De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

Transkript

1 De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7

2 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær pyramide.... Beregig af toplasvikler, radius i de idskreve og omskreve kugler...6. Tetraederet Overflade og rumfag af tetraederet...8. Kubus (Terige...8. oktaeder Overflade og rumfag af oktaederet...9. Dodekaeder..... Overflade og rumfag af dodekaederet.... Ikosaeder..... Overflade og rumfag af ikosaederet...

3 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder. Polygoer E polygo er e lukket kurve, som består af rette liiestykker. Velkedte eksempler er trekater, firkater eller femkater. De rette liiestykker kaldes for polygoes sider eller kater, og fællespuktere for to sider kaldes for polygoes vikler eller hjører. E polygo kaldes for koveks, hvis ige af viklere i polygoe er større ed 8. Vi skal ku beskæftige os med kovekse polygoer. Vikelsumme i e -kat er ( - 8 eller ( - π. Dette er ligetil at bevise, hvis vi ka vise at vikelsumme i e trekat er 8. Dette er vist på figure edefor, idet vi aveder af Euklids aksiomer fra plageometrie:. Når to parallelle liier overskæres af e tredje, så er esliggede vikler lige store.. Når to liier skærer hiade, så er modståede vikler lige store.. Der ka ku teges é liie geem et pukt, parallel med e give liie. På figure er vist e trekat ABC, og trekate er teget ige, me med tilføjelse af e liie geem B parallel med AC. Ved avedelse af de tre aksiomer, ka ma se, at summe af de tre vikler daer e vikel på 8. Da e -kat altid ka deles op i e - kat og e trekat følger formle: ( - 8 for summe af viklere i e -kat automatisk. E polygo kaldes for regulær, hvis alle sider er lige lage, og alle vikler i polygoe er lige store. Vikle i e regulær -kat er derfor: ( 8 6 (. v 8 ( Som f.eks. viser at vikle i e regulær trekat er : ( 6, og vikle i e regulær femkat er ( 8 Et polyeder er e lukket flade, som er sammesat af polygoer. Et regulært polyeder er et polyeder, der er sammesat af idetiske regulære polygoer. Det mest simple regulære polyeder er tetraederet, som er sammesat af fire regulære trekater.. Nogle topologiske betragtiger For at bevise Eulers polyedersætig, skal vi afbilde et polyeder på e kugleflade, som omslutter polyederet. Herved fremkommer et et beståede af masker (m, som svarer til fladere i

4 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder polyederet, sore (s, som svarer til katere i polyederet, og kuder (k, som svarer til hjørere i polyederet. Vi er iteresseret i at overføre fudametale topologiske egeskaber fra ettet til polyederet. Ved topologiske egeskaber forstår vi egeskaber, som er bevaret ved e kotiuert e-etydig (ijektiv afbildig (fuktio. E såda afbildig kaldes for e homeomorfi. E-etydighed af e afbildig f af e mægde A id i e mægde B idebærer, at der til ethvert elemet i A, svarer etop ét elemet y = f(x i B (f er e fuktio, samt at der til at der til ethvert elemet y i B, svarer etop ét elemet x =f - (y i A. To mægder, der fremkommer af hiade ved e homeomorfi, kaldes for topologisk ækvivalete. Et simpelt kurvestykke er topologisk ækvivalet med et ret liiestykke. Ehver lukket kurve er topologisk ækvivalet med e cirkel og ethvert afgræset fladestykke er topologisk ækvivalet med e cirkelskive. Nedefor er vist figurer, som er topologisk ækvivalete med e cirkel. På figure edefor er E, F og Y, topologisk ækvivalete, G og Z er topologisk ækvivalete, og W og X er topologisk ækvivalete.. Eulers polyedersætig Ved et et på e kugleflade, forstår ma et system af edelig mage fladestykker, og edelig mage kurvestykker, som kaldes heholdsvis masker og sore, og som opfylder følgede betigelser:. Ethvert pukt på kugle tilhører midst e maske (iklusive dets rad, og to forskellige masker har ikke idre pukter fælles.. Rade af hver maske er sammesat af sore.. Et pukt på e sor er ikke et idre pukt (dvs. ikke et edepukt for oge ade sor eller for oge maske.

5 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Til vestre på figurere ovefor er vist e illustratio af et et på e kugle, beståede af masker, sore og kuder. E kude er et edepukt for e sor. Betigelsere - medfører, at der på rade af hver maske i et et fides midst to kuder, og at ehver sor i et et på e kugleflade ligger på rade af etop to masker. Vi vil først betragte et et som ku består af to masker, som vist på de. figur. De ee maske er som vist, de ade maske har samme radkurve og består af alt ude for de viste maske. Begge masker (m er afgræset af de samme sore (s og kuder (k. Edvidere gælder at s = k, idet hver sor forbider to kuder og hver kude er udgagspukt for to sore. Da der er to masker vil der gælde: (. m + k s = I de æste figur, er der lavet edu e maske ved at trække e idre sor i maske mellem A og B, som har p kuder. Vi har derfor tilføjet p kuder, maske, og p+ sore, så (. er uforadret, som vist edefor: m + + k +p (s + p + = m + k s = I de sidste figur, har vi tilføjet e ydre sor med p kuder. Det ses imidlertid let, at det fører til præcis det samme resultat som ovefor. For at opå etværket ovefor til vestre, ka vi begyde med to masker, (de viste maske og hvad der ligger udefor. Herefter ka vi tilføje de viste masker, é for é. Vi har set, at der ved tilføjelse af edu e maske er (. uforadret, og dette vil gælde idtil vi har tilføjet alle maskere i ettet. Der gælder derfor (. for ethvert et på e kugle, som opfylder betigelsere -. Hvis e kugle omslutter et polyeder, vil e cetralprojektio (fra kugles cetrum af polyederet på kugleflade være e homeomorfi, og projektioe vil være et et på kugleflade. Atallet af sore, masker og kuder og deres topologiske placerig, vil svare til kater, flader og hjører i polyederet. Der vil derfor gælde de samme relatio mellem atallet af kater, flader og hjører i polyederet, som der gælder for sore, masker og kuder på kugles et. Dette fører til Eulers Polyedersætig. For ethvert polyeder, der er homeomorft med et et på e kugleflade gælder der at atallet af flader (m plus atallet af hjører (k mius atallet af kater (s er lig med. (. m + k s =. Typer af et på e kugleflade Et et på e kugleflade kaldes for regulært, hvis der fides to tal λ og μ, som begge er midst og således, at der fra hver kude udgår λ sore, og hver maskes rad er sammesat af μ sore. Vi betragter et regelmæssigt et, hvor m, k og s har de samme betydig som før. Da hver maske begræses af μ sore, og hver sor begræser etop to masker, og da der fra hver kude udgår λ sore og hver sor ideholder etop to kuder, må der gælde:

6 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Som vi omskriver til: m s og m s og k s s k Idsætter vi dette i Eulers polyederformel: m + k s =, får ma: Ved divisio med s, fås: (. Specielt gælder det, at s s s s Heraf følger det, at ikke begge tal λ og μ ka være større ed, idet Edvidere følger det, at ige af tallee λ og μ ka være større ed, og da de begge er midst følger det 6 Et polyeder kaldes for regulært, hvis det er begræset af kogruete regulære polygoer, og således, at alle hjører er regulære og har lige mage sider. For et regulært polyeder, ka der derfor ku være muligheder, som edefor er opreget i tabelform. (. μ s m k polyeder 6 Tetraeder 6 8 Kubus Dodekaeder 8 6 Oktaeder Ikosaeder. Toplasvikle i e regulær pyramide Ved toplasvikle forstår ma vikle mellem to kater af polyederet. Me heblik på at berege toplasviklere, samt radius i de idskreve og omskreve kugler i de regulære polyeder, så ka det relativt simpelt gøres ved plageometri, hvad agår tetraeder, kubus og oktaeder. Hvad agår dodekaeder og ikosaeder, har jeg ikke i litterature kuet fide e løsig baseret på plageometri, og jeg tror ikke det er muligt.

7 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Jeg har til gegæld fudet e vej til beregig af toplasviklere, me det sker ved, at ma først fider e formel for toplasvikle i e regulær pyramide ved avedelse af sfærisk geometri! Ethvert hjøre i et regulært polyeder, ka emlig afskæres til e regulær pyramide. På figurere edefor er vist et hjøre af e regulær pyramide med flader og kater. Toppuktsvikle i pyramide beteges v og toplasvikle beteges φ. Da fladere er ligebeede trekater, er viklere mellem e kat i pyramide og kate i grudplae ( v v I hjøret O er teget e kugle, som skærer pyramide i de to sideflader i hjøret, samt i pyramides grudpla. Kugle skærer pyramides flader i storcirkelbuere AC og BC, som er lig med vikle ved grudliie i de regulære polygo, og kugle skærer grudplae i storcirkelbue AB. Ifølge (. er AB =. Buere AC = BC = v er lig med viklere ved grudliie i de ligebeede trekat, som har topvikle v. Cirkelbuere AC, BC og AB daer således e sfærisk trekat med sidere AC = v, BC, BC = v og AB =, og hvor vikel C = φ er toplasvikle. Dee vikel ka derfor bereges af cosiusrelatioe for de sfæriske trekat, som vi først opskriver med sidere a, b, c, som ligger overfor viklere A, B, C. cos c cos a cosb si asi b cosc cos AB cos BC cos AC si BC si AC cos cos( cos( vcos( v si( vsi( v cos A formle: cos( v v si ( cos ( cos cos( si ( cos v cos ( v cos si, som er afledt af cos x si x får ma id at idsætte: si cos( si ( v cos ( v ( v v cos ( cos( si ( v cos ( cos( cos ( v

8 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 6 Vi har avedt at cos x si x, samt formle: cos x cos x cos x cos x på tællere uder kvadratrodsteget og vi får: (. cos( si cos( v. Beregig af toplasvikler, radius i de idskreve og omskreve kugler Vi veder u tilbage til de regulære polyeder. Hvis ma afskærer et hjøre af et polyeder lags katere af et hjøre, får ma e regulær pyramide, hvor topvikle er vikle i de regulære polygo, som polyederet er daet af. Grudflades sider ka da bereges ud fra polygoere og toplasvikle i polyederet er lig med toplasvikle i pyramide. Dette er søgt illustreret på figure edefor for et dodekaeder og et ikosaeder. Vi tager udgagspukt i formle (. cos( si, cos( v hvor her beteger atallet af kater i pyramide, det samme som atal kater i et hjøre af e regulær polygo, og som vi i afsit har beteget med λ. Atallet af kater i polygoe, som daer polyederet har vi beteget med μ. ½v er de halve toppuktsvikel i pyramide, hvor v er lig med vikle i de regulære polygo, som det regulære polyeder er daet af. Ifølge (. er v. Vi fider således for de halve toplasvikel: (. cos( si => cos( For overskuelighedes skyld getager vi tabelle fra afsit. cos( si si( μ s m k polyeder 6 Tetraeder 6 8 Kubus Dodekaeder 8 6 Oktaeder Ikosaeder

9 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 7. Tetraederet Ifølge tabelle ovefor er (, (, for tetraederet, og vi fider derfor toplasvikle: cos( si,7 (. si( 7, tetraeder Toplasvikle og radius de idskreve og omskreve kugler ka for tetraederet relativt let bereges ud fra plageometri. Nedefor er vist et tetraeder, hvor der er teget ogle hjælpeliier og til højre de trekat, som avedes til at berege radius i de idskreve og omskreve kugle. På grud af symmetrie er højdere i trekatere også trekates mediaer. Hvis ma edfælder e højde fra et hjøre, vil fodpuktet også falde i mediaeres skærigspukt på grudflade. Cetrum for de idskreve og omskreve kugle O vil være det fælles skærigspukt for højdere fra hjørere på de tre sideflader. Vi sætter for emheds skyld kate i sideflade til at være. Højde h i sidefladere ka fides af Pythagoras: h FB ( Af ΔABF fider ma så toplasvikle ved at trække højde fra B til de modståede kat G: AG (. si, 7 tetraeder 7, AB Til bestemmelse af radius R i de omskreve kugle og radius r i de idskreve kugle aveder vi de esviklede trekater ABC og AOD. Her er AB h og da mediaeres skærigspukt deler mediae i forholdet : er AD AB. Edvidere er AC AF FC ( Af de esviklede trekater ABC og AOD får ma:

10 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 8 (. AO AB 6 r R 8 Det sidste fordi, O deler AC i samme forhold som D deler AB. AD AC R R 6.. Overflade og rumfag af tetraederet Det er helt ekelt at bestemme overflade og rumfaget af tetraederet. Vi sætter u side i trekate til a. Alle resultatere ovefor skal da gages med a. Arealet af trekate er T ah a, og overflade af de trekater i tetraederet bliver derfor: O tetraeder a Rumfaget af e pyramide er som bekedt / højde gage grudflade. Vi har fudet højde AC a og rumfaget bliver derfor: V tetraeder a a a. Kubus (Terige Vi ved, at toplasvikle i de regulære terig er 9, hvilket også fremgår af formle (. (. si cos( cos( si med (, (,. cos( 9 kubus si( Det er relativt let at bestemme radius i de idskreve og omskreve kugle. Se figur. (.7 Vi atager som før at katlægde er. Kugles geometriske cetrum er også cetrum for de idskreve og omskreve kugle. Radius i de idskreve kugle er derfor: (.6 r. Radius i de omskreve kugle er halvdele af diagoale BE. Diagoale i kvadratet er BH og BE BH R EH BE, så

11 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 9 Overflade og rumfag af e kubus med katlægde a, er som bekedt: O kubus = 6a og V kubus = a. oktaeder Vi fider herefter: På figure til vestre er vist et oktaeder. Vi øsker at berege toplasvikle φ, samt radius R og r i de omskreve og idskreve kugle. På figure er edfældet højde h på BC i de regulære trekat BEC. Edvidere er edfældet højde h på plae ABCD. Cetrum O for de idskreve og omskreve trekat ligger af symmetrigrude i det geometriske cetrum for kvadratet ABCD. Vi sætter katlægde i det regulære oktaeder til. Vi fider de halve toplasvikel, som vikel OFE. EF ( og OF OF (.8 cos si 9, 8 9 EF Dette ka vi så sammelige med formle (. si cos( si( cos( si si( med (, (,. 9 Radius i de omskreve kugle er de halve diagoal i firkate ABCD:,8 (.9 R Radius i de idskreve cirkel bestemmes af trekate OFG, hvor r = OG. Rørigspuktet må ligge i trekates geometriske cetrum, som er skærigspuktet for højdere og mediaere. Vi har derfor at FG EF. Vi får da af de retviklede trekat OFG: (. r ( ( Overflade og rumfag af oktaederet Overfalde og rumfaget af et oktaeder er 8 gage trekates areal og gage rumfaget af de - sidede pyramide med grudflade a. Højde i pyramide er lig med radius i de omskreve cirkel. O oktaeder 8 a a og V oktaeder = a a

12 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder. Dodekaeder Som tidligere bemærket er det ikke muligt at bestemme toplasvikle for et dodekaeder af plageometrisk vej, så vi bestemmer derfor toplasvikle v ud fra formle (. cos( si med (, (, si( cos( (. si v v 6, 6. si( Til bestemmelse af radius i de idskreve og omskreve kugle, får vi brug for afstade r fra cetrum af femkates idskreve og omskreve cirkel til e kat samt afstade R til et hjøre. Dette er vist på figure øverst til højre. Vi sætter som hidtil polygoes side =. (8 Vikle i femkate er 8, og de halve vikel derfor. Cetervikle til e kat er derfor 7 og de halve vikel 6. Af de viste trekat på femkate yderst til højre ses: R,8 og r ta, 69 si 6 si 6

13 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Radius i de idskreve kugle ka bestemmes af figure ovefor til vestre, hvor vi edfældet de vikelrette fra de to kuglers cetrum O, på de to femkater, lags kate DE. Vikel ACB er lig med toplasvikle v i dodekaederet og vikel O =8 v. Vikel AOC er derfor lig med 9 - ½v. r = OA=OB, og af trekat AOC ses at: (. r r ta( 9 v r r ta v,69 ta 8, ( r, Af figure til højre ses af trekat ADO, at: (. R r r (,.. Overflade og rumfag af dodekaederet Overflade af dodekaederet bestemmes som gage arealet af e regulær femkat. Arealet af femkate er: r a a a ta og overflade er derfor: T petago O dodekaeder ta a På samme måde bestemmes rumfaget som gage rumfaget af e regulær femsidet pyramide med højde lig med radius i de idskreve kugle. V dodekaeder a ar a ta r ta. Ikosaeder Som det er tilfældet med dodekaederet, er det ikke muligt at bestemme toplasvikle af plageometrisk vej, så vi udreger vikle af formel (. cos( si si( med (, (,. cos( v cos6 (. si v 8,. si( si 6 Hvad agår radius i de idskreve og omskreve kugle, aveder vi helt de samme metode, som for dodekaederet.

14 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder r = AC er radius i trekates idskreve cirkel r = h, og R 6 AD er radius i trekates omskreve cirkel R h Af trekat OAC ses, at: (. v r r r si(9 r v cos (,8 Af trekat OAD ses, at: (.6 R OA ( h r (,88.. Overflade og rumfag af ikosaederet Overflade og rumfaget af ikosaeder bestemmes på samme måde som for dodekaederet, som gage arealet af de regulære trekat, og gage rumfaget af e regulær tresidet pyramide med trekate som grudflade og højde lig med radius i de idskreve kugle. O ikosaeder V ikosaeder a a r a a a a v v cos cos V ikosaeder 6 6 cos v a Hermed har vi afsluttet behadlige af de regulære polyeder.