u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n Slide 1/26
|
|
- Victoria Christoffersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Slide 1/26
2 Faculty of Science Om Sandhed, Tro og Viden i Naturvidenskaberne Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Foredrag under Forskningens Døgn, april, 2010 Slide 2/26
3 DEL I Vi filosoferer og indfører kompleksitet, entropi og divergens Slide 3/26
4 hvad vi lever af Vi indleder med en banalitet: Ligesom mennesket ikke lever af brød alene, lever vi i naturvidenskaberne ikke af formler alene ideer af almen karakter bærer også værket. Ideerne skal lede os det tekniske med formler og symbolsprog skal give ideerne konkret indhold og bane vejen for kvantitative overvejelser baseret på iagttagelse. Og hvad lever vi for? I naturvidenskaberne søger vi sandheden om den fysiske verden, vi er anbragt i. så vi vil filosofere over vores tema: Slide 4/26
5 verden og dig Det hele er verden, V. Situationer fra verden vedrører Naturen og Iagttager, dig! Naturen har ingen bevidsthed det har du! Naturen er ikke kreativ det er du! Naturen er bærer af sandheden, du søger sandheden, men er henvist til tro. Med erfaring kommer erkendelsen, viden. Viden er syntesen af udstrakt erfaring. Slide 5/26
6 interaktion (vekselvirkning) Konkrete størrelser (instanser) i en typisk situation: sandhed: x tro: y viden: z En lidt anden (?) fortolkning af viden (z): sådan opfatter du sandheden! (perception) Fundamental og kritisk antagelse: viden afledes af sandhed og tro tilsammen dvs. der findes en funktion, interaktoren Π, således at z = Π(x,y). absolut sandhed? virkelighed? erfaring, viden, erkendelse, perception? Slide 6/26
7 Eksempler på verdener Den klassiske verden V 1 er karakteriseret ved interaktoren Π 1 : Π 1 (x,y) = x, så her er z = x. Her kan sandheden erfares: det, du ser, er det, der er sandt. Et sort hul V 0 er karakteriseret ved interaktoren Π 0 : Π 0 (x,y) = y, så her er z = y. Med andre ord: det, du ser, er det, du tror. Blandinger (Tsallis verdener), f.eks V 3: 4 Slide 7/26 V 3 4, karakteriseret ved Π 3(x,y) = x y. Andre muligheder...(der er mange, men ovenstående er nok de vigtigste)
8 eksempler på situationer Naturfænomener: vejret i morgen, hvor er askeskyen?... Fra fysikkens verden: tilstanden af en gas i et varmebad,... Sundhedssektoren: virker pillen? kommer der en epedemi?... Samfund, økonomi: kursernes udsving... Den religiøse sfære: forholdet mellem Vorherre og dig,... Personlige forhold: elsker hun mig?... Litteraturen: Daphne myten... Psykologi: udfyldning... Spil: hvor mange øjne? er terningen ægte?... Slide 8/26
9 Beskrivelse, besvær, kompleksitet Den, der kan beskrive verden, behersker verden! men beskrivelse koster i form af et besvær for dig og besværet afhænger både af sandheden og af din tro. Notation: Φ(x,y) er besværet, når sandheden er x, din tro y. Andet ord for besvær : kompleksitet. Vi kalder Φ for kompleksitetsfunktionen. Vi vedtager: Kompleksitetsfunktionen er ren hvis besværet er mindst når din tro matcher sandheden: Φ(x,y) Φ(x,x) med lighedstegn kun når y = x. I det følgende tænkes kun på rene kompleksitetsfunktioner. Slide 9/26
10 entropi og information Entropi (H) er uundgåeligt besvær! så: H(x) = Φ(x, x). MaxEnt: Med flere muligheder for x, vælger Naturen den mest ugunstige for dig, den, med størst entropi. (mere senere) Man kan også tænke positivt på besvær, på entropi: Ved information kan man undgå besvær. Informationsmængde måles ved sparet besvær. Specielt: Ved fuld information om x, er den vundne informationsmængde lig med entropien H(x). Slide 10/26
11 Divergens og den fundamentale ulighed Divergens (D) er et mål for hvor tæt y er på x og måles ved aktuelt besvær i forhold til minimalt besvær: D(x,y) = Φ(x,y) H(x). Anderledes udtrykt: der gælder følgende, linking identiteten: Φ(x,y) = H(x) + D(x,y). Da vi har valgt en ren kompleksitetsfunktion gælder: Informationsteoriens Fundamentale Ulighed (IFU) D(x,y) 0 med lighedstegn kun hvis y = x. Slide 11/26
12 mer om information, mer om MaxEnt Information er information om noget, for os om sandheden. Typisk: x P med P en mængde af mulige x er, en preparation. Jaynes maksimumentropiprincip, MaxEnt: Er x P det, der vides, er sandheden det x P med størst entropi ethvert andet x ville svare til at du vidste noget mere! Det, du ser, afhænger af det, du ved. I naturvidenskaberne er sandheden ikke absolut. Bland ikke tingene sammen. Her tales om viden, ikke tro. Fører til et nøglespørgsmål: Slide 12/26
13 ... hvad k a n vi vide? Svaret er gemt i følgende opfattelse: Tro er en tendens til handling! - eller snarere et forvarsel herom. Tro kan transformeres til kontrol. Med kontrol kan Iagttager udføre eksperimenter. Et eksperiment kræver en præparation. Præparationerne fortæller, hvad Iagttager kan vide Typisk præparation: Mængden af x for hvilke Φ(x,y 0 ) har en bestemt værdi. (y 0 bør transformeres til tilsv. kontrol) Det, du kan vide, er det, du kan beskrive. Slide 13/26
14 MaxEnt og robusthed MaxEnt finder udstrakt anvendelse for præparationer som netop beskrevet. Den tekniske behandling er typisk ganske let ved udnyttelse af et nyt begreb: y er robust for præparationen P såfremt Φ(x,y ) er uafhængig af x, sålænge x P. Sætning Hvis x,y opfylder følgende betingelser: y = x (perfekt match), x P, y robust for P, så er x det søgte MaxEnt-element. Slide 14/26 Bevis: Antag Φ(x,y ) = h for alle x P. Så er H(x ) = Φ(x,x ) = Φ(x,y ) = h og for hvert x P er H(x) H(x) + D(x,y ) = Φ(x,y ) = h. Derfor!
15 DEL II Vi ser på stokastiske modeller og bestemmer konkrete rene kompleksitetsfunktioner Slide 15/26
16 Verdener baseret på sandsynlighed Verdener, hvor situationer er bestemt ved sandsynligheder over et alfabet. Skematisk: (f.eks i V 1 er z i = x i og i V 3 4 Et konkret eksempel: A sandhed tro viden i x i y i z i er z i = 3 4 x i y i). A sandhed tro viden iv 1 viden i V Slide 16/26
17 kompleksitetsfunktioner i stokastiske modeller A x y z besvær (pris, energi...) i x i y i z i = π(x i,y i ) φ(x i,y i ) = z i κ(y i ) = π(x i,y i )κ(y i ) Det totale besvær er Φ(x,y) = i A φ(x i,y i ), dvs. Φ(x,y) = i A π(x i,y i )κ(y i ). κ : [0, 1] [0, ], er deskriptoren, der til t (sandsynlighed, du tror, et udfald har), angiver dit besvær med at indkredse udfaldet. Sagt positivt: κ(t) er den pris, du er villig til at betale for at få information om at en hændelse med sandsynlighed t er indtruffet. Slide 17/26
18 om eksistens af rene kompleksitetsfunktioner PROBLEM: bestem κ, så Φ bliver en ren kompleksitetsfunktion! Sætning: For enhver verden V = V π er der masser af acceptable kompleksitetsfunktioner, nemlig svarende til forskellige valg af κ, men højst eet valg, der giver en ren kompleksitetsfunktion! Beviset er lidt omstændeligt. Jeg springer det over! Iøvrigt gælder, at forskellige verdener godt kan have samme rene kompleksitetsfunktion. Så: Selvom du kan beskrive verden, behøver du ikke kende verden! Slide 18/26
19 prisen på information i den klassiske verden I den klassiske verden ser det lidt enklere ud: A x y z besvær i x i y i z i = x i φ(x i,y i ) = z i κ(y i ) = x i κ(y i ) Kompleksitetsfunktionen er her Φ(x,y) = i A x iκ(y i ). Vi søger κ. Vi forventer, at κ er aftagende og at κ(1) = 0. Desuden vil vi sørge for at κ (1) = 1. Dette svarer blot til et valg af enhed. Vores valg giver naturlige enheder, nats. Havde vi valgt normeringen κ (1) = ln , havde vi fået binære enheder (bits). Slide 19/26
20 Vi gætter en ren kpl.fkt. i klassiske verden V 1 Skal finde κ, så det for alle sandsynlighedsvektorer x og y gælder, at summen Φ(x,x) er summen Φ(x,y), se skema: A x y bidrag til Φ(x,x) bidrag til Φ(x,y) 1 x 1 y 1 x 1 κ(x 1 ) x 1 κ(y 1 ) 2 x 2 y 2 x 2 κ(x 2 ) x 2 κ(y 2 ) i x i y i x i κ(x i ) x i κ(y i ) sum 1 1 Φ(x, x) Φ(x, y) Et trick: Vis i stedet, at summen Φ(x,x) + 1 er summen Φ(x,y) + 1, se skemaet: Slide 20/26
21 Slide 21/26 A x y bidrag til Φ(x, x) + 1 bidrag til Φ(x, y) x 1 y 1 x 1 κ(x 1 ) + x 1 x 1 κ(y 1 ) + y 1 2 x 2 y 2 x 2 κ(x 2 ) + x 2 x 2 κ(y 2 ) + y 2 i x i y i x i κ(x i ) + x i x i κ(y i ) + y i sum 1 1 Φ(x,x) + 1 Φ(x,y) + 1 Satser på at dette endog gælder ledvist, dvs. at uligheden sκ(s) + s sκ(t) + t (1) gælder for alle 0 s 1 og alle 0 t 1. Hold først s fast. Højre-siden i (1) er en funktion af t med mindsteværdi for t = s; derfor er der stationært punkt for t = s, dvs. sκ (s) + 1 = 0. Dette gælder alle s og bestemmer dermed en differentialligning. Løsningen med κ(1) = 0 er funktionen κ(t) = ln 1 t.
22 ... fortsat... Vi har gættet en κ-funktion og dermed en kompleksitetsfunktion! Men er det en ren kompleksitetsfunktion? Vi checker: Er eller: er eller: er sκ(s) + s sκ(t) + t? s ln 1 s + s s ln 1 t + t? s ln t s t s? JA! det følger af den velkendte ulighed lnx x 1! Vi konkluderer: I V 1 er κ : t ln 1 t den entydigt bestemte deskriptor, der fører til en ren kompleksitetsfunktion! Slide 22/26
23 DEL III Opgaver til de, der har lyst Slide 23/26
24 Opgave 1: Diskuter situationer, hvor de opstillede filosofiske betragtninger virker interessante, måske fordi de peger på forhold, du selv har iagttaget. Du bør forholde dig kritisk til de fremførte tanker. Der er masser af spørgsmål, man kan stille, f.eks. omkring begrebet virkelighed - findes virkeligheden og, i sammenhæng hermed, er der mening i et begreb som den absolutte sandhed? Hvordan passer begreberne sandhed, tro og viden ind i en religiøs kontekst? Er det det rene vås og misforstået videnskabelighed, hvis man prøver at fortolke begreberne i en anden sammenhæng end en rent videnskabelig? Og, lidt omvendt, kan forhold vi møder som almindelige mennesker hjælpe os, når vi søger efter modeller til forklaring af rent naturvidenskabelige forhold? Opgave 2: Bestem entropi og divergens i V 1. Slide 24/26
25 Slide 25/26 Opgave 3: Se på Tsallis verden V q med et q mellem 0 og 1 (0 < q < 1). Der er kun een ren-kompleksitetsfunktion i denne verden. Bestem den og opskriv en formel for den tilhørende entropi, den såkaldte Tsallis entropi. Vis, at blandt samtlige fordelinger over en endelig mængde, er ligefordelingen den med størst entropi. Vejledning: Gå frem helt som i V 1 og gæt dig frem. Tricket, vi så før, fører til differentialligningen sκ (s) + (1 q)κ(s) + 1 = 0. Du finder let en konstant-funktion κ 0 som løsning og så ses, at er κ en løsning, opfylder funktionen f = κ κ 0 en noget simplere differentialligning, som du kan løse. Husk så at pil den løsning ud, der opfylder κ(1) = 0. Du kan stille dig tilfreds med dette, men bør checke, at uligheden sκ(s) + s sκ(t) + t virkelig er opfyldt. Vedrørende sidste spørgsmål om ligefordelingen: Brug robusthed! Advarsel: Opgaven er ikke let! Vil du vide mere om Tsallis entropi, spørg evt. Google eller Wikipedia.
26 Mere information: se min hjemmeside (søg f.eks. på mit navn i GOOGLE) SLUT for nu TAK! Slide 26/26
Om sandhed, tro og viden
Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf
Læs mereMatematikkens filosofi filosofisk matematik
K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereTro, Viden & Vished. Erik Ansvang.
1 Tro, Viden & Vished Erik Ansvang www.visdomsnettet.dk 2 Tro, Viden & Vished Af Erik Ansvang Ethvert menneske, der ønsker at finde sin egen livskilde sin indre sol må søge lyset i sit indre. Åndeligt
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereEn statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen
Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereNaturfagenes egenart
Naturfagenes egenart konference, Odense 26. august 2010 Jens Dolin Institut for Naturfagenes Didaktik Københavns Universitet Naturvidenskabernes egenart Hvad kan naturvidenskaberne bibringe de unge, som
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereFormål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1
Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte
Læs mereKædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang
Læs mereKapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.
Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereRasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling
Rasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling Rasmus Rønlev CV i uddrag 2008: Cand.mag. i retorik fra Københavns Universitet 2008-2009: Skrivekonsulent
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereMikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed
Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereTANKERNE BAG DE NYE VEJLEDENDE SÆT I MATEMATIK
TANKERNE BAG DE NYE VEJLEDENDE SÆT I MATEMATIK De foreliggende vejledende sæt i matematik er gældende fra sommeren 2012 på matematik B og sommeren 2013 på matematik A. Der er en del ændringer i forhold
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2018 Institution Vid Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereMonotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereIndivider er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme
Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereHvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?
Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereFra opgave til undersøgelse
Fra opgave til undersøgelse Kan man og skal man indrette læringsmiljøer med undersøgende tilgang til matematik? Er det her en Fed Fobilooser? Det kommer an på! Hvad kan John Dewey bruges til i dag? Et
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereModellering. Matematisk undersøgelse af omverdenen. Matematisk modellering kan opfattes som en matematisk undersøgelse af vores omverden.
Modellering Matematisk undersøgelse af omverdenen. 1 Modellering hvad? Matematisk modellering kan opfattes som en matematisk undersøgelse af vores omverden. Matematisk modellering omfatter noget udenfor
Læs mereKøreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mere