Genetiske fuzzy systemer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Genetiske fuzzy systemer"

Transkript

1 Genetiske fuzzy systemer Af: Rune Kappelgaard & Simon W. Olsen Resumé: Fuzzy logic er et stringent logiksystem med et ubegrænset antal sandhedsværdier, der har vist sig at være et effektivt grundlag for systemer, der løser en lang række af praktiske og teoretiske problemer. Genetiske fuzzy systemer anvender optimeringsstrategien, genetiske algoritmer, til at optimere ydelse og konstruktion af fuzzy systemer. Det vil blive vist, hvordan genetiske fuzzy systemer kan indgå i problemløsningen i forbindelse med et konstrueret styringsproblem. Til sidst vil effektiviteten blive forbedret ved at bruge implicit ekspertviden i form af eksempeldata. Acc Pos Vel

2 Indholdsfortegnelse: Genetiske fuzzy systemer... Introduktion.... Forfatternes motivation....2 Formål....3 Specialets bidrag Læsevejledning Sprogbrug og konventioner Forkortelser Anvendte programmer Fuzzy logic Klassisk logik Logikkens udvikling Udviklingen af multi-værdi logiksystemer Formel beskrivelse af Fuzzy logic Fuzzy set theory Fuzzy logic Logiske slutninger i fuzzy logic Anvendelser af fuzzy logic Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic Grundlæggende regelstruktur Fuzzy mængdespecifikation Af-fuzzyficering Skalering af input og output data Eksempel på evaluering i et fuzzy system Fuzzy Logic opsummeret Konklusion Genetiske algoritmer Introduktion til genetiske algoritmer Indkodning af individer Binær repræsentation Parametervis repræsentation Valget af indkodning: Genetiske Operationer Generelle i forhold til Specialiserede operationer Rekombination Mutation Krav til de genetiske operationer Side 2 af 5

3 3.4 Populations strategi Initial population Populationens størrelse Konstruktion af nye populationer Tilføjelse af tilfældigt genererede individer Udvælgelse Udvælgelse på score Udvælgelse på rang Turneringsudvælgelse Ligefordelt udvælgelse Beskyttelse af individer Konklusion Genetic fuzzy systems Evaluering af kandidatsystemer Evaluering af ufuldstændige løsninger Ikke-konstant vægtning af kriterier Metoder til kombination af genetiske algoritmer og fuzzy systemer Michigan metoden, Individ repræsenterer en enkelt regel Pittsburgh metoden, Individ repræsenterer komplet fuzzy system Iterative Rule Learning Indkodning af individer Indkodning af fuzzy mængder Indkodning af parametre til skaleringsfunktioner Indkodning af individuelle Regler Indkodning af komplette regeldatabaser Genetiske operatorer Rekombination Mutation Populationsstrategi Initialisering af GFS Konklusion Opbygning af eksempelsystem Simulator Genstande som bruges i simulator Simulation af objekter Parametre til styringssystemerne Bruger styring Opbygning af det Genetiske Fuzzy system Evaluering af kandidatsystemer Populationsstrategi Indkodning Rekombination Mutation Fuzzy Designvalg Mulige udvidelser...72 Side 3 af 5

4 6 Resultater af optimeringen Løsning af optimeringsproblemet Afhængighed af populationsparametre Konklusion Tilfredsstillelse af designkriterier Afhængighed af atomare hhv. ikke-atomare genetiske operationer Regler Sæt Regler & Sæt Konklusion Visualisering af styringsfunktioner og effekten af optimeringen Introduktion til graf-repræsentation Genetisk udvikling af kontrol system System efter genetisk optimering Konklusion Metoder til opbygning af FC ud fra eksempel data Motivation Gennemførlighed af gendannelse Praktiske begrænsninger på nøjagtigheden af konstruerede FC Undersøgelse af kvaliteten af en løsning Vurdering af score Undersøgelse af konvergenshastighed Beregning af afvigelse fra eksempeldata Valg af kvalitetsmål Regelanalyse ved hjælp af sætdefinerede domæner Analyse af regler ud fra kort Analyse af regler ud fra trace Antal regler Dannelse af sæt Klyngeanalyse Klyngealgoritmer Identifikation af regler ved klyngeanalyse Bestemmelse af antal klynger Alternative klyngeopdelinger Bestemmelse af sæt ved klyngeanalyse Genetisk Gendannelse Analyse af gendannelser Regelanalyse ved hjælp af sætdefinerede domæner Eksempler på gendannelser Indledende test Test med indsamlede eksempeldata Observationer fra forsøgene Side 4 af 5

5 8.2 Klyngeanalyse Eksempler på gendannelse Indledende test Test med indsamlede eksempeldata Observationer fra forsøgene Genetisk gendannelse Eksempler på gendannelser Indledende test Test med indsamlede eksempeldata Observationer fra forsøgene Konklusion Konklusion Appendiks...I. Gennemgang af testbaner... I.. Testbaner... I..2 Korrektions baner...ii.2 Data... III.2. Billedmatetriale til K-means undersøgelse... III.2.2 Fuzzy sæt brugt i speciale...v.2.3 Atomar analyse Data... XVI.3 Artikler / Litteratur / Referencer...XIX.3. Genetic Fuzzy Systems... XIX.3.2 Inverted Pendulum Java simulator... XIX.3.3 Sidebar: The history of fuzzy logic... XIX.3.4 Fuzzy Logic for Beginners... XIX.3.5 Pattern Recognition Lecture Notes... XIX.3.6 Evolutionary Algorithms for Fuzzy Control System Design... XIX.3.7 T-norm... XIX.3.8 Fuzzy Sets... XIX.3.9 Applications of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant...xx.3. Applied Fuzzy Systems...XX.3. Ten Years of Genetic Fuzzy Systems Current Framework and New Trends...XX.3.2 Learning the structure of a fuzzy rule: a genetic approach...xx.3.3 An Introduction To Fuzzy Control Systems...XX.3.4 Membership function shape and the dynamical behavior of a fuzzy stystem...xx.3.5 A fuzziness measure for fuzzy numbers: applications...xx.3.6 Sidebar: Seven Truths of Fuzzy Logic...XX.3.7 Alternatives to the k-means algorithm... XXI.3.8 Demonstration of unmanned helicopter with fuzzy control.htm... XXI.3.9 Automatic Train Operation System by Predictive Fuzzy Control, Industrial Applications of Fuzzy Control... XXI.3.2 Ernst Hansen, Notat 4, Integrationsteori... XXI.3.2 Soft Computing... XXI Side 5 af 5

6 . Forfatternes motivation Introduktion Følgende speciale er skrevet i forbindelse med kandidatuddannelsen på datalogistudiet ved Datalogisk Institut, Københavns Universitet (DIKU). Specialet omhandler genetiske fuzzy systemer (GFS), dels gennem teori og dels gennem implementering. Fuzzy systemer er baseret på det logiksystem, hvis grundlag blev skabt i 965 af prof. L. A. Zadeh. Fuzzy logic, som dette logiksystem kaldes, er et stringent logiksystem med et ubegrænset antal sandhedsværdier, der har vist sig at være et effektivt grundlag for systemer, der løser en lang række af praktiske og teoretiske problemer. Genetiske fuzzy systemer anvender optimeringsstrategien, genetiske algoritmer, til konstruktion og optimering af fuzzy systemer. Fuzzy systemer og genetiske algoritmer tilhører den klasse af strategier og metoder, der kaldes Soft Computing.. Forfatternes motivation På trods af de klare fordele, som fuzzy systemer stiller til rådighed, har de praktiske anvendelser af fuzzy logic (FL) gennem længere tid været relativt begrænsede. Denne udvikling er så småt ved at vende, hvor der i dag kan nævnes adskillige eksempler på systemer, der benytter fuzzy logic til løsning af problemer. Imidlertid betragtes fuzzy logic, samt mange af de øvrige metoder tilhørende klassen Soft Computing, stadig med en vis skepsis. Gennem denne fremstilling af FL og GFS ønsker vi, at vores læsere vil opnå et nuanceret billede af disse metoder. Endvidere er det vores håb, at dette speciale vil tjene som inspiration til at anvende FL til løsning af konkrete problemer..2 Formål Dette speciales primære formål er at fremhæve styrkerne ved FL i almindelighed, og i særdeleshed genetiske fuzzy systemer, som en metode til at konstruere optimerede fuzzy systemer. Dette udmønter sig i følgende specifikke formål:. At give en sammenhængende og tilgængelig introduktion til teorien bag FL og genetiske fuzzy systemer samt til de praktiske beslutninger, der skal tages stilling til under konstruktion og design af genetiske fuzzy systemer. 2. At give en vejledning i, hvordan genetiske fuzzy systemer kan indgå i problemløsningen i forbindelse med et konstrueret styringsproblem. Herunder designes, implementeres og afprøves et komplet genetisk system til optimering og konstruktion af fuzzy systemer. Denne vejledning kan tjene som inspiration til andre, der ønsker at anvende genetiske fuzzy systemer til løsning af andre problemer. 3. At designe og teste metoder til at forbedre effektiviteten af genetiske fuzzy systemer ved at bruge implicit ekspertviden i form af eksempeldata. Et af målene med denne opgave er at illustrere, hvordan menneskelig erfaring og ekspertviden om et styringsproblem kan omsættes til en fuzzy controller (FC), der kan bruges som udgangspunkt for den genetiske optimering. Side af 39

7 .3 Specialets bidrag.3 Specialets bidrag Specialets bidrag ses som værende dels en vejledning, der kan inspirere andre til at anvende FL på andre problemstillinger, og dels som den beskrivelse og aftestning af de tre metoder til at konstruere fuzzy systemer fra eksempeldata, der beskriver den implicitte ekspertviden..4 Læsevejledning Kapitlerne har en vis gruppering, der kan være gavnlig for læseren at tage i betragtning. Kapitlerne 2, 3 og 4 beskriver FL, genetiske algoritmer (GA) og genetiske fuzzy systemer ud fra et teoretisk perspektiv. Disse kapitler kan betragtes som værende primært tilknyttet specialets formål. Læsere med indgående kendskab til begreberne introduceret i disse kapitler, kan evt. springe disse kapitler over. Kapitlerne 5 og 6 introducerer styringsproblemet, designet af det genetiske system og resultaterne fra kørsler af systemet. Disse kapitler har en mere praktisk karakter, og er knyttet til specialets formål 2. Kapitlerne 7 og 8 beskæftiger sig med specialets formål 3, design og afprøvning af metoder til konstruktion af fuzzy systemer fra eksempeldata. Kapitel 2: I dette kapitel beskrives FL, og der gives et perspektiv af hvordan fuzzy logic udvider den klassiske logik. Der gives eksempler på anvendelser af FL, og vises et samlet eksempel på, hvordan FL anvendes til løsning af et styringsproblem. Kapitel 3: I dette kapitel gives en introduktion til optimeringsmetoden genetiske algoritmer. Kapitlet udgør ikke en udtømmende beskrivelse, men en beskrivelse der er tilstrækkelig til at forstå principperne i genetiske algoritmer for de læsere, der ikke i forvejen har kendskab til denne metode. Kapitel 4: Kapitlet giver en introduktion til genetiske fuzzy systemer, hvori der redegøres for de traditionelle metoder til at anvende genetiske algoritmer i optimering af fuzzy systemer, samt de fleste af de væsentligste praktiske problemer, der mødes i forbindelse hermed. Kapitel 5: I dette kapitel introduceres det simulationsproblem, der vil danne rammen om den efterfølgende implementering af et genetisk fuzzy system og optimering af fuzzy systemer. Dernæst følger en beskrivelse af designet i dette genetiske system. Kapitel 6: I dette kapitel præsenteres data fra kørsler af det implementerede genetiske system. Der vil blive taget stilling til, om systemet rent faktisk løser den opgave, som det var konstrueret til at løse, optimering af fuzzy systemer til løsning af styringsproblemet. I kapitlet vil desuden blive behandlet forskellige resultater fra kørsler af systemer, hvori specifikke designvalg undersøges og valideres. Kapitlet afsluttes med en introduktion til grafiske metoder til at overskue fuzzy systemer og den effekt, som optimeringen har på deres styringsfunktioner. Kapitel 7: I dette kapitel beskrives designet af tre metoder, til at konstruere fuzzy styringssystemer fra eksempeldata. Eksempeldata er i denne sammenhæng data, der illustrerer, hvordan styringsproblemer gennemføres i praksis. Side 2 af 39

8 .5 Sprogbrug og konventioner Kapitel 8: I dette kapitel testes og vurderes de tre metoder beskrevet i det foregående kapitel. Herunder foretages en vurdering af, i hvor høj grad metoderne opfylder deres formål, at forkorte den tid der anvendes på konstruktion af optimerede fuzzy systemer. Kapitel 9: Konklusionen. Kapitel : Dette kapitel er et appendiks, der indeholder litteraturhenvisninger, samt visse eksperimentelle data og grafisk materiale..5 Sprogbrug og konventioner Der vil så vidt muligt blive brugt danske navne og betegnelser i forbindelse med denne tekst. Engelske gloser har været anvendt i situationer, hvor der enten ikke findes dækkende danske oversættelser, hvilket særligt gælder for ordet fuzzy, eller i situationer, hvor den engelske betegnelse opfattes mere som en navngivning, som eksempelvis Iterative Rule Learning. Enkelte steder vil engelske termer bruges, hvor der vurderes at dette gør det lettere at sammenholde denne tekst med den anvendte litteratur, hvilket efter vores vurdering må foretrækkes. I tilfælde hvor almindelige ord bliver brugt i en atypisk sammenhæng, som eksempelvis og til at repræsentere et logisk princip, vil disse ord fremhæves med kursiv, for at lette læsningen. Henvisninger til litteraturen vil skrives som [label], hvor label er en forkortet beskrivelse af referencens titel eller indhold. Denne label er listet før referencens detaljer i litteraturlisten..5. Forkortelser FC Fuzzy Controller FL Fuzzy Logic FRBS Fuzzy Rule Based System GFS Genetic Fuzzy System GFRBS Genetic Fuzzy Rule Based System.6 Anvendte programmer I forbindelse med dette speciale har der til fremstilling af figurerne været brugt gnuplot 4., MatLab v. 6.5, Microsoft PowerPoint 23 og Excel 23. De forskellige programmer giver en noget forskellig visuel stil ved figurerne, men fordele ved at benytte det program, der var bedst til at håndtere bestemte typer af data, vurderedes at opveje den ulempe, at figurerne ikke er fuldstændigt ensartede i stil. I forbindelse med implementeringen er der anvendt Microsoft Visual Studio v. 6.. Alle de øvrigt anvendte programmer i dette speciale er udviklet i dette miljø. Der er ikke anvendt nogen særlige programbiblioteker, foruden de standardbiblioteker, der er indbygget i Visual Studio. Kildekoden til de udviklede programmer vil blive gjort tilgængelig gennem DIKU s samling af specialer. Side 3 af 39

9 .6 Anvendte programmer Tak til Først og fremmest vil vi gerne give en stor tak til prof. Peter Johansen for fremragende vejledning, og for at stille de rigtige spørgsmål på de rigtige tidspunkter. Yderligere vil vi også gerne takke Frank Hoffmann, dels for at have inspireret os til at studere fuzzy systemer, og dels for at foreslå metoden med at bruge eksempeldata til at forbedre effektiviteten af genetiske fuzzy systemer. Vi vil også gerne takke familie og venner for både deres hjælp og støtte i forbindelse med skrivningen af dette speciale, og for deres bidrag som forsøgspersoner for forsøgene i kapitel 8. Side 4 af 39

10 2. Klassisk logik 2 Fuzzy logic I dette kapitel gives en generel beskrivelse af, hvad fuzzy logic (fremover betegnet som FL) er, samt en beskrivelse af beslutningsprocessen i et system baseret på FL. Formålet er at give læseren en introduktion til FL, give et overblik over hvilke designvalg, der indgår i konstruktionen af et system baseret på FL, samt give et indblik i de parametre, der optimeres i optimeringsfasen af et genetisk fuzzy system. FL er et logiksystem, der kan opfattes som en udvidelse af den klassiske logik. Derfor startes med en beskrivelse af den klassiske logik, med det formål at vise på hvilke områder, FL er parallelt til den klassiske logik, og på hvilke områder FL adskiller sig fra den klassiske logik. Desuden gives en kort beskrivelse af den udvikling, som den klassiske logik har gennemgået frem til introduktionen af FL. Medmindre andet nævnes bygger dette kapitel på [Genetic Fuzzy Systems] og [Soft Computing]. 2. Klassisk logik Den klassiske logik har siden sin oprindelse været den ramme, der har været anvendt til formalisering af stringent ordnet tankegang og argumentation, samt til at uddrage viden gennem logiske slutninger. I dette logiksystem kan sandhedsværdien af et udtryk altid klassificeres som enten sand eller falsk, typisk repræsenteret ved hhv. de numeriske værdier og. Den klassiske logik følger den regel, der kaldes loven om den ekskluderede midte ( law of the excluded middle ), der fastslår at enten er udtryk A sandt, eller også er A s komplementære udtryk A (non A) sandt, eller sagt på en anden måde; hvis ikke udtryk A er sandt, da må A nødvendigvis være falsk. I den klassiske logik anvendes de velkendte logiske operationer som f.eks. logisk og, eller og negation (ofte skrevet med deres engelske betegnelser hhv. AND, OR og NOT, eller med symbolerne, og ) til at skabe logiske konstruktioner ud fra grundudtryk. Sandhedsværdien af det aggregerede udtryk afhænger af sandhedsværdien af de indeholdte deludtryk i henhold til figur 2.. A B A B A B A A => B A <=> B S S S S F S S S F F S F F F F S F S S S F F F F F S S S Figur 2-: Sandhedstabel for almindelige logiske operatorer. A og B er to udtryk og S og F står for sandhedsværdierne sand og falsk. Formelt set er det den regel, der kaldes bivalens princippet, der siger, at et udtryk altid er enten sandt eller falsk. Dette er ikke helt det samme som den faktiske formulering af loven om den ekskluderede midte, der siger, at udtrykket (A A) altid er sandt. Inden for rammerne af den klassiske logik følger loven om den ekskluderede midte imidlertid af bivalens princippet, og fortolkningen af de to regler er stort set den samme. Årsagen til at det oftest er loven om den ekskluderede midte, der citeres for at sikre entydighed af sandhedsværdien, er formentlig den klare fortolkning af denne regel: Der eksisterer intet mellem A og A. Side 5 af 39

11 2. Klassisk logik Implikationer af formen A medfører B, oftest skrevet som A => B eller IF A THEN B, hvor A og B er to udtryk, anvendes til at sammenkæde sandhedsværdierne af betingelsen A og konsekvensen B, og udtrykker derved, at B er en logisk følge af A. Implikationen er i sig selv et logisk udtryk og kan enten være sand eller falsk (se Figur 2-), men oftest vil sandheden af implikationen enten være antaget eller bevist ved, at udtryk B kan frembringes ud fra udtryk A ved at udføre aksiomatiske eller tidligere beviste operationer på udtryk A. Implikationer, hvis sandhedsværdi er fastslået, kan bruges til at foretage logiske slutninger, der kan etablere sandhedsværdien af enten udtryk A eller B, ved at bruge en af to regler for logiske slutninger, modus ponens eller modus tollens. Modus Ponens A => B A Modus Tollens A => B B Derfor B Derfor A Figur 2-2: Logiske slutninger med Modus Ponens og Modus Tollens Hvis implikationen A => B antages at være sand, er der to situationer, der tillader at drage en logisk slutning; hvis A er sand, gælder at B er sand (modus ponens), eller hvis B er falsk, gælder at A er falsk (modus tollens). Biimplikation, der oftest skrives med symbolet <=>, bruges til at angive at to udtryk er logisk ækvivalente, dvs. det ene udtryk er sandt, hvis og kun hvis, det andet udtryk er sandt. Visse udtryk anses for universelt enten sande eller falske, som f.eks. udtrykket Tallet 7 er et primtal, hvorimod andre udtaler sig generelt om elementerne i en samling og kan være enten sande eller falske afhængig af hvilket element, der er under betragtning, som eksempelvis udtrykket Hvis tallet x er deleligt med 2 => så er x et lige tal. Denne sidste type udtryk synliggør en parallelitet mellem den klassiske logik og den klassiske mængdelære. For et udtryk A, der enten er sandt eller falsk for elementerne i mængden X, kan opstilles en mængde M A = {x X A(x) er sandt} der repræsenterer udtryk A. På denne måde vil indikatorfunktionen for M A til ethvert element i X give det numeriske udtryk for sandhedsværdien af A for det givne element. Desuden giver denne fremstilling af udtryk A som en mængde, en måde at udtrykke logiske operationer på udtryk ved hjælp af mængdeoperationer: M A B = M A M B M A B = M A M B M A = M A C Denne parallelitet er fremhævet for at illustrere, at sammenhængen mellem FL og fuzzy set theory er analog til sammenhængen mellem den klassiske logik og den klassiske mængdelære. Desuden ønskes at vise, at de logiske operationer i FL er konstrueret, således at den klassiske logik er et specialtilfælde af FL. Side 6 af 39

12 2. Klassisk logik 2.. Logikkens udvikling Flere kulturer, f.eks. kinesisk og indisk, har udviklet systemer til formalisering af stringent tankegang og argumentation, men det logiksystem, der i dag kaldes den klassiske logik, stammer fra den tradition, der begyndte i Grækenland. Den kendte græske videnskabsmand og filosof Aristoteles (384 f. Kr. til 322 f. Kr.) var en af dem, der har haft stor betydning for den tidlige udvikling af den klassiske logik. Aristoteles formaliserede de tidligere traditioner for logik til et logiksystem med netop to sandhedsværdier, og det er Aristoteles der tilskrives den formulering af loven om den ekskluderede midte, som den kendes i dag 2. Den klassiske logik har imidlertid gennemgået mange ændringer siden det system Aristoteles skabte, for at nå den form der kendes i dag. Nogle af de historiske personer, der har bidraget til den klassiske logiks udvikling gennem tiden, er blandt andre den franske filosof og matematiker René Descartes (596-65), den tyske matematiker Gottfried Leibniz (646-76) og den engelske matematiker George Boole (85-864). Descartes var den første, der introducerede ideen om en matematisk formulering af logik ved brug af symboler og operatorer og introducerede ideen om at bruge matematiske metoder til løsning af ligningssystemer i forbindelse systemer af logiske udtryk. Leibniz var blandt dem, der tog ideen om den matematiske formulering af logik til sig, og havde stor betydning for videreudvikling af Descartes ide. Det var desuden Leibniz der stringent definerede egenskaberne ved de logiske principper konjunktion, disjunktion og negation, hhv. de logiske operatorer AND, OR og NOT, sådan som de kendes i dag. Boole udvidede måderne hvorpå logiske systemer blev anskuet, ved at vise, hvordan essensen i de logiske operationer (AND, OR og NOT) kunne repræsenteres i et gitter 3 over mængden {,}. Ved at bruge denne algebraiske struktur, kaldet den booleske algebra, til repræsentation af komplicerede logiske systemer, kan problemet med at finde sandhedsværdien af systemet, givet sandhedsværdien af systemets betingelser, simplificeres til et beregningsmæssigt problem. Den booleske algebra har været en vigtig årsag til, at logik studeres inden for såvel datalogi, matematik som filosofi, og har dannet grundlaget for de operationer, der foretages af de logiske kredsløb, som stort set alle elektroniske komponenter er bygget af. + OR F S AND F S F F S F F F S S S S F S Figur 2-3: Sammenligning mellem + og i den booleske algebra og de logiske operationer OR og AND. NOT kan beregnes ved udtrykket -x, hvor x repræsenterer sandhedsværdien af et udtryk. 2 Logiksystemer med netop 2 sandhedsværdier kaldes derfor også for aristoteliske, hvor ikke-aristoteliske logiksystemer refererer til gruppen af logiksystemer med flere end 2 sandhedsværdier. 3 Et gitter er en algebraisk struktur (M,, ), hvor M er en mængde af elementer, og & er to binære operatorer, : M M M og : M M M. De to operationer er begge kommutative og associative. Side 7 af 39

13 2. Klassisk logik 2..2 Udviklingen af multi-værdi logiksystemer Gennem udviklingen af den klassiske logik har der været flere eksempler på, hvordan sandhedsværdien af et udtryk synes vanskelig at definere entydigt som enten sand eller falsk, eller hvor enhver entydig definition vil synes meningsløs eller i strid med almindelig sund fornuft. To af de mere kendte eksempler herpå er definitionen på skaldethed og Sorites paradokset. Hvis en person defineres som skaldet, hvis personen ikke har nogen hår på hovedet, må følgende udsagn være falsk; Person A er skaldet, hvis person A har hår på hovedet, hvilket synes at være i strid med den normale opfattelse af situationen. Sorites paradokset stammer fra Grækenland og referer til 4 egenskaber, en bunke sand ifølge almindelig fornuft har:. Et, to eller tre sandkorn udgør ikke en sandbunke 2. En million sandkorn udgør en sandbunke 3. Hvis n sandkorn ikke er en bunke, så er n+ sandkorn det heller ikke 4. Hvis n sandkorn er en bunke, så vil n- sandkorn også være en bunke Hvis den 3. egenskab anvendes iterativt på den første egenskab, opnås konklusionen, at en million sandkorn ikke udgør en sandbunke, i modstrid med den 2. egenskab, og omvendt, hvis den 4. egenskab anvendes iterativt på den 2. egenskab bliver konklusionen at ét sandkorn udgør en bunke. Der eksisterer altså en klar modstrid mellem betingelserne, der gør at enhver samling af sandkorn både kan klassificeres som en bunke sand og ikke en bunke sand. Problemer med entydigheden af sandhedsværdien har været kendt og studeret siden den klassiske logiks oprindelse. I en af Aristoteles egne tekster udtrykte han, at det ikke for alle udtryk var nødvendigt at enten udtrykket selv eller dets negation var sandt og det andet falsk, hvor han specielt henviste til fremtidige hændelser. Platon, der havde været Aristoteles læremester, udtrykte en mere direkte tvivl om en skarp opdeling af sandhed i sand og falsk ved at antyde, at der måtte eksistere et tredje område ud over sand og falsk. Alligevel var det først i begyndelsen af det 2. århundrede, at der blev formaliseret et stringent logiksystem med flere end to sandhedsværdier. Årsager til, at disse problemer ikke tidligere har givet anledning til modificering af den klassiske logik, er at problemerne oftest opstår i situationer, hvor der enten mangler viden om vigtige faktorer for at kunne afgøre sandhedsværdien, eller, som i de to eksempler ovenfor, hvor et af de begreber, der indgår i udtrykket, er vagt eller uklart defineret, som eksempelvis en bunke sand eller skaldethed. Selvom skaldethed synes at have en klar definition, inkluderer den menneskelige fortolkning af begrebet en vis uklarhed. Derfor er disse eksempler oftest ikke blevet opfattet som eksempler på begrænsninger i den klassiske logik, men mere som eksempler på situationer eller begreber, der står udenfor en stringent logisk definition. Det første formelle logiksystem med flere end to sandhedsværdier blev skabt i 92 af den polske matematiker Jan Lukasiewicz, der skabte et logiksystem med 3 sandhedsværdier, idet han introducerede en tredje værdi, mulig, i et forsøg på at skabe en Side 8 af 39

14 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic ramme hvori de logiske systemer, hvis sandhedsværdi ikke kunne klassificeres entydigt, kunne studeres. Det viste sig imidlertid, at den tredje sandhedsværdi ikke i særlig grad hjalp med at kaste lys over ovenstående problemstillinger. I 932 definerede logikeren og matematikeren Kurt Gödel en familie af logiksystemer G m, hvis sandhedsværdier er repræsenteret som tal i mængderne: W m = { k/(m-) k m- } W = { x x } = [ ; ] På denne måde kan systemet udtrykke varierende grader af sandhed af et givent udtryk fra fuldstændigt falsk til fuldstændigt sandt. Specialtilfældet G defineret over mængden W har et ubegrænset antal sandhedsværdier, hvilket medfører, at der mellem to vilkårlige sandhedsværdier, t og t 2 hvor t t 2, altid eksisterer et uendeligt antal sandhedsværdier. Ligesom Lukasiewicz system blev Gödels system hovedsageligt brugt som rammen for at undersøge specifikke logiske problemstillinger. I den offentlige bevidsthed er disse systemer nok mere opfattet som værktøjer til teoretiske studier af logik end som selvstændigt anvendelige logiksystemer. FL blev introduceret i 973 og er, ligesom Gödels G et system med et ubegrænset antal sandhedsværdier, men i modsætning til tidligere systemer er FL et system, der har fundet stor tilslutning verden over som et praktisk anvendeligt logiksystem. 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic Som nævnt er FL et logiksystem med et ubegrænset antal af sandhedsværdier. Grundlaget til FL blev skabt, da professor Lotfi A. Zadeh ved Berkeley universitetet i 965 udgav sin opsigtsvækkende artikel [Fuzzy Sets] hvori han introducerede begrebet fuzzy mængder. I 973 udgav prof. Zadeh en artikel, hvori han viste, hvordan fuzzy set theory kunne danne grundlaget for et logiksystem Fuzzy set theory Fuzzy set theory er en udvidelse af den klassiske mængdelære, der tillader ufuldstændigt medlemskab af en mængde. I den klassiske mængdelære gælder der for enhver mængde A defineret i et univers U, at for ethvert element x U, vil enten x A eller også vil x A c. Udtrykkene x A og x A c kan ikke begge være sande på samme tid, og kan heller ikke begge være falske. Dette er analogt til loven om den ekskluderede midte for den klassiske logik. Tilhørsforhold til en given mængde udtrykkes ofte numerisk gennem den såkaldte indikatorfunktion: hvis x A A (x) = { ellers En mængde kan derved opfattes som defineret ud fra sin indikatorfunktion. Side 9 af 39

15 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic For en fuzzy mængde, F, defineres en såkaldt medlemskabsfunktion µ F : U [ ; ], der til ethvert element i universet U knytter et tal, der udtrykker, i hvor høj grad elementet er en del af mængden F, således at hvis µ F (x ) < µ F (x 2 ), har elementet x 2 et større tilhørsforhold til F end x. En fuzzy mængde er fuldstændigt givet ud fra sin medlemskabsfunktion på samme måde som en klassisk mængde er givet ud fra sin indikatorfunktion. Den klassiske mængdedefinition kan opfattes som et specialtilfælde af fuzzy mængder. Hvis x U: µ A (x) {, }, for en given fuzzy mængde A, ses at medlemskabsfunktionen, µ A, er ækvivalent med indikatorfunktionen A, for en klassisk mængde. Figur 2-4: 2 Tv. 2 eksempler på fuzzy medlemskabsfunktioner og th. normale indikatorfunktioner. Denne udvidelse af mængdebegrebet synes at bryde med den klare definition af, hvad en mængde er, men gør det muligt at udtrykke visse begreber på en intuitiv måde, samt kvantificere begreber, der ikke let kan kvantificeres med den klassiske mængdelære, f.eks. subjektiv viden eller almindelig sund fornuft som megen menneskelig viden består af. Som eksempel herpå kan nævnes det før omtalte Sorites paradoks (se 2..2), hvor de 4 egenskaber, som en sandbunke ifølge menneskelig opfattelse af begrebet synes at have, leder til en modstrid i den klassiske logik. Denne inkonsistens kan let løses ved brug af fuzzy set theory, idet der kan defineres en fuzzy mængde, der beskriver, i hvor høj grad en samling af sandkorn udgør en sandbunke, ud fra hvor mange sandkorn den indeholder., Figur 2-5: Eksempeldefinition af begrebet Bunke, samt evaluering af i hvor høj grad en bunke med 5. sandkorn tilhører mængden af sandbunker. Side af 39

16 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic Ud fra denne definition af en sandbunke ses, at en samling bestående af 5. sandkorn tilhører mængden af sandbunker med en grad på,5. Dette vil samtidig sige at samlingen, med en tilsvarende grad på,5, ikke tilhører mængden. Det ses altså med denne definition, at enhver samling af sandkorn, i større eller mindre grad, både kan opfattes som en sandbunke og som ikke en sandbunke. Denne måde at definere begrebet en sandbunke synes at stemme bedre overens med den normale opfattelse af begrebet. Desuden synes denne definition at afspejle den måde, hvorpå modstriden i den klassiske logik kom til udtryk, nemlig at enhver samling af sand kunne klassificeres som både en bunke og som ikke en bunke. De klassiske mængdeoperationer, foreningsmængde, fællesmænge og komplementærmængde kan også defineres for fuzzy mængder. Der er adskillige muligheder i måden at definere disse operationer, men for at sikre en passende overensstemmelse med den klassiske mængdelæres definitioner af operationerne, anvendes der en t-norm til konjunktion og en t-conorm til disjunktion 4. De hyppigst anvendte definitioner ser ud som følger: Konjunktion: x U: µ F G (x) = min (µ F (x), µ G (x) ) Disjunktion: x U: µ F G (x) = max (µ F (x), µ G (x) ) Negation: x U: µ CF (x) = - µ F (x) Hvor F og G er fuzzy mængder, og CF betegner komplementærmængden til F. Bemærk at disse definitioner af mængdeoperationerne indeholder mængdeoperationerne for klassiske mængder som et specialtilfælde. Hvis F og G således er klassiske mængder, og µ F (x) og µ G (x) derved er indikatorfunktioner, vil disse definitioner af mængdeoperationerne være ækvivalente med den klassiske mængdelæres definition. En anden vigtig egenskab ved FL frem for normal logik er muligheden for at foretage glidende overgange mellem medlemskab og ikke-medlemskab. Sandbunke eksemplet viser tydeligt problemet i den klassiske logik. Hvis en bunke af sand defineres som bestående af mindst. sandkorn, så vil der være situationer hvor et enkelt sandkorn til eller fra kan være afgørende for, om sandet regnes for en bunke eller ej. Denne egenskab er med til at gøre FL mere stabilt overfor målefejl i data Fuzzy logic Afsnit 2. beskrev en parallelitet mellem den klassiske logik og den klassiske mængdelære. På samme måde som fuzzy set theory udvider den klassiske mængdedefinition til at inkludere frit varierende grader af tilhørsforhold, udvider FL den klassiske logik til at omfatte frit varierende grader af sandhed. I FL er sandhedsværdien af ethvert fuzzy udtryk angivet som et reelt tal mellem og, der angiver den relative grad hvormed udtrykket er opfyldt. Hvis sandhedsværdien µ A af udtryk A er større end sandhedsværdien µ B af udtryk B, anses udtryk A for at indeholde 4 En t-norm er en funktion t : [ ; ] x [ ; ] [ ; ], der opfylder følgende betingelser: Kommutativ: t(a, b) = t(b, a) Monoton: t(a, b) t(c, d) hvor a c og b d Associativ: t(a, t(b, c)) = t( t(a, b), c) Desuden gælder der for t at t(a, ) = og t(a, ) = a. En t-conorm opfylder de samme betingelser som en t- norm, men har følgende identitetsbetingelser: t(a, ) = a og t(a, ) =. Side af 39

17 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic en højere grad af sandhed. I eksemplet fra afsnit 2..2, med definitionen på skaldethed, tildeles en højere sandhedsværdi til udtrykket person A er skaldet hvis person A har hår på hovedet end hvis person A har hår på hovedet. Hvis en mængde U betragtes, og der for hvert element x i mængden tildeles en sandhedsværdi, der repræsenterer elementets overensstemmelse med det fuzzy udtryk F, ses det at dette er ækvivalent med at definere et fuzzy sæt over mængden U. Af denne grund er fuzzy udtryk oftest angivet direkte som en definition af et fuzzy sæt, da det giver en enkel ramme til at arbejde med udtrykkene. Ligesom de klassiske logiske operationer kan repræsenteres med mængdeoperationer på de tilsvarende klassiske mængder, kan logiske operationer på fuzzy udtryk også repræsenteres ved tilsvarende mængdeoperationer på de tilhørende fuzzy mængder. Hvis A og B er to fuzzy udtryk, og F og G er to fuzzy mængder, der definerer hhv. A og B s sandhedsværdier inden for universitet U, fås følgende definitioner: Konjunktion: x U: t A B (x) = µ F G (x) Disjunktion: x U: t A B (x) = µ F G (x) Negation: x U: t A (x) = µ CF (x) Hvor f.eks. t A B (x) angiver den grad af sandhed udtrykket A B har for elementet x. Som nævnt, giver fuzzy mængder en måde at udtrykke begreber, som ikke ville kunne udtrykkes med klassiske mængdedefinitioner, og på tilsvarende måde giver FL en måde at tildele en sandhedsværdi til udtryk, der ikke kunne tildeles en klar sandhedsværdi i den klassiske logik. En vigtig årsag til anvendeligheden af disse approksimative sandhedsværdier er imidlertid, at FL giver en måde at foretage logiske slutninger på baggrund af disse sandhedsværdier Logiske slutninger i fuzzy logic En vigtig grund til, at FL har fundet stor praktisk anvendelse, er, at FL giver mulighed for at foretage logiske slutninger på baggrund af implikationer mellem fuzzy udtryk. Implikationer i FL kaldes oftest for regler og skrives oftest som IF A THEN B, hvor A og B er to fuzzy udtryk. Lad for eksempel A være udtrykket Det regner og B være udtrykket Gaden er våd, og antag at der eksisterer implikationen A => B. I FL kan udtrykket B tildeles en sandhedsværdi gennem implikationen, selvom A kun er opfyldt med en ikke-absolut sandhedsværdi, dvs. en sandhedsværdi større end men mindre end. Dette gøres ved at anvende en modificeret form af slutningsmetoden modus ponens: Fuzzy Modus Ponens A => B A * Derfor B * Hvor A * og B * betegner en approksimativ overensstemmelse med udtrykkene A og B. Hvis f.eks. det kun regner en lille smule, kan udtrykket Det regner tildeles en sandhedsværdi på,6. Derved ville betingelsen, Gaden er våd også kun være opfyldt med tilsvarende approksimativ grad af sandhed. Side 2 af 39

18 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic I praksis styres semantikken af fuzzy implikationer af en operator, I, der kaldes fuzzy implication operator, der angiver hvad det vil sige, at B er opfyldt med en approksimativ grad B *. Hvis A er et fuzzy udtryk defineret på U og B er et fuzzy udtryk over U 2, og der eksisterer en implikation mellem dem, da vil B * være givet ved et fuzzy sæt på U 2, hvis medlemskabsfunktion er givet ved: µ B* (x) = I(µ B (x), µ A (y)) Hvor I:[ ; ] x [ ; ] [ ; ] er en t-norm. Operatoren I tillader stor grad af valgfrihed, men da I er en t-norm, gælder der specielt følgende: For µ A (y) = : µ B* (x) = I(µ B (x), ) = µ B (x), x U 2 For µ A (y) = : µ B* (x) = I(µ B (x), ) =, x U 2 Dermed sikres overensstemmelse mellem FL og den klassiske logik i de tilfælde, hvor betingelserne er fuldstændigt sande eller falske. I disse tilfælde vil B * være repræsenteret enten ved B eller ved et tomt fuzzy set. Et typisk valg for I er minimum. Resultatet af slutningsprocessen er altså en fuzzy mængde B *, hvis medlemskabsfunktion er givet ud fra definitionen af B, der er implikationens konsekvens, samt graden hvormed betingelsen er opfyldt i henhold til implikationsoperatoren. Definitionen af resultatmængden B * gør det muligt at finde et element x U 2 der er repræsentativt for B * under betingelsen A *. Denne proces kaldes defuzzyfication og bruges ofte i fuzzy systemer til at uddrage mening af, hvad det vil betyde for systemet at et udtryk, B, er opfyldt med graden B *. A B µ A (y ) y U Figur 2-6: Figuren viser hvordan den logiske slutning af A => B resulterer i en fuzzy mængde B*. Ud fra elementet y evalueres sandheden af udtrykket A, hvilket resulterer i sandhedsværdien µ A (y ). Denne giver nu definitionen af resultat sættet B* (repræsenteret ved det skraverede område) gennem implikationsoperatoren I (her minimum). B* U 2 Side 3 af 39

19 2.3 Anvendelser af fuzzy logic 2.3 Anvendelser af fuzzy logic FL blev formelt introduceret i 973, da prof. Zadeh udgav en artikel om styring af komplekse systemer. Allerede året efter fremviste prof. E. H. Mamdani et teoretisk eksempel på et komplet fuzzy system, i form af et system til styring af en dampmaskine. Siden da har FL været anvendt på en lang række forskellige datalogiske og matematiske problemer. De problemer som FL hyppigst har været anvendt på, har været modellering, klassificering og styring. I fuzzy modellering ønskes på baggrund af observerede data, at konstruere et fuzzy system der med passende nøjagtighed beskriver de relationer, der eksisterer mellem de observerede variable. Traditionelle metoder til løsning af denne type af problemer er regressionsmetoder som f.eks. mindste kvadraters metode, hvor der findes et optimalt sæt af parametre, der får en parametrisk familie af funktioner til at stemme overens med relationen. I klassificeringsproblemer er givet en mængde af objekter, der hver har tilknyttet en featurevektor f = (f,, f n ) R n, og på baggrund af denne vektor skal objektet placeres i en af k forskellige klasser {C,, C k }. Metoden, hvormed placeringen skal foregå, er oftest givet implicit gennem en række eksempelklassificeringer, som systemet trænes eller konstrueres efter, hvorefter systemets klassificering evalueres over et sæt af referenceobjekter i henhold til en performancefunktion. Andre metoder, der ofte anvendes til klassificering, er enten statiske metoder, hvor der for hver klasse specificeres en sandsynlighedsfordeling på R n eller neurale netværk. I styringsproblemer betragtes et system, hvor der på baggrund af observerede parametre om systemets tilstand, som f.eks. afstande, hastigheder eller temperaturer, skal specificeres outputparametre til systemet, således at systemet enten forbliver i en given tilstand eller gradvist føres mod en ønsket tilstand. Styringsproblemer løses ofte i realtid, hvilket sætter strenge krav til, hvor lang tid der kan gå, før output er fastlagt. Det første praktiske eksempel på et system styret via FL var en cementovn, der blev fremvist i 979, på den danske virksomhed FL-Smidth. I den efterfølgende tid forekom studier og anvendelser af FL næsten udelukkende i Asien. I 985 præsenterede tre japanske forskere et komplet system baseret på FL, til styring af opbremsning, acceleration og standsning af Sendai undergrundsbanen, der på dette tidspunkt var under konstruktion. Dette system blev implementeret i Sendai-banen, der åbnede i 987. På en international konference om FL i Tokyo, ligeledes i 987, fremviste forskere et fuzzy system, der løste det inverterede pendul -problem, og vakte opsigt ved at lade systemet balancere med en rose på pendulet [An Introduction To Fuzzy Control Systems]. Siden har FL fundet praktisk anvendelse mange steder, eksempelvis i dagligdags apparater som vaskemaskiner, køleskabe og kameraer. FL har også været studeret som en generel metode til styring af elektromotorer, og har desuden været studeret af den amerikanske rumfartsorganisation NASA til styring af sammenkobling af rumfartøjer i kredsløb om jorden. Et imponerende eksempel på brugen af FL, er et komplet fuzzy system til styring af en ubemandet helikopterrobot, konstrueret af den japanske forsker prof. Michio Sugeno ved Tokyo Institute of Technology. Helikoptere er notorisk Side 4 af 39

20 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic vanskelige at styre på grund af deres komplekse nonlineære sammenhænge mellem styringsvariable, og er i høj grad ustabile, idet bare det at holde helikopteren stille kræver konstant styring. Den første fremvisning af flyvning med dette system blev foretaget i 994 [Demonstration of unmanned helicopter with fuzzy control.htm]. Generelt for de fleste praktiske eksempler, hvor FL har været anvendt, har erfaringen været, at fuzzy systemer har kunnet give et mere nøjagtigt output og blødere overgange mellem tilstande end andre metoder, som f.eks. PID-styring (Proportional Integral Derivative). Derved er det blevet muligt at øge præcisionen af systemet, eller mindske tids- eller energiforbrug, eller begge dele. Et af de afgørende steder, hvor dette blev vist, var i den tidligere nævnte Sendai Subway i Japan, hvor en gruppe forskere undersøgte mulighederne for at designe styringen af toget med FL frem for PID. Deres resultater var så overbevisende, at det blev besluttet at implementere deres system i stedet for PIDstyring [Automatic Train Operation System by Predictive Fuzzy Control, Industrial Applications of Fuzzy Control]. 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic I konstruktionen af et system baseret på FL, skal der foretages en lang række valg, der har betydning for hvordan systemet fungerer. I dette afsnit beskrives nogle af disse valg, samt hvilke valg der oftest foretages i praksis. Hvor de tidligere afsnit har haft en mere teoretisk indgangsvinkel til FL, vil dette afsnit fokusere mere på praktiske aspekter i konstruktionen af fuzzy systemer. Gennemgangen fokuserer primært på regelbaserede fuzzy systemer. Regelbaserede fuzzy systemer har ofte en struktur, der kan beskrives ud fra følgende diagram: Knowledge base Rulebase Database Fuzzification Inference Engine Defuzzification System Input System Output Figur 2-7: Grundlæggende struktur af regelbaserede fuzzy systemer. Strukturen af et fuzzy system indeholdes i en konstruktion, der kaldes en fuzzy knowledge base (FKB), der ofte inddeles yderligere i to dele kaldet rulebase (RB) og database (DB). Rulebase indeholder en liste bestående af systemets regelstrukturer, hvor database indeholder definitioner af fuzzy mængder, der definerer reglernes udtryk. Fuzzy systemer varierer i deres måde at strukturere regler og mængdespecifikationer, men følger ofte nogle velkendte eksempler. Reglerne i Rulebase er sammenkædet med en implicit logisk operator ALSO, dvs. alle reglerne evalueres samtidig og deres individuelle Side 5 af 39

21 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic resultater samles til et enkelt output for hele systemet. Præcis hvordan ALSO operationen er defineret afhænger af den metode der anvende til af-fuzzificering (se afsnit 2.4.3). I fuzzification interface omformes det faste input som systemet modtager, til fuzzy værdier, repræsenteret ved fuzzy mængder. Disse mængder sammenholdes i slutningsprocessen med de mængder, der definerer reglernes udtryk, for at evaluere i hvilken grad, input til systemet matcher reglernes betingelser. Evaluering af i hvor høj grad en fuzzificeret inputværdi repræsenteret ved mængden A matcher et udtryk givet ved mængden B, kan f.eks. foregå ved at udregne sup x ( min(µ A (x), µ B (x) ) ). I praksis anvendes næsten altid singleton fuzzification, der til en inputværdi x danner den fuzzy mængde A givet ved: hvis x = x µ A (x) = { ellers På denne måde repræsenteres inputværdierne ved deres faste værdier. Der kan i princippet foretages en mere avanceret form for fuzzification ud fra estimater af usikkerheden på målingen af x, men i praksis anvendes dette sjældent, og fuzzification vil derfor ikke blive beskrevet yderligere. Inference Engine har til opgave at foretage logiske slutninger på baggrund af input til systemet. Ud fra input evalueres sandhedsværdien af reglernes betingelser, der via implikationsoperatoren, I, resulterer i et fuzzy output, B*, for hver regel, som beskrevet i afsnit I afsnittet nævntes at operatoren min(x, y) er det mest hyppige valg af implikationsoperator. Der findes adskillige alternative t-normer, men en beskrivelse af betydningen af valget af denne norm, vil blive for omfattende til denne tekst. I af-fuzzificering, tages resultaterne fra slutningsprocessen, og omdannes til faste størrelser kaldet crisp values. Disse værdier repræsenterer det bedst matchende output for systemet under de betingelser, der opstilles af det nuværende input. I de følgende afsnit beskrives strukturen af disse delkomponenter mere detaljeret Grundlæggende regelstruktur Der er tre klassiske regelbaserede fuzzy systemer, der afviger i måden, deres enkelte regler er struktureret. Disse tre systemer er Mamdani-, TSK- og approksimativ Mamdani regelbaserede fuzzy systemer. De fleste regelbaserede fuzzy systemer er enten direkte af en af disse tre typer, eller følger deres struktur tilstrækkeligt til at være sammenlignelige Deskriptiv Mamdani regelstruktur Denne type af regelstruktur er opkaldt efter professor E. H. Mamdani, der i 974 som den første illustrerede, hvordan FL kunne anvendes på styringsproblemer. I denne type systemer har den enkelte regel i regeldatabasen følgende struktur: R k : IF X is A AND AND X n is A n THEN Y i is B j Hvor X,, X n og Y i er såkaldte lingvistiske variable og A, A n og B j er lingvistiske labels. Lingvistiske variable er knyttet til en af systemets input- eller output-parametre og antager værdier i et sæt af tilhørende lingvistiske labels. Hvis f.eks. en af systemets inputparametre er temperatur, kunne der defineres en lingvistisk variabel T med tre Side 6 af 39

22 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic tilknyttede labels {LOW, MEDIUM, HIGH}. Hver af de tre labels refererer til en fuzzy mængde defineret på den relevante mængde for temperaturen. TRUE LOW MEDIUM HIGH FALSE Figur 2-8: Eksempel på lingvistiske labels for en parameter. På denne måde vil udtrykket T is HIGH kunne oversættes til en sandhedsværdi gennem det fuzzy sæt knyttet til labelen HIGH, ud fra inputværdien for temperatur. Mængdespecifikationer er imidlertid globale for hele regeldatabasen, så enhver regel, der referere til den lingvistiske variabel T, anvender de samme mængder {LOW, MEDIUM, HIGH}. Sandhedsværdierne af hvert enkelt udtryk i reglens betingelse aggregeres til en samlet sandhedsværdi ved brug af logiske operationer for fuzzy udtryk, og den endelige sandhedsværdi for betingelsen, også kaldet reglens aktiveringsstyrke, anvendes i beslutningsprocessen til at finde resultatmængden B j * for variablen Y i. Ved brug af lingvistiske variable har den enkelte regel en fremstilling, der er umiddelbart fortolkelig af en menneskelig læser. Hvilke inputparametre og hvilke værdiområder, en regel referer til, vil umiddelbart fremgå af regelstrukturen, mens detaljer om, hvordan værdiområderne er defineret kan undersøges ved at studere den fuzzy mængde, som en given label refererer til. I visse tilfælde anvendes der i deskriptive Mamdani systemer en modificeret regelstruktur, kaldet disjunktiv normal form (DNF), der tillader hver variabel at antage et udtryk, der er en logisk disjunktion af flere af variablens labels. Denne struktur kunne f.eks. have et udtryk T is (MEDIUM or HIGH). Dette giver systemet en højere grad af fleksibilitet og ændrer ikke væsentligt ved reglens overskuelighed. Reglernes struktur gør det let for en menneskelig ekspert at definere hele eller dele af regeldatabasen ud fra viden om problemet, der modelleres, da der kan arbejdes med abstrakte deskriptive labels som f.eks. HIGH og LOW, uden at skulle bekymre sig om detaljer om, hvad disse labels nøjagtigt dækker over Approksimative Mamdani regelstruktur Den approksimative Mamdani regelstruktur ofrer den klare fortolkelighed, som deskriptive regler giver, til fordel for en regelstruktur der giver en potentielt højere grad af præcision. En approksimativ regel har følgende form: R k : IF X is A AND AND X n is A n THEN Y i is B j Forskellen fra den deskriptive regel er, at hvor X,, X n og Y i i det deskriptive system er lingvistiske variable, er de her fuzzy variable, der direkte refererer til en af systemets input- eller outputvariable, og A, A n og B j refererer her direkte til specifikationer af Side 7 af 39

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Målgruppe. Læseren henvises til læsevejledningen på side 5, hvor der gives en kort præsentation af afsnittene i rapporten. - iii -

Målgruppe. Læseren henvises til læsevejledningen på side 5, hvor der gives en kort præsentation af afsnittene i rapporten. - iii - Abstract I denne rapport udvikles et geografisk informations system (GIS) baseret på fuzzy logik. Denne GIS kaldes FuzzyGIS og anvendes til løsning af en problemstilling om gødningstilførelse på Sjælland.

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Ideer til datalogiprojekter. Keld Helsgaun

Ideer til datalogiprojekter. Keld Helsgaun Ideer til datalogiprojekter Keld Helsgaun 1 Keld Helsgaun Forskning: kombinatorisk optimering heuristisk søgning (kunstig intelligens) programmeringsværktøjer Undervisning: programmering, datastrukturer

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktisk teori samt matematiklærerens praksis i folkeskolen

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Introduktion til projekter

Introduktion til projekter Introduktion til projekter v. 1.0.3 Introduktion I dette materiale ser vi overordnet på, hvad projekter egentlig er, hvordan de er skruet sammen og hvilke begreber, som relaterer sig til projekter. Vi

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Indhold Formalia, opsætning og indhold... Faser i opgaveskrivningen... Første fase: Idéfasen... Anden fase: Indsamlingsfasen... Tredje fase: Læse- og bearbejdningsfasen...

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik ( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

EA3 eller EA Cube rammeværktøjet fremstilles visuelt som en 3-dimensionel terning:

EA3 eller EA Cube rammeværktøjet fremstilles visuelt som en 3-dimensionel terning: Introduktion til EA3 Mit navn er Marc de Oliveira. Jeg er systemanalytiker og datalog fra Københavns Universitet og denne artikel hører til min artikelserie, Forsimpling (som også er et podcast), hvor

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala

Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag

Læs mere

Abstrakte datatyper C#-version

Abstrakte datatyper C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Abstrakte datatyper C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Abstrakte Datatyper Denne note introducerer kort begrebet abstrakt datatype

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Vidensmedarbejdere i innovative processer

Vidensmedarbejdere i innovative processer Vidensmedarbejdere i innovative processer Vidensmedarbejdere i innovative processer af direktør og partner Jakob Rasmussen, jr@hovedkontoret.dk, HOVEDkontoret ApS 1. Indledning Fra hårdt til blødt samfund

Læs mere

Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2

Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2 Fremstillingsformer Fremstillingsformer Vurdere Konkludere Fortolke/tolke Diskutere Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2 Udtrykke eller Vurder: bestemme På baggrund af biologisk

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst 17. december 2013 Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst Dette notat redegør for den økonometriske analyse af indkomstforskelle mellem personer med forskellige lange videregående uddannelser

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematikkens filosofi filosofisk matematik

Matematikkens filosofi filosofisk matematik K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................

Læs mere

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Læringscyklus Kolbs model tager udgangspunkt i, at vi lærer af de erfaringer, vi gør os. Erfaringen er altså udgangspunktet, for det

Læs mere

WWW. Forslag til integreret digitalt værk ved Det Informationsvidenskabelige Akademi på KUA3 Udarbejdet af Jacob Nielsen 2013

WWW. Forslag til integreret digitalt værk ved Det Informationsvidenskabelige Akademi på KUA3 Udarbejdet af Jacob Nielsen 2013 WWW Forslag til integreret digitalt værk ved Det Informationsvidenskabelige Akademi på KUA3 Udarbejdet af Jacob Nielsen 2013 Arbejdstitel: "Internet på hovedet" Projektet tager udgangspunkt i det formelt

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Objects First with Java A Practical Introduction Using BlueJ

Objects First with Java A Practical Introduction Using BlueJ Objects First with Java A Practical Introduction Using BlueJ En introduktion til objektorienteret programmering for begyndere ud fra et software engineering aspekt Om at programmere i Java, ikke om værktøjet

Læs mere

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt.

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Kort gennemgang omkring opgaver: Som udgangspunkt skal du når du skriver opgaver i idræt bygge den op med udgangspunkt i de taksonomiske niveauer. Dvs.

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Akademisk tænkning en introduktion

Akademisk tænkning en introduktion Akademisk tænkning en introduktion v. Pia Borlund Agenda: Hvad er akademisk tænkning? Skriftlig formidling og formelle krav (jf. Studieordningen) De kritiske spørgsmål Gode råd m.m. 1 Hvad er akademisk

Læs mere

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Programmering C Eksamensprojekt Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Indledning Analyse Læring er en svær størrelse. Der er hele tiden fokus fra politikerne på, hvordan de danske skoleelever kan

Læs mere

Rasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling

Rasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling Rasmus Rønlev, ph.d.-stipendiat og cand.mag. i retorik Institut for Medier, Erkendelse og Formidling Rasmus Rønlev CV i uddrag 2008: Cand.mag. i retorik fra Københavns Universitet 2008-2009: Skrivekonsulent

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

18 Multivejstræer og B-træer.

18 Multivejstræer og B-træer. 18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Regulære udtryk og endelige automater

Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser

Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser 17-09-2010 side 1 Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser Fredag d. 17. september kl. 11.15-12.15 Næsbylund Kro, Odense Mette Hjelmborg 17-09-2010 side 2 Plan Hvad er matematik i stort format?

Læs mere

Sygdomsbegreb og videnskabelig tænkning Nødvendig afhængighed Tilstrækkelig betingelse Både nødvendig og tilstrækkelig

Sygdomsbegreb og videnskabelig tænkning Nødvendig afhængighed Tilstrækkelig betingelse Både nødvendig og tilstrækkelig Videnskabelighed og videnskabelig begrundelse Kausalitetsproblemet Klinisk Kontrollerede undersøgelser? Kausale slutninger Kausale tolkninger Evidens hvad er det for noget? Er evidens det samme som sandhed?

Læs mere

Indhold. Dansk forord... 7

Indhold. Dansk forord... 7 Indhold Dansk forord........................................... 7 Kapitel 1: Hvad er positiv motivation?...................... 13 Kapitel 2: Forståelse af motivationens hvorfor og hvad : introduktion til

Læs mere

TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m.

TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m. TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m. Vejledning i projektskrivning Vejledning i rapportskrivning En hjælp til et lettere liv for studerende og undervisere Heini Havreki Verkætlanarfrágreiðing Skeið

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik, maskiner og metadata

Matematik, maskiner og metadata MATEMATIK, MASKINER OG METADATA VEJE TIL VIDEN Matematik, maskiner og metadata af CHRISTIAN BOESGAARD DATALOG IT Development / DBC 1 Konkrete projekter med machine learning, hvor computersystemer lærer

Læs mere

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002 Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Erfaringer med CPR-replikering

Erfaringer med CPR-replikering Erfaringer med CPR-replikering Dette dokument beskriver en række overvejelser vi har gjort os i forbindelse med at vi har udviklet en Proof of Concept (PoC) af en CPR-replikeringstjeneste for KOMBIT. CPRs

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden

Læs mere

Hans Hansen STANDARD RAPPORT. Adaptive General Reasoning Test

Hans Hansen STANDARD RAPPORT. Adaptive General Reasoning Test Adaptive General Reasoning Test STANDARD RAPPORT Dette er en fortrolig rapport, som udelukkende må anvendes af personer med en gyldig certificering i anvendelse af værktøjet AdaptGRT fra DISCOVER A/S.

Læs mere

Svensk model for bibliometri i et norsk og dansk perspektiv

Svensk model for bibliometri i et norsk og dansk perspektiv Notat Svensk model for bibliometri i et norsk og dansk perspektiv 1. Indledning og sammenfatning I Sverige har Statens Offentlige Udredninger netop offentliggjort et forslag til en kvalitetsfinansieringsmodel

Læs mere

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere