomorfier og lad Φ være en isotopi gennem diffeomorfier fra θ til ϕ. Så får vi en diffeomorfi M 1 θ M 2 = M1 ϕ M 2 Bevis. Definer Φ : M 1 I M 2 I ved Φ(x,t) = (Φ(x,t),t) Dette er en diffeomorfi da den er bijektiv og en lokal diffeomorfi pr. invers funktionssætning. Vælg en kraveomegn c 1 : M 1 [0,2) M 1. Vi vil gerne se Påstand 55. Der er en diffeomorfi M 1 c( M 1 [0,1)) = M 1 Bevis. Vi vil konstruere diffeomofien ved at strække kraven. Brug en afbildning [1,2) [0,2) der er identiteten på [ 3 2,2). Vi har nu en diffeomorfi givet ved sammensætningen ω 1 : M 1 M 1 M 1 [0,1] M 1 M 1 [0,1] (M 1 c( M 1 [0,1])) c( M 1 [0,1]) og helt analogt for M 2 får vi en diffeomorfi ω 2 : M 2 M 2 M 2 [0,1] Se nu på M 1 ϕ M 2 (ω 1,1 M2 ) M 1 M 1 [0,1] Φ1 M 2 Ψ M 1 Φ0 M 2 [0,1] M 2 (1 M1,ω 1 2 ) M 1 θ M 2 27

28 hvor Ψ er x x M 1 Ψ(x) = Φ(x) x = (x,t) M 1 [0,1] x x M 2 Dette er en sammensætning af diffeomorfier og dermed er vi færdige. Eksempel 56. Lad a R n. Der findes en isotopi G t : R n R n gennem diffeomorfier så G 0 = id, G 1 (0) = a og der er et r så G t (x) = x for x > r (altså G har kompakt støtte). Bevis. Lad ϕ : R n R være en bump-funktion der opfylder at ϕ(0) = 1, gradϕ < 1 2 a og ϕ(x) = 0 for x > r. Dette kan gøres ved at vælge en vilkårlig bump-funktion om 0 og strække den ud. Alternativt kan man gøre det for n = 1 og så bruge x ϕ( x ) for højere n. Definer G t ved G t (x) = x+taϕ(x) Denne er ikke nødvendigvis stationær tæt på 0,1 men dette kan ordnes ved en bump-funktion. Vi vil nu vise at G t er en diffeomorfi. Vi beregner differentialet og får d x G t = I +tagrad x (ϕ) Det er nok at vise injektivitet da den så også er surjektiv pr. dimensionsargumenter. Hvis v er i kernen så er v +tagrad x ϕ(v) = 0 = v = tagrad x ϕ(v) t a grad x ϕ(v) 1 2 v Så v = 0. Dermed er G t en lokal diffeomorfi da differentialet er invertibelt. G t er injektiv da G t (x) = G t (y) betyder at x y = ta(ϕ(y) ϕ(x)) = x y a ϕ(y) ϕ(x) a grad x ϕ x y hvor den sidste ulighed følger af middelværdisætningen. Som før får vi x = y så G t er injektiv. Dermed er G t en indlejring. Til sidst mangler vi surjektivitet. G t er identiteten langt fra 0 da ϕ er 0 langt fra 0. Dermed er der huller i billedet. Men da G t er en homoemorfi på sit billede kan der ikke være nogen huller. Eksempel 57. Lad a D n S n 1. Så findes der en isotopi af diffeomorfier G t : D n D n så G 0 = id, G t (x) = x for x S n 1 og G 1 (0) = a. Bevis. Ladr (0,1). Så findes en diffeomorfiϕ : (D n ) R n som er identiteten på rd n. For n = 1 kan vi konstruere den som identiteten mellem r og r og så klistre dette sammen med tan(x π 2 ) vha. en bump-funktion. Som før benytter vi x ϕ( x )x for højere n. Lad nu r ( a,1). Find en isotopi gennem diffeomorfier G t : R n R n så G 1 (0) = a og G t (x) = x for x > R > r. Så er ϕ G t ϕ 1 en funktion med de ønskede egenskaber. Lemma 58. Lad M være en n-mangfoldighed og lad ı : D n M være en indlejring. For δ (0,1) definerer vi ı δ (x) = ı(δx). Så er ı og ı δ ambient isotope. 28

29 Bevis. Vi starter med en påstand. Påstand 59. ı kan udvides til en indlejring (1+ε)D n M for et lille ε > 0. Bevis. Vi kan udvide ı til en glat afbildning ĩ : (1+ε 1 )(D n ) M. Der findes ε 2 < ε 1 så dĩ er invertibel for x < (1+ε 2 )(D n ) da ı er invertibel på hele D n så pr. kontinuitet er den det også i en lille omegn. Der findes også ε < ε 2 så restriktionen til (1 + ε)d n er en indlejring. Det er nok at vise injektivitet da ĩ er lokalt invertibel. Hvis der ikke findes et ε så kan vi lave en følge af punter x i y i så x i, y i 1 og ĩ(x i ) = ĩ(y i ). Men så kan vi tage en delfølge der konvergerer mod x,y S n 1 hvilket giver at ı(x) = ĩ(x) = ĩ(y) = ı(y). Men ı er injektiv så x = y og da ĩ er en lokal diffeomorfi findes følgerne ikke. Find en glat afbildning g : [0,1+ε] [0,1] [0,1] så r g(r,t) > 0,g(r,1) = δ,g(r,t) = 1 for t < ε,r > 1+ ε 2 og brug denne til at definere G t : (1+ε)D n (1+ε)D n G t (x) = ĩ(g( x,t) ĩ 1 (x)) Denne kan udvides over resten af M ved identiteten, da afbildningen er identiteten uden for (1+ ε 2 )Dn. Forelæsning 21, onsdag 30/04/2014 Jeg instruerede og der er derfor ingen noter for denne forelæsning. Forelæsning 22, fredag 02/05/2014 Sidste gang så vi på den sammenhængende sum af mangfoldigheder og det blev vist at hvis M 1 og M 2 er sammenhængende så er diffeomorfi-typen af M 1 #M 2 uafhængig af valg. Vi mangler stadig et lemma. Lemma 60. Lad ı 1,ı 2 : D n M være indlejringer i en sammenhængende mangfoldighed M. Så er ıi 2 ambient isotop til î 2 : D n M så î 2 (D n ) = ı 1 (D n ) ı 1,î 2 er isotope på randen S n 1. Dette vil vi vise i dag. Først endnu et teknisk lemma. Lemma 61. Lad A GL n (R), det(a) > 0, og lad L være den tilhørende lineære afbildning. Dette giver en afbildning L : D n R n og denne er ambient isotop med kompakt støtte til inklusionen D n R n. 29

30 Bevis. Mængden af matricer med positiv determinant er en kurvesammenhængende mængde, så der findes en sti γ fra identiteten til A. Vi kan antage at der findes et ε > 0 så γ t er identiteten for t < ε og g t = A for t > 1 ε ved reparametrisering. Dette giver en ambient isotopi. Vi skal dog arbejde lidt for at få kompakt støtte. Sæt c 0 = sup t I γ(t), hvor γ(t) er operatornormen, vælg c 1 > c 0 og definer { γt (x) x 1 G t (x) = x γ t(x) γ t(x) x c 1 Udvid G t til R n ved brug af en glat afbildning φ : [0, ) [c 1 0, ) R { u u 1 φ(u,v) = uv u c 1 og u φ, v φ 0. Med denne kan vi sætte G t (sv) = φ(s, v γ t (v) )γ t(v), v = 1,s > 0 Denne afbildning er lig G t hvor denne er defineret og udvider ellers G t. For at konstruere φ henviser vi til et tidligere lemma. For c 1 +t x c 1 +1 kan vi omdefinere G t til G t (x) = x γ s (x) γ s(x), x = c 1 +s Dette giver at G t (x) = x for x c ε. Så får vi at G t (x) = x for x > c 1 og dermed har vi en ambient isotopi med kompakt støtte der ændrer A til identiteten på D n. Lemma 62. Lad ı : D n R n være en indlejring. Så er ı ambient isotop gennem en isotopi med kompakt støtte til en indlejring î : D n R n så î(d n ) = D n og î : S n 1 S n 1 er isotop til identiteten gennem diffeomorfier. Bemærkning 63. Bemærk at dette giver det ønskede lemma når M = R n. Bevis. Vi skal bruge mange af de tidligere lemmaer. Vi kan starte med at antage at ı(0) = 0 ved brug af en ambient isotopi af diffeomorfier af R n der flytter ı(0) til 0. På lignende vis kan vi antage at den afledte i nul er identiteten, D 0 ı = id R n. Lad U være billedet af den åbne disk (D n ) under ı. Så får vi en Morse-funktion f : U R ved f(x) = ı 1 (x) 2 Denne har 0 som det eneste kritiske punkt med indeks 0. Altså findes der ρ > 0,d > f(0) = 0 så ρd n U f(x) > f(0) x ρd n 0 S c = {x ρd n f(x) = c} er en kompakt glat mangfoldighed forc (0,d) 30