De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "De Platoniske legemer De fem regulære polyeder"

Transkript

1 De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7

2 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær pyramide.... Beregig af toplasvikler, radius i de idskreve og omskreve kugler...6. Tetraederet Overflade og rumfag af tetraederet...8. Kubus (Terige...8. oktaeder Overflade og rumfag af oktaederet...9. Dodekaeder..... Overflade og rumfag af dodekaederet.... Ikosaeder..... Overflade og rumfag af ikosaederet...

3 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder. Polygoer E polygo er e lukket kurve, som består af rette liiestykker. Velkedte eksempler er trekater, firkater eller femkater. De rette liiestykker kaldes for polygoes sider eller kater, og fællespuktere for to sider kaldes for polygoes vikler eller hjører. E polygo kaldes for koveks, hvis ige af viklere i polygoe er større ed 8. Vi skal ku beskæftige os med kovekse polygoer. Vikelsumme i e -kat er ( - 8 eller ( - π. Dette er ligetil at bevise, hvis vi ka vise at vikelsumme i e trekat er 8. Dette er vist på figure edefor, idet vi aveder af Euklids aksiomer fra plageometrie:. Når to parallelle liier overskæres af e tredje, så er esliggede vikler lige store.. Når to liier skærer hiade, så er modståede vikler lige store.. Der ka ku teges é liie geem et pukt, parallel med e give liie. På figure er vist e trekat ABC, og trekate er teget ige, me med tilføjelse af e liie geem B parallel med AC. Ved avedelse af de tre aksiomer, ka ma se, at summe af de tre vikler daer e vikel på 8. Da e -kat altid ka deles op i e - kat og e trekat følger formle: ( - 8 for summe af viklere i e -kat automatisk. E polygo kaldes for regulær, hvis alle sider er lige lage, og alle vikler i polygoe er lige store. Vikle i e regulær -kat er derfor: ( 8 6 (. v 8 ( Som f.eks. viser at vikle i e regulær trekat er : ( 6, og vikle i e regulær femkat er ( 8 Et polyeder er e lukket flade, som er sammesat af polygoer. Et regulært polyeder er et polyeder, der er sammesat af idetiske regulære polygoer. Det mest simple regulære polyeder er tetraederet, som er sammesat af fire regulære trekater.. Nogle topologiske betragtiger For at bevise Eulers polyedersætig, skal vi afbilde et polyeder på e kugleflade, som omslutter polyederet. Herved fremkommer et et beståede af masker (m, som svarer til fladere i

4 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder polyederet, sore (s, som svarer til katere i polyederet, og kuder (k, som svarer til hjørere i polyederet. Vi er iteresseret i at overføre fudametale topologiske egeskaber fra ettet til polyederet. Ved topologiske egeskaber forstår vi egeskaber, som er bevaret ved e kotiuert e-etydig (ijektiv afbildig (fuktio. E såda afbildig kaldes for e homeomorfi. E-etydighed af e afbildig f af e mægde A id i e mægde B idebærer, at der til ethvert elemet i A, svarer etop ét elemet y = f(x i B (f er e fuktio, samt at der til at der til ethvert elemet y i B, svarer etop ét elemet x =f - (y i A. To mægder, der fremkommer af hiade ved e homeomorfi, kaldes for topologisk ækvivalete. Et simpelt kurvestykke er topologisk ækvivalet med et ret liiestykke. Ehver lukket kurve er topologisk ækvivalet med e cirkel og ethvert afgræset fladestykke er topologisk ækvivalet med e cirkelskive. Nedefor er vist figurer, som er topologisk ækvivalete med e cirkel. På figure edefor er E, F og Y, topologisk ækvivalete, G og Z er topologisk ækvivalete, og W og X er topologisk ækvivalete.. Eulers polyedersætig Ved et et på e kugleflade, forstår ma et system af edelig mage fladestykker, og edelig mage kurvestykker, som kaldes heholdsvis masker og sore, og som opfylder følgede betigelser:. Ethvert pukt på kugle tilhører midst e maske (iklusive dets rad, og to forskellige masker har ikke idre pukter fælles.. Rade af hver maske er sammesat af sore.. Et pukt på e sor er ikke et idre pukt (dvs. ikke et edepukt for oge ade sor eller for oge maske.

5 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Til vestre på figurere ovefor er vist e illustratio af et et på e kugle, beståede af masker, sore og kuder. E kude er et edepukt for e sor. Betigelsere - medfører, at der på rade af hver maske i et et fides midst to kuder, og at ehver sor i et et på e kugleflade ligger på rade af etop to masker. Vi vil først betragte et et som ku består af to masker, som vist på de. figur. De ee maske er som vist, de ade maske har samme radkurve og består af alt ude for de viste maske. Begge masker (m er afgræset af de samme sore (s og kuder (k. Edvidere gælder at s = k, idet hver sor forbider to kuder og hver kude er udgagspukt for to sore. Da der er to masker vil der gælde: (. m + k s = I de æste figur, er der lavet edu e maske ved at trække e idre sor i maske mellem A og B, som har p kuder. Vi har derfor tilføjet p kuder, maske, og p+ sore, så (. er uforadret, som vist edefor: m + + k +p (s + p + = m + k s = I de sidste figur, har vi tilføjet e ydre sor med p kuder. Det ses imidlertid let, at det fører til præcis det samme resultat som ovefor. For at opå etværket ovefor til vestre, ka vi begyde med to masker, (de viste maske og hvad der ligger udefor. Herefter ka vi tilføje de viste masker, é for é. Vi har set, at der ved tilføjelse af edu e maske er (. uforadret, og dette vil gælde idtil vi har tilføjet alle maskere i ettet. Der gælder derfor (. for ethvert et på e kugle, som opfylder betigelsere -. Hvis e kugle omslutter et polyeder, vil e cetralprojektio (fra kugles cetrum af polyederet på kugleflade være e homeomorfi, og projektioe vil være et et på kugleflade. Atallet af sore, masker og kuder og deres topologiske placerig, vil svare til kater, flader og hjører i polyederet. Der vil derfor gælde de samme relatio mellem atallet af kater, flader og hjører i polyederet, som der gælder for sore, masker og kuder på kugles et. Dette fører til Eulers Polyedersætig. For ethvert polyeder, der er homeomorft med et et på e kugleflade gælder der at atallet af flader (m plus atallet af hjører (k mius atallet af kater (s er lig med. (. m + k s =. Typer af et på e kugleflade Et et på e kugleflade kaldes for regulært, hvis der fides to tal λ og μ, som begge er midst og således, at der fra hver kude udgår λ sore, og hver maskes rad er sammesat af μ sore. Vi betragter et regelmæssigt et, hvor m, k og s har de samme betydig som før. Da hver maske begræses af μ sore, og hver sor begræser etop to masker, og da der fra hver kude udgår λ sore og hver sor ideholder etop to kuder, må der gælde:

6 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Som vi omskriver til: m s og m s og k s s k Idsætter vi dette i Eulers polyederformel: m + k s =, får ma: Ved divisio med s, fås: (. Specielt gælder det, at s s s s Heraf følger det, at ikke begge tal λ og μ ka være større ed, idet Edvidere følger det, at ige af tallee λ og μ ka være større ed, og da de begge er midst følger det 6 Et polyeder kaldes for regulært, hvis det er begræset af kogruete regulære polygoer, og således, at alle hjører er regulære og har lige mage sider. For et regulært polyeder, ka der derfor ku være muligheder, som edefor er opreget i tabelform. (. μ s m k polyeder 6 Tetraeder 6 8 Kubus Dodekaeder 8 6 Oktaeder Ikosaeder. Toplasvikle i e regulær pyramide Ved toplasvikle forstår ma vikle mellem to kater af polyederet. Me heblik på at berege toplasviklere, samt radius i de idskreve og omskreve kugler i de regulære polyeder, så ka det relativt simpelt gøres ved plageometri, hvad agår tetraeder, kubus og oktaeder. Hvad agår dodekaeder og ikosaeder, har jeg ikke i litterature kuet fide e løsig baseret på plageometri, og jeg tror ikke det er muligt.

7 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Jeg har til gegæld fudet e vej til beregig af toplasviklere, me det sker ved, at ma først fider e formel for toplasvikle i e regulær pyramide ved avedelse af sfærisk geometri! Ethvert hjøre i et regulært polyeder, ka emlig afskæres til e regulær pyramide. På figurere edefor er vist et hjøre af e regulær pyramide med flader og kater. Toppuktsvikle i pyramide beteges v og toplasvikle beteges φ. Da fladere er ligebeede trekater, er viklere mellem e kat i pyramide og kate i grudplae ( v v I hjøret O er teget e kugle, som skærer pyramide i de to sideflader i hjøret, samt i pyramides grudpla. Kugle skærer pyramides flader i storcirkelbuere AC og BC, som er lig med vikle ved grudliie i de regulære polygo, og kugle skærer grudplae i storcirkelbue AB. Ifølge (. er AB =. Buere AC = BC = v er lig med viklere ved grudliie i de ligebeede trekat, som har topvikle v. Cirkelbuere AC, BC og AB daer således e sfærisk trekat med sidere AC = v, BC, BC = v og AB =, og hvor vikel C = φ er toplasvikle. Dee vikel ka derfor bereges af cosiusrelatioe for de sfæriske trekat, som vi først opskriver med sidere a, b, c, som ligger overfor viklere A, B, C. cos c cos a cosb si asi b cosc cos AB cos BC cos AC si BC si AC cos cos( cos( vcos( v si( vsi( v cos A formle: cos( v v si ( cos ( cos cos( si ( cos v cos ( v cos si, som er afledt af cos x si x får ma id at idsætte: si cos( si ( v cos ( v ( v v cos ( cos( si ( v cos ( cos( cos ( v

8 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 6 Vi har avedt at cos x si x, samt formle: cos x cos x cos x cos x på tællere uder kvadratrodsteget og vi får: (. cos( si cos( v. Beregig af toplasvikler, radius i de idskreve og omskreve kugler Vi veder u tilbage til de regulære polyeder. Hvis ma afskærer et hjøre af et polyeder lags katere af et hjøre, får ma e regulær pyramide, hvor topvikle er vikle i de regulære polygo, som polyederet er daet af. Grudflades sider ka da bereges ud fra polygoere og toplasvikle i polyederet er lig med toplasvikle i pyramide. Dette er søgt illustreret på figure edefor for et dodekaeder og et ikosaeder. Vi tager udgagspukt i formle (. cos( si, cos( v hvor her beteger atallet af kater i pyramide, det samme som atal kater i et hjøre af e regulær polygo, og som vi i afsit har beteget med λ. Atallet af kater i polygoe, som daer polyederet har vi beteget med μ. ½v er de halve toppuktsvikel i pyramide, hvor v er lig med vikle i de regulære polygo, som det regulære polyeder er daet af. Ifølge (. er v. Vi fider således for de halve toplasvikel: (. cos( si => cos( For overskuelighedes skyld getager vi tabelle fra afsit. cos( si si( μ s m k polyeder 6 Tetraeder 6 8 Kubus Dodekaeder 8 6 Oktaeder Ikosaeder

9 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 7. Tetraederet Ifølge tabelle ovefor er (, (, for tetraederet, og vi fider derfor toplasvikle: cos( si,7 (. si( 7, tetraeder Toplasvikle og radius de idskreve og omskreve kugler ka for tetraederet relativt let bereges ud fra plageometri. Nedefor er vist et tetraeder, hvor der er teget ogle hjælpeliier og til højre de trekat, som avedes til at berege radius i de idskreve og omskreve kugle. På grud af symmetrie er højdere i trekatere også trekates mediaer. Hvis ma edfælder e højde fra et hjøre, vil fodpuktet også falde i mediaeres skærigspukt på grudflade. Cetrum for de idskreve og omskreve kugle O vil være det fælles skærigspukt for højdere fra hjørere på de tre sideflader. Vi sætter for emheds skyld kate i sideflade til at være. Højde h i sidefladere ka fides af Pythagoras: h FB ( Af ΔABF fider ma så toplasvikle ved at trække højde fra B til de modståede kat G: AG (. si, 7 tetraeder 7, AB Til bestemmelse af radius R i de omskreve kugle og radius r i de idskreve kugle aveder vi de esviklede trekater ABC og AOD. Her er AB h og da mediaeres skærigspukt deler mediae i forholdet : er AD AB. Edvidere er AC AF FC ( Af de esviklede trekater ABC og AOD får ma:

10 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 8 (. AO AB 6 r R 8 Det sidste fordi, O deler AC i samme forhold som D deler AB. AD AC R R 6.. Overflade og rumfag af tetraederet Det er helt ekelt at bestemme overflade og rumfaget af tetraederet. Vi sætter u side i trekate til a. Alle resultatere ovefor skal da gages med a. Arealet af trekate er T ah a, og overflade af de trekater i tetraederet bliver derfor: O tetraeder a Rumfaget af e pyramide er som bekedt / højde gage grudflade. Vi har fudet højde AC a og rumfaget bliver derfor: V tetraeder a a a. Kubus (Terige Vi ved, at toplasvikle i de regulære terig er 9, hvilket også fremgår af formle (. (. si cos( cos( si med (, (,. cos( 9 kubus si( Det er relativt let at bestemme radius i de idskreve og omskreve kugle. Se figur. (.7 Vi atager som før at katlægde er. Kugles geometriske cetrum er også cetrum for de idskreve og omskreve kugle. Radius i de idskreve kugle er derfor: (.6 r. Radius i de omskreve kugle er halvdele af diagoale BE. Diagoale i kvadratet er BH og BE BH R EH BE, så

11 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder 9 Overflade og rumfag af e kubus med katlægde a, er som bekedt: O kubus = 6a og V kubus = a. oktaeder Vi fider herefter: På figure til vestre er vist et oktaeder. Vi øsker at berege toplasvikle φ, samt radius R og r i de omskreve og idskreve kugle. På figure er edfældet højde h på BC i de regulære trekat BEC. Edvidere er edfældet højde h på plae ABCD. Cetrum O for de idskreve og omskreve trekat ligger af symmetrigrude i det geometriske cetrum for kvadratet ABCD. Vi sætter katlægde i det regulære oktaeder til. Vi fider de halve toplasvikel, som vikel OFE. EF ( og OF OF (.8 cos si 9, 8 9 EF Dette ka vi så sammelige med formle (. si cos( si( cos( si si( med (, (,. 9 Radius i de omskreve kugle er de halve diagoal i firkate ABCD:,8 (.9 R Radius i de idskreve cirkel bestemmes af trekate OFG, hvor r = OG. Rørigspuktet må ligge i trekates geometriske cetrum, som er skærigspuktet for højdere og mediaere. Vi har derfor at FG EF. Vi får da af de retviklede trekat OFG: (. r ( ( Overflade og rumfag af oktaederet Overfalde og rumfaget af et oktaeder er 8 gage trekates areal og gage rumfaget af de - sidede pyramide med grudflade a. Højde i pyramide er lig med radius i de omskreve cirkel. O oktaeder 8 a a og V oktaeder = a a

12 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder. Dodekaeder Som tidligere bemærket er det ikke muligt at bestemme toplasvikle for et dodekaeder af plageometrisk vej, så vi bestemmer derfor toplasvikle v ud fra formle (. cos( si med (, (, si( cos( (. si v v 6, 6. si( Til bestemmelse af radius i de idskreve og omskreve kugle, får vi brug for afstade r fra cetrum af femkates idskreve og omskreve cirkel til e kat samt afstade R til et hjøre. Dette er vist på figure øverst til højre. Vi sætter som hidtil polygoes side =. (8 Vikle i femkate er 8, og de halve vikel derfor. Cetervikle til e kat er derfor 7 og de halve vikel 6. Af de viste trekat på femkate yderst til højre ses: R,8 og r ta, 69 si 6 si 6

13 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder Radius i de idskreve kugle ka bestemmes af figure ovefor til vestre, hvor vi edfældet de vikelrette fra de to kuglers cetrum O, på de to femkater, lags kate DE. Vikel ACB er lig med toplasvikle v i dodekaederet og vikel O =8 v. Vikel AOC er derfor lig med 9 - ½v. r = OA=OB, og af trekat AOC ses at: (. r r ta( 9 v r r ta v,69 ta 8, ( r, Af figure til højre ses af trekat ADO, at: (. R r r (,.. Overflade og rumfag af dodekaederet Overflade af dodekaederet bestemmes som gage arealet af e regulær femkat. Arealet af femkate er: r a a a ta og overflade er derfor: T petago O dodekaeder ta a På samme måde bestemmes rumfaget som gage rumfaget af e regulær femsidet pyramide med højde lig med radius i de idskreve kugle. V dodekaeder a ar a ta r ta. Ikosaeder Som det er tilfældet med dodekaederet, er det ikke muligt at bestemme toplasvikle af plageometrisk vej, så vi udreger vikle af formel (. cos( si si( med (, (,. cos( v cos6 (. si v 8,. si( si 6 Hvad agår radius i de idskreve og omskreve kugle, aveder vi helt de samme metode, som for dodekaederet.

14 De Platoiske legemer. De fem regulære polyeder r = AC er radius i trekates idskreve cirkel r = h, og R 6 AD er radius i trekates omskreve cirkel R h Af trekat OAC ses, at: (. v r r r si(9 r v cos (,8 Af trekat OAD ses, at: (.6 R OA ( h r (,88.. Overflade og rumfag af ikosaederet Overflade og rumfaget af ikosaeder bestemmes på samme måde som for dodekaederet, som gage arealet af de regulære trekat, og gage rumfaget af e regulær tresidet pyramide med trekate som grudflade og højde lig med radius i de idskreve kugle. O ikosaeder V ikosaeder a a r a a a a v v cos cos V ikosaeder 6 6 cos v a Hermed har vi afsluttet behadlige af de regulære polyeder.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger Eksamesspørgsmål NmaC144s sommer 014. Gør rede for omformigsreglere for ligiger. Spørgsmål 1: Ligiger Giv eksempler på hvorda forskellige ligiger løses. Du bør her komme id på flere forskellige ligigstper,

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra

Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra Bjør Grø Fra græsk geometri til modere algebra Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Idholdsfortegelse. Opridelse... 3 a. Påvirkiger fra flodkulturere...3 b. Pythagoræere...4. De græske matematiks

Læs mere

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation

Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4.

Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4. MATEMATIK 2~ MATEMATISK ANALYSE 1984-85 Kapitel I. METRISKE RUM 1. Metriske rum. Normerede rum. 1. 1. Metrik 1.2. Normeret rum 1. 3. Kugler i et metrisk rum 1.4. Kovergete følger Opgaver til 1 r. 1.1 r.

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere