Fysikundervisningens udvikling i gymnasiet

Transkript

1 At score mål på hjørnesprk Fsikundervisningens udvikling i gmnsiet Indtil 988 hvilede fsikundervisningen i gmnsiet på det teoretiske, som mn søgte t bekræfte gennem demonstrtionsforsøg eller fsikøvelser, der blev nlseret og dokumenteret i fsikrpporter. I undervisningen rbejdede mn sig begrebsmæssigt og kronologisk frem fr kinemtikken med formlerne for jævn og konstnt ccelereret bevægelse over meknikken med Newtons love. Meget rimeligt, d meknikken er forudsætningen for en grundlæggende forståelse resten f fsikken. Denne begrebsmæssige kronologi er opretholdtholdt i stndrdværket Universit Phsics fr Person, i tske lærebøger og også i de fleste lærebøger fr før 988 blndt ndet mine egne. En centrl del f g undervisningen vr t befri eleverne for Aristoteleske hverdgsforestillinger og t formulere Gllileis fldlove, som den første erkendelsesmæssige lndvinding, der nltisk beskriver en grundlæggende simpel lovmæssighed i fsikken. Det frie fld. Alt dette er jo en sg blot, d undervisningen om bevægelse i tngdefeltet foregår ved t optge fldende legemer med højhstighedskmer, og overføre dt til et computerprogrm, som derefter og lver fits og tegner grfer. Især efter 5 er det teoretiske spekt stort set opgivet (fordi eleverne heller ikke lærer mtemtik længere?) og lovmæssighederne i fsikken bliver i stedet resulttet f computer fits. D kvntittiv måleusikkerhed for længst er forsvundet fr fsikundervisningen, søger eleverne ofte t finde nltiske forklringer på led i computer fits, som ikke burde være der, desugtet, t luftmodstnd for frit fld f mssive legemer fuldstændig drukner i måleusikkerhed. D elvernes elementære mtemtiske færdigheder i gmnsiet i dg helt er erstttet f brug f mtemtik IT, er det jo også omsonst t forsøge t udlede formlerne for konstnt ccelereret bevægelse, udtrkkene for potentiel og kinetisk energi, rbejdssætningen og energibevrelse i tngde feltet. Jeg snes det er et problemtisk kulturelt og intellektuelt tilbgeskridt, t det teoretiske spekt f fsik og mtemtik med udledning og beviser stort set er forsvundet f undervisningen, hvor det tidligere (og især for pigerne) hvde en elementær intellektuel ppel for en del f eleverne. Men nu til sgen. Tidligere, når jeg udledte formlerne for det skrå kst (med vektorregning nturligvis) og understregede, t når mn først hr sluppet et legeme, så er bevægelsen udelukkende stret f tngdekrften i lodret retning, så er det ikke så sjældent, t elever hr spurgt om, hvordn mn så f.eks. kn få en fodbold til t dkke eller dreje. Svret er nturligvis, t mn ved udledningen f det skrå kst, ser bort fr luftmodstnd, men det forklrer jo ikke, hvordn bolden kn dreje. Forklringen må søges i, t bolden skruer, ltså roterer om en lodret kse. Opvkte elever vil så gerne hve en forklring på, hvorfor det kn give en sideværts krft, og undvigemnøvren hr d været, t det er lt for kompliceret ti t forklre på gmnsilt niveu (hvilket er sndt). Om jeg selv forstår det?...øh vr det ikke klokken, der ringede? At mn fktisk kn score mål på hjørnesprk?, kn ses f flere videoer på YouTube, hvis mn i Google søger på: Mål på hjørnesprk.

2 At score mål på hjørnesprk Mn kn godt give en kvlittiv forklring, som jeg engng hr set i bldet Ingeniøren, men en egentlig beregning f boldens bne ud fr grundliggende lovmæssigheder, hr jeg ldrig set. Jeg kn huske, t en elev engng foreslog det, som Stor Opgve i fsik, men dengng opgv jeg det, som lt for kompliceret. Pensionist tilværelsen tillder imidlertid, t tge den slgs problemer op, selv om det er geometrisk (mtemtisk) kompliceret. Men det viser sig fktisk muligt t udlede nogle nltiske udtrk, som beskriver bevægelsen, hvor boldens hstighed og rottion er de eneste prmetre mn kn vælge frit. Det resulterer i koblede. ordens differentilligninger, som herefter kn løses numerisk og vises i en D projektion. Geometrisk nlse f problemstillingen Figuren nedenfor viser en fodbold, der bevæger sig i -retning, svrende til en luftmodstnd, der kommer ind i modst retning. Et punkt på bolden er fstlgt ved polære koordinter: (r, θ, φ). Geometrien kn være lidt svær t overskue på den rumlige tegning, så der er lgt et snit prllel med - plnen, hvor vindens retning v er opløst efter en tngentil og en rdil retning. v r betegner vindens rdile komposnt og v t betegner vindens tngentile komposnt. Af figuren til højre ses, t vr v sinϕ vt v cosϕ Idet bolden roterer om z-ksen, vil et punkt (r, θ, φ) hve en hstighed i -retningen, som er boldens medføringshstighed, plus -komposnten f boldens rottionshstighed. For frten i den jævne cirkelbevægelse gælder v ωr og frten i cirkelbevægelsen, svrende til zimutvinklen θ er derfor: v θ ωr og -komposnten vil være v θ ω r cosφ.

3 At score mål på hjørnesprk Hstigheden f et punkt i -retningen er derfor komposnt f denne hstighed bliver derfor. v + ωr cosϕ, og den rdile og tngentile vr ( v + ωr cosϕ)sinϕ vt ( v + ωr cosϕ) cosϕ Vi er interesseret i krften, der virker modst bevægelsesretningen (-retningen), som vil bremse bolden og krften, der virker i -retningen, vinkelret på bevægelsesretningen. Vi skl derfor udregne komposnterne i og -retning f rdilhstigheden. Rdilhstighederne f boldens bevægelse vil ændre frt og retning f bolden, mens tngentilhstigheden eventuelt vil ændre rottionshstigheden. Imidlertid vil boldens hstighed, bremse på den ene side og give medløb på den nden, så vi ser helt bort fr tngentilhstigheden. Ud fr tegningen øverst til højre, kn mn for rdilhstigheden se t: v v cosϕ v v sinϕ så r r r vr ( v + ωr cosϕ)sinϕ cosϕ vr ( v + ωr cosϕ)sinϕ sinϕ Som udtrk for luftmodstnden, der virker modst bevægelsesretningen vil vi nvende udtrkket: r F ½cwρAv γv ρ er luftens msseflde, c w er formfktoren, A er tværsnitsrelet f legemet, og v er hstigheden i bevægelsesretningen. Kræfterne, der virker i -retningen, svrende til vinklerne φ og φ, er modst rettede, hvd ngår leddet v, som det fremgår f udtrkket for v r, men d vi kvdrerer hstighederne, bliver vi nødt til t udregne F som: F F (φ) - F ( φ) Den krft F, der virker i punktet (r,θ,φ) skl så gnges med relelementet da r dθdϕ og integreres over hele hlvkuglen. θ [, ] og ϕ [,½ ]. D vi hr trukket relet ud f formlen, skriver vi den nu: df ( ϕ) df γ (( v ( ϕ) + ωr cosϕ) df ½c ρv da γ v da w sin ϕ cos ϕ r dθdϕ ( v + ωr cos( ϕ)) sin ϕ cos ϕ r dθd ϕ De to udtrk er ens, bortset fr et fortegnsskifte i det ndet led i de toleddede størrelser, idet cos( ϕ) cosϕ. Leddene vil derfor gå ud mod hinnden, bortset fr gnge det dobbelte produkt f den toleddede størrelse, mn finder efter en mindre reduktion: df ( ϕ) df ( ϕ) γ 4vω r sin θ cos ϕ sin ϕ dθdϕ )

4 At score mål på hjørnesprk 4 I det følgende får vi brug for t kunne udregne integrler f tpen: sin n cos m d Hvis n er lige og m er ulige (eller omvendt), så kn integrlerne udregnes reltivt nemt, ved nvendelse f formlerne: cos - sin eller, hvd der er det smme sin - cos og en simpel substitution. Hvis både n og m er lige, kn integrlet udregnes ved (successiv) nvendelse + cos cos f ovennævnte formler, smt formlerne: cos og sin og Endelig hvis n og m er ulige, kn mn nvende formlen sinsincos. F γ 4vωr sin θ cos ϕ sin ϕdθdϕ sin cosθ θ θd θ dθ 4 sin θ cos ϕ sin ϕdϕ 4 (sin sin ϕ) d sinϕ Det endelige udtrk for F bliver herefter: ( sin ϕ)cosϕ sin ϕdϕ 5 [ sin θ sin θ ] F 4 5 cwρ vω r. Bemærk, t der (nturligvis) ikke er nogen krft på tværs f bevægelsesretningen, hvis ω. Udtrkket for hstigheden i -retning er givet ovenfor: Dette udtrk skl integreres over hele hlvkuglen: v r ( v + ωr cosϕ) sin ϕ F vr r dθdϕ γ (( v + γ ωr cosϕ)sin ϕ) r dθdϕ Leddet, der kommer med cosφ vil forsvinde ved integrtionen, idet cosφ er ulige i intervllet fr til pi, og de øvrige funktioner er lige. Når integrnden udregnes finder mn:

5 At score mål på hjørnesprk 5 F γ r 4 4 v sin ϕ + ω r sin ϕ sin θ cos ϕ) ( dθdϕ På næsten smme måde som ovenfor, finder mn for de 4 integrler: sin ϕd ϕ 8 sin θd θ d θ sin ϕ cos ϕd ϕ 6 Hvilket mn muligvis også kn finde ved brug f en CAS. Bevægelsesligningerne Herefter kn vi opskrive udtrkket for F. F c ( wρ r v + ω r ) 4 Vi hr ntget, t bolden bevæger sig i retningen. Dette er nturligvis en tilnærmelse, hvis mn skder et hjørnesprk lngs bglinien (-retningen). Den korrekte formel for luftmodstnden er v F ½cwρAv F ½cwρAv v v Selv om hstigheden ikke er gnske vinkelret på rottionsksen, vil vi beholde udtrkket for F lt ndet ville være (mtemtik) hlsløs gerning, og formodentlig kun ændre minimlt på resultterne. Accelertionen bestemmes ved t dividere med boldens msse m, udskrevet ved hjælp f de bsisvektorer i, j, k F F Fz cwρ vωr i cwρr ( v v+ ω r j) g k m m m m 5 m 4 Hvis vi skriver ccelertionen ud i komponenter efter, og z-kse, finder mn derfor: z 4 cwρr vv cwρ vωr m 4 m 5 cwρr ( vv + ω r ) m 4 cwρr vvz g m 4 Dette er koblede. ordens differentilligtninger, og selv om det skulle lkkes t finde en nltisk løsning, er det svært t finde nvendelse for den. Ligninger er løst numerisk, og plottet i en ægte D projektion.

6 At score mål på hjørnesprk 6 Udregner mn konstnterne med: ρ,9 kg/m, c w,4, rdius f bolden: r, m, Mssen f fodbolden m,4 kg, får mn følgende numeriske ligninger: z,5,5,5 vv vv vv z ,8 Grfisk løsning f bevægelsesligningerne Vi hr st fodboldbnes bredde til 6 m. Opgven t bestemme udgngsfrten, vinklerne θ, φ for retningen, og det rette skru f bolden for t den ender i mål, er omtrent lige så vnskelig, som t udføre det i prksis, men nogle rimelige værdier kunne være: v,5 m/s, ω,4 /s, (omløbstid T, s), θ 6, φ 8. Bolden vil gnske rigtigt dreje ind mod målet og lnde der, og på D figurerne, ser det ud som om den kommer i mål, men det er et bedrg på grund f projektionen. Ser mn imidlertid på grferne for (t), (t), z(t), kn mn se, t den fktisk ikke når ind i målet. Med de vlgte værdier f vinkler og hstighed, skl mn fktisk op på urelistisk høje rottionshstigheder, før bolden går ind i målet. Om det er muligt i den nuværende beskrivelse, t få bolden i må med relistiske værdier f vinkler, hstighed og rottion, skl jeg ikke kunne sige, d mn muligvis også skl justere det erodnmiske. Formålet hr egentlig blot været, t give en teoretisk og kvntittiv forklring på, t mn kn score mål på hjørnesprk. Af de tre grfer nedenfor, hvor D fbildningen ses fr to forskellige pldser på tilskuerrækkerne, kn ses, t der bliver scoret på hjørnesprk. På hver D grf er vist to kurver, hvorf den ene er er boldens bne i mål, den nden er bnekurven, når mn ser bort fr luftmodstnden. Bemærk t fstnde er stærkt fortegnede i D projektion. Den sidste grf er ((t), (t), z(t)) med og uden luftmodstnd. 4 5 vω ω

7 At score mål på hjørnesprk 7

8 At score mål på hjørnesprk 8 Beregningerne og grferne er lvet med et mere end år gmmelt DOS-progrm skrevet i Turbo 7.. Efter Windows 98, kn mn ikke længere tge et skærmdump f DOS-grfikken. (Og progrmmet kn overhovedet ikke køre i Windows 7 eller 8). De viste billeder er derfor kopi f skærmdump fr en Windows 98 mskine. Fornøjelsen ved den klssiske fsik er jo, t det bringer én i stnd til nltisk t forstå og beskrive vores mterielle omverden, som den kn igttges. Min pointe er lidt den, t gå ud fr grundliggende lovmæssigheder, for derefter t behndle resultterne med IT, i stedet for det omvendte, t udlede lovmæssigheder ud fr IT-grfer. Ole Witt-Hnsen Lektor emeritus