BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER FOR MATERIALEPARAMETRE

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER FOR MATERIALEPARAMETRE"

Transkript

1 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER FOR MATERIALEPARAMETRE Joh Dalgaard Søree Itituttet for Bygigtei Aalborg Uiveritet Idhold:. Idledig.... Fatlæggele af arateritie værdier ved avedele af ae A i DS Normalfordelte toatie variabler Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og redig Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og edt redig...4. LogNormalfordelte toatie variabler Eemel Fatlæggele af arateritie værdier ved avedele af ae D i EN 990 (Eurocode) Normalfordelte toatie variabler Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og redig Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og edt redig Diffu (ige) rior LogNormalfordelte toatie variabler Eemel Referecer... Aedi A Karateritie værdier iht. DS Aedi B Karateritie værdier iht. ae D i EN 990 (Eurocode)...5. Idledig I dette otat berive de grudlæggede forudætiger for betemmele af arateritie værdier for materialearametre og modtadever. Der berive metoder, del metode i ae A i DS 409 [] (DS 409: Sierhedbetemmeler for Kotrutioer, 999), om er baeret å lai tatiti, og del metode i ae D i EN 990 (Eurocode 0: Bai of tructural deig) [], om er baeret å Bayeia tatiti. Det bemære, at der derudover i ae B i DS 409 er berevet, hvorlede otrol af materilearametre a udføre. Kotrolle al medvire til at ire, at de forudætiger, der er gjort ved rojeterige af e otrutio, er ofyldt. Derom dette ie er tilfældet a otrolreultatere beytte om belutiggrudlag for idgribe. Forøg a ålede beytte å flere måder i deigrocee. Forøg udføre f.e. år materialearametree (eller belatige) ie ede med tiltræelig ierhed beregigmodellere ie er tiltræeligt verificeret der al beytte et tort atal e omoeter der øe udført valitetotrol å det leverede materiale eller de leverede omoeter Følgede tyer af forøg a da bl.a. være relevate: forøg til at betemme ecifie materialearametre forøg til at reducere uierhed i beregigmodeller Side af 8

2 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 otrol forøg til at chece valitete af leverede materialer eller oitee af e rodutio, f.e. trytyre af beto cylidre Forøgee al lalægge detaljeret m.h.t. formål, forvetet oførel, ecifiatio af forøgeme, belatig, forøgotillig, måliger (hvad al måle og hvor tore er måleuierhedere) og evaluerig af forøgreultater. I afit berive det tatitie grudlag for at beytte forøgreultatere til at etimere e arateritie værdi ved at beytte metode berevet i ae A i DS 409. I afit 3 berive hvorlede arateritie værdier a betemme i hehold til EN 990 ved avedele af Baye tatiti.. Fatlæggele af arateritie værdier ved avedele af ae A i DS 409 De arateritie værdi, for e materiale- eller tyrevariabel, X modelleret om e toati variabel, betemme riciielt om 00 % fratile i fordeligfutioe FX ( ) for X (varede til et hyoteti uedeligt tort atal forøg / tirøver): = F ( ) () X Normalt beytte i otrutioormere og i Eurocode = 005., dv. 5 % fratiler. De arateritie værdi er illutreret i figur. Figur. Frevefutio f X for toati variabel X og fratilværdie. I de tilfælde, hvor der u er et begræet atal tirøver til rådighed til betemmele af de arateritie værdi, a beytte følgede (eller e ævivalet) fremgagmåde. Det atage, at der er tirøveværdier til rådighed og at die a betragte om ommede fra e homoge oulatio. Stirøveværdiere betege : (,,..., ). De arateritie værdi betemme om det edre edeut i et 84. % ofideiterval for fratilværdie, d.v.. varede til et ofideiveau å q =0.84. Det bemære, at 084. = 059. varer til værdie af fordeligfutioe for e ormalfordelt toati variabel i et ut, der er e redig midre ed middelværdie. I afit. berive ort hvorlede de arateritie værdier a betemme. I aedi A er givet e mere detaljeret geemgag. Side af 8

3 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003. Normalfordelte toatie variabler Atage X at være Normal fordelt med forvetigværdi µ og redig er de arateritie værdi ålede defieret om -fratilværdie: = µ + u () hvor u = Φ ( ) (3) Φ er de tadardierede ormalfordeligfutio... Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og redig. Ført betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med uedt redig. Af de tirøveværdier,,..., betemme tirøve middelværdi m og varia m = i i= (4) = ( i ) (5) i= På bai af tirøvearametree m og etimere tirøve arateritie værdi: = m (6) I tabel er vit om futio af for =0.05, 0.05 og 0.0 og for q =0.84. I tabel er de tilvarede værdier vit for q =0.75. Figur. Karateritie værdier, og, varede til og uedelig mage forøgreultater. I figur er de arateritie værdi vit for tilfældet med forøgreultater, tilfældet med uedelig mage forøgreultater,,., og for Side 3 af 8

4 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og edt redig. Deræt betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med edt redig lig. Det bemære, at det al ue doumetere, at redige ede. Af de tetreultater betemme tirøve middelværdi m m = i (7) i= De arateritie værdi betemme af : = m (8) I tabel er vit om futio af for =0.03, 0,05 og 0,0 og for q =0.84. I tabel er de tilvarede værdier vit for q =0.75. =0,03 =0,05 =0,0 5 3,47,44,9,09,33,73 0,79,3,34,96,87,60 5,59,5,6,90,73,54 0,49,,07,87,65,5 30,38,8,98,83,57,46 50,8,4,89,79,50,4 00,9,0,8,75,43, ,65,65,8,8 Tabel. og om futio af for q =0.84 og =0.03, 0.05 og 0.0. Værdiere varer til otroltallee i ae A i DS 409. =0,03 =0,05 =0,0 5.95,30,46,95,96,58 0,5,,0,86,67,49 5,39,7,99,8,58,46 0,3,5,93,80,53,43 30,5,,87,77,47,40 50,8,09,8,74,43,38 00,,06,76,7,38, ,65,65,8,8 Tabel. og om futio af for q =0.75 og =0.03, 0.05 og LogNormalfordelte toatie variabler Atage X at være LogNormal fordelt er = l X ormalfordelt. Karateritie værdier a betemme helt aalogt til ovetåede. Side 4 af 8

5 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 Ført betragte e ituatio med e LogNormal fordelt variabel med uedt variatiooefficiet. Af l til de tetreultater betemme middelværdie m og variae m = l i= i (9) = (l i= i m ) (0) På bai af tirøvearametree etimere tirøve arateritie værdi: = e( m ) () Deræt betragte e ituatio med e LogNormal fordelt variabel med edt variatiooefficiet V m. Af l til de tetreultater betemme middelværdie m m = l i= i () På bai af tirøvearametere etimere tirøve arateritie værdi: = e( m l( + V )) e( m V ) (3) m m I forbidele med avedele af oveævte til deig baeret å røvig for forellige materialer / tyrer a der (i otrutioormere) tille rav til: - et midte atal forøg, f.e hvorda e homoge oulatio defiere, heruder hvorda forøgreultatere udtage / betemme udfra e give rodutio, f.e. hvor mage tirøver der al udtage fra hver otrolafit. Edvidere er det vigtigt at bemære, at år arateritie værdier betemt å bai af forøg beytte amme med artialoefficieter til betemmele af regigmæige værdier, å al variatiooefficiete og fordeligfutioe for tirøveværdiere ie afvige væetligt fra det, der er ataget ved fatlæggele af artialoefficiete. Hvi der er væetlige afvigeler, bør de regigmæige værdi fatlægge ålede, at der oå amme ierhediveau om forudat i DS Eemel Forøg med = 5 idlimede armerigjer giver følgede målte tyrer:.3 N, 8.6 N, 6.4 N, 30.4 N og 4. N. Det atage, at tyre a modellere ved e Logormal fordelig og at redige er uedt. Middelværdie betemme af (9): Side 5 af 8

6 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 m = l i= = 5 = 3.66 m i ( l.3 + l l l l 4.) og redige betemme af (0): y = (l mi y) i= = 0.38 Idet de arateritie værdi betemme om 5 % fratile giver tabel =,9 og af (6) få: e( m ) = e(3.66,9 0.38) = 7.5 N = y Side 6 af 8

7 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre Fatlæggele af arateritie værdier ved avedele af ae D i EN 990 (Eurocode) I de euroæie ierhedorm (Bai of Structural Deig, Eurocode EN990) beytte Bayeia tatiti om grudlag for fatlæggele af arateritie værdier. I afit 3. berive ort hvorlede de arateritie værdier a betemme. I aedi B er givet e mere detaljeret geemgag. 3. Normalfordelte toatie variabler 3.. Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og redig. Det atage at de toatie variable X er Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og redig. Middelværdi µ og redig atage uedte / uire med e rior fordelig om er e Normal-Iver-Gamma- fordelig med arametree m ', ν ', og '. Poterior fordelige bliver ogå e Normal-Iver-Gamma- fordelig med arametree = ' + (4) ( ' m) / ' ' m = + (5) ( ν ' ' + ' + ν + m ' )/ ν = (6) ν = ν ' + ν for ν ' og ν = ν ' + ν for ν '= 0 (7) hvor tet tatitiere m ad betemme af: m = ˆ i= i (8) = ( ˆ i ) i= (9) hvor ν = og $ = ( $, $,..., $ ) er tet reultater. De reditive (odaterede) fordelig for X givet tet reultatere $ = ( $, $,..., $ ) er e Studet-t fordelig. De arateritie værdi varede til fratil værdi (adylighed) å betemme af: = ' tv, (0) + hvor t v ', ' er -fratile i Studet-t fordelige med ν frihedgrader. Side 7 af 8

8 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 Prior fordelige er araterieret ved rior arametree m ', ν ', og '. Iformatioe om redige arateriere ved og ν '. Aymtoti (for tore ν ' ) a forvetigværdi E ( ) og variatiooefficiet COV ( ) for redige udtrye ved: E ( ) = ' COV ( ) = () v' Iformatioe om middelværdie µ arateriere ved m ', og '. Aymtoti (for tore ν ' ) a forvetigværdi E (µ) og variatiooefficiet COV (µ) for middelværdie µ udtrye ved: E ( µ ) = ' COV ( µ ) = () ' Givet et ø å E ( ), COV ( ), E (µ) og COV (µ) a rior arametree m ', ålede betemme. 3.. Normal fordelt variabel med uedt middelværdi og edt redig. ν ', og ' Deræt betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med edt redig. Det atage at de toatie variable X er ormal fordelt med middelværdi µ og redig. Middelværdi µ atage uedt / uier med e rior fordelig om er e Normal fordelig med arametree m ' og / '. Poterior fordelige, der er de odaterede fordelig for middelværdi µ givet tetreultater $ = ( $, $,..., $ ) bliver ogå e Normal fordelig med = ' + (3) ' + m ' = (4) ' + = (5) + ' Tet tatitie m er: m = ˆ i i= (6) hvor $ = ( $, $,..., $ ) er tet reultater. Side 8 af 8

9 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 De reditive (odaterede) fordelig for X givet tet reultatere $ = ( $, $,..., $ ) bliver e + Normal fordelig med arametre m og. De arateritie værdi varede til fratil værdi (adylighed) å betemme af: = ' u + = m (7) hvor = u + og u er -fratile i tadard Normal fordelige. Prior fordelige er araterieret ved rior arametree m ' og '. Iformatioe om middelværdie µ arateriere ved m ', og '. Aymtoti (for tore ν ' ) a forvetigværdi E (µ) og variatiooefficiet COV (µ) for middelværdie µ udtrye ved: E ( µ ) = COV ( µ ) = (8) ' Givet et ø å E (µ) og COV (µ) a rior arametree m ' og ' ålede betemme Diffu (ige) rior Er der ige rior iformatio (dv. e åaldt diffu rior) a udtryee () og () imlificere. For ituatioe med uedt redig atage: ν ' = 0 og ' =0 m ' og : ie relevate Hermed få: = (9) m = m (30) = (3) ν = (3) og dermed = m t ', + = m (33) hvor = t, + er fatore, om fide i tabel D i Ae D i EN 990 for uedt redig (og variatiooefficiet). I tabel 3 og 4 er vit om futio af for =0.05, 0.05 og 0.0. t, og Side 9 af 8

10 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 For ituatioe med edt redig atage: ' =0 ν ' = = m ' : ie relevat Hermed få: = (34) m = m (35) = (36) ν = (37) og dermed = m t, + = m u + = m (38) hvor = u + er fatore, om fide i tabel D i Ae D i EN 990 for edt redig (og variatiooefficiet). I tabel 3 og 4 er u og vit om futio af for =0.05, 0.05 og 0.0. =0,05 =0,05 =0,0 t, u t, u t, u , , , , , , ,645.38, ,645.3, ,645.99, ,645.90, ,645,645,8,8 Tabel 3. u om futio af for =0.05, 0.05 og 0.0. t, og =0,05 =0,05 =0, ,65,65,8,8 Tabel 4. og om futio af for =0.05, 0.05 og 0.0. Værdiere varer til otroltallee i ae D i EN990. Side 0 af 8

11 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre LogNormalfordelte toatie variabler Atage X at være LogNormal fordelt er = l X ormalfordelt. Karateritie værdier a betemme helt aalogt til ovetåede. Ført betragte e ituatio med e LogNormal fordelt variabel med uedt variatiooefficiet. Af l til de tetreultater betemme middelværdie m og variae m = l i= i (39) = (l i= i m ) (40) På bai af tirøvearametree etimere tirøve arateritie værdi: = e( m ) (4) Deræt betragte e ituatio med e LogNormal fordelt variabel med edt variatiooefficiet V m. Af l til de tetreultater betemme middelværdie m m = l i= i (4) På bai af tirøvearametere etimere tirøve arateritie værdi: = e( m l( + V )) e( m V ) (43) m m 3.3 Eemel Eemlet i afit.3 betragte ige. Nu atage tyre ormal fordelt. De = 5 forøgdata giver følgede middelværdi og redig vha. (8) og (9): m = 6.38 N = 3.6 N Ført atage at der ige rior vide er til rådighed. Idet redige er uedt betemme 5% fratile af (33) med =.33: = m = 9. N Deræt atage at rior vide er til rådighed. Det atage at Side af 8

12 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 E ( µ ) = = 5 N E ( ) = ' = 3 N ' COV ( µ ) = = 0. () ' COV ( ) = = 0. () v' Heraf betemme ν ' =.5 og ' =.44. ν = = 4 = ' + = 6.44 m = ( ' + m) / ' ' = 6. N ν = ν ' + ν = 5.5 = ν ' ' + ' + ν + m ' / ν ' = 0.7 N ( ) ' Med = 0.05 fide t v ', ' =.76 og dermed 5% fratile = ' tv, = 0.0 N + dv. at elvom forvetigværdie af rior ( m ') er midre e middelværdie af forøgreultatere, å øge de arateritie værdi ved at atage at rior (forhåd) vide er til rådighed. Helt tilvarede beregiger a foretage hvi tyre atage Logormal fordelt. 5. Referecer [] Retigliier for Lat- og ierhedbetemmeler for Bærede otrutioer. NKB-rift r. 55, 987. [] Eurocode 0: Bai of Structural Deig. EN 990, 00. [3] Aitchio, J. & I.R. Dumore : Statitical Predictio Aalyi. Cambridge Uiverity Pre, Cambridge 975. Side af 8

13 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 Aedi A Karateritie værdier iht. DS 409 Ført betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med uedt redig. Af de tirøveværdier betemme tirøve middelværdi og varia m = i i= (A) = ( i ) (A) i= Det a vie, at m er udfald af e toati variabel X, der er ormalfordelt med forvetigværdi µ og redig / : XN : ( µ, / ) (A3) S og at ( ) er udfald af e toati variabel ( ), der har e χ fordelig med ( ) frihedgrader: S ( ) : χ ( ) (A4) På bai af tirøvearametree m og etimere tirøve arateritie værdi: = m (A5) der vil være et udfald af e toatie variabel X = X S (A6) Fatore betemme ålede, at adylighede for at (det uire etimat) X er midre ed (de ade værdi) midt er q, d.v.. ligger å de ire ide i forhold til etimatet X. q beæve ogå ofideiveauet og er, om ævt ovefor, tyi lig Heraf få: P( X ) = P( X S µ + u ) X µ u P / = S / = P T ( (, u ) ) q (A7) Side 3 af 8

14 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 hvor de toatie variable T (, u ) har e ie-cetral t -fordelig med frihedgrader og ie-cetralitet arametere λ = u. For give værdier af, og q a betemme. I tabel er vit om futio af for =0.03, 0.05 og 0.0 og for q =0.84. I tabel er de tilvarede værdier vit for q =0.75. Deræt betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med edt redig lig. Det bemære, at det al ue doumetere, at redige ede. Af de tetreultater betemme tirøve middelværdi m m = i (A8) i= Beytte de amme ricier om ovefor få P( X ) = P( X µ + u ) X µ = P / = P U ( + u ) ( ( + u )) q (A9) hvor de toatie variable U er tadard Normal-fordelt med forvetigværdi = 0 og redig =. U har ålede fordeligfutioe Φ. bliver derfor u = + Φ ( q) / (A0) Dv. de arateritie værdi betemme af : = m (A) For give værdier af, og q a betemme. I tabel er vit om futio af for =0.03, 0,05 og 0,0 og for q =0.84. I tabel er de tilvarede værdier vit for q =0.75. Side 4 af 8

15 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 Aedi B Karateritie værdier iht. ae D i EN 990 (Eurocode) I de euroæie ierhedorm (Bai of Structural Deig, Eurocode EN990) beytte Bayeia tatiti om grudlag for fatlæggele af arateritie værdier. Ført betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med uedt redig. Det atage at de toatie variable X er ormal fordelt med middelværdi µ og redig : µ f X ( µ, ) = f N ( µ, ) = e (B) π Middelværdi µ og redig atage uedte / uire med e rior fordelig om er e Normal-Iver-Gamma- fordelig: ( ', ') ' f µ, ( µ, ) f N µ, fiγ ν ' = (B) Poterior fordelige, der er de odaterede fordelig for middelværdi µ og redig givet tetreultater $ = ( $, $,..., $ ), betemme af: f µ, hvor ( µ, ˆ ), ( µ, ) ( µ, ) d L(ˆ µ, ) f µ = (B3) L(ˆ µ, ) f µ d N L i= µ, ( ˆ µ, ) = f ( ˆ µ, ) er Lielihood futioe, om agiver adylighede for at få X i eto tetreultatere $ = ( $, $,..., $ ) givet at middelværdi og redig er µ og. Poterior fordelige bliver ogå e Normal-Iver-Gamma- fordelig (, ) f µ, ( µ, ˆ) f N µ m, f iγ ν = (B4) hvor arametree er: = ' + (B5) ( ' m) / ' ' m = + (B6) ( ν ' ' + ' + ν + m ' )/ ν = (B7) ν = ν ' + ν for ν ' og ν = ν ' + ν for ν '= 0 (B8) Tet tatitiere m ad er: Side 5 af 8

16 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 m = ˆ i= i (B9) = ( ˆ i ) i= (B0) hvor ν = og $ = ( $, $,..., $ ) er tet reultater. De reditive (odaterede) fordelig for X givet tet reultatere $ = ( $, $,..., $ ) betemme af f ( ˆ) = f (, ) f, ( µ, ˆ dµ (B) X X µ µ ) d De redictive fordelig for X givet tet reultatere $ = ( $, $,..., $ ) bliver e Studet-t fordelig f X + ( ˆ) = f S (,, ν ) (B) ' ' Heraf få, at de arateritie værdi varede til fratil værdi (adylighed) å betemme af: = ' tv, (B3) + hvor t v ', ' er -fratile i Studet-t fordelige med ν frihedgrader. Deræt betragte e ituatio med e Normal fordelt variabel med edt redig. Det atage at de toatie variable X er ormal fordelt med middelværdi µ og redig : µ f X ( µ, ) = f N ( µ, ) = e (B4) π Middelværdi µ atage uedt / uier med e rior fordelig om er e Normal fordelig: ( µ, / ') ' f µ, ( µ, ) = f N (B5) Poterior fordelige, der er de odaterede fordelig for middelværdi µ givet tetreultater $ = ( $, $,..., $ ) bliver ogå e Normal fordelig ( m, ) f µ, ( µ, ˆ) = f N µ (B6) Side 6 af 8

17 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 hvor arametree er: = ' + (B7) ' + m ' = ' + (B8) = + ' (B9) Tet tatitie m er: m = ˆ i= i (B0) hvor $ = ( $, $,..., $ ) er tet reultater. De reditive (odaterede) fordelig for X givet tet reultatere $ = ( $, $,..., $ ) bliver e Normal fordelig f X + ( ˆ) = f N m, (B) ' ' Heraf få, at de arateritie værdi varede til fratil værdi (adylighed) å betemme af: = ' u + = m (B) hvor = u + og u er -fratile i tadard Normal fordelige. Eemel Der betragte e Normal fordelt toati variabel X med forvetigværdi µ og edt redig = 3. Prior vide om µ modellere ved e Normal fordelig med middelværdi µ ' = 0 ad redig ' = 4 (varede til ' = 3 / 4 = ). Det atage at =5 obervatioer er til rådighed: ˆ =(.3,.4, 9.5, 0.7,.). Dette giver m = 0.9. Poterior fordelige bliver e Normal fordelig med forvetigværdi µ og redig, e (B8) - (B9): ' + m ' = = 0.8 og ' + = =.7. + ' Side 7 af 8

18 Betemmele af arateritie værdier for materialearametre 003 De reditive fordelig bliver ogå e Normal fordelig med forvetigværdi + redig = 3.6. m = 0.8 og I figur B er vit rior og oterior fordeliger for forvetigværdie µ. I figur B er vit de reditive fordelig for de toatie variable X µ Figure B. Prior (fuldt otruet liie) og oterior (tilet lie) fordeliger for forvetigværdie µ Figur B. Preditiv fordelig for de toatie variable X. Side 8 af 8

9--0 C:\JDSWOR\UNDERVIS\tatiti\DS409-otrol.doc BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER OG KONTROL Joh Dalgaard Søree Itituttet for Bygigtei Aalborg Uiveritet. Idledig I dette otat berive de grudlæggede

Læs mere

bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner

bestemmelse af karakteristiske værdier for materialeparametre og modstandsevner Statiti arateritie værdier BESTEMMELSE AF KARAKTERISTISKE VÆRDIER beteele af arateritie værdier for aterialearaetre og odtadever etode i ae A i DS 409 (DS 409: Sierhedbeteeler for Kotrtioer, 999) baeret

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Kursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kuru 02402 Introduktion til Statitik Forelæning 5: Kapitel 7: Inferen for gennemnit (One-ample etup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statitik og Dataanalye Bygning 324, Rum 220 Danmark Teknike Univeritet

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Udskiftning af et tag antages at vare 2-6 dage. Denne tidsperiode antages at være fastlagt ved følgende symmetriske tæthedsfunktion

Udskiftning af et tag antages at vare 2-6 dage. Denne tidsperiode antages at være fastlagt ved følgende symmetriske tæthedsfunktion STATISTIK Sriftlig evluerig, 3. semester, torsdg de. ur l. 9.-3.. Alle hælpemidler er tilldt. Opgveløsige forses med v og CPR-r. OPGAVE Udsiftig f et tg tges t vre -6 dge. Dee tidsperiode tges t være fstlgt

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Den stokastiske variabel X angiver levetiden i timer for en elektrisk komponent. Tæthedsfunktionen for den stokastiske variabel er givet ved

Den stokastiske variabel X angiver levetiden i timer for en elektrisk komponent. Tæthedsfunktionen for den stokastiske variabel er givet ved STATISTIK Skrtlg evaluerg, 3. emeter, madag de 3. jauar 5 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløge orye med av og CPR-r. OPGAVE De tokatke varabel agver levetde tmer or e elektrk kompoet. Tætheduktoe

Læs mere

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags. Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2 Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

6.7 Capital Asset Pricing Modellen

6.7 Capital Asset Pricing Modellen 0 Lineær regreion 67 Capital Aet Pricing Modellen I dette afnit vil vi gennemgå et ekempel hvor den intereante hypotee er om regreionlinien kærer y-aken i nul Ekempel 62 Capital Aet Pricing Model) I finanielle

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse

Anvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås

Læs mere

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Trængselsindikator for biltrafik

Trængselsindikator for biltrafik Trægelidikator for biltrafik Af Cria Overgård ae, Ceter for Trafik og Traport, DTU. Idledig Vækte i biltrafikke edfører gede trafikale probleer i pecielt de tore byer. Fiaieret af Trafikiiteriet og Traportrådet

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test: Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Geometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.

Geometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen. Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag

Læs mere

Program. Konfidensinterval og hypotesetest en enkelt normalfordelt stikprøve. Eksempel: hjerneceller hos marsvin. Eksempel: hjerneceller hos marsvin

Program. Konfidensinterval og hypotesetest en enkelt normalfordelt stikprøve. Eksempel: hjerneceller hos marsvin. Eksempel: hjerneceller hos marsvin Program Konfideninterval og hypoteetet en enkelt normalfordelt tikprøve Helle Sørenen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Lidt repetition fra i mandag Konfideninterval for µ the baic Tet af nulhypotee om µ

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Test i polynomialfordelingen

Test i polynomialfordelingen Statisti og Sadsylighedsregig STAT apitel 4.4 Test i polyomialfordelige Lad X (X,..., X ) Poly (, p). Observatio: (,..., ) der agiver atal udfald, 2,..., Susae Ditlevse Istitut for Matematise Fag Email:

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler

Læs mere

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet

Vindmøllesekretariatet og Biogassekretariatet og Biogass Brugertilfredshedsudersøgelse af og Biogasss sagsbehadlig og ydelser bladt ommuer Tabelrapport, telefoudersøgelse December Projetosuleter Asger H. Nielse Coie F. Larse Alle rettigheder til udersøgelsesmaterialet

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast Det krå kat Data Forøg 1: = 38 V 0 = 4, 94 K vidde = 2, 058 H = 0, 406 t = 0, 53 Forøg 2 (60 ): = 60 V 0 = 4, 48 K vidde = 1, 724 H = 0, 788 t = 0, 77 Fyik del Udførel af forøg Kat på 38 : Forøgoptilling:

Læs mere

I dag. Binomialfordelingen Sandsynlighedsregning og statistik. Eksempel: cornflakessmagning. Binomialfordelingen

I dag. Binomialfordelingen Sandsynlighedsregning og statistik. Eksempel: cornflakessmagning. Binomialfordelingen I dag Binomialfordelingen Sandynlighedregning og tatitik Helle Sørenen Binomialfordelingen! Sandynlighedregning: definition og andynlighedfunktion Sandynlighedregning v. tatitik Statitik: tatitik model

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Statistiske Modeller 1: Notat 1

Statistiske Modeller 1: Notat 1 Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede

Læs mere

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Nogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1

Nogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1 Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk

Læs mere

Bilag 17, PIE tillæg - Særlige krav til revision af PIE virksomheder

Bilag 17, PIE tillæg - Særlige krav til revision af PIE virksomheder Bilag 17, PIE læg - Særlige krav revisio af PIE virksomheder A. Revisiospåtegig 1. Er det i revisiospåtegige agivet, af hvem der er udpeget som revisor? Edvidere hvorår og hvor læge de har være udpeget?

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse Hjemmeopgave Makroøkonomi,. årprøve, foråret 2005 Vejledende bevarele Opgave. Korrekt. Arbejdtyrken er en beholdning- (tock) variabel, idet man på et givet tidpunkt (fx. jan) kan tælle, hvor mange der

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Opgave 1: Regressionsanalyse

Opgave 1: Regressionsanalyse Opgave : Regressiosaalyse La u, x,..., u, x være par af reelle al. Vi skal u besemme e ree liie, er passer bes me isse alpar i e forsa a summe x s α βu s miimeres. Ma fier alså e liie, x ˆα + ˆβu, for

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere