En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [ ] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er"

Transkript

1 Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk L genkendes af en FA / NFA / NFA-Λ der ikke findes uendeligt mange strenge, der er parvist skelnelige mht. L Skelnelighed (uge ) x og y er skelnelige mht. L hvis z Σ*: (xz L yz L) (xz L yz L) Hvis skelnelige strenge mht. L køres på en FA, der accepterer L, vil de ende i forskellige tilstande Uskelnelighedsrelationen I L Definition: Givet et sprog L Σ*, definer relationen I L ved: x I L y L/x = L/y for alle x,y Σ* Intuition bag FA-minimering: (dvs. x I L y gælder hvis x og y er uskelnelige mht. L) hvis to strenge er uskelnelige mht. FA ens sprog, er der ingen grund til at den skelner mellem dem!

2 Egenskaber ved I L I L er refleksiv ( x: x I L x) symmetrisk ( x,y: x I L y y I L x) transitiv ( x,y,z: x I L y y I L z x I L z) dvs. I L er en ækvivalensrelation [Martin, kap..] Definition: givet x Σ*, [x] er ækvivalensklassen af x mht. I L (dvs. mængden af strenge, der er uskelnelige fra x mht. L ) L = {,}*{} Quiz! Beskriv ækvivalensklasserne for I L Hint: der er ækvivalensklasser... Hint: find en streng, der er skelnelig fra Λ... Hint: find en streng, der er skelnelig fra både Λ og... : {Λ, } {,}*{} = [Λ] Y: {,}*{} = [] Z: {,}*{} = [] Σ* Y Z en repræsentant for hver ækvivalensklasse MyHill-Nerode-sætningen L er regulært I L har endeligt mange ækvivalensklasser : (uge ) hvis I L har uendeligt mange ækvivalensklasser, så er L ikke regulært Konstruktion af en FA fra I L Givet et sprog L Σ*, antag I L har endeligt mange ækvivalensklasser Vi kan definere en FA, hvor tilstandene er ækvivalensklasserne af I L : Bevis følger

3 Ækvivalensklasserne for I L når L = {,}*{} : : {Λ, } {,}*{} Y: {,}*{} Σ* Z: {,}*{} Y Z M L : Eksempel Y Z Konstruktion af en FA fra I L Definer en FA: M L =(Q, Σ, q, A, δ) hvor Q = Q L hvor Q L er ækvivalensklasserne af I L q = [Λ] A = { q Q q L Ø} δ(q, a) = p hvis q=[x] og p=[xa] for en streng x (δ er veldefineret idet x I L y xa I L ya) Påstand: L(M L ) = L 9 Σ* Quiz! Antag ækvivalensklasserne for I L er = {x {,}* antal er i x er lige} Y = {x {,}* antal er i x er ulige} og L Lav en FA, der accepterer L x Λ x Y Y Bevis for korrekthed af konstruktionen Påstand: L(M L ) = L Lemma: x,y Σ*: δ*([x], y) = [xy] Bevis: induktion i strukturen af y... δ*(q, x) = δ*([λ], x) = [x] (følger af lemmaet og def. af q ) x L(M L ) [x] A [x] L Ø (bruger def. af A) x L [x] L Ø (da x [x]) [x] L Ø x L (bruger def. af I L ) dvs. x L(M L ) x L

4 M L er minimal! Minimering af automater Lad n være antallet af ækvivalensklasser af I L M L har tilstand for hver ækvivalensklasse af I L Vælg en streng x i fra hver ækvivalensklasse For ethvert par x i,x j, i j: x i og x j er skelnelige mht. L dvs. enhver FA der genkender L har mindst n tilstande (jfr. uge ) og M L har netop n tilstande, så M L er minimal! Man kan i visse tilfælde opnå en mindre FA ved at slå tilstande sammen... Kan vi gøre det systematisk? Vil den resulterende FA blive minimal? En algoritme til FA-minimering Fra MyHill-Nerode-sætningen kan vi udlede en algoritme, der givet en vilkårlig FA M=(Q, Σ, q, A, δ), finder en minimal FA M hvor L(M )=L(M) To partitioner af Σ* # Ækvivalensklasserne af I L (svarer til tilstandene i den minimale FA M L ) # En opdeling af alle x Σ* efter værdien af δ*(q, x) (svarer til tilstandene i den givne FA M) Definer for alle q Q: L q = { x Σ* δ*(q, x) = q } Kan vi konstruere # ud fra #?

5 Fjern uopnåelige tilstande Ækvivalensklasserne af I L indeholder alle mindst streng Det er muligt at L q = Ø for en eller flere q Q (hvis q er uopnåelig fra q ) Fra opg..9 (uge ) har vi en algoritme, der kan fjerne uopnåelige tilstande fra en FA uden at ændre sproget Vi kan derfor antage at L q Ø for alle q Q Opnåelige tilstande Givet en FA M=(Q, Σ, q, A, δ) Lad R være den mindste mængde, der opfylder q R q R, a Σ: δ(q, a) R (ligner definitionen af Λ-lukning...) R er mængden af opnåelige tilstande i M 7 8 Eksempel Forholdet mellem partition # og # R kan findes med en fixpunktsalgoritme: R a a,b a δ(, b)= R b δ(, a)= R fixpunkt er nu nået dvs. de opnåelige tilstande er,, a b b Fra uge : δ*(q, x)=δ*(q, y) x I L y Dvs. enhver L q mængde er helt indeholdt i én I L -ækvivalensklasse Enhver ækvivalensklasse af I L er derfor foreningen af en eller flere af L q mængderne Da L q Ø er hver af disse foreninger unik Definition: p q L p og L q er delmængder af samme I L -ækvivalensklasse Dvs. hvis p q, så svarer p og q til samme tilstand i den minimale automat! 9

6 Relationen Konstruktion af (minimeringsalgoritmen) Antag p,q Q, x L p, y L q (dvs. δ*(q, x)=p og δ*(q, y)=q) Lemma: Følgende udsagn er ækvivalente:. p q. x I L y. z Σ*: δ*(p, z) A δ*(q, z) A Vi vil vha. pkt. udlede en algoritme til at finde Lad S være den mindste mængde, der opfylder:. (p A q A) (p A q A) (p, q) S. ( a Σ: (δ(p, a), δ(q, a)) S) (p, q) S Påstand: p q hvis og kun hvis (p, q) S S kan beregnes med en fixpunktsalgoritme i stil med R tidligere... Eksempel på FA-minimering 7 7. Fjern uopnåelige tilstande (ingen i denne FA). Find ved at udfylde en tabel for S (fixpunktsberegning). Kombiner tilstande, der svarer til umærkede par Bevis for korrekthed Påstand: p q hvis og kun hvis (p, q) S Iflg. lemmaet: p q ( z Σ*: (δ*(p, z) A δ*(q, z) A) (δ*(p, z) A δ*(q, z) A)) p q (p, q) S (brug lemmaet, lav induktion i z) (p, q) S p q (brug lemmaet, lav induktion i S)

7 FA minimering i dregaut Java-pakken pseudo-kode : uformel mellemting mellem de matematiske definitioner og Java-koden FA.findReachableStates() Set findreachablestates() { reachable = Ø pending = { q } while pending Ø do q = pending.removeoneelement() reachable.add(q) for each c Σ do p = δ(q, c) if p reachable then pending.add(p) return reachable } Ved hjælp af pending undgår vi at besøge hver tilstand flere gange FA.minimize() FA.minimize(), phase FA minimize() { q FA f = this.removeunreachablestates() define some ordering on the states Q of f initialize marks: Q Q to marks(q)=ø for all q Q 7 phase : divide into accept/reject states phase : iteration phase : build resulting minimal automaton n return n p } marks(q) indeholder en tilstand p hvis (q,p) er markeret i tabellen og q >p for each pair r,s Q where r>s do if (r A s A) then add s to marks(r) 7 8

8 FA.minimize(), phase FA.minimize(), phase done = false while done do done = true // assume that we have a fixed point until we detect otherwise for each pair r,s Q where r>s do if s marks(r) then for each c Σ do p = δ(r, c) q = δ(s, c) if p marks(q) or q marks(p) then add s to marks(r) done = false FA n = new FA with same alphabet as f but with no states or transitions yet initialize empty maps oldnew: f.q n.q for each state r in f in order do if s marks(r) for each s<r then and newold: n.q f.q // choose r as the representative for its equivalence class add a new state p to n.q add oldnew(r) = p and newold(p) = r if r f.a then add p to n.a else add oldnew(r) = oldnew(s) if r = f.q then set n.q = oldnew(r) for each state p in n do add n.δ(p,c) = oldnew(f.δ(newold(p),c)) for each c Σ finder tilstandene finder transitionerne 9 Eksempel Resume Alphabet a = new Alphabet(, ); RegExp r = new RegExp( +(*+*+*+*)**, a); NFALambda n = r.tonfalambda(); NFA n = n.removelambdas(); FA n = n.determinize(); System.out.println( Før: +n.getnumberofstates()); FA n = n.minimize(); System.out.println( Efter: +n.getnumberofstates()); MyHill-Nerode-sætningen: endnu en karakteristik af de regulære sprog en algoritme til FA minimering en algoritme til at fjerne uopnåelige tilstande i en FA Før: Efter:

9 Opgaver [Martin]: Øvelser med I L -relationen og minimeringsalgoritmen Java: Studér udleverede programdele: findreachablestates, removeunreachablestates minimize Konstruér en minimal FA for gyldige CPR-numre Ugens finurlige opgave: Brzozowskis minimeringsalgoritme Afleveringsopgave: Udfør minimeringsalgoritmen på en FA

Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012

Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012 Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012 Jesper Gulmann Henriksen jgh@wincubate.net Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion

Læs mere

Regularitet og Automater

Regularitet og Automater Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller insert code here

Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller insert code here Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller Denne opgave handler om hvordan man opbevarer data fra databasekald på en struktureret måde. Den skal samtidig give jer erfaringer med objekter, der kommer til

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

"# $%$ " # $ % $ $ " & ( ) *+!,! Sum_Cost >= 5000SirName = Beltov Continue = %!- + ( ( - True) Continue *! If Antal <= 20 Then EnhedsOmk = 1.

# $%$  # $ % $ $  & ( ) *+!,! Sum_Cost >= 5000SirName = Beltov Continue = %!- + ( ( - True) Continue *! If Antal <= 20 Then EnhedsOmk = 1. "# $$ " # $ && & ' $ $ " & ) *+, Sum_Cost >= 5000SirName = Beltov Continue = True) Continue *, + If Antal

Læs mere

Kursus i OOP og Java. Kursus i Objektorienteret programmering i Java

Kursus i OOP og Java. Kursus i Objektorienteret programmering i Java Kursus i OOP og Java Kursus i Objektorienteret programmering i Java Åben Dokumentlicens Dette foredragsmateriale er under Åben Dokumentlicens (ÅDL) Du har derfor lov til frit at kopiere dette værk Bruger

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 5. januar 2011

Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 5. januar 2011 Skriftlig eksamen, Programmer som Data Onsdag 5. januar 2011 Version 1.1 af 2011-01-28 Dette eksamenssæt har 7 sider. Tjek med det samme at du har alle siderne. Eksamens varighed er 4 timer. Der er fire

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Programmeringscamp. Implementer funktionerne én for én og test hele tiden.

Programmeringscamp. Implementer funktionerne én for én og test hele tiden. Programmeringscamp De to opgaver træner begge i at lave moduler som tilbyder services der kan bruges af andre, samt i at implementere services efter en abstrakt forskrift. Opgave 1 beder jer om at implementere

Læs mere

Databaseadgang fra Java

Databaseadgang fra Java Databaseadgang fra Java Grundlæggende Programmering med Projekt Peter Sestoft Fredag 2007-11-23 Relationsdatabasesystemer Der er mange databaseservere Microsoft Access del af Microsoft Office MySQL god,

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kursusarbejde 1 Grundlæggende Programmering. Arne Jørgensen, 300473-2919 klasse dm032-1a

Kursusarbejde 1 Grundlæggende Programmering. Arne Jørgensen, 300473-2919 klasse dm032-1a Kursusarbejde 1 Grundlæggende Programmering Arne Jørgensen, 300473-2919 klasse dm032-1a 3. oktober 2003 Kode //File Name: kaalhovede.cc //Author: Arne Jørgensen //Email Address: arne@arnested.dk, arnjor@niels.brock.dk

Læs mere

! #!! $ % $! & " &'"! & *+ "! " $ $ ""!,-! $!.! $! " # 1!! &' "

! #!! $ % $! &  &'! & *+ !  $ $ !,-! $!.! $!  # 1!! &' ""# "" # $ % $ & " &'" & " "()" *+ " " $ $ *+" $ %"&'" "( "",- $. + /"&'"-0 $ " # 1 &' " +"% $ %'('" 2 ' ) )030 )030) * )033 " )033 // " " 1 1 41 ")035)036 5- " " " *+773,8 *+ % " " )035& " )036& " 1 %"

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Indhold. Senest opdateret : 30. juli 2010. Side 1 af 5

Indhold. Senest opdateret : 30. juli 2010. Side 1 af 5 Indhold Introduktion... 2 Scenarier hvor API et kan benyttes... 2 Scenarie 1 Integration til lagerhotel... 2 Scenarie 2 Integration til økonomi system... 2 Webshop2 API Model... 3 Brugen af API et... 4

Læs mere

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller.

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Flowchart Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Et godt program til at tegne flowcharts med er, EDGE-Diagrammer, eller Smartdraw.

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

Begrænsninger i SQL. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen

Begrænsninger i SQL. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen Databaser, efterår 2002 Begrænsninger i SQL Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Indhold. Senest opdateret:03. september 2013. Side 1 af 8

Indhold. Senest opdateret:03. september 2013. Side 1 af 8 Indhold Introduktion... 2 Scenarier hvor API et kan benyttes... 2 Scenarie 1 Integration til lagerhotel... 2 Scenarie 2 Integration til økonomi system... 2 API Modeller... 2 Webshop2 API Model v1... 3

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

' #$*# ' # #) * #& #& ' # #* #, #$--

' #$*# ' # #) * #& #& ' # #* #, #$-- !"! "$% $ %$ " $&' ( ' $) * ' $* +( ' ) * & & ' *, $-- " " $(. $ /% &%$ & $ &$ $ %% &" ( 1. 00 $ 0 1 $"%$ " 2$ 2. ) " 3 $ * 4* 05 0 $ &'(&%%$ '67 7) 2) 7) 2)7 ' " - - 7) 2 0 $$ 0 '$ " $ 08$$ )2! & & 7)

Læs mere

Introduktion til Domæneteori

Introduktion til Domæneteori Introduktion til Domæneteori 1995 Mads Rosendahl Datalogisk Institut Københavns Universitet Disse noter er skrevet til Introduktionskurset i Semantik afholdt første gang i efteråret 1992. Noterne er siden

Læs mere

Start på Arduino og programmering

Start på Arduino og programmering Programmering for begyndere Brug af Arduino Start på Arduino og programmering EDR Hillerød Knud Krogsgaard Jensen / OZ1QK 1 Start på Arduino og programmering Sidste gang (Introduktion) Programmeringssproget

Læs mere

Udvikling af DOTNET applikationer til MicroStation i C#

Udvikling af DOTNET applikationer til MicroStation i C# Udvikling af DOTNET applikationer til MicroStation i C# Praktiske tips for at komme i gang. Gunnar Jul Jensen, Cowi Hvorfor nu det? Mdl og Vba kan det hele Fordelene er : udviklingsmiljøet er eksternt

Læs mere

" #" $ " "!% &'% ' ( ) * " & #

 # $  !% &'% ' ( ) *  & # ! # $!% &'% '! #$ #$ ( * & #!! #$%& + &,Dim! - Sub Test( Dim Svar As String Svar = InputBox( Indtast dit Navn MsgBox Dit navn er & Svar Svar & * Sub Test2( MsgBox Goddaw & Svar #Test2( Svar& Test(Test2(Svar

Læs mere

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. "10") til heltal (10). if (udtryk) else

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. 10) til heltal (10). if (udtryk) else Programmering 1999 Forelæsning 2, fredag 3. september 1999 Betingede ordrer: if-, if Indlejrede betingede ordrer Løkker med begrænset iteration: for Løkker med ubegrænset iteration: while Betingede ordrer,

Læs mere

Eksamen, DSDS, efterår 2008

Eksamen, DSDS, efterår 2008 Eksamen, DSDS, efterår 2008 Introduktion til Scripting, Databaser og Systemarkitektur Jonas Holbech IT Universitetet i København 6. januar 2009 Alle hjælpemidler er tilladte, dog ikke computer og kommunikationsmidler.

Læs mere

Deltag i en quiz: Test din viden i SAS -programmering

Deltag i en quiz: Test din viden i SAS -programmering Deltag i en quiz: Test din viden i SAS -programmering Georg Morsing, uddannelsesdirektør Copyright 2011 SAS Institute Inc. All rights reserved. Test din SAS -programmering 12 spørgsmål 4 svarmuligheder

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Kursus i IT Sikkerhed

Kursus i IT Sikkerhed Kursus i IT Sikkerhed Ivan Damgård, Daimi, Århus Universitet Praktiske ting Kursushjemmeside www.daimi.au.dk/dsik Her findes noter, links til materiale, opgaver, m.v. Der bruges et sæt noter, der findes

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ DM502 Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ 1 DM502 Bog, ugesedler og noter De første øvelser Let for nogen, svært for andre Kom til øvelserne! Lav opgaverne!

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012 Server side Programming Wedesign Forelæsning #8 Recap PHP 1. Development Concept Design Coding Testing 2. Social Media Sharing, Images, Videos, Location etc Integrates with your websites 3. Widgets extend

Læs mere

% &$ # '$ ## () %! #! & # &, # / # 0&. ) 123 45 / & #& #

% &$ # '$ ## () %! #! & # &, # / # 0&. ) 123 45 / & #& # !"$!!"$ % &$ '$ () %! %"!" & * function &+! & &, --.& / 0&. ) 123 45 / & & & 6 Sub CalcVecProduct() * &3.5 & 2 &6 / 7$ & & & "%&$&"! 2 " $ " 8 $ & $/ $ $" 9&6 Sub test() streng_y = "det her går " streng_y

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Grundlæggende Programmering ITU, Efterår 1999. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Programmering

Grundlæggende Programmering ITU, Efterår 1999. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Programmering Skriftlig eksamen i Grundlæggende Programmering ITU, 20. januar 2000 Alle hjælpemidler tilladt, dog ikke datamat. Eksamen er skriftlig, fire timer, og bedømmes efter 13-skalaen. Opgavesættet består af

Læs mere

What s Love Got to Do With It?

What s Love Got to Do With It? What s Love Got to Do With It? Gram Grid Present Continuous Vi sætter verberne i ing-form, når vi vil beskrive at noget er i gang. Der er fire hovedkategorier af ing-form: 1 Den almindelige form (common

Læs mere

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002 Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation Eksempel 2: Forløb med inddragelse af Læringsmål i forhold til Analyse af (dansk, engelsk, kult) 1. Hvad er (evt. udgangspunkt i model) 2. Argumenter kommer i bølger 3. Evt. argumenttyper 4. God Kobling:

Læs mere

Indhold 1 Compilerens opbygning 2 Leksikalsk analyse 3 Grammatikker 4 LL-parsing 5 LR-parsing 6 Det abstrakte syntaks-træ 7 Attribut-grammatikker

Indhold 1 Compilerens opbygning 2 Leksikalsk analyse 3 Grammatikker 4 LL-parsing 5 LR-parsing 6 Det abstrakte syntaks-træ 7 Attribut-grammatikker Indhold 1 Compilerens opbygning 4 1.1 Compilerensfunktion... 4 1.2 Fasericompileringen... 4 1.3 TinyogC-... 7 2 Leksikalsk analyse 9 2.1 Strengeogsprog... 9 2.2 Regulæreudtryk... 10 2.3 Deterministiskeendeligeautomater...

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

Indholdsfortegnelse Databaser og PHP... 3 Opgave... 4 Opgave... 5 Opgave... 6 Sidste opgave er en lille gæstebog... 7 Kilder og nyttige links:...

Indholdsfortegnelse Databaser og PHP... 3 Opgave... 4 Opgave... 5 Opgave... 6 Sidste opgave er en lille gæstebog... 7 Kilder og nyttige links:... Indholdsfortegnelse Databaser og PHP... 3 Opgave... 4 Opgave... 5 Opgave... 6 Sidste opgave er en lille gæstebog... 7 Kilder og nyttige links:... 9 Nogle HTML tags... 9 Databaser og PHP Når vi snakker

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Programmering I Java/C#

Programmering I Java/C# Programmering I Java/C# Dit første projekt Datatekniker Intro to C# C# (C Sharp) Et enkelt, moderne, generelt anvendeligt, objektorienteret programmeringssprog Udviklet af Microsoft, ledet af danskeren

Læs mere

Indgående dokument Pris på udarbejdelse af udkast til købsaftale fra mægler - Lejemålet Gladsaxevej 200 - Gladsaxe Stadion

Indgående dokument Pris på udarbejdelse af udkast til købsaftale fra mægler - Lejemålet Gladsaxevej 200 - Gladsaxe Stadion Indgående dokument Pris på udarbejdelse af udkast til købsaftale fra mægler - Lejemålet Gladsaxevej 200 - Gladsaxe Stadion Færdig Normal adgang Ansvarlig mm. Sagsbehandler Alt. sagsbeh. Forv. / afd. Mikael

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Induktion

BOSK F2011, 1. del: Induktion P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som

Læs mere

Database for udviklere. Jan Lund Madsen PBS10107

Database for udviklere. Jan Lund Madsen PBS10107 Database for udviklere Jan Lund Madsen PBS10107 Indhold LINQ... 3 LINQ to SQL og Arkitektur... 3 O/R designere... 5 LINQ Den store introduktion med.net 3.5 er uden tvivl LINQ(udtales link): Language-INtegrated

Læs mere

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer. Indhold Vejledning til at, komme på nettet. (DANSK)... 2 Gælder alle systemer.... 2 Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.... 2 Windows 7... 2 Windows Vista... 2 Windows XP...

Læs mere

Automatic Code Orchestration from Descriptive Implementations

Automatic Code Orchestration from Descriptive Implementations ft her Automatic Code Orchestration from Descriptive Implementations older Professor Brian Vinter Niels Bohr Institute KU ft her Automatic Code Orchestration from Descriptive Implementations Prototypin

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

! " # $% &'!& & ' '" & # ' "&()(*& + + +,-' "&( # &(! (! " )(!# &!! (!&!! * (! +& (!!! & " " & & / & & (!

!  # $% &'!& & ' ' & # ' &()(*& + + +,-' &( # &(! (!  )(!# &!! (!&!! * (! +& (!!! &   & & / & & (! !" #$ "%!"&! " # $% &'!& & ' '" & # ' "&()(*& + + +,-' "&( # &(! (! " )(!# &!! (!&!! * (! +& (!!! & Workbooks( MedarbUndersøgelse ),-.", & & Worksheets( Data )& Charts( DisplayData )&& )& " " & & / & &

Læs mere

Montage bjælkeklipper BM 5001R Art. No. 112870. Assembly scythe mower BM 5001R Art. No. 112870

Montage bjælkeklipper BM 5001R Art. No. 112870. Assembly scythe mower BM 5001R Art. No. 112870 Montage bjælkeklipper BM 5001R Art. No. 112870 Assembly scythe mower BM 5001R Art. No. 112870 Løsdele pose pakket, afdækninger, skaftkonsol, skaft højre og venstre. Lose parts plastic bag, covers, handle

Læs mere

Matematisk opmærksomhed

Matematisk opmærksomhed Tælle og systematisere tal. Tælle i trin på 5 og 10 Kender i nogle tal? Hvor mange forskellige tal kender I? (forskellen på tal og grundtal) Hvad kan I tælle til? Kender I nogle store tal? Kan I tælle

Læs mere

+ "&"' +,! ")& - )'.** /, )'.** 1 2 "&"' +,! 3 *4 5

+ &' +,! )& - )'.** /, )'.** 1 2 &' +,! 3 *4 5 !"#!"# $&'( # $ "&"' ( )* =NUTIDSVÆRDI(B8;B12:K12)-B4 ")&# + "&"' +,! ")& - )'.** / 0, )'.** 1 2 "&"' +,! 3 *4 64 " *7)*7 '7 )87 )'.**!"# 9 )( )"* $ 3 (!" 3 :: 3 :"*;8: 3 Range( A1:A10 ).Cells(3)

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Velkommen. Backup & Snapshot v. Jørgen Weinreich / Arrow ECS Technical Specialist

Velkommen. Backup & Snapshot v. Jørgen Weinreich / Arrow ECS Technical Specialist Velkommen Backup & Snapshot v. Jørgen Weinreich / Arrow ECS Technical Specialist 1 Agenda Fra backup til restore produkt Politikstyret Backup Live Demo 2 IBM XIV Snapshots - Næsten uden begrænsninger Snapshot

Læs mere

Byens Rum. The Meaningful City of Tomorrow

Byens Rum. The Meaningful City of Tomorrow Byens Rum The Meaningful City of Tomorrow The vision of the future is always changing, dependent of the technology and knowledge on all fields: If you design the best building you know to design, that's

Læs mere

Pervasive computing i hjemmet et sikkerhedsproblem?

Pervasive computing i hjemmet et sikkerhedsproblem? Pervasive computing i hjemmet et sikkerhedsproblem? Jakob Illeborg Pagter Alexandra Instituttet A/S Oplæg En af de konkrete visioner for pervasive computing er det intelligente hjem. Dette begreb dækker

Læs mere

Hvorfor & Hvordan lære Elever At programmere Arduinoer

Hvorfor & Hvordan lære Elever At programmere Arduinoer Hvorfor & Hvordan lære Elever At programmere Arduinoer Jens Dalsgaard Nielsen JDN / No.1 Teknologi konkurrencen IPADs, mobilos, HTC'er Medicentre JDN / No.2 IPAD, Iphone, HTC,... 1000 Mhz 8000000 kbyte

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere