Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Transkript

1 Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

2

3 Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal Definition Aritmetik Norm Opgaver Grænseværdi og uendelighed At gå mod 0 eller uendeligt Opgaver Mandelbrot Mængden Definition Billeder af Mandelbrots Mængde Kaos Opgaver Afsluttende bemætrninger Matematisk modellering Videre studier

4

5 Kapitel 1 Komplekse tal For at vi kan forstå matematikken bag fraktaler, skal vi først kigge lidt på et par matematiske begreber, bl.a. komplekse tal. 1.1 Definition Man kan forestille sig de reele tal som en uendelig lang linje med 0 i midten (det er vist svært at afgøre hvad der er midten af en uendelig lang linje!). Forestil dig nu, at man istedet for at se på en linje så på planen, dvs punkter i et koordinatsystem. Dem kan man skrive som (a, b) hvor a, b er almindelige reele tal. Lad os kalde dennne mængde tal for de komplekse tal og lad os skrive C for at betegne mængden af dem. (a, b) (x, 0) Læg mærke til, at den linje der repræsenterede de reele tal stadig er med, nemlig som 1. aksen i vores koordinatsystem. Dvs at et reelt tal x kan skrives som (x, 0) vi vil dog oftest bare skrive x i sådan et tilfælde. Hvordan kan man nu regne med disse punkter? 1.2 Aritmetik Hvis vi nu beslutter, at man lægger to punkter sammen ved at sige (a, b) + (x, y) = (a + x, b + y). 3

6 4 KAPITEL 1. KOMPLEKSE TAL Eksempel Vi har at (1, 4) + (2, 3) = (1 + 2, 4 + 3) = (3, 7). Læg mærke til, at vi stadig regner med reele tal som vi plejer. Som bekendt er = 8 og (3, 0) + (5, 0) = (8, 0). At man sægger sådan sammen kommer nok ikke den store overraskelse, det er nemlig også sådanman lægger vektorer sammen. Problemet kommer, når man skal lave multiplikation. Det gør vi på følgende måde Eksempel Vi har at (a, b) (x, y) = (ax by, ay + bx). (1, 2) (3, 4) = ( , ) = ( 5, 10). Også her opfører de reele tal sig som de plejer, fx er 2 3 = 6 og (2, 0) (3, 0) = ( , ) = (6, 0) Man kan også trække fra og dividere, men det vil vi ikke komme ind på her. Vi har bemærket, at de reele tal stadig er med i de komplekse tal, som vores nye talsystem hed, og at de opfører sig som de plejer. Så de komplekse tal er altså en udvidelse af de reele tal. Læg nu mærke til, hvad der sker hvis vi tager (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0). Men ( 1, 0) er jo det reele tal 1. Dvs vi har fundet et tal (0, 1) der ganget med sig selv giver 1 dvs kvdratroden af 1! Det er netop derfor at de komplekse tal er smarte at have. Nu har alle tal, både positive og negative, en kvadratrod. Det har nogle spændende matematiske konsekvenser, fx vil en andengradslingning nu altid have løsninger. Bemærk at når vi har et ubekendt komplekst tal, vil vi ofte bare betegne det med c eller z for overskuelighedens skyld. 1.3 Norm I de reele tal kan vi tale om, at et tal er større end et andet hvis det ligger længere til højre på talaksen. Det kan vi ikke med komplekse tal. De lader sig ikke sådan vurdere. Men til gengæld kan vi definere størrelsen af et komplekst tal, ved at se på, hvor langt et komplekst tal ligger fra (0, 0). Vi kalder denne afstand for normen. Definition Lad (a, b) være et komplekst tal. Vi definerer normen af (a, b) til at være (a, b) := a 2 + b 2. Vi har her blot brugt afstandsformelen. Vi bruger samme notation for normen af et komplekst tal som vi bruger til at tage numerisk værdi af et reelt tal, og det er ikke tilfældigt. Normen af et reelt tal er nemlig det samme som numerisk værdi af tallet, idet (x, 0) = x = x 2 = x.

7 1.4. OPGAVER Opgaver Opgave 1. Udregn (3, 1) (5, 8). Opgave 2. Udregn ( 1 2, 0) ( π 3, 0). Opgave 3. Bevis multiplikation med komplekse tal er kommutativ, dvs at det er ligemeget i hvilken rækkefølge man ganger to tal sammen. Opgave 4. Find en kvadratrod af 25.

8

9 Kapitel 2 Grænseværdi og uendelighed 2.1 At gå mod 0 eller uendeligt Forestil dig, at vi har uendeligt mange reele tal a 1, a 2, a 3,.... I matematikken er vi ofte interesseret i, hvad disse tal bliver uendeligt langt ude. Fx er det tydeligt, at hvis vi sætter a n = 1 n, vil a n blive uendeligt lille når n bliver uendeligt stor. Det er også klart at hvis a n = n, vil a n blive uendeligt stor, når n bliver uendeligt stor. Den matematiske definition af dette er lidt kringlet, men lad os se lidt på den alligevel. Men for at en følge af reele positive tal a n siges at gå mod uendeligt, skal vi for alle tal M kunne finde et m, sådan at når n > m er a n > M. Dvs at vi skal kunne komme få så store tal som som vi gider ved at gå tilpas langt hen i følgen. Vi skriver i så fald a n for n Eksempel Lad a n = 2n. Lad nu N = Vi vil finde et m, sådan at når n > m er a n > Sæt nu m = 500. Så er a n > 1000 hvis n > 500. For Så vi siger at a n for n. n > 500 2n > 1000 a n > Vi kan også tale om at en følge af komplekse går mod uendeligt, men vi kan ikke gøre det på samme måde, da vi jo ikke kan vurdere om et komplekst tal er større end et andet. Så vi vil sige, at en følge af komplekse tal z 1, z 2, z 3,... går mod uendeligt hvis følgen af deres normer z 1, z 2, z 3,... går mod uendeligt. Eksempel Lad en følge være givet ved z n = (n, n). Så er z n = n 2 + n 2 = 2n 2 = 2n. Vi ved at følgen a n = n går mod uendeligt, og da 2 > 1 må z n > a n for alle n, så z n må også gå mod uendeligt, og dermed har vi. z n for n 7

10 8 KAPITEL 2. GRÆNSEVÆRDI OG UENDELIGHED 2.2 Opgaver Opgave 5. Hvordan tror du vi definerer at en følge a n går mod nul? Opgave 6. Undersøg om a n = n 10 går mod uendeligt. Opgave 7. Vil følgen givet ved z n = (0, n) gå mod uendeligt? Opgave 8. Vil følgen givet ved z n = (10000, 23456) gå mod uendeligt?

11 Kapitel 3 Mandelbrot Mængden 3.1 Definition Lad os definere en familie af funktioner f c : C C, c C ved f c (z) = z 2 + c. For n N lader vi nu f n c betegne sammensætningen af f c med sig selv n gange dvs at vi fx har f 3 c (z) = f c (f c (f c (z))). f c f c f c f }{{} c, n Eksempel Hvis vi udregner ovenstående med z = 1, c = 2 og n = 3 får vi f 3 2 (1) = f 2 (f 2 ( )) = f 2 (f 2 (3)) = f 2 ( ) = f 2 (11) = = 123 Definition (Mandelbrot Mængden). Et komplekst tal (a, b) ligger i Mandelbrot Mængden M hvis for c = (a, b) f n c (0) for n. Bemærk at f n c (0) erne er komplekse, så vi skal se om normen af den værdi vi får ved gentagen brug af f c ikke bliver uendeligt stor. Hvis den ikke gør det, ligger c i M. Eksempel Fx vil c = (2, 0) = 2 ikke ligge i Mandelbrot Mængden, idet f2 n (0) klart vil gå mod uendeligt. De første par trin er udregnet her f 1 2 (0) = f 2 (0) = = 2 f 2 2 (0) = f 2 (f 1 2 (0)) = = 4 f 3 2 (0) = f 2 (f 2 2 (0)) = = 18 f 4 2 (0) = f 2 (f 3 2 (0)) = = 326. Vi kan se at f2 n (0) bliver ret stor når n bliver stor faktisk lige så stor vi vil have den. Så vi siger at f2 n (0) for n. 9

12 10 KAPITEL 3. MANDELBROT MÆNGDEN Så hvis vi skal tjekke om et givet komplekst tal c C ligger i Mandelbrot Mængden, skal vi tjekke hvordan f c (f c (f c ( f c (f c (0)) ))) udvikler sig, når vi smider flere og flere f c er på. Hvis dens norm bliver uendelig stor, er c ikke i Mandelbrot Mængden, og hvis den ikke bliver uendelig stor, er vi i Mandelbrot Mængden. Men hvordan kan vi vide, om den vil blive uendelig stor? Vi kan jo (trodsalt) kun lave endelig mange udregninger? Vi vil nu se lidt på, hvordan vi kan tjekke, om et tal ligger i M. Følgende sætning siger, at hvis f n c (0) på et tidspunkt får norm større end 2, så vil vi gå mod uendelig. Dvs at vi kan konkludere at det givne tal c ikke ligger i M. Vi vil dog ikke vise sætningen. Se fx (REF) for et bevis. Sætning Lad c C. Hvis f n c (0) 2 for et n, så vil f n c (0) for n. Eksempel Af ovenstånde sætning får vi, ligesom vi bestluttede i Eksempel på forrige side, at 2 ikke er i M, da f2 n (0) allerede er større end 2 for n = Billeder af Mandelbrots Mængde Nu er vi i stand til at kunne tjekke, om et tal ligger i M. Det vi gør er, at vi ser på det komplekse plan lige omkring 0. Så løber vi en masse punkter (komplekse tal) igennem, hvor vi for hver af dem får en computer til at tjekke om de ligger i M eller ej, Hvis punktet ligger i M farver vi punktet sort, og hvis ikke farver vi det hvidt. Så får vi følgende billede: Mandelbrotmængden. Billedet er fra pbourke/fractals/mandelbrot/ Det kommer nok som noget af en overraskelse, at punkterne er fordelt i et sådant smukt mønster. Umiddelbart skulle man tro, at punkterne ville ligge i en cirkel eller lignende; men vi

13 3.2. BILLEDER AF MANDELBROTS MÆNGDE 11 får dette fantastiske mønster. Matematikken bag er ikke videre kompliceret, så at man skulle få sådan et mønster er ret fantastisk. Noget endnu mere fantastisk sker, hvis vi zoomer rigtig meget ind. Det viser nedenstånde billeder, hvor vi zoomer gradvist mere ind på den klump der er øverst på det store billede: Her zoomer vi ind på ( , ). Billederne er fra pbourke/fractals/mandelbrot/ I de ovenstående billeder kan man se noget af det, der kendetegner fraktaler. Når man zoomer ind, vil figurer man har set før gentage sig. I dette tilfælde er det lynene der gentager sig igen og igen. Faktisk vil den lidt spøjse form mandelbrotmængden har gentage sig når vi zoomer.

14 12 KAPITEL 3. MANDELBROT MÆNGDEN For hvert billede zoomer vi 10 gange ind. Firkanterne viser hvor det er vi zoomer ind. Billederne er fra Lad os zoome ind et andet sted, så får vi Her zoomer vi ind på ( ). Billederne er fra pbourke/fractals/mandelbrot/ I både denne og den første billedserie har vi i det sidste billede zoomet gange længere ind end i det første! Hvis i selv vil lege med at zoome rundt i Mandelbrotmængden, kan i gå ind på Kaos Hvad er så sammenhængen mellem disse fraktaler og kaos? Vi så, da vi zoomede ekstremt langt ind på fraktalen, at derstadig var et mønster. Der var både punkter der var i M og punkter der ikke var i M. Det betyder at hvis vi bevæger os bare ganske lidt rundt, vil vi gå fra punkter der er i M til punkter der ikke er i M ekstremt mange gange. Det vil være ganske

15 3.4. OPGAVER 13 kaotisk. Men ikke desto mindre er der et mønster. Vi kan jo se mønsteret! Og det er netop her at kaos og Mandelbrotfraktalen hænger sammen. Kaos er et udtryk for uforklarlige hændelser i ellers simple systemer. Fx opfører aktiemarkedet sig ganske kaotisk, selvom reglerne for det er ret simple. Her vores formel ganske simpel. Men den opfører sig uhyre kaotisk, men dog ikke tilfældigt. Vi kan jo som sagt se et mønster et smukt mønster oven i købet. 3.4 Opgaver Opgave 9. Beregn f 4 3 (0). Opgave 10. Er (1, 0) = 1 i M? Opgave 11. Er (0, 1) i M?

16

17 Kapitel 4 Afsluttende bemætrninger 4.1 Matematisk modellering På Århus Universitet har vi i flere gange haft besøg af kronprinsesse Marys far, John Donaldson. Han beskæftiger sig bl.a. med noget kaosteori. Hans felt hedder matematisk modellering, og det går ud på at lave matematiske modeller (dvs finde en slags formler) for ting fra virkeligheden. Fx kan man lave modeller for aktiemarkedet, vejret etc. Som regel er disse modeller kontinuerte, dvs at en lille ændring har små konsekvenser i modellen, og en stor ændring har store konsekvenser i modellen. Fx vil en lille temperaturstigning kun ændre vejret lidt. Men nogle gange har man matematiske modeller der ikke opfører sig så pænt. Af og til har man eksempler på, at en meget lille ændring kan foresage meget voldsomme konsekvenser. Et eksempel er, hvis en bil rammer en mur. Indtil bilen rammer muren, er modellen pæn og kontinuert, men i det øjeblik bilen rammer muren, sker der ekstremt mange ting i løbet af meget kort tid kaos. 4.2 Videre studier Videre studier af Mandelbrot og andre fraktaler er bedst gjort på internettet. Kontakt evt. mig (jonas@imf.au.dk) for nogle links. Det er også denne adresse der skal bruges til kommentarer og rettelser til disse noter. 15