Andengradsligninger i to og tre variable

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Andengradsligninger i to og tre variable"

Transkript

1 enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker i henholdsvis enote 8 og enote 9 Ved den indledende behandling af funktioner af to variable definerede vi niveau-mængderne K c ( f ) for funktioner f (x, y) af to variable, se enote 5 Vi skal se i denne enote, at for andengradspolynomier i to variable er niveaumængderne typisk velkendte kurver i (x, y)-planen som for eksempel ellipser og hyperbler og det er formålet med denne enote at vise hvilke typer niveaukurver der optræder for givne ligninger Vi vil dertil i udstrakt grad benytte den reduktionsmetode, der er udviklet i enote 8 Den virker for andengradspolynomier af både to og tre (og flere) variable, og som vi skal se, kan de tilhørende niveau-kurver og -flader identificeres ud fra en kort navneliste Niveaukurverne for andengradspolymier i to variable og niveaufladerne for andengradspolynomier i tre variable kendes klassisk under navnene henholdsvis keglesnit og keglesnitsflader 0 Andengradsligninger i to variable Fra enote 8 ved vi fra inspektion af de viste niveaukurver, at der typisk optræder ellipser og hyperbler eller ellipse-lignende og hyperbel-lignende kurver som niveaukurver for funktioner af to variable især omkring stationære punkter Det er ikke nogen tilfældighed; andengradspolynomier har netop sådanne niveaukurver Og passende valgte andengradspolynomier er jo samtidig gode approksimationer til givne glatte funktioner af to variable I det følgende vil vi med nogle eksempler gennemgå standardmetoden til reduktion af de ligninger, der fremkommer når vi vil finde de punkter i R for hvilke et givet andengradspolynomium er 0, altså netop de punkter, der udgør niveaumængden K 0 ( f ) for f (x, y)

2 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE Eksempel 0 Ellipse For et andengradspolynomium f (x, y) bestemmer vi følgende ingredienser til reduktion af polynomiet på præcis den måde som er gennemgået i enote 8 Vi har specielt igen brug for den positive ortogonale substitutionsmatrix Q som diagonaliserer matricen H f (x, y) for derved at opnå et udtryk for f (x, y) som ikke indeholder produktled nu i de nye koordianter x og ỹ Resultatet af reduktionen er f ( x, ỹ) som vist nedenfor: f (x, y) = x + y + x y 8 x 0 y + f (x, y) = (4 x + y 8, x + 4 y 0) [ H f (x, y) = Λ = [ 0 0 (0-) Q = [ [ / / cos(π/4) sin(π/4) = / / sin(π/4) cos(π/4) f ( x, ỹ) = x + ỹ 9 x ỹ + ( = x ) ( + ỹ ) Den sidste ligning i ovenstående beregning af det reducerede andengradspolynomium f ( x, ỹ) fremkommer ved kvadratkomplettering Den kan foretages for x-leddene først og dernæst for ỹ-leddene For de førstnævnte foregår det sådan: x 9 x = ( x x) ( ) = ( x ) 9 (0-) Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er nu bestemt ved hver af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) ( x ) + ( ỹ ) = (0-) Denne sidste ligning fremstiller en ellipse med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (, ) (med hensyn

3 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, se figurerne 0 og 0 Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = π/4 Funktionen f (x, y) har et stationært punkt i centrum for ellipsen, hvor funktionsværdien er Hesse-matricen er positiv definit og derfor er det stationære punkt et egentligt lokalt minimumpunkt Der er tydeligvis tale om et globalt minimumpunkt Figur 0: Grafen for funktionen f (x, y) = x + y + x y 8 x 0 y + samt niveaukurver og gradientvektorfelt for funktionen Bemærk specielt niveaukurven svarende til niveau 0, som er den ellipse vi analyserer i eksempel 0 Eksempel 0 Ellipse f (x, y) = 9 x + 6 y + 4 x y 5 x 6 y + 60 f (x, y) = (58 x + 4 y 5, 7 y + 4 x 6) [ 9 H f (x, y) = 6 Λ = [ (0-4) Q = [ /5 4/5 4/5 /5 f ( x, ỹ) = 45 x + 0 ỹ 60 x 80 ỹ + 60 = 45 ( x 4) + 0 (ỹ ) 80

4 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 4 Figur 0: Grafen for funktionen med den elliptiske niveaukurve i niveau 0 for funktionen i eksempel 0 Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er derfor givet ved hver enkelt af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) ( ) x 4 ( ) ỹ + = (0-5) Dette er ligningen for en ellipse med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (4/5, /5) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (4, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, se figur 04 Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = arccos(/5) Andengradspolynomiet f (x, y) har et stationært punkt i centrum med værdien 80 Hessematricen er positiv definit og derfor er det stationære punkt et egentligt lokalt minimumpunkt med minimumværdi 80 Der er igen tydeligvis tale om et globalt minimumpunkt

5 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 5 Figur 0: Grafen for den funktion, der blot er løftet / i forhold til værdierne for funktionen i eksempel 0 Niveaukurven K 0 ( f ) i niveau 0 er tilsvarende mindre med tilsvarende mindre halvakser, men den er orienteret efter de samme akseretninger Eksempel 0 Hyperbel Vi ser igen på eksempel 950 fra enote 9 som handler om andengradspolynomiet f (x, y) med følgende data: f (x, y) = x + 4 y 4 x y 0 x + 40 y 60 f (x, y) = ( x 4 y 0, 4 x + 8 y + 40) [ H f (x, y) = 4 Λ = [ Q = [ 4/5 /5 /5 4/5 [ cos(ϕ) sin(ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ), hvor ϕ = arcsin(/5) f ( x, ỹ) = 0 x 5 ỹ 40 x + 0 ỹ 60 = 0 ( x ) 5 (ỹ ) 60 (0-6) Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende

6 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 6 Figur 04: Niveaukurven K 0 ( f ) for andengradspolynomiet f (x, y) = 9 x + 6 y + 4 x y 5 x 6 y + 60 fra eksempel 0 ligninger: f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) ( ) x ( ) ỹ = (0-7) Ligningerne fremstiller en hyperbel med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (, ) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = arcsin(/5) Funktionen har et stationært punkt i centrum med værdien 60 Hesse-matricen er indefinit og derfor er det stationære punkt hverken et lokalt minimumpunkt eller maksimumpunkt

7 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TO VARIABLE 7 Eksempel 04 Hyperbel En anden hyperbel er givet ved K 0 ( f ) for følgende andengradspolynomium: f (x, y) = 5 4 x + 4 y + x y + 5 x y 4 f (x, y) = ( 5 x + y + 5, x + y ) [ H f (x, y) = 5/ /4 /4 /4 Λ = [ 0 0 (0-8) Q = [ / [ / cos(π/) sin(π/) = / / sin(π/) cos(π/) f ( x, ỹ) = x ỹ x 4 ỹ 4 = ( x ) (ỹ + ) 4 Den andengradsligning som giver niveaukurven K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende ækvivalente ligninger, hvor den sidste fås ved kvadratkomplettering: ( f (x, y) = 0 = f ( x, ỹ) = 0 ) ( x ỹ + ) = (0-9) Det er en hyperbel med centrum i e C = (x 0, y 0 ) = (, 0) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne / og /( ), se figur 05 Det nye koordinatsystem fremkommer ved drejning af det gamle koordinatsystem med drejningsvinklen φ = π Funktionen har et stationært punkt i centrum med værdien /4 Hesse-matricen er indefinit og derfor er det stationære punkt hverken et lokalt minimumpunkt eller maksimumpunkt, som det også tydeligt fremgår af figur 05

8 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE 8 Figur 05: Grafen for funktionen fra eksempel 04 med snit i niveau 0, gradientfelt, niveaukurver og specielt niveaukurven K 0 ( f ) 0 Andengradsligninger i tre variable For andengradspolynomier f (x, y, z) i tre variable kan vi gennemføre samme analyse som ovenfpor men nu af de niveaumængder i rummet, dvs de niveau-flader der fremkommer ved at sætte f (x, y, z) = 0 Vi viser metoden via nogle eksempler: Eksempel 05 Ellipsoide

9 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE 9 Et andengradspolynomium i tre variable undersøges: f (x, y, z) = 7 x + 6 y + 5 z 4 x y 4 y z x + 0 y 0 z + 5 f (x, y, z) = (4 x 4 y, 4 x + y 4 z + 0, 4 y + 0 z 0) H f (x, y, z) = Λ = Q = / / / / / / / / / f ( x, ỹ, z) = 9 x + 6 ỹ + z 8 x ỹ 6 z + 5 = 9 ( x ) + 6 (ỹ ) + ( z ) (0-0) Den andengradsligning som giver niveaufladen K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y, z) = 0 = f ( x, ỹ, z) ( ) ( ) x ỹ + + ( z ) = (0-) Det er ligningen for en ellipsoide med centrum i e C = (x 0, y 0, z 0 ) = ( /, 5/, 7) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0, z 0 ) = (,, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, og, se figur 06 og navnetabellen i afsnit 0 Det nye koordinatsystem fremkommer ved rotation af det gamle koordinatsystem med den positive ortogonale substitution Q Funktionen f (x, y, z), som er undersøgt i eksempel 05, har et stationært punkt i det fundne centrum med værdien Hesse-matricen er positiv definit og derfor er det stationære punkt for f (x, y, z) i rummet et egentligt lokalt minimumpunkt, et globalt minimumpunkt

10 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE 0 Figur 06: Niveaufladen K 0 ( f ) for den funktion som er analyseret i eksempel 05 Det nye roterede koordinatsystem hvori ellipsoiden har reduceret form er antydet med den røde x-akse, blå ỹ-akse, og grønne z-akse Hvis vi kunne tegne grafen for funktionen f (x, y, z) i det 4-dimensionale (x, y, z, w)-rum, dvs hvis vi betragtede mængden af de punkter i R 4 der kan skrives på formen (x, y, z, f (x, y, z)) når (x, y, z) gennemløber (x, y, z)-rummet i R 4, så vil niveaufladen for f (x, y, z) være den mængde vi får i (x, y, z)-rummet ved at sætte w = 0, altså netop f (x, y, z) = 0 Eksempel 06 Hyperboloide med ét net f (x, y, z) = x + y + z + x 4 y + z 4 x z f (x, y, z) = ( x 4 z +, 4 y 4, 4 x + z + ) H f (x, y, z) = Λ = (0-) Q = / 0 / 0 0 / 0 /

11 enote 0 0 ANDENGRADSLIGNINGER I TRE VARIABLE f ( x, ỹ, z) = x + ỹ z 4 ỹ z ( = x + (ỹ ) z + ) (0-) Den andengradsligning som giver niveaufladen K 0 ( f ) er derfor givet ved hver af følgende ækvivalente ligninger: f (x, y, z) = 0 = f ( x, ỹ, z) ( ) ( ) x ỹ ( + z + ) (0-4) = Ligningerne repræsenterer en hyperboloide med ét net der har centrum i e C = (x 0, y 0, z 0 ) = (,, ) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (0,, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne og, og, se figur 07 og navnetabellen i afsnit 0 Det nye koordinatsystem fremkommer ved rotation af det gamle koordinatsystem med den positive ortogonale substitution Q Funktionen f (x, y, z), som er undersøgt i eksempel 06, har et stationært punkt i det fundne centrum med værdien Hesse-matricen er indefinit og derfor er det stationære punkt for f (x, y, z) i rummet hverken minimumpunkt eller maksimumpunkt Eksempel 07 Hyperboloide med to net Et andengradspolynomium f (x, y, z) er givet ved følgende data: f (x, y, z) = x + y + z + x + 4 y + 4 z 5 y z 6 f (x, y, z) = ( x +, y 5 z + 4, 5 y + z + 4) H f (x, y, z) = / 5/ 0 5/ / Λ = (0-5) Q = 0 0 / 0 / / 0 / f ( x, ỹ, z) = x ỹ z + ỹ + 4 z 6 ( = x (ỹ ) z )

12 enote 0 0 NAVNETABEL FOR ANDENGRADSPOLYNOMIERS NIVEAUFLADER Figur 07: Niveaufladen K 0 ( f ) for funktionen som analyseres i eksempel 06 Den andengradsligning som giver niveaufladen K 0 ( f ) er derfor givet ved: f (x, y, z) = 0 = f ( x, ỹ, z) ( ) ( (ỹ ) x z ) = (0-6) Det er ligningen for en hyperboloide med to net der har centrum i e C = (x 0, y 0, z 0 ) = (,, ) (med hensyn til de gamle koordinater) svarende til v C = ( x 0, ỹ 0 ) = (0,, ) (med hensyn til de nye koordinater) og halvakserne, og se figur 08 0 Navnetabel for andengradspolynomiers niveauflader De maksimalt reducerede udtryk for andengradspolynomiers niveauflader præsenteres her under antagelse af at eventuelt centrum (eller såkaldt toppunkt) optræder i vc = (0, 0, 0) For en given konkret niveauflade kan navnet aflæses fra tabellen; beliggenheden angives med koordinaterne for det fundne centrum C for niveaufladen; orienteringen angives ved den fundne substitutionsmatrix Q og størrelsen af niveaufladen angives ved de enkelte halvakser a, b, og c, eller p og k i de enkelte tilfælde for så vidt de optræder i den reducerede ligning for niveaufladen

13 enote 0 0 NAVNETABEL FOR ANDENGRADSPOLYNOMIERS NIVEAUFLADER Figur 08: En hyperboloide med to net er niveaufladen K 0 ( f ) for den funktion, der analyseres i eksempel 07 Ligning Navn Punktet (0, 0, 0) Eksempel x + ỹ + z a b x + ỹ z a b x ỹ z a b x + ỹ z a b x + ỹ a x ỹ a c = ellipsoide centrum 05 c = hyperboloide med ét net centrum 06 c = hyperboloide med to net centrum 07 c = 0 keglesnitskegleflade centrum fig 09 b = z elliptisk paraboloide toppunkt fig 09 = z b hyperbolsk paraboloide toppunkt fig 09 x = p z a parabolsk cylinderflade toppunkt fig 09 x + ỹ a x ỹ a x + ỹ + z a b x + ỹ a x ỹ a b = elliptisk cylinderflade centrum b = hyperbolsk cylinderflade centrum c = 0 punktet (0, 0, 0) centrum b = 0 z-aksen = 0 to planer gennem z-aksen b x = k > 0 to planer parallelle med (ỹ, z)-planen x = 0 (ỹ, z)-planen

14 enote PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE Figur 09: En keglesnitskegleflade, en elliptisk paraboloide, en hyperbolsk paraboloide, og en parabolsk cylinderflade Opgave 08 Vis, at listen i navnetabellen over niveauflader for andengradspolynomier i tre variable er komplet; dvs enhver totalt reduceret andengradsligning i tre variable (som indeholder mindst e n af de variable xe, ye, eller e z med grad ) er at finde p a listen Opgave 09 Vis, at enhver totalt reduceret andengradsligning i to variable fremkommer af tabellen over totalt reducerede andengradsligninger i tre variable ved at sætte e z = 0 04 Parametrisering af en ellipsoide Vi vil her kort skitsere hvordan man kan parametrisere en niveauflade for et andengradspolynomium i tre variable med henblik p a at kunne plotte og undersøge dens øvrige geometriske egenskaber Som eksempel vil vi benytte en ellipsoide med givet (eller fundet) centrum C, givne halvakser (aflæst fra diaognalmatricen Λ), og givne orienteringsvektorer e v, e v, og e v (fra den positive ortogonale substitutionsmatrix Q) alts a netop ud fra de data der bestemmes via reduktionsanalysen eksemplificeret ovenfor Vi antager for eksemplets skyld, at der her er tale om en ellipsoide, s aledes at A = H f ( x, y, z ) er positiv definit, dvs alle tre egenværdier λ, λ, og λ er positive for A = H f ( x, y, z) Tilsvarende konstruktion kan gennemføres for enhver af de andre niveauflader Vi antager, at ellipsoidens ligning i reduceret form er givet ved λ ( xe xe0 ) + λ (ye ye0 ) + λ (e z ze0 ) = d, (0-7)

15 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 5 hvor d er en positiv konstant og hvor v C = ( x 0, ỹ 0, z 0 ) er koordinaterne for ellipsoidens centrum med hensyn til det nye koordinatsystem, således at centerkoordinaterne med hensyn til det gamle system er givet ved: e C = Q vc Vi har altså følgende ingredienser til rådighed til konstruktionen af ellipsoiden: ec = (C, C, C ) a = d λ b = d λ (0-8) c = d λ Q = [ ev e v e v Vi vil udelukkende betragte koordinater, der refererer til den sædvanlige basis e i (R n, ) En kugleflade S med radius og centrum i (0, 0, 0) kan beskrives som mængden af de punkter (x, y, z), der har afstanden til (0, 0, 0): ρ (0,0,0) (x, y, z) =, som er ækvivalent med x + y + z =, eller x + y + z = (0-9) Kuglefladen kan også præsenteres ved hjælp af geografiske koordinater u og v, hvor u [0, π og v [ π, π: S : (x, y, z) = r(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)) (0-0) Når u og v gennemløber deres respektive intervaller u [0, π og v [ π, π så får vi punkter (x, y, z) = r(u, v) på kuglefladen og alle punkterne rammes Lad os se på den første af de to påstande, altså at alle punkterne r(u, v) ligger på kuglefladen Indsæt x = sin(u) cos(v), y = sin(u) sin(v), og z = cos(u) i kuglens ligning 0-9: x + y + z = sin (u) cos (v) + sin (u) sin (v) + cos (u) ( ) = sin (u) sin (u) + cos (u) + cos (u) = sin (u) + cos (u) =, (0-) så alle punkterne der fremstilles på formen r(u, v) ligger på kuglefladen

16 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 6 Opgave 00 Vis, at den anden påstand om r(u, v) også er rigtig, altså at alle punkter på kuglefladen rammes af r(u, v) når u og v gennemløber intervallerne u [0, π og v [ π, π Findes der punkter på kuglefladen som rammes mere end én gang? Beskriv i så fald den punktmængde og hvor mange gange de punkter rammes Vi skalerer kuglefladen med de tre egenværdier i hver koordinatakseretning og får dermed en fremstilling af en ellipsoide med de korrekte, ønskede, halvakser: d r (u, v) = ( sin(u) cos(v), λ d λ sin(u) sin(v), d λ cos(u)), (0-) hvor u [0, π, v [ π, π således at ethvert punkt x, y, z som rammes af afbildningen r (u, v) nu tilfredsstiller: λ x + λ y + λ z = d x d λ + y d λ + z d λ = (0-) eller, hvis vi benytter halvaksebetegnelserne a, b, og c: ( x ) ( y ) ( z ) + + = a b c, (0-4) som netop er ligningen for en standard ellipsoide med de ønskede halvakser men konstrueret i (x, y, z)-systemet De punkter der fremstilles ved r (u, v) ligger alle på denne elipsoide Til sidst roterer vi ellipsoiden med rotationsmatricen Q og parallelforskyder til det korrekte ønskede centrum: r (u, v) = Q r (u, v) + C (0-5) Alle de punkter, der har stedvektorer givet ved r (u, v) ligger nu på den ønskede ellipsoide og alle punkterne på ellipsoiden rammes når u [0, π, v [ π, π

17 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 7 Eksempel 0 Ellipsoide parametrisering En konkret ellipsoide er givet ved følgende data, som stammer fra en undersøgelse af andengradspolynomiet f (x, y, z) = x + y + z x 4 y z x z + : (0-6) ec = (,, ) a = b = c = Q = / 0 / 0 0 / 0 / (0-7) Vi vil konstruere en parameterfremstilling på formen r (u, v) som i (0-5) for den givne ellipsoide Den skalerede kugleflade er givet ved: ( ) r (u, v) = sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u) (0-8) og den Q-roterede skalerede kugleflade parallelforskudt til punktet (,, ) får derefter parameterfremstillingen: r (u, v) = = ( 6 sin(u) cos(v) cos(u) +, sin(u) sin(v) +, (0-9) 6 sin(u) cos(v) cos(u) + ) Konstruktionen er antydet i figur 00

18 enote PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE Figur 00: Konstruktion af ellipsoiden fra eksempel 0 ud fra data om beliggenhed, akser, og rotationsmatrix Eksempel 0 Ellipsoidedata Den konstruerede ellipsoide i eksempel 0 er 0-niveaufladen for andengradspolynomiet med følgende data: f ( x, y, z) = x + y + z x 4 y z x z + f ( x, y, z) = (4 x z, 4 y 4, x + 4 z ) 0 H f ( x, y, z) = Λ= (0-0) / 0 / Q = 0 0 / 0 / fe( xe, ye, e z) = xe + ye + e z 4 ye + e z+ = xe + (ye ) + e z+ Den andengradsligning som giver niveaufladen K0 ( f ) er derfor givet ved ligningen:!! ye xe e + + z + =, (0-)

19 enote 0 04 PARAMETRISERING AF EN ELLIPSOIDE 9 hvorfra vi aflæser de ovenfor givne halvakser a =, b =, og c = samt centerkoordinaterne v (C) = (0,, ) som via substitutionsmatricen Q svarer til koordinaterne e(c) = (,, ) med hensyn til standard-basis e

20 enote 0 05 OPSUMMERING 0 05 Opsummering Hovedresultatet i denne enote er en identifikation via en række konkrete eksempler af de mulige niveaukurver og -flader for andengradspolynomier i to og tre variable Metoden er reduktionsmetoden for kvadratiske former og andengradspolynomier, som er indført i enote 8 Baseret på samme metode angives en strategi til parametrisering og præsentation af de enkelte niveauflader for funktioner af tre variable

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.

Kortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner

Læs mere

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.

Kortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Energioptag i buede solfangere

Energioptag i buede solfangere 1 [= *00.0 Chicago Spire 2012 Energioptag i buede solfangere karsten.schmidt@mat.dtu.dk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2011 1. Baggrund Før 1900 var glashuse mest kendt fra botaniske haver, palmehuse

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College.

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College. Studieplan Stamoplysninger Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-A Ole Gentz Nørager MatematikAhh1313-VØ Oversigt over planlagte

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

7. Rumgeometri med Derive

7. Rumgeometri med Derive 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Kortprojektioner L mm Problemformulering

Kortprojektioner L mm Problemformulering Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve. Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Stokes rotationssætning

Stokes rotationssætning enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompleks ligning 1. - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud. 1. Oprette den frie variabel z.

Kompleks ligning 1. - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud. 1. Oprette den frie variabel z. Kompleks ligning 1 - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud Formål At give mulighed for at undersøge/illustrere hvordan et komplekst polynomium opfører sig, og hvordan

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

LINEÆRE DEFORMATIONER AF PLANE FIGURER OG MODELERING AF GÆRCELLERS VÆKST

LINEÆRE DEFORMATIONER AF PLANE FIGURER OG MODELERING AF GÆRCELLERS VÆKST Temaøvelsesopgave 2A Rev. 08.10.10. LINEÆRE DEFORMATIONER AF PLANE FIGURER OG MODELERING AF GÆRCELLERS VÆKST Figur 1 NB: Denne version er ikke til udprintning. Hvis I vil udprinte teksten så fjern midlertidigt

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere