Sandsynlighedsteori
|
|
- Kristian Clemmensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori Svend Erik Graversen August
2 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige absolut kontinuerte fordelinger. Endvidere omtales Multinomialfordelingen samt den to-dimensionale normalfordeling. Til slut indføres ganske kort begrebet uniformt fordelt over en given mængde. De en-dimensionale fordelingers egenskaber er listet i henhold til flg.skabelon (A) Parametrenes variationsområde. Sandsynlighedsfunktionen p hhv. tæthedsfunktionen f. Funktionerne angives kun, hvor de er strengt større end 0. Endvidere specificeres eventuelle relationer til andre kendte fordelingstyper. (C) Monotoniforhold for sandsynlighedsfunktionen/tæthedsfunktionen. (D) FordelingsfunktionenF. Angives kun i punkter x hvor 0 < F(x) < 1, og kun i de tilfælde hvor den kan opskrives på en lukket form, der er simplere end den rene definitionsligning. (E) Momentforhold. I denne forbindelse skrives x (k) = x (x 1) (x k + 1) omtalt som x i k nedstigende for x R og k N. (F) Frembringende funktion q på intervallet [0, 1]. Kun for diskrete fordelinger. Karakteristisk funktion ϕ. (H) Laplace transforml med angivelse af definitionsområde D(L). Additionsforhold(foldning).(Dvs.sum af uafhænige variable, se nedenfor.) (J) Konvergenssætninger. (K) Diverse fordelingsresultater og andre relevante oplysninger. Lad mig vedrørende og (H) minde om, at hvis X er en stokastisk variabel, så er den karakteristiske funktion og Laplace transformen for X defineret som ϕ X (t) = E[e itx ] t R og L X (z) = E[e zx ] z D(L X ) := {z C E[e RzX ] < } Laplace transformen er ikke pensum, men er medtaget for fuldstændighedens skyld. I forbindelse med skrives kort F 1 F 2 = F 3 betydende, at hvis X og Y er uafhængige variable, så at X F 1 og Y F 2, så er X + Y F 3. Tilsvarende skrives i (J) F n F, hvis X n X, hvor X n F n og X F. Behandlingen af de to eksempler på flerdimensionale fordelinger foregår efter samme skabelon, men er mindre grundig. Punkt er dog udvidet med angivelse af de marginale fordelinger. 2
3 Binomialfordelingen bi(n, p) (A) n N, 0 p 1. p(k) = bi(k, n, p) = ( n k ) p k (1 p) n k k = 0, 1,..., n. (C) Hvis k := [ (n + 1)p ] er j bi(j, n, p) voksende for 0 j k, aftagende for k j n og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X bi(n, p) er E[X] = np, V ar(x) = np (1 p), E[X (k) ] = n (k) p k k 2. (F) (H) (J.1) (J.2) q(t) = (1 + p (t 1)) n. ϕ(t) = (1 + p (e it 1)) n. L(z) = (1 + p (e z 1)) n z C. bi(n 1, p) bi(n 2, p) = bi(n 1 + n 2, p). bi(n, p n ) po(λ) for n, hvis np n λ. bi(n, p) n np (1 p) N(0, 1) for n. (K) Hvis A 1,...,A n er uafhængige hændelser med samme sandsynlighed p, er n X bi(n, p), hvor X := 1 Ak. k=1 Eller: et forsøg med udfaldene A og B med sandsynligheder hhv.p og 1 p, udføres n gange. Lad X betegne antallet af gange A kommer ud, da er X bi(n, p). 3
4 Den hypergeometriske fordeling h(n, r, N) (A) N, n N og 1 n N, r N 0 og 0 r N. p(k) = h(k, n, r, N) = ( r k ) ( N r n k ) ( N n ) 1 k = 0, 1,..., min(r, n). (C) Hvis k := [ (rn N + r + n 1)/(N + 2) ] er j h(j, n, r, N) voksende for 0 j k, aftagende for k j min(r, n) og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X h(n, r, N) er E[X] = nr N nr (N r) (N n), V ar(x) =, E[X (k) ] = n(k) r (k) k 2. N 2 (N 1) N (k) (J) h(n 1, r, N) h(n 2, r, N) = h(n 1 + n 2, r, N). h(n, r N, N) bi(n, p) for N, hvis r N /N λ. (K) Af en kasse med r røde og N r sorte kugler trækkes n kugler tilfældigt uden tilbagelægning. Hvis X er antallet af udtrukne røde kugler, er X h(n, r, N). 4
5 Poissonfordelingen po(λ) (A) 0 < λ <. p(k) = po(k, λ) = λk k! e λ k = 0, 1, 2,.... (C) Hvis k := [ λ ] er j po(j, λ) voksende for 0 j k, aftagende for k j < og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X po(λ) er E[X] = λ, V ar(x) = λ, E[X (k) ] = λ k k 2. (F) (H) (J.1) q(t) = exp( λ (t 1) ). ϕ(t) = exp( λ (e it 1) ). L(z) = exp( λ(e z 1) ) z C. po(λ 1 ) po(λ 2 ) = po(λ 1 + λ 2 ). po(λ) λ λ N(0, 1) for λ. (J.2) Hvis (X n ) n 1 er stokastiske variable, så at X n = X 1n + + X nn, hvor X 1n,..., X nn iid heltallige og da vil lim n n P(X 1n = 1) = λ > 0 samt lim n n P(X 1n 2) = 0, X n po(λ) for λ. (K) Hvis (T n ) n 1 er en iid-følge af E(λ)-fordelte stokastiske variable, så er for alle t > 0 N t po(tλ) hvor N t := #{n 1 T T n t}. 5
6 Den negative Binomialfordeling b (κ, p) (A) 0 < κ <, 0 p 1. ( k + κ 1 p(k) = b (k, κ, p) = k ) p k (1 p) κ = ( κ k ) ( p) k (1 p) κ k = 0, 1, 2,.... (C) Hvis k := [ (κp 1)/(1 p) ] + 1 er j b (j, κ, p) voksende for 0 j k, aftagende for k j < og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X b (κ, p) er E[X] = κp 1 p, V ar(x) = κp (1 p) 2, E[X(k) ] = (k+κ 1) (k) p k (1 p) k k 2. (F) (H) (J.1) q(t) = (1 p) κ (1 tp) κ. ϕ(t) = (1 p) κ (1 e it p) 1κ. L(z) = (1 p) κ (1 e z p) κ Rz < log p. b (κ 1, p) b (κ 2, p) = b (κ 1 + κ 2, p). bi (κ n, p n ) po(λ) for n, hvis p n 0 og p n κ n /(1 p n ) λ > 0. (J.2) (1 p) b (κ, p) κp κp N(0, 1) for κ. 6
7 Den geometriske fordeling ge(p) (A) 0 p 1. ge(p) = b (1, p) og derfor p(k) = ge(k, p) = p k (1 p) k = 0, 1, 2,.... (C) k ge(k, p) er aftagende og antager sit maksimum i 0. (D) F(x) = G(x, p) = 1 p [x]+1 x 0. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X ge(p) er (F) (H) (J) E[X] = p 1 p, V ar(x) = p (1 p), p k 2 E[X(k) ] = k! k 2. (1 p) k q(t) = (1 p) (1 tp) 1. ϕ(t) = (1 p) (1 e it p) 1. L(z) = (1 p) (1 e z p) 1 Rz < log p. ge(p) ge(p)) = b (2, p). ge(p n )/n E(λ) for n, hvis n(1 p n ) λ > 0. (K.1) Den geometriske fordeling har ingen hukommelse, dvs. X ge(p) P(X n + k X n) = P(X k) k, n 0. Denne egenskab karakteriserer den geometriske fordeling blandt de diskrete fordelinger med støtte N 0. I denne sammenhæng gælder endvidere X E(λ) [X] ge(e λ ). (K.2) Et forsøg med udfaldene A og B, med sandsynligheder hhv.p og 1 p, udføres uendelig mange gange. Lad X betegne antallet af gange B kommer ud, før end A kommer ud første gang, da er X ge(p). X + 1 svarer derfor til ventetiden på, at A kommer ud første gang, dvs.variablen inf{k 1 1 Ak = 1 }. 7
8 Pascalfordelingen pas(n, p) (A) n N, 0 p 1. pas(n, p) = b (n, p) og derfor ( k + n 1 p(k) = pas(k, n, p) = k ) p k (1 p) n k = 0, 1, 2,.... (C) Hvis k := [ (np 1)/(1 p) ] + 1 er j pas(j, n, p) voksende for 0 j k, aftagende for k j < og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X pas(n, p) er E[X] = np np, V ar(x) = 1 p (1 p), 2 E[X(k) ] = (k+n 1) (k) p k k 2. (1 p) k (F) (H) (J.1) q(t) = (1 p) n (1 tp) n. ϕ(t) = (1 p) n (1 e it p) n. L(z) = (1 p) κ (1 e z p) n Rz < log p. pas(n 1, p) pas(n 2, p) = pas(n 1 + n 2, p). pas(n, p n ) po(λ) for n, hvis p n 0 og np n /(1 p n ) λ > 0. (J.2) (1 p) pas(n, p) np np N(0, 1) for n. (K) Et forsøg med udfaldene A og B, med sandsynligheder hhv.p og 1 p, udføres uendelig mange gange. Lad X betegne antallet af gange B kommer ud, før end A kommer ud n te gang, da er X pas(n, p). X + n svarer derfor til ventetiden på, at A kommer ud n te gang, dvs.variablen k inf{k 1 1 Aj n }. j=1 8
9 Den uniforme (rektangulære) fordeling over (a, b) U(a, b) (A) < a < b <. f(x) = r(x, a, b) = 1/(b a) x (a, b). (C) x r(x, a, b) er konstant på intervallerne (, a ], (a, b) og [ b, ). (D) F(x) = R(x, a, b) = x a b a x (a, b). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X U(a, b) er E[X] = a + b 2, V ar(x) = (b a)2 12, E[X k ] = bk+1 a k+1 (b a) (k + 1) k 2. (H) ϕ(t) = e it(a+b)/2 U(a, b) U(a, b) har tæthed sin td td L(z) = ezb e za z(b a) hvor d = (b a)/2. z C. x (b a) 1 x a b (b a) 2 x (2a, 2b). (K) X U(a, b) X U( b, a) og cx + d U(ca + d, cb + d) c > 0. 9
10 Gammafordelingen Γ(α, β) (A) 0 < α <, 0 < β <. f(x) = g(x, α, β) = xα 1 β α e βx x > 0. Γ(α) (C) Hvis 0 < α 1 er x g(x, α, β) aftagende på (0, ). Hvis α > 1 og k = (α 1)/β er x g(x, α, β) voksende i (0, k ] og aftagende i intervallet [ k, ) og antager sit maksimum i k. (D) For m N F(x) = G(x, m, 1) = 1 m 1 j=0 x j j! e x x > 0 (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X Γ(α, β) er E[X] = α/β, V ar(x) = α/β 2, E[X k ] = (α + k 1) (k) /β k k 2. (H) (J) (K) ϕ(t) = (1 it/β) α. L(z) = (1 z/β) α Rz < β. Γ(α 1, β) Γ(α 2, β) = Γ(α 1 + α 2, β). Γ(α, β) α/β α/β 2 N(0, 1) for α. X Γ(α, β) ax Γ(α, β/a) a > 0. Bemærkning. Det er værd at bemærke, at der i litteraturen ikke er enighed om, hvorvidt man skal parametrisere med β eller 1/β. Dvs.man skal være på vagt overfor, hvilken parametrisering der er valgt. α kaldes ofte formparameteren og 1/β hhv. β skalaparameteren. Navnet skalaparameter skyldes egenskaben (K). 10
11 χ 2 -fordelingen χ 2 (n) (A) n N. χ 2 (n) = Γ(n/2, 1/2) og derfor f(x) = χ 2 (x, n) = 1 Γ(n/2) 2 ( x 2 ) n/2 1 e x/2 x > 0. (C) Hvis n = 1, 2 er x χ 2 (x, n) aftagende på (0, ). Hvis n 3 og k = n 2 er x χ 2 (x, n) voksende i (0, k ] og aftagende i intervallet [ k, ) og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X χ 2 (n) er E[X] = n, V ar(x) = 2n, E[X k ] = 2 k (n/2 + k 1) (k) k 2. (H) (J) (K.1) (K.2) ϕ(t) = (1 2it) n/2. L(z) = (1 2z) n/2 Rz < 1/2. χ 2 (n 1 ) χ 2 (n 2 ) = χ(n 1 + n 2 ). χ 2 (n) n 2n N(0, 1) for n. X N(0, 1) X 2 χ 2 (1). X U(0, 1) 2 log X χ 2 (2) = E(1/2). 11
12 Eksponentialfordelingen E(λ) (A) 0 < λ <. E(λ) = Γ(1, λ) og derfor (C) x e(x, λ) aftagende på (0, ). (D) F(x) = E(x, λ) = 1 e λx x > 0. f(x) = e(x, λ) = λ e λx x > 0. (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X E(λ) er (H) (K.1) E[X] = 1/λ, V ar(x) = 1/λ 2, E[X k ] = k!/λ k k 2. L(z) = ϕ(t) = λ λ z λ λ it. Rz < λ. E(λ) E(λ) = Γ(2, λ). X E(λ) ax E(λ/a) a > 0. (K.2) Eksponentialfordelingen er karakteriseret ved, at den er hukommelsesløs, dvs. X E(λ) for et λ > 0 P(X > s + t X > s) = P(X > t) for alle s, t > 0, specielt er [X] og X [X] uafhængige, hvis X er eksponentialfordelt. Endvidere gælder X E(λ) [X] ge(e λ ) og X [X] P X ( X 1). (K.3) Hvis T 1 og T 2 er uafhængige og T i E(λ i ) for i = 1, 2, er og hvis 0 < λ 1 < λ 2 gælder T 1 T 2 E(λ 1 + λ 2 ), dvs. P T1 = λ 2 λ 1 λ 2 P T1 +T 2 + λ 1 λ 2 P T2, P(T 1 B) = λ 2 λ 1 λ 2 P(T 1 + T 2 B) + λ 1 λ 2 P(T 2 B) for B B(R). 12
13 Normalfordelingen N(µ, σ 2 ) (A) < µ <, 0 < σ <. f(x) = n(x, µ, σ 2 ) = 1 µ)2 exp( (x ) x (, ). 2π σ 2 2σ 2 (C) x n(x, µ, σ 2 ) er voksende i (, µ ], aftagende i [ µ, ) og antager sit maksimum i µ. (D) Hvis X N(µ, σ 2 ) er (X µ)/σ N(0, 1), dvs. F(x) = N(x, µ, σ 2 ) = N( x µ σ, 0, 1) = Φ( x µ σ ) x (, ). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X N(µ, σ 2 ) er E[X] = µ, V ar(x) = σ 2, E[(X µ) k ] = 0 k 1 ulige og (H) E[(X µ) k ] = (2l 3) (2l 1) σ 2l ϕ(t) = exp( iµt σ 2 t 2 /2 ). L(z) = exp( zµ + σ 2 z 2 /2 ) z C. k = 2l lige. N(µ 1, σ 2 1) N(µ 2, σ 2 2) = N(µ 1 + µ 2, σ 2 ) hvor σ 2 = σ σ 2 2. (J) Hvis (X n ) n 1 er en iid-følge af stokastiske varable med endelig middelværdi µ og varians σ 2 konvergerer 1 n (X k µ) N(0, σ 2 ) for n. n k=1 (K) X N(0, 1) X 2 Γ(1/2, 1/2) = χ 2 (1). 13
14 Betafordelingen B(s, t) (A) 0 < s <, 0 < t <. B(1, 1) = U(0, 1) og generelt f(x) = β(x, s, t) = xs 1 (1 x) 1 t B(s, t) x (0, 1) hvor B(s, t) = Γ(s) Γ(s) Γ(s + t). (D) For m N F(x) = B(x, m, t) = 1 m 1 j=0 ( m + t 1 j ) x j (1 x) m+t+j 1 x (0, 1). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X B(s, t) er og E[X] = s s + t, V ar(x) = st (s + t) 2 (s + t + 1) E[X k ] = Γ(s + t) Γ(s + k) Γ(s + t + k) Γ(s) k 2. (K) X og Y er uafhængige og X Γ(s, β) og Y Γ(t, β), så er X X + Y B(s, t). 14
15 Arcussinusfordelingen Arc(α) (A) 0 < α < 1. Arc(α) = B(α, 1 α) og derfor f(x) = arc(x, α) = sin(πα) π x α 1 (1 x) α x (0, 1). (C) x arc(x, α) er aftagende i (0, 1 α ], voksende i [ 1 α, 1) og antager sit minimum i 1 α. (D) F(x) = Arc(x, 1/2) = 1 π arcsin x x (0, 1). (E) Momenter af enhver orden, som bestemmer fordelingen. Hvis X Arc(α) er E[X] = α, V ar(x) = α(1 α) (2, E[X k ] = ( α + k 1 k ) k 2. J) Lad (X n ) n 1 betegne en iid-følge af stokastiske varable og sæt for n 1 S n = n X k. k=1 Da gælder hvor P(S n > 0) n α (0, 1) N n /n Arc(α) N n := #{1 k n S k > 0} n 1. 15
16 F-fordelingen (v 2 -fordelingen) F(s, t) (A) 0 < s <, 0 < t <. f(x) = v 2 (x, s, t) = s s/2 t t/2 x s/2 1 B(s/2, t/2) (t + sx) (s+t)/2 x (0, ). (C) Hvis s > 2 og k = (s 2) t /(s (t + s)) er x v 2 (x, s, t) voksende i (0, k ], aftagende i [ k, ) og antager sit maksimum i k. Hvis s 2 er x f(x, s, t) aftagende på (0, ). (E) Hvis X F(s, t) er E[X α ] = hvis 2α t. Endvidere er og (K.1) E[X] = t/(t 2) hvis t > 2, V ar(x) = 2t2 (s + t 2) s (t 2) 2 (t 4) hvis t > 4 E[X k ] = ( t s ) k Γ(s/2 + k) Γ(t/2 k) Γ(s/2) Γ(t/2) hvis t > 2k, k 2. X F(s, t) t t + sx B(t/2, s/2) og sx t + sx B(s/2.t/2). (K.2) X B(s/2, t/2) t s X 1 X F(s, t) (K.3) Hvis X og Y er uafhængige og X χ 2 (n 1 ) og Y χ 2 (n 2 ) er X/n 1 Y/n 2 ) F(n 1, n 2 ). 16
17 t-fordelingen (Student fordelingen) t(λ) (A) 0 < λ <. f(x) = t(x, λ) = 1 λ B(1/2, λ/2) (1 + x 2 /λ) (λ+2)/2 x (, ). (C) x t(x, λ) er voksende i (, 0 ], aftagende i [ 0, ) og antager sit maksimum i 0. (E) Hvis X t(λ) er E[X α ] = hvis α λ. Endvidere er E[X] = 0 hvis λ > 1, V ar(x) = λ λ 1 hvis t > 4 og E[X k ] = 0 hvis k er ulige og λ > k, og hvis k er lige og λ > 2k er E[X 2k ] = Γ(k + 1/2) Γ(λ k) (2λ)k. Γ(1/2) Γ(λ) (J) t(λ) N(0, 1) λ. (K.1) Hvis X og Y er uafhængige og X N(0, 1) og Y χ 2 (n) er X Y/n t(n). (K.2) X t(λ) (1 + X2 λ ) 1 B(λ/2, 1/2). 17
18 Log-normalfordelingen log N(µ, σ 2 ) (A) < µ <, 0 < σ 2 <. f(x) = log n(x, µ, σ 2 ) = 1 x x µ)2 exp( (log ) x (0, ). 2πσ2 2σ 2 (C) Hvis k = exp(µ σ 2 ) er x log n(x, µ, σ 2 ) voksende i (0, k ], aftagende i [ k, ) og antager sit maksimum i k. (E) Momenter af enhver orden, men de bestemmer ikke fordelingen entydigt. Hvis X log N(µ, σ 2 ) er E[X] = exp( µ + σ 2 /2 ), V ar(x) = exp( 2µ + σ 2 ) (exp( σ 2 ) 1), og (K) E[X k ] = exp( k (µ + kσ 2 /2) ) k 2. X log N(µ, σ 2 ) log X N(µ, σ 2 ) 18
19 Cauchyfordelingen C(a, b) (A) < a <, 0 < b <. f(x) = c(x, a, b) = b π (b 2 + (x a) 2 ) x (, ). (C) x c(x, a, b) er voksende i (, a ], aftagende i [ a, ) og antager sit maksimum i a. (D) F(x) = C(x, a, b) = 1/2 + 1 π arctan( x a b ) x (, ). (E) Hvis X C(a, b) og α 1 er E[X α ] =, dvs.x har ikke endelig middelværdi. (K.1) ϕ(t) = exp( iat b t ). C(a 1, b 1 ) C(a 2, b 2 ) = C(a 1 + a 2, b 1 + b 2 ). X C(a, b) cx + d C(d + ca, c b). (K.2) Hvis X og Y er uafhængige og X N(0, σ 2 ) og Y N(0, 1), så er (K.3) X/Y C(0, σ). X C(0, 1) 1 2 ( X 1 X ) C(0, 1) og 1 + X 1 X C(0, 1). (K.4) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X k C(a, b) for 1 k n, er 1 n n X k C(a, b). k=1 19
20 Multinomialfordelingen mn(n, p 1,...,p m ) (A) n N, 0 p i 1 i = 1,..., m og p p m = 1. ( ) n m p(k) = mn(k, n, p 1,..., p m ) = k 1,...,k m i+1 for k = (k 1,...,k m ) : 0 k i n i = 1,...,n og k k m = n. X = (X 1,...,X m ) mn(n, p 1,...,p m ) X i bi(n, p i ) i = 1,...,m. (E) Hvis X = (X 1,...,X m ) mn(n, p 1,...,p m ) er E[X i ] = np i, V ar(x i ) = np i (1 p i ), Cov(X i, X j ) = np i p j i j. mn(n 1, p 1,...,p m ) mn(n 2, p 1,..., p m ) = mn(n 1 + n 2, p 1,...,p m ). (J) Hvis X n = (X 1n,...,X mn ) mn(n, p 1,...,p m ) for alle n 1 konvergerer p k i i m i=1 (X in np i ) 2 np i χ 2 (m 1) for n. (K) Et forsøg med m mulige udfald A 1,...A m med sandsynligheder p 1,...,p m udføres n-gange. Hvis X i for i = 1,..., m betegner antallet af gange A i kommer ud, så er (X 1n,...,X mn ) mn(n, p 1,...,p m ). 20
21 Den to-dimensionale normalfordeling N 2 (µ, σ) (A) ( σ µ = (µ 1, µ 2 ) R 2 2, σ = 1 c c σ2 2 ) hvor σ 1, σ 2 > 0 og c < σ 1 σ 2. f(x) = n 2 (x, µ, σ) = 1 2π σ 1 σ 2 1 ρ 2 exp( Q(x 1 µ 1, x 2 µ 2 ) ) x R 2, hvor ρ = c/σ 1 σ 2, og Q er den kvadratiske form Q(x) = 1 2(1 ρ 2 ) ( ) x 2 1 /σ2 1 + x2 2 /σ2 2 2ρ x 1 x 2 σ 1 σ 2 1 ρ 2 x R 2. X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, σ) X i N(µ i, σi 2 ) i = 1, 2. (E) Hvis X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, σ) er E[X i ] = µ i og V ar(x i ) = σ 2 i og Cov(X 1, X 2 ) = c. ϕ(t) = exp( i µ t 1 2 t σ tt ). (K) Hvis X = (X 1, X 2 ) N 2 (µ, σ) og T er en lineær bijektion i R 2, er T(X) N 2 ( T(µ), T σ T t ), hvor T er matricen hørende til T udregnet mht.den kanoniske basis i R 2 og T t den transponerede. Formlen er angivet under forudsætningen, at vektorerne i R 2 opfattes som søjlevektorer. Skiftes til rækkevektor-notation er formlen for Kovariansmatricen i stedet T t σ T. For alle a, b R gælder derfor hvor σ 2 = a 2 σ b2 σ abc. ax 1 + bx 2 N(aµ 1 + bµ 2, σ 2 ) 21
22 Generelle uniforme fordelinger Lad A B(R n ) have positivt endeligt Lebesgue mål, dvs.0 < λ n (A) <. Definition En n-dimensional stokastisk vektor X siges da at være uniformt fordelt over A hvis P(X B) = λ 2 (B A)/λ 2 (A) B B(R n ). Flg.punkter er åbenbart opfyldte, hvis X er uniformt fordelt over A. 1) P X λ n med tæthed x 1 A (x)/λ n (A). 2) X + x er uniformt fordelt over A + x for alle x R n. 3) T(X) er uniformt fordelt over T(A) for enhver lineær bijektion i R n. 22
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereFordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.
Fordelinger En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave Udvidet version Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.dk Da denne fordelingsoversigt's første udgave så verdens lys
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 18. august 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 8. august 06 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereOpgaver til Matematisk Modellering 1
Afdeling for Teoretisk Statistik Matematisk Modellering 1 Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild og Jan Pedersen Aarhus Universitet 30. september 2004 Opgaver til Matematisk Modellering 1 Opgave 1.
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen
Program Statitik og Sandynlighedregning 2 Normalfordelingen venner og bekendte Helle Sørenen Uge 9, ondag Reultaterne fra denne uge kal bruge om arbejdhete i projekt 1. I formiddag: χ 2 -fordelingen, t-fordelingen,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 4. juni 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 8 sider Skriftlig prøve, den: 4. juni 20 Kursus nr : 0240 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mere