Matematisk modellering og numeriske metoder

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering og numeriske metoder"

Transkript

1 Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på en form, hvor man arbejder med rigtige tal. De sidste to gange så vi på nogle metoder, hvorved man kan bringe differentialligninger på en form, hvor de indgående størrelser er rigtige tal. Nogle af disse tal skulle dog frembringes ved at regne nogle integraler ud, og her påstod vi, at dette kunne gøre numerisk. Det har stor betydning for både hastighed og præcision, hvordan disse numeriske udregninger foretages. I gennemgangen af de numeriske metoder for løsning af differentialligninger så vi, at nogle af begrænsningerne i præcisionen lå i selve metoderne, som fordrede, at man at man gik over til en diskret ( skridtvis ) repræsentation af den ønskede funktion. En endnu mere fundamental begrænsning af præcisionen ligger imidlertid i, at enhver konkret beregning kun kan inkludere et endeligt antal cifre, ligegyldigt om det foregår på en computer, i en lommeregner, i hovedet eller på en blok papir. Da både udregningsmetoden og rækkefølgen i en udregning påvirker præcisionen, har det stor betydning, hvordan man opstiller sin model og implementerer den eksempelvis på en computer. Resten af afsnittet vil derfor omhandle generelle emner relateret til præcisionen af konkrete udregninger. Flydende-komma-repræsentation af reelle tal Når et tal skal lagres i en computers (eller lommeregners) hukommelse, er man nødt til at tage en beslutning om, hvor meget plads, der skal afsættes til det og i hvilken form, tallet skal gemmes. Er der tale om et naturlig tal, et helt tal, et rationelt tal, eller et reelt tal? Hvor stort eller lille må det være? Hvis det er et reelt tal, hvordan skal det så gemmes: med et et fast antal cifre før og efter kommaet, så der er fast afstand mellem hvert nabotal, eller med flydende komma, således at små tal har kortere afstand til deres naboer end store tal? Fast afstand? Nabotal? Hvad snakker manden om? Jo, som sagt har vi afsat (allokeret, som det også kaldes) en hvis pladsmængde til tallet, og da computere jo som udgangspunkt kun bruger 0 og 1, og den mindste pladsenhed repræsenterer 1

2 netop sådan ét 0 eller 1 (kaldet en bit), så vil en given pladsmængde udgøres af et vist antal bits, og hvis vi eksempelvis har 3 bits til rådighed, så kan vi vælge at gemme et naturligt tal mellem 1 og 3 eller mere naturligt et ikke-negativt helt tal mellem 0 og 3 1, idet bitsene så blot skal tolkes som 1 er og 0 er i et tal skrevet i totalssystemet (det binære talsystem). Vil vi gerne have et fortegn på, så koster det en bit, og vi kan i stedet skrive tal fra 0 til 31 1 med et + eller foran, og er vi snedige, kan vi vælge at bruge 0 til noget specielt (eksempelvis eller + 31 eller noget helt tredje). Rationelle tal kan nu repræsenteres som en brøk af et helt tal (med fortegn) samt et naturligt tal (helt, positivt og uden fortegn), eller som de reelle tal : enten som et fast-komma-tal med et fastsat antal cifre før kommaet og et (eventuelt andet) fast antal cifre efter kommaet, eller som et flydende-komma-tal, med et fast antal betydende cifre 1 og et givet (fast) interval for kommaplaceringen. Ligegyldigt hvad vi gør, ændrer vi dog ikke på, at vi kun kan repræsentere et endeligt antal tal, og at antallet er (højst) opløftet til antallet af bits, vi har allokeret. Det korte af det lange er, at ligegyldigt, hvordan vi gør, så vil der være et endeligt antal mulige tal, og ethvert tal vil derfor have et nabotal det største og det mindste tal har kun ét nabotal, mens alle andre både har en nabo til venstre og til højre. I praksis er flydende-komma-tal de mest fleksible, og vi vil derfor kigge nærmere på dem i det følgende. Idéen er, at man skriver et reelt tal a som a = ±m n, (1) hvor m er et fast-komma-tal udelukkende med cifre efter kommaet (kaldet mantissen) og n er et helt tal med fortegn (kaldet eksponenten). Der findes en række forskellige standarder for flydende komma (eksempelvis de såkaldte single- og double-typer), og bortset fra forskellige teknikaliteter afviger de hovedsagligt i antallet af bits, der er allokeret til hhv. m og n. Da der som sagt er grænser for, hvad man kan repræsentere, vil (1) i langt de fleste tilfælde være en approksimation. Det mindste tal, som er større end 1, kan skrives 1 + eps, hvor eps kaldes nøjagtigheden. Det er værd at bemærke, at der er samme antal tal mellem 0 = 1 og 1 = som mellem 0 = og 1 = Hvis et beregningsresultat enten er for stort eller for småt til at blive repræsenteret som et flydende-komma-tal med de givne valg af præcision for n og m, så kaldes det underflow hhv. overflow, og i første tilfælde sættes resultatet normalt til 0. I andet tilfælde afhænger det af det pågældende setup. Afrunding En kilde til fejl er afhugning eller afrunding (til et bestemt antal cifre eller et bestemt antal betydende cifre). En afhugning chp(x) af et tal x går ud på at fjerne alle cifre, som ligger udenfor bestemmelserne, mens en afrunding rnd(x) af tallet x er chp(x) + (chp(x) chp(x)). Resultatet af en afrunding rnd(x) er generelt tættere på udgangspunktet x end chp(x) og anbefales derfor. Fejl som skyldes afrunding eller afhugning kaldes afrundingsfejl. Antag, at vi afrunder til k betydende cifre i 10-talssystemet. Så er den relative fejl x rnd(x) højst 1 x 101 k. Afrundingsfejl kan ødelægge en udregning fuldstændigt, hvis de enkelte regneoperationer foretages i en uhensigtsmæssig rækkefølge. Derudover er computeres aritmetik ikke eksakt, hvilket kan introducere yderligere fejl. 1 Antallet af betydende cifre er antallet af cifre til venstre for eventuelt foranstillede 0 er. Eksempelvis er der tre betydende cifre i , , 100 og

3 Tab af betydende cifre Ved subtraktion af to tal af ca. samme størrelse reduceres antallet af betydende cifre, eksempelvis = , hvor tallene på venstre side har 6 betydende cifre ( 6S ), mens højresiden har 4 betydende cifre. Ofte kan man dog ved lidt snedighed undgå subtraktioner, som det følgende eksempel viser. Eksempel 1.1. Vi vil finde rødderne i x + 40x + = 0 med 4S-præcision. Løsningsformlen for en andengradsligning ax + bx + c = 0 er som bekendt så x x + = b b 4ac a x = b b 4ac a b + b 4ac a og x + = b + b 4ac a = ( b) b 4ac 4a = b b + 4ac 4a = c a, og vi kan altså undgå subtraktionen mellem b og ± b 4ac (som er to tal af samme størrelse, såfremt 4ac er lille i forhold til b ) ved at vælge den rod x ±, hvor b og ± a 4ac har samme fortegn, og finde den anden rod vha. x x + = c a. I det konkrete tilfælde får vi at 4ac og b giver 4 1 = 8 40, b = 40 < 0 og vi bør derfor først udregne x : Dernæst fås x + = c ax : x = = = x + = = = = = Havde vi brugt den almindelige formel, ville vi have fået x + = Fejl i numeriske værdier = = Hvis x er den eksakte værdi af et ønsket tal og x er den numeriske approksimation (eksempelvis resultatet af en numerisk beregning), så definerer vi x s fejl til ε = x x, således at den nøjagtige værdi er lig approksimationen plus fejlen. Tilsvarende defineres den relative fejl til ε r = ε x = x x x, Man kunne også have valgt ε eller ε, men så ville sidste del af sætningen skulle ændres tilsvarende. 3

4 således at den relative fejl er fejlen divideret med den sande værdi. Problemet er selvfølgelig, at x og dermed ε normalt vil være ukendte størrelser, men heldigvis er det ofte muligt at lave fejlvurderinger, sådan som vi så med den relative fejl ved en afrunding. De to vigtigste fejlvurderinger ser ud på følgende måde: ε β og ε r β r, hvor β og β r er kendte størrelser. Udbredelse af fejl Som nævnt flere gange betyder rækkefølgen af udregninger meget. Hvordan en fejl udbreder sig, altså hvordan en fejlbehæftiget størrelse påvirker de efterfølgende udregninger, kan i mange tilfælde bestemmes ud fra følgende to simple regler. Sætning 1.. Lad β x og β y være grænser på fejlen for x og y, og β xr og β yr være grænser for den relative fejl for x og y. Lad ε x+y og ε x y være fejlen for hhv. x + ȳ og x ȳ, og ε (xy)r og ε x y r være den relative fejl for xȳ og x. Da er ȳ ε x+y β x + β y ε x y β x + β y ε (xy)r β xr + β yr + β xr β yr β xr + β yr ε x y r (β xr + β yr )(1 + β yr + (εy) y ε y ) β xr + β yr, hvor gælder for små værdier af β xr og β yr. Bevis. Overlades til læseren. Algoritmer og stabilitet En algoritme er en opskrift på en beregning. En algoritme kaldes stabil, hvis små ændringer i inputtet ikke resulterer i store ændringer i resultatet. 1. At løse ligninger vha. iterationer En ligning i én ukendt kan altid omskrives til formen f(x) = 0, for et passende valg af f, ved blot at flytte alle udtryk over på venstre side. Vi vil nu gennemgå tre forskellige metoder til at løse en sådan ligning vha. iteration dvs. gentagne anvendelser af den samme operation, typisk med outputtet af én anvendelse af operationen som input til den efterfølgende anvendelse af operationen. Fikspunktiteration I denne metode skal problemet først omformuleres fra f(x) = 0 til g(x) = x. Dette kan gøres på flere måder, og det skal vise sig, at den konkrete formulering (det konkrete udtryk for g) har stor betydning for metodens succes. Herefter foretages et kvalificeret gæt på en løsning (eksempelvis kan man skitsere grafen for f og herudfra finde et godt bud på en værdi af x, hvor f(x) = 0). Lad os kalde dette bud for x 0. Vi finder nu næste skridt i iterationen ved x n+1 = g(x n ), 4

5 altså i første omgang fås x 1 = g(x 0 ), herefter x = g(x 1 ) = g(g(x 0 )) osv. Håbet er nu, at der findes et x R så x n x for n, hvilket vil betyde, 3 at x = g(x ) og altså f(x ) = 0. Det viser sig, at der findes et simpelt, tilstrækkeligt krav på g, for at dette er tilfældet. Mere præcist gælder følgende sætning. Sætning 1.3. Lad s være en løsning til x = g(x) og antag, at g er kontinuert differentiabel i et interval J omkring s. Hvis g (x) K < 1 i J, så konvergerer følgen {x n } n=0 mod x = s, såfremt x 0 J. Bevis. Vi vil blot skitsere idéen i beviset. Lad g opfylde betingelserne i sætningen. Da der findes et t mellem x n og s således at g(x n ) g(s) = g (t), x n s så er x n+1 s = g(x n ) g(s) = g (t) x n s K x n s < x n s. Altså er afstanden mellem x n+1 og s skarpt mindre end afstanden mellem x n og s, og vi ser, at følgen {x n } n=0 nærmer sig s. Eksempel 1.4. Vi vil benytte fikspunktmetoden til at finde en numerisk løsning 4 til f(x) = 0, hvor f(x) = x 3x + 1. En skitse af grafen vil afsløre, at der findes en løsning omkring x =.6 og omkring x = 0.4. Hvis vi omskriver f(x) = 0 til g(x) = 1 3 (x +1) = x, så er g (x) = x 3 og g (x) 3 for x [0, 1]. Vælger vi derfor x 0 = 0.4, vil x n x for n med f(x ) = 0. Det kan vises, at x 6 er korrekt til 5 betydende cifre (5S). Derimod er g (.6) = > 1, og vi kan altså ikke finde løsningen omkring.6 med dette valg af g. Hvordan ville det forholde sig, hvis vi i stedet havde valgt g(x) = 3 1 x? Newtons metode Antag nu, at f er kontinuert differentiabel. Da en tangent til en kontinuert differentiabel funktion er en god tilnærmelse til funktionen omkring tangentens skæringspunkt, så vil en tangent nær et nulpunkt s, f(s) = 0, skære x-aksen tæt på s (prøv at skitsere situationen). Newtons metode går ud på at udnytte dette, ved at vælge et x 0 tæt på s, udregne tangenten i x 0 s skæring med x-aksen, kalde dette skæringspunkt for x 1 (som gerne skulle være endnu tættere på s), finde tangenten i x 1 s skæring med x-aksen osv., således at x n+1 er skæringspunktet med x-aksen for tangenten i x n. Da tangenten har konstant hældning f (x n ) som også kan udregnes som hældningen mellem (x n, f(x n )) og (x n+1, 0), så er f (x n ) = f(x n) 0 x n x n+1 eller x n+1 = x n f(x n) f (x n ). Det er klart, at metoden bryder sammen, hvis f (x n ) = 0 (algebraisk, fordi vi ikke må dividere med 0, men mere konceptuelt, hvad går så galt? Tegn!). Bemærk, at Newtons metode faktisk er en fikspunktsmetode med g(x) = x f(x). Skal en numerisk løsning findes, kan man vælge at f (x) stoppe, når f(x n ) er tilpas lille, eller når x n+1 x n er tilpas lille. Her kan man vælge tilpas lille i absolut værdi eller mest relevant i sidstnævnte tilfælde lille i forhold til x n+1. 3 Her antages g at være kontinuert. 4 En numerisk løsning vil som i tilfældet for numeriske løsninger til differentialligninger betyde en numerisk approksimation af den rigtige (analytiske) løsning. 5

6 Eksempel 1.5. Antag, at vi vil finde kvadratroden af. Det er den positive løsning til x = 0, og vi kan altså sætte f(x) = x. Så er f (x) = x og med x 0 = 1.5 fås x 1 = = 1 ( ) = , x n+1 = 1 (x n + ), 1.5 x n og altså x = 1.414, x 3 = osv. Læg mærke til den algebraiske omskrivning af udtrykket, som gør, at vi undgår subtraktion! Sekantmetoden Hvis det af den ene eller anden grund er problematisk at udregne f (x), så findes der en modifikation af Newtons metode, som springer f over ved at skifte tangenter ud med sekanter. En sekant er en linje gennem to punkter på grafen for en funktion, og vi skal altså ikke blot have ét godt gæt som input, men to tal, som begge ligger tæt på, hvor vi forventer at finde et nulpunkt. Til gengæld er det såre simpelt at modificere Newtons metode med sekanthældningen. Da f (x n ) f(xn) f(x n 1) x n x n 1 for x n 1 tæt på x n, så sættes x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ) f(x n ) f(x n 1 ), som i parentes bemærket ikke bør omskrives til x n+1 = x n 1f(x n) x nf(x n 1 ) f(x n) f(x n 1, da det giver en numerisk set meget uheldig ) subtraktion. Eksempel 1.6. Lad os finde vha. sekantmetoden, hvor vi sætter f(x) = x og vælger x 0 = 1.5 og x 1 = 1.4. Så er x = 1.4 f(1.4) f(1.4) f(1.5) = 1.4 ( 0.04) = , x 3 = og x 4 = Konvergenshastighed Når vi nu ser på tre forskellige metoder til at løse samme problem, må der selvfølgelig være forskel i styrker og svagheder. Én af parametrene, man kan kigge på, er konvergenshastighed. Men hvordan sammenligner man konvergenshastigheder uden at betragte konkrete tilfælde? En meget brugbar måde at sammenligne sådanne hastigheder er at betragte deres orden. Lad g være en funktion, som definerer en iterationsmetode ved x n+1 = g(x n ) (overvej, hvad g er i fikspunktiterationsmetoden og i Newtons metode i sekantmetoden skal man omformulere begrebet lidt, da iterationen her ikke blot afhænger af x n men også x n 1 ). Lad nu ε n være fejlen i x n (altså ε n = s x n ). Antag, at g er flere gange differentiabel, så vi kan opskrive en Taylor-udvikling af g omkring løsningen s: x n+1 = g(x n ) = g(s) + g (s)(x n s) + 1 g (s)(x n s) + = g(s) g (s)ε n + 1 g (s)ε n +. 6

7 Ordenen af iterationsmetoden er nu eksponenten k af ε n i det første led, hvor g (k) (s) 0. Hvis ε n er lille, så dominerer dette led, og vi får altså for en k te-ordens iterationsmetode, at x n+1 g(s) + ( 1)k k! g (k) (s)ε k n eller ε n+1 ( 1)k g (k) (s)ε k k! n, så fejlen bliver altså hurtigt mindre, hvis k er stor. Det skulle nu være oplagt, at ordenen af fikspunktsiterationsmetoden på helt afgørende vis afhænger af valget af g. For Newtons metode kan man dog nemt vise, at hastigheden er (mindst) andenordens: g(x) = x f(x) f (x) så g (x) = 1 f (x) f(x)f (x) f (x) = f(x)f (x) f (x), så sætter vi s ind, ser vi, at g (s) = 0, (idet f(s) = 0). Vi opsummerer i følgende sætning. Sætning 1.7. Hvis f er to gange differentiabel og f (s) ikke er 0, hvor f(s) = 0 er en løsning, så er Newtons metode mindst af orden. Differentierer man g igen får man g (s) = f (s) f (s) og dermed ε n+1 f (s) f (s) ε n. Vi kan bruge dette udtryk til at vurdere fejlen i et givet skridt: Eksempel 1.8. Vi vil estimere fejlen i det n + 1 ste skridt i iterationen, hvor vi leder efter den positive løsning til sin(x) = x vha. Newtons metode. Vi vælger x 0 =, sætter f(x) = x sin(x) og får x 1 = Vi vil nu estimere f (s) f (s) : f (s) f (s) f (x 1 ) f (x 1 ) = sin(x 1 ) (1 cos(x 1 )) 0.57, så ε n ε n 0.57 n+1 1 ε n+1 0, hvor sidste circa-tegn opnås ved at gentage tricket igen og igen. Vi mangler nu blot at finde et estimat for ε 0. Men ε 1 ε 0 = (ε 1 s) (ε 0 s) = x 1 + x samtidig med at ε ε 0, så 0.57ε 0 ε , som har de to løsninger ε 0 = 0.11 og ε 0 = Sidstnævnte løsning er ikke kompatibel med den løsning, vi leder efter, så fejlen i n + 1 ste led er altså estimeret udlukkende ud fra x 0 og x 1 til 0.57 n n+1. Numerisk integration.1 Grundlæggende om numerisk integration Vi vil i det følgende gennemgå to tilgange til numerisk approksimation af bestemte integraler, også kaldet numerisk integration. Numerisk integration er typisk af interesse i to tilfælde, nemlig når vi ikke kan finde en stamfunktion til integranten, eller når vi ikke kender et analytisk funktionsudtryk, men kun kender funktionsværdien i et begrænset antal punkter. Vi vil senere i kurset se på nogle endnu bedre måder at integrere normerisk. 7

8 . Midtpunktsreglen Den første metode, vi vil se på, er naturligvis også den mest primitive. Antag, at vi er interesseret i en numerisk løsning af b a f(x) dx. Metoden går helt simpelt ud på at dele intervallet I = [a, b], der integreres over, op i n delintervaller I i = [x i 1, x i ], i = 1,..., n af længde h = b a og så approksimere integralet over de enkelte n delintervaller I i ved at gange intervallængden I i = h med funktionsværdien f(x i 1 + h ) af integranten midt i intervallet I n. Her er x 0 = a, x n = b og x i = x i 1 + h for i = 1,..., n. Det samlede integral er så approksimeret af summen af approksimationerne over disse delintervaller, og vi får altså b n f(x) dx h f(x i 1 + h b a ), hvor h = n. () a i=1 Midtpunktsreglen kan tolkes på følgende måde. Funktionen p 0 f(x i 1 + h ) kan opfattes som en nulgradspolynomiumsapproksimation af f. Så er x i x i 1 p 0 dx = hf(x i 1 + h ), og () er altså summen af integralerne over stykkevise nulgradspolynomiumsapproksimationer af f..3 Trapezreglen I samme ånd som ovenfor kan vi finde en førstegradspolynomiumsapproksimation p 1 af f på I i, hvis vi i stedet for midtpunktet f(x i 1 + h ) kender værdierne f(x i 1) og f(x i ) af f i endepunkterne af I n : p 1 (x) = f(x i 1 ) + f(x i 1) f(x i ) x i 1 x i (x x i 1 ) (her fundet vha. Newtons divideret differens-metode med x 0 = x i 1 og x 1 = x i en metode, vi vender tilbage til senere i kurset), som integrerer til xi x i 1 p 1 (x) dx = h (f(x i 1) + f(x i )), hvor h = x i x i 1. Trapezreglen er altså følgende approksimation: b a f(x) dx h n ( f(xi 1 ) + f(x i ) ) = h ( ) n 1 f(a) + f(b) + h f(x i ), (3) i=1 i=1 hvor sidste omskrivning følger af en simpel omorganisering. Det kan vises, at fejlen i denne approksimation er ε t n = b a 1 h f (x I ), (4) for et passende valg af x I I = [a, b], hvor vi understreger, at n et intet har med polynomiumsgraden at gøre, men henviser til antallet af delintervaller I i. Som for polynomiumsinterpolationerne kan vi altså finde øvre og nedre grænser for vores fejl ved at finde maksimum og minimum af f 8

9 på I. Er det af den ene eller anden grund ikke muligt at finde sådanne grænser, kan man, hvis n er et lige tal, benytte følgende formel til at estimere fejlen: ε t n 1 3 (J n t J t n ), hvor Jn t = h ( ) n 1 f(a) + f(b) + h f(x i ). (5) i=1 9

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010 Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Numerisk differentiation og integration med Python

Numerisk differentiation og integration med Python Numerisk differentiation og integration med Python En uformel prototype til en tutorial, Karl Bjarnason, maj 2010 Vi vil gerne lave et program som numerisk integrerer og differentierer funktionen f(x)=x

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

GRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB.

GRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB. Mathematicus GRUND FORLØB y x Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus Grundforløb. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere