2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter

Transkript

1 Opgave I I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen være velegnet til beskrivelse af den tilfældige variation: 1 X 1 = samlet indhold af aktivt stof i et glas med 200 tabletter 2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter 3 X 3 = antal bakterier i en vandprøve på én milliliter 4 X 4 = antal pulsslag i ét minut for en rask person 5 X 5 = antal undervægtige tabletter i et glas med 200 tabletter 1 Fortsæt på side 2

2 Opgave II I visse mikrobiologiske undersøgelser benytter man udstrygning på en petriskål af en biologisk prøve (f.eks. en urinprøve) med henblik på at bestemme, hvorvidt der findes, eksempelvis, levende mikroorganismer i prøven (f.eks. bakterier). I nogle tilfælde er man interesseret i at se, om der overhovedet er vækst, mens man i andre tilfælde tæller antal vækstpunkter som udtryk for koncentration af en mikroorganisme. Følgende figur viser optællingen af antal vækstpunkter efter udstrygning af en standardsuspension af en bestemt organisme påén skål. Optællingen foretages under mikroskop i 16 tællefelter. Figuren viser antal punkter i felterne: Formålet med forsøget har været at opstille en model for væksten svarende til den pågældende standardsuspension. Vi kalder nu antallet af punkter på ét tællefelt for X. Spørgsmål II.1 (2): Hvilket af følgende forslag til model for variablen X vil det være rimeligt at benytte fremover: 1 X Normal(µ,σ 2 )medµ=9ogσ 2 =26. 2 X Exponentiel(µ) medµ=16/144 = X Poisson(λ) medλ=16 4 X Binomial(n, p) medn=16ogp=16/144 5 X Poisson(λ) medλ=9 2 Fortsæt på side 3

3 Opgave III Med henblik på at kvalitetssikre analyserne i laboratoriet har man foretaget et eksperiment, hvor man med forskellige 10 ml pipetter har udtaget nominelt 10 ml H 2 O ved 20 o C. Det udtagne volumen vejes på en nøjagtig vægt, og det faktiske volumen,x, beregnes ud fra vægten. Måleværdierne er X 1,X 2,X 3,...,X 20, og man tester en hypotese om, at middelværdien, µ, afxer mod µ Spørgsmål III.1 (3): Det sædvanlige test herfor udføres som et af følgende tests med tilhørende kritiske område, idet der benyttes signifikansniveau α = 5%. 1 Et t-test med kritisk område t> Et t-test med kritisk område t > Et χ 2 -test med kritisk område χ 2 > Et χ 2 -test med kritisk område χ 2 < Et t-test med kritisk område t < Spørgsmål III.2 (4): Signifikansniveauet α for det ovenstående test angiver: 1 Sandsynligheden for, at µ = 10.00, hvis testet ikke viser signifikans 2 Sandsynligheden for, at µ 10.00, hvis testet viser signifikans 3 Sandsynligheden for, at testet leder til signifikans, hvis µ = Sandsynligheden for, at testet leder til signifikans, hvis µ Sandsynligheden for, at {9.995 <µ<10.005}, hvis testet ikke viser signifikans 3 Fortsæt på side 4

4 Opgave IV Der er udtaget prøver med en manuel pipette. Det nominelle volumen, som skulle udtages, var 25.0 ml. Det faktisk udtagne volumen blev bestemt nøjagtigt efterfølgende ved vejning. Ved gentagen anvendelse af pipetten vil det udtagne volumen være behæftet med en vis usikkerhed, og det er ønsket, at usikkerheden ved udtagningen skal være mindre end svarende til en spredning på 1% af det nominelle volumen, dvs σ<0.25 ved volumenet Man fik følgende resultater fra 12 udtagninger, kaldet {x 1,x 2,...,x 12 } : Det er beregnet, at i x i = , og i(x i x) 2 = Spørgsmål IV.1 (5): Hvis man ønsker at påvise, at σ 2 < , vil det være mest fornuftigt at teste (blandt følgende muligheder): 1 H 0 : σ 2 > mod H 1 : σ 2 = H 0 : σ 2 = mod H 1 : σ 2 =0.8126/(12 1) 3 H 0 : σ 2 = mod H 1 : σ 2 < H 0 : σ 2 < mod H 1 : σ 2 = H 0 : σ mod H 1 : σ 2 = Fortsæt på side 5

5 Opgave V Vi betragter igen problemstillingen i opgave IV: I et laboratorium benytter man en pipette, hvorom man har fundet det gennemsnitligt udvejede volumen til x =24.91 ml og en spredning på s =0.2 på de enkelte udtagninger, som beskrevet i opgave IV. Det er meningen, at pipetten med stor sikkerhed skal udtage ± 0.40 ml, dvs med et volumen mellem og Spørgsmål V.1 (6): Vi ønsker nu et skøn, p, over andelen af udtagninger, som faktisk ligger indenfor dette tilstræbte interval, idet Φ(.) angiver sandsynligheden i N(0,1)- fordelingen: 1 p =Φ( ) Φ( ) 2 p = [ Φ( ) Φ( ) ] / 12 3 p =1 Φ( ) Φ( ) p =1 Φ( / ) Φ( / ) 12 5 p =Φ( )+Φ( ) Fortsæt på side 6

6 Opgave VI I et gæringsforsøg måler man ved udtagning af en prøve mængden, X 14, af dannet penicillin i løbet af en gæringsperiode på 14 dage. For 5 forsøg fik man X 14 -værdierne 9.2, 8.4,.1, 10.5, og Tallenes sum og kvadratsum er hhv. 4.1 og Spørgsmål VI.1 (): Et (tosidet) 99% konfidensinterval for middelværdien for X 14 er: ± / ± / ± / ± / ± / 4 Efter yderligere en uges vækst måltes for de samme 5 forsøg mængden af dannet penicillin, X 21. Resultaterne var nu for 14 og 21 dage for de 5 forsøg: Forsøg nr X X = = ( 0.2) =3.69 Spørgsmål VI.2 (8): Et 95% konfidensinterval for mængden af penicillin, som dannes i løbet af 3. uge af et vækstforsøg er: 1 0. ± / ± / ± / ± / ± Fortsæt på side

7 Opgave VII Til bestemmelse af koncentrationen af salte i en vandig opløsning benyttes ofte en ledningsevne måling. Ledningsevnen er den reciprokke værdi af den elektriske modstand, og den angives f.eks. i mikrosiemens. Følgende data er aflæsninger af ledningsevne i en opløsning, hvortil der er tilsat NaF (natriumfluorid) i forskellige koncentrationer: x = Koncentration af NaF i µg/ml Y = Ledningsevne måling x =23.33, y =15.2 (xi x) 2 = (yi y) 2 = (xi x)(y i y) = 93.6 Ved hjælp heraf er regressionsligningen Y = a + b x + E estimeret til: Y = x + E I modellen er E en tilfældig afvigelse, som (evt. tilnærmelsesvist) antages normalfordelt med middelværdi 0 og varians σ 2 E, der estimeres til σ 2 E = Spørgsmål VII.1 (9): Et 95% konfidensinterval for liniens hældningskoefficient, b, er 1 I 0.95 [b] =0.553 ± / I 0.95 [b] =0.553 ± / I 0.95 [b] =0.553 ± / 6 4 I 0.95 [b] =0.553 ± / I 0.95 [b] =0.553 ± Fortsæt på side 8

8 Et tilsvarende 95% konfidensinterval for liniens afskæring, a, er intervallet [ 0.013, ]. Spørgsmål VII.2 (10): For hypotesen H 0 : a =0modH 1 :a 0gældernuvedet test med signifikansniveauet α = 5% ét af følgende udsagn, hvilket? 1 Man kan ikke afvise, at a =0 2 Man har vist, at med sandsynligheden 95% er a =0 3 Man har vist, at med sandsynligheden 5% er a 0 4 Man kan afvise, at a =0 5 Man kan afvise, at a = Fortsæt på side 9

9 Opgave VIII Et antal tilfældigt udvalgte personer blev spurgt om, hvorvidt de foretrak det ene eller det andet af to smagsstoffer. De to stoffer, som havde henholdsvis lakrids- og pebermyntesmag, skulle indgå i et overtræk til vitamintabletter. Følgende tabel viser resultatet af optællingen af deltagernes preferencer: Alders- Foretrækker Foretrækker gruppe lakrids pebermynte Ialt idet f.eks. aldersgruppen 56-0 bestod af 19 personer, der fordelte sig med 12, som foretrak lakrids, og, som foretrak pebermynte. Indledningsvis ønsker man at undersøge, om aldersgruppernes preferencer kan anses for ens, eller, om de er forskellige. Spørgsmål VIII.1 (11): Det sædvanlige test af denne hypotese kan udføres som et af følgende tests. Hvilket? 1 Et F-test med (1,3) frihedsgrader 2 Et F-test med (3,3) frihedsgrader 3 Et t-test med 3 frihedsgrader 4 Et χ 2 -test med 3 frihedsgrader 5 Et χ 2 -test med 2 frihedsgrader Slut på opgavesættet. 9