Genetiske fuzzy systemer

Transkript

1 Genetiske fuzzy systemer Af: Rune Kappelgaard & Simon W. Olsen Resumé: Fuzzy logic er et stringent logiksystem med et ubegrænset antal sandhedsværdier, der har vist sig at være et effektivt grundlag for systemer, der løser en lang række af praktiske og teoretiske problemer. Genetiske fuzzy systemer anvender optimeringsstrategien, genetiske algoritmer, til at optimere ydelse og konstruktion af fuzzy systemer. Det vil blive vist, hvordan genetiske fuzzy systemer kan indgå i problemløsningen i forbindelse med et konstrueret styringsproblem. Til sidst vil effektiviteten blive forbedret ved at bruge implicit ekspertviden i form af eksempeldata. Acc Pos Vel

2 Indholdsfortegnelse: Genetiske fuzzy systemer... Introduktion.... Forfatternes motivation....2 Formål....3 Specialets bidrag Læsevejledning Sprogbrug og konventioner Forkortelser Anvendte programmer Fuzzy logic Klassisk logik Logikkens udvikling Udviklingen af multi-værdi logiksystemer Formel beskrivelse af Fuzzy logic Fuzzy set theory Fuzzy logic Logiske slutninger i fuzzy logic Anvendelser af fuzzy logic Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic Grundlæggende regelstruktur Fuzzy mængdespecifikation Af-fuzzyficering Skalering af input og output data Eksempel på evaluering i et fuzzy system Fuzzy Logic opsummeret Konklusion Genetiske algoritmer Introduktion til genetiske algoritmer Indkodning af individer Binær repræsentation Parametervis repræsentation Valget af indkodning: Genetiske Operationer Generelle i forhold til Specialiserede operationer Rekombination Mutation Krav til de genetiske operationer Side 2 af 5

3 3.4 Populations strategi Initial population Populationens størrelse Konstruktion af nye populationer Tilføjelse af tilfældigt genererede individer Udvælgelse Udvælgelse på score Udvælgelse på rang Turneringsudvælgelse Ligefordelt udvælgelse Beskyttelse af individer Konklusion Genetic fuzzy systems Evaluering af kandidatsystemer Evaluering af ufuldstændige løsninger Ikke-konstant vægtning af kriterier Metoder til kombination af genetiske algoritmer og fuzzy systemer Michigan metoden, Individ repræsenterer en enkelt regel Pittsburgh metoden, Individ repræsenterer komplet fuzzy system Iterative Rule Learning Indkodning af individer Indkodning af fuzzy mængder Indkodning af parametre til skaleringsfunktioner Indkodning af individuelle Regler Indkodning af komplette regeldatabaser Genetiske operatorer Rekombination Mutation Populationsstrategi Initialisering af GFS Konklusion Opbygning af eksempelsystem Simulator Genstande som bruges i simulator Simulation af objekter Parametre til styringssystemerne Bruger styring Opbygning af det Genetiske Fuzzy system Evaluering af kandidatsystemer Populationsstrategi Indkodning Rekombination Mutation Fuzzy Designvalg Mulige udvidelser...72 Side 3 af 5

4 6 Resultater af optimeringen Løsning af optimeringsproblemet Afhængighed af populationsparametre Konklusion Tilfredsstillelse af designkriterier Afhængighed af atomare hhv. ikke-atomare genetiske operationer Regler Sæt Regler & Sæt Konklusion Visualisering af styringsfunktioner og effekten af optimeringen Introduktion til graf-repræsentation Genetisk udvikling af kontrol system System efter genetisk optimering Konklusion Metoder til opbygning af FC ud fra eksempel data Motivation Gennemførlighed af gendannelse Praktiske begrænsninger på nøjagtigheden af konstruerede FC Undersøgelse af kvaliteten af en løsning Vurdering af score Undersøgelse af konvergenshastighed Beregning af afvigelse fra eksempeldata Valg af kvalitetsmål Regelanalyse ved hjælp af sætdefinerede domæner Analyse af regler ud fra kort Analyse af regler ud fra trace Antal regler Dannelse af sæt Klyngeanalyse Klyngealgoritmer Identifikation af regler ved klyngeanalyse Bestemmelse af antal klynger Alternative klyngeopdelinger Bestemmelse af sæt ved klyngeanalyse Genetisk Gendannelse Analyse af gendannelser Regelanalyse ved hjælp af sætdefinerede domæner Eksempler på gendannelser Indledende test Test med indsamlede eksempeldata Observationer fra forsøgene Side 4 af 5

5 8.2 Klyngeanalyse Eksempler på gendannelse Indledende test Test med indsamlede eksempeldata Observationer fra forsøgene Genetisk gendannelse Eksempler på gendannelser Indledende test Test med indsamlede eksempeldata Observationer fra forsøgene Konklusion Konklusion Appendiks...I. Gennemgang af testbaner... I.. Testbaner... I..2 Korrektions baner...ii.2 Data... III.2. Billedmatetriale til K-means undersøgelse... III.2.2 Fuzzy sæt brugt i speciale...v.2.3 Atomar analyse Data... XVI.3 Artikler / Litteratur / Referencer...XIX.3. Genetic Fuzzy Systems... XIX.3.2 Inverted Pendulum Java simulator... XIX.3.3 Sidebar: The history of fuzzy logic... XIX.3.4 Fuzzy Logic for Beginners... XIX.3.5 Pattern Recognition Lecture Notes... XIX.3.6 Evolutionary Algorithms for Fuzzy Control System Design... XIX.3.7 T-norm... XIX.3.8 Fuzzy Sets... XIX.3.9 Applications of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant...xx.3. Applied Fuzzy Systems...XX.3. Ten Years of Genetic Fuzzy Systems Current Framework and New Trends...XX.3.2 Learning the structure of a fuzzy rule: a genetic approach...xx.3.3 An Introduction To Fuzzy Control Systems...XX.3.4 Membership function shape and the dynamical behavior of a fuzzy stystem...xx.3.5 A fuzziness measure for fuzzy numbers: applications...xx.3.6 Sidebar: Seven Truths of Fuzzy Logic...XX.3.7 Alternatives to the k-means algorithm... XXI.3.8 Demonstration of unmanned helicopter with fuzzy control.htm... XXI.3.9 Automatic Train Operation System by Predictive Fuzzy Control, Industrial Applications of Fuzzy Control... XXI.3.2 Ernst Hansen, Notat 4, Integrationsteori... XXI.3.2 Soft Computing... XXI Side 5 af 5

6 . Forfatternes motivation Introduktion Følgende speciale er skrevet i forbindelse med kandidatuddannelsen på datalogistudiet ved Datalogisk Institut, Københavns Universitet (DIKU). Specialet omhandler genetiske fuzzy systemer (GFS), dels gennem teori og dels gennem implementering. Fuzzy systemer er baseret på det logiksystem, hvis grundlag blev skabt i 965 af prof. L. A. Zadeh. Fuzzy logic, som dette logiksystem kaldes, er et stringent logiksystem med et ubegrænset antal sandhedsværdier, der har vist sig at være et effektivt grundlag for systemer, der løser en lang række af praktiske og teoretiske problemer. Genetiske fuzzy systemer anvender optimeringsstrategien, genetiske algoritmer, til konstruktion og optimering af fuzzy systemer. Fuzzy systemer og genetiske algoritmer tilhører den klasse af strategier og metoder, der kaldes Soft Computing.. Forfatternes motivation På trods af de klare fordele, som fuzzy systemer stiller til rådighed, har de praktiske anvendelser af fuzzy logic (FL) gennem længere tid været relativt begrænsede. Denne udvikling er så småt ved at vende, hvor der i dag kan nævnes adskillige eksempler på systemer, der benytter fuzzy logic til løsning af problemer. Imidlertid betragtes fuzzy logic, samt mange af de øvrige metoder tilhørende klassen Soft Computing, stadig med en vis skepsis. Gennem denne fremstilling af FL og GFS ønsker vi, at vores læsere vil opnå et nuanceret billede af disse metoder. Endvidere er det vores håb, at dette speciale vil tjene som inspiration til at anvende FL til løsning af konkrete problemer..2 Formål Dette speciales primære formål er at fremhæve styrkerne ved FL i almindelighed, og i særdeleshed genetiske fuzzy systemer, som en metode til at konstruere optimerede fuzzy systemer. Dette udmønter sig i følgende specifikke formål:. At give en sammenhængende og tilgængelig introduktion til teorien bag FL og genetiske fuzzy systemer samt til de praktiske beslutninger, der skal tages stilling til under konstruktion og design af genetiske fuzzy systemer. 2. At give en vejledning i, hvordan genetiske fuzzy systemer kan indgå i problemløsningen i forbindelse med et konstrueret styringsproblem. Herunder designes, implementeres og afprøves et komplet genetisk system til optimering og konstruktion af fuzzy systemer. Denne vejledning kan tjene som inspiration til andre, der ønsker at anvende genetiske fuzzy systemer til løsning af andre problemer. 3. At designe og teste metoder til at forbedre effektiviteten af genetiske fuzzy systemer ved at bruge implicit ekspertviden i form af eksempeldata. Et af målene med denne opgave er at illustrere, hvordan menneskelig erfaring og ekspertviden om et styringsproblem kan omsættes til en fuzzy controller (FC), der kan bruges som udgangspunkt for den genetiske optimering. Side af 39

7 .3 Specialets bidrag.3 Specialets bidrag Specialets bidrag ses som værende dels en vejledning, der kan inspirere andre til at anvende FL på andre problemstillinger, og dels som den beskrivelse og aftestning af de tre metoder til at konstruere fuzzy systemer fra eksempeldata, der beskriver den implicitte ekspertviden..4 Læsevejledning Kapitlerne har en vis gruppering, der kan være gavnlig for læseren at tage i betragtning. Kapitlerne 2, 3 og 4 beskriver FL, genetiske algoritmer (GA) og genetiske fuzzy systemer ud fra et teoretisk perspektiv. Disse kapitler kan betragtes som værende primært tilknyttet specialets formål. Læsere med indgående kendskab til begreberne introduceret i disse kapitler, kan evt. springe disse kapitler over. Kapitlerne 5 og 6 introducerer styringsproblemet, designet af det genetiske system og resultaterne fra kørsler af systemet. Disse kapitler har en mere praktisk karakter, og er knyttet til specialets formål 2. Kapitlerne 7 og 8 beskæftiger sig med specialets formål 3, design og afprøvning af metoder til konstruktion af fuzzy systemer fra eksempeldata. Kapitel 2: I dette kapitel beskrives FL, og der gives et perspektiv af hvordan fuzzy logic udvider den klassiske logik. Der gives eksempler på anvendelser af FL, og vises et samlet eksempel på, hvordan FL anvendes til løsning af et styringsproblem. Kapitel 3: I dette kapitel gives en introduktion til optimeringsmetoden genetiske algoritmer. Kapitlet udgør ikke en udtømmende beskrivelse, men en beskrivelse der er tilstrækkelig til at forstå principperne i genetiske algoritmer for de læsere, der ikke i forvejen har kendskab til denne metode. Kapitel 4: Kapitlet giver en introduktion til genetiske fuzzy systemer, hvori der redegøres for de traditionelle metoder til at anvende genetiske algoritmer i optimering af fuzzy systemer, samt de fleste af de væsentligste praktiske problemer, der mødes i forbindelse hermed. Kapitel 5: I dette kapitel introduceres det simulationsproblem, der vil danne rammen om den efterfølgende implementering af et genetisk fuzzy system og optimering af fuzzy systemer. Dernæst følger en beskrivelse af designet i dette genetiske system. Kapitel 6: I dette kapitel præsenteres data fra kørsler af det implementerede genetiske system. Der vil blive taget stilling til, om systemet rent faktisk løser den opgave, som det var konstrueret til at løse, optimering af fuzzy systemer til løsning af styringsproblemet. I kapitlet vil desuden blive behandlet forskellige resultater fra kørsler af systemer, hvori specifikke designvalg undersøges og valideres. Kapitlet afsluttes med en introduktion til grafiske metoder til at overskue fuzzy systemer og den effekt, som optimeringen har på deres styringsfunktioner. Kapitel 7: I dette kapitel beskrives designet af tre metoder, til at konstruere fuzzy styringssystemer fra eksempeldata. Eksempeldata er i denne sammenhæng data, der illustrerer, hvordan styringsproblemer gennemføres i praksis. Side 2 af 39

8 .5 Sprogbrug og konventioner Kapitel 8: I dette kapitel testes og vurderes de tre metoder beskrevet i det foregående kapitel. Herunder foretages en vurdering af, i hvor høj grad metoderne opfylder deres formål, at forkorte den tid der anvendes på konstruktion af optimerede fuzzy systemer. Kapitel 9: Konklusionen. Kapitel : Dette kapitel er et appendiks, der indeholder litteraturhenvisninger, samt visse eksperimentelle data og grafisk materiale..5 Sprogbrug og konventioner Der vil så vidt muligt blive brugt danske navne og betegnelser i forbindelse med denne tekst. Engelske gloser har været anvendt i situationer, hvor der enten ikke findes dækkende danske oversættelser, hvilket særligt gælder for ordet fuzzy, eller i situationer, hvor den engelske betegnelse opfattes mere som en navngivning, som eksempelvis Iterative Rule Learning. Enkelte steder vil engelske termer bruges, hvor der vurderes at dette gør det lettere at sammenholde denne tekst med den anvendte litteratur, hvilket efter vores vurdering må foretrækkes. I tilfælde hvor almindelige ord bliver brugt i en atypisk sammenhæng, som eksempelvis og til at repræsentere et logisk princip, vil disse ord fremhæves med kursiv, for at lette læsningen. Henvisninger til litteraturen vil skrives som [label], hvor label er en forkortet beskrivelse af referencens titel eller indhold. Denne label er listet før referencens detaljer i litteraturlisten..5. Forkortelser FC Fuzzy Controller FL Fuzzy Logic FRBS Fuzzy Rule Based System GFS Genetic Fuzzy System GFRBS Genetic Fuzzy Rule Based System.6 Anvendte programmer I forbindelse med dette speciale har der til fremstilling af figurerne været brugt gnuplot 4., MatLab v. 6.5, Microsoft PowerPoint 23 og Excel 23. De forskellige programmer giver en noget forskellig visuel stil ved figurerne, men fordele ved at benytte det program, der var bedst til at håndtere bestemte typer af data, vurderedes at opveje den ulempe, at figurerne ikke er fuldstændigt ensartede i stil. I forbindelse med implementeringen er der anvendt Microsoft Visual Studio v. 6.. Alle de øvrigt anvendte programmer i dette speciale er udviklet i dette miljø. Der er ikke anvendt nogen særlige programbiblioteker, foruden de standardbiblioteker, der er indbygget i Visual Studio. Kildekoden til de udviklede programmer vil blive gjort tilgængelig gennem DIKU s samling af specialer. Side 3 af 39

9 .6 Anvendte programmer Tak til Først og fremmest vil vi gerne give en stor tak til prof. Peter Johansen for fremragende vejledning, og for at stille de rigtige spørgsmål på de rigtige tidspunkter. Yderligere vil vi også gerne takke Frank Hoffmann, dels for at have inspireret os til at studere fuzzy systemer, og dels for at foreslå metoden med at bruge eksempeldata til at forbedre effektiviteten af genetiske fuzzy systemer. Vi vil også gerne takke familie og venner for både deres hjælp og støtte i forbindelse med skrivningen af dette speciale, og for deres bidrag som forsøgspersoner for forsøgene i kapitel 8. Side 4 af 39

10 2. Klassisk logik 2 Fuzzy logic I dette kapitel gives en generel beskrivelse af, hvad fuzzy logic (fremover betegnet som FL) er, samt en beskrivelse af beslutningsprocessen i et system baseret på FL. Formålet er at give læseren en introduktion til FL, give et overblik over hvilke designvalg, der indgår i konstruktionen af et system baseret på FL, samt give et indblik i de parametre, der optimeres i optimeringsfasen af et genetisk fuzzy system. FL er et logiksystem, der kan opfattes som en udvidelse af den klassiske logik. Derfor startes med en beskrivelse af den klassiske logik, med det formål at vise på hvilke områder, FL er parallelt til den klassiske logik, og på hvilke områder FL adskiller sig fra den klassiske logik. Desuden gives en kort beskrivelse af den udvikling, som den klassiske logik har gennemgået frem til introduktionen af FL. Medmindre andet nævnes bygger dette kapitel på [Genetic Fuzzy Systems] og [Soft Computing]. 2. Klassisk logik Den klassiske logik har siden sin oprindelse været den ramme, der har været anvendt til formalisering af stringent ordnet tankegang og argumentation, samt til at uddrage viden gennem logiske slutninger. I dette logiksystem kan sandhedsværdien af et udtryk altid klassificeres som enten sand eller falsk, typisk repræsenteret ved hhv. de numeriske værdier og. Den klassiske logik følger den regel, der kaldes loven om den ekskluderede midte ( law of the excluded middle ), der fastslår at enten er udtryk A sandt, eller også er A s komplementære udtryk A (non A) sandt, eller sagt på en anden måde; hvis ikke udtryk A er sandt, da må A nødvendigvis være falsk. I den klassiske logik anvendes de velkendte logiske operationer som f.eks. logisk og, eller og negation (ofte skrevet med deres engelske betegnelser hhv. AND, OR og NOT, eller med symbolerne, og ) til at skabe logiske konstruktioner ud fra grundudtryk. Sandhedsværdien af det aggregerede udtryk afhænger af sandhedsværdien af de indeholdte deludtryk i henhold til figur 2.. A B A B A B A A => B A <=> B S S S S F S S S F F S F F F F S F S S S F F F F F S S S Figur 2-: Sandhedstabel for almindelige logiske operatorer. A og B er to udtryk og S og F står for sandhedsværdierne sand og falsk. Formelt set er det den regel, der kaldes bivalens princippet, der siger, at et udtryk altid er enten sandt eller falsk. Dette er ikke helt det samme som den faktiske formulering af loven om den ekskluderede midte, der siger, at udtrykket (A A) altid er sandt. Inden for rammerne af den klassiske logik følger loven om den ekskluderede midte imidlertid af bivalens princippet, og fortolkningen af de to regler er stort set den samme. Årsagen til at det oftest er loven om den ekskluderede midte, der citeres for at sikre entydighed af sandhedsværdien, er formentlig den klare fortolkning af denne regel: Der eksisterer intet mellem A og A. Side 5 af 39

11 2. Klassisk logik Implikationer af formen A medfører B, oftest skrevet som A => B eller IF A THEN B, hvor A og B er to udtryk, anvendes til at sammenkæde sandhedsværdierne af betingelsen A og konsekvensen B, og udtrykker derved, at B er en logisk følge af A. Implikationen er i sig selv et logisk udtryk og kan enten være sand eller falsk (se Figur 2-), men oftest vil sandheden af implikationen enten være antaget eller bevist ved, at udtryk B kan frembringes ud fra udtryk A ved at udføre aksiomatiske eller tidligere beviste operationer på udtryk A. Implikationer, hvis sandhedsværdi er fastslået, kan bruges til at foretage logiske slutninger, der kan etablere sandhedsværdien af enten udtryk A eller B, ved at bruge en af to regler for logiske slutninger, modus ponens eller modus tollens. Modus Ponens A => B A Modus Tollens A => B B Derfor B Derfor A Figur 2-2: Logiske slutninger med Modus Ponens og Modus Tollens Hvis implikationen A => B antages at være sand, er der to situationer, der tillader at drage en logisk slutning; hvis A er sand, gælder at B er sand (modus ponens), eller hvis B er falsk, gælder at A er falsk (modus tollens). Biimplikation, der oftest skrives med symbolet <=>, bruges til at angive at to udtryk er logisk ækvivalente, dvs. det ene udtryk er sandt, hvis og kun hvis, det andet udtryk er sandt. Visse udtryk anses for universelt enten sande eller falske, som f.eks. udtrykket Tallet 7 er et primtal, hvorimod andre udtaler sig generelt om elementerne i en samling og kan være enten sande eller falske afhængig af hvilket element, der er under betragtning, som eksempelvis udtrykket Hvis tallet x er deleligt med 2 => så er x et lige tal. Denne sidste type udtryk synliggør en parallelitet mellem den klassiske logik og den klassiske mængdelære. For et udtryk A, der enten er sandt eller falsk for elementerne i mængden X, kan opstilles en mængde M A = {x X A(x) er sandt} der repræsenterer udtryk A. På denne måde vil indikatorfunktionen for M A til ethvert element i X give det numeriske udtryk for sandhedsværdien af A for det givne element. Desuden giver denne fremstilling af udtryk A som en mængde, en måde at udtrykke logiske operationer på udtryk ved hjælp af mængdeoperationer: M A B = M A M B M A B = M A M B M A = M A C Denne parallelitet er fremhævet for at illustrere, at sammenhængen mellem FL og fuzzy set theory er analog til sammenhængen mellem den klassiske logik og den klassiske mængdelære. Desuden ønskes at vise, at de logiske operationer i FL er konstrueret, således at den klassiske logik er et specialtilfælde af FL. Side 6 af 39

12 2. Klassisk logik 2.. Logikkens udvikling Flere kulturer, f.eks. kinesisk og indisk, har udviklet systemer til formalisering af stringent tankegang og argumentation, men det logiksystem, der i dag kaldes den klassiske logik, stammer fra den tradition, der begyndte i Grækenland. Den kendte græske videnskabsmand og filosof Aristoteles (384 f. Kr. til 322 f. Kr.) var en af dem, der har haft stor betydning for den tidlige udvikling af den klassiske logik. Aristoteles formaliserede de tidligere traditioner for logik til et logiksystem med netop to sandhedsværdier, og det er Aristoteles der tilskrives den formulering af loven om den ekskluderede midte, som den kendes i dag 2. Den klassiske logik har imidlertid gennemgået mange ændringer siden det system Aristoteles skabte, for at nå den form der kendes i dag. Nogle af de historiske personer, der har bidraget til den klassiske logiks udvikling gennem tiden, er blandt andre den franske filosof og matematiker René Descartes (596-65), den tyske matematiker Gottfried Leibniz (646-76) og den engelske matematiker George Boole (85-864). Descartes var den første, der introducerede ideen om en matematisk formulering af logik ved brug af symboler og operatorer og introducerede ideen om at bruge matematiske metoder til løsning af ligningssystemer i forbindelse systemer af logiske udtryk. Leibniz var blandt dem, der tog ideen om den matematiske formulering af logik til sig, og havde stor betydning for videreudvikling af Descartes ide. Det var desuden Leibniz der stringent definerede egenskaberne ved de logiske principper konjunktion, disjunktion og negation, hhv. de logiske operatorer AND, OR og NOT, sådan som de kendes i dag. Boole udvidede måderne hvorpå logiske systemer blev anskuet, ved at vise, hvordan essensen i de logiske operationer (AND, OR og NOT) kunne repræsenteres i et gitter 3 over mængden {,}. Ved at bruge denne algebraiske struktur, kaldet den booleske algebra, til repræsentation af komplicerede logiske systemer, kan problemet med at finde sandhedsværdien af systemet, givet sandhedsværdien af systemets betingelser, simplificeres til et beregningsmæssigt problem. Den booleske algebra har været en vigtig årsag til, at logik studeres inden for såvel datalogi, matematik som filosofi, og har dannet grundlaget for de operationer, der foretages af de logiske kredsløb, som stort set alle elektroniske komponenter er bygget af. + OR F S AND F S F F S F F F S S S S F S Figur 2-3: Sammenligning mellem + og i den booleske algebra og de logiske operationer OR og AND. NOT kan beregnes ved udtrykket -x, hvor x repræsenterer sandhedsværdien af et udtryk. 2 Logiksystemer med netop 2 sandhedsværdier kaldes derfor også for aristoteliske, hvor ikke-aristoteliske logiksystemer refererer til gruppen af logiksystemer med flere end 2 sandhedsværdier. 3 Et gitter er en algebraisk struktur (M,, ), hvor M er en mængde af elementer, og & er to binære operatorer, : M M M og : M M M. De to operationer er begge kommutative og associative. Side 7 af 39

13 2. Klassisk logik 2..2 Udviklingen af multi-værdi logiksystemer Gennem udviklingen af den klassiske logik har der været flere eksempler på, hvordan sandhedsværdien af et udtryk synes vanskelig at definere entydigt som enten sand eller falsk, eller hvor enhver entydig definition vil synes meningsløs eller i strid med almindelig sund fornuft. To af de mere kendte eksempler herpå er definitionen på skaldethed og Sorites paradokset. Hvis en person defineres som skaldet, hvis personen ikke har nogen hår på hovedet, må følgende udsagn være falsk; Person A er skaldet, hvis person A har hår på hovedet, hvilket synes at være i strid med den normale opfattelse af situationen. Sorites paradokset stammer fra Grækenland og referer til 4 egenskaber, en bunke sand ifølge almindelig fornuft har:. Et, to eller tre sandkorn udgør ikke en sandbunke 2. En million sandkorn udgør en sandbunke 3. Hvis n sandkorn ikke er en bunke, så er n+ sandkorn det heller ikke 4. Hvis n sandkorn er en bunke, så vil n- sandkorn også være en bunke Hvis den 3. egenskab anvendes iterativt på den første egenskab, opnås konklusionen, at en million sandkorn ikke udgør en sandbunke, i modstrid med den 2. egenskab, og omvendt, hvis den 4. egenskab anvendes iterativt på den 2. egenskab bliver konklusionen at ét sandkorn udgør en bunke. Der eksisterer altså en klar modstrid mellem betingelserne, der gør at enhver samling af sandkorn både kan klassificeres som en bunke sand og ikke en bunke sand. Problemer med entydigheden af sandhedsværdien har været kendt og studeret siden den klassiske logiks oprindelse. I en af Aristoteles egne tekster udtrykte han, at det ikke for alle udtryk var nødvendigt at enten udtrykket selv eller dets negation var sandt og det andet falsk, hvor han specielt henviste til fremtidige hændelser. Platon, der havde været Aristoteles læremester, udtrykte en mere direkte tvivl om en skarp opdeling af sandhed i sand og falsk ved at antyde, at der måtte eksistere et tredje område ud over sand og falsk. Alligevel var det først i begyndelsen af det 2. århundrede, at der blev formaliseret et stringent logiksystem med flere end to sandhedsværdier. Årsager til, at disse problemer ikke tidligere har givet anledning til modificering af den klassiske logik, er at problemerne oftest opstår i situationer, hvor der enten mangler viden om vigtige faktorer for at kunne afgøre sandhedsværdien, eller, som i de to eksempler ovenfor, hvor et af de begreber, der indgår i udtrykket, er vagt eller uklart defineret, som eksempelvis en bunke sand eller skaldethed. Selvom skaldethed synes at have en klar definition, inkluderer den menneskelige fortolkning af begrebet en vis uklarhed. Derfor er disse eksempler oftest ikke blevet opfattet som eksempler på begrænsninger i den klassiske logik, men mere som eksempler på situationer eller begreber, der står udenfor en stringent logisk definition. Det første formelle logiksystem med flere end to sandhedsværdier blev skabt i 92 af den polske matematiker Jan Lukasiewicz, der skabte et logiksystem med 3 sandhedsværdier, idet han introducerede en tredje værdi, mulig, i et forsøg på at skabe en Side 8 af 39

14 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic ramme hvori de logiske systemer, hvis sandhedsværdi ikke kunne klassificeres entydigt, kunne studeres. Det viste sig imidlertid, at den tredje sandhedsværdi ikke i særlig grad hjalp med at kaste lys over ovenstående problemstillinger. I 932 definerede logikeren og matematikeren Kurt Gödel en familie af logiksystemer G m, hvis sandhedsværdier er repræsenteret som tal i mængderne: W m = { k/(m-) k m- } W = { x x } = [ ; ] På denne måde kan systemet udtrykke varierende grader af sandhed af et givent udtryk fra fuldstændigt falsk til fuldstændigt sandt. Specialtilfældet G defineret over mængden W har et ubegrænset antal sandhedsværdier, hvilket medfører, at der mellem to vilkårlige sandhedsværdier, t og t 2 hvor t t 2, altid eksisterer et uendeligt antal sandhedsværdier. Ligesom Lukasiewicz system blev Gödels system hovedsageligt brugt som rammen for at undersøge specifikke logiske problemstillinger. I den offentlige bevidsthed er disse systemer nok mere opfattet som værktøjer til teoretiske studier af logik end som selvstændigt anvendelige logiksystemer. FL blev introduceret i 973 og er, ligesom Gödels G et system med et ubegrænset antal sandhedsværdier, men i modsætning til tidligere systemer er FL et system, der har fundet stor tilslutning verden over som et praktisk anvendeligt logiksystem. 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic Som nævnt er FL et logiksystem med et ubegrænset antal af sandhedsværdier. Grundlaget til FL blev skabt, da professor Lotfi A. Zadeh ved Berkeley universitetet i 965 udgav sin opsigtsvækkende artikel [Fuzzy Sets] hvori han introducerede begrebet fuzzy mængder. I 973 udgav prof. Zadeh en artikel, hvori han viste, hvordan fuzzy set theory kunne danne grundlaget for et logiksystem Fuzzy set theory Fuzzy set theory er en udvidelse af den klassiske mængdelære, der tillader ufuldstændigt medlemskab af en mængde. I den klassiske mængdelære gælder der for enhver mængde A defineret i et univers U, at for ethvert element x U, vil enten x A eller også vil x A c. Udtrykkene x A og x A c kan ikke begge være sande på samme tid, og kan heller ikke begge være falske. Dette er analogt til loven om den ekskluderede midte for den klassiske logik. Tilhørsforhold til en given mængde udtrykkes ofte numerisk gennem den såkaldte indikatorfunktion: hvis x A A (x) = { ellers En mængde kan derved opfattes som defineret ud fra sin indikatorfunktion. Side 9 af 39

15 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic For en fuzzy mængde, F, defineres en såkaldt medlemskabsfunktion µ F : U [ ; ], der til ethvert element i universet U knytter et tal, der udtrykker, i hvor høj grad elementet er en del af mængden F, således at hvis µ F (x ) < µ F (x 2 ), har elementet x 2 et større tilhørsforhold til F end x. En fuzzy mængde er fuldstændigt givet ud fra sin medlemskabsfunktion på samme måde som en klassisk mængde er givet ud fra sin indikatorfunktion. Den klassiske mængdedefinition kan opfattes som et specialtilfælde af fuzzy mængder. Hvis x U: µ A (x) {, }, for en given fuzzy mængde A, ses at medlemskabsfunktionen, µ A, er ækvivalent med indikatorfunktionen A, for en klassisk mængde. Figur 2-4: 2 Tv. 2 eksempler på fuzzy medlemskabsfunktioner og th. normale indikatorfunktioner. Denne udvidelse af mængdebegrebet synes at bryde med den klare definition af, hvad en mængde er, men gør det muligt at udtrykke visse begreber på en intuitiv måde, samt kvantificere begreber, der ikke let kan kvantificeres med den klassiske mængdelære, f.eks. subjektiv viden eller almindelig sund fornuft som megen menneskelig viden består af. Som eksempel herpå kan nævnes det før omtalte Sorites paradoks (se 2..2), hvor de 4 egenskaber, som en sandbunke ifølge menneskelig opfattelse af begrebet synes at have, leder til en modstrid i den klassiske logik. Denne inkonsistens kan let løses ved brug af fuzzy set theory, idet der kan defineres en fuzzy mængde, der beskriver, i hvor høj grad en samling af sandkorn udgør en sandbunke, ud fra hvor mange sandkorn den indeholder., Figur 2-5: Eksempeldefinition af begrebet Bunke, samt evaluering af i hvor høj grad en bunke med 5. sandkorn tilhører mængden af sandbunker. Side af 39

16 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic Ud fra denne definition af en sandbunke ses, at en samling bestående af 5. sandkorn tilhører mængden af sandbunker med en grad på,5. Dette vil samtidig sige at samlingen, med en tilsvarende grad på,5, ikke tilhører mængden. Det ses altså med denne definition, at enhver samling af sandkorn, i større eller mindre grad, både kan opfattes som en sandbunke og som ikke en sandbunke. Denne måde at definere begrebet en sandbunke synes at stemme bedre overens med den normale opfattelse af begrebet. Desuden synes denne definition at afspejle den måde, hvorpå modstriden i den klassiske logik kom til udtryk, nemlig at enhver samling af sand kunne klassificeres som både en bunke og som ikke en bunke. De klassiske mængdeoperationer, foreningsmængde, fællesmænge og komplementærmængde kan også defineres for fuzzy mængder. Der er adskillige muligheder i måden at definere disse operationer, men for at sikre en passende overensstemmelse med den klassiske mængdelæres definitioner af operationerne, anvendes der en t-norm til konjunktion og en t-conorm til disjunktion 4. De hyppigst anvendte definitioner ser ud som følger: Konjunktion: x U: µ F G (x) = min (µ F (x), µ G (x) ) Disjunktion: x U: µ F G (x) = max (µ F (x), µ G (x) ) Negation: x U: µ CF (x) = - µ F (x) Hvor F og G er fuzzy mængder, og CF betegner komplementærmængden til F. Bemærk at disse definitioner af mængdeoperationerne indeholder mængdeoperationerne for klassiske mængder som et specialtilfælde. Hvis F og G således er klassiske mængder, og µ F (x) og µ G (x) derved er indikatorfunktioner, vil disse definitioner af mængdeoperationerne være ækvivalente med den klassiske mængdelæres definition. En anden vigtig egenskab ved FL frem for normal logik er muligheden for at foretage glidende overgange mellem medlemskab og ikke-medlemskab. Sandbunke eksemplet viser tydeligt problemet i den klassiske logik. Hvis en bunke af sand defineres som bestående af mindst. sandkorn, så vil der være situationer hvor et enkelt sandkorn til eller fra kan være afgørende for, om sandet regnes for en bunke eller ej. Denne egenskab er med til at gøre FL mere stabilt overfor målefejl i data Fuzzy logic Afsnit 2. beskrev en parallelitet mellem den klassiske logik og den klassiske mængdelære. På samme måde som fuzzy set theory udvider den klassiske mængdedefinition til at inkludere frit varierende grader af tilhørsforhold, udvider FL den klassiske logik til at omfatte frit varierende grader af sandhed. I FL er sandhedsværdien af ethvert fuzzy udtryk angivet som et reelt tal mellem og, der angiver den relative grad hvormed udtrykket er opfyldt. Hvis sandhedsværdien µ A af udtryk A er større end sandhedsværdien µ B af udtryk B, anses udtryk A for at indeholde 4 En t-norm er en funktion t : [ ; ] x [ ; ] [ ; ], der opfylder følgende betingelser: Kommutativ: t(a, b) = t(b, a) Monoton: t(a, b) t(c, d) hvor a c og b d Associativ: t(a, t(b, c)) = t( t(a, b), c) Desuden gælder der for t at t(a, ) = og t(a, ) = a. En t-conorm opfylder de samme betingelser som en t- norm, men har følgende identitetsbetingelser: t(a, ) = a og t(a, ) =. Side af 39

17 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic en højere grad af sandhed. I eksemplet fra afsnit 2..2, med definitionen på skaldethed, tildeles en højere sandhedsværdi til udtrykket person A er skaldet hvis person A har hår på hovedet end hvis person A har hår på hovedet. Hvis en mængde U betragtes, og der for hvert element x i mængden tildeles en sandhedsværdi, der repræsenterer elementets overensstemmelse med det fuzzy udtryk F, ses det at dette er ækvivalent med at definere et fuzzy sæt over mængden U. Af denne grund er fuzzy udtryk oftest angivet direkte som en definition af et fuzzy sæt, da det giver en enkel ramme til at arbejde med udtrykkene. Ligesom de klassiske logiske operationer kan repræsenteres med mængdeoperationer på de tilsvarende klassiske mængder, kan logiske operationer på fuzzy udtryk også repræsenteres ved tilsvarende mængdeoperationer på de tilhørende fuzzy mængder. Hvis A og B er to fuzzy udtryk, og F og G er to fuzzy mængder, der definerer hhv. A og B s sandhedsværdier inden for universitet U, fås følgende definitioner: Konjunktion: x U: t A B (x) = µ F G (x) Disjunktion: x U: t A B (x) = µ F G (x) Negation: x U: t A (x) = µ CF (x) Hvor f.eks. t A B (x) angiver den grad af sandhed udtrykket A B har for elementet x. Som nævnt, giver fuzzy mængder en måde at udtrykke begreber, som ikke ville kunne udtrykkes med klassiske mængdedefinitioner, og på tilsvarende måde giver FL en måde at tildele en sandhedsværdi til udtryk, der ikke kunne tildeles en klar sandhedsværdi i den klassiske logik. En vigtig årsag til anvendeligheden af disse approksimative sandhedsværdier er imidlertid, at FL giver en måde at foretage logiske slutninger på baggrund af disse sandhedsværdier Logiske slutninger i fuzzy logic En vigtig grund til, at FL har fundet stor praktisk anvendelse, er, at FL giver mulighed for at foretage logiske slutninger på baggrund af implikationer mellem fuzzy udtryk. Implikationer i FL kaldes oftest for regler og skrives oftest som IF A THEN B, hvor A og B er to fuzzy udtryk. Lad for eksempel A være udtrykket Det regner og B være udtrykket Gaden er våd, og antag at der eksisterer implikationen A => B. I FL kan udtrykket B tildeles en sandhedsværdi gennem implikationen, selvom A kun er opfyldt med en ikke-absolut sandhedsværdi, dvs. en sandhedsværdi større end men mindre end. Dette gøres ved at anvende en modificeret form af slutningsmetoden modus ponens: Fuzzy Modus Ponens A => B A * Derfor B * Hvor A * og B * betegner en approksimativ overensstemmelse med udtrykkene A og B. Hvis f.eks. det kun regner en lille smule, kan udtrykket Det regner tildeles en sandhedsværdi på,6. Derved ville betingelsen, Gaden er våd også kun være opfyldt med tilsvarende approksimativ grad af sandhed. Side 2 af 39

18 2.2 Formel beskrivelse af Fuzzy logic I praksis styres semantikken af fuzzy implikationer af en operator, I, der kaldes fuzzy implication operator, der angiver hvad det vil sige, at B er opfyldt med en approksimativ grad B *. Hvis A er et fuzzy udtryk defineret på U og B er et fuzzy udtryk over U 2, og der eksisterer en implikation mellem dem, da vil B * være givet ved et fuzzy sæt på U 2, hvis medlemskabsfunktion er givet ved: µ B* (x) = I(µ B (x), µ A (y)) Hvor I:[ ; ] x [ ; ] [ ; ] er en t-norm. Operatoren I tillader stor grad af valgfrihed, men da I er en t-norm, gælder der specielt følgende: For µ A (y) = : µ B* (x) = I(µ B (x), ) = µ B (x), x U 2 For µ A (y) = : µ B* (x) = I(µ B (x), ) =, x U 2 Dermed sikres overensstemmelse mellem FL og den klassiske logik i de tilfælde, hvor betingelserne er fuldstændigt sande eller falske. I disse tilfælde vil B * være repræsenteret enten ved B eller ved et tomt fuzzy set. Et typisk valg for I er minimum. Resultatet af slutningsprocessen er altså en fuzzy mængde B *, hvis medlemskabsfunktion er givet ud fra definitionen af B, der er implikationens konsekvens, samt graden hvormed betingelsen er opfyldt i henhold til implikationsoperatoren. Definitionen af resultatmængden B * gør det muligt at finde et element x U 2 der er repræsentativt for B * under betingelsen A *. Denne proces kaldes defuzzyfication og bruges ofte i fuzzy systemer til at uddrage mening af, hvad det vil betyde for systemet at et udtryk, B, er opfyldt med graden B *. A B µ A (y ) y U Figur 2-6: Figuren viser hvordan den logiske slutning af A => B resulterer i en fuzzy mængde B*. Ud fra elementet y evalueres sandheden af udtrykket A, hvilket resulterer i sandhedsværdien µ A (y ). Denne giver nu definitionen af resultat sættet B* (repræsenteret ved det skraverede område) gennem implikationsoperatoren I (her minimum). B* U 2 Side 3 af 39

19 2.3 Anvendelser af fuzzy logic 2.3 Anvendelser af fuzzy logic FL blev formelt introduceret i 973, da prof. Zadeh udgav en artikel om styring af komplekse systemer. Allerede året efter fremviste prof. E. H. Mamdani et teoretisk eksempel på et komplet fuzzy system, i form af et system til styring af en dampmaskine. Siden da har FL været anvendt på en lang række forskellige datalogiske og matematiske problemer. De problemer som FL hyppigst har været anvendt på, har været modellering, klassificering og styring. I fuzzy modellering ønskes på baggrund af observerede data, at konstruere et fuzzy system der med passende nøjagtighed beskriver de relationer, der eksisterer mellem de observerede variable. Traditionelle metoder til løsning af denne type af problemer er regressionsmetoder som f.eks. mindste kvadraters metode, hvor der findes et optimalt sæt af parametre, der får en parametrisk familie af funktioner til at stemme overens med relationen. I klassificeringsproblemer er givet en mængde af objekter, der hver har tilknyttet en featurevektor f = (f,, f n ) R n, og på baggrund af denne vektor skal objektet placeres i en af k forskellige klasser {C,, C k }. Metoden, hvormed placeringen skal foregå, er oftest givet implicit gennem en række eksempelklassificeringer, som systemet trænes eller konstrueres efter, hvorefter systemets klassificering evalueres over et sæt af referenceobjekter i henhold til en performancefunktion. Andre metoder, der ofte anvendes til klassificering, er enten statiske metoder, hvor der for hver klasse specificeres en sandsynlighedsfordeling på R n eller neurale netværk. I styringsproblemer betragtes et system, hvor der på baggrund af observerede parametre om systemets tilstand, som f.eks. afstande, hastigheder eller temperaturer, skal specificeres outputparametre til systemet, således at systemet enten forbliver i en given tilstand eller gradvist føres mod en ønsket tilstand. Styringsproblemer løses ofte i realtid, hvilket sætter strenge krav til, hvor lang tid der kan gå, før output er fastlagt. Det første praktiske eksempel på et system styret via FL var en cementovn, der blev fremvist i 979, på den danske virksomhed FL-Smidth. I den efterfølgende tid forekom studier og anvendelser af FL næsten udelukkende i Asien. I 985 præsenterede tre japanske forskere et komplet system baseret på FL, til styring af opbremsning, acceleration og standsning af Sendai undergrundsbanen, der på dette tidspunkt var under konstruktion. Dette system blev implementeret i Sendai-banen, der åbnede i 987. På en international konference om FL i Tokyo, ligeledes i 987, fremviste forskere et fuzzy system, der løste det inverterede pendul -problem, og vakte opsigt ved at lade systemet balancere med en rose på pendulet [An Introduction To Fuzzy Control Systems]. Siden har FL fundet praktisk anvendelse mange steder, eksempelvis i dagligdags apparater som vaskemaskiner, køleskabe og kameraer. FL har også været studeret som en generel metode til styring af elektromotorer, og har desuden været studeret af den amerikanske rumfartsorganisation NASA til styring af sammenkobling af rumfartøjer i kredsløb om jorden. Et imponerende eksempel på brugen af FL, er et komplet fuzzy system til styring af en ubemandet helikopterrobot, konstrueret af den japanske forsker prof. Michio Sugeno ved Tokyo Institute of Technology. Helikoptere er notorisk Side 4 af 39

20 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic vanskelige at styre på grund af deres komplekse nonlineære sammenhænge mellem styringsvariable, og er i høj grad ustabile, idet bare det at holde helikopteren stille kræver konstant styring. Den første fremvisning af flyvning med dette system blev foretaget i 994 [Demonstration of unmanned helicopter with fuzzy control.htm]. Generelt for de fleste praktiske eksempler, hvor FL har været anvendt, har erfaringen været, at fuzzy systemer har kunnet give et mere nøjagtigt output og blødere overgange mellem tilstande end andre metoder, som f.eks. PID-styring (Proportional Integral Derivative). Derved er det blevet muligt at øge præcisionen af systemet, eller mindske tids- eller energiforbrug, eller begge dele. Et af de afgørende steder, hvor dette blev vist, var i den tidligere nævnte Sendai Subway i Japan, hvor en gruppe forskere undersøgte mulighederne for at designe styringen af toget med FL frem for PID. Deres resultater var så overbevisende, at det blev besluttet at implementere deres system i stedet for PIDstyring [Automatic Train Operation System by Predictive Fuzzy Control, Industrial Applications of Fuzzy Control]. 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic I konstruktionen af et system baseret på FL, skal der foretages en lang række valg, der har betydning for hvordan systemet fungerer. I dette afsnit beskrives nogle af disse valg, samt hvilke valg der oftest foretages i praksis. Hvor de tidligere afsnit har haft en mere teoretisk indgangsvinkel til FL, vil dette afsnit fokusere mere på praktiske aspekter i konstruktionen af fuzzy systemer. Gennemgangen fokuserer primært på regelbaserede fuzzy systemer. Regelbaserede fuzzy systemer har ofte en struktur, der kan beskrives ud fra følgende diagram: Knowledge base Rulebase Database Fuzzification Inference Engine Defuzzification System Input System Output Figur 2-7: Grundlæggende struktur af regelbaserede fuzzy systemer. Strukturen af et fuzzy system indeholdes i en konstruktion, der kaldes en fuzzy knowledge base (FKB), der ofte inddeles yderligere i to dele kaldet rulebase (RB) og database (DB). Rulebase indeholder en liste bestående af systemets regelstrukturer, hvor database indeholder definitioner af fuzzy mængder, der definerer reglernes udtryk. Fuzzy systemer varierer i deres måde at strukturere regler og mængdespecifikationer, men følger ofte nogle velkendte eksempler. Reglerne i Rulebase er sammenkædet med en implicit logisk operator ALSO, dvs. alle reglerne evalueres samtidig og deres individuelle Side 5 af 39

21 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic resultater samles til et enkelt output for hele systemet. Præcis hvordan ALSO operationen er defineret afhænger af den metode der anvende til af-fuzzificering (se afsnit 2.4.3). I fuzzification interface omformes det faste input som systemet modtager, til fuzzy værdier, repræsenteret ved fuzzy mængder. Disse mængder sammenholdes i slutningsprocessen med de mængder, der definerer reglernes udtryk, for at evaluere i hvilken grad, input til systemet matcher reglernes betingelser. Evaluering af i hvor høj grad en fuzzificeret inputværdi repræsenteret ved mængden A matcher et udtryk givet ved mængden B, kan f.eks. foregå ved at udregne sup x ( min(µ A (x), µ B (x) ) ). I praksis anvendes næsten altid singleton fuzzification, der til en inputværdi x danner den fuzzy mængde A givet ved: hvis x = x µ A (x) = { ellers På denne måde repræsenteres inputværdierne ved deres faste værdier. Der kan i princippet foretages en mere avanceret form for fuzzification ud fra estimater af usikkerheden på målingen af x, men i praksis anvendes dette sjældent, og fuzzification vil derfor ikke blive beskrevet yderligere. Inference Engine har til opgave at foretage logiske slutninger på baggrund af input til systemet. Ud fra input evalueres sandhedsværdien af reglernes betingelser, der via implikationsoperatoren, I, resulterer i et fuzzy output, B*, for hver regel, som beskrevet i afsnit I afsnittet nævntes at operatoren min(x, y) er det mest hyppige valg af implikationsoperator. Der findes adskillige alternative t-normer, men en beskrivelse af betydningen af valget af denne norm, vil blive for omfattende til denne tekst. I af-fuzzificering, tages resultaterne fra slutningsprocessen, og omdannes til faste størrelser kaldet crisp values. Disse værdier repræsenterer det bedst matchende output for systemet under de betingelser, der opstilles af det nuværende input. I de følgende afsnit beskrives strukturen af disse delkomponenter mere detaljeret Grundlæggende regelstruktur Der er tre klassiske regelbaserede fuzzy systemer, der afviger i måden, deres enkelte regler er struktureret. Disse tre systemer er Mamdani-, TSK- og approksimativ Mamdani regelbaserede fuzzy systemer. De fleste regelbaserede fuzzy systemer er enten direkte af en af disse tre typer, eller følger deres struktur tilstrækkeligt til at være sammenlignelige Deskriptiv Mamdani regelstruktur Denne type af regelstruktur er opkaldt efter professor E. H. Mamdani, der i 974 som den første illustrerede, hvordan FL kunne anvendes på styringsproblemer. I denne type systemer har den enkelte regel i regeldatabasen følgende struktur: R k : IF X is A AND AND X n is A n THEN Y i is B j Hvor X,, X n og Y i er såkaldte lingvistiske variable og A, A n og B j er lingvistiske labels. Lingvistiske variable er knyttet til en af systemets input- eller output-parametre og antager værdier i et sæt af tilhørende lingvistiske labels. Hvis f.eks. en af systemets inputparametre er temperatur, kunne der defineres en lingvistisk variabel T med tre Side 6 af 39

22 2.4 Strukturen af systemer baseret på fuzzy logic tilknyttede labels {LOW, MEDIUM, HIGH}. Hver af de tre labels refererer til en fuzzy mængde defineret på den relevante mængde for temperaturen. TRUE LOW MEDIUM HIGH FALSE Figur 2-8: Eksempel på lingvistiske labels for en parameter. På denne måde vil udtrykket T is HIGH kunne oversættes til en sandhedsværdi gennem det fuzzy sæt knyttet til labelen HIGH, ud fra inputværdien for temperatur. Mængdespecifikationer er imidlertid globale for hele regeldatabasen, så enhver regel, der referere til den lingvistiske variabel T, anvender de samme mængder {LOW, MEDIUM, HIGH}. Sandhedsværdierne af hvert enkelt udtryk i reglens betingelse aggregeres til en samlet sandhedsværdi ved brug af logiske operationer for fuzzy udtryk, og den endelige sandhedsværdi for betingelsen, også kaldet reglens aktiveringsstyrke, anvendes i beslutningsprocessen til at finde resultatmængden B j * for variablen Y i. Ved brug af lingvistiske variable har den enkelte regel en fremstilling, der er umiddelbart fortolkelig af en menneskelig læser. Hvilke inputparametre og hvilke værdiområder, en regel referer til, vil umiddelbart fremgå af regelstrukturen, mens detaljer om, hvordan værdiområderne er defineret kan undersøges ved at studere den fuzzy mængde, som en given label refererer til. I visse tilfælde anvendes der i deskriptive Mamdani systemer en modificeret regelstruktur, kaldet disjunktiv normal form (DNF), der tillader hver variabel at antage et udtryk, der er en logisk disjunktion af flere af variablens labels. Denne struktur kunne f.eks. have et udtryk T is (MEDIUM or HIGH). Dette giver systemet en højere grad af fleksibilitet og ændrer ikke væsentligt ved reglens overskuelighed. Reglernes struktur gør det let for en menneskelig ekspert at definere hele eller dele af regeldatabasen ud fra viden om problemet, der modelleres, da der kan arbejdes med abstrakte deskriptive labels som f.eks. HIGH og LOW, uden at skulle bekymre sig om detaljer om, hvad disse labels nøjagtigt dækker over Approksimative Mamdani regelstruktur Den approksimative Mamdani regelstruktur ofrer den klare fortolkelighed, som deskriptive regler giver, til fordel for en regelstruktur der giver en potentielt højere grad af præcision. En approksimativ regel har følgende form: R k : IF X is A AND AND X n is A n THEN Y i is B j Forskellen fra den deskriptive regel er, at hvor X,, X n og Y i i det deskriptive system er lingvistiske variable, er de her fuzzy variable, der direkte refererer til en af systemets input- eller outputvariable, og A, A n og B j refererer her direkte til specifikationer af Side 7 af 39