Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke

Transkript

1 Bilag A Forspændt bjælke I dette afsnit vil bjælken placeret under facadevæggen (modullinie D) blive dimensioneret, se gur A.1. Figur A.1 Placering af bjælkei kælder. Bjælken dimensioneres ud fra, at den skal være førspændt. Desuden ses der kun på dimensioneringen af linerne, hvorved der således hverken vil blive dimensioneret forskydningsarmering og løfte bøjler. Bjælken dimensioneres for anvendelses-, brud samt ulykkesgrænsetilstanden. I anvendelsesgrænsetilstanden ses der dog ikke på nedbøjning. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden I det følgende bestemmes den nødvendige forspændningskraft, således at der ikke opstå væsentlige revner i betonen ved anvendelsen af bjælken. De resulterende spændinger skal således overalt opfylde betingelsen: σ t σ σ c (A.1) 1

2 A. Forspændt bjælke Gr.A april 2004 hvor σ t er den største værdi af trækspændingen og σ c den største trykspænding, der kan accepteres. Ved at opstille en minimal samt maksimal lastkombination kan der ndes et interval, hvori forspændningskraften sikrer, at der hverken opstår revner i over- eller undersiden af bjælken. Den minimale last forekommer, når bjælken kun er udsat for sin egenvægt q g, mens den maksimale last er, når bjælken er taget i brug og således bærer den ovenliggende facade samt svalegang. Den statiske model af bjælken med de tilhørende laster ses på gur A.2. Figur A.2 Statiske modeller af bjælken, hvor venstre gur kun er påført egenlasten q g og højre gur egenlasten samt nyttelasten q p. Forspændingskraften er ikke vist. De pågældende laster er udregnet i bilag??. Herved kan momentet M g fra egenlasten samt momentet M p fra nyttelasten udregnes. M g = 1 q 8 g B 2 M g = 1 4, 88 4, 22 8 M g = 11kNm (A.2) M p = 1 q 8 p B 2 M p = , 22 8 M p = 232kNm (A.3) Spændingsfordelingen i bjælken er skitseret på gur A.3, hvor det fremgår, at der også er placeret en oversidearmering. Denne er via gennemregninger fundet nødvendig på grund af den store forskel, der er på de to lasttilfælde. Forspændingskraften i undersiden vil medføre revnedannelse i oversiden, når bjælken kun er belastet med egenlasten, hvis ikke der er overside armering. 2

3 Figur A.3 Spændingsfordelingen i det urevnet tværsnit. Ved at se på betingelse A.1 og spændingsfordelingen i bjælken kan følgende betingelser for de resulterende spændinger i tværsnittets overside (2) og underside (1) opstilles. Tryk regnes positiv. σk1 2 + σ2 k2 + σ2 g σ t σk1 2 + σ2 k2 + σ2 g + σp 2 σ c σk1 1 + σ1 k2 + σ1 g + σp 1 σ t σk1 1 + σ1 k2 + σ1 g σ c } } σ t σ 2 k1 + σ2 k2 + σ2 g σ c σ 2 p (2) σ t σ 1 p σ 1 k1 + σ1 k2 + σ1 g σ c (1) Indføres σ 1 p = M p/w 1 og σ 2 p = M p/w 2, hvor W 1 og W 2 er modstandsmomenterne for henholdsvis under- og overside, kan ulighederne (2) og (1) omskrives til: Indføres endvidere: σ t W 2 W 2 (σ 2 k1 + σ2 k2 + σ2 g) σ c W 2 M p (2) M p σ t W 1 W 1 (σ 1 k1 + σ1 k2 + σ1 g) σ c W 1 (1) σ 2 k1 = K 1 A K 1 y k1 W 2 σ 1 k1 = K 1 A K 1 y k1 W 1 σ 2 k2 = K 2 A K 2 y k2 W 1 σ 1 k2 = K 2 A K 2 y k2 W 2 σ 1 g = M g W 1 σ 2 g = M g W 2 Derved kan følgende betingelse for K 1 opstilles: M g + M p + k 2 K 2 K 2 y k2 σ c W 2 K 1 M g + k 2 K 2 K 2 y k2 + σ t W 2 y k1 k 2 y k1 k 2 (2) M g + M p k 1 K 2 K 2 y k2 σ t W 1 K 1 M g k 1 K 2 K 2 y k2 + σ c W 1 y k1 + k 1 y k1 + k 1 (1) 3

4 A. Forspændt bjælke Gr.A april 2004 hvor k 1 er betontværsnittets kerneradie k 1 = W 1 /A k 2 er betontværsnittets kerneradie k 2 = W 2 /A De to betingelse der er opstillet for K 1 angiver henholdsvis kravene til spændingerne i overside (2) og underside (1). Desuden repræsenterer venstre siderne af ulighederne den maksimale last og højre siderne den minimale lastkombination. Ved den minimale last forudsættes det, at betonen har opnået 75% af den forskrevne styrke og den fulde styrke, når den maksimale last virker. Erfaringsmæssigt bør trykspændingen ikke vælges større end 55% af f ck [Klock, 2002, note] og den tilladelige trækspænding sættes til 2 f ct [DS411, 1999] Ved opspændingen er det ikke tilladt at overstige 70% af trykstyrken på opspændingstidspunktet [DS411, 1999] og der ses normalt bort fra trækstyken i denne fase. Derved bliver de regningsmæssige tryk- og trækstyrke, se tabel A.1. Tryk σ c [MP a] Træk σ t [MP a] Minimal last 0,7 0, ,6 0 Maksimal last 0, ,8 2 2, 1 4,2 Tabel A.1 Designmæssige tryk- og trækstyrke for den anvendte beton. hvor den karakteristiske tryk- og trækstyrken fremgår af gur A.4. Figur A.4 Tværsnit samt data for bjælken. Armering ikke vist. Mål i mm. Ud fra de nu kendte data er det muligt at udregne ulighederne (2) og (1). Forspændingskraften K 2 i oversiden er via gennemregninger fundet passende til 220 knm , ( 0,285) 24,8 21,1 0,245 0,108 K , ( 0,285)+0 21,1 0,245 0,108 (2) , ( 0,285) 4,2 21,1 0,245+0,108 K , ( 0,285)+23,6 21,1 0,245+0,108 (1) 4

5 1417 K knm (2) 547 K knm (1) Den mindste forspændingskraft, der umiddelbart kan vælges i undersiden er 547 knm, men da bjælken vil være udsat for svind, krybning samt relaxation, er det nødvendigt at opstramme linierne yderligere. Dette tab er typisk på 15%, hvorfor der vælges en forspændingskraft på 660 kn m. Ud fra denne forspændingskraft kan der vælges en passende armering således, at linerne ikke vil være udsat for brud. A.2 Brudgrænsetilstanden Ved brudgrænsetilstanden regnes tværsnittet for revnet og spændingsfordelingen for ikke-elastisk. Det er valgt, at benytte L12,5 liner til opspændingen, der har et brudmoment på 164 kn/line [Kloch, 2002, note]. Det er ifølge DS 411 ikke tilladt, at opspænde til mere end 80% af brudstyrken, hvilket giver en maksimal opspænding på 131 kn/line. Det vælges derfor, at benytte 6 liner i undersiden og 2 i oversiden, der alle opspændes med kraften F s0 = 110 kn/line. På gur A.5 ses en skitse af tøjningerne og spændingerne i brudstadiet. Figur A.5 Brudstadiet for bjælken. Mål i mm. Opspændingskraften F s0 giver en tøjning ε s0 på 6,39 0 / 00, se gur A.6 5

6 A. Forspændt bjælke Gr.A april 2004 Figur A.6 Karakteristisk arbejdskurve for L12,5 line [Kloch, 2002, note]. Der gættes på, at x = 127mm, hvilket giver tillægstøjningerne: ε s ε s = ε cu d x x = 3, 5 0 / = 12, 2 0 / (liner i underside) ε sc ε sc = ε cu x 40 x = 3, 5 0 / = 2, 4 0 / (liner i overside) De resulterende tøjninger bliver dermed: ε s = ε 0s + ɛ s ε s = 6, , 2 = 18, 59 0 / 00 (liner i underside) ε sc = ε 0s + ɛ sc ε sc = 6, 39 2, 4 = 3, 99 0 / 00 (liner i overside) Ud fra gur A.6 ndes kraften i under- og overlinerne til: F s = , 8 18, 59 = 150, 9kN/line (liner i underside) F sc = 17, 205 3, 99 = 68, 7kN/line (liner i overside) For bjælken er følgende ting gældende i brudgrænsetilstanden, se tabel A.2. Beton Stål Bjælke f c k [MP a] γ c 1, f uk [MP a] γ s - 1,3 - q p + q g [kn/m] ,88 = 111 Maks moment M Rd [kn/m] - - 1/ , 2 2 = 245 Tabel A.2 Beregningsforudsætninger. Værdierne ndes i bilag?? 6

7 Med den kendte betontrykstyrke samt trykareal udregnes trykresultanten for den valgte x-værdi. F c F c = 0, 8 x b f ck = 0, 8 0, 127 0, = 1372kN Ved ligevægtsbetragtning kontrolleres, om den valgte x-værdi er korrekt , 9 1, 3 F s γ s + F sc 1 F c γ c = , , 65 = 0 2, 34 0 kn Ligevægten er tilnærmelsesvis overholdt, hvorved det antages, at den valgte trykzonehøjde (x-værdi) er korrekt. Der skal bemærkes, at partielkoecienten for oversidearmeringen er sat til 1, da denne virker til gunst. Det er nu muligt, at beregne brudmomentet og derved kontrollere, om det er højere end det regningsmæssige moment. Der tages moment om armeringen i undersiden. M u M rd M u = (d 0, 4 x) Fc γ c (d 0, 04) 2 F sc M rd M u = (0, 57 0, 4 0, 127 ) 1372 (0, 57 0, 04) 2 68, 7 M 1,65 rd M u = 359 M rd = 245 knm Af ovenstående fremgår, at brudsikkerheden er i orden, hvorved brudgrænsetilstanden er overholdt. A.3 Reduktion i kabelkraft Med tiden vil opspændingskraften aftage på grund af svind og krybning af betonen samt ved relaxation af linerne. Da anvendelses- og brudgrænsetilstanden er kontrolleret for den fulde opspændingskraft, er det derfor nødvendigt at kende reduktionens betydning for bjælken. Reduktionen på grund af svind og krybning giver et spændingstab i armeringen og dermed reduceres relaxationen af linerne. Dette medfører tilsvarende en reduktion af krybningen, da spændingen i linerne reduceres. Denne kompliceret sammenhæng er vanskelig at beregne, hvor denne simplicerede beregningsprocedure benyttes. Svindet beregnes til tiden t = Krybningen beregnes til tiden t = En vægtet relaxation beregnes på baggrund af reduktionen for svind og krybning 7

8 A. Forspændt bjælke Gr.A april 2004 Svind På grund af udtørring af betonen vil der opstå en reduktion af bjælken. Denne reduktion er afhængig af det omgivende klima og kan beregnes ved hjælp af følgende empiriske forme: ε s = ε b k b k d k t hvor ε s er svindtøjnings middelværdi [ ] ε b er en basis værdi, der betemmes som funktion af den omgivende relative luftfugtighed [ ] k b angiver betonsammensætningens indydelse afhængig af vandcement forholdet [ ] k d er en faktor, der angiver svindet afhængig af konstruktionsdelens geometri [ ] er en faktor, der beskriver svindforløbet afhængig af tiden [ ] k t For at kunne fastlægge de forskellige parametre, er det nødvendigt af kende følgende faktorer for bjælken, se tabel A.3. Vandcement indhold v/c [-] 0,45 Cementindhold [kg/m 3 ] 350 Ækvivalent radius [-] 0,205 Relative fugtighed [%] 60 Tabel A.3 Relavante antagede data for bjælken for at bestemme svindtøjningen. Den ækvivalente radius bestemmes ved 2 A/s, hvor s er den fri kontur. Den relative fugtighed er sat til 60%, som svarer til en indendørs placering, hvor der kan forventes at være fugtigt [Beton,1985]. Dette stemmer godt overens med bjælkens placering i kælderen. Ud fra tabellerne omhandlende svind i "Teknisk ståbi"er faktorene for svind bestemt, se tabel A.4. ε b [ 0 / 00 ] k b [-] k d [-] k t [-] 0,33 0,86 0,78 1 Tabel A.4 Aæste faktorer til beregning af svindtøjningen [Ståbi, 2002]. Dermed bliver slut svindtøjningen. ε s = 0, 33 0, 86 0, 78 1 = 0, 22 0 / 00 8

9 Da det er slut svindtøjningen til tiden, der er fundet, har det ingen betydning, at bjælken evt. har været udsat for en større RF ved forbehandlingen, da dette blot udskyder totalsvindet. Krybning Udover de beskrevne faktorer under svind afhænger krybningen også af spændingen i betonen. Bjælkens belastningeshistorie har derfor betydning for den samlede størrelse af krybningen. Det er derfor nødvendigt at kende til denne. I afsnit A.1 anvendelsegrænsetilstand regnes der med, at betonen har opnået 75% af sin styrke ved påførelsen af forspændingen og sin fulde styrke ved ibrugtagning, hvorved bjælkens belastningshistorie bilver følgende, se tabel A.5. Modenhed Ved påførelse af den initiale forspændingskraft K 1 + K 2, samt aktivering af egenvægt q e 21 Ved ibrugtagning (lasten g p ) 28 Tabel A.5 Bjælkens belastningshistorie, angivet i M 20 -døgn. Spændingen (σ f1,σ g1 ) i de nederste liner i de første 21 M 20 -døgn, skabt af henholdsvis forspændingskraften og egenvægten bliver dermed: M f = K 1 y k1 + K 2 y k2 = 660 0, ( 0, 285) = 99kNm σ f1 = (K 1+K 2 ) A + M f W = ,65 0, , = 7, 9MP a σ g1 = M g W = , = 0, 38MP a Spændingen σ f1 er konstant over hele bjælkens længde, mens σ g1 variere parabelformet, hvorfor der regnes der med en middelværdi på 2/3 af den maksimale. Dermed bliver spændingen i betonen omkring de nederste liner. σc 1 = 7, 9 2 0, 38 = 7, 6MP a 3 På tilsvarendevis ndes spændingen for de øverste liner samt ved belastningen M g + M p efter 28 M 20 -døgn, se tabel A.6. 9

10 A. Forspændt bjælke Gr.A april 2004 Efter 21 M 20 -døgn Efter 28 M 20 -døgn M f [knm] M g [knm] 11 - M g + M p [knm] σ f1 nederste liner [MPa] 7,9 7,9 σ f2 øverste liner [MPa] 0,4 0,4 σ g1,σ gp1 nederste liner [MPa] -0,39-8,7 σ g2,σ gp2 øverste liner [MPa] 0,45 10,2 σc 1 σc 2 nederste liner [MPa] 7,6 2,2 øverste liner [MPa] 0,7 7,2 Tabel A.6 Spændingerne i betonen afhængig af modenheden samt belastningen. Ud fra de beregnede spændinger er det nu muligt af bestemme krybetøjningen ε c (t) ved følgende formel: ε c (t) = ε 0 ψ(t) (A.4) hvor ε 0 er den elastiske tøjning [ ] ψ(t) er krybetallet[ ] Krybetallet er bestemt ved hjælp af tabeller i "Teknisk ståbi"på tilsvarendevis som svindfaktorerne, se tabel A.7. Efter 21 M 20 døgn Efter 28M 20 døgn k a 0,96 0,87 k b 0,86 0,86 k c 2,58 2,58 k d 0,84 0,84 k t 0,1 1 ψ 0,18 1,62 Tabel A.7 Krybetallet ψ fås ved at multiplicere de ovenstående fatorer [Ståbi, 2002]. Den elastiske ε 0 tøjning beregnes ved: ε 0 = σ E ik = σ 0, /f ck (A.5) σ er lig spændingen i det pågældende tilfælde (σc 1 eller σ2 c ). Den samlede tøjning ε 0+c er den elastiske- ε 0 adderet med krybetøjning ε c, se tabel A.8. 10

11 Efter 21 M 20 -døgn Efter 28 M 20 -døgn Slut tøjning Øverst σ 2 c Nederst σ 1 c Øverst σ 2 c Nederst σ 1 c Øverst σ 2 c Nederst σ 1 c ε 0 [ 0 / 00 ] 0,02 0,17 0,16 0,05 0,18 0,22 ε c [ 0 / 00 ] 0,004 0,03 0,26 0,08 0,26 0,11 ε 0+c [ 0 / 00 ] 0,02 0,2 0,42 0,13 0,44 0,33 Tabel A.8 Den samlede elastiske- samt krybetøjning, udregnet ved formel A.5 og A.4 Således er den samlede tøjning ε 0+c bestemt: Relaxation Relaxationstabet er bl.a. afhængig af opspændingsgraden, der for de pågældende liner er. Opspændingsgrad = K 1 + K 2 8 brudstyrke pr. line = = 67% Denne opspændingsgrad medfører et relaxationstab på R 1000h = 1,7 % efter 1000 timer ifølge "Notat vedr. spændbeton"[klock, 2002, note]. Relaxationstabet skal korrigeres for, det i starten af bilaget omtalte bidrag fra svind og krybning. Denne reduktion kan tilnærmet bestemmes ved: γ = 1 2 σ c+s σ s0 σ c+s = (ε c + ε s ) E s σ c+s = (0, , 22) , = 89MP a σ c+s = (0, , 22) , = 61MP a 89 γ = % γ = % 1760 øverste liner nederste liner = 0, 85 øverste liner = 0, 89 nederste liner hvor E s er elasticitetsmodulet for linerne 1, [Mpa] σ c+s er spændingstab på grund af svind og krybning. [Mpa] er spændingen ved opspændingen [Mpa] σ 0s Det samlede relaxationstab efter 10 6 timer kan dermed beregnes ved følgende formel [Klock,2002,note]. R(t) = γ R 1000h ( ) t 0, R(10 6 ) = 0, 85 1, 7 ( ) 0,2 = 5, 8% øverste liner R(10 6 ) = 0, 89 1, 7 ( ) 0,2 = 6% nederste liner Det er nu muligt at bestemme den samlede spændingsændring i linerne. 11

12 A. Forspændt bjælke Gr.A april 2004 Spændingstab i alt Efter at have bestemt svindet og krybningen til tiden og relaxationen til tiden 10 6 timer kan spændingsændringen i linerne bestemmes ved at addere disse. Således bliver tabet, se tabel A.9 og A.10. σ 0s ε [ 0 / 00 ] σ s0 [Mpa] σ s0 i % Resulterende spænding σ s[mp a] Svind , , Elastisk , , Krybning , Relaxation ,8%* 68 5, Total Tabel A.9 Spændingstab for de øverste liner. *Er angivet som et tab i % af σ 0s. σ s0 = ε E s. σ 0s ε [ 0 / 00 ] σ s0 [Mpa] σ s0 i % Resulterende spænding σ s [MP a] Svind , , Elastisk , , Krybning , , Relaxation %* Total , Tabel A.10 Spændingstab for de nederste liner. *Er angivet som et tab i % af σ 0s. σ s0 = ε E s. A.4 Reduktionens betydning Reduktionen i linerne skabt af svind, krybning og relaxation giver et spændingstab på i alt 16% og 14,6% for henholdsvis de øverste og nederste liner. Forspændingskraften vil dermed blive på: 92 kn/line K 2 = 184kN for de øverste liner. 94 kn/line K 1 = 564kN for de nederste liner. Indsættes dette i formel A.1 for anvendelsegrænsetilstanden fås kn kn Dermed vil der ikke opstå revner i betonen på grund af reduktionen af forspændingskraften. Benyttes tilsvarende de nye forspændingskrafter i brudgrænsetilstanden, fås der et brudmoment på 358 knm, hvor trykzonehøjden x er reduceret til 121 mm. Det regningsmæssige brudmoment M rd er 245 knm, så brudsikkerheden er efter reduktionen i forspændingskraften stadig sikret. 12

13 A.5 Bjælkeender Opspændingen af linerne kan forårsage, at der i bjælkeenderne vil opstå træk. Dette kan medføre, revnedannelse hvorfor dette skal undgås. Kræfterne i bjælke enden ses på gur A.7. Figur A.7 Kræfterne i bjælkenderne. Det kritiske punkt er bjælkens overside, hvor spændingen bliver følgende: Tryk regnes positivt. σ 2 = K 1 A K 1 y k1 + K 2 K 2 y k2 W A W = 660 0, ,245 0, , ,285 0, = 0, 18MP a(træk) Beregningerne viser at der er træk i oversiden af bjælken. Trækket er dog ikke stort, hvorfor det accepteres. 13