Om begrebet relation

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Om begrebet relation"

Transkript

1 Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet relation antyder, så involverer en relation en eller anden form for forbindelse mellem to objekter. Et eksempel på en relation inden for mængden af reelle tal er (mindre end eller lig med). De to tal 1 og 2 står i denne relation til hinanden, idet 1 2, hvorimod de to tal 2 og 1 ikke står i denne relation til hinanden. En anden relation, her inden for mængden N af naturlige tal, har vi mødt i talteori, nemlig (kongruens modulo et foreskrevet naturligt tal n): Lad a N og b N. Definitionen på, at a b er, at a b er et helt multiplum af n. Der er mange andre måder, to hele tal a og b kan være relaterede på. F.eks. a = b eller a b. Man møder også relationer uden for matematikken. F.eks. er at være broder til en relation mellem mænd. Lad X og Y være mængder. En given relation skal specificere for hvilke ordnede par (x, y) X Y det gælder, at x står i den givne relation til y. Det gøres mængdeteoretisk som følger: Definition 1.1. Lad X og Y være mængder. (a) En relation fra X til Y er en delmængde R af X Y. (b) Lad x X og y Y. Vi siger, at x står i relationen R til y og skriver x R y, såfremt (x, y) R. I Definition 1.1 specificeres det, hvornår elementet x X står i relationen R til elementet y Y, og hvornår det ikke gør det: Det gør det, når det ordnede par (x, y) er et element i R, og det gør det ikke, når (x, y) / R. En relation R fra X til Y er altså bestemt ved, at visse par (x, y) (nemlig de par, der er elementer i R) fremhæves frem for andre par. Det bemærkes, at brugen af vendingen fra X til Y i Definition 1.1 svarer til, at vi lægger vægt på rækkefølgen af faktorerne X og Y i mængdeproduktet X Y, altså på rækkefølgen af elementerne x og y i et ordnet par 1

2 (x, y): Det første bogstav x betegner et element fra X, det andet bogstav y betegner et element fra mængden Y. Det kan selvfølgelig ske, at de to mængder X og Y er ens, altså at Y = X. I så fald taler vi om en relation i X i stedet for det længere udtryk en relation fra X til X. I praksis definerer man ikke en relation mellem X og Y direkte som en delmængde af produktrummet X Y. Man gør det som regel ved at angive en betingelse for ordnede par; den tilsvarende relation er så mængden af de ordnede par, som opfylder den pågældende betingelse. Den abstrakte definitions fordel er, at den giver en fælles begrebsramme for alle relationer, uanset hvordan de er kommet til veje. Relationer kan have forskellige egenskaber. Her er de vigtigste: Definition 1.2. Lad X være en mængde. En relation R i X siges at være (i) refleksiv, såfremt x R x for ethvert x X. (ii) symmetrisk, såfremt det for alle x, y X gælder, at x R y medfører y R x. (iii) transitiv, såfremt såfremt det for alle x, y, z X gælder, at x R y og y R z medfører x R z. (iv) antisymmetrisk, såfremt det for alle x, y X gælder, at x R y og y R x tilsammen medfører, at x = y. 2 Eksempler Eksempel 2.1. Lad X være en mængde. R = X X er en ganske uinteressant relation i X, idet x R y for alle x, y X. Relationen R er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Eksempel 2.2. Lad X være en mængde, og lad R = være diagonalen i X X, hvor = {(x, x) x X}. Da betyder x R y, at x = y. Denne relation er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Eksempel 2.3. Lad X = N være mængden af de naturlige tal. For a, b N fastsætter vi, at a R b, hvis og kun hvis a b. Herved defineres en relation i mængden N; den er grundlæggende i talteorien. Relationen er refleksiv og transitiv, men ikke symmetrisk. Eksempel 2.4. Lad X være mængden af indbyggere i Århus. Lad x, y X være indbyggere. Definer x R y ved, at x og y bor mindre end 1 km fra hinanden. Denne relation er refleksiv og symmetrisk, men ikke transitiv. Eksempel 2.5. Lad X være mængden af studerende på øvelsesholdet MA3 i Perspektiver i Matematikken. Definer en relation i X ved, at x R y, såfremt x synes y er sød. Overvej, om denne relation er refleksiv, symmetrisk og/eller transitiv. 2

3 Eksempel 2.6. Lad X = R 2, og lad L være mængden af linjer i R 2. Definer for x R 2 og l L, at x R l, såfremt x l, dvs såfremt x er et punkt på linjen l. (a) Givet x 0 R 2 ; find {l L x 0 R l}. (b) Givet l 0 L; find {x R 2 x R l 0 }. Øvelse 2.7. Find fejlen i følgende argument for, at en relation R i X, der er symmmetrisk og transitiv, automatisk også er refleksiv: Lad x X. Hvis x R y, så giver symmetrien, at y R x. Transitiviteten giver så, at x R x. 3 Forbindelsen til funktionsbegrebet Vi har tidligere defineret begrebet en funktion f fra X til Y. Udtrykt ved relationsbegrebet er en funktion f fra X til Y en relation R fra X til Y med den egenskab, at der til ethvert x X findes netop ét element y Y, så (x, y) R. 4 Ordensrelationer Sammenligning af objekter er fundamental i matematik. Vi sammenligner to reelle tal x og y ved at spørge om x y. Vi sammenligner to mængder A og B ved at spørge om A B. Vi sammenligner to punkter i R 2 ved at spørge, hvilket af dem der er nærmest ved (0, 0). I dette afsnit skal vi se på en speciel slags relationer, de såkaldte ordensrelationer, der sammenligner elementer i en given mængde. Definition 4.1. Lad X være en mængde. En relation R i X siges at være en ordning, såfremt den er refleksiv, transitiv og anti-symmetrisk. En ordning vil sædvanligvis blive betegnet med, eller lignende i stedet for R, idet symbolet og dets egenskaber er kendt fra de reelle tal. Notationen y x er pr. definition blot en anden måde at skrive x y på. Vi samler i den følgende definition forskellige begreber, der optræder i forbindelse med ordensrelationer: Definition 4.2. Lad være en ordensrelation i en mængde X. (a) Lad Y være en delmængde af X. Et element x X siges at være en majorant for Y, såfremt y x for ethvert y Y. (b) Lad Y være en delmængde af X. Et element x X siges at være en minorant for Y, såfremt x y for ethvert y Y. 3

4 (c) Ordningen siges at være opad filtrerende, såfremt ethvert par af elementer i X har en majorant. Det er ensbetydende med, at enhver endelig delmængde af X har en majorant. (d) Hvis et par x, y X has en mindste majorant med hensyn til ordningen, betegnes denne majorant x y. (e) Hvis et par x, y X has en største minorant med hensyn til ordningen, betegnes denne minorant x y. (f) (X, ) siges at være et lattice, såfremt x y og x y begge eksisterer for ethvert par x, y X. (g) (X, ) siges at være totalt ordnet, såfremt det for ethvert par x, y X af elementer i X gælder, at enten er x y eller også er y x. (h) (X, ) siges at være velordnet, såfremt enhver ikke-tom delmængde Y af X har et mindste element (dvs der findes et element y 0 Y, som er en minorant for Y. Eksempel 4.3. De naturlige tal N er med deres sædvanlige ordning en velordnet mængde. Eksempel 4.4. Mængderne Z og R er med deres sædvanlige ordninger begge totalt ordnet. Eksempel 4.5. Lad os udstyre R R med produktordenen, dvs (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) betyder, at x 1 x 2 og y 1 y 2. Da er R R et lattice, men R R er ikke totalt ordnet. Definition 4.6. Lad (X, ) og (Y, ) være to ordnede mængder. Den leksikografiske ordning på X Y er defineret ved, at (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) Enten er x 1 x 2 og x 1 x 2, eller også er x 1 = x 2 og y 1 y 2. Eksempel 4.7. Z Z og R R er begge totalt ordnet, når de udstyres med leksikografisk ordning. Øvelse 4.8. Lad (X, ) og (Y, ) være to totalt ordnede mængder. Vis, at X Y med leksikografisk ordning også er totalt ordnet. Øvelse 4.9. Lad X være en mængde. (a) Definer følgende relation på P(X): A B, såfremt A B. Undersøg, om der herved defineres en ordningsrelation på P(X). 4

5 (b) Definer følgende relation på P(X): A B, såfremt A B. Undersøg, om der herved defineres en ordningsrelation på P(X). Øvelse Undersøg, hvilke af egenskaberne refleksivitet, symmetri og transitivitet nedenstående relationer har: (a) Lad R være relationen på N givet ved: x R y såfremt x y. (b) Lad R være relationen {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3)} på mængden {1, 2, 3}. (c) Lad R være relationen på R givet ved: x R y såfremt x y er rational. (d) Lad R være relationen på R givet ved: x R y såfremt x y er irrational. (e) Lad R være relationen på R givet ved: x R y såfremt x y 2. Øvelse Lad os betragte mængden F af reelle funktioner på intervallet [0, 1] (eller på en vilkårlig mængde). For to sådanne funktioner f : [0, 1] R og g : [0, 1] R skriver vi f g, såfremt f(t) g(t) for alle t R. Hvilke egenskaber (af dem, der er listet i Definitionerne 1.2 og 4.2) har relationen på mængden F? 5 Ækvivalensrelationer Definition 5.1. En ækvivalensrelation R i en mængde X er en relation i X, som er refleksiv, symmetrisk og transitiv, dvs den opfylder, at (a) x R x for ethvert x X (R er refleksiv). (b) x R y medfører y R x (R er symmetrisk). (c) x R y og y R z medfører x R z (R er transitiv). For en ækvivalensrelation benytter man ofte i stedet for R tegn som, o.lign., der minder om et lighedstegn. Eksempel 5.2. Et banalt, men vigtigt eksempel på en ækvivalensrelation er relationen R, givet ved, at x R y, såfremt x = y. Eksempel 5.3. Lad n N. Kongruens modulo n er en ækvivalensrelation i Z. Relationen R er her, hvor a b, såfremt a b er et helt multiplum af n. Øvelse 5.4. Definer en relation på R 2 ved, at for (a, b), (c, d) R 2 skal (a, b) (c, d), såfremt a 2 + b 2 = c 2 + d 2. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation på R 2. 5

6 (b) Opskriv fire forskellige elementer i mængden {(x, y) R 2 (x, y) (4, 3)}. (c) Giv en geometrisk beskrivelse af mængden fra punkt (b). (d) Beskriv ækvivalensklasserne for relationen. Definition 5.5. Ved en klasseinddeling af en mængde X forstås et ikke-tomt system K af ikke-tomme delmængder af X, så (1) Til ethvert x X findes en delmængde K K, så x K. Med andre ord er K = X. K K (2) For alle K 1, K 2 K gælder det, at hvis K 1 K 2, så er K 1 K 2 =. Med andre ord er mængderne i systemet K parvis disjunkte. Eksempel 5.6. Lad K være en klasseinddeling af mængden X. Definer en relation i X ved, at x y, såfremt x og y ligger i samme K K. Så er en ækvivalensrelation i X. Eksempel 5.7. Betragt for r 0 cirklen K r = {(x, y) R 2 x 2 +y 2 = r 2 }. Systemet af disse cirkler er en klasseinddeling af R 2. Eksempel 5.8. Systemet {[n, n + 1[ n Z} er en klasseinddeling af R. Definition 5.9. Lad være en ækvivalensrelation i en mængde X. For ethvert x X indfører vi delmængden [x] = {y X y x} af X. Vi kalder den for ækvivalensklassen indeholdende x. Egentlig burde den betegnes med [x], da den afhænger af, hvilken ækvivalensrelation der er tale om. Men det fremgår som regel af sammenhængen, hvilken ækvivalensrelation der tænkes på, så for at gøre notationen mindre overlæsset udelades den. Proposition Lad være en ækvivalensrelation i en mængde X. Æ- kvivalensklasserne har følgende egenskaber: (a) x [x] for ethvert x X. (b) Lad x, y X. Da er [x] = [y], hvis og kun hvis x y. (c) Lad x, y X. Da er [x] = [y] eller [x] [y] =. (d) {[x] x X} er en klasseinddeling af X. Vi kalder den klasseinddelingen svarende til ækvivalensrelationen. 6

7 Eksempel Lad S være mængden af studerende ved Aarhus Universitet. For x, y S definerer vi, at x y hvis og kun hvis x og y er født i samme kalenderår. Så er en ækvivalensrelation i S, og en ækvivalensklasse er mængden af de studerende, som blev født i et bestemt år. For eksempel, hvis studenten x blev født i 1984, så består [x] af alle de studerende, som blev født i Relationen inddeler S i disjunkte delmængder, hvor studerende med samme fødselsår grupperes sammen. Øvelse Definer en relation i mængden R 2 ved, at (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) hvis og kun hvis x 1 = x 2. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Find ækvivalensklasserne. Øvelse Definer en relation i mængden R 2 ved, at x y, hvis og kun hvis x y 2Z (hvor nz for n N er defineret som nz = {nk Z k Z}, altså som mængden af hele multipla af n). (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Find ækvivalensklasserne. (c) Hvor mange ækvivalensklasser er der? Øvelse Definer en relation i mængden R 2 ved, at x y, hvis og kun hvis x + y 2Z. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Sammenhold dette med Øvelse Øvelse Lad n N. Definer en relation i mængden R 2 ved, at x y, hvis og kun hvis x y nz (altså at x y er et helt multiplum af n). (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Find ækvivalensklasserne. (c) Hvor mange ækvivalensklasser er der? Den næste sætning viser, hvordan der er en meget nær forbindelse mellem ækvivalensrelationer i X og klasseinddelinger af X. De er to sider af samme sag. Sætning Lad X være en mængde. Givet en ækvivalensrelation i X lader vi K betegne den hertil svarende klasseinddeling af X. Da er afbildningen K en bijektion af mængden af ækvivalensrelationer i X på mængden af klasseinddelinger af X. Den til en given klasseinddeling svarende ækvivalensrelation er den, der er beskrevet i Eksempel

8 Øvelse Se på Eksempel 5.3. Find sammenhængen mellem ækvivalensklasserne for og de kongruensklasser, som du mødte i lærebogen Johan P. Hansen og Henrik G. Spalk: Algebra og talteori, Gyldendal Øvelse Lad f : X R være en funktion på X. Definer for x, y X, at x y, hvis og kun hvis f(x) = f(y). (a) Vis, at er en ækvivalensrelation i X. (b) Find ækvivalensklasserne udtrykt ved f 1. Et topografisk kort over en egn illustrerer dette. Lad f(p) være punktet p s højde over havoverfladen målt i meter. Urbilledet f 1 (17) er så de punkter, hvis højde over havoverfladen er 17m, så det består af niveaukurver. Øvelse Indfør en relation i N N ved, at (a, b) (c, d), hvis og kun hvis ad = bc. Vis, at er en ækvivalensrelation. Øvelse Definer følgende fire delmængder af Z: A = {..., 9, 5, 1, 0, 4, 8,... } B = {..., 12, 8, 4, 1, 5, 9,... } C = {..., 11, 7, 3, 3, 7, 11,... } D = {..., 10, 6, 2, 2, 6, 10,... } (a) Gør rede for, at K = {A, B, C, D} er en klasseinddeling af Z. (b) Find et eksempel på heltal a 1 og a 2 i A og b 1 og b 2 i B, så a 1 + b 1 og a 2 + b 2 ligger i to forskellige af mængderne A, B, C, D. (c) Forklar hvorfor det ikke er muligt at definere A + B som det element i K, der indeholder a + b, hvor a A og b B. Øvelse Definer en relation i mængden R af reelle tal ved, at x y, hvis og kun hvis x y er et helt multiplum af 2π. (a) Vis, at er en ækvivalensrelation. (b) Idet ækvivalensklassen for x R som sædvanlig betegnes med [x], skal du vise, at addition af ækvivalensklasser er veldefineret ved forskriften [x] + [y] = [x + y] for x, y R. (c) Hvad med multiplikation af ækvivalensklasser? 8

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence)

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence) Matematiske kompetencer indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence) løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Fag matematik 1. klasse 17/18

Fag matematik 1. klasse 17/18 Fag matematik 1. klasse 17/18 UGER TEMA MATERIALER Uge 33-38 Kontext 1 elevbog a: s. 2-27 Tal og tælling Vi arbejder vi arbejder med forskellige begreber, hvor mange er der, flest eller færrest, hvad koster

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002 Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Årsplan 2017/2018 Matematik 8. kl. Kapitel 1: Regnehierarkiet

Årsplan 2017/2018 Matematik 8. kl. Kapitel 1: Regnehierarkiet Årsplan 07/08 Matematik 8. kl. I grundbogen Matematrix 8 arbejder elevern med bogens emner og opgaver (næsten) udelukkende på computer i word, excel og geogebra. Eleverne skal udover det daglige arbejde

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere