Credit Default Swaps

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk insiu Kandidaafhandling Cand.Merc.finansiering Forfaere: Brian roelsen Carsen Lundof Vejleder: Peer Løche Jørgensen Credi Defaul Swaps - en analyse af forskelle og anvendelsesmuligheder for re modelilgange Handelshøjskolen i Århus Augus 8

2 EXECUIVE SUMMARY Recenly he marke for Credi Defaul Swaps CDS has grown rapidly and is now exceeding $4.6 rillion in noional amouns ousanding on open conracs. Considering he curren credi crisis, he likelihood of defaul and he pricing of CDS in erms of credi spread are of increasing concern. When modelling credi spreads here are generally hree differen approaches available; Srucural models, Inensiy models and models wih Incomplee informaion. he main objecive of his hesis is o analyse he differences beween hese hree approaches. From each approach one represenaive model is seleced; Leland & of 1996 is seleced as represenaive of he srucural models, whereas he Square roo model represens he inensiy class models and finally Duffie & Lando 1 is chosen as he model wih incomplee informaion. hese hree models are implemened and analysed, using daa on European companies including 3 iraxx Europe Main companies and 9 iraxx Xover companies. In srucural models, i is implicily assumed ha he modeller posses complee informaion, while he inensiy models only requiremen is informaion available in he marke. Models wih incomplee informaion are a hybrid beween hese wo exremes. he assumpion abou he informaion level is cenral when inerpreing he differences beween he hree model approaches. Furher differences beween he models are mainly a resul of his informaion assumpion. Leland & of 1996 build upon he Meron 1974 and Black & Cox 1976 opion approach, assuming ha defaul occurs when he asse value his he defaul barrier. Leland & of 1996 deermine he defaul barrier endogenously in he model, assuming ha he managemen srives o maximise equiy value. he implemenaion of his model reveals ha when he resuls are compared wih quoed marke spreads, he fi o marke is fairly weak. In financial insiuions he srucural models are used o conduc capial srucure arbirage, where he arbirageur eners posiions in boh he CDS- and equiy markes, in an aemp o profi from emporary mis-pricing. When he wo markes converge, he arbirageur profis. his hesis demonsraes he rading sraegy wih an example based on he case company Havas SA.

3 An analysis of he residual beween marke spreads and spreads from he Leland & of model shows ha i canno be rejeced ha omied facors can explain par of he residual. his sudy is relaed o he work by Ericsson e al.6, Eom, Helwege & Huang4 and Bernd, Jarrow & Kang7. Explicily we find ha he iraxx Europe Main index is able o explain par of he residual, which indicaes ha he model lacks some variables. he dynamics beween he marke spreads and model spreads are analysed using a Vecor Error Correcion model. Conrarian o curren empirical findings, which do no suppor any lead-lag relaionship beween he sock and CDS marke, his hesis reveals resuls ha suppor he hypohesis of he model spread being able o explain changes in he marke spread. he Square roo model is an inensiy model, where i is assumed ha he inensiy process follows a mean reversion process of Cox, Ingersoll & Ross1985 CIR ype. he model is fied o CDS spreads observed in he marke, and he model oupu is he four parameers of he CIR process, which are used o calculae he probabiliy of survival. he main advanage of inensiy models is ha hey fi he marke very well, which is he reason why hey are primarily used for CDS pricing and hedging in financial insiuions. his hesis demonsraes how he Square roo model can be used o hedge boh Base Poin Value and Jump Risk on a CDS porfolio wih he case company HAV FP as underlying. Base Poin Value represens he sensiiviy of he porfolio o parallel shifs in he CDS curve, while Jump Risk is associaed wih he defaul even iself. Finally boh are combined ino an inegraed hedging framework, which simulaneously hedges boh Base Poin Value and Jump Risk. Duffie & Lando 1 add incomplee informaion o he models of Leland 1994 and Leland & of Explicily noise concerning he value process is added as an inpu variable. he implemenaion shows however ha he heoreical foundaion for he model seems self-conradicory. On he one hand he model assumes ha he informaion is incomplee hence he modeller do no know he exac value of he firm, and on he oher hand he model requires a rue firm value explicily as inpu.

4 his hesis demonsraes how a modified version of Duffie & Lando s model can be implemened. he implemenaion builds on he Leland & of 1996 model, which is expanded wih incomplee informaion in erms of noise on he value process. he hesis argues ha he rue asse value can bes be approximaed wih he curren marke value. he resuls reveals ha he fi o marke spread is sill weak as concluded for he srucural model, however he resuls confirm ha when he informaion is made incomplee, he CDS spreads wih shor mauriy are increased, solving one of he main disadvanages of he srucural models. he choice of he bes approach depends on he purpose, since he models posses differen fields of applicaions. heoreically, srucural models are useful for he managemen o evaluae he disance o defaul, whereas boh srucural and incomplee informaion models can be used for capial srucure arbirage. In conras inensiy models are useful for hedging, risk managemen and pricing of Credi Defaul Swaps.

5 1. Indledning Problemformulering ak il: Afgrænsninger.... Definiion af Credi Defaul Swap Daa og udvælgelse af virksomheder Srukurelle modeller Grundlæggende eori Udvidelser af srukurelle modeller Leland & of modellen Prakisk implemenering af Leland & of modellen Grafisk illusraion af Leland & of modellen Hisorisk vs. implied volailie Rene Resulaer for Leland & of modellen Undersøgelse af fining Undersøgelse af korrelaion Undersøgelse af saisisk signifikans Anvendelsesmuligheder for Leland & of modellen Illusraion af kapialsrukur-arbirage sraegi Analyse af modelresidual Analyse af dynamik mellem model og marked Delkonklusion Inensiesmodeller Grundlæggende eori Udvidelse af inensiesmodeller Square roo modellen Prakisk implemenering af Square roo modellen Beregning af inegraler Kalibrering Opbygning af Square roo modellen Anal dage for kalibrering Resulaer for Square roo modellen Analyse af parameer-følsomhed Fining Forudsigelse af konkurs Anvendelsesmuligheder for Square roo modellen Hedging af Base Poin Value Hedging af Jump Risk Kombinere hedging af Base Poin Value og Jump Risk Delkonklusion Incomplee informaion modeller Grundlæggende eori ilgange il Incomplee informaion Duffie & Lando modellen Logarimisk ransformaion Overlevelses-sandsynligheden Prakisk implemenering af Duffie & Lando modellen Problemer ved kalibrering Opbygning af Duffie & Lando modellen Resulaer for Duffie & Lando modellen Anvendelsesmuligheder for Duffie & Lando modellen Delkonklusion Sammenligning af modeller Modelkriik Leland & of modellen Square roo modellen Duffie & Lando modellen Konklusion Lieraurlise Bilagsoversig... 99

6 Indholdsforegnelse CD CD 1 Kap. 3 Daa Deskripiv saisik Diverse daasæ A Kap. 4 Srukurelle modeller Leland of model Forklaring af residual Handelssraegi HAV FP Korrelaion mellem akiekurs og CDS Recovery analyse UI Regression Model MarkedsCDS Renefølsomhedsanalyse UI Resulaer for L-model Resulaer hisorisk vs implied vol Resulaer VEC-model M M M M M M A A M CD Kap. 5 Inensies modeller Square roo model Beregning af BPV Fining L vs Sqr Quebecor konkursssh Resulaer for Square roo model M A Kap. 6 Incomplee informaion modeller Duffie Lando model Resulaer for DL-model A M angiver a filen befinder sig i Mappen af samme navn. A angiver a der i mappen findes filer for Alle virksomheder.

7 Oversig over generelle symboler Fælles τ s r R B, idspunk idspunk for udløbmauriy Konkurs-idspunk Evalueringsperioden Risikofri rene Recovery rae Prisen på en risikofri nul-kupon-obligaion med løbeid Yτ Nominel recovery på underliggende obligaion FS Forsikringssum FH Yτ ex. 6 hvis R=4% FH Forsikringshovedsol ex. 1 S, CDS-spread på en konrak med løbeid der indgås på idspunk. Q q V CDS π Den kumulaive overlevelsessandsynlighed frem il æhedsfunkion for overlevelsessandsynlighed Værdien af en indgåe CDS-konrak Værdien af en lukke CDS-posiion Speciel for Leland-of og Duffie-Lando modellerne Eq Equiy bogfør værdi EqV Equiy value markedsværdi D Deb bogfør værdi DV Deb value markedsværdi C Coupon V Unleverede virksomhedsværdi værdi af underliggende akiver v Levered virksomhedsværdi værdi af akiver inkl. skaeskjold og falliomk µ Drif rae på V δ Akivernes payou rae σ EqV Volailie på equiy value σ V Volailie for unlevered virksomhedsværdi K Konkurs barriere α Konkurs-omkosninger θ Skae-procen P a Z m Vˆ v Hedge raio Akiekursen på idspunk Graden af søj Virksomhedens sande værdi i log-ransformaionen Drif i log-ransformaionen Virksomhedens værdi observere med søj Konkursbarrieren i log-ransformaionen Speciel for Square roo modellen λ Inensie for konkurs θ Den langsigede ligevæg for inensieen σ Volailieen på inensieen c rækkrafen mod ligevæg

8 Complee realism is clearly unaainable, and he quesion wheher a heory is realisic enough can be seled only by seeing wheher i yields predicions ha are good enough for he purpose in hand or ha are beer han predicions from alernaive heories. Friedman, INDLEDNING De finansielle marked for køb og salg af krediforsikringer vha. Credi Defaul Swaps CDS har i de senese år være i eksplosiv væks. I perioden december 5 - juni 7 voksede udesående CDS-konraker fra 13,9 il 4,6 billioner $ 1 BIS, 7. il sammenligning seg udesående akie-derivaer kun fra 5,8 il 9, billioner $ i samme periode, hvilke vidner om, a både sørrelsen og væksen i CDS-markede har være enorm. Den finansielle krise, der sarede i. halvår af 7, har markan øge fokus på kredimarkede. Beydningen af nøjagige modeller il prisfassæelse og afdækning af kredirisiko er derfor ikke bleve mindre i den senese periode. Imidlerid er der endnu ikke konsensus om en markedsmodel for prissæning og modellering af CDS-spread. Denne opgave analyserer derfor de forskellige ilgange il prissæning og modellering af CDSspread Problemformulering I lierauren findes der re hovedilgange il modellering af CDS-spread; srukurelle modeller, inensiesmodeller og incomplee informaion modeller. Formåle med denne opgave er a undersøge forskellene mellem disse re hovedilgange il modellering af CDSspread, med fokus på den prakiske anvendelse af modellerne. Opgaven henvender sig primær il banker, andre finansielle insiuioner, sore erhvervsvirksomheder sam andre med ineresse for modellering af kredirisiko. Opgavens hovedproblemsilling kan formuleres således: Hvad er forskellene mellem de re hovedilgange il modellering af CDS-spread og hvorledes kan modellerne anvendes i praksis? 1 Mål ved noional amoun ousanding 1

9 De re hovedilgange sammenlignes ved udvælgelse af re konkree modeller, der anses for repræsenaive for hver sin ilgang. Opgavens hovedspørgsmål søges besvare via følgende underspørgsmål: Hvilke anagelser ligger der il grund for de udvalge modeller, herunder anagelsen omkring informaionsniveaue i modellerne? Hvordan kan de udvalge modeller implemeneres og kalibreres i praksis? Hvordan fier de udvalge modeller i forhold il fakisk observere markedsdaa? Hvilke anvendelsesmuligheder ligger der i de udvalge modeller? Opgaven opbygges på følgende vis med henblik på a besvare problemsillingen: Indledningsvis redegøres der for begrebe CDS og daagrundlage for opgaven kap. og 3. Dernæs analyseres én modelilgang af gangen, hvor de fire underspørgsmål forsøges besvare med udgangspunk i én repræsenaiv model for hver ilgang kap. 4, 5 og 6. På baggrund af analyserne af de re hovedilgange søges opgavens hovedspørgsmål besvare ved vurdering og sammenligning af de re modeller kap. 7. Endelig afslues opgaven med modelkriik og konklusion kap. 8 og ak il: Peer Løche Jørgensen for vejledning på opgaven, homas Kokholm for inspiraion il valg af emne og modeller, Peer ind Larsen for afklaring af spørgsmål vedrørende modeller, David Lando og Kay Giesecke for henvisning il lieraur, Mads Fredsgård med inspiraion il prakisk anvendelse af inensiesmodellen Afgrænsninger Indenfor hver område srukurel, inensie, incomplee vælges én repræsenaiv model, som implemeneres og anvendes. Øvrige modeller behandles kun kursorisk. Denne opgave har ikke il hensig a udlede nye maemaiske eorier og modeller eller efervise eksiserende maemaiske formler. Formåle med opgaven er derimod prakisk anvendelse af de udvalge modeller. Der afgrænses fra behandling af Collaeralized Deb Obligaions CDO, dvs. en porefølje af CDS er opdel i rancher, hvilke beyder, a der ikke fokuseres på korrelaioner mellem forskellige virksomheders falliidspunker eller korrelaioner i en porefølje af forskellige CDS er. Endelig ses der i opgaven bor fra modparsrisiko ved CDS.

10 . DEFINIION AF CREDI DEFAUL SWAP En Credi Defaul Swap CDS kan ses som en ganske almindelig forsikring mod en virksomheds konkurs, hvor en forsikringskøber løbende bealer en præmie mod il gengæld a modage en forsikringssum, hvis virksomheden går konkurs. En CDS-konrak kan defineres på følgende måde Duffie, 1999: o parer A og B indgår en konrak med udløb, medmindre par C går konkurs på idspunk τ, der skal ligge inden. Dee noeres τ < og udløb af en CDS er således minτ,. Afalen er, a B modager e besem beløb i forsikringssum FS fra A i ilfælde af C s konkurs. Beløbe er ypisk forskellen mellem fordringens underliggende forsikringshovedsol FH og markedsværdien Yτ på konkursidspunke af fordringen. I CDS ens løbeid bealer B il A CDS-spreade S som kompensaion. Dee er illusrere i figur.1. Figur.1 Oversig over swap flows Kilde: Goldman Sachs 4 Under anagelse af perfeke markeder, kan en CDS imidlerid også dannes syneisk ved brug af e risikofri akiv og e risikabel akiv på virksomhed C. Dee er illusrere i figur., hvor den syneiske CDS kan ses il højre i figuren. Ved a købe de risikofrie akiv med variabel rene og hovedsol FH=1, og samidig gå kor i de risikable akiv, må B løbende beale forskellen S mellem de o kuponer. Ved konkurs på virksomhed C skal B kun beale Yτ for a købe akive i markede, mens de risikofrie akiv kan sælges il kurs 1. Ved konkurs modager B således neo 1-Yτ. Dvs. der anages ingen ransakionsomkosninger, ingen arbiragemuligheder, korsalg illad, ingen ska. 3

11 Figur.: Illusraion af syneisk CDS Noe: Basere på Duffie 1999 En CDS er ifølge Duffie1999 sammensa af o komponener, som de ses il højre i figur.. For køberen af beskyelsen B er disse o komponener følgende: 1. Modagelse af forsikringssum FS på 1-Yτ af de underliggende ved τ hvis τ <.. Bealing af en annuie med ydelsen S indil min,τ. Værdien af en CDS er således forskellen mellem nuidsværdierne af ovensående o komponener, og anages der indledningsvis diskree bealinger, kan værdien beregnes ved følgende sammenhæng Goldman Sachs, 4: V CDS, = PVforsikringssum PVspreadbealinger V CDS 1 R B, s Q s1 Q s S, B, s Q s1, s= 1 s= 1 = hvor R angiver den procenvise recovery, dvs. R = Y τ 1, B,s er diskoneringsfakoren for en enhed modage på idspunk s og Q s-1 -Q s angiver sandsynligheden for en kredihændelse i periode s. S, er CDS-spreade for en CDS med løbeid, mens Q s-1 angiver sandsynligheden for overlevelse frem il idspunk s-1. En nyslåe CDS-konrak skal iniial have en værdi V CDS på nul. Isoleres S, kan CDSspreade derfor beregnes som: S, 1 R B, s Q s= 1 = s= 1 B, s Q s1 s1 Q Spreade på en CDS besemmes således af forholde mellem nuidsværdierne af den forvenede fremidige forsikringssum som modages ved konkurs, dividere med summen af de forvenede fremidige præmiebealinger. s 4

12 Relaionen kan nu gøres koninuerlig ved a inegrere over iden i inervalle [;], dvs. der inegreres over hele CDS ens løbeid. Diskoneringsfakoren B,s bliver derfor lig ages der udgangspunk i værdiformlen Bajlum & Larsen, 7a: rs rs V CDS, = 1 R e qsds S, e Qs ds, 1 rs e. Igen hvor qs er den risikoneurale æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed, mens Q angiver den risikoneurale overlevelses-sandsynlighed. Ved som ovenfor a sæe V CDS lig nul og isolere S, fås relaionen for CDS-spreade i koninuer form: rs 1 R e qsds S, = rs e Qsds Formel 1 og bruges i resen af opgaven il a beregne værdien af CDS sam CDSspreads, hvor direke inpu er Recovery rae og diskoneringsfakor. Herudover indgår æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed sam overlevelses-sandsynligheden, hvorfor disse som minimum skal kunne esimeres ud fra de valge modeller. 5

13 3. DAA OG UDVÆLGELSE AF VIRKSOMHEDER il brug for den empiriske analyse af de re forskellige modeller i opgaven er de nødvendig med en række markeds- og virksomhedsdaa, hvor førse krierium for valg af virksomheder er, a der eksiserer likvide CDS-priser. Derfor er de valg a benye medlemmer af iraxx Europe Main-indekse og iraxx Xover-indekse herefer benævn hhv. Europe og Xover, der er indeks over de mes likvide europæiske virksomheder. Europe besår af de 15 mes handlede europæiske CDS er for invesmen grade virksomheder dvs. raing skal være minds BBB-/Baa3 for hhv. S&P og Moody s kaegorisering, mens Xover indekse besår af de 4 mes handlede CDS er for high-yield virksomheder dvs. alle øvrige virksomheder. De er valg a anvende både invesmen grade og high-yield virksomheder, da srukurelle modeller generel ofe har svær ved a esimere e posiiv CDS-spread for virksomheder med høj raingdvs. sor disance-o-defaul. Ved anvendelse af virksomheder fra begge grupper er de mulig a sammenligne disse i den senere analyse. I analyserne anvendes perioden handelsdage il sammenligning af modellernes resulaer med de fakiske markedspriser. Medlemmer af iraxx indeksene bliver udskife hver sjee måned. Såfrem analysen udføres på de nuværende indeksmedlemmer i Xover risikeres de, a resulaerne bliver påvirke af looser-bias dvs. der anvendes virksomheder, der ypisk er komme i økonomiske vanskeligheder i den akuelle periode. Derfor anvendes de daværende medlemmer af de o indeks pr , da de eferfølgende har haf mulighed for både a udvikle sig posiiv såvel som negaiv. I abel 3.1 ses deskripiv saisik for de væsenligse variable anvend i analyserne. 1 år CDS Gældsandel Middelværdi ,99%,77% 3,4 77,9 11, 49,89% 6,6 4,% 4,9% Median ,9% 3,1% 15,3 54, 81,5 49,38% 6,1 4,1% 4,8% Sd.afvigelse ,48% 1,3% 3,7 7,5 9,9 14,6%,6,56%,34% Maksimum ,83% 5,7% 549,9 67, 71,1 85,54% 14,71 4,88% 4,97% Minimum ,%,% 1,1 7, 13, 17,9% 1,79,8% 3,39% Noe: Gældsandel er beregne som: bogfør gæld / virksomhedens værdi. Median og Sanderdafvigelse er basere på de 39 virksomheders gns. værdi. Alle anvende daasæ er vedlag på CD i mappen Kap. 3 Daa Varighed Gæld 1-årig swap rene 1-årig swap rene abel 3.1 Deskripiv saisik for for anvende variable Værdi EK mio Akievolailie Dividende 1 år CDS 5 år CDS Daglige CDS-spread for 1 il 1 års varighed er for den enkele virksomhed ilvejebrag vha. Daasream, mens øvrige daa nævn i de følgende er fremskaffe vha. Bloomberg. Den daglige markedsværdi af egenkapialen EqV beregnes som miderkurs ved lukkeid muliplicere med analle af udesående akier. Egenkapialens gns. dividende-bealing 6

14 esimeres som e 5-årig glidende gennemsni. For den enkele virksomhed benyes kvaralsmæssige eller halvårlige regnskabsdaa for den bogføre værdi af gælden D mens reneomkosningerne baseres på årsregnskabe. Regnskabsdaa er i øvrig hene op il 5 år inden 1. januar 6, da disse anvendes il beregning af glidende gennemsni og il kalibrering af modeller. Den gns. varighed af virksomhedens gæld beregnes som e væge gns. af kor gæld<1 år, lang gæld>1 år sam øvrig ikke-renebærende lang gældf.eks. pensions-forpligelser mm. Den kore gæld anages a have en gns. varighed på,5 år, mens gns. varighed for den lange gæld beregnes som e væge gns. af varigheden for alle virksomhedens lån og obligaionsudsedelser over 1 år. De anages, a varigheden for den lange gæld har være konsan gennem perioden. Varigheden af den øvrige ikke-renebærende lange gæld er ukend. Ifølge Ericsson e al. 6 er e fornufig esima for varigheden af ny-udsed gæld 6,76 år, hvilke svarer il en gns. varighed på 3,38 år, når gælden rulles løbende. De anages derfor, a de udvalge Europe og Xover virksomheder oal se i gns. har en gældsvarighed på 3,38 år, hvilke kræver, a gns. varighed af den øvrige ikke-renebærende lange gæld sæes il 8,1 år. Som mål for den risikofrie rene benyes daglige observaioner for 1-1 årige euro-swap rener, der jf. Lando5 er en god approksimaion for den risikofrie rene. Endelig anvendes en 3 måneders implied akievolailie hene fra opionsmarkede via Bloomberg, hvor der ages e gns. af implici pu- og call-volailie. 3 Udgangspunke er som nævn hhv. 15 og 4 virksomheder for Europe og Xover indekse. Samlige finansielle virksomheder 5 sk. og uiliy virksomheder 19 sk. udelades pga. deres specielle balanceopbygning jf. Bajlum & Larsen7a. Herudover har de være nødvendig a frasorere adskillige virksomheder pga. fejlbehæfede eller manglende idsserier. Frasorering er ske som følge af mangler ved: akiekurser1 sk., regnskaber9 sk., implied volailie1 sk. og CDS priser11 sk.. ilbage er således bleve 3 og 9 virksomheder fra hhv. Europe og Xover indekse, hvilke fremgår af bilag 1. I opgaven anvendes de o case-virksomheder HAV FP og UI GR il a illusrere resulaer. Virksomheder benævnes i opgaven ved deres Bloomberg navn, mens de fulde navn ligeledes fremgår af bilag 1. Samlige idsserier er bleve undersøg for fejl, og som de fremgår af ovensående, er en række virksomheder sorere fra pga. fejlbehæfede eller mangelfulde daa. De kan imidlerid ikke udelukkes, a der findes yderligere mindre fejl i daa eller søj som følge af illikvide daa, hvorfor resulaer og konklusioner nødvendigvis må acceperes med dee forbehold. 3 Der eksiserer ofe en lille afvigelse mellem implied pu- og call-volailie, hvilke formodes a være en konsekvens af forskellig likvidie og eferspørgsel sam a opionerne kan afvige lid fra a være A-he-money 7

15 4. SRUKURELLE MODELLER I dee kapiel redegøres indledningsvis for den grundlæggende eori og udvidelsesreningerne for de srukurelle modeller. Herefer følger eori, prakisk implemenering, resulaer og anvendelsesmuligheder for den udvalge model. Afsluningsvis udføres saisisk analyse på modellens residualer og dynamik Grundlæggende eori De srukurelle modeller baserer sig alle på den samme grundlæggende eori, hvor de anages a en virksomhed går konkurs, hvis værdien af dens akiver bliver mindre end dens gæld. Srukurelle modeller er derudover kendeegne ved, a modelkonsrukøren implici anages a have fuld informaion om virksomhedens forhold og værdi. Grundidéen bag srukurelle modeller baserer sig på Black & Scholes1973 sam Meron1974, der anager, a egenkapialens værdi EqV kan ses som en europæisk callopion på virksomhedens akiver. I Meron modellen anages ingen ransakionsomkosninger, ingen skaer, ingen konkursomkosninger og ingen ilbagekøb af akier Giesecke & Goldberg, 4b. Herudover kan ny gæld ikke udsedes, førend den eksiserende gæld forfalder. I Meron modellen anages de, a akionærerne har køb en call-opion på virksomhedens akiverv som de underliggende, med en exercise-kurs svarende il virksomhedens bogføre gæld D. På udløbsidspunke er værdien af egenkapialen dermed give ved EqV = call = maxv-d,. Markedsværdien af gælden DV findes som forskellen mellem akivernes værdi og EqV, dvs. DV = V call. Ved hjælp af pu-call parieen kan værdien af gælden også udrykkes som en nul-kupon frasolg en pu-opion, dvs. DV= D Pu. Inuiionen er, a krediorerne har skreve en puopion il ejerne, ide ejerne har reen il a sælge virksomhedens akiver il krediorerne for en exercisepris svarende il gældens nominelle værdi. Værdien af den skrevne opion beregnes ved udløb som; Pu = maxd-v,. På udløbsidspunke gælder derfor følgende sammenhæng for gældens værdi: DV = V Call = D Pu il modellering af ovensående kræves en model for udviklingen i værdien af virksomhedens akiver, og de anages derfor, a akivernes værdi følger en geomerisk brownsk bevægelse GBM diffusionsproces, som forbliver ikke-negaiv: dv = µ V d + σ V dw, V hvor µ angiver drif-raen og W er en sandard Brownsk bevægelse under de fysiske - sandsynlighedsmål. Yderligere anages de, a e akiv med prisudvikling dv handles fri 8

16 win securiy, sam a e risikofri pengemarkedsinsrumen med coninuous compounded rene [e r ] handles fri. Værdien af virksomhedens akiver V og volailieen på akiverne σ V er imidlerid ikke direke observerbare, men må esimeres. Ifølge Hull6 kan denne esimaion foreages vha. o beingelser. Den førse beingelse følger direke af opionsankegangen, ide egenkapialens værdi i dag skal være lig værdien af en call-opion på virksomhedens akiver, og kan simpel beregnes vha. Black-Scholes 1973 formel: r EqV = C V, D, r,, σ = V Nd1 + D e Nd 3 BS V hvor: lnv d1 = D + r +σv σv d = d1σ V hvor N angiver den kumulaive sandardnormalfordeling. Beingelse nummer o følger af Io s lemma ved brug af opion-dela, der defineres som EqV / V, dvs. ændringen i opionens værdi når de underliggende ændrer værdi, og vha. Io s lemma kan den besemmes ved: σ EqV = N d1 σ V 4 EqV V I ovensående o beingelser indgår i al syv variable, hvoraf de fem er kende; D, r,, EqV, σ EqV, mens de o sidse V og σ V er ubekende. Vi har således o ligninger med o ubekende og kan løse disse for V og σ V. Når V og σ V er funde, kan den risikoneurale konkurssandsynlighed ifølge Hull6 beregnes ved N-d, og overlevelses-sandsynligheden Q kan besemmes som: Q = 1 - N-d Endelig kan CDS-spread beregnes vha. formel, når overlevelses-sandsynligheden Q er kend. Ovensående principper vedrørende opsilling af de o beingelser il besemmelse af V og σ V vil senere blive anvend ifm. den prakiske implemenering af en srukurel model. 4.. Udvidelser af srukurelle modeller En sor svaghed ved Merons model er, a konkurs kun kan ske på e besem idspunk; ved gældens forfald. Derfor indføre Black & Cox1976 en konkursbarriere K. Konkurs indræffer nu førse gang V passerer under K, hvormed modellen bliver en firs passage model. Konkursbarrieren kan forolkes som en implemenering af de safey covenans, som långivere ypisk inkluderer i en låneafale, eksempelvis i form af krav il minimum solidie eller renedækning. Black & Cox idéen med en barriere er grundlage for den øvrige udvikling indenfor srukurelle modeller. 9

17 I de radiionelle srukurelle modeller har man ypisk fassa konkursbarrieren som værende lig gældens nominelle værdi, således a virksomheden går konkurs, når akiverne er mindre værd end gælden. Alernaiv er de også ofe anvend a approksimere konkursbarrieren som værdien af den kore gæld plus halvdelen af den lange gæld, ide de anages a en virksomhed fakisk kan overleve i en periode, selvom akivernes værdi er mindre end gældens sørrelse. Dee princip anvendes neop i Moody s KMV, hvilke er en model, som anvendes mege i praksis. Her udnyes opionsankegangen il a esimere den forvenede konkursafsand. De er dog ikke opionsprismodellen, der bruges il esimering af konkurssandsynligheden som i Meron. Derimod udnyes de, a man ved hjælp af hisoriske daa kan esimere den konkursfrekvens, som svarer il en given konkursafsand jf. Crosbie & Bohn. En anden udvidelse kan ske ved a indføre konkursomkosninger, der medfører a kredispreade øges, hvilke bl.a. behandles i Longsaff & Schwarz1995, Collin-Dufresne & Goldsein1 sam Kim, Ramaswamy & Sundaresan1993. Leland1994 kommer med si bud på, hvordan konkursbarrieren kan fassæes endogen i modellen af virksomhedens ledelse, og resulaerne herfra bruges i Leland & of Her anages de ligeledes, a virksomheden kan overleve en periode, hvor akivernes værdi ligger under gælden. Leland1998 udvider 1994 udgaven ved a age højde for asse subsiuion, dvs. a virksomheden efer gælden er udsed, vælger a udskife idligere akiver med nye mere volaile akiver, hvilke naurligvis forøger volailieen på virksomhedens værdi. Den grundlæggende Black & Cox model blev udvide af Longsaff og Schwarz1995 il også a age højde for sokasisk rene, og blev forbedre af Collin-Dufresne & Goldsein1. Herved kan korrelaionen mellem rene og kredi-spread modelleres. Der kræves dog særke anagelser, hvis renevolailieen skal påvirke kredispænde væsenlig. Empirisk er sammenhængen mellem reneniveau og kredispænd svag, ide ingen af modellerne viser en økonomisk signifikan påvirkning fra renen på ændringer i kredi-spread Duffee, Modeller med sokasisk rene er også behandle i Kim, Ramaswamy & Sundaresan1993, hvor renen følger en CIR-proces. Lando4 vurderer konsekvensen, når gælden afdrages i raer. Her fokuseres på den løbende bealing af kuponer. Finansieringen af kuponerne kan komme fra o kilder: Frasalg af akiver eller en udvidelse af egenkapialen. Man må således gøre sig anagelser om finansieringen af de enkele kuponbealinger, ide værdisæningen af den førse kupon afhænger af eferfølgende kuponer. De er i denne opgave valg a implemenere Leland & of 1996 modellen. Denne model anses som repræsenaiv for den srukurelle ilgang, ide den inkluderer både konkursbarriere og virksomhedens kapialsrukur, samidig med a der ofe refereres il den i lierauren. Leland & of modellen præseneres i de følgende. 1

18 4.3. Leland & of modellen Leland & of 1996 herefer benævn L er kendeegne ved, a konkursbarrieren K i modellen besemmes endogen af virksomhedens ledelse, som ønsker a opimere værdien af virksomhedens værdi på vegne af akionærerne. Hermed bliver konkurs endogen, ide konkursidspunke besemmes i modellen. Der anages fuld informaion om virksomhedens forhold. Gældens værdi De anages, a virksomhedens gæld udsedes i form af sående lån med udløb år fra udsedelsen. I modsæning il andre srukurelle modeller inddrages varigheden af gæld dermed hel eksplici i L-modellen. Virksomhedens samlede gæld D anages uændre gennem iden, og hver år udsedes der obligaioner af sørrelsen D/. Samidig forfalder en ilsvarende del af virksomhedens eksiserende gæld. Dvs. hvis løbeiden eksempelvis er 5 år, skal 1/5 af virksomhedens gæld hver år forlænges. Gældens fremidige forfaldsidspunker er dermed uniform fordel i inervalle, +. Ved a lægge den årlige kuponbealing C og afdrag sammen findes virksomhedens samlede årlige gældsbyrde som C + D/. Markedsværdien af gælden DV kan beregnes ved: DV C r C r 1 e r r C r V ; K, = + D I + 1 α K J 5 hvor beregningen af I og J fremgår af bilag og α angiver de procenvise konkursomkosninger. Virksomhedens værdi L følger Miller & Modigliani1958 sam sørseparen af corporae finance lierauren ved a anage, a værdien af virksomhedens underliggende akivieer er uafhængig af gældssrukuren. Akivernes værdi V anages a følge en geomerisk brownsk bevægelsegbm give ved: δ V d + V dz dv = µ σ V, hvor µ er den oale forvenede afkasrae af akivernes værdi, δ er den konsane payou-raio il långivere og akionærer, som anages uafhængig af virksomhedens gearing, mens dz er en sandard Brownian moion. Processen forsæer indil V<K. Virksomhedens markedsværdi besemmes af akivernes underliggende værdi illag værdien af skaeskjolde i virksomhedens leveid og frarukke nuidsværdien af omkosningerne ved fremidig konkurs. Skaeskjolde anages årlig a andrage sørrelsen θ*c så længe V>K, hvor 11

19 θ angiver skaeprocenen. Ved konkurs miser långiverne α*k. Virksomhedens samlede værdi beregnes som Leland & of, 1996: vv;k = akivernes unlevered værdi + PVskaeskjold- PVkonkursomk. v V; K x x θ C V V V = + 1 αk r 6 K K Egenkapialens værdi Når virksomhedens samlede værdi og markedsværdien af gælden er funde, kan værdien af egenkapialen EqV simpel besemmes som forskellen mellem formel 6 og formel 5: EqV V ; K, = v V ; K DV V ; K,, 7 Konkursbarriere Konkurs indræffer, når værdien af akiverne rammer konkursbarrieren. De anages, a virksomhedens ledelse fassæer konkursbarrieren efer a gælden er udsed. Vilkårene for lånene er således vedage, hvorfor ledelsen kan fokusere udelukkende på akionærernes ineresser, nemlig maksimering af egenkapialens værdi. Ledelsens opgave er a finde den værdi, der medfører den højs mulige egenkapialsværdi ved a besemme den konkursbarriere K, som opfylder ligningen: EqV V ; K, V V = K = Løsningen for K il ovensående maksimeringsproblem er: C / ra /r B A D /r θ C x / r K = 8 1+ αx 1 α B Beregning af A, B og x fremgår af bilag. Leland & of 1996 viser, a når, vil K 1θ Cx / r 1 + x og når, vil K D 1 α. K er derfor direke afhængig af løbeiden på gælden. Jo længere løbeid, jo lavere vil konkursbarrieren blive, ide den årlige gældsbyrde reduceres. Barrieren kan dermed le befinde sig under gældens nominelle værdi. Raionale bag dee kan illusreres ved e eksempel. Anag a =5, D=1 og C=1, da vil den årlige gældsbyrde være lig 3 beregne som 1 + 1/5. Virksomheden skal således blo kunne finde finansiering for de 3 for a forsæe drifen endnu e år, hvilke kan ses som srike-prisen på en compound opion. Hvis gælden ikke indeholder covenans, vil krediorerne ikke have anledning il a lukke virksomheden, så længe den blo bealer sin løbende renebyrde, uafhængig af akivernes akuelle markedsværdi. Omvend vil barrieren ligge over gældens nominelle værdi når løbeiden er kor, give α er posiiv. Her vil virksomheden således gå konkurs selvom v > D. Dee kan måske umiddelbar virke ulogisk, men man skal huske på, a i Leland & of besemmes konkurs af ledelsen, når gældsbyrden ikke længere kan dækkes af de løbende cash flow, og akionærerne ikke ønsker 1

20 a skyde penge ind il a dække gældsbyrden. Virksomheden vil således kun beale gældsbyrden og forlænge leveiden, når værdien for akionærerne forøges. Med andre ord sker konkurs når compound opionen er ude af pengene. Ovensående sammenhæng mellem og K er en af de hel sore forskelle mellem Leland & of og andre srukurelle modeller, hvor og K ypisk er uafhængige. Overlevelses-sandsynlighed og CDS-spread Ved prissæning af CDS er virksomhedens overlevelses-sandsynlighed naurligvis en cenral sørrelse. Anages de, a CDS en har løbeiden, er de således afgørende om virksomhedens konkurs sker før eller efer. I L-modellen kan den risikoneurale overlevelses-sandsynlighed Q for perioden [,] beregnes ved: a V = 1 N h + N h, 9 1 K Q hvor h 1, h og a fremgår af bilag. Q kan nu indsæes i formel il beregning af CDS-spread: rs 1 R e qsds S, =, rs e Qsds Ved a udføre inegreringen af inegrale i nævneren og eferfølgende omskrive udrykke kan modellens CDS-spread jf. Bajlum & Larsen 7a besemmes som: G S, = r 1 R r 1 1 e Q G rs hvor G beegner inegrale e qsds, og lukke løsning for G fremgår af bilag. Formel 1 anvendes i de eferfølgende il a beregne CDS-spread for L-modellen Prakisk implemenering af Leland & of modellen Ved den prakiske implemenering af L-modellen sæes konkursomkosningerne som i Duffie & Lando 1 il α=,3; skaeprocenen θ=,35, mens gns. varighed for gæld beregnes individuel for den enkele virksomhed. Recovery of face value sæes il 4%, hvilke svarer il den værdi, som ofe benyes i den eoreiske lieraur. På samme måde som Bajlum & Larsen 7a og Ericsson e. al. 6 anages de, a den gennemsnilige kuponrae svarer il den risikofrie rene, hvormed den årlige kuponbealing C er give ved C=rD. Asse payou-rae δ beregnes som e 5 års hisorisk væge gennemsni af dividende rae og relaive reneomkosninger: δ = reneomkos ninger D EqV + Dividende _ rae 11 D D + EqV D + EqV 13

21 For a besemme den hisoriske volailie σ V anvendes en ieraiv procedure, som beskreve i Vassalou og Xing4, ide både σ V og V er ukende, men samidig også indbyrdes afhængige. Som iniial esima på σ V for de sidse 5 handelsdage anvendes σ EqV i samme periode. For hver dag i perioden esimeres den værdi af V, der sikrer, a modellens beregnede EqV er lig den fakiske EqV i markede. Dermed opnås daglige esimaer for V Dernæs beregnes σ V ud fra V-værdierne, og denne σ V anvendes nu som inpu for næse ieraion. Denne procedure forsæes indil σ V for o på hinanden eferfølgende ieraioner konvergerer, hvor vi har sa konvergenskrierie il en maksimal afvigelse på,1 procen. Lando4 fremhæver i øvrig, a denne meode er a forerække, når gældsandelen varierer markan over id, hvilke vil være ilfælde for nogle af de valge virksomheder. I praksis har vi implemenere den ieraive procedure vha. Excel og VBA, hvor σ V re-esimeres hver. handelsdag vha. ovennævne meode. Som alernaiv il den hisoriske volailie ønskes de også undersøg, hvilken effek de har a anvende implied volailie. I modsæning il den hisoriske volailie indeholder den implicie volailie markedes fremadreede forvenninger for en akies volailie. Som esima på den implicie volailie anvendes 3 måneders implied akievolailie hene fra opionsmarkede. Som beskreve i de grundlæggende eori-afsni kapiel 4.1 er både σ V og V ukende, men kan besemmes numerisk, ide følgende o beingelser skal være opfyld: EqV = f V, σ V, θ 1 σ EqV EqV σ V = 13 V V EqV Formel 1 svarer il formel 3 i kapiel 4.1, men beregnes i L-modellen vha. formel 7 for EqV. Formel 13 svarer il formel 4, men førse brøk δ EqV δv beregnes numerisk som en forward difference jf. Wilmo7, dvs. man måler ændringen i EqV ved a øge V med 1. I øvrig vil man kunne observere, a δ EqV δv kan blive sørre end 1, selv om dee ikke umiddelbar er inuiiv, a EqV kan vokse hurigere end V. Forklaringen herpå skal findes i de fakum, a EqV er give som forskellen mellem levered firm value og gæld, dvs. EqV = vv D. Således vokser vv dvs. levered firm value ypisk mere end V unlevered firm value, da der illægges e skaeskjold jf. formel 6 I praksis besemmes σ V og V for en handelsdag af gangen, hvilke gøres numerisk vha. en VBA-løkke. Dee sker ved a minimere følgende krieriefunkion for summen af relaive afvigelser SA: SA = MarkedsEqV ModelEqV ModelEqV Markeds _ σ E Model _ σ E + Model _ σ E 14 14

22 Krieriefunkionen minimeres ved a ilpasse σ V og V indil ligning 1 og 13 begge er opfyld, hvormed modellen er kalibrere. Den implemenerede model kan ses i mappen Kap. 4 under navne Leland of model på vedlage CD Grafisk illusraion af Leland & of modellen Formåle med dee afsni er a illusrere, hvorledes L-modellens resulaer kan forolkes grafisk. I figur 4.1 er resulaerne af a anvende L-modellen på case-virksomheden HAV FP vis, hvor den implicie volailie er anvend som inpu. Figur 4.1 viser de beregnede 5-årige CDS-spread fra modellen sam re af de primære fakorer for besemmelsen af CDS-spread: barriere, virksomhedsværdi og volailie. Figur 4.1 Modelresulaer for HAV FP Værdi & sigma* CDS-spread B a r r i e r e v. a k s e V h. a k s e S i g m a v. a k s e M o d e l C D S v. a k s e Noe: Modelresulaer for perioden Den mørkeblå kurve viser de modelberegnede 5-årige CDS-spread. Volailieen sigma er skalere med 1. dvs. 1. svarer il en sigma på 1% De ses af figur 4.1, a modellen forecaser e sigende CDS-spread over perioden, og især i de sidse par måneder siger CDS-spread markan. Over perioden er konkursbarrieren faldende fra niveaue 3.3 Mio. EUR il lid under.9 MIO. EUR. De burde isolere se ale for e mindre CDS-spread, når konkursniveaue reduceres. I samme periode ses de dog, a akivernes værdi falder fra ca MIO. EUR il 3.35 MIO. EUR. Samle se kan dee forklare de sigende CDS-spread. For en endelig vurdering af konkursrisikoen skal volailieen dog ages i beragning, da de reel er den relaive konkursafsand mål i sd. afvigelser, der er afgørende. Som de ses af figuren, er akivernes volailie sigende over perioden fra 6 % il 9 % i sluningen. Når volailieen vokser, bliver den relaive konkursafsand reducere, hvilke også aler for en signing i CDS-spread. De bør bemærkes, a CDS-spread er mege følsom overfor ændringer i volailieen, hvilke bl.a. ydelig ses omkring årsskife 6/7. Volailie behandles i øvrig nærmere nedenfor. I sluningen af analyseperioden efer årsskife 7/8 kan den markane signing i CDS-spread forklares med en signing i konkursbarrieren, samidig med a volailieen svag forøges. 15

23 De kan således konkluderes, a der grundlæggende er konsisens mellem forvene rening i CDS-spread if. øvrige variable Hisorisk vs. implied volailie I dee afsni foreages en vurdering af, hvorvid der bør anvendes hisorisk eller implied volailie som inpu il L-modellen, hvor analysen baseres på resulaer for de 9 Xover virksomheder. Som de fremgår af foregående afsni har volailieen relaiv sor beydning for de esimerede CDS-spread i modellen, ide højere volailie medfører færre sandardafvigelser il konkursbarrieren. Af abel 4.1 i panel A ses de gns. niveau for de 5-årige CDS-spread i perioden 1. jan 6 il 14. mars 8. For hver virksomhed er vis de modellerede 5-årige spread når henholdsvis hisorisk og implied volailie anvendes, sam virksomhedens gennemsnilige 5-årige CDSspread som de blev give fra markede. I panel B vises Mean Error ME for henholdsvis hisorisk og implied volailie. Som de ses, fier de 5-årige CDS-spread fra implied volailie beds for 8 af de 9 virksomheder. I panel C ses Mean Absolue DeviaionMAD i de daglige modellerede 5-årige CDS-spread, hvor der i modsæning il ME ages højde for a posiive og negaive afvigelser ikke blo udlignes. De ses, a implied volailie igen giver bedre resulaer for 8 af de 9 virksomheder. abel 4.1 Gns. 5-årig CDS-spread, ME og MAD for hhv. hisorisk og implied volailie ALU FP ALO FP BAY LN CW LN CAP FP COL LN HAV FP MEO1V FH Panel A: CDS-spread Hisorisk vol 19,5 38,7 16,4 6, 48,5 98,1 166, ,6 Implied vol 114,4 165, ,9 68,4 11,1 5,4 53,4 18,6 Marke 159,4 68,4 119, 38 13,6 54,3 57,4 61,4 83,9 Panel B: ME Hisorisk vol -49,9 17,3 43,1-11,9-55, -156, -9,4-11,4 161,8 Implied vol ,9 99,8-1, -35,3-14, -51, ,3 Panel C: MAD Hisorisk vol 51, 17, ,9 57,6 156, 9 34,7 16,7 Implied vol 46,4 96,9 1 1, 43,4 14,3 66,9 3 11,3 Noe: abellen viser resulaer for de 9 Xover virksomheder som ses i øverse række. Fulde navn på virksomhederne fremgår af bilag 1. Mean Error er beregne som: 1 N 1 N ME = ModelCDS5, MarkedsCDS5, N = 1 N = 1 Mean Absolue Deviaion er beregne som: 1 N MAD = ModelCDS5, MarkedsCDS5, N = 1 UI1 GR I abel 4. vises korrelaionen mellem de 5-årige CDS-spread fra modellen ModelCDS og markede MarkedsCDS for de 9 Xover virksomheder. Jo højere korrelaionen er, jo bedre er modellen i sand il a forudsige reningen på dagens ændring i markeds-spread. I panel A er 16

24 korrelaionen mål på difference-daadvs. dagens ændring i spread mål i basispunker, mens korrelaionen i Panel B måles i log-afkas. Panel A viser således absolue resulaer, mens panel B viser relaive resulaer. abel 4. Korrelaion mellem 5-årig ModelCDS og MarkedsCDS for 9 Xover virksomheder ALU FP ALO FP BAY LN CW LN CAP FP COL LN HAV FP MEO1V FH Panel A: Difference Hisorisk vol. 34% 3% 4% 1% % 1% 5% 15% 18% Implied vol. 5% 14% 37% 4% 18% 16% 9% % 18% Panel B: Log-afkas Hisorisk vol. 1% 9% 36% 3% % 1% 6% 16% 19% Implied vol. 1% % 34% 1% 1% 15% 11% 17% 17% UI1 GR Som de ses af abellen, er korrelaionerne for begge alernaiver forholdsvis lave. Herudover ses ine enydig mønser i de o meoders indbyrdes syrkeforhold. Hisorisk volailie har den højese korrelaion for 4 ud af 9 af virksomhederne ved måling på basispunker, mens de ilsvarende al er 5 ud af 9, når log-afkas benyes. Dee sammenhold med a korrelaionerne er så lave, gør de dog svær a drage nogen robus konklusion ud fra denne abel. I figur 4. er den esimerede udvikling i virksomhedens værdi sam barriere afbillede for case-virksomheden UI GR. Øvers ses resulae, når modellen kalibreres il den hisoriske akievolailie, mens den miderse graf viser resulae for anvendelse af implied volailie fra opionsmarkede i sede. I nederse graf er vis de esimerede CDS-spread fra modellen ved anvendelse af henholdsvis hisorisk og implied volailie se i forhold il markeds-spread. Modelspreade for UI GR er beds ved anvendelse af implied volailie jf. nederse graf, mens modelspreade fra den hisoriske volailie er mege høj frem il den.1.7, hvor begge kurver pludselig oplever e fald ned omkring niveaue for markeds-spread. Forklaringen på den høje værdi af modelspread fra den hisoriske volailie før.1.7 kan ses i den øverse graf. Her ses de, a volailieen i den førse periode esimeres il ca. 1-15%. Ud fra den miderse graf ses de, a dee mønser ikke er afspejle i den implicie volailie, som er age direke fra opionsmarkede. Reel har den implicie volailie være re konsan omkring niveaue 5-7 % i hele perioden frem mod.1.7. Volailieen vokser i den øverse graf den fra ca. 15 % il god %. Den miderse graf viser derimod, a denne pludselige signing ikke er indprise i opionsmarkede. Der er således ikke ske noge dramaisk i markede omkring den 8.1.7, men de skyldes derimod beregningsmeoden ved hisorisk volailie. 17

25 Figur 4. Graf over udviklingen i CDS-spread for UI1 GR. 4 Værdi Volailie % B a r r i e r e V. a k s e V æ r d i V. a k s e V o l a i l i e H. a k s e. 4 Værdi Volailie % B a r r i e r e V. a k s e V æ r d i V. a k s e V o l a i l i e H. a k s e BasisPoin H is o r i c a l M o d e l M a r k e d I m p l ie d M o d e l Øvers: Graf over esimere værdi og barriere, når der kalibreres il hisorisk volailie. Mid: Graf over esimere værdi og barriere, når der kalibreres il implied volailie fra opionsmarkede. Neders: CDS-spread fra hisorisk volailie og implied volailie i forhold il markeds-spread. Ovensående eksempler illusrerer en sor svaghed ved a anvende hisorisk volailie, da man risikerer a få resulaer, der ikke semmer overens med de i markede indprise forvenninger. Endvidere bemærkes de, a volailieen i den øverse graf forskydes i hak hver. dag. De har grunde compuerkraf være nødvendig kun a genkalibrere efer hver. observaion, ide kalibrering il hisorisk volailie kræver mange beregninger og en eksra løkke i VBAkoden. Denne besluning er naurligvis med il a skade dynamikken i modellen, men har være e nødvendig rade-off for hisorisk volailie. 18

26 De kan konsaeres, a implied volailie med baggrund i disse 9 virksomheder giver de bedse resulaer. Både ME og MAD er bedre for implied volailie, mens korrelaionerne ikke viser noge enydig billede. Derudover er de bagvedliggende forudsæningerne om volailie konsisene med markede, da de neop er implied volailie fra opionsmarkede der kalibreres op imod. Sluelig er algorimen for implied volailie markan hurigere, hvorfor implied volailie benyes i den fremadreede analyse med L-modellen Rene L anager i deres model, a renesrukuren er flad. Dee er selvfølgelig en grov forsimpling, der sjælden er opfyld i praksis. Imidlerid har den givevis være nødvendig for a kunne udlede en lukke løsning for konkursbarrieren. Når CDS-spreade skal beregnes, har reneniveaue imidlerid også beydning, ide de løbende præmier sam den forvenede forsikringssum begge diskoneres il idspunk nul, jf. formel. Ide formåle er a sammenligne modelspread med markeds-spread, er de naurligvis mes opimal a anage, a renesrukuren har den form, som der ren fakisk observeres i markede. Dee er imidlerid i modsrid med den forsimpling om konsan renesrukur, som L har indfør. Samidig vil de være mes naurlig a anvende samme anagelser i de o beregninger vedr. konkursbarriere og CDS-spread. Der er således re alernaive sammensæninger af anagelser, som skisere i abel 4.3. abel Mulige anagelser om den anvende renesrukur Alernaiv Konkursbarriere CDS-spread Konsisens? 1 Som markede Som markede Konsisens Konsan Som markede Ikke konsisens 3 Konsan Konsan Konsisens Alernaiv 1 er naurligvis den mes opimale anagelse, ide markedsbeingelserne her anvendes. Meoden srider imidlerid mod Ls grundlag for modellen, og formlerne for konkursbarrieren ville ikke længere være gyldige med denne anagelse. Alernaiv reer så på ovensående gyldighedsproblem, ide Ls forsimpling fasholdes for beregningen af barrieren, men ophæves ved beregningen af CDS-spread, der foregår med den observerede renesrukur. Her ilsræbes de a afgrænse forsimplingen så mege som mulig, således a der kun forsimples i de beregninger, hvor L af nødvendighed har indfør denne. Man kan dog her diskuere anagelsernes konsisens, da der nu anages forskellig renesrukur på samme idspunk. I alernaiv 3 indføres så Ls forsimpling på både konkursbarrieren og beregningen af CDSspread. De beyder, a der igen er konsisens i anagelserne, men il gengæld bliver 19

27 beregningen af CDS-spread fra modellen biased i forhold il markedes CDS-spread, der observeres under markedsvilkår. Alernaiv 1 må sraks opgives, da L model for konkursbarrieren ikke giver mulighed for a bruge forskellige rener afhængig af løbeiden. Dee er naurligvis en svaghed ved Lmodellen. Valge sår således mellem alernaiv og alernaiv 3, hvor Ls forsimpling i e vis omfang fasholdes. Forskellen mellem alernaiv og 3 besår i, a CDS-spread i alernaiv 3 også beregnes på e forsimple grundlag. Indledningsvis vurderes beydningen af a anvende en flad renesrukur il beregning af konkursbarrieren. Ifølge Leland1994, har reneniveaue en relaiv begrænse beydning på konkursbarrieren. Placeringen af barrieren besemmes primær af gældens løbeid, der besemmer broderparen af den årlige gældsbyrde ide relaionen, årlig gældsbyrde = C + D/, erindres. De kan dermed også ses, a renen gennem kuponen C har sørs beydning for virksomheder med mege lang gæld, hvor den årlige gældsbyrde primær udgøres af reneudgifer frem for afdrag. Derfor er konsekvenserne ved forsimplingen omkring beregning af konkursbarriere relaiv begrænsede for de anvende virksomheder. Eferfølgende vurderes beydningen af a anvende en flad renesrukur il beregning af CDSspread. For a se hvilken effek de har af a anvende en flad renekurve, er modellen kalibrere il hhv. 1-årig og 1-årig swap-rene, hvor samme rene hhv. 1- eller 1-årig anvendes for alle løbeider. Derudover er markedes renekurve anvend i den 3. kalibrering. Resulaerne heraf er illusrere for case-virksomheden UI GR i figur 4.3. Figur 4.3 CDS-kurve for UI GR ved forskellige reneanagelser 35 3 CDS-spread Markedes renekurve Flad 1 årig rene Flad 1 årig rene Løbeid CDS Som de ses af figur 4.3, har valge af renesrukur nogen beydning for beregningen af kredi-spread, især i den lange ende af CDS-kurven. De må forvenes, a de mes korreke

28 resula opnås ved a anvende den renesrukur, der kan observeres i markede, som jo neop er grundlag for de markeds-spread, som er sammenligningsgrundlag. Med udgangspunk i ovensående vælges således alernaiv il implemeneringen. Dermed afgrænses Leland-ofs forsimpling il esimering af konkursbarrieren, hvor beydningen er relaiv begrænse. CDS-spread beregnes derimod på baggrund af den observerede renesrukur Resulaer for Leland & of modellen Efer de præliminære analyser er L-modellens evne il a fie og forklare markeds-spread ese på samlige 39 udvalge virksomheder, hvor der som inpu er anvend implied volailie og renesrukur jf. alernaiv ovenfor. Opbygning af modeller for de 39 virksomheder og samlige resulaer af kørsler er ske vha. Excel og VBA, hvilke er dokumenere i mappen Resulaer for L-model på vedlage CD Undersøgelse af fining il modellerne anvendes i alle ilfælde samme sandard-inpu, dvs. Recovery = 4%, ax = 35% og Konkursomkosninger = 3%. I princippe kunne man forsøge a opimere modellernes evne il a fie markeds-spread, ved kalibrering af den enkele virksomhed il markedsniveau ved jusering af ovennævne sandard-inpu. Denne eknik anvendes ofe for a få srukurelle modeller il a passe bedre if. markedsniveau Yu, 6. De er dog svær a argumenere for, a eksempelvis Recovery i virksomhed A skal være væsenlig forskellig fra virksomhed B, og i nogle ilfælde vil der end ikke kunne opnås ilsrækkelig sore CDSspreads selv med en Recovery på %. Dee er illusrere i figur 4.4, hvor den gennemsnilige CDS-kurve for virksomheden UI GR for løbeider på 1 il 1 år er vis for Recovery på hhv. % og 4 %. Figur 4.4 CDS-kurve for UI1 GR for Recovery på hhv. % og 4%. 5 4 CDS-spread CDS løbeid i år Model R=4% Marked Model R=% Noe: På x-aksen ses løbeiden mens y-aksen viser de ilhørende gns. CDS-spread mål i basispoin. Gennemsnie dækker perioden 1. jan 6 il 14. mars 8. 1

29 Som de fremgår af figur 4.4, går ModelCDS mod nul ved kore løbeider, hvilke er i overenssemmelse med lierauren. Dee er således e generel problem for srukurelle modeller, hvilke behandles senere. De ses imidlerid ydelig, a ændrede recovery-anagelser ikke kan afhjælpe dee problem for de kore løbeider, mens CDS-spread siger for lange løbeider. Derudover er de vigig a holde sig for øje, a de er hele CDS-kurven, der bør fie il markede, dvs. alle 1-1 årige løbeider. Recovery anvend som fri parameer er derfor ikke ilsrækkelig il a fie hele CDS-kurven. For a kunne sammenligne resulaerne på værs af virksomheder, er de valg a holde de gængse sandard-inpu ens i denne analyse. Samme inpu vil i øvrig blive anvend i analyserne for inensies- og incomplee modellerne. Indledningsvis er de undersøg, hvorvid modellerne kan ramme samme CDS-niveau som markede. Figur 4.5 viser e plo over de gennemsnilige CDS-spread for hhv. model ModelCDS og marked MarkedsCDS i perioden il , hvor de 5-årige CDSspread er valg, da de ypisk er de mes likvide punk på CDS-kurven. Ideel se burde alle punker i nedensående graf ligge på den diagonale linje, hvis modellens niveau var perfek. Mean Error ME mellem ModelCDS og MarkedsCDS kan findes som den lodree afsand fra e give punk il diagonal-linjen. Figur Plo over gns. 5-årig CDS-spread for ModelCDS og MarkedsCDS. Noe: Figuren viser for hver af de 39 virksomheder, de gennemsnilige 5-årige CDS-spread i perioden fra L-modellen sam i markede. De fremgår af figur 4.5, a de esimerede spread generel ligger lang fra MarkedsCDS, om end på samme niveau som i lierauren 4. I 9 ud af 39 ilfælde ligger ModelCDS under MarkedsCDS, og for 1 Europe-virksomheder bliver ModelCDS endda esimere il under bp. Dee var forvene, efersom de empirisk har vis sig, a srukurelle modeller ofe har 4 se eksempelvis Eom, Helwege & Huang 4 eller grafer for case-virksomheder i Bajlum & Larsen 7a.

30 svær ved a modellere e posiiv spread, når virksomheden ligger lang fra konkursbarrieren, hvilke ypisk vil være gældende for virksomheder i Europe kaegorien. De må derfor konsaeres, a L-modellen ikke umiddelbar er i sand il a ramme de rigige CDS-niveau. De er ikke ilsrækkelig kun a vurdere modellen på dens evne il a ramme de rigige gns. niveau, efersom afvigelserne i en model med både posiive og negaive afvigelser vil kunne udligne hinanden. Figur 4.6 viser således den gns. absolue afvigelsemad mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Figur Gns. absolu afvigelse mellem ModelCDS og MarkedsCDS MAD 8 7 Europe Xover anal observaioner > > > 4 > 6 > 8 > 1 > 1 > 14 > 16 > 18 > > > 4 Noe: Figuren viser MAD for de 39 virksomheder. Analle af virksomheder i hver inerval er vis. De fremgår af figuren, a modellerne for Xover virksomhederne generel rammer lang fra MarkedsCDS. I modsæning heril er MAD for Europe virksomhederne noge mindre. Dee har dog i nogen grad sin forklaring i a ModelCDS jf. figur 4.5 for Europe virksomheder ofe er æ på nul. Dermed bliver MAD sor se lig gennemsnilig MarkedsCDS, ide MAD i disse ilfælde højs kan blive den vandree afsand fra MarkedsCDS over il y-aksen i figur 4.5. Samle se må de konsaeres, a ModelCDS generel afviger en del fra MarkedsCDS både mål på niveau og absolu afvigelse Undersøgelse af korrelaion E ande ineressan aspek ved modellerne er a vurdere, hvorvid ModelCDS og MarkedsCDS korrelerer. A priori forvenes e sigende niveau i ModelCDS a medføre e sigende niveau i MarkedsCDS, dvs. posiiv korrelaion. I figur 4.7 er korrelaionsniveaue mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på level-daadvs. de fakiske daglige CDS-spread niveau vis for alle 39 virksomheder. 3

31 Figur Korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på level-daa. 7 6 Europe Xover anal observaioner De fremgår af figuren, a der for alle virksomheder er posiiv korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Der er dog sor forskel i korrelaionsniveaue virksomhederne imellem, men i gennemsni opnås en pæn korrelaion på,67. Dee resula er i øvrig på niveau med fundne korrelaioner i ilsvarende sudier Arora, Bohn & Zhu, 5 Korrelaion mål på level-niveau skal dog olkes med varsomhed, efersom der er risiko for, a de o idsserier ikke er saionære, hvilke kan medføre spuriøse sammenhænge, dvs. resulaerne viser en sammenhæng, der i virkeligheden ikke eksiserer. Dee bekræfes ved, a der på de konkree idsserier kan påvises uni roo på level-niveau. Derfor vil resulaer basere på log-afkas være mere pålidelige, dog mises en del informaion herved. Figur Korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på daglig log-afkas. 9 8 Europe Xover > -,4 > -, >, >, >,4 >,6 >,8 >,1 >,1 >,14 >,16 >,18 >, >, >,4 >,6 >,8 > >,3 >,3 >,1 >,34 >, >,36 >,3 >,38 >,4 >,4 >,5 korrelaion >,6 >,7 >,8 >,9 > 1 Noe: Figuren viser korrelaionen mellem modellen og markede for de 39 virksomheder. Analle af observaioner i hver inerval er vis. anal observaioner Noe: Figuren viser korrelaionen mellem modellen og markede for de 39 virksomheder. Analle af observaioner i hver inerval er vis. Korrelaionen er mål på daglig logafkas Figur 4.8 viser korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på log-afkas. Af figuren fremgår de, a korrelaionen med en enkel lille undagelse er posiiv mellem ModelCDS og MarkedsCDS, som forvene. Dog kan de konsaeres, a korrelaionen er relaiv lav med 4

32 højese værdi lid over,3. Der synes a være en endens il, a Europe virksomheder generel har en lavere korrelaion if. Xover. En årsag heril kan være, a ved de mege små CDSspreads for Europe virksomhederne bliver den procen-vise ændring hurig sor, hvilke kan give søj i korrelaionsberegningen. Korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på log-afkas er i gns. beregne il 14,7 %. il sammenligning kan de oplyses, a korrelaion mellem akiekurs og MarkedsCDS ligeledes mål på log-afkas er beregne il -1,1 %. 5 L-modellen har alså lavere absolu korrelaion end de simple benchmark. Dee yder på, a ransformaionen af inpu i Lmodellen il CDS-spread bevirker, a noge af korrelaionen i inpu mises Undersøgelse af saisisk signifikans Med henblik på undersøgelse af, hvorvid der er en saisisk signifikan sammenhæng mellem 5-årig ModelCDS og MarkedsCDS, foreages der en simpel regression med ModelCDS som forklarende variabel, hvilke udføres både på niveaulevel daa såvel som log-afkas: MarkedsCDS = β, + β 1, *ModelCDS + ε MarkedsCDS = β, + β 1, * ModelCDS + ε Regression på level daa indikerer, hvorvid der er sammenhæng i niveaue for ModelCDS og MarkedsCDS over id, mens regression på log-afkas viser hvorvid den procen-vise ændring på daglig basis for hhv. ModelCDS og MarkedsCDS svinger i ak. abel 4.4 viser i hvor mange ilfælde ud af alle 39 virksomheder, a koefficienerne for hældning og inercep er signifikane ved e 95 % konfidensniveau. abel 4.4: Resulaer fra regression af 5-årig ModelCDS på MarkedsCDS hhv. level og log-afkas level log-afkas Β 1 Hældning - anal signifikane: β Inercep anal signifikane: 35 3 Adj. R 48,9%,4% Noe: Regressionerne er foreage for hver af de 39 virksomheder, og anal signifikane koefficiener ved e 95% konfidensniveau er vis. I regressionen er den uafhængige variabel 5-årig ModelCDS fra L-modellen og den afhængige variabel er 5-årig MarkedsCDS: MarkedsCDS = β, + β 1, *ModelCDS + ε,sam MarkedsCDS = β, + β 1, * ModelCDS + ε Resulaer for den enkele virksomhed fremgår af Regression ModelCDS på MarkedsCDS i mappen af samme navn. Ser vi på levelkolonne i abel 4.4 er der i alle 39 ilfælde signifikan sammenhæng mellem niveauerne for ModelCDS og MarkedsCDS over idhældning forskellig fra. Dee er posiiv for L-modellen, men samidig fremgår de også a der er niveauforskeldvs. inercep forskellig fra i 35 ud af 39 virksomheder, hvilke beyder, a modellen ikke rammer markedsniveaue. 5 Resulae er basere på regnearke Korrelaion mellem akiekurs og CDS i mappen af samme navn. De bør erindres, a der er negaiv sammenhæng mellem akiekurs og CDS-spread. 5

33 Foreages regression i sede på log-afkas sidse kolonne i abel 4.4 ønsker vi ikke, a inercepe skal være forskellig fra, hvilke også kun er ilfælde i 3 ud af 39 virksomheder. Med hensyn il hældningen er der i 35 ud af 39 ilfælde signifikan sammenhæng mellem daglige log-afkas for ModelCDS og MarkedsCDSalle signifikane har posiiv hældning, hvilke er ganske affirmaiv for L-modellen. De skal dog bemærkes, a den gennemsnilige hældning kun er +,84, hvilke er lang fra den eoreisk ideelle hældning på 1. En 1% signing i ModelCDS modsvares således kun af en signing på,84% i MarkedsCDS, og selv om dee er saisisk signifikan, er den økonomiske signifikans reel mege svag. Sammenfaende kan de konkluderes, a korrelaionen mellem model og marked er posiiv og sammenhængen er saisisk signifikan mål på både level og log-afkas. Samidig må de dog konsaeres, a niveaue for korrelaionen og dermed forklaringsgraden er noge lav Anvendelsesmuligheder for Leland & of modellen Srukurelle modeller anager generel, a modelkonsrukøren har fuld informaion. I eoreisk henseende er L-modellens primære anvendelse derfor i forbindelse med ledelsens egen vurdering af virksomhedens posiion if. konkurs, ide kun ledelsen med rimelighed kan anages a have fuld informaion om virksomhedens forhold. Ledelsen kan anvende modellen il a beregne virksomhedens konkursafsand. Hermed opnås e udryk for konkurssandsynligheden over en given periode, hvilke kan bruges som nøgleal i risikosyringen på linje med Value a Risk al o.lign. Herudover kan modellen give e esima på de spread, virksomheden bør beale på sin gæld. Ledelsen får således e benchmark a forhandle ud fra. Ovensående kan anvendes i forhandlinger med krediorer, når kredifacilierne eller lånene skal forlænges. Alene de a virksomheden kender og forholder sig il sin egen konkurssandsynlighed, vil givevis have en posiiv beydning for låneomkosningerne, ide krediorerne kan formode, a denne virksomhed har syr på sin risikoprofil. I praksis anvendes srukurelle modeller dog også ofe af ekserne enieer såsom banker, finansielle insiuioner m.fl., il rods for a anagelsen om fuld informaion ikke kan anses for opfyld. Her vil de ypiske anvendelsesmuligheder være il esimering af fair spread. I den forbindelse bør man være varsom, efersom ekserne enieer ikke har fuld informaion, hvormed der kan herske usikkerhed omkring den CDS-pris, som modellen esimerer. De fremgår da også ydelig af de fundne resulaer for L-modellen i idligere afsni, a modellens esimaer ofe ligger så lang fra markedspriserne, a modellen næppe kan være realisisk a prisfassæe efer. En oplag anvendelsesmulighed er derfor a anvende L-modellen som e screenings-værkøj, hvor modellen kan udvælge virksomheder, der synes a være prisfassa enen markan for 6

34 dyr eller billig. Herefer kan disse udvalge virksomheder gøres il gensand for yderligere analyser, inden en endelig købs/salgs-besluning ages. Endelig kunne L-modellen f.eks. også anvendes il forsøg på såkald kapialsrukurarbirage som beskreve i Bajlum & Larsen7a. Ved kapialsrukur-arbirage anages de, a der korsige kan opså divergens mellem akie- og CDS-markede, hvilke forsøges udnye. Yu6 nævner i sin arikel om dee emne, a udbredelsen af kapialsrukurarbirage vinder frem bland banker og hedge-fonde Illusraion af kapialsrukur-arbirage sraegi I de følgende illusreres de konkre, hvordan en konvergensbasere handels-sraegi for kapialsrukur-arbirage kan sæes op for case-virksomheden HAV FP basere på Bajlum & Larsen7a, Yu6 sam Duare, Longsaff & Yu 7. Kapialsrukur-arbirage er basere på den præmis, a den srukurelle model kan prisfassæe CDS er nogenlunde præcis. Ved brug af en srukurel model beregnes ModelCDS som proxy for CDS ernes ligevægs-spread. Hermed er de primære inpu i modellen akiernes værdi og derudover anvendes gældssrukuren og volailieen som inpu. Ved a sammenligne ModelCDS og MarkedsCDS kan de indikere hvorvid CDS erne i markede er for dyre eller for billige, se i forhold il virksomhedens akier. Ide ModelCDS siger, når akiekursen falder, kan e relaiv høj CDS-niveau i modellen alernaiv ses som e udryk for en lav akiekurs i markede. Hvis ModelCDS er væsenlig højere end MarkedsCDS, kan arbiragøren udnye denne skævhed ved a købe de undervurderede akier sam købe de billige CDS er, ide han soler på, a ligevægen genoprees når de o markeder igen konvergerer. Han forvener således, a MarkedsCDS vil sige il niveaue for ModelCDS, eller alernaiv a akiekursen siger, så beregningen af ModelCDS kan konvergere mod MarkedsCDS. Endelig kan man naurligvis også foresille sig en kombinaion af begge muligheder. Ved a indgå lange posiioner i begge markeder sikres en profi ligegyldig, hvilke af de o markeder som måe ree ind efer de ande. For a implemenere handelssraegien er følgende definiioner nødvendige: 1 En handelsperiode defineres som den id, der går fra arbiragøren åbner en posiion = indil denne lukkes igen =. Denne periode vedages dog maksimal a kunne udgøre 6 mdr., hvorefer posiionen lukkes og ab/gevins gøres op. Værdien af en lang CDS-posiion indgåe på idspunk, som lukkes på idspunk, kan på idspunk ifølge Bajlum & Larsen 7a approksimeres ved: π, = S, S, rs r S, S, e Qsds 1 e Q G 15 r 7

35 hvor S, angiver de nuværende CDS-spread, som approksimeres ved S,+. 6 S, angiver CDS-spread ved opsar af konraken. 3 De løbende cash flow i form af spread-bealing på en CDS fra = il approksimeres ved: 7 Løbende spread på CDS = S,* 16 4 Analle af akier, som skal købes, besemmes ved hedge-raioen, der kan approksimeres ved Bajlum & Larsen, 7a: π, 1 S, = 1 e P r P r Q G,hvor hvor P angiver den iniiale akiekurs. I ovensående udrykker P overfor ændringer i akiekursen, mens P V S, S, = P V S, 1 P V 17 spreades følsomhed angiver akiekursens følsomhed overfor ændringer i virksomhedens underliggende værdi. Ide CDS-spreade al ande lige falder, når akiekursen siger, vil alid blive negaiv. Cash flow afled af handelssraegien er illusrere i abel 4.5 for en enkel handelsperiode: abel 4.5 Illusraion af cash flows som følge af handelssraegi idspunk = CDS π,= π, * FH Løbende spread på CDS S,* *FH Akie * P - * P Cash Flow * P π,+s,**fh - * P Noe: FH sæes lig den iniiale akiekurs P, og CDS-konrakens spread noeres ved S, Miderse kolonne af abel 4.5 vil her blive forklare. På idspunk køber arbiragøren en CDS med en forsikringshovedsol FH, der svarer il akiekursen P, samidig med han køber - akier, således a der opnås en markedsneural posiion. CDS konraken har ved opsar en værdi på, hvorfor arbiragørens iniiale cash flow bliver en bealing på *P il købe af akierne. På idspunk højre kolonne, når markederne forhåbenlig igen konvergerer, lukkes posiionen. Som ovenfor nævn er der o overordnede veje, hvorved konvergens kan opnås: 1 CDS markede konvergerer, dvs. spread i CDS-markede siger il niveaue for spread fra modellen, mens akiekursen forbliver uændre. CDS konraken kan nu sælges med forjenese, ide spread i markede er sege, og værdien π er posiiv. Akiekursen er uændre således a P =P og akierne kan således sælges for en værdi af EUR *P, som de blev køb il. De samlede forjenese på idspunk bliver dermed: 6 En mere nøjagig approksimaion kunne være udfør med en inensiesmodel som vis i kap Reel forfalder spreade løbende, men ide konraken jf. Yu6 lukkes efer senes 6 måneder bliver approksimeringsfejlen begrænse 8

36 Forjenese = π,+s,**fh - *P + *P = π,+s,**fh Akiemarkede konvergerer, dvs. akiekursen i markede siger, så spread i modellen nu beregnes il samme niveau, som der observeres i CDS-markede. CDS konraken kan således sælges il samme spread, som den blev køb il, og dermed er værdien π lig nul. Akiekursen er nu sege il P, og akierne kan således sælges for en værdi af EUR *P 1. Forjenese på idspunk kan dermed beregnes som: Forjenese = π,+s,**fh - *P + *P = *-P +P +S,**FH Al efer hvordan konvergensen nås, vil arbiragøren få en forjenese som i 1 eller eller en kombinaion af 1 og, hvis begge markeder bidrager il a konvergere. De skal bemærkes, a P udgør akiekursen inkl. udbye, ide de anages, a udbye geninveseres for a fasholde hedge-raioen. Man kunne naurligvis forsøge a udnye prisfejlen i CDS-markede ved blo a age en posiion i CDS-markede. Fordelen ved a hedge CDS-posiionen i akiemarkede besår imidlerid i, a ændringen i spread ikke nødvendigvis behøver udvikle sig i den rigige rening, så længe de o markeder blo konvergerer. Resulaer for handelssraegi anvend på HAV FP Ovensående handelssraegi er anvend på case-virksomheden HAV FP i perioden il , hvor den sidse posiion lukkes ned. Udviklingen i perioden er afbillede grafisk i bilag 3. De anages, a arbiragørens iniialformue pr er 1 EUR. Man kunne naurligvis anage e mindre beløb som iniialformue, men de anages, a arbiragøren må sille en vis sikkerhed for a få lov a handle CDS en og den underliggende akie kor. Der handles, når divergensen mellem 5-årige CDS-spread mellem ModelCDS og MarkedsCDS oversiger 75 %. re gange ager arbiragøren kore posiioner jf. 1. kolonne i abel 4.6, ide MarkedsCDS her er 75 % sørre end ModelCDS. Der ses bor fra omkosninger ifm. handel. Resulae af handelssraegien fremgår af abel 4.6. I de følgende forklares beregninger for 1. handelsperiode Den esimerer L-modellen CDS-spread il 154, kolonne 3 i abel 4.6, mens de i markede observeres il 7,8 kolonne 4. Dermed forvener arbiragøren, a spread i markede eller akiekursen falder, så de modelberegnede spread bliver sørre. Arbiragøren vælger derfor a gå kor i CDS en med en FH på 3,9 svarende il akiekursen i kolonne 6 og e konrakspread på 7,8, samidig med a han går kor i - akier. Al i al modager han på = e cash flow på,9667 beregnes som *P = -,5*3,9, som kan aflæses i kolonne 1. 9

37 abel 4.6 Resula for handelssraegien udfør på HAV FP i perioden Dao Posiion ModelCDS 5-årig MarkedCDS 5-årig sigma EqV Akiekurs inkl. udbye Hedgeraioen CF CDS Værdi af CDS CF CDS Lb. spread CF akie CF ial Akk. Formue fra sraegien Akk. Formue fra bankkono , 1, Kor 154, 7,8 4,6 3,9 -,5,9667, ,7 1, Luk 6, 39,7 36,7 4,3,494,69-1,491 -,978 1,41 1, Kor 18,3 415, 3,4 4,13 -,6 1,63 1,63 11,71 1, Luk, 17,9 3,6 4,1,3518,376-1,55 -, ,15 1, Kor 6,1 36,9 8,4 3,75 -,6,9885,9885 1,18 1, Luk 319,1 315, 37,5,89,783,1 -,7635 -, ,6 1,85 Noe: Den risikofri rene anages lig 4%, som er gennemsnie af den 1 årige SWAP rene i perioden. Beregningerne i kolonne 7-11 foreages som de er illusrere i abel 4.5 ovenfor. 1 Hedgeraioen beregnes som: S, r, = 1 e Q G, r P Værdien af CDS-konraken π, beregnes som: S, S, r π, = 1 e Q G r Den er markederne igen konvergere, ide ModelCDS nu for førse gang oversiger MarkedsCDS, og arbiragøren vælger a lukke posiionen. MarkedsCDS er nu falde il 39,7, mens akiekursen er sege il 4,3. CDS konrakens værdi kan nu beregnes il,494 kolonne 8. I den 3-måneders periode modager arbiragøren e løbende spread på i al,69 kolonne 9. ilbagekøbe af akien medfører en udgif på 1,491 kolonne 1. Al i al realiserer arbiragøren den e cash flow på,978 kolonne 11. De kan således samle se konkluderes, a 1. handelsperiode medfører e direke ab på,61 beregnes som:,9667-,978 uden hensynagen il konorene som inddrages nedenfor. Resulaer for. og 3. handelsperiode er beregne på samme vis. I kolonne 1 er arbiragørens akkumulerede formue beregne. Som de blev nævn udgør den iniiale formue d EUR 1, og denne placeres på en bankkono, hvor der løbende ilskrives en risikofri rene på 4 %. Herudover illægges/frarækkes løbende CF i al fra kolonne 11. Den 7.9.6, hvor førse handel indgås, er den iniiale formue således vokse il 1,3, og heril lægges de posiive cash flow på,9667, hvorfor arbiragørens formue nu indeholder 11,7 kolonne 1. Den afslues handelsperiode 3 og arbiragørens formue er nu vokse il 11,6. 3

38 I kolonne 13 opsilles e benchmark, hvor de anages a arbiragøren undlader a bruge handelssraegien og blo modager den risikofrie rene på 4 %. Med denne passive sraegi ville den akkumulerede formue blive EUR 1,85 den Dermed kan mer-afkase fra handelssraegien følges over hele perioden ved a sammenligne kolonne 1 og 13. Arbiragøren opnår dermed e afkas på EUR,75 ud over de risikofrie afkas beregne som 11,6-1,85. Mål i procen kan de konsaeres, a de samlede afkas på handelssraegien har være 16 %, mens bankkonoen kun har give 8,5 % over de god år. I e ilsvarende sudie af handelssraegien for 1 amerikanske virksomheder i perioden -4, finder Bajlum & Larsen7a e mer-afkas på,39 % for spekulaive virksomheder sam,7 % for invesmen grade virksomheder. De finder, a dee mer-afkas ikke blo repræsenerer kompensaion for sysemaisk risiko og konkluderer, a handelssraegien giver e signifikan mer-afkas. Den opmærksomme læser vil i abellen bemærke, a handelsperiode 1 kun forøger arbiragørens formue med,1 EUR se i forhold il bankkonoen beregnes som: 1,41-1,4. il rods for a arbiragøren har udfør handelssraegien og udnye divergensen mellem markederne, opnås her kun e mege ringe mer-afkas. Som de ses af abel 4.6, er spread i markede falde fra 7,8 il 39,7 som forvene, mens akiekursen er sege fra 3,9 il 4,3, hvilke ikke var forvene. Arbiragøren får af denne grund e sor ab på sin kore posiion i akien. Grunden il a markederne på rods af dee alligevel anses som konvergere ifølge handelssraegien skyldes imidlerid, a konvergensen mellem markederne ikke er opnåe gennem CDS-spread eller akiekurs, men derimod gennem volailieen på akiemarkede, ide implied volailie i handelsperiode 1 er sege markan fra 4,6 % il 36,7 % kolonne 5 i abel 4.6. En højere volailie på akierne og dermed virksomhedens underliggende værdi forøger som bekend konkurssandsynligheden, hvorfor ModelCDS i handelsperiode 1 er vokse fra 154, il 6, på rods af, a akiekursen fakisk er sege. Dee illusrerer samidig en sor svaghed ved handelssraegien, da volailiesudviklingen reel ikke er hedged, ide volailieen ikke indgår i beregningen af den markedsneurale posiion vha.. Arbiragøren risikerer derfor a handle på falske signaler, hvis divergensen eller konvergensen skyldes en markan udvikling i volailieen, eller andre modelinpu. De undersreges i Bajlum & Larsen7a, a kapialsrukur-arbirage ikke er en exbook arbirage, ide gevinsen ikke er risikofri. Arbiragøren er således i ovensående afhængig af, a CDS- og akie-markede divergerer på kor sig, men konvergerer på længere sig. Yderligere påpeger Bajlum & Larsen7a, a der er sor risiko for ab som følge af posiioner iniiere af 1 fejlspecifikaion af den bagvedliggende srukurelle model eller fejl ved modellens inpu. 31

39 Sammenfaende for anvendelsesmulighederne af L-modellen konkluderes de, a Lmodellens primære anvendelsesområde i eoreisk henseende vedrører virksomhedens ledelse, der som nævn har fuld informaion om virksomhedens forhold. I praksis bruges modellen dog ofe i markede il præliminær screening af CDS er sam il kapialsrukur-arbirage. Kapialsrukur-arbiragen bygger på en korsige divergens mellem akie- og CDS-markede sam en forvenning om eferfølgende konvergens. Den korsigede divergens kan enen skyldes, a den srukurelle model ikke indeholder alle forklarende variable, eller alernaiv kan de skyldes forskellig hasighed, hvormed ny informaion indregnes i forskellige markeder. I kap. 4.7 undersøges de derfor, om de er mulig a forklare, hvorfor der opsår e residual af væsenlig sørrelse mellem spread i markede og spread i modellen. I kap. 4.8 analyseres dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS for a belyse processen hvorigennem markederne eferfølgende konvergerer Analyse af modelresidual Såfrem residualerne mellem ModelCDS og MarkedsCDS kan forklares af variable, der ikke indgår i modellen, kan dee give anledning il kriik af L-modellen, som dermed ikke fuld ud beskriver MarkedsCDS. På baggrund af ariklerne Ericsson e al.6, Eom, Helwege & Huang4 sam Bernd, Jarrow & Kang7 er en række forklarende variable udvalg il esen jf. abel 4.7, hvor deskripiv saisik for disse variable ligeledes fremgår. abel 4.7 Deskripiv saisik for de anvende variable Mean Median Sd. Dev. Maximum Minimum Observaioner iraxx Europe 15 34,11 8,4,4 15, 15, 575 MS Europe indeks 67,97 69,9 5,15 314,19 1, 575 VIX indeks 16,13 13,64 5,54 31,16 9, Sd.afv. -årig EUR-swap,31,938,84,4718, Kurvesejlhed,6,16,,68,1 575 Iraxx Europe 15 er e indeks over de 15 mes likvide europæiske CDS er. MS Europe Indekse er e indeks over europæiske akiekurser. VIX-indekse er e markedsesima på fremidig volailie i akiemarkede basere på opioner. Sd.afv -årig EUR-swap rener angiver volailieen i de årige EUR-swap rener. Kurvesejlhed angiver sejlheden i renekurven mål ved 1-årig minus -årig EUR-swap. Herudover er forskellige virksomhedsspecifikke variable overveje, bl.a. gældsandel kor og oal, payou-rae, akiekurs sam implied volailie i opionsmarkede på virksomhedens akier. Grunde sor mulikollinarie er disse dog ikke medage, da koefficienerne ellers vil blive biased. Kun virksomhedens akiekurs er inddrage, da den ikke korrelerer væsenlig med øvrige forklarende variable. Akiekursen er imidlerid inpu i L-modellen, hvorfor formåle er a konrollere for akiekursens effek, når de øvrige variable vurderes. De må således forvenes, a akiekursen i e vis omfang kan forklare residualerne, da den selv er 3

40 deerminan for de ModelCDS, som jo neop indgår i beregningen af forskellen mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Analysen baseres således primær på de markedsdaa som ses i abel 4.7 og ikke virksomhedsspecifikke variable. Analysen er odel, ide den udføres både i level sam 1. difference dvs. x - x -1. Der eses således for, om residualerne henholdsvis de daglige ændringer i residualerne kan forklares. Ved a ese i level bruges dermed en række idsserier som indeholder uni roos, hvorfor der er risiko for spuriøse resulaer, ide de saisiske forudsæninger ikke er opfyld Brooks,. Resulaerne i level bør derfor forolkes med forbehold, men insignifikane resulaer vil her være e særk signal om a disse ikke har forklaringsevne. Ved analyse i 1. difference mises il gengæld en del informaion, hvor risikoen besår i, a ine kan eses signifikan, hvorfor de signifikane resulaer her er e særk signal. Dee er opridse i abel 4.8. abel 4.8 Meoder il analyse af forskel Level 1. Difference Saisisk FU vedr. Uni-roo Risiko for spuriøse sammenhænge Korrek opgørelse Informaion Al indehold Reducere Sandsynlighed for signifikans Sor lille Fokus Ikke-signifikane variable Signifikane variable Følgende regressioner gennemføres: Residual = β + β EqV + β Iraxx15 i, + β 5 1 i, Kurvesejlhed i, + β 6 VIX i, i, + β + ε 3 MS _ EUR i, i, + β 4 Sdafv EURswap i, Residual i, = β + β EqV 5 1 i, + β Kurvesejlhed + β Iraxx15 i, 6 i, + β VIX i, + β MS_ EUR 3 + ε i, i, + β Sdafv EURswap 4 i, hvor: Residual i, = ModelCDS i, MarkedsCDS i, Ovensående o regressioner udføres for samlige 39 virksomheder, hvor fodegne i repræsenerer de 39 virksomheder, mens angiver idspunke. På værs af regressionerne er analle af signifikane koefficiener opal, og resulaerne er gengive i abel 4.9. Som de ses af abel 4.9 panel A, opnås som forvene urolig mange signifikane koefficiener ved regressioner i level, og forklaringsgraden er her hel oppe på 74,6 %. De ineressane i panel A er a se, om nogle variable ikke bliver signifikane eller signifikane med varierende foregn, ide dee vil være en særk indikaion på, a variablen ikke kan forklare forskellen i CDS-spread. Her bemærkes især variablen kurvesejlhed, hvor koefficienen bliver signifikan for kun 9 af de 39 virksomheder, hvoraf 15 koefficiener med posiiv foregn og 14 med negaiv foregn. Med lige mange foregn i hver rening har denne variabel ikke nogen 33

41 konsisen forklaringsevne. De kan dog ikke for nogen variable afvises, a de kan forklare udviklingen i modelresidualerne. abel 4.9 Analle af signifikane koefficiener il forklaring af modelresiduale ud af 39 virksomheder. Inercep EqV Iraxx 15 MS Europe Sd.afv EURswap Kurvesejlhed VIX Adj. R Panel A: level posiive negaive oal ,6% Panel B: 1. Difference posiive negaive oal ,4% Noe: abellen viser analle af signifikane posiive henholdsvis negaive koefficiener, sam oalen af disse ved e 95% konfidensniveau. Kurvesejlhed er beregne som 1- EURswap. Panel A og B viser resulaerne for regressioner i henholdsvis level og 1. difference. Regressionen i Panel A er: Residual = β +β EqV +β Iraxx15 +β MS_ EUR +β Sdafv EURswap +β Kurvesejl hed +β VIX + ε i, 1 Regressionen i Panel B er: Residual = β +β EqV +β Iraxx15 i, 1 i, i, i, i, 3 3 i, i, 4 +β MS_EUR +β Sdafv EURswap +β Kurvesejl hed +β VIX + ε Resulaer for den enkele virksomhed fremgår af filen Forklaring af residual i mappen af samme navn. 4 i, i, 5 5 i, i, 6 6 i, i, i, i, Panel B viser, a når regressionerne køres på differencer, bliver de pludselig sværere a opnå signifikane koefficiener, hvilke er i overenssemmelse med forvenningerne. De ses, a kun ændringen i virksomhedens akiekurs sam ændringen i Iraxx15 har en markan indflydelse på dagens ændring i residuale. Som idligere nævn skal akiekursen dog forolkes med forsigighed, da den indgår som direke inpu i L-modellen og dermed har indflydelse på ModelCDS. De er således ikke nogen sor overraskelse, a akiekursen også har en vis forklaringsevne på residuale. De kan dermed konkluderes, a ændringer i Iraxx15 kan forklare udviklingen i modelresidualerne. A neop Iraxx15 har en høj signifikans virker mege plausibel, efersom denne variabel er e overordne CDS-index der neop er basere på de undersøge virksomheder. På baggrund af ovensående kan de hermed konkluderes, a Iraxx15 med sor sikkerhed kan forklare en del af udviklingen i modelresidualerne. Samidig kan de ikke afvises, a nogle af de øvrige variable også kan forklare residualerne, ide de alle bliver signifikane i levelregressionen. Dee er naurligvis en svaghed ved modellen og viser neop, a L-modellen ikke kan prissæe CDS er alene, men må kombineres med øvrige forklarende variable for a opnå mere præcise esimaer. 34

42 4.8. Analyse af dynamik mellem model og marked I dee afsni analyseres dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Blanco, Brennan & Marsh5 har idligere analysere forholde mellem CDS-spread og kredi-spread på ilsvarende erhvervsobligaioner, og de finder, a CDS-spread klar leder kredi-spread på obligaionsmarkede. Ser man derimod på lead-lag forhold mellem CDS- og akiemarkede, er der i øvrige empiriske sudier ikke funde klar bevis på lead-lag sammenhæng Bajlum & Larsen, 7a. Lead-lag forholde mellem CDS- og akiemarkede er imidlerid ineressan a undersøge, ide ModelCDS i en srukurel model neop beregnes på baggrund af akiekurserne og deres volailie. De er i denne opgave funde, a de o idsserier ModelCDS og MarkedsCDS er ko-inegree, hvilke beyder, a de følger e langsige ligevægsforhold, som kun kan afviges på kor sig. Måle er a undersøge, hvordan konvergensen mellem MarkedsCDS og ModelCDS genoprees, dvs. hvordan MarkedsCDS og ModelCDS finder ilbage il de naurlige ligevægsforhold. Ved a regressere o I1 serier på hinanden opnås e sæ af residualer. Når disse residualer er saionære, er ModelCDS og MarkedsCDS koinegrere Verbeek, 4. Residualerne kan nu benyes i e Error Correcion led EC, når dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS modelleres. Analysen udføres med en Vecor Error Correcion model VEC give ved: MarkedsCDS = α MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + γ + γ1 ModelCDS 1 + γ MarkedsCDS 1 + ε1, ModelCDS = β MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + δ + δ1 ModelCDS 1 + δ MarkedsCDS 1 + ε1, Ovensående VEC esimeres for samlige 39 virksomheder. Parenesen indeholder EC ledde, hvori θ er e esima på mean error, mens α og β udgør korrekionsparamerene Wooldridge, 6. De er dermed i parenesen, a residualerne fra koinegraions-regressionen beregnes. Paramerene γ og δ i VAR-srukuren udenfor parenesen er mindre ineressane, men medages for a konrollere for auokorrelaion i lags, så en omied-variable bias undgås. I søgningen efer den bedse model er de funde, a op mod lags i VAR-srukuren fuld ud beskriver dynamikken. De er dog beslue kun a indeholde de førse lag, da de er rigelig il a beskrive sørseparen af dynamikken præcis, ide de reel er EC-delen som er ineressan, og ikke så mege VAR-delen af regressionen. Samidig konvergerer både α, β og θ allerede efer inddragelse af 1. lag. Fordelen besår i, a der ikke mises så mange frihedsgrader, og sandardafvigelserne på de esimerede koefficiener bliver mindre. I abel 4.1 er resulaerne fra VEC-modellen illusrere for case virksomheden HAV FP: 35

43 abel 4.1 Error Correcion koefficienerne for HAV FP α β θ γ γ 1 γ δ δ 1 δ -,173,64-5,48,19 -,73,75,14 -,73,334 Noe: Daa i denne analyse besår af de idsserier for 5-årig MarkedsCDS og ModelCDS for virksomheden HAV FP i perioden Koefficiener er esimere med følgende vecor error correcion model: MarkedsCDS = α MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + γ + γ1 ModelCDS 1 + γ MarkedsCDS 1 + ε1, ModelCDS = β MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + δ + δ1 ModelCDS 1 + δ MarkedsCDS 1 + ε1, α og β er koinegraionsparamerene mens θ angiver Mean error. γ og δ er lag-koefficiener i VAR srukuren. Forolkning af model Forolkningen af 1. linje i VEC-modellen vedrørende MarkedsCDS er som følger: MarkedsCDS forvenes ændre mellem -1 og som konsekvens af en evenuel uligevæg, der eksiserer på idspunk -1dvs. EC-ledde. Herudover forvenes MarkedsCDS a ændres mellem -1 og, som e resula af ændringerne i både MarkedsCDS sam ModelCDS mellem - og -1 dvs. effeken fra konrol lags med parameeren γ. Forolkningen af modellen kan yderligere illusreres ved e eksempel, hvor der fokuseres på EC-ledde: MarkedsCDS = α MarkedsCDS ModelCDS θ 1 1 De anages, a på idspunk -1 var MarkedsCDS lig 75,4 bp, mens ModelCDS var bp. Derudover anages a α=-,173 og θ=-5,48 svarende il abel 4.1. Ændring i MarkedsCDS beregnes så som: MarkedsCDS = -,173 * 75,4 5,4 = -,173 * 5, = -,435 Der er således for sor e spænd mellem MarkedsCDS og ModelCDS af sørrelsen 5, bp, som må korrigeres i perioden -1 il. Sørrelsen af korrekionen besemmes ved a gange med α. MarkedsCDS vil dermed reduceres med sørrelsen,435 mellem -1 og. 8 På samme måde kan ændringen i ModelCDS i perioden mellem -1 og beregnes, hvor i sede β ganges på residuale. Hele VEC-modellens dynamik er forsøg illusrere i figur 4.9, hvor også lagsrukuren er indehold: Figur 4.9 Genoprening af ligevægen for HAV FP på baggrund af VEC-modellen. 9 7 CDS spread H a n d e l s d a g e M o d e l C D S M a r k e d s C D S Noe: Grafen er konsruere med udgangspunk i koefficen-esimaerne for HAV FP, hvor også VAR srukuren er inddrage. På dag nul inroduceres e chok il MarkedsCDS på plus 5bp. 8 Påvirkningen fra VAR srukuren dvs. paramerene udenfor EC-ledde er ikke inddrage i dee lille eksempel. 36

44 Figur 4.9 viser dynamikken efer e chok. Iniial er ModelCDS på bp, mens MarkedsCDS er på 5,4 bp, dvs. ligevæg i iniialsiuaionen. På dag nul øges MarkedsCDS så med 5 bp, så forskellen siger il 75,4 bp. I de eferfølgende dage bliver ligevægen langsom genopree, ide ModelCDS forøges, mens MarkedsCDS formindskes. De ses dog, a genopreningen kræver adskillige handelsdage, før forskellen igen nærmer sig de 5,4, som symboliserer ligevæg. Resulaer for VEC-model De ineressane koefficiener i VEC-modellen er primær α og β, der viser hvor hurig ligevægen genoprees sam θ, som esimerer mean error. Hvis idsserien for ModelCDS over perioden er mindre end MarkedsCDS, vil θ derfor få negaiv foregn, dvs. mean error er negaiv. Hypoeserne som er i fokus er derfor følgende: Ho: α =, ligevægen genoprees ikke gennem jusering af markedspriser. Ho: β =, ligevægen genoprees ikke gennem jusering af modelpriserne. Ho: θ =, der er ingen forskel i de gennemsnilige niveau, dvs. ME er lig nul. VEC-modellen er esimere for samlige 39 virksomheder, og analle af signifikane koinegraions-paramere er rapporere i abel 4.11, som afslører, a der primær findes negaive θ-koefficiener. Dee er en bekræfelse på de idligere beregnede ME, som ypisk er negaive, dvs. L-modellen underesimerer CDS priserne. abel Analle af signifikane koinegraionskoefficiener ud af 39 virksomheder Konfidensniveau 9% 95% 99% Forvene anal 3,9 1,95,39 α Negaiv sig Posiiv sig β Negaiv sig. 1 1 Posiiv sig θ Negaiv sig Posiiv sig Noe: Daa i denne analyse besår af de idsserier for 5-årig MarkedsCDS og ModelCDS for de 39 udvalge virksomheder i perioden Koefficiener for de 39 virksomheder er esimere med følgende vecor error correcion model: MarkedsCDS = α MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + γ + γ1 ModelCDS 1 + γ MarkedsCDS 1 + ε1, ModelCDS = β MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + δ + δ1 ModelCDS 1 + δ MarkedsCDS 1 + ε1, α og β er koinegraionsparamerene mens θ angiver Mean error. Modellerne er esimere i E-views vha. VEC i VAR. abellen viser analle af signifikane variable i både posiiv og negaiv rening. Resulaer for den enkele virksomhed fremgår af filen Resulaer VEC-model i mappen af samme navn. 37

45 Efersom der er funde markan flere signifikane koinegraions-paramere if. forvene ved de 3 konfidensniveauer, indikerer dee ydelig, a der er ale om koinegraion. En signifikan negaiv α beyder, a markede vil ree sig ind efer modellens signaler og genopree ligevægen. De ses dog, a α-koefficiener bliver signifikane i både posiiv og lid mindre grad negaiv rening, hvilke afkræfer hypoesen omkring genoprening af ligevæg gennem ilpasning af markedspriserne. Dvs. hvis uligevægen skyldes e ny forecas fra modellen, er der ingen indikaioner på, a CDS-markede ren fakisk reer ind efer dee forecas. Dee er derfor en klar indikaion på, a L-modellen ikke kan forecase CDS priserne i markede. En signifikan posiiv β beyder, a ligevægen genoprees ved a modellen reer sig ind efer markede. De er derfor ineressan, a der for β-koefficienerne ved 95 % konfidensniveau findes 11 signifikane posiive koefficiener mod kun én negaiv. De yder således på, a en uligevæg primær genoprees gennem jusering af modelpriserne. Med andre ord er de ModelCDS, som juserer ind efer markede, når ligevægen skal genoprees. Dee fænomen kan muligvis forklares af, a de daglige ændringer i ModelCDS primær påvirkes af akiekurs og volailie, som de idligere blev fasslåe. Enhver ændring i ModelCDS må skyldes en ændring i en eller flere af de forklarende variable. De beyder også, a hvis ModelCDS skal ree ind efer CDS markede, må der nødvendigvis have være en ændring i akiekursen eller dens volailie, som er forsinke if. CDS markede. Ovensående resula er dog i modsrid med lierauren, hvor der jf. Bajlum & Larsen 7a endnu ikke er funde nogen signifikan lead-lag sammenhæng mellem akiemarkede og CDSmarkede. Dog anager de implici, a akiemarkede leder CDS-markede, ide de baserer handelssraegien på en srukurel model, der kalibreres op mod akiemarkede under den forvenning, a akiemarkede er prissa mes præcis. De skal imidlerid undersreges, a denne opgave bygger på nyere daa fra il , hvor bl.a. den nuværende kredikrise som sarede i sommeren 7 er indehold. De er således ikke uænkelig, a CDS-markede i denne periode har fåe sørre fokus, og dermed måske er bleve prissa mere præcis. Eferhånden som CDS-markede udvikles og likvidieen forøges yderligere, er de dog ikke urealisisk a foresille sig, a prissæningen på dee marked bliver mere præcis. Hvis CDS-markede i fremiden viser sig a lede akiemarkede, vil en naurlig konsekvens være, a problemsillingen vendes på hovede, så ændringer i akiekurser i sede forklares af udviklingen i CDS markede ved a kalibrere modellerne op mod CDS-markede. 38

46 4.9. Delkonklusion I de foregående er L-modellen analysere med de primære formål a vurdere modellens evne il a forudsige CDS-spread i markede. Som grundlæggende anagelse kræves fuld informaion om virksomhedens forhold, hvilke anages opfyld for virksomhedens ledelse, men ikke for markede. Forskellen mellem L-modellens CDS-spread og CDS-spread i markede afviger på lang sig en del, men er funde på samme niveau som i lierauren. Herudover er korrelaionerne mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på level i gns. 67 %, hvilke også er i overenssemmelse med ilsvarende resulaer i lierauren. Dog underesimerer modellen for hovedparen af virksomhederne sysemaisk niveaue for CDS priser. Dee er en generel svaghed ved de srukurelle modeller, som især gør sig gældende ved kore løbeider. Ses der på daglige udsving må de konsaeres, a modellen kommer il kor. Korrelaionerne mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på log-afkas er generel under 3 %, og hældningen mellem ModelCDS og MarkedsCDS er i gennemsni under,1 hvilke vidner om en mege svag sammenhæng. Dee underbygges af o yderligere analyser. I forsøge på a forklare residuale mellem ModelCDS og MarkedsCDS viser opgavens analyse, a de ikke kan afvises a øvrige makrovariable kan forklare residuale. De er påvis, a Iraxx15 har en signifikan evne il a forklare residuale, hvilke vidner om a modellen bør kombineres med flere forklarende variable, hvis den skal give bedre resulaer. Dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS er analysere vha. en Vecor Error Correcion Model, hvor der ikke blev funde belæg for, a markede indreer sig efer modellens esima. værimod yder de på, a de er modellen som reer ind efer markedspriserne. Dee ses som en indikaion på, a CDS markede reel reagerer før akiemarkede, som jo danner grundlag for den srukurelle model. Den srukurelle models primære anvendelsesområde se fra en eoreisk vinkel er hos virksomhedens ledelse, som må anages a være de enese, der har fuld informaion om virksomheden. I praksis kan modellen imidlerid finde anvendelse bl.a. i forbindelse med kapialsrukur-arbirage, som de er bleve demonsrere i kapile, ide der i perioder forekommer divergens mellem CDS- og akiemarkederne. 39

47 5. INENSIESMODELLER De har ved de srukurelle modeller vis sig, a kredi-spread på kore løbeider går mod nul, hvilke ikke er i overenssemmelse med de spreads, som kan observeres på markede. eoreikerne har derfor forsøg a udlede modeller, som fier markedsdaa bedre, hvilke delvis er opnåe med inensiesmodellerne. I inensiesmodeller anages modelkonsrukøren kun a have samme informaion som markede, dvs. hisorisk viden om andre virksomheders konkurs sam givne markeds-spreads, der er udgangspunk i modellerne. Indledningsvis gennemgås den grundlæggende eori for inensiesmodeller, hvorefer eorien for den udvalge model forklares. Herefer implemeneres modellen og væsenlige valg diskueres. Modellens resulaer og anvendelsesmuligheder præseneres afsluningsvis Grundlæggende eori Den grundlæggende idé bag inensiesmodeller er ifølge Lando5, a man modellerer konkursidspunke med en sokasisk variabel τ, der eksempelvis følger en poisson-proces med inensieen λ. I inensiesmodellerne er de derfor den lokale konkurssandsynlighed som er i fokus, dvs. de er selve inensieen der er i fokus, og ikke akivernes værdi. Konkurs indræffer, når den underliggende proces for τ springer, hvorimod konkurs i de srukurelle modeller var definere ved en firs-hiing-ime. En virksomhed kan kun gå konkurs én gang, hvorfor processen sopper efer førse spring, og inensieen sæes lig nul. Derfor kaldes τ også soppage ime. Inensieen λ defineres ifølge Lando 5 som den beingede konkurssandsynlighed i e lille idsrum efer, give a virksomheden har overleve indil idspunk. Ved a anvende λ som noaion for konkursinensieen i en sokasisk proces ses de, a inensieen kan variere over id. Inensieen er imidlerid allerede give på =, og afhænger derfor ikke af eksern informaion. Ifølge Lando5 kan konkursidspunke τ defineres som: τ = inf {. : λ s ds E } 1 hvor E 1 er en eksponenialfordel sokasisk variabel med middelværdi 1, som er uafhængig af λ. Dvs. konkurs indræffer i de uendelig lille idsrum, hvor konkursprocessen springer. Generel beegnes en proces med deerminisisk inensie som en Poisson-proces, mens en proces med sokasisk inensie beegnes som en Cox-proces jf. Giesecke4. En Poisson-proces med konsan inensie er kendeegne ved følgende egenskaber jf. Duffie og Singleon 3: λ P τ > + s τ > = e Sandsynlighed for overlevelse i s år: s 4

48 Virksomhedens forvenede leveid: E τ = 1/ λ P τ + τ > Sandsynligheden for konkurs over en kor periode: lim En Cox-proces er kendeegne ved en koninuer og sokasisk inensiesproces. For a nå frem il Cox-processen, anages de indledningsvis a konkursinensieen varierer sokasisk på diskree årlige idspunker. Samidig anages de, a der i år er o mulige udfald for inensieen; højere λ,h eller lavere λ,l inensie. ages forvenningen il den fremidige inensie, kan den årige overlevelses-sandsynlighed skrives som Duffie og Singleon, 3: Pτ > = e λ 1 [p λ,h + 1-p λ,l ] =E [e λ1 + λ ] hvor lille p angiver sandsynligheden for, a konkursinensieen bliver højere. Ved a age forvenningen il sandsynligheden p opnås udrykke efer lighedsegne ovenfor. I generel form med flere idsperioder kan samme udryk skrives som: Pτ > = E [e λ1 + + λ ] Anages de herefer, a konkursinensieen varierer sokasisk men koninuer, hvilke neop beegnes som en Cox-proces, kan overlevelses-sandsynligheden frem il idspunk findes ved a inegrere over ovensående funkion som: τ = E e λ s ds P Konkurssandsynligheden eller 1-Pτ> findes således populær sag som middelværdien over alle forvenede fremidige udfald af inensiesfunkionen frem il evalueringsidspunke. Denne sammenhæng er cenral i modelleringen af kredirisiko med inensiesmodeller. Som de ses af formlen, ligner overlevelses-sandsynligheden en diskoneringsfakor, hvilke udnyes senere. = λ 18 Recovery Som de fremgår af ovensående, indgår der ikke en proces for de underliggende akivers værdi i inensiesmodeller. De er dermed ikke mulig a aflæse direke hvor sor en andel af e give ilgodehavende, der modages ved konkurs. Recovery defineres derfor eksogen, hvor der ifølge Lando5 eksiserer re ilgange: Recovery of face value: Her modager krediorerne en vis procendel af ilgodehavendes hovedsol, uafhængig af løbeid og kuponrene. Økonomisk se kan rimeligheden af denne fordeling diskueres, ide bealingen baseres på bogføre værdier, men de er dog denne fordelingsnøgle som ypisk anvendes ved fakiske konkurser. Derfor anvendes denne anagelse ofe og samidig er den relaiv le a modellere. 41

49 Recovery of reasury: Her modager krediorerne en vis procendel af de fremidige lovede bealinger på samme idspunk. il gengæld gøres bealingerne sikre. Værdien af de fremidige bealinger findes ved a diskonere med sasrenekurven. Denne anagelse anvendes i Jarrow & urnbull1995 sam Jarrow, Lando & urnbull1997. Recovery of marke value: Her modager krediorerne en værdi, som svarer il ilgodehavendes syneiske markedsværdi lige efer konkursen er indruffe. De anages således, a ilgodehavende ved konkurs falder il en brøkdel p af den værdi ilgodehavende udgjorde lige før konkursen, hvormed recovery R=p. Duffie og Singleon1997 og 1999 bruger dog denne anagelse, der er maemaisk korrek, men i praksis er de ikke mulig a finde ilgodehavendes syneiske markedsværdi, da denne værdi jo neop afhænger af den forvenede recovery. I denne opgave anvendes for alle re modeller recovery of face value, der jf. ovensående er den mes benyede anagelse. 5.. Udvidelse af inensiesmodeller Ide kredi-spreade primær afhænger af konkursinensieen, er denne samidig en nøglevariabel i prissæningen. Modellerne ager imidlerid ypisk deres udgangspunk i markedsdaa, hvorved inensieen besemmes endogen i modellerne. Inensieen kan således ikke aflæses direke nogen seder, hvorfor megen forskning har ree sig mod besemmelsen af neop konkursinensieen. Nedenfor redegøres kor for flere af disse udvidelser. Jarrow og urnbull 1995 sam Jarrow, Lando og urnbull 1997 har forsøg a besemme konkursinensieen ved a age udgangspunk i raing-ransiionsmaricer. 9 il en given raing hører en given inensie, og når raingen ændres, bliver inensieen samidig ændre. Dee er umiddelbar inuiiv og fordelen er, a der her skabes e link mellem en virksomheds raing og kredi-spreade på neop denne virksomhed. Virksomhedens raing anvendes således som den observerbare ilsandsvariabel for konkursinensieen. Konkursidspunke besemmes i modelleringen som førse gang en koninuer Markov-kæde med K niveauer rammer de K e niveau niveaue for konkurs. Hermed behøver konkursinensieen ikke længere være konsan over hele løbeiden. En væsenlig ulempe er dog, a inensieen kun ændres når raingen ændres, hvilke i sig selv sker senere end markedes vurdering ændres, hvormed anagelsen bliver emmelig siv Lando, 5. Ide de sore raingbureauer benyer sig af 16 kaegorier for krediværdighed, kan der argumeneres for, a der bør findes 16 forskellige niveauer af kredi-spread en for hver mulig raingkaegori. Ændringer i CDS priser bør således ske i hop mellem de 16 9 Denne rening benævnes ofe raing-baserede modeller i lierauren, og udgør sammen med de inensiesbaserede modeller de o hovedreninger under reduced-form ilgangen. Ide raingbaserede modeller er beslæge med inensies-modeller berøres raingbaserede modeller her kor. 4

50 alernaiver. Dee blødes dog op i udvidelsen af Lando 1998 ved en mere dynamisk ilgang, hvor kredispænde kan ændres på rods af, a raingen er uændre. Herudover kan konkursinensie og risikofri rene korrelere i Lando I inensiesmodellen af Hull og Whie er grundideen, a man kan udlede inensieen for en virksomhed på baggrund af obligaioner udsed af selv samme virksomhed. Dee gøres kor foral ved a sammenligne forward-renen mellem den enkele virksomhedsobligaion og en ilsvarende risikofri obligaion. Modellen har dog en række prakiske problemer, ide den kræver: 1 virksomheden har udsed en række obligaioner med forskellig løbeid, disse er likvide og 3 spreade mellem en risikofri- og virksomhedsobligaion hovedsagelig skyldes konkursrisikoen. I en redje udvidelsesrening har andre forsøg a anvende eorien fra renemodellering, ide funkionen for overlevelses-sandsynligheden som idligere nævn ligner en renediskoneringsfakor. Her anages de f.eks. a konkursinensieen følger en Vasicek eller CIR proces. Endvidere er de mulig a udvide disse processer il N dimensioner, hvor hver dimension angiver en sae variabel, f.eks. væks i BNP, rene og arbejdsløshed osv. Schönbucher 3 og Giesecke4. De er i denne opgave valg a implemenere den en-dimensionale Square roo Model, hvor inensieen anages a følge en CIR proces. Denne underliggende proces for inensieen er valg, ide den ofe anvendes i lierauren som e benchmark if. mere avancerede inensiesmodeller se f.eks. Cariboni & Schouens 6 eller Lando, 5. Square roo modellen anses således som repræsenaiv for inensiesilgangen, ide den illusrerer de grundlæggende aspeker og præseneres i de følgende Square roo modellen I Square roo modellen modelleres konkursidspunke τ ved en sokasisk og koninuer Coxproces med inensieen λ, som anages a følge en Cox, Ingersoll & Ross 1985 proces af ypen: θ λ d + σ dw dλ = c λ 19 rækkrafen c besemmer, hvor hurig ligevægen genoprees hvor θ angiver den langsigede ligevægsinensie. Når c> og θ> svarer formel 19 således il en AR1 model, hvor inensieen λ varierer omkring θ. For små værdier af c kan λ således vandre lang væk fra θ, før ligevægen sluelig nås. il enhver id gælder: Duffie & Singleon, 3: c s λ = θ + λ θ E e s Søjen i ovensående formel 19 udrykkes ved en sandard Brownian moion W, og σ angiver volailieen og mulipliceres med λ, hvilke sikrer a processen næsen aldrig bliver 43

51 mindre end, ide volailieen bliver relaiv mindre for en lav værdi af λ. Ifølge Cox, Ingersoll & Ross 1985 gælder de a: σ var λ s = λ c c s c s σ c s e e + θ 1 e c Indføres Fellers beingelse på CIR processen sikres de, a λ aldrig kan blive nul, ide Fellers beingelse siger a c θ σ Feller Med andre ord kræves de, a de opadgående drif i førse led med mean reversion i formel 19 skal være ilsrækkelig sor il a overskygge volailieen. En CIR proces med Fellers beingelse har fire implikaioner for konkursinensieen Cox, Ingersoll & Ross, 1985b: 1. Ikke negaiv - negaive værdier af inensieen er udelukke.. Ingen evig nulfælde - hvis inensieen når nul, kan den eferfølgende blive posiiv. 3. Relaiv varians - variansen vokser for sørre værdier af inensieen. 4. Ligevægsfordeling for inensieen kan ligevægsfordelingen findes. I diskre id kan ændringen i inensieen beskrives som Duffie & Singleon, 3: λ + λ c θ λ + σ λ ε hvor er længden på en kor idsperiode, mens ε er en uafhængig NF, variabel. Som de ses er ændringen i inensieen over perioden sammensa af e mean reversion led sam e sokasisk led, og de er neop påvirkningen fra disse o led, der samle se besemmer den oale ændring i inensieen. Fellers beingelse ovenfor er således e krav il neop disse o leds sørrelsesforhold. Forholde mellem de o led har også beydning for forolkningen på de enkele paramere, som de illusreres nedenfor. Paramerene i CIR-specifikaionen har følgende fire implikaioner på overlevelsessandsynligheden Q Duffie & Singleon, 3: Inensieen λ har en negaiv sammenhæng il Q, ide en højere inensie for konkurs jo logisk må medføre a sandsynligheden for overlevelse reduceres. Den langsigede ligevæg θ har en negaiv sammenhæng il Q. Jo sørre θ er, jo sørre er konvergensniveaue for λ. Derfor har θ en negaiv sammenhæng med overlevelsessandsynligheden. Hvis volailieen σ øges, vil de samidig forøge sandsynligheden for overlevelse. Dee kan umiddelbar virke ulogisk, men forklaringen findes i a λ e er konveks mh. λ jf. formel 18. Dvs. når λ siger, vil Q falde, mens når λ falder, vil Q sige mere end de ilsvarende fald. Derfor bliver gennemsnie for overlevelses-sandsynligheden sørre jo mere volailie der er i λ. 44

52 rækkrafen c har beydning på sørrelsen af drife fra mean reversion ledde. Når c vil drife fra mean reversion ledde i formel reel gå mod nul og inensieen λ kan vandre lang væk fra θ. Dermed besemmes alle ændringer i λ primær af de sokasiske led. De beyder dermed, a den realiserede volailie på λ forøges, og c har således sin effek gennem en forøgelse af den realiserede volailie. Jf. ovensående punk vedrørende volailieen σ, vil Q derfor forøges, når c formindskes. Hvis omvend c er sor, vil λ blive hold æ ved θ, og Q formindskes. Effeken af en højere c er illusrere i figur 5.1, hvor den samme sokasiske proces er modellere med en c på henholdsvis, og,6, mens ligevægen θ=,9. Figur 5.1 Følsomhed overfor rækkrafen c, 5, 4 Inensie, 3,, 1, B a s e l i n e c =, c =, 6 De ses af figur 5.1, a processen med den højese c hurig rækkes ind il ligevægen og forbliver æ herved, hvorved den oplevede volailie reduceres. Overlevelses-sandsynlighed og CDS spread il beregning af CDS-spread i Square roo modellen kræves e udryk for overlevelsessandsynligheden Q sam for æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed q. Overlevelses-sandsynligheden Q er i Square roo modellen give ved Giesecke, 4: a b λ Q = e 1 Hvor γ c / cθ = γe a ln σ γ γ c e 1 + γ e b = γ c e γ = c + σ γ γ γ 3 4 Den kumulaive konkurssandsynlighed er dermed lig 1-Q. æhedsfunkionen for konkurssandsynligheden -q findes ved a differeniere 1-Q mh. : 45

53 1 Q a b λ - q = = e [ a' b' λ ] hvor a og b kan ses i bilag 4. 5 Q og q kan nu indsæes i formel il beregning af CDS-spread: S, 1 R e = rs e rs Qsds qsds Denne prisformel anvendes i de følgende il beregning af CDS-spreade for Square roo modellen Prakisk implemenering af Square roo modellen I de følgende diskueres overvejelserne mh. meodevalg, og implemeneringen af Square roo modellen forklares Beregning af inegraler Ovensående CDS prisformel indeholder o inegraler. Begge inegraler er uden succes forsøg løs analyisk både i hånden sam vha. re forskellige maemaikprogrammer MaLab, Mahemaica sam ScienceWorkplace. Derfor beregnes inegralerne i sede numerisk. vha. Excel og VBA. Indledningsvis er inegralerne forsøg approksimere vha. rapez-meoden, hvor areale under funkionskurven beregnes ved a opdele x-aksen i e anal inervaller og dernæs beregne arealsummen af alle de fremkomne rapezer, som illusrere i figur 5.a og give ved: rapezsum = ½ [fx + fx fx n-1 + fx n ] x I førse omgang inddeles x-aksen i 1 inervaller pr. år, og arealsummen af rapezerne beregnes. rapez-meoden viser sig her ikke a være særlig præcis og samidig emmelig langsom, ide den skal genages for alle 575 handelsdage. Præcisionen kunne selvfølgelig forøges ved a inddele i endnu flere inervaller, men med forværring af beregningsiden il følge. De har således ikke være mulig a finde e ilfredssillende rade-off mellem beregningsid og præcision. Derfor har vi søg efer en alernaiv meode il numerisk beregning af inegralerne. Her er Simpsons meode funde hensigsmæssig, ide denne konvergerer mege hurig. Simpsons meode forklares her kor: 1 Område [a;b], der skal inegreres over, inddeles i lige sore inervaller adskil af miderpunke x. og funkionsværdien for a, b og x i beregnes. re konkree punker x, fx ; x i, fx i ; x n, fx n er nu kende og en parabel skydes ind gennem disse punker jf. figur 5.b. 1 De følgende afsni bygger på Waner 8, Alglib 8 og Allison 8 46

54 Figur 5.a - Inegrale vha. rapez-meoden Figur 5.b - Inegrale vha. Simpson-meoden Noe: Figurer basere på Waner 8. Når re punker er kende, findes der kun én mulig parabel, som indeholder alle re punker, hvor areale under parablen er give ved: Areal under parabel: b-a/6 [fx + 4fx i + fx n ] Herefer opdeles område i 4 lige sore inervaller adskil af x 1, x og x 3, og der fies nu o parable il hhv. punkerne x, x 1 og x sam x, x 3 og x n. Areale under alle parable er generel give ved: Sumareal under parable: b-a/3n [fx + 4fx 1 + fx + 4fx fx n-1 + fx n ] Hvis afvigelsen mellem sumareale basere på 4 inervaller og sumareale basere på inervaller ikke oversiger en given oleranceværdi, vurderes approksimaionen a være accepabel. I modsa fald sares en ieraiv procedure, hvor analle af inervaller fordobles indil o på hinanden følgende resulaer konvergererdvs. afvigelsen skal være under den givne oleranceværdi Fordelen ved Simpsons meode if. rapez-meoden er således, a inegrale approksimeres ved parabler, hvor der findes analyiske løsninger. Samidig bliver løsningen ved Simpsons meode mere præcis, ide kurvens krumning approksimeres ved parablerne, og med samme anal inervaller opnås derfor e lang mere præcis resula. Ved konkre implemenering af ovennævne procedure viser de sig, a sumareale af rapezerne allerede efer få fordoblinger af inerval konvergerer, og Simpsons meode vælges derfor, da den både er relaiv hurig og præcis Kalibrering Modellen kalibreres op mod CDS priserne fra markede på, hvor måle er a minimere summen af de kvadrede afvigelser. Dvs. krieriefunkionen er følgende: 1 j= 1, θ, c, σ markeds Min modelcds j λ CDS j 6 Som de ses af formlen, er der ale om e 4-dimensionel problem, ide paramerene λ, θ, c og σ skal esimeres. Indledningsvis køres ovensående i Excels solver, der dog er mege langsom 47