Matematisk modellering og numeriske metoder
|
|
- Mathilde Kronborg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på en form, hvor man arbejder med rigtige tal. De sidste to gange så vi på nogle metoder, hvorved man kan bringe differentialligninger på en form, hvor de indgående størrelser er rigtige tal. Nogle af disse tal skulle dog frembringes ved at regne nogle integraler ud, og her påstod vi, at dette kunne gøre numerisk. Det har stor betydning for både hastighed og præcision, hvordan disse numeriske udregninger foretages. I gennemgangen af de numeriske metoder for løsning af differentialligninger så vi, at nogle af begrænsningerne i præcisionen lå i selve metoderne, som fordrede, at man at man gik over til en diskret ( skridtvis ) repræsentation af den ønskede funktion. En endnu mere fundamental begrænsning af præcisionen ligger imidlertid i, at enhver konkret beregning kun kan inkludere et endeligt antal cifre, ligegyldigt om det foregår på en computer, i en lommeregner, i hovedet eller på en blok papir. Da både udregningsmetoden og rækkefølgen i en udregning påvirker præcisionen, har det stor betydning, hvordan man opstiller sin model og implementerer den eksempelvis på en computer. Resten af afsnittet vil derfor omhandle generelle emner relateret til præcisionen af konkrete udregninger. Flydende-komma-repræsentation af reelle tal Når et tal skal lagres i en computers (eller lommeregners) hukommelse, er man nødt til at tage en beslutning om, hvor meget plads, der skal afsættes til det og i hvilken form, tallet skal gemmes. Er der tale om et naturlig tal, et helt tal, et rationelt tal, eller et reelt tal? Hvor stort eller lille må det være? Hvis det er et reelt tal, hvordan skal det så gemmes: med et et fast antal cifre før og efter kommaet, så der er fast afstand mellem hvert nabotal, eller med flydende komma, således at små tal har kortere afstand til deres naboer end store tal? Fast afstand? Nabotal? Hvad snakker manden om? Jo, som sagt har vi afsat (allokeret, som det også kaldes) en hvis pladsmængde til tallet, og da computere jo som udgangspunkt kun bruger 0 og 1, og den mindste pladsenhed repræsenterer 1
2 netop sådan ét 0 eller 1 (kaldet en bit), så vil en given pladsmængde udgøres af et vist antal bits, og hvis vi eksempelvis har 3 bits til rådighed, så kan vi vælge at gemme et naturligt tal mellem 1 og 3 eller mere naturligt et ikke-negativt helt tal mellem 0 og 3 1, idet bitsene så blot skal tolkes som 1 er og 0 er i et tal skrevet i totalssystemet (det binære talsystem). Vil vi gerne have et fortegn på, så koster det en bit, og vi kan i stedet skrive tal fra 0 til 31 1 med et + eller foran, og er vi snedige, kan vi vælge at bruge 0 til noget specielt (eksempelvis eller + 31 eller noget helt tredje). Rationelle tal kan nu repræsenteres som en brøk af et helt tal (med fortegn) samt et naturligt tal (helt, positivt og uden fortegn), eller som de reelle tal : enten som et fast-komma-tal med et fastsat antal cifre før kommaet og et (eventuelt andet) fast antal cifre efter kommaet, eller som et flydende-komma-tal, med et fast antal betydende cifre 1 og et givet (fast) interval for kommaplaceringen. Ligegyldigt hvad vi gør, ændrer vi dog ikke på, at vi kun kan repræsentere et endeligt antal tal, og at antallet er (højst) opløftet til antallet af bits, vi har allokeret. Det korte af det lange er, at ligegyldigt, hvordan vi gør, så vil der være et endeligt antal mulige tal, og ethvert tal vil derfor have et nabotal det største og det mindste tal har kun ét nabotal, mens alle andre både har en nabo til venstre og til højre. I praksis er flydende-komma-tal de mest fleksible, og vi vil derfor kigge nærmere på dem i det følgende. Idéen er, at man skriver et reelt tal a som a = ±m n, (1) hvor m er et fast-komma-tal udelukkende med cifre efter kommaet (kaldet mantissen) og n er et helt tal med fortegn (kaldet eksponenten). Der findes en række forskellige standarder for flydende komma (eksempelvis de såkaldte single- og double-typer), og bortset fra forskellige teknikaliteter afviger de hovedsagligt i antallet af bits, der er allokeret til hhv. m og n. Da der som sagt er grænser for, hvad man kan repræsentere, vil (1) i langt de fleste tilfælde være en approksimation. Det mindste tal, som er større end 1, kan skrives 1 + eps, hvor eps kaldes nøjagtigheden. Det er værd at bemærke, at der er samme antal tal mellem 0 = 1 og 1 = som mellem 0 = og 1 = Hvis et beregningsresultat enten er for stort eller for småt til at blive repræsenteret som et flydende-komma-tal med de givne valg af præcision for n og m, så kaldes det underflow hhv. overflow, og i første tilfælde sættes resultatet normalt til 0. I andet tilfælde afhænger det af det pågældende setup. Afrunding En kilde til fejl er afhugning eller afrunding (til et bestemt antal cifre eller et bestemt antal betydende cifre). En afhugning chp(x) af et tal x går ud på at fjerne alle cifre, som ligger udenfor bestemmelserne, mens en afrunding rnd(x) af tallet x er chp(x) + (chp(x) chp(x)). Resultatet af en afrunding rnd(x) er generelt tættere på udgangspunktet x end chp(x) og anbefales derfor. Fejl som skyldes afrunding eller afhugning kaldes afrundingsfejl. Antag, at vi afrunder til k betydende cifre i 10-talssystemet. Så er den relative fejl x rnd(x) højst 1 x 101 k. Afrundingsfejl kan ødelægge en udregning fuldstændigt, hvis de enkelte regneoperationer foretages i en uhensigtsmæssig rækkefølge. Derudover er computeres aritmetik ikke eksakt, hvilket kan introducere yderligere fejl. 1 Antallet af betydende cifre er antallet af cifre til venstre for eventuelt foranstillede 0 er. Eksempelvis er der tre betydende cifre i , , 100 og
3 Tab af betydende cifre Ved subtraktion af to tal af ca. samme størrelse reduceres antallet af betydende cifre, eksempelvis = , hvor tallene på venstre side har 6 betydende cifre ( 6S ), mens højresiden har 4 betydende cifre. Ofte kan man dog ved lidt snedighed undgå subtraktioner, som det følgende eksempel viser. Eksempel 1.1. Vi vil finde rødderne i x + 40x + = 0 med 4S-præcision. Løsningsformlen for en andengradsligning ax + bx + c = 0 er som bekendt så x x + = b b 4ac a x = b b 4ac a b + b 4ac a og x + = b + b 4ac a = ( b) b 4ac 4a = b b + 4ac 4a = c a, og vi kan altså undgå subtraktionen mellem b og ± b 4ac (som er to tal af samme størrelse, såfremt 4ac er lille i forhold til b ) ved at vælge den rod x ±, hvor b og ± a 4ac har samme fortegn, og finde den anden rod vha. x x + = c a. I det konkrete tilfælde får vi at 4ac og b giver 4 1 = 8 40, b = 40 < 0 og vi bør derfor først udregne x : Dernæst fås x + = c ax : x = = = x + = = = = = Havde vi brugt den almindelige formel, ville vi have fået x + = Fejl i numeriske værdier = = Hvis x er den eksakte værdi af et ønsket tal og x er den numeriske approksimation (eksempelvis resultatet af en numerisk beregning), så definerer vi x s fejl til ε = x x, således at den nøjagtige værdi er lig approksimationen plus fejlen. Tilsvarende defineres den relative fejl til ε r = ε x = x x x, Man kunne også have valgt ε eller ε, men så ville sidste del af sætningen skulle ændres tilsvarende. 3
4 således at den relative fejl er fejlen divideret med den sande værdi. Problemet er selvfølgelig, at x og dermed ε normalt vil være ukendte størrelser, men heldigvis er det ofte muligt at lave fejlvurderinger, sådan som vi så med den relative fejl ved en afrunding. De to vigtigste fejlvurderinger ser ud på følgende måde: ε β og ε r β r, hvor β og β r er kendte størrelser. Udbredelse af fejl Som nævnt flere gange betyder rækkefølgen af udregninger meget. Hvordan en fejl udbreder sig, altså hvordan en fejlbehæftiget størrelse påvirker de efterfølgende udregninger, kan i mange tilfælde bestemmes ud fra følgende to simple regler. Sætning 1.. Lad β x og β y være grænser på fejlen for x og y, og β xr og β yr være grænser for den relative fejl for x og y. Lad ε x+y og ε x y være fejlen for hhv. x + ȳ og x ȳ, og ε (xy)r og ε x y r være den relative fejl for xȳ og x. Da er ȳ ε x+y β x + β y ε x y β x + β y ε (xy)r β xr + β yr + β xr β yr β xr + β yr ε x y r (β xr + β yr )(1 + β yr + (εy) y ε y ) β xr + β yr, hvor gælder for små værdier af β xr og β yr. Bevis. Overlades til læseren. Algoritmer og stabilitet En algoritme er en opskrift på en beregning. En algoritme kaldes stabil, hvis små ændringer i inputtet ikke resulterer i store ændringer i resultatet. 1. At løse ligninger vha. iterationer En ligning i én ukendt kan altid omskrives til formen f(x) = 0, for et passende valg af f, ved blot at flytte alle udtryk over på venstre side. Vi vil nu gennemgå tre forskellige metoder til at løse en sådan ligning vha. iteration dvs. gentagne anvendelser af den samme operation, typisk med outputtet af én anvendelse af operationen som input til den efterfølgende anvendelse af operationen. Fikspunktiteration I denne metode skal problemet først omformuleres fra f(x) = 0 til g(x) = x. Dette kan gøres på flere måder, og det skal vise sig, at den konkrete formulering (det konkrete udtryk for g) har stor betydning for metodens succes. Herefter foretages et kvalificeret gæt på en løsning (eksempelvis kan man skitsere grafen for f og herudfra finde et godt bud på en værdi af x, hvor f(x) = 0). Lad os kalde dette bud for x 0. Vi finder nu næste skridt i iterationen ved x n+1 = g(x n ), 4
5 altså i første omgang fås x 1 = g(x 0 ), herefter x = g(x 1 ) = g(g(x 0 )) osv. Håbet er nu, at der findes et x R så x n x for n, hvilket vil betyde, 3 at x = g(x ) og altså f(x ) = 0. Det viser sig, at der findes et simpelt, tilstrækkeligt krav på g, for at dette er tilfældet. Mere præcist gælder følgende sætning. Sætning 1.3. Lad s være en løsning til x = g(x) og antag, at g er kontinuert differentiabel i et interval J omkring s. Hvis g (x) K < 1 i J, så konvergerer følgen {x n } n=0 mod x = s, såfremt x 0 J. Bevis. Vi vil blot skitsere idéen i beviset. Lad g opfylde betingelserne i sætningen. Da der findes et t mellem x n og s således at g(x n ) g(s) = g (t), x n s så er x n+1 s = g(x n ) g(s) = g (t) x n s K x n s < x n s. Altså er afstanden mellem x n+1 og s skarpt mindre end afstanden mellem x n og s, og vi ser, at følgen {x n } n=0 nærmer sig s. Eksempel 1.4. Vi vil benytte fikspunktmetoden til at finde en numerisk løsning 4 til f(x) = 0, hvor f(x) = x 3x + 1. En skitse af grafen vil afsløre, at der findes en løsning omkring x =.6 og omkring x = 0.4. Hvis vi omskriver f(x) = 0 til g(x) = 1 3 (x +1) = x, så er g (x) = x 3 og g (x) 3 for x [0, 1]. Vælger vi derfor x 0 = 0.4, vil x n x for n med f(x ) = 0. Det kan vises, at x 6 er korrekt til 5 betydende cifre (5S). Derimod er g (.6) = > 1, og vi kan altså ikke finde løsningen omkring.6 med dette valg af g. Hvordan ville det forholde sig, hvis vi i stedet havde valgt g(x) = 3 1 x? Newtons metode Antag nu, at f er kontinuert differentiabel. Da en tangent til en kontinuert differentiabel funktion er en god tilnærmelse til funktionen omkring tangentens skæringspunkt, så vil en tangent nær et nulpunkt s, f(s) = 0, skære x-aksen tæt på s (prøv at skitsere situationen). Newtons metode går ud på at udnytte dette, ved at vælge et x 0 tæt på s, udregne tangenten i x 0 s skæring med x-aksen, kalde dette skæringspunkt for x 1 (som gerne skulle være endnu tættere på s), finde tangenten i x 1 s skæring med x-aksen osv., således at x n+1 er skæringspunktet med x-aksen for tangenten i x n. Da tangenten har konstant hældning f (x n ) som også kan udregnes som hældningen mellem (x n, f(x n )) og (x n+1, 0), så er f (x n ) = f(x n) 0 x n x n+1 eller x n+1 = x n f(x n) f (x n ). Det er klart, at metoden bryder sammen, hvis f (x n ) = 0 (algebraisk, fordi vi ikke må dividere med 0, men mere konceptuelt, hvad går så galt? Tegn!). Bemærk, at Newtons metode faktisk er en fikspunktsmetode med g(x) = x f(x). Skal en numerisk løsning findes, kan man vælge at f (x) stoppe, når f(x n ) er tilpas lille, eller når x n+1 x n er tilpas lille. Her kan man vælge tilpas lille i absolut værdi eller mest relevant i sidstnævnte tilfælde lille i forhold til x n+1. 3 Her antages g at være kontinuert. 4 En numerisk løsning vil som i tilfældet for numeriske løsninger til differentialligninger betyde en numerisk approksimation af den rigtige (analytiske) løsning. 5
6 Eksempel 1.5. Antag, at vi vil finde kvadratroden af. Det er den positive løsning til x = 0, og vi kan altså sætte f(x) = x. Så er f (x) = x og med x 0 = 1.5 fås x 1 = = 1 ( ) = , x n+1 = 1 (x n + ), 1.5 x n og altså x = 1.414, x 3 = osv. Læg mærke til den algebraiske omskrivning af udtrykket, som gør, at vi undgår subtraktion! Sekantmetoden Hvis det af den ene eller anden grund er problematisk at udregne f (x), så findes der en modifikation af Newtons metode, som springer f over ved at skifte tangenter ud med sekanter. En sekant er en linje gennem to punkter på grafen for en funktion, og vi skal altså ikke blot have ét godt gæt som input, men to tal, som begge ligger tæt på, hvor vi forventer at finde et nulpunkt. Til gengæld er det såre simpelt at modificere Newtons metode med sekanthældningen. Da f (x n ) f(xn) f(x n 1) x n x n 1 for x n 1 tæt på x n, så sættes x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ) f(x n ) f(x n 1 ), som i parentes bemærket ikke bør omskrives til x n+1 = x n 1f(x n) x nf(x n 1 ) f(x n) f(x n 1, da det giver en numerisk set meget uheldig ) subtraktion. Eksempel 1.6. Lad os finde vha. sekantmetoden, hvor vi sætter f(x) = x og vælger x 0 = 1.5 og x 1 = 1.4. Så er x = 1.4 f(1.4) f(1.4) f(1.5) = 1.4 ( 0.04) = , x 3 = og x 4 = Konvergenshastighed Når vi nu ser på tre forskellige metoder til at løse samme problem, må der selvfølgelig være forskel i styrker og svagheder. Én af parametrene, man kan kigge på, er konvergenshastighed. Men hvordan sammenligner man konvergenshastigheder uden at betragte konkrete tilfælde? En meget brugbar måde at sammenligne sådanne hastigheder er at betragte deres orden. Lad g være en funktion, som definerer en iterationsmetode ved x n+1 = g(x n ) (overvej, hvad g er i fikspunktiterationsmetoden og i Newtons metode i sekantmetoden skal man omformulere begrebet lidt, da iterationen her ikke blot afhænger af x n men også x n 1 ). Lad nu ε n være fejlen i x n (altså ε n = s x n ). Antag, at g er flere gange differentiabel, så vi kan opskrive en Taylor-udvikling af g omkring løsningen s: x n+1 = g(x n ) = g(s) + g (s)(x n s) + 1 g (s)(x n s) + = g(s) g (s)ε n + 1 g (s)ε n +. 6
7 Ordenen af iterationsmetoden er nu eksponenten k af ε n i det første led, hvor g (k) (s) 0. Hvis ε n er lille, så dominerer dette led, og vi får altså for en k te-ordens iterationsmetode, at x n+1 g(s) + ( 1)k k! g (k) (s)ε k n eller ε n+1 ( 1)k g (k) (s)ε k k! n, så fejlen bliver altså hurtigt mindre, hvis k er stor. Det skulle nu være oplagt, at ordenen af fikspunktsiterationsmetoden på helt afgørende vis afhænger af valget af g. For Newtons metode kan man dog nemt vise, at hastigheden er (mindst) andenordens: g(x) = x f(x) f (x) så g (x) = 1 f (x) f(x)f (x) f (x) = f(x)f (x) f (x), så sætter vi s ind, ser vi, at g (s) = 0, (idet f(s) = 0). Vi opsummerer i følgende sætning. Sætning 1.7. Hvis f er to gange differentiabel og f (s) ikke er 0, hvor f(s) = 0 er en løsning, så er Newtons metode mindst af orden. Differentierer man g igen får man g (s) = f (s) f (s) og dermed ε n+1 f (s) f (s) ε n. Vi kan bruge dette udtryk til at vurdere fejlen i et givet skridt: Eksempel 1.8. Vi vil estimere fejlen i det n + 1 ste skridt i iterationen, hvor vi leder efter den positive løsning til sin(x) = x vha. Newtons metode. Vi vælger x 0 =, sætter f(x) = x sin(x) og får x 1 = Vi vil nu estimere f (s) f (s) : f (s) f (s) f (x 1 ) f (x 1 ) = sin(x 1 ) (1 cos(x 1 )) 0.57, så ε n ε n 0.57 n+1 1 ε n+1 0, hvor sidste circa-tegn opnås ved at gentage tricket igen og igen. Vi mangler nu blot at finde et estimat for ε 0. Men ε 1 ε 0 = (ε 1 s) (ε 0 s) = x 1 + x samtidig med at ε ε 0, så 0.57ε 0 ε , som har de to løsninger ε 0 = 0.11 og ε 0 = Sidstnævnte løsning er ikke kompatibel med den løsning, vi leder efter, så fejlen i n + 1 ste led er altså estimeret udlukkende ud fra x 0 og x 1 til 0.57 n n+1. Numerisk integration.1 Grundlæggende om numerisk integration Vi vil i det følgende gennemgå to tilgange til numerisk approksimation af bestemte integraler, også kaldet numerisk integration. Numerisk integration er typisk af interesse i to tilfælde, nemlig når vi ikke kan finde en stamfunktion til integranten, eller når vi ikke kender et analytisk funktionsudtryk, men kun kender funktionsværdien i et begrænset antal punkter. Vi vil senere i kurset se på nogle endnu bedre måder at integrere normerisk. 7
8 . Midtpunktsreglen Den første metode, vi vil se på, er naturligvis også den mest primitive. Antag, at vi er interesseret i en numerisk løsning af b a f(x) dx. Metoden går helt simpelt ud på at dele intervallet I = [a, b], der integreres over, op i n delintervaller I i = [x i 1, x i ], i = 1,..., n af længde h = b a og så approksimere integralet over de enkelte n delintervaller I i ved at gange intervallængden I i = h med funktionsværdien f(x i 1 + h ) af integranten midt i intervallet I n. Her er x 0 = a, x n = b og x i = x i 1 + h for i = 1,..., n. Det samlede integral er så approksimeret af summen af approksimationerne over disse delintervaller, og vi får altså b n f(x) dx h f(x i 1 + h b a ), hvor h = n. () a i=1 Midtpunktsreglen kan tolkes på følgende måde. Funktionen p 0 f(x i 1 + h ) kan opfattes som en nulgradspolynomiumsapproksimation af f. Så er x i x i 1 p 0 dx = hf(x i 1 + h ), og () er altså summen af integralerne over stykkevise nulgradspolynomiumsapproksimationer af f..3 Trapezreglen I samme ånd som ovenfor kan vi finde en førstegradspolynomiumsapproksimation p 1 af f på I i, hvis vi i stedet for midtpunktet f(x i 1 + h ) kender værdierne f(x i 1) og f(x i ) af f i endepunkterne af I n : p 1 (x) = f(x i 1 ) + f(x i 1) f(x i ) x i 1 x i (x x i 1 ) (her fundet vha. Newtons divideret differens-metode med x 0 = x i 1 og x 1 = x i en metode, vi vender tilbage til senere i kurset), som integrerer til xi x i 1 p 1 (x) dx = h (f(x i 1) + f(x i )), hvor h = x i x i 1. Trapezreglen er altså følgende approksimation: b a f(x) dx h n ( f(xi 1 ) + f(x i ) ) = h ( ) n 1 f(a) + f(b) + h f(x i ), (3) i=1 i=1 hvor sidste omskrivning følger af en simpel omorganisering. Det kan vises, at fejlen i denne approksimation er ε t n = b a 1 h f (x I ), (4) for et passende valg af x I I = [a, b], hvor vi understreger, at n et intet har med polynomiumsgraden at gøre, men henviser til antallet af delintervaller I i. Som for polynomiumsinterpolationerne kan vi altså finde øvre og nedre grænser for vores fejl ved at finde maksimum og minimum af f 8
9 på I. Er det af den ene eller anden grund ikke muligt at finde sådanne grænser, kan man, hvis n er et lige tal, benytte følgende formel til at estimere fejlen: ε t n 1 3 (J n t J t n ), hvor Jn t = h ( ) n 1 f(a) + f(b) + h f(x i ). (5) i=1 9
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGrafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer
Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010
Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereLæringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4
Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereRepræsentation af tal
Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg 1 / 18 Mål Målet for disse slides er at beskrive, hvordan tal repræsenteres som bitmønstre i computere. Dette emne er et uddrag af kurset DM548 Computerarkitektur
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereNumeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk
Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereComputerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereOversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs merePeter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.
Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereNumerisk differentiation og integration med Python
Numerisk differentiation og integration med Python En uformel prototype til en tutorial, Karl Bjarnason, maj 2010 Vi vil gerne lave et program som numerisk integrerer og differentierer funktionen f(x)=x
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereFunktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
Læs mere