Trekantsberegning 25 B Karsten Juul
|
|
- Olaf Sten Dideriksen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Trekantsberegning 7, Karsten Juul
2 ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte en indsigt hos eleverne som de ikke kan forventes at have Indhold real af trekant 3 Pythagoras' sätning 6 3 nsvinklede trekanter 0 4 osinus 3 5 Sinus 0 6 Tangens4 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant6 8 Opgaver 7 Nyere häfter: Trekantsberegning udgave 009 Ç 009 Karsten Juul ette häfte kan downloades fra wwwmatdk HÄftet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lärer og skole/kursus
3 fsnit real af trekant Åvelse eregn arealet af hver af de tre trekanter, og GHI I G 00 H INITION HÄjde og grundlinje n héjde i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids og vinkelret ned på den modstående side eller fra en vinkelspids og vinkelret ned på forlängelsen af den modstående side er er tre héjder i en trekant Vi kan selv bestemme hvilken af trekantens sider vi kalder grundlinjen NÅr vi taler om trekantens héjde, så er det den af héjderne der er vinkelret på den side som vi har valgt at kalde grundlinje Trekantsberegning Side Karsten Juul
4 ksempel 3 iguren viser en trekant Hvis vi välger siden med längde 8 som grundlinje, så er héjden 7 Hvis vi välger siden med längde 4 som grundlinje, så er héjden Åvelse 4 Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje (Se definition ) SÇTNING 5 real af trekant NÅr T = arealet af trekanten g = grundlinjen (dvs en side i trekanten) h = héjden (dvs den af héjderne der står vinkelret på den valgte grundlinje) gälder T h g Trekantsberegning Side Karsten Juul
5 Åvelse 6 iguren viser et firkantet bur set fra oven estem burets areal på den nemmest mulige måde m Åvelse 7 estem arealet af trekant estem arealet af trekant estem arealet af trekant Trekantsberegning Side Karsten Juul
6 fsnit Pythagoras' sätning INITION Katete og hypotenuse Kateterne i en retvinklet trekant er de to sider der danner den rette vinkel Hypotenusen i en retvinklet trekant er den side der ligger over for den rette vinkel ksempel iguren viser en retvinklet trekant Kateterne er 6 og 8 Hypotenusen er SÇTNING 3 Pythagoras' såtning or en retvinklet trekant gälder: Hvis så er p og q er kateterne, og r er hypotenusen p q r p r q emärkning 4: n sprogbrug Hvis der står i trekant er f 4 gälder det er siden over for vinkelspidsen der er 4 Sprogbrugen er nemlig sådan at når et stort bogstav er en vinkelspids i en trekant, gälder det tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen, hvis der ikke fremgår andet f e d enne sprogbrug er brugt her: I en trekant hvor vinkel er ret, er a b c emårkning 4 om sprogbrug fortsåtter pç nåste side Trekantsberegning Side Karsten Juul
7 dvarsel Se figuren til héjre Her dur det ikke hvis du skriver m, 6 LÄseren kan ikke vide om det er eller der er, 6 Skriv m på den side du mener u skal altid tegne en figur i en geometriopgave M Åvelse 5 fgér for hver ligning om den er korrekt () p q r p q () (3) p r r q q p r Åvelse 6 fgér for hver ligning om den er korrekt () 3,6 8, x 3,6 8, () (3) 3,6 x 8, x 8, 3,6 x Åvelse 7 fgér for hver ligning om den er korrekt () () (3) 7 63 t t a 30 7 t a (4) a 30 7 Trekantsberegning Side Karsten Juul
8 Opgave 8: Udregne hypotenusen nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 3,4, og längden af siden er, estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten f Pythagoras' sätning får vi at d 3,4, SÅ må d 3,4, Vi udregner dette på lommeregner: d 3,9965 Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0 d 3,4, Opgave 9: Udregne en katete nçr hypotenusen og den anden katete er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 84, og längden af siden er 85 estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten 85 a 84 f Pythagoras' sätning får vi at Vi träkker 84 a fra begge sider: a Heraf får vi at a Vi udregner dette på lommeregner: a 3 Konklusion: LÄngden af siden er 3 Trekantsberegning Side Karsten Juul
9 Opgave 0: Udregne areal nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5, og längden af siden er 9 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden 5 9 realet er Konklusion: 5 9,5 realet af trekant er, 5 Opgave : Udregne areal nçr hypotenusen og en af kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er, og längden af siden er 5 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden Vi bestemmer grundlinjen: 5 Vi bruger Pythagoras' sätning: f 5 Heraf får vi f 5 f Vi bestemmer arealet: realet er f dvs Vi udregner dette på lommeregner og får 4,4949 Konklusion: realet af trekant er 4, 5 Trekantsberegning Side Karsten Juul
10 fsnit 3 nsvinklede trekanter Åvelse 3 (a) Hvilket tal skal vi gange siderne i trekant () med for at få siderne i trekant ()? a alle sider skal ganges med samme tal, er () en forstérrelse eller en formindskelse af () et tal vi ganger med, er stérrelsesforholdet og kaldes skalafaktoren (b) or hver af trekanterne (3), (4), (5) og (6) skal du afgére om der findes en skalafaktor som ganget med sidederne i () giver siderne i den pågäldende trekant ngiv skalafaktoren hvis den eksisterer ( ) () 4 5,6 6,5 5, (3) 7,6,8 9,5 (4) 6,8 3,4 8,5 ( 5) (6),4,8,8 3,5,8 3,5 Trekantsberegning Side Karsten Juul
11 ksempel 3 PÅ figuren nedenfor bruger vi buer, dobbelte buer og tredobbelte buer til at vise hvilke vinkler der er lige store Trekanterne har samme vinkler, så de har samme form en store er altså en forstérrelse af den lille I den lille trekant er der en side med längde 4, og i den store trekant er der en side med längde 8 isse to sider ligger over for vinkler der er lige store a vi skal gange den lille side med for at få den store, er skalafaktoren Siden over for vinklen med dobbelt bue i den store trekant er altså gange 5, dvs Åvelse 33 u får nu en ny oplysning om den store trekant fra eksempel 3: Siden over for vinklen med tredobbelt bue har längden Hvor lang er den side i den lille trekant som ligger over for vinklen med tredobbelt bue? SÇTNING 34 nsvinklede trekanter NÅr en trekant har samme vinkler som en anden trekant, så findes et tal k (skalafaktoren) så vi ved at gange siderne i den férste trekant med k får siderne i den anden trekant Vi skal se på om en side i den férste trekant og en side i den anden trekant ligger over for vinkler der er lige store Hvis de gér det, vil k gange den férste side väre lig den anden side Åvelse 35 e to trekanter til héjre er ensvinklede så der findes et tal k som ganget med siderne i férste trekant giver siderne i anden trekant fgér for hver af félgende ligninger om den er gyldig: () 5 k 7 () p k n (3) p k 7 (4) m k q (5) q k m p 5 q 7 n m Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul
12 Opgave 36: Udregne sider i ensvinklede trekanter iguren viser to ensvinklede trekanter og estem längderne af siderne og Svar: a trekanterne er ensvinklede, findes der en skalafaktor k : 5 0 k d c 8 Skalafaktoren: Siden med längde 5 fra den férste trekant og siden med längde fra den anden ligger over for vinkler som er lige store erfor gälder 5 k Heraf får vi k 5 dvs k,4 Siden : Siden med längde 0 i den férste trekant og siden med längde d i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder dvs 0, 4 d d 4 Siden : Siden med längde c i den férste trekant og siden med längde 8 i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder c,4 8 Heraf får vi c 8,4 dvs c 0 Konklusioner: LÄngden af siden er 4 og längden af siden er 0 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul
13 fsnit 4 osinus INITION 4 Hosliggende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben n af de sider du holder i, er en katete enne side kaldes vinklens hosliggende katete Vinklen kaldes katetens hosliggende spidse vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's hosliggende katete har längden 5 Åvelse 4 rug metoden fra definition 4 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (3) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (4) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? 3,6 0,09 0, 3,9,5 0,5 Åvelse 43 () Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? () Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? (4) Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde 4? 33 f e Trekantsberegning Side Karsten Juul
14 INITION 44 osinus PÅ lommeregner kan vi udregne cosinus og omvendt cosinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: cosinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels hosliggende katete Vi skriver: cos( v) t Hvis vi udregner: omvendt cosinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens hosliggende spidse vinkel Vi skriver: cos ( t) v v t Symbolet cos er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 45 PÅ lommeregner udregner vi at cos( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at cos (0,750) 4,4096 ette betyder at vinklen er 4,4 0,750 Trekantsberegning Side Karsten Juul
15 Åvelse 46 Nedenfor er vist to trekanter rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og QR Q 38 53, P R Åvelse 47 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt cosinus til at udregne vinklerne og 8 5 0,809 Åvelse 48 I trekant er vinkel ret, vinkel er er q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,9, längden af siden er, og längden af siden Åvelse 49 I trekant er vinkel ret, vinkel er siden er p 4, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 36,9, längden af siden er, og längden af Trekantsberegning Side Karsten Juul
16 Åvelse 40 OplÅg til 4 Nedenfor er vist to trekanter () rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af siden () rug svaret på () til at udregne längden af siden (3) Hvilken sätning fra dette häfte skal bruges i ()? 36,8 3 36,8 SÇTNING 4 cosinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen emärkning til 4 SÄtning 4 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er cos( ) b c Trekantsberegning Side Karsten Juul
17 evis for 4 Vi tegner en retvinklet trekant T : hypotenuse T : p v q v ' s hosliggende katete Vi tegner en ny trekant S med samme vinkler Hypotenusen er : S : Trekanterne er ensvinklede Skalafaktoren er p da hypotenusen i S skal ganges med p for at få hypotenusen i T v's hosliggende katete i S kan vi udregne ved at dividere q med skalafaktoren: v f definitionen på cosinus får vi cos( v) cos ( q p ) q p v I disse to ligninger erstatter vi v, p og q med ord SÅ får vi: v q p cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen ette er de to ligninger vi skulle bevise Trekantsberegning Side Karsten Juul
18 Opgave 4: n vinkel og hypotenusen er kendt Udregn vinklens hosliggende katete I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 6, estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er cos( ) ' s hosliggende katete hypotenusen dvs cos(5 ) b 6, Ved at gange begge sider med 6, får vi 6, 5 b 6, cos(5) b Vi udregner venstre side på lommeregner og får 3,9076 b dvs längden af er 3, 9 Opgave 43: n vinkel og dens hosliggende katete er kendt Udregn hypotenusen I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 6 estem längden af siden 50, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er dvs cos( ) cos( 50 ) 3,6 f ' s hosliggende katete hypotenusen PÅ begge sider ganger vi med f og dividerer med f 50 3,6 cos( 50 ) Vi får f 3,6 cos(50) Vi udregner héjre side på lommeregner og får dvs f 5,6006 längden af siden er 5, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul
19 Opgave 44: n katete og hypotenusen er kendt Udregn katetens hosliggende spidse vinkel I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PQ er 6, 5, og längden af siden PR er 4, 0 estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s hosliggende katete cos ) ( 4, 0 6, 5 hypotenusen cos ) P P 6,5 Vi udregner venstre side på lommeregner og får 5,00 dvs vinkel P er P 5 P 4,0 R Trekantsberegning Side Karsten Juul
20 fsnit 5 Sinus INITION 5 ModstÇende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben er er Ñn side tilbage som du ikke holder i enne side kaldes vinklens modstående katete Vinklen kaldes katetens modstående vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's modstående katete har längden 39 Åvelse 5 rug metoden fra definition 5 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (3) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (4) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? 0,48,0, 5 0,0 0,5,5 Åvelse 53 () Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? () Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? (4) Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde 0? f e Trekantsberegning Side Karsten Juul
21 INITION 54 Sinus PÅ lommeregner kan vi udregne sinus og omvendt sinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: sinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels modstående katete Vi skriver: sin( v) t t Hvis vi udregner: omvendt sinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens modstående vinkel Vi skriver: sin ( t) v v Symbolet sin er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 55 PÅ lommeregner udregner vi at sin( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at sin (0,66) 4,376 ette betyder at 0,66 vinklen er 4,4 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul
22 Åvelse 56 Nedenfor er vist to trekanter rug sinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og PR Q 37 54, P R Åvelse 57 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt sinus til at udregne vinklerne og 0, Åvelse 58 I trekant er vinkel ret, vinkel er er 3 q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,6, längden af er, og längden af siden Åvelse 59 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 5, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 34,4, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul
23 SÇTNING 50 sinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: sin( vinklen) vinklens modstçende katete hypotenusen ( vinklens modstçende katete sin ) vinklen hypotenusen emärkning til 50 SÄtning 50 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er sin( ) a c Åvelse 5 evis for 50 () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved denne vinkels modstående katete skal du skrive q, og ved hypotenusen skal du skrive p () Tegn en ny trekant S med samme vinkler som T og med hypotenuse (skriv dette tal ved hypotenusen) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at sin( v) q p? Opgave 5: I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 3 estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er sin( ) ' s modstçende katete hypotenusen dvs a sin(5 ) 3,3 Ved at gange begge sider med 3, 3 får vi 3,3 5 a 3,3 sin(5) a Vi udregner venstre side på lommeregner og får,60044 a dvs längden af er, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul
24 fsnit 6 Tangens INITION 6 Tangens PÅ lommeregner kan vi udregne tangens og omvendt tangens iguren viser en retvinklet trekant hvor v's hosliggende katete er Hvis vi udregner: tangens til gradtallet v, så får vi: längden af v 's modstående katete Vi skriver: tan( v) t v Hvis vi udregner: omvendt tangens til längden af v 's modstående katete, så får vi: gradtallet v Vi skriver: tan ( t) v t Symbolet tan er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 6 PÅ lommeregner udregner vi at tan( 34,8 ) 0,69508 ette betyder at längden af siden er 0, ,8 PÅ lommeregner udregner vi at tan (0,65) 3,0054 ette betyder at 0,65 vinklen er 3,0 Åvelse 63 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 6, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 8,6, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side Karsten Juul
25 SÇTNING 64 tangens Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: tan( vinklen) vinklens modstçende katete vinklens hosliggende katete ( vinklens modstçende katete tan ) vinklen vinklens hosliggende katete emärkning til 64 SÄtning 64 kan også formuleres sådan: Åvelse 65 evis for 64 I en trekant hvor vinkel er ret, er tan( ) a b () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved v 's modstående katete skal du skrive q, og ved v 's hosliggende katete skal du skrive p () Tegn en ny trekant S hvor vinklerne er de samme som i T og hvor v 's hosliggende katete er (skriv dette tal ved kateten) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at tan( v) q p? Opgave 66: n vinkels modstçende og hosliggende katete er kendt Udregn vinklen I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PR er 3, 7, og längden af siden QR er 5, estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s modstçende katete tan ) P' s hosliggende katete ( 5, 3, 7 tan ) P vinklen 5, Vi udregner venstre side på lommeregner og får 54,0395 dvs vinkel P er P 54 P 3,7 R Trekantsberegning Side Karsten Juul
26 fsnit 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant Oversigt 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant I en retvinklet trekant gälder p q r, p og q er kateterne, r er hypotenusen or en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete cos( vinklen) cos ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete sin( vinklen) sin ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete tan( vinklen) ) vinklen vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete ( ( ( tan Åvelse 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant a orestil dig at du sidder i vinkel v og holder i de to vinkelben Hvilke af siderne d, k og p holder du i? b Hvilke af siderne d, k og p er hosliggende til vinkel v? c Hvilke to af siderne d, k og p danner en ret vinkel? d Hvilke af siderne d, k og p er kateter? e Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til v? f Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til v? g Hvilken af siderne d, k og p er hypotenuse? h Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til t? i Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til t? j NÅr vi siger at tre stérrelser indgår i en opgave om retvinklet trekant, så mener vi at vi skal finde Ñn af dem og kender de to andre ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: () er indgår en spids vinkel og denne vinkels modstående katete samt hypotenusen () er indgår hypotenusen og de to kateter (3) er indgår en spids vinkel og de to kateter (4) er indgår en spids vinkel og denne vinkels hosliggende katete samt hypotenusen k ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: (5) Vi skal finde d og kender k og t (0) Vi skal finde p og kender d og v (6) Vi skal finde d og kender k og v () Vi skal finde v og kender p og d (7) Vi skal finde d og kender k og p () Vi skal finde v og kender k og p (8) Vi skal finde d og kender p og t (3) Vi skal finde t og kender k og p (9) Vi skal finde d og kender p og v (4) Vi skal finde v og kender k og d k v t d p Trekantsberegning Side Karsten Juul
27 fsnit 8 Opgaver Opgave 8 I trekant er 90, 6 og 6, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 8 I trekant er 90, 4, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 83 6,0 4, 5 4,5 Trekanterne og er retvinklede,7 a) estem arealet af trekant b) estem arealet af trekant Opgave 84 I trekant GHI er I 90, GI og HI, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 85 I trekant JKL er L 90, JK 3 og KL, 8 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 86 3,6 h c,5 iguren viser trekant hvor vinkel er ret, samt héjden hc fra på siden a) estem b) estem arealet af trekant, og bestem derefter längden af h c Trekantsberegning Side Karsten Juul
28 Opgave iguren viser to ensvinklede trekanter og a) estem längden af hver af siderne og Opgave 88 3,6, 5 4,5 Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden 7, Opgave Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden Opgave 80,8,5 a,0 b 4, PÅ billedet ses to ensvinklede trekanter a) eregn a og b Opgave 8 I de ensvinklede trekanter og ' ' ' er ', ' og ' esuden er 36, 4, ' ' 45 og ' ' 65 a) Tegn en skitse af trekanterne, og bestem '' og Trekantsberegning Side Karsten Juul
29 Opgave 8 Trekanterne og er ensvinklede a) estem längden af siden 4 0 Opgave 83, 0,5 0,8 Trekanterne og er retvinklede a) estem längden af siden b) estem längden af siden,0 Opgave 84 0 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem 6 6 Opgave 85,8 3,4 5, e to retvinklede trekanter og er ensvinklede a) estem og Opgave 86 Trekanterne er ensvinklede og retvinklede a) estem siden m m Trekantsberegning Side Karsten Juul
30 Opgave 87 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden a er 6, og längden af siden c er 7 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem vinkel Opgave 88 I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5,, og vinkel er 47,5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af siden Opgave 89 I trekant er vinkel ret Vinkel er 39,5, og längden af er 4, a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af Opgave 80 I trekant QRS er S 90, QR 6 og QS 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Q Opgave 8 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden c er 8, 5, og vinkel er,3 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af siden b Opgave 8 69,0,0 iguren viser en trekant hvor vinklen er ret a) estem Opgave 83 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden er 348 og vinkel er a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af hypotenusen Opgave 84 I trekant JKL er L 90, J 49 og KL 4 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem JK Opgave 85 I trekant MNP er P 90, M 55 og MN a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem NP 63,6 Trekantsberegning Side Karsten Juul
31 Opgave 86 stige mur iguren viser en stige der når op til toppen af en 3 m héj mur Stigen danner en vinkel på jordoverfladen a) estem längden af stigen Opgave a) eregn siderne p og q i de viste trekanter 55 med p 49 6, q 54 8,0 Opgave iguren viser en retvinklet trekant a) estem längden af siden, og bestem vinkel Opgave 89 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er 5, og längden af siden r er 0 a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem vinkel P Opgave 830 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er, og vinkel P er a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem längden af siden r Opgave 83 I trekant er 90, 3 og 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem 55 Trekantsberegning Side Karsten Juul
32 Opgave 83 I trekant er 90, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 833 I trekant GHI er I 90, GI 4 og HI 0 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem G Opgave 834 a) eregn vinklerne u og v i de viste trekanter 4,4 4,3 u 4,6 4, v Opgave 835 a) eregn x på den viste figur 6,0 7,5 x 4 Opgave 836 iguren viser to lodrette stolper og en skrå liste Listen er fastgjort til stolperne i punkterne og Punktet er,5 meter over gulvet, og punktet er, meter over gulvet fstanden mellem stolperne er,8 meter a) estem vinklen v mellem den venstre stolpe og den skrå liste Opgave 837 a) eregn arealet af den viste figur 4 35, Trekantsberegning Side Karsten Juul
33 Opgave m 8 m 3 iguren viser tvärsnittet af et kunstmuseum TvÄrsnittet er en firkant hvor vinkel er ret, og diagonalen står vinkelret på siden a) estem längden af, og bestem vinkel b) estem längden af Opgave 839 iguren viser en tribune i tvärsnit Stangen holder taget n person har målt de tal der står på figuren a) estem b) estem c) estem Opgave 840 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden b er 4, og trekantens areal er 0 a) estem vinkel Opgave 84 Vinklen v er fastlagt ved figuren a) estem uden hjälpemidler cosv og tan v Opgave 84 I trekanterne og ' ' ' er ' og ' ndvidere er 3 og ' ' I trekant er längden af héjden fra vinkel lig a) estem arealet af trekant ' ' ' Trekantsberegning Side Karsten Juul
34 Opgave 843 iguren viser to ensvinklede trekanter og Nogle af sidelängderne er givet på figuren a) estem Opgave 844 6,5,5,5 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem arealet af trekant c) estem vinkel Opgave 845 a) estem 65, 3,5 Opgave 846 a) estem längden af b) estem arealet af trekant 5,8 37,3 30,8 Trekantsberegning Side Karsten Juul
35 Opgave 847 I trekant er ret PÅ siden ligger et punkt et er oplyst at, 0, 3, 8 og 4, 0 a) estem estem i trekant 4,0 3,8,0 Opgave 848 a) estem vinkel u på den viste figur b) estem vinkel v på den viste figur v u Opgave 849 PÅ figuren er angivet nogle af målene a) estem längden af 7,0 3 5 Opgave 850 I trekant PQR er R 90, P 33 og PQ, 4 Midtpunktet af PR hedder T a) Tegn en skitse, og bestem T i trekant QRT Opgave 85 I firkant står diagonalen vinkelret på både og iagonalen har längden 48, siden har längden 36, og siden har längden 5 a) Tegn en skitse af firkanten, og bestem vinklerne og b) estem firkantens omkreds Trekantsberegning Side Karsten Juul
Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B
Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9b & 9c)
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereIntegralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l
Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral
Læs meresammenhänge 2008 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs meresammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereTrigonometri - Facitliste
Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt
Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereMine matematik noter C
Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereGEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2
GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereTrekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul
Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereMatematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereOM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I
PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke
Læs mereEksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger
Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,
Læs mereDu skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.
FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereMatematik A1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereTrigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet
Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens
Læs mereMaria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver
Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereTRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.
TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereRundt om bordet Tegning
Rundt om bordet - Forfra Fra siden Fra oven Forfra Fra siden Fra oven 58 Quiz runden - A4 A Spørgsmål : Begrund. - Spørgsmål : Hvor høj er flagstangen? - Målepinden er m. 50 m 0 m Spørgsmål : Er alle kvadrater
Læs mereFacitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag
[1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg
Læs mereMere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul
Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereUndervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereA U E R B A C H. c h A H
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug./Jun. 16-17 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Thy-Mors HF & VUC Hf - studentereksamen
Læs mereOpg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.
18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mereM I K E A U E R B A C H. c a
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereM A T E M A T I K A 1
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereLigedannede trekanter
Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05
Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien
Læs mereGrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul
GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Thomas K. Andersen mac4 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereGeogebra Begynder Ku rsus
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereM A T E M A T I K B 1
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereOpg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.
Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp = 13,00 = 13,0 (idet
Læs mere