Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger"

Transkript

1 Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs. for alle a, b, c G gælder a (b c) = (a b) c. 2) Der findes et neutralt element e G, således at for alle a G gælder a e = e a = a. 3) Til ethvert a G findes der et inverst element a 1 G, således at a a 1 = a 1 a = e. Hvis yderligere a b = b a for alle a, b G, kaldes gruppen kommutativ eller abelsk. Sætning (2.1) I en gruppe har divisionsligningerne ax = b ; ya = b hver for sig netop én løsning. Korollar (2.2) I en gruppe gælder forkortningsreglerne ax = ay x = y ; xb = yb x = y. Korollar (2.3) Lad a G være et fastholdt element. Så er afbildningen givet ved x ax en enentydig afbildning af gruppen G på sig selv, G G. Definition: Hvis elementantallet i G er n, kaldes gruppen G endelig af n te orden. HvisG indeholder uendelig mange elementer kaldes gruppen uendelig. Definition: Lad H være en delmængde af en gruppe G, og antag at H er stabil med hensyn til kompositionsreglen i G; såkaldesh en undergruppe i G, hvis den organiserede mængde H er en gruppe. Sætning (2.4) En delmængde H af en gruppe G er en undergruppe, hvis og kun hvis følgende gælder: 1) a, b H medfører ab H. 2) Det neutrale element e G tilhører H. 3) a H medfører a 1 H. Definition: En endelig gruppe G kaldes cyklisk, hvisg indeholder et element a med den egenskab, at et vilkårligt element b G kan skrives b = aa a (p faktorer), eller kort b = a p.elementetasiges at frembringe gruppen. Definition: En gruppe G (endelig eller uendelig) kaldes cyklisk, hvis G indeholder et element a, såatetvilkårligt b G kan skrives som en potens af a.

2 2 Gruppeteori Definition: Ved ordenen af et element a G forstås ordenen af den af a frembragte (under)gruppe. Sætning (2.5) Lad G være en endelig gruppe af orden g, H en undergruppe (i G) aforden h, såerh divisor i g. Korrolar (2.6) Ordenen af ethvert element i en endelig gruppe er divisor i gruppens orden. Sætning (3.1) Mængden S n af permutationer af en endelig mængde (med n elementer) udgør en gruppe, når sammensætning af permutationer tages som kompositionsregel. Gruppen kaldes den symmetriske gruppe af n te grad. Sætning (3.3) Enhver permutation kan (endda på uendelig mange måder) skrives som et produkt af transpositioner. Korollar (3.4) Ethvert element i den symmetriske gruppe S n kanskrivessometproduktaf transpositioner af den specielle form (12), (13), (14),..., (1n). Definition: En permutation a = ( ) 1 2 n i 1 i 2 i S n n (n>2) kaldes lige, hvis den kan skrives som et produkt af et lige antal transpositioner, og ulige ellers. Korollar (3.5) En permutation ( ) 1 2 n a = i 1 i 2 i S n (n>2) n er lige eller ulige eftersom inversionstallet I(i 1,i 2,...,i n ) er lige henholdsvis ulige. Sætning (3.6) Mængden A n af lige permutationer af n>1 elementer er en undergruppe i S n. Definition (4.1): En ækvivalensrelation imængdena er en relation R, som opfylder 3 krav 1) refleksivitet: (a, a) R, 2) symmetri: (a, b) R medfører (b, a) R, 3) transitivitet: (a, b) R og (b, c) R medfører (a, c) R. Sætning (4.2) Til en ækvivalensrelation i A svarer der en klassedeling af A, således at for a, b A gælder a b netop når a og b er i samme klasse.

3 Oversigt 3 Sætning (4.3) Konjugation er en ækvivalensrelation. Sætning (4.4) Elementerne i samme klasse har samme orden. Sætning To permutationer i S n er konjugerede, hvis og kun hvis de er af samme type; antallet af konjugationsklasser i S n er derfor antallet af typer. Sætning (6.2) En undergruppe er normal, når og kun når a H medfører t 1 at H for alle t G. Sætning (6.3) En undergruppe af index 2 er normal. Korollar (6.4) Den alternerende gruppe A n er en invariant undergruppe i den symmetriske gruppe S n. Sætning (6.6) Om to vilkårlige sideklasser Ha og Hb til en invariant undergruppe H i gruppen G gælder HaHb = Hab. Sætning (6.7) Samlingen af sideklasser til en normal undergruppe H i G udgør en gruppe, når den organiseres med multiplikation af delmængder i G som kompositionsregel. Definition (6.8): Gruppen T, hvis elementer er sideklasser til en normal undergruppe H i G kaldes kvotientgruppen af G med hensyn til H eller faktorgruppen af H i G. Den betegnes G H; dens orden er index H. Lad (G, ) og(g, ) være to grupper og f en afbildning af G ind i G. Afbildningen f kaldes en homomorfi, hvis der for alle a, b G gælder, at f(a b) =f(a) f(b). Sætning (7.3) Hvis f er en homomorfi af G ind i G,såermængdenf(G) af billedelementer en undergruppe i G. Sætning (7.4) Hvis f er en homomorfi af G ind i G,ermængden: kerf = {x G f(x) =e } en invariant undergruppe i G. Definition (7.5): En enentydig homomorfi f af en gruppe G på en gruppe G kaldes en isomorfi af G på G,ogtogrupperkaldesisomorfe, hvisder findes en isomorfi af den ene gruppe på den anden; vi skriver G G. Definition (7.6): Hvis f er en homomorfi af gruppen G på gruppen G,så kaldes G en repræsentation af G. Hvis f er en isomorfi af gruppen G på gruppen G,såkaldesG en tro repræsentation af G.

4 4 Gruppeteori Sætning (7.7) (Cayley) Enhver endelig gruppe G af orden n er isomorf med en undergruppe i S n. Sætning (7.8) Enhver cyklisk gruppe af orden n er isomorf med (Z n, + ), den additive restklassegruppe modulo n. Enhver uendelig cyklisk gruppe er isomorf med (Z, +), den additive gruppe af hele tal. Sætning (7.9) Hvis H er en normal undergruppe i en gruppe G, såkang afbildes homomorft på faktorgruppen G H. Omvendt: hvis G = f(g) er det homomorfe billede af G ved homomorfien f, såerg isomorf med faktorgruppen G kerf. Sætning (8.2) En gruppe G er isomorf med det direkte produkt af to af dens undergrupper A og B, når og kun når A og B er invariante undergrupper i G med fællesmængden lig {e} og med AB = G. Korollar (8.3) En gruppe G er direkte produkt A B af to undergrupper A og B, hvis 1) ethvert g G kan skrives g = ab, a A, b B; 2) faktorerne a og b er éntydigt bestemt af g; 3) ethvert a A kommuterer med ethvert b B. Definition (9.1): En repæsentation af nte grad af en gruppe G er en med G homomorf undergruppe G i GL n. Definition (9.2): Ved karakteren χ f af en repræsentation f (G) af gruppen G forstås funktionen χ f (g) defineret på G ved χ f (g) =sporf (g) Sætning (9.3) Konjugerede elementer i en gruppe G har samme karakter; dvs. karakteren afhænger af G s konjugationsklasser. Sætning (9.4) Ækvivalente repræsentationer har samme karakter. Sætning (9.5) Karakteren af den regulære repræsentation er repræsentationens grad på det neutrale element e G, og ellers 0, eller χ F (e) =n, og χ F (g) =0 (g G, g e). Sætning (9.8) Enhver klasse af ækvivalente repræsentationer for en endelig gruppe indeholder (mindst) en unitær repræsentation. Sætning (9.9) Til en vilkårlig endelig undergruppe af matricer A 1, A 2,..., A r i GL n findes

5 S GL n, således at matricerne S 1 A 1 S, S 1 A 2 S,...,S 1 A r S alle er unitære. Sætning (10.4) Hvis en unitær repræsentation D j af grad n lader et egentlig underrum V p (af dimension p>0) ik n invariant, så er repræsentationen reducibel. Sætning (10.6) Hvis en repræsentation D j er reducibel, så findes der en matrix T ce, således at D j T = TD j. Sætning (10.7) Hvis der findes en matrix T ce, således at T kommuterer med hver af matricerne D j ienrepræsentation,så er repræsentationen reducibel. Sætning (10.8) Hvis der findes en matrix T som kommuterer med hver af matricerne D j i en irreducibel repræsentation, såert = ce. Korollar (10.10) En irreducibel repræsentation af en kommutativ gruppe G er af 1. grad. Sætning (11.1) Lad A j og B j være to irreducible repræsentationer af gruppen G af grader henholdsvis n og p, oglady = T x være en lineær afbildning af K n ind i K p. Hvis det om matricerne T, A j og B j gælder, at (11.2) TA j = B j T (j =1, 2,..., r), hvor r er G s orden, så erentent en nulmatrix eller p = n, T regulær og A j og B j ækvivalente. Sætning (11.3) For vilkårlig valg af indices i, j, k, l er (11.4) (11.5) r s=1 r s=1 a (s) ij [b(s) kl ] =0 a (s) ij [a(s) kl ] = r n δ ik δ jl, hvor δ ik og δ jl er Kronecker-symboler. Sætning (11.14) To ikke-ækvivalente, irreducible repræsentationer har forskellige karakterer. Sætning (11.17) For en endelig gruppe G er antallet af ikke-ækvivalente, irreducible repræsentationer lig med antallet af konjugationsklasser.

GRUPPE TEORI. Flemming P. Pedersen. Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen. (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003)

GRUPPE TEORI. Flemming P. Pedersen. Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen. (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003) GRUPPE TEORI Flemming P. Pedersen Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003) Indholdsfortegnelse 1. Indledning 1 2. Gruppebegrebet 1 3. Den symmetriske gruppe

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X]. Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Matematik 2AL, vinteren

Matematik 2AL, vinteren EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

2. Gruppen af primiske restklasser.

2. Gruppen af primiske restklasser. Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative

Læs mere

Facitliste til nyere eksamensopgaver

Facitliste til nyere eksamensopgaver Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,

Læs mere

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Algebra2 Obligatorisk opgave

Algebra2 Obligatorisk opgave Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003 Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

MATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX

MATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX MATEMATIK 3 AL Klassisk Algebra Christian U. Jensen 2004 Typeset by AMS-TEX Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c 2004 Matematisk Afdeling FORORD TIL 1998-UDGAVEN At lære og at tilegne

Læs mere

4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version

4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version 4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G4-2004-version Lad G være en gruppe, og A en undergruppe af automorfigruppen Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G A, (detsemidirekte produkt af G med A).

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version

6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version 6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G6-2004-version Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegner G =[G, G] kommutatorundergruppen i gruppen G. (6A) Lemma: Lad H

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014

Matematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable

Lineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt

Læs mere

Kommutativ algebra, 2005

Kommutativ algebra, 2005 Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Symmetrien i krystaller

Symmetrien i krystaller Symmetrien i krystaller Matematisk krystallografi Speciale 7. juni 2018 Anne-Marie Landbo Institut for Matematiske Fag Skjernvej 4A 9220 Aalborg Ø http://math.aau.dk Titel: Symmetrien i krystaller Synopsis:

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009

Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009 Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009.. what wealth, what a grandeur of thought may spring from what slight beginnings. (H.F. Baker on gruppebegrebet) 1 INDHOLD: 1. Lidt

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Symmetri. - i tapetmønstre

Symmetri. - i tapetmønstre Symmetri - i tapetmønstre MAT 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE G3-114 MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET DEN 23. MAJ 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon 99

Læs mere

Klassiske Grupper. Noter af Jørn B. Olsson

Klassiske Grupper. Noter af Jørn B. Olsson Klassiske Grupper Noter af Jørn B. Olsson 1 INDHOLD: 1. Den generelle lineære gruppe 2. Endelige lineære grupper 3. Ortogonal og symplektisk geometri 4. Symplektiske grupper 5. Ortogonale grupper 6. Unitære

Læs mere

Hyperelliptisk kurve kryptografi

Hyperelliptisk kurve kryptografi Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk

Læs mere

P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.

P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

En gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en

En gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er

Læs mere

Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen

Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen 40 Formidlingsaktivitet Spingrupper og spinrepræsentationer Søren Ladegaard Kristensen Indledning Som en del af kandidatuddannelsen i matematik forlanges det, at den studerende udfører visse formidlingsaktiviteter.

Læs mere

En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008

En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels

Læs mere

Tapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet

Tapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet Tapetmønstre Symmetri i 2 dimensioner 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet G3-112 16. maj 2012 Institut for Matematiske Fag Matematik Fredrik Bajers Vej 7G Telefon 99 40 99 40 http://www.math.aau.dk

Læs mere

Matematik 2 AT,

Matematik 2 AT, Matematik 2 AT, 1970 71 Thøger Bang Algebra og Talteori Suppleret med noter fra Mat 1 AG II og Mat 3, II, 1 0. Afrunding af bekendt fundamental algebra. 1. Fra Mat 1 AG II Algebraens grundbegreber, og

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Endeligdimensionale vektorrum

Endeligdimensionale vektorrum Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Forside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014

Forside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014 Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske

Læs mere

3. Hall undergrupper og komplementer G version

3. Hall undergrupper og komplementer G version 1 3. Hall undergrupper og komplementer G3-2004-version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. Lad altså G være en endelig gruppe. Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvisder

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

d, DIAMETER k OG LILLE DEFEKT

d, DIAMETER k OG LILLE DEFEKT GRAFER MED MAKSIMAL GRAD d, DIAMETER k OG LILLE DEFEKT Speciale skrevet af Anita Abildgaard Sillasen einstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Matematik 3AG Forår Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER. Hans Bjørn Foxby

Matematik 3AG Forår Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER. Hans Bjørn Foxby Matematik 3AG Forår 2003 Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER Hans Bjørn Foxby 0 (A/hA) mp (A/ghA) mp (A/gA) mp 0 2 Mat 3AG I&S 1 Indhold & Stikord Indhold I&S PAK 0. PAK 1. PAK 2. PAK 3. PAK 4. PAK 5.

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

p = d, q = multiplikation med x, dx hvor d T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C

p = d, q = multiplikation med x, dx hvor d T θ har entydig (normaliseret) spor, dvs. en linear afbilding τ : T θ C 1. Den ikke-kommutative verden 1.1. Lidt historie. Historien begynder samtidig med det tyvende århundrede, med opdagelse af de sære egenskaber af mikrokosmos såsom spektra af atomer og molekyler, fotoelektrisk

Læs mere

5 opgaver er korrekt besvarede.

5 opgaver er korrekt besvarede. KØbenhavns universitet N a turvidenskab e lig embeqsek~a!,!len vfnteren,1963-64... ----- MATEMATIK 1. Skriftlig prøve 2, (algebra og geometri).. Alle hjælpemidler er tilladt. En besvarelse betragtes som

Læs mere

Kombinatorik, Partitioner og Repræsentationsteori Kompendium

Kombinatorik, Partitioner og Repræsentationsteori Kompendium Kombinatorik, Partitioner og Repræsentationsteori Kompendium Jørn B. Olsson med tak til Henning Røigaard-Petersen for stor hjælp med første version 202 Dette uformelt skrevne kompendium supplerer bogen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere