(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 11 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 III.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave III.2 III.3 IV.1 IV.2 V.1 V.2 V.3 VI.1 VI.2 VI.3 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VII.1 VII.2 VIII.1 VIII.2 VIII.3 IX.1 IX.2 X.1 XI.1 XI.2 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar (3) (1) 3 4 Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 22; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I Et firma overvejer at lave en reklamekampagne for forskellige typer kiks, der har et særlig højt indhold af fiber, og derfor menes velegnet som slankeprodukt. Desværre viser det sig, at kiksene kan medføre ubehag, blandt andet sure opstød. I et indledende forsøg har man undersøgt tre forskellige typer kiks, bran, fibo og gum. For hver type af kiks har 50 forsøgspersoner svaret på, hvorvidt man fik sure opstød efter at have spist kiksen. I alt 150 personer indgik i undersøgelsen. Resultaterne fra forsøget er givet i nedenstående tabel (hvor eksempelvis de 50 forsøgspersoner for bran fordelte sig med 3, der havde høj grad, 9 der havde middel, 16 der havde lav og 22 der havde ingen grad af opstød): Antal Grad af opstød personer høj middel lav ingen I alt bran fibo gum I alt Spørgsmål I.1 (1): Betragt alene tallene for bran. Andelen af personer i populationen, som slet ikke får sure opstød af bran kaldes nu p. 95% konfidensintervallet for p bliver: ± / ± / /4 ± 1.96 ((3 12.5) 2 + (9 12.5) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 )/ /4 ± t (49) ((3 12.5) 2 + (9 12.5) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 )/ ± t 0.05 (49) /50 Fortsæt på side 3 2

3 Spørgsmål I.2 (2): Betragt alene tallene for gum. Andelen af personer i populationen, som slet ikke får sure opstød af gum kaldes nu p. Med udgangspunkt i det bedste gæt på p i det foreliggende materiale, hvor mange personer skal man omtrent undersøge, hvis man i en ny undersøgelse ønske at kende p med en præcision svarende til et 99%-konfidensinterval på plus/minus 4%-point? personer personer personer personer personer Spørgsmål I.3 (3): Betragt hele talmaterialet. Den kritiske værdi for det relevante test (på niveau α = 0.05) for hypotesen om, at der ingen forskel er mellem de tre typer af kiks på fordelingen af personer hen over de fire svarkategorier, er: 1 F 0.05 (2, 6) = χ (6) = F 0.05 (2, 3) = χ (1) = z = Fortsæt på side 4 3

4 Betragt følgende akkumulerede tabel: Antal Grad af opstød personer høj, middel eller lav ingen I alt bran/fibo gum I alt Spørgsmål I.4 (4) Andelen af personer i populationen, som slet ikke får sure opstød af bran eller fibo kaldes nu p 1. Andelen af personer i populationen, som slet ikke får sure opstød af gum kaldes p 2. Vi ønsker at teste hypotesen: p 1 = p 2. Hvilken af følgende teststørrelser er et relevant test for dette? 1 ( ) 2 /( ) 2 (55 45) (41 9) (96 54) (100 50) (55 45) 2 + (41 9) 2 + (100 50) 2 + (96 54) ( ) ( ) Fortsæt på side 5 4

5 Opgave II I et idrætsstudie ønsker man at undersøge, om der er en forskel i energiforbrug for forskellige typer af træning. I studiet har man (for en enkelt person) målt energiforbruget for 10 løbeture af 30 minutter og 10 cykelture af 30 minutter. Målingerne, angivet i kcal, er givet i nedenstående tabel: Løbeture Cykelture Følgende R-kode blev kørt: x1=c(314,340,331,333,329,322,332,330,338,325) x2=c(294,317,317,310,327,300,293,321,307,304) var(x1) var(x2) t.test(x1,x2,var.equal=t) t.test(x1,x2,var.equal=t,pair=t,mu=20) med følgende resultater: Fortsæt på side 6 5

6 > var(x1) [1] > var(x2) [1] 132 > t.test(x1,x2,var.equal=t) Two Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = 18, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y > t.test(x1,x2,var.equal=t,pair=t,mu=20) Paired t-test data: x1 and x2 t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences 20.4 Spørgsmål II.1 (5): Hvad er det mest rigtige svar på spørgsmålet: Er der forskel i middelenergiforbrug mellem de to typer af aktiviteter? (Både konklusion og argument skal være passende) 1 Ja, der er forskel, idet den relevante P-værdi er omkring Nej, der er ikke forskel, idet den relevante P-værdi er omkring Ja, der er forskel, idet den relevante P-værdi er omkring Nej, der er ikke forskel, idet den relevante P-værdi er omkring Ja, der er forskel, idet 20.4 er større end 20 Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål II.2 (6): Vi ønsker at teste hypotesen (på niveau α = 0.10) om, at varianserne i de to grupper er ens. Hvad er den relevante teststørrelse, her kaldet Q, og tilhørende kritiske værdi? 1 Q = ( )/2 med kritisk værdi: Q = /10 med kritisk værdi: Q = 4 Q = med kritisk værdi: med kritisk værdi: Q = med kritisk værdi: 4.85 Betragt i resten af opgaven kun data for cykelturene. Spørgsmål II.3 (7): Hvad er henholdsvis nedre kvartil, median og øvre kvartil for disse data? (Det antages, at lærebogens definitioner anvendes. Disse adskiller sig en anelse fra R s definitioner.) 1 77, 232, , 308.5, , 309, , 309, , 308.5, 317 Fortsæt på side 8 7

8 Spørgsmål II.4 (8): Kald det sande middelenergiforbrug ved cykeltturene for µ. Et 99%- konfidensinterval for µ er: 1 0 ± / ± / ± / ± / ± /10 Spørgsmål II.5 (9): Et nyt studie i energiforbrug ved cykelture planlægges. Der ønskes et 95%-konfidensinterval for µ med en samlet bredde på 8kCal. Hvor mange cykelture skal omtrent foretages for at opnå denne præcision? 1 Omtrent 62 2 Omtrent 90 3 Omtrent Omtrent 32 5 Omtrent 3 Fortsæt på side 9 8

9 Opgave III Biler bliver crash testet ved Euro NCAP. I nedenstående tabel ses resultaterne for 18 biler, 6 inden for hver af tre biltyper. Tallet angiver en rating, som egentlig er en procent, men som her betragtes som en kvantitativ måling. Supermini Lille familie Stor familie Gennemsnit Varians Det oplyses at 3 6 (y ij ȳ) 2 = og i=1 j=1 3 6 (y ij ȳ i ) 2 = , i=1 j=1 hvor y ij er målingen for den j te bil inden for den i te type, i = 1, 2, 3 og j = 1,..., 6. Den sædvanlige model for denne situation tænkes anvendt. Spørgsmål III.1 (10): Estimatet for variansen σ 2 bliver: / /15 3 ( )/15 4 ( )/ /3 Fortsæt på side 10 9

10 Spørgsmål III.2 (11): Vi ønsker at teste for forskel i middelrating på biltyperne. Den relevante teststørrelse kaldes nu Q. Det mest korrekte formulerede resultat af dette test er: 1 Ja, der er forskel idet Q = 1.55 med en P-værdi over Nej, der er ikke forskel idet Q = 1.29 med en P-værdi over Nej, der er ikke forskel idet Q = 1.55 med en P-værdi over Ja, der er forskel idet Q = 4.1 med en P-værdi under Ja, der er forskel idet Q = 4.1 med en P-værdi under 0.05 Spørgsmål III.3 (12): Det bedste 95% konfidensinterval for forskellen mellem typerne Lille familie og Supermini er givet ved: 1 7 ± ± ± ± ± Fortsæt på side 11 10

11 Opgave IV I et forsøg fik man følgende 20 målinger: med gennemsnit x = 4.02 mm og spredning s = mm. Spørgsmål IV.1 (13): Vi ønsker at teste hypotesen H 0 : σ 2 = 4 mod H 1 : σ 2 > 4 på et 5% signifikansniveau. Hvad bliver resultatet? (Både resultat og argument skal være i orden) 1 Accepter H 0 idet ( )/4 < Accepter H 0 idet /4 < Forkast H 0 idet > Forkast H 0 idet > Forkast H 0 idet > 4 Spørgsmål IV.2 (14): I fortsættelse af undersøgelsen af σ vil man gerne konstruere et 99% konfidensinterval for spredningen σ. Dette interval bliver < σ < < σ < < σ < < σ < < σ < Fortsæt på side 12 11

12 Opgave V Man ønsker at vurdere, om der er en sammenhæng mellem årlige atmosfæriske CO 2 -målinger og årlige globale gennemsnitstemperaturer. Følgende resultater for 10 år haves: CO 2 (ppm) Temp (Celcius) Det oplyses, at middelværdi og spredning for temperatur-målingerne, x, er estimeret til: x = s x = Middelværdi og spredning for CO 2 -målingerne, y, er estimeret til: ȳ = s y = Videre er (xi x)(y i y) = ( )( ) ( )( ) = I det følgende antages observationerne at kunne beskrives ved følgende model: y i = α + βx i + ɛ i hvor y i og x i er i te måling af henholdsvis CO 2 og temperatur. Leddet ɛ i er den tilfældige afvigelse for i te observation fra α + βx i. Afvigelserne ɛ i antages at have middelværdi 0 og varians σ 2. Et plot af data sammen med den bedste rette linie er: co temp Fortsæt på side 13 12

13 Spørgsmål V.1 (15): Estimatet for β bliver: = = = = = Spørgsmål V.2 (16): 95% konfidensintervallet for hældningskoefficienten bliver: 1 ˆβ ( ) 1 ± ˆβ ( ) 1 ± ˆβ ( ) 1 ± ˆβ ± /10 5 ˆβ ± /10 Spørgsmål V.3 (17): Hvor stor en del af variationen i CO 2 -målingerne kan forklares af temperatur-forskellene? 1 Omtrent 20% 2 Omtrent 50% 3 Omtrent 80% 4 Omtrent 90% 5 100% Fortsæt på side 14 13

14 Opgave VI Der foreligger data for tre forskellige metoder til at bestemme nogle personers reaktionshastighed på: (angivet i milisekunder) Metode Person Person Person Person Person Person De samme 6 personer er altså blevet testet med alle tre metoder. En kørsel i R gav følgende output: (hvor 3 tal dog er erstattet af bogstaverne A, B og C.) > anova(lm(y~metode+person)) Analysis of Variance Table Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Metode A e-06 *** Person B e-14 *** Residuals C Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Spørgsmål VI.1 (18): Hvad er A, B og C? 1 A = 6, B = 3 og C = 15 2 A = 3, B = 6 og C = 18 3 A = 5, B = 2 og C = 10 4 A = 3, B = 5 og C = 15 5 A = 2, B = 5 og C = 10 Fortsæt på side 15 14

15 Spørgsmål VI.2 (19): Konklusionerne vedrørende mulige forskelle på personer og metoder kan kort opsummeres som: 1 Der er kun forskel på personer, ikke på metoder idet Person P-værdien er meget mindre en Metode P-værdien 2 Der er forskel på både personer og metoder, idet begge P-værdier er meget små 3 Der er kun forskel på metoder, ikke på personer idet Person P-værdien er meget mindre en Metode P-værdien 4 Der er ingen statistiske forskelle i datamaterialet, idet begge P-værdier er meget små og spredningen stor 5 Der er ingen statistiske forskelle i datamaterialet, idet spredningen er langt større end 0.05 Spørgsmål VI.3 (20): Antag, at kun metode 1 og 2 var blevet undersøgt, men nu med 12 personer, hvor alle 12 blev testet med begge metoder. Hvad ville det mest relevante test (blandt de angivne muligheder) være for hypotesen om ingen metodeforskel? 1 Et uafhængigt t-test med 22 frihedsgrader 2 Et parret t-test med 11 frihedsgrader 3 Et χ 2 -test med 1 frihedsgrad 4 Et F-test med frihedsgraderne 12 og 22 5 Et ensidet z-test. Fortsæt på side 16 15

16 Opgave VII En trick-terning er konstrueret så den har følgende sandsynligheder for de 6 mulige udfald: 1 er 2 er 3 er 4 er 5 er 6 er Lad X være det tilfældige udfald af et enkelt kast med terningen. Kald middelværdien for X, µ og kald variansen for X, σ 2. Spørgsmål VII.1 (21): Lad nu Y være det samlede antal øjne i 50 kast med denne terning. Hvad er middelværdi og varians for Y? 1 E(Y ) = 50µ og V ar(y ) = 2500σ 2 2 E(Y ) = µ og V ar(y ) = σ 2 3 E(Y ) = 50 og V ar(y ) = σ 2 4 E(Y ) = µ og V ar(y ) = σ 2 /50 5 E(Y ) = 50µ og V ar(y ) = 50σ 2 Spørgsmål VII.2 (22): Hvad er µ og σ 2? 1 µ = 4.2 og σ 2 = µ = og σ 2 = µ = 3.5 og σ 2 = µ = 4.2 og σ 2 = µ = 3.5 og σ 2 = 1/6 Fortsæt på side 17 16

17 Opgave VIII Otte forskellige fladskærms TV-apparater blev kvalitetsvurderet. I nedenstående tabel ses sammenhørende værdier for pris (i kr) og kvalitet (på en skala fra 0 til 100) Pris (Kr) Kvalitet En kørsel i R gav følgende output: > summary(lm(tvpris~tvkval)) Call: lm(formula = tvpris ~ tvkval) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) tvkval Residual standard error: 2113 on 6 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.295, Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 6 DF, p-value: Spørgsmål VIII.1 (23): Korrelationskoefficienten mellem pris og kvalitet er: 1 r = r = r = r = r = Fortsæt på side 18 17

18 Spørgsmål VIII.2 (24): Kan man statistisk påvise en sammenhæng mellem pris og kvalitet? (Både resultat og argument skal være i orden) 1 Nej, idet den relevante P-værdi er Nej, idet den relevante P-værdi er Ja, idet den relevante P-værdi er Nej, idet den relevante P-værdi er Nej, idet afskæringen med y-aksen er Spørgsmål VIII.3 (25): Hvad bør et tilsvarende fladskærms-tv med en kvalitet på 72 omtrent koste ifølge den estimerede model? = = ȳ = = Ingen af ovenstående Fortsæt på side 19 18

19 Opgave IX I følgende tabel ses antallet af såkaldte challenges i en tennisturnering, der bruger det elektroniske instant replay system Hawk-Eye, opgjort efter køn af tennisspilleren og om den var berettiget eller ej: (Foklaring: En challenge af spilleren giver mulighed for øjeblikkeligt at se, om dommernes vurdering af en bold (inde/ude) er korrekt eller ej) Berettiget Ja Nej Kvinder Mænd Spørgsmål IX.1 (26): Et relevant test for om der er forskel på succes-sandsynligheden for kvinder og mænd er givet ved: (success er her defineret som en berettiget challenge, som altså igen betyder at spilleren fik påpeget en fejlagtig dommerkendelse) 1 ( ) ( ) ( ) 2 + ( ) 2 3 ( ) 2 + ( ) 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Spørgsmål er: IX.2 (27): Et 95% konfidensinterval for kønsforskellen i succes-sandsynlighederne ± ± ± ± ± 1.96 Fortsæt på side 20 19

20 Opgave X I en undersøgelse af holdninger til global opvarmning fik man følgende svar fra 1106 personer: Menneskeskabt Naturlig årsager Ved ikke/intet svar Kvinder Mænd Spørgsmål X.1 (28): Vi ønsker at teste hypotesen (på niveau α = 0.05) om, at der ikke er forskel på de to køns holdninger til den globale opvarmning. Hvad er den kritiske værdi for den relevante teststørrelse? 1 χ (1) = F 0.05 (1, 3) = F 0.05 (2, 6) = χ (2) = z = 1.96 Fortsæt på side 21 20

21 Opgave XI Herunder ses et plot af fem sammenhørende (x,y)-værdier samt den bedste rette linie: y I det følgende antages observationerne at kunne beskrives ved følgende model: x y i = α + βx i + ɛ i Leddet ɛ i er den tilfældige afvigelse for i te observation fra α + βx i. Afvigelserne ɛ i antages at have middelværdi 0 og varians σ 2 Spørgsmål XI.1 (29): Kun et sæt af følgende mulige estimater for de tre ukendte parametre i modellen kan være det rigtige. Hvilket er det? 1 ˆα = 0, ˆβ = 1 og ˆσ = ˆα = 0, ˆβ = 1 og ˆσ = ˆα = 4, ˆβ = 1 og ˆσ = ˆα = 4, ˆβ = 1 og ˆσ = ˆα = 1, ˆβ = 4 og ˆσ = 0 Fortsæt på side 22 21

22 Spørgsmål XI.2 (30): Den bedste rette linie ŷ i = a + bx i er den linie, der 1 gør 5 i=1 (y i a bx i ) mindst mulig 2 gør (b β) 2 + (a α) 2 størst mulig 3 gør 5 i=1 (y i ȳ) 2 mindst mulig 4 gør 5 i=1 (y i a bx i ) 2 mindst mulig 5 gør 5 i=1 (x i a by i ) 2 mindst mulig Slut på opgavesættet. 22