Fysik 3 Frie øvelser. Massen af galaksehob Abell 2218

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fysik 3 Frie øvelser. Massen af galaksehob Abell 2218"

Transkript

1 Fysik 3 Frie øvelser Massen af galaksehob Abell 18 Udført af: Anne Mette Frejsel, Andreas Terkildsen, Maja Larsen og Christian Eistrup Københavns Universitet Forår 008

2 Massen af galaksehob Abell 18 Anne Mette Frejsel, Andreas Terkildsen, Maja Larsen og Christian Eistrup 31. marts 008 Indhold 1 Intro Formål Indledning Galaksehobe - universets største strukturer Massen af en galaksehob 4.1 Den generelle masseformel Masse af en hob ved konstant temperatur Masse af en hob ved varierende temperatur Temperaturprofil Masseprofil for en galaksehob Forholdet mellem total masse og lysende stof Massen af det lysende stof Densitetsprofil Andelen af mørkt stof i A Diskussion af resultater Temperaturprofilen Masseprofilen Densitetsprofilen Andelen af mørkt stof i A Sammenligning med gravitationel linsning Usikkerhedsvurdering 14 6 Konklusion 15 Litteratur 16 7 Appendiks Appendiks 0 9 Appendiks 3

3 1 Intro 1.1 Formål Vi ønsker at bestemme massen af galaksehoben Abell 18 (A18). Dette vil vi gøre via analyser af temperaturen af gassen i galaksehoben, fundet ud fra dens røntgenspektrum. Vi ønsker at foretage en kvantitativ analyse af fordelingen af stof i galaksehoben, og herunder bestemme andelen af mørkt stof. Vi vil sammenligne vores resultater med gravitationel linsning. 1. Indledning Vores verden er - på stor skala - holdt sammen af tyngdekraften. Uden den og dens vidtrækkende påvirkninger af alle legemer - såvel med som uden masse - ville hverken vores Jord-måne-system, solsystemet, Mælkevejen eller nogen anden større struktur i universet se ud, som de gør. Tyngdekraften er ganske enkelt den mest dominerende kraft på stor skala Galaksehobe - universets største strukturer De største kendte strukturer i universet kaldes galaksehobe. Disse består af adskillige galakser, som er holdt gravitationelt sammen. Den lokale galaksehob, som vores egen galakse Mælkevejen er en del af, er en relativt fattig hob, idet den kun består af ca. 30 galakser. Fordi galaksehobe har meget stor udstrækning sammenlignet med galakser - galaksehobe har typisk radier på flere millioner lysår ift. galaksers radier på omkring lysår - er der meget store tomrum mellem de enkelte galakser i en galaksehob. Men disse tomrum er slet ikke så tomme, som man kunne tro. Der er tværtimod store mængder af intergalaktisk gas, som i virkeligheden udfylder tomrummene mellem galakserne. Gassen er fuldstændig ioniseret og meget varm, med temperaturer på flere millioner kelvin. Derfor udsender den ikke lys i det synlige område, men i stedet røntgenstråling. Galaksehobe er blevet studeret grundigt, især med det formål at kunne generalisere deres struktur til også at gælde hele universet. Gennem disse studier har det vist sig, at ikke alt er, som det umiddelbart ser ud. Der er en, til dato endnu ukendt, faktor som påvirker galaksehobenes - og dermed også universets - opbygning og dynamik i stor grad. Når galaksehobe analyseres, er der bemærkelsesværdige uoverensstemmelser mellem mængden af synligt stof, og hobenes fysiske opførsel. Der er for lidt lysende stof i form af gas, både i og omkring galakserne, i forhold til den masse det kræver at holde hobene sammen vha. tyngdekraften. Var der kun den observerbare masse i galaksehobe, ville de simpelthen ikke være samlet som strukturer. Eftersom det ikke er tilfældet, må der mangle noget stof i vores observationer. Årsagen til det manglende stof, altså underskuddet af gasmassen, kan være to ting. Enten er Newton og Einsteins teorier om tyngdekraft ukorrekte, ellers eksisterer der stof i universet som vi ikke kan observere, men som alligevel bidrager væsentligt til den totale masse - såkaldt mørkt stof. Da vi antager, at de kendte teorier om tyngdekraft er korrekte, må vi erkende at det mørke stof findes. Vi kan tilmed bestemme mængden af det i universet - fx ved studier af galaksehobe - og derudfra forsøge at uddrage viden om 3

4 egenskaberne ved dette mørke stof, samt hvilke konsekvenser det har for vores modeller for universet. Kendskab til den reelle masse af galaksehobe er altså en metode hvorved man kan tilegne sig viden om mørkt stof, og derfor er sigtet med denne opgave at udlede massen og massefordelingen i galaksehoben. Da det indlysende nok er umuligt at måle massen af en galaksehob empirisk med en vægt, må den baseres på røntgenobservationer, samt simplificerede modeller for hobens fysik. Temperatur- og densitetsprofiler af en galaksehob giver, ligesom massen, et indblik i hvordan hoben fysisk er bygget op, og bidrager derfor også med værdifuld viden om det univers vi lever i. For at bestemme mængden af mørkt stof i galaksehoben A18, vil vi i denne opgave også sammenligne massen af gassen i hoben med den totale masse af hoben. [1] [3] Alle grafer findes efter Appendiks 3 i A4-format. Kildehenvisninger er anført i [ ]. Massen af en galaksehob Til alle afsnit indgår følgende variable og konstanter: [3] [6] 11 m3 G: Gravitationskonstanten: kg s µ: Gassens masse i enheder af protonmassen m p (fra tryk i en idealgas)[1]: 0.6 m p : Protonmassen: kg r: Radius, målt fra centrum af en galaksehob. r c : Værdi som findes fra lysstyrkeprofilen: 153 kpc β: Værdi som findes fra lysstyrkeprofilen: 0.60 ρ g : Densiteten af gassen i en galaksehob. ρ 0 : Densiteten af gassen, i centrum af en galaksehob. R: Den radius, målt fra centrum, der omslutter al masse i en galaksehob: 000 kpc Figur 1: Lysstyrkeprofil Værdierne µ, r c, β og R er specifikke for A18 Lysstyrkeprofilen for A18 er afbildet på figur Den generelle masseformel Gas kan estimeres til at udgøre størstedelen af massen af det synlige stof i en galaksehob, eftersom galakser kun udgør ca. 10% af en galaksehobs udstrækning. For at gassen ikke blot diffunderer ud i universet, må den være i hydrostatisk ligevægt. Det vil sige at 1 Lysstyrkeprofilen er lavet af vejleder Desiree. 4

5 den udadrettede kraft fra trykket i gassen modsvares af tyngdekraften, rettet mod dens centrum. Derfor baseres modellen for massen af en galaksehob på hydrostatisk ligevægt, samt tryk i en idealgas, dp dr = GM(< r)ρ g(r), (1) r p(r) = ρ g(r)t (r) µm p, () som fremgår af idealgasloven. Ved at kombinere disse to ligninger, fås følgende formel for massen af en galaksehob, indenfor radius r:[1] [3] [ ] kt (r) d(ln(ρg (r))) d(ln(kt (r))) M(< r) = r + (3) Gµm p. Masse af en hob ved konstant temperatur Den samlede masse af en galaksehob er al masse indenfor en given radius, R. For at finde denne masse skal (3) simplificeres til ikke at afhænge af r. ρ(r) er en funktion der kan differentieres, mens kt (r) er værdier der findes fra røngtenspektret, som derfor ikke er d- ifferentiable. Det antages derved at temperaturen har en konstant værdi i hele hoben. Når d(ln(kt (r))) temperaturen er en konstant, forsvinder -leddet fra masseformlen. Den temperatur der bruges til udregning af den totale masse er gennemsnitstemperaturen, kt average, for en galaksehob. For at finde den totale masse af en galaksehob, er det vigtigt at vælge en radius, R, der afgrænser hoben. Denne skal vælges så stor, at det er sikket at al massen befinder sig indenfor den. Formlen til beregning af massen inden for en given radius R ser nu således ud: M(< R) = kt average R Gµm p [ d(ln(ρ(r))) ]. (4) Hele udtrykket ktaverage Gµm p R er en konstant. Fra overfladelysstyrkeprofilen, S(r), for en galaksehob, kan også densiteten af hoben findes 3. Denne kommer fra sammenhængen S(r) ρ(r). S(r) er defineret ved β-modellen [4]: ( r S(r) = S 0 (1 + Densiteten findes til at være givet ved β-modellen[4] : r c ( r ρ(r) = ρ 0 (1 + r c ) ) 3β+ 1. (5) ) ) 3β, (6) hvor ρ 0 er en konstant. Derfor bliver 4 : d(ln(ρ(r))) = 3βr. (7) r + rc Se Appendiks for udledning af ligningen for M(< r) 3 Se figur 1 4 Se Appendiks 1 for udledning af d(ln(ρ(r))) 5

6 Dette indsættes i (4), og massen fås til at være: M(< R) = kt ] average R [ 3βr = 3βkT average R 3. Gµm p r + rc Gµm p R + rc (8) For at kunne beregne massen af en galaksehob ud fra (8), er det nødvendigt at kende kt average. Denne temperatur kan findes ved at analysere den røntgenstråling, som er observeret fra hoben. Det forventes at massen af en galaksehob ligger på mellem til solmasser. Chandra. De strålingsdata der anvendes, kommer fra satellitten Chandras detektion af røntgenstråling med røntgenspektrometer. Grunden til at der benyttes en satellit er, at røntgenstråling fra universet ikke når indenfor atmosfæren, men bliver absoberet heri. Derfor er observation og detektion af denne stråling nødt til at foregå med udstyr i rummet. Chandras detektion af røntgenstråling består i at registrere, hvor mange fotoner der rammer hver af røntgenspektrometrets kanaler.[6] Fra røntgenstråling til temperatur. Røntgenstrålingsdatasættet fra Chandra kan bearbejdes i programmet Xspec, som er i stand til at fitte dataene til en allerede kendt model for, hvordan en galaksehobs spektrum bør se ud. Denne Xspec-model laver en simulering af, hvordan røntgenstrålingen fra en hob af gas teoretisk vil se ud, hvorefter den folder disse teoretiske data. Foldningen består i, at de teoretiske data får de samme karakteristika, som Chandras instrumenter afsætter på de data der reelt observeres. Den model der netop passer til røntgendata fra galaksehobe, hedder Mekal. For at eliminere baggrundsstøj fra andre røntgenstrålingskilder, trækkes baggrundsstrålingen også fra i Xspec. Baggrundsstrålingen findes ved at afgrænse et område af observationen, som vides ikke at være en del af galaksehoben. Det er vigtigt, at kunne tilpasse røntgendataene til en teoretisk model, for at kunne finde værdier for de fysiske parametre, der kendetegner en given galaksehob. 5 Xspec giver også de usikkerheder der er på de værdier som beregnes fra dataene.[5]. En af de parametre som Mekal-modellen giver efter fitningen af data, er en værdi for hobens temperatur. Dette er enten gennemsnitstemperaturen, eller temperaturen s- varende til en bestemt radius, alt efter hvilke data der indlæses. Databehandling for masse ved konstant temperatur. Værdien for kt average, samt værdien for Norm, kan ses i tabellen herunder. Norm spiller en vigtig rolle for densiteten af en gas 6. 5 Se Appendiks 3 for scriptet til Xspec. 6 Se Appendiks. Tabel 1 kt average [kev ] Norm [cm 5 ]

7 Værdierne fra. indsættes sammen med de resterende parametre i (8). Massen af A18 indenfor radius R bliver da: M(< R) = kg = M. (9) Da det er al masse i en galaksehob der bidrager til tyngdekraften som modsvarer trykket i gassen, er resultatet i (9) den totale masse for hoben, m total = m gas + m moerktstof. Usikkerhedsberegninger. Usikkerheden på massen ved konstant temperatur findes ved brug af ophobningsloven []. Da (8) viser, at M(< r) kt average, fås usikkerheden på massen således: M = kt average kt average M = ( )keV 9.184keV kg = kg, (10) hvor 0.55 kev er usikkerheden på den maksimale kt average i forhold til (9) og 0.48 kev er usikkerheden på den minimale kt average. Den procentvise afvigelse fra (9) er: M(%) = kg 100% = 5.3% (11) kg.3 Masse af en hob ved varierende temperatur Massen ved en konstant temperatur, giver intet indblik i hvordan massen er fordelt ud gennem hoben. For at forstå hvordan strukturen af galaksehoben er, er det ikke længere en god antagelse, at temperaturen er konstant. En temperaturprofil giver svar på hvordan temperaturen varierer med radius fra centrum af galaksehoben. Funktionen for temperaturprofilen, kt (r), er en væsentlig del af masseformlen (3) og derfor yderst interessant..3.1 Temperaturprofil Temperaturen for forskellige r, stammer fra røntgenspektret for galaksehoben. Ved at analysere røntgenspektrene for sådanne forskellige radier, og beregne de temperaturer de repræsenterer, er det muligt at afbillede temperaturudviklingen som funktion af radius. Resultater for temperaturprofilen af A18. Temperaturen, kt (r), til bestemte radier, fås i Xspec. Herefter plottes de fundne temperaturer som funktion af radius, hvor usikkerhederne på de enkelte værdier også sættes ind. En graf med plottet ses på figur. Figur : Temperaturprofil 7

8 .3. Masseprofil for en galaksehob For en profil over massefordelingen i galaksehoben, er temperaturen afhængig af radius, kt (r). Derfor er formlen for M(<r) igen: [ ] kt (r) d(ln(ρ(r))) d(ln(kt (r))) M(< r) = r +. (1) Gµm p Det er dog ikke umiddelbart muligt at tilpasse et funktionsudtryk til temperaturprofilen, fordi kurven er meget uregelmæssig 7. Derfor antages det, at kurven mellem to funktionsværdier er lineær, for derved at kunne bestemme d(ln(ρ(r))) d(ln(kt (r))) og approksimere for hver kt. Når en sådan linearitet antages, er de tilsvarende radius-værdier ikke længere r- værdierne, men i stedet gennemsnittet af de to r-værdier fra vores data der svarer til hhv. kt 1 og kt i T : r g = r n + r n+1. (13) Det er disse r g -værdier der nu anvendes som r-værdier i masseformlen (1). Eftersom funktionsværdierne for kt (r) ikke umiddelbart giver et kontinuert funktionsudtryk der kan differentieres, bestemmes numerisk som: d(ln(t (r))) d(ln(kt (r))) = ln(kt (r)) ln(r) = ln(kt n+1) ln(kt n ) ln(r n+1 ) ln(r n ) dt. (14) Ligesom i (7) er: dln(ρ(r)) dln(r) Derved fås følgende udtryk for massen som funktion af radius: M(< r g ) = kt (r [ g) r g 3βr g Gµm p rg + rc = 3βr g, (15) rg + rc ] + dt. (16) Resultater for masseprofilen. De beregnede værdier - som beskrevet i foregående afsnit - for r g og dt indsættes i (16) sammen med de øvrige parametre. Herigennem fås en profil for massefordelingen i galaksehoben A18. Profilen ses på figur 3, hvorpå usikkerhederne for de enkelte punkter også er sat ind. 8 7 Se figur figur 8 Se Appendiks 3 for IDL script 8

9 Figur 3: Masseprofil 3 Forholdet mellem total masse og lysende stof For at finde ud af hvor stor en del af galaksehoben der består af mørkt stof, er det nødvendigt at kende den totale masse af hoben, som fundet i afsnit., samt massen af det baryoniske stof. Baryonisk stof er grundlæggende alle elementarpartikler bestående af 3 kvarker eller antikvarker. Den intergalaktiske gas og galakserne hører til det baryoniske stof, som er det stof der udsender lys, vi kan observere.[7] 3.1 Massen af det lysende stof Da det både er det baryoniske stof og det mørke stof der bidrager til temperaturen i galaksen, er det ikke muligt at bruge formlen (3), til at finde massen af det baryoniske stof i galaksehoben. Den intergalaktiske gas udgør langt størstedelen af det lysende stof, hvorfor densiteten af gassen er grundlaget for massen af dette. Derfor er densitetsprofilen for en hob central i forhold til at finde denne masse. Galaksehoben antages at kunne approksimeres til at være kugleformet med radius R, hvorfor massen af det lysende stof kan findes, ved at integrere densiteten over volumet: M lysende (< R) = R 0 ρ(r)dv (17) Ligesom i udledningen af ρ 0 i Appendiks 1, omskrives integralet, så dv = 4πr dr, og ( ) ) 3β r gasdensiteten antages at kunne beskrives ved β-modellen ρ(r) = ρ 0 (1 + r c, hvilket giver: ( R ( r M lysende (< R) = 4πρ r c ) ) 3β r dr. (18) Integralet kan ikke løses analytisk, og skal derfor i stedet løses numerisk for de respektive værdier for en galaksehob. 9

10 3.1.1 Densitetsprofil For at finde en værdi for (18) kræver det en nærmere vurdering af ρ 0 og ρ(r) for en given galaksehob. Forskriften for densitetsprofilen er givet ved ρ(r). ( r ρ(r) = ρ 0 (1 + r c ) ) 3β, (19) Det er dog værd at bemærke, at ρ 0 ikke umiddelbart længere er en konstant, som ellers tidligere antaget til udledningen af (8). Da ρ 0 afhænger af Norm, som varierer for forskellige r, afhænger ρ 0 også selv af r. Men da ρ 0 er defineret som densiteten af gassen omkring centrum af galaksehoben, kan den ikke variere. Derfor benyttes den gennemsnitlige Norm til bestemmelse af ρ 0. 9 Resultater fra densitetsprofil og massen af det lysende stof. Værdien for den gennemsnitlige Norm (se tabel 1) benyttes til at bestemme ρ 0 : På figur 4 ses densitetsprofilen. ρ 0 = kg kpc. (0) 3 Figur 4: Densitetsprofil Indsættes den numeriske værdi af integralet, samt værdien af ρ 0 fra (0) i (18), fås massen af det lysende stof til: M lysende (< R) = M (1) 9 Se Appendiks for udledning af funktionen for ρ 0 10

11 3. Andelen af mørkt stof i A18 Andelen af mørkt stof i A18 er interessant, fordi en galaksehob er universets største struktur. Derfor kan andelen af mørkt stof i A18 generaliseres - i samspil med andelen for andre galaksehobe - til at være andelen af mørkt stof i hele universet. Da den totale masse i universet har betydning for, om det vil fortsætte med at udvide sig, gå i stå eller ende med at trække sig sammen, er det yderst interessant at kende mængden af mørkt stof i en galaksehob. Ved at tage forholdet mellem massen af den intergalaktiske gas, (1), og den totale masse af hoben, (9), kan det beregnes hvor stor en del af hoben der består af mørkt stof. M lysende M total = kg kg = 5.0% () Derfor må de resterende 95% af massen i A18 bestå af mørkt stof. 4 Diskussion af resultater I vores data skilte to dataserier sig ud fra de andre, ved for kt (r) at have værdier på hhv. 19 kev for dataserie nr. 10 og 9 kev for dataserie nr. 1, samt utroligt store usikkerheder - se figur 5. Disse to dataserier antages at være fejl i vores data, som skyldes ufysiske årsager. De blev derfor taget ud af både temperaturprofilen, masseprofilen og densitetsprofilen. Figur 5: Temperaturprofil med korrupte målepunkter. Det ses tydeligt, hvilke to dataserier der falder udenfor hvad der kan antages at være fysisk sandsynligt. 11

12 4.1 Temperaturprofilen Ved at opstille en graf med temperaturen som funktion af radius fremkommer en profil for temperaturen ud gennem galaksehoben. Denne funktion burde, ifølge lovene for hydrostatisk ligevægt og tyngdeloven, være lineært faldende. Dette passer tilsyneladende med vores profil, hvis der ses bort fra dataserie 10 og 1. En højere temperatur i centrum af hoben, og lav i udkanten, stemmer også godt overens med at hvor densiteten er høj, vil temperaturen også være det. Flere dataserier ville naturligvis have givet et bedre grundlag at basere temperaturprofilen på. 4. Masseprofilen Vi forventede at se en kurve for masseprofilen, der først steg som noget der mindede om en logaritmisk graf, for derefter at blive konstant ved den totale radius, R = Mpc, indenfor hvilken al masse er samlet. Vores graf ser ud til at vokse mere eller mindre eksponentielt til at starte med, men viser ved omkring r = 600 kpc en tendens til at flade ud. Til dette, skal man dog huske at den tegnede graf ikke er en regression over punkterne, men blot forbundne punkter. Dertil kommer også, at eftersom R = Mpc, hvilket er dobbelt så stort som de 1 Mpc vi har data for, ville man for flere målepunkter forhåbentlig se en yderligere udfladning af grafen, sådan at funktionsværdien M(r) går mod M(< R) når r går mod R, hvor M(< R) er værdien fundet i (9). Det passer også godt, at for r = 1 Mpc, er M(r) ca. 1 af M(< R). 3 Dog viser masseprofilen, at massen visse steder bliver mindre ud gennem hoben. Dette er en fysisk umulighed, eftersom M(r) er en summerende funktion. Da usikkerhederne på de problematiske punkter ikke er store nok til at det er muligt at undgå faldende masse, er der stor usikkerhed på enten metoden. 4.3 Densitetsprofilen Da det var forventet, at densiteten af galaksehoben ville være størst i centrum af hoben og mindst i yderkanten af hoben, stemmer densitetsprofilen i afsnit godt overens med teorien for den. Eftersom ( r ρ(r) = ρ 0 (1 + r c ) ) 3β, (3) netop giver grafen på figur 6 som er i overensstemmelse med grafen på figur 4, betyder det, at β-modellen for ρ(r), (3), er en god model for densiteten i galaksehoben A18. Den intergalaktiske gas er en meget tynd gas, eftersom den har en densitet på max. 4 kg 5, 5 10 m 3. 1

13 Figur 6: teoretisk graf for ρ(r) 4.4 Andelen af mørkt stof i A18 Vi får en værdi for andelen af baryonisk stof i vores galaksehob, der er 5%, men vi forventede at få en værdi omkring 16%.[1] Enten er der akkumulerede usikkerheder i vores udregninger, der gør at vi får en anden værdi, eller også er A18 en anormal galaksehob. 4.5 Sammenligning med gravitationel linsning En anden metode at finde massen af en galaksehob på, er gravitationel linsning. Her benyttes det, at ifølge Einsteins generelle relativitetsteori afbøjes lys i tyngdefelter. Det vil sige, at fotoner fra bagvedliggende objekter, afbøjes af en galaksehobs store masse - såkaldt linsning. Dette viser sig ved mere eller mindre tydelige halv- eller helcirkler på lyset fra en galaksehob. Hvor stor afbøjningen er, afhænger af galaksehobens masse. A18 er kendt for sin gravitationelle linsningseffekt.[1] Bruger man gravitationel linsning, fås at M(91kpc) = M.[8] Sammenligner vi dette med vores masseprofil, er der ikke den store overensstemmelse. Vi får at M( 300kpc) = M. Ud fra dette må vi antage at vores masseprofil er en smule misvisende. Tilgengæld stemmer værdien for gravitationel linsning umiddelbart godt overens med den værdi, vi får for den totale masse. 13

14 5 Usikkerhedsvurdering Eftersom vi ikke har en facit-værdi for massen af A18, er det ikke muligt at sige hvor god vores værdi for M(<R) egentlig er. Derfor giver det heller ikke mening at tale om deciderede fejlkilder, da der er mulighed for at vores værdi er korrekt. Det er tilgengæld muligt at forsøge at nedbringe usikkerhederne, og vi vil derfor gerne komme med en vurdering af, hvordan en endnu lavere usikkerhed på målingerne kan opnås. En årsag til fluktuationer er, at cirklerne på røntgendataene, figur 7, kunne være placeret på en anden måde end hvad vi har benyttet i vores beregninger. Havde cirklerne været placeret på anden vis, ville målepunkterne for forskellige r have været anderledes, og profilerne ville have haft et andet udseende. Selve placeringen af cirklerne har dog ikke indflydelse på usikkerheden. En væsentlig del af usikkerheden er til gengæld, at vi har fittet data til modellen Mekal i Xspec. Da det ikke er muligt for os at ændre på indsamlingen af data, eller at optimere modellen Mekal, er det ikke umiddelbart en usikkerhed vi selv har indflydelse på at bringe ned. M(< R) er baseret på en gennemsnitlig temperaturværdi i hoben. Da der i de data der blev brugt til at finde denne gennemsnitsværdi, også indgik de korrupte dataserier som omtalt i afsnit 4, er M(<R) i (9) ikke helt præcis. Vi formoder, at den værdi vi har fået for M(<R) i (9) er lidt for høj, da dataserierne trak gennemsnitsværdien af temperaturen op. Når vi antager en masse forsimplende ting om vores system, vil der naturligvis være mulighed for forbedring af teorien. Det kan derfor diskuteres, hvor god en approksimation det er at antage at hoben er sfærisk, samt hvorvidt gassen reelt er en idealgas og i perfekt hydrostatisk ligevægt. Der vil altid være usikkerheder forbundet med at finde massen ud fra beregninger i stedet for direkte måling, men det er af naturlige årsager ikke muligt at stille hoben på en vægt. Figur 7: Røntgendata Hver cirkel svarer til en bestemt radius. 14

15 Vi ville gerne have haft tid til selv at lave en lysstyrkeprofil, således at det ville have været muligt for os selv at forsøge at optimere β- og r c -værdierne. Havde det været et større projekt, havde der måske også været tid til at lave mere avancerede antagelser om teorien for en galaksehob, hvilket ville have elimineret nogle af de fejl der kommer af en meget simpel model. 6 Konklusion Vi har i denne opgave bestemt den totale masse af galaksehoben A18, ud fra en analyse af dens røntgenspektrum. Ud fra simple antagelser om galaksehobes fysik, har vi fået en totalmasse M(<R), som stemmer godt overens med massen af andre, lignende galaksehobe. Vores usikkerhed på kun 5% for denne masse er tilfredsstillende, men afhænger af, at alle vores antagelser er korrekte. Den anvendte model for densitet i en galaksehob, passer næsten eksakt til densitetsprofilen for A18. Masseprofilen for hoben opfører sig overordnet som forventet, men indikerer også at der er stor usikkerhed på vores metode. Når vi sammenligner den med gravitationel linsning, er der ikke overenstemmelse. Vi har fundet hvor stor en andel mørkt stof udgør af massen i A18, og kan uden tvivl konkludere at galaksehoben overvejende består af mørkt stof. Generaliserer man A18 til at være repræsentativ for universet, kan vi også konkludere at det samme gør sig gældende her. 15

16 Litteratur [1] Ryden, Barbara: Introduction to Cosmology, 003 U.S.A. [] Taylor, John R.: An introduction to Error Analysis, 1997 U.S.A. [3] Arnaud, M.: Artikel: X-ray observations of Clusters of Galaxies, 005 Frankrig [4] Ferreria, Desiree della Monica: Bachelorprojekt: X-ray properties of the Abell 3364, 005 Danmark [5] NASA: info om Xspec: [6] Samtaler med vejledere, Desiree della Monica Ferreria og Signe Riemer-Sørensen. [7] Hannestad, Steen: Universet - fra superstrenge til stjerner, 003 Danmark [8] Hjort, Jens og Pedersen, Kristian: Artikel: where is the matter in the merging cluster A18, 007 Danmark 16

17 7 Appendiks 1 Udledning af masseformlen for massen M(< r). Ud fra ligningerne om hhv. hydrostatisk ligevægt og tryk i en gas, ønskes det at bestemme en masseformel for galaksehoben. Hydrostatisk ligevægt er defineret ved: og formlen for trykket i gassen er: dp dr = GM(< r)ρ g(r) (4) r p(r) = ρ g(r)kt (r) µm p. (5) (5) differentieres med hensyn til r, og der fås at: d dr p(r) = 1 µm p ( dkt (r) ρ g (r) + kt (r) dρ g(r) dr dr ) (6) Dette sættes nu lig (4): G M(< r)ρ g(r) r = 1 µm p M(< r) isoleres, og der fremkommer følgende ligning: M(< r) = 1 ( dkt (r) r + Gµm p dr ( dkt (r) ρ g (r) + kt (r) dρ ) g(r). (7) dr dr kt (r) ρ g (r) dρ g(r) dr ). (8) For at komme videre, må der benyttes en matematisk spidsfindighed. Der benyttes nemlig at d(kt (r)) = kt (r) d(ln(kt (r))), (9) d(ρ g (r)) = ρ g (r) d(ln(ρ g (r))), (30) 1 dr = 1 r 1. (31) At dette matematiske trick kan lade sig gøre, kan man overbevise sig selv om, ved at betragte f(x) = x : d dx ln(x ) = 1 x og eftersom man også kan skrive at kan man nu forsikre sig om at d(ln(f(x)) dx d(ln(x)) dx d dx x x d dx ln(x ) = d(x ) dx, (3) = d(ln(f(x))), (33) d(ln(x)) d d f(x) = f(x) ln(f(x)). (34) dx d(ln(x)) 17

18 Indsættes resultaterne fra ligning (9) til (31) i (8), fås at masseformlen ser ud som følger: M(< r) = 1 ( r d(ln(kt (r))) kt (r) kt (r) + Gµm p ρ g (r) ρ g(r) d(ln(ρ ) g(r))) (35) Den endelige formel for massen kommer således til at hedde: ( kt (r) d(ln(kt (r))) M(< r) = r Gµm p + d(ln(ρ g(r))) ). (36) Udledning af masseformlen for konstant temperatur. Ses der nu på formlen for massen M af galaksehoben inden for en given radius r, givet ved: kt (r) M(< r) = r Gµm p d(ln(ρ(r))) d(ln(kt (r))) +, (37) }{{} α ses det, at α-leddet går ud, da der ikke anvendes temperatur som funktion af radius kt (r), men derimod en gennemsnitsværdi for temperaturen i hoben kt average = konst. Den afledte af ln(kt average ) med hensyn til T (r) er derfor bare 0. Betragtes således formlen for M(< r) for kt average fra r = 0 til r = R, fås at: M(< R) = kt average R Gµm p [ d(ln(ρ(r))) ]. (38) Da (33) også gælder for det tilbageværende differential-led i M betyder det, at det kan differentieres mht. ln(r), ved at differentiere ln til tæller hhv. nævner mht. r. Eftersom ρ(r) er givet ved: ( r ρ(r) = ρ 0 (1 + r c ) ) 3β, (39) giver tælleren af differential-leddet i (38): ( ( ( ) 3β )) d ln ρ r c 0 d(ln(ρ(r))) r +rc = dr dr = d dr ( ln (ρ 0 ) + 3β ln ( r c r + r c )) = d dr (ln (ρ 0)) + d dr ( ( )) 3β r ln c, (40) r + rc 18

19 hvor ρ 0 er konstant - jvf. Appendiks - hvorfor det første led i (40) er 0. Derfor fås følgende udtryk: d(ln(ρ(r))) = 0 + d ( ( )) 3β r dr dr ln c = 3βr (41) r + rc r + rc For nævneren fås den tilsvarende differentialkvotient: dr = 1 r (4) (41) og (4) indsættes i (38), og derved bliver masseformlen for konstant temperatur: M(< R) = kt ] average R [ 3βr = 3βkT average R 3 (43) Gµm p r + rc Gµm p R + rc 19

20 8 Appendiks Udledning af ρ 0. Formlen for ρ(r) er givet ved: ( r ρ(r) = ρ 0 (1 + r c ) ) 3β, (44) og N orm kan udtrykkes ved ligningen: Norm = π (D A (1 + z)) n e n H dv, (45) hvor første led for et bedre overblik kaldes: I (45) vides, at = A. (46) 4π (D A (1 + z)) (ρ(r)) n e n H dv = dv, (47) µ m p under antagelse af, at antallet af elektroner n e og antallet af protoner, dvs. hydrogenatomkerner, n H er det samme. Desuden kendes β og r c fra lysstyrkeprofilen for en galaksehob. I (45) omskrives dv således: V = 4 3 πr3 dv dr = πr dv = 4πr dr. (48) Dette og (47) substitueres ind i (45) igen, og Norm bliver derved: (ρ(r)) Norm = A 4πr dr (49) µ m p Udtrykket for ρ(r) i (44) indsættes nu i (49), og der fås: Norm = 4πA (ρ 0 ( 1 + ( ) ) r r c µ m p 3β ) r dr. (50) (50) simplificeres til: Norm = 4πA ρ µ m 0 rc 6β p r dr. (51) (r + rc) 3β 0

21 µ, m p, ρ 0 og r c er alle konstanter, så de er sat udenfor integraltegnet, efter paranteserne er ganget ud. Det er ikke muligt, at løse integralet analytisk, og det skal derfor løses numerisk. Kaldes integralet for C: r dr = C (5) (r + rc) 3β bliver ρ 0 : Norm µ m p ρ 0 = A C (53) 1

22 9 Appendiks 3 Xspec-script. Det script som Xspec kører, for at fitte data til Mekal-modellen: Se efter graferne på de følgende sider. IDL-script. IDL benyttes til at udregne profilerne og værdien for ρ 0. Se efter Xspec-script.

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Førsteårsprojekt. Strukturen af mørkt stof

Førsteårsprojekt. Strukturen af mørkt stof Førsteårsprojekt Strukturen af mørkt stof Lavet af Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt. Vejledere: Steen Hansen og Ole Høst (begge fra Dark Cosmology Centre). Afleveringsdato:

Læs mere

Temperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe

Temperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe Temperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe Josefine Adler, Lisa Lolk Hauge, Jophiel Nyman Wiis Vejledere: Steen H. Hansen, Johan Samsing 30. marts 011 (Image credit: NASA) Abstract Given that the amount

Læs mere

Kvalifikationsbeskrivelse

Kvalifikationsbeskrivelse Astrofysik II Kvalifikationsbeskrivelse Kursets formål er at give deltagerne indsigt i centrale aspekter af astrofysikken. Der lægges vægt på en detaljeret beskrivelse af en række specifikke egenskaber

Læs mere

MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI

MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI T (K) t (år) 10 30 10-44 sekunder 1 mia. 10 sekunder 3000 300.000 50 1 mia. He, D, Li Planck tiden Dannelse af grundstoffer Baggrundsstråling

Læs mere

Resumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven

Resumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008 Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................

Læs mere

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet RØNTGENSTRÅLING FRA KOSMOS: GALAKSEDANNELSE SET I ET NYT LYS Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet KOSMISK RØNTGENSTRÅLING Med det blotte øje kan vi på en klar

Læs mere

Dannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U.

Dannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U. Dannelsen af Galakser i det tidlige Johan P. U. Fynbo, Adjunkt Univers Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse Observationer af de første galakser Et dybt billede af himlen væk fra Mælkevejens

Læs mere

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 010 Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 010 Computerøvelse (brug MatLab) Det er tanken at I - i forbindelse med hver øvelsesgang - får en opgave som kræver

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

I dag. Er der cooling flows i centrum af hobe? Hvad er Sunyaev-Zeldovich effekten, og hvad kan den bruges til?

I dag. Er der cooling flows i centrum af hobe? Hvad er Sunyaev-Zeldovich effekten, og hvad kan den bruges til? Galakser 2014 F10 1 I dag Er der cooling flows i centrum af hobe? Hvad er specielt ved The Bullet Cluster? Hvad er Sunyaev-Zeldovich effekten, og hvad kan den bruges til? Hvilke egenskaber for galaksehobe

Læs mere

Rapport uge 48: Skråplan

Rapport uge 48: Skråplan Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................

Læs mere

Luminositetsfunktionen

Luminositetsfunktionen Galakser 2014 F7 1 Luminositetsfunktionen Antalstæthed af galakser med luminositet L: Φ L Kræver kendskab til Galaksers luminositet Mange galakser Bias (lettest at se de klare) Schechter-funktionen er

Læs mere

Praktiske oplysninger

Praktiske oplysninger Galakser 2014 F1 1 Praktiske oplysninger Forelæser Hans Kjeldsen, hans@phys.au.dk, 1520-527 Instruktor Magnus Johan Aarslev, maj@phys.au.dk, 1520, 4th floor Bog Extragalactic Astronomy and Cosmology, Schneider

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart.

Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Kære bruger Denne pdf-fil er downloadet fra Illustreret Videnskabs website (www.illvid.dk) og må ikke videregives til tredjepart. Af hensyn til copyright indeholder den ingen fotos. Mvh Redaktionen Nye

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space

Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space Først lidt om naturkræfterne: I fysikken arbejder vi med fire naturkræfter Tyngdekraften. Elektromagnetiske kraft. Stærke kernekraft. Svage kernekraft.

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

I dag. Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det?

I dag. Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det? Galakser 2014 F11 1 I dag Hvad er principperne i strukturdannelse i Universet og hvordan kan vi simulere det? Hvad fortæller simuleringerne os er der nogen forskelle/problemer i forhold hvad der observeres?

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

DET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014

DET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 DET USYNLIGE UNIVERS STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 GANSKE KORT OM KOSMOLOGIENS UDVIKLING FØR 1920: HELE UNIVERSET FORMODES AT VÆRE NOGENLUNDE AF SAMME STØRRELSE SOM MÆLKEVEJEN OMKRING 30,000 LYSÅR GANSKE

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Spiralgalakser - spiralstruktur

Spiralgalakser - spiralstruktur Galakser 2014 F6 1 Spiralgalakser - spiralstruktur Spiralstruktur skyldes formentligt en quasistatisk tæthedsbølge. Tæthedsbølger er områder med 10-20% højere massetæthed end gennemsnittet jf. en trafikprop.

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,

Læs mere

Harmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall

Harmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009

Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009 agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009

Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Spektralanalyse. Jan Scholtyßek 09.11.2008. 1 Indledning 1. 2 Formål. 3 Forsøgsopbygning 2. 4 Teori 2. 5 Resultater 3. 6 Databehandling 3

Spektralanalyse. Jan Scholtyßek 09.11.2008. 1 Indledning 1. 2 Formål. 3 Forsøgsopbygning 2. 4 Teori 2. 5 Resultater 3. 6 Databehandling 3 Spektralanalyse Jan Scholtyßek 09..2008 Indhold Indledning 2 Formål 3 Forsøgsopbygning 2 4 Teori 2 5 Resultater 3 6 Databehandling 3 7 Konklusion 5 7. Fejlkilder.................................... 5 Indledning

Læs mere

Coulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0

Coulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0 Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Skriftlig eksamen BioMatI (MM503)

Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

I dag. Quasar absorptionslinjer. Hvordan er massen fordelt i hobene? Hvad er forskellen på en hob og en gruppe?

I dag. Quasar absorptionslinjer. Hvordan er massen fordelt i hobene? Hvad er forskellen på en hob og en gruppe? Galakser 2014 F9 1 I dag Quasar absorptionslinjer. Hvad er forskellen på en hob og en gruppe? Hvad finder vi i den lokale gruppe, og hvordan bestemmer vi dens masse? Hvad er forskellen på en regulær og

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau) Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Delprøven uden hjælpemidler

Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Ved aflæsning på graf fås følgende: Median: 800 kr. Andel dyrere end 1000 kr.: 45%. Opgave 2 Givet funktionen: f (x)= 3x 2 8x +5. a) F(x)= x 3 4x 2 +5x + k. Delprøven uden hjælpemidler Vi finder

Læs mere

Formelsamling i astronomi. Februar 2016

Formelsamling i astronomi. Februar 2016 Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske

Læs mere

Kosmologi supplerende note

Kosmologi supplerende note Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 1/10 Kosmologi supplerende note Denne note omhandler skalafaktoren for Universets ekspansion, og i modellen er inkluderet de seneste

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Mælkevejens kinematik. MV er ikke massiv, så der vil være differentiel rotation. Rotationen er med uret set ovenfra.

Mælkevejens kinematik. MV er ikke massiv, så der vil være differentiel rotation. Rotationen er med uret set ovenfra. Galakser 2014 F4 1 Mælkevejens kinematik MV er ikke massiv, så der vil være differentiel rotation. Rotationen er med uret set ovenfra. 2 Mælkevejens rotationskurve for R

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

I dag. Er der mørkt stof i elliptiske og spiralgalakser? Hvordan karakteriserer vi galakser?

I dag. Er der mørkt stof i elliptiske og spiralgalakser? Hvordan karakteriserer vi galakser? Galakser 2014 F5 1 I dag Hvordan karakteriserer vi galakser? Hvorfor er elliptiske galakser elliptiske? Er der afvigelser fra ellipticitet? Er der mørkt stof i elliptiske og spiralgalakser? Hvordan ser

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Arbejdsopgaver i emnet bølger

Arbejdsopgaver i emnet bølger Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Universets opståen og udvikling

Universets opståen og udvikling Universets opståen og udvikling 1 Universets opståen og udvikling Grundtræk af kosmologien Universets opståen og udvikling 2 Albert Einstein Omkring 1915 fremsatte Albert Einstein sin generelle relativitetsteori.

Læs mere

VERDEN FÅR VOKSEVÆRK INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives

VERDEN FÅR VOKSEVÆRK INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives VERDEN FÅR VOKSEVÆRK INTET NYT AT OPDAGE? I slutningen af 1800-tallet var mange fysikere overbeviste om, at man endelig havde forstået, hvilke to af fysikkens love der kunne beskrive alle fænomener i naturen

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:

Læs mere

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.

Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17. Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Analyse af måledata II

Analyse af måledata II Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske

Læs mere

Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk

Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere