Trekantsberegning 25 B Karsten Juul

Transkript

1 Trekantsberegning 7, Karsten Juul

2 ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte en indsigt hos eleverne som de ikke kan forventes at have Indhold real af trekant 3 Pythagoras' sätning 6 3 nsvinklede trekanter 0 4 osinus 3 5 Sinus 0 6 Tangens4 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant6 8 Opgaver 7 Nyere häfter: Trekantsberegning udgave 009 Ç 009 Karsten Juul ette häfte kan downloades fra wwwmatdk HÄftet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lärer og skole/kursus

3 fsnit real af trekant Åvelse eregn arealet af hver af de tre trekanter, og GHI I G 00 H INITION HÄjde og grundlinje n héjde i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids og vinkelret ned på den modstående side eller fra en vinkelspids og vinkelret ned på forlängelsen af den modstående side er er tre héjder i en trekant Vi kan selv bestemme hvilken af trekantens sider vi kalder grundlinjen NÅr vi taler om trekantens héjde, så er det den af héjderne der er vinkelret på den side som vi har valgt at kalde grundlinje Trekantsberegning Side Karsten Juul

4 ksempel 3 iguren viser en trekant Hvis vi välger siden med längde 8 som grundlinje, så er héjden 7 Hvis vi välger siden med längde 4 som grundlinje, så er héjden Åvelse 4 Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje (Se definition ) SÇTNING 5 real af trekant NÅr T = arealet af trekanten g = grundlinjen (dvs en side i trekanten) h = héjden (dvs den af héjderne der står vinkelret på den valgte grundlinje) gälder T h g Trekantsberegning Side Karsten Juul

5 Åvelse 6 iguren viser et firkantet bur set fra oven estem burets areal på den nemmest mulige måde m Åvelse 7 estem arealet af trekant estem arealet af trekant estem arealet af trekant Trekantsberegning Side Karsten Juul

6 fsnit Pythagoras' sätning INITION Katete og hypotenuse Kateterne i en retvinklet trekant er de to sider der danner den rette vinkel Hypotenusen i en retvinklet trekant er den side der ligger over for den rette vinkel ksempel iguren viser en retvinklet trekant Kateterne er 6 og 8 Hypotenusen er SÇTNING 3 Pythagoras' såtning or en retvinklet trekant gälder: Hvis så er p og q er kateterne, og r er hypotenusen p q r p r q emärkning 4: n sprogbrug Hvis der står i trekant er f 4 gälder det er siden over for vinkelspidsen der er 4 Sprogbrugen er nemlig sådan at når et stort bogstav er en vinkelspids i en trekant, gälder det tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen, hvis der ikke fremgår andet f e d enne sprogbrug er brugt her: I en trekant hvor vinkel er ret, er a b c emårkning 4 om sprogbrug fortsåtter pç nåste side Trekantsberegning Side Karsten Juul

7 dvarsel Se figuren til héjre Her dur det ikke hvis du skriver m, 6 LÄseren kan ikke vide om det er eller der er, 6 Skriv m på den side du mener u skal altid tegne en figur i en geometriopgave M Åvelse 5 fgér for hver ligning om den er korrekt () p q r p q () (3) p r r q q p r Åvelse 6 fgér for hver ligning om den er korrekt () 3,6 8, x 3,6 8, () (3) 3,6 x 8, x 8, 3,6 x Åvelse 7 fgér for hver ligning om den er korrekt () () (3) 7 63 t t a 30 7 t a (4) a 30 7 Trekantsberegning Side Karsten Juul

8 Opgave 8: Udregne hypotenusen nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 3,4, og längden af siden er, estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten f Pythagoras' sätning får vi at d 3,4, SÅ må d 3,4, Vi udregner dette på lommeregner: d 3,9965 Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0 d 3,4, Opgave 9: Udregne en katete nçr hypotenusen og den anden katete er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 84, og längden af siden er 85 estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten 85 a 84 f Pythagoras' sätning får vi at Vi träkker 84 a fra begge sider: a Heraf får vi at a Vi udregner dette på lommeregner: a 3 Konklusion: LÄngden af siden er 3 Trekantsberegning Side Karsten Juul

9 Opgave 0: Udregne areal nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5, og längden af siden er 9 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden 5 9 realet er Konklusion: 5 9,5 realet af trekant er, 5 Opgave : Udregne areal nçr hypotenusen og en af kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er, og längden af siden er 5 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden Vi bestemmer grundlinjen: 5 Vi bruger Pythagoras' sätning: f 5 Heraf får vi f 5 f Vi bestemmer arealet: realet er f dvs Vi udregner dette på lommeregner og får 4,4949 Konklusion: realet af trekant er 4, 5 Trekantsberegning Side Karsten Juul

10 fsnit 3 nsvinklede trekanter Åvelse 3 (a) Hvilket tal skal vi gange siderne i trekant () med for at få siderne i trekant ()? a alle sider skal ganges med samme tal, er () en forstérrelse eller en formindskelse af () et tal vi ganger med, er stérrelsesforholdet og kaldes skalafaktoren (b) or hver af trekanterne (3), (4), (5) og (6) skal du afgére om der findes en skalafaktor som ganget med sidederne i () giver siderne i den pågäldende trekant ngiv skalafaktoren hvis den eksisterer ( ) () 4 5,6 6,5 5, (3) 7,6,8 9,5 (4) 6,8 3,4 8,5 ( 5) (6),4,8,8 3,5,8 3,5 Trekantsberegning Side Karsten Juul

11 ksempel 3 PÅ figuren nedenfor bruger vi buer, dobbelte buer og tredobbelte buer til at vise hvilke vinkler der er lige store Trekanterne har samme vinkler, så de har samme form en store er altså en forstérrelse af den lille I den lille trekant er der en side med längde 4, og i den store trekant er der en side med längde 8 isse to sider ligger over for vinkler der er lige store a vi skal gange den lille side med for at få den store, er skalafaktoren Siden over for vinklen med dobbelt bue i den store trekant er altså gange 5, dvs Åvelse 33 u får nu en ny oplysning om den store trekant fra eksempel 3: Siden over for vinklen med tredobbelt bue har längden Hvor lang er den side i den lille trekant som ligger over for vinklen med tredobbelt bue? SÇTNING 34 nsvinklede trekanter NÅr en trekant har samme vinkler som en anden trekant, så findes et tal k (skalafaktoren) så vi ved at gange siderne i den férste trekant med k får siderne i den anden trekant Vi skal se på om en side i den férste trekant og en side i den anden trekant ligger over for vinkler der er lige store Hvis de gér det, vil k gange den férste side väre lig den anden side Åvelse 35 e to trekanter til héjre er ensvinklede så der findes et tal k som ganget med siderne i férste trekant giver siderne i anden trekant fgér for hver af félgende ligninger om den er gyldig: () 5 k 7 () p k n (3) p k 7 (4) m k q (5) q k m p 5 q 7 n m Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

12 Opgave 36: Udregne sider i ensvinklede trekanter iguren viser to ensvinklede trekanter og estem längderne af siderne og Svar: a trekanterne er ensvinklede, findes der en skalafaktor k : 5 0 k d c 8 Skalafaktoren: Siden med längde 5 fra den férste trekant og siden med längde fra den anden ligger over for vinkler som er lige store erfor gälder 5 k Heraf får vi k 5 dvs k,4 Siden : Siden med längde 0 i den férste trekant og siden med längde d i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder dvs 0, 4 d d 4 Siden : Siden med längde c i den férste trekant og siden med längde 8 i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder c,4 8 Heraf får vi c 8,4 dvs c 0 Konklusioner: LÄngden af siden er 4 og längden af siden er 0 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

13 fsnit 4 osinus INITION 4 Hosliggende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben n af de sider du holder i, er en katete enne side kaldes vinklens hosliggende katete Vinklen kaldes katetens hosliggende spidse vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's hosliggende katete har längden 5 Åvelse 4 rug metoden fra definition 4 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (3) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (4) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? 3,6 0,09 0, 3,9,5 0,5 Åvelse 43 () Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? () Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? (4) Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde 4? 33 f e Trekantsberegning Side Karsten Juul

14 INITION 44 osinus PÅ lommeregner kan vi udregne cosinus og omvendt cosinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: cosinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels hosliggende katete Vi skriver: cos( v) t Hvis vi udregner: omvendt cosinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens hosliggende spidse vinkel Vi skriver: cos ( t) v v t Symbolet cos er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 45 PÅ lommeregner udregner vi at cos( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at cos (0,750) 4,4096 ette betyder at vinklen er 4,4 0,750 Trekantsberegning Side Karsten Juul

15 Åvelse 46 Nedenfor er vist to trekanter rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og QR Q 38 53, P R Åvelse 47 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt cosinus til at udregne vinklerne og 8 5 0,809 Åvelse 48 I trekant er vinkel ret, vinkel er er q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,9, längden af siden er, og längden af siden Åvelse 49 I trekant er vinkel ret, vinkel er siden er p 4, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 36,9, längden af siden er, og längden af Trekantsberegning Side Karsten Juul

16 Åvelse 40 OplÅg til 4 Nedenfor er vist to trekanter () rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af siden () rug svaret på () til at udregne längden af siden (3) Hvilken sätning fra dette häfte skal bruges i ()? 36,8 3 36,8 SÇTNING 4 cosinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen emärkning til 4 SÄtning 4 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er cos( ) b c Trekantsberegning Side Karsten Juul

17 evis for 4 Vi tegner en retvinklet trekant T : hypotenuse T : p v q v ' s hosliggende katete Vi tegner en ny trekant S med samme vinkler Hypotenusen er : S : Trekanterne er ensvinklede Skalafaktoren er p da hypotenusen i S skal ganges med p for at få hypotenusen i T v's hosliggende katete i S kan vi udregne ved at dividere q med skalafaktoren: v f definitionen på cosinus får vi cos( v) cos ( q p ) q p v I disse to ligninger erstatter vi v, p og q med ord SÅ får vi: v q p cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen ette er de to ligninger vi skulle bevise Trekantsberegning Side Karsten Juul

18 Opgave 4: n vinkel og hypotenusen er kendt Udregn vinklens hosliggende katete I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 6, estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er cos( ) ' s hosliggende katete hypotenusen dvs cos(5 ) b 6, Ved at gange begge sider med 6, får vi 6, 5 b 6, cos(5) b Vi udregner venstre side på lommeregner og får 3,9076 b dvs längden af er 3, 9 Opgave 43: n vinkel og dens hosliggende katete er kendt Udregn hypotenusen I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 6 estem längden af siden 50, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er dvs cos( ) cos( 50 ) 3,6 f ' s hosliggende katete hypotenusen PÅ begge sider ganger vi med f og dividerer med f 50 3,6 cos( 50 ) Vi får f 3,6 cos(50) Vi udregner héjre side på lommeregner og får dvs f 5,6006 längden af siden er 5, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

19 Opgave 44: n katete og hypotenusen er kendt Udregn katetens hosliggende spidse vinkel I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PQ er 6, 5, og längden af siden PR er 4, 0 estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s hosliggende katete cos ) ( 4, 0 6, 5 hypotenusen cos ) P P 6,5 Vi udregner venstre side på lommeregner og får 5,00 dvs vinkel P er P 5 P 4,0 R Trekantsberegning Side Karsten Juul

20 fsnit 5 Sinus INITION 5 ModstÇende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben er er Ñn side tilbage som du ikke holder i enne side kaldes vinklens modstående katete Vinklen kaldes katetens modstående vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's modstående katete har längden 39 Åvelse 5 rug metoden fra definition 5 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (3) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (4) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? 0,48,0, 5 0,0 0,5,5 Åvelse 53 () Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? () Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? (4) Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde 0? f e Trekantsberegning Side Karsten Juul

21 INITION 54 Sinus PÅ lommeregner kan vi udregne sinus og omvendt sinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: sinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels modstående katete Vi skriver: sin( v) t t Hvis vi udregner: omvendt sinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens modstående vinkel Vi skriver: sin ( t) v v Symbolet sin er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 55 PÅ lommeregner udregner vi at sin( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at sin (0,66) 4,376 ette betyder at 0,66 vinklen er 4,4 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

22 Åvelse 56 Nedenfor er vist to trekanter rug sinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og PR Q 37 54, P R Åvelse 57 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt sinus til at udregne vinklerne og 0, Åvelse 58 I trekant er vinkel ret, vinkel er er 3 q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,6, längden af er, og längden af siden Åvelse 59 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 5, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 34,4, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

23 SÇTNING 50 sinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: sin( vinklen) vinklens modstçende katete hypotenusen ( vinklens modstçende katete sin ) vinklen hypotenusen emärkning til 50 SÄtning 50 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er sin( ) a c Åvelse 5 evis for 50 () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved denne vinkels modstående katete skal du skrive q, og ved hypotenusen skal du skrive p () Tegn en ny trekant S med samme vinkler som T og med hypotenuse (skriv dette tal ved hypotenusen) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at sin( v) q p? Opgave 5: I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 3 estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er sin( ) ' s modstçende katete hypotenusen dvs a sin(5 ) 3,3 Ved at gange begge sider med 3, 3 får vi 3,3 5 a 3,3 sin(5) a Vi udregner venstre side på lommeregner og får,60044 a dvs längden af er, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

24 fsnit 6 Tangens INITION 6 Tangens PÅ lommeregner kan vi udregne tangens og omvendt tangens iguren viser en retvinklet trekant hvor v's hosliggende katete er Hvis vi udregner: tangens til gradtallet v, så får vi: längden af v 's modstående katete Vi skriver: tan( v) t v Hvis vi udregner: omvendt tangens til längden af v 's modstående katete, så får vi: gradtallet v Vi skriver: tan ( t) v t Symbolet tan er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 6 PÅ lommeregner udregner vi at tan( 34,8 ) 0,69508 ette betyder at längden af siden er 0, ,8 PÅ lommeregner udregner vi at tan (0,65) 3,0054 ette betyder at 0,65 vinklen er 3,0 Åvelse 63 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 6, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 8,6, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side Karsten Juul

25 SÇTNING 64 tangens Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: tan( vinklen) vinklens modstçende katete vinklens hosliggende katete ( vinklens modstçende katete tan ) vinklen vinklens hosliggende katete emärkning til 64 SÄtning 64 kan også formuleres sådan: Åvelse 65 evis for 64 I en trekant hvor vinkel er ret, er tan( ) a b () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved v 's modstående katete skal du skrive q, og ved v 's hosliggende katete skal du skrive p () Tegn en ny trekant S hvor vinklerne er de samme som i T og hvor v 's hosliggende katete er (skriv dette tal ved kateten) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at tan( v) q p? Opgave 66: n vinkels modstçende og hosliggende katete er kendt Udregn vinklen I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PR er 3, 7, og längden af siden QR er 5, estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s modstçende katete tan ) P' s hosliggende katete ( 5, 3, 7 tan ) P vinklen 5, Vi udregner venstre side på lommeregner og får 54,0395 dvs vinkel P er P 54 P 3,7 R Trekantsberegning Side Karsten Juul

26 fsnit 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant Oversigt 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant I en retvinklet trekant gälder p q r, p og q er kateterne, r er hypotenusen or en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete cos( vinklen) cos ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete sin( vinklen) sin ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete tan( vinklen) ) vinklen vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete ( ( ( tan Åvelse 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant a orestil dig at du sidder i vinkel v og holder i de to vinkelben Hvilke af siderne d, k og p holder du i? b Hvilke af siderne d, k og p er hosliggende til vinkel v? c Hvilke to af siderne d, k og p danner en ret vinkel? d Hvilke af siderne d, k og p er kateter? e Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til v? f Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til v? g Hvilken af siderne d, k og p er hypotenuse? h Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til t? i Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til t? j NÅr vi siger at tre stérrelser indgår i en opgave om retvinklet trekant, så mener vi at vi skal finde Ñn af dem og kender de to andre ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: () er indgår en spids vinkel og denne vinkels modstående katete samt hypotenusen () er indgår hypotenusen og de to kateter (3) er indgår en spids vinkel og de to kateter (4) er indgår en spids vinkel og denne vinkels hosliggende katete samt hypotenusen k ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: (5) Vi skal finde d og kender k og t (0) Vi skal finde p og kender d og v (6) Vi skal finde d og kender k og v () Vi skal finde v og kender p og d (7) Vi skal finde d og kender k og p () Vi skal finde v og kender k og p (8) Vi skal finde d og kender p og t (3) Vi skal finde t og kender k og p (9) Vi skal finde d og kender p og v (4) Vi skal finde v og kender k og d k v t d p Trekantsberegning Side Karsten Juul

27 fsnit 8 Opgaver Opgave 8 I trekant er 90, 6 og 6, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 8 I trekant er 90, 4, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 83 6,0 4, 5 4,5 Trekanterne og er retvinklede,7 a) estem arealet af trekant b) estem arealet af trekant Opgave 84 I trekant GHI er I 90, GI og HI, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 85 I trekant JKL er L 90, JK 3 og KL, 8 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 86 3,6 h c,5 iguren viser trekant hvor vinkel er ret, samt héjden hc fra på siden a) estem b) estem arealet af trekant, og bestem derefter längden af h c Trekantsberegning Side Karsten Juul

28 Opgave iguren viser to ensvinklede trekanter og a) estem längden af hver af siderne og Opgave 88 3,6, 5 4,5 Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden 7, Opgave Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden Opgave 80,8,5 a,0 b 4, PÅ billedet ses to ensvinklede trekanter a) eregn a og b Opgave 8 I de ensvinklede trekanter og ' ' ' er ', ' og ' esuden er 36, 4, ' ' 45 og ' ' 65 a) Tegn en skitse af trekanterne, og bestem '' og Trekantsberegning Side Karsten Juul

29 Opgave 8 Trekanterne og er ensvinklede a) estem längden af siden 4 0 Opgave 83, 0,5 0,8 Trekanterne og er retvinklede a) estem längden af siden b) estem längden af siden,0 Opgave 84 0 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem 6 6 Opgave 85,8 3,4 5, e to retvinklede trekanter og er ensvinklede a) estem og Opgave 86 Trekanterne er ensvinklede og retvinklede a) estem siden m m Trekantsberegning Side Karsten Juul

30 Opgave 87 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden a er 6, og längden af siden c er 7 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem vinkel Opgave 88 I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5,, og vinkel er 47,5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af siden Opgave 89 I trekant er vinkel ret Vinkel er 39,5, og längden af er 4, a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af Opgave 80 I trekant QRS er S 90, QR 6 og QS 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Q Opgave 8 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden c er 8, 5, og vinkel er,3 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af siden b Opgave 8 69,0,0 iguren viser en trekant hvor vinklen er ret a) estem Opgave 83 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden er 348 og vinkel er a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af hypotenusen Opgave 84 I trekant JKL er L 90, J 49 og KL 4 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem JK Opgave 85 I trekant MNP er P 90, M 55 og MN a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem NP 63,6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

31 Opgave 86 stige mur iguren viser en stige der når op til toppen af en 3 m héj mur Stigen danner en vinkel på jordoverfladen a) estem längden af stigen Opgave a) eregn siderne p og q i de viste trekanter 55 med p 49 6, q 54 8,0 Opgave iguren viser en retvinklet trekant a) estem längden af siden, og bestem vinkel Opgave 89 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er 5, og längden af siden r er 0 a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem vinkel P Opgave 830 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er, og vinkel P er a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem längden af siden r Opgave 83 I trekant er 90, 3 og 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem 55 Trekantsberegning Side Karsten Juul

32 Opgave 83 I trekant er 90, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 833 I trekant GHI er I 90, GI 4 og HI 0 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem G Opgave 834 a) eregn vinklerne u og v i de viste trekanter 4,4 4,3 u 4,6 4, v Opgave 835 a) eregn x på den viste figur 6,0 7,5 x 4 Opgave 836 iguren viser to lodrette stolper og en skrå liste Listen er fastgjort til stolperne i punkterne og Punktet er,5 meter over gulvet, og punktet er, meter over gulvet fstanden mellem stolperne er,8 meter a) estem vinklen v mellem den venstre stolpe og den skrå liste Opgave 837 a) eregn arealet af den viste figur 4 35, Trekantsberegning Side Karsten Juul

33 Opgave m 8 m 3 iguren viser tvärsnittet af et kunstmuseum TvÄrsnittet er en firkant hvor vinkel er ret, og diagonalen står vinkelret på siden a) estem längden af, og bestem vinkel b) estem längden af Opgave 839 iguren viser en tribune i tvärsnit Stangen holder taget n person har målt de tal der står på figuren a) estem b) estem c) estem Opgave 840 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden b er 4, og trekantens areal er 0 a) estem vinkel Opgave 84 Vinklen v er fastlagt ved figuren a) estem uden hjälpemidler cosv og tan v Opgave 84 I trekanterne og ' ' ' er ' og ' ndvidere er 3 og ' ' I trekant er längden af héjden fra vinkel lig a) estem arealet af trekant ' ' ' Trekantsberegning Side Karsten Juul

34 Opgave 843 iguren viser to ensvinklede trekanter og Nogle af sidelängderne er givet på figuren a) estem Opgave 844 6,5,5,5 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem arealet af trekant c) estem vinkel Opgave 845 a) estem 65, 3,5 Opgave 846 a) estem längden af b) estem arealet af trekant 5,8 37,3 30,8 Trekantsberegning Side Karsten Juul

35 Opgave 847 I trekant er ret PÅ siden ligger et punkt et er oplyst at, 0, 3, 8 og 4, 0 a) estem estem i trekant 4,0 3,8,0 Opgave 848 a) estem vinkel u på den viste figur b) estem vinkel v på den viste figur v u Opgave 849 PÅ figuren er angivet nogle af målene a) estem längden af 7,0 3 5 Opgave 850 I trekant PQR er R 90, P 33 og PQ, 4 Midtpunktet af PR hedder T a) Tegn en skitse, og bestem T i trekant QRT Opgave 85 I firkant står diagonalen vinkelret på både og iagonalen har längden 48, siden har längden 36, og siden har längden 5 a) Tegn en skitse af firkanten, og bestem vinklerne og b) estem firkantens omkreds Trekantsberegning Side Karsten Juul