Trekantsberegning 25 B Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul"

Transkript

1 Trekantsberegning 7, Karsten Juul

2 ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte en indsigt hos eleverne som de ikke kan forventes at have Indhold real af trekant 3 Pythagoras' sätning 6 3 nsvinklede trekanter 0 4 osinus 3 5 Sinus 0 6 Tangens4 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant6 8 Opgaver 7 Nyere häfter: Trekantsberegning udgave 009 Ç 009 Karsten Juul ette häfte kan downloades fra wwwmatdk HÄftet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lärer og skole/kursus

3 fsnit real af trekant Åvelse eregn arealet af hver af de tre trekanter, og GHI I G 00 H INITION HÄjde og grundlinje n héjde i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids og vinkelret ned på den modstående side eller fra en vinkelspids og vinkelret ned på forlängelsen af den modstående side er er tre héjder i en trekant Vi kan selv bestemme hvilken af trekantens sider vi kalder grundlinjen NÅr vi taler om trekantens héjde, så er det den af héjderne der er vinkelret på den side som vi har valgt at kalde grundlinje Trekantsberegning Side Karsten Juul

4 ksempel 3 iguren viser en trekant Hvis vi välger siden med längde 8 som grundlinje, så er héjden 7 Hvis vi välger siden med längde 4 som grundlinje, så er héjden Åvelse 4 Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje (Se definition ) SÇTNING 5 real af trekant NÅr T = arealet af trekanten g = grundlinjen (dvs en side i trekanten) h = héjden (dvs den af héjderne der står vinkelret på den valgte grundlinje) gälder T h g Trekantsberegning Side Karsten Juul

5 Åvelse 6 iguren viser et firkantet bur set fra oven estem burets areal på den nemmest mulige måde m Åvelse 7 estem arealet af trekant estem arealet af trekant estem arealet af trekant Trekantsberegning Side Karsten Juul

6 fsnit Pythagoras' sätning INITION Katete og hypotenuse Kateterne i en retvinklet trekant er de to sider der danner den rette vinkel Hypotenusen i en retvinklet trekant er den side der ligger over for den rette vinkel ksempel iguren viser en retvinklet trekant Kateterne er 6 og 8 Hypotenusen er SÇTNING 3 Pythagoras' såtning or en retvinklet trekant gälder: Hvis så er p og q er kateterne, og r er hypotenusen p q r p r q emärkning 4: n sprogbrug Hvis der står i trekant er f 4 gälder det er siden over for vinkelspidsen der er 4 Sprogbrugen er nemlig sådan at når et stort bogstav er en vinkelspids i en trekant, gälder det tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen, hvis der ikke fremgår andet f e d enne sprogbrug er brugt her: I en trekant hvor vinkel er ret, er a b c emårkning 4 om sprogbrug fortsåtter pç nåste side Trekantsberegning Side Karsten Juul

7 dvarsel Se figuren til héjre Her dur det ikke hvis du skriver m, 6 LÄseren kan ikke vide om det er eller der er, 6 Skriv m på den side du mener u skal altid tegne en figur i en geometriopgave M Åvelse 5 fgér for hver ligning om den er korrekt () p q r p q () (3) p r r q q p r Åvelse 6 fgér for hver ligning om den er korrekt () 3,6 8, x 3,6 8, () (3) 3,6 x 8, x 8, 3,6 x Åvelse 7 fgér for hver ligning om den er korrekt () () (3) 7 63 t t a 30 7 t a (4) a 30 7 Trekantsberegning Side Karsten Juul

8 Opgave 8: Udregne hypotenusen nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 3,4, og längden af siden er, estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten f Pythagoras' sätning får vi at d 3,4, SÅ må d 3,4, Vi udregner dette på lommeregner: d 3,9965 Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0 d 3,4, Opgave 9: Udregne en katete nçr hypotenusen og den anden katete er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 84, og längden af siden er 85 estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten 85 a 84 f Pythagoras' sätning får vi at Vi träkker 84 a fra begge sider: a Heraf får vi at a Vi udregner dette på lommeregner: a 3 Konklusion: LÄngden af siden er 3 Trekantsberegning Side Karsten Juul

9 Opgave 0: Udregne areal nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5, og längden af siden er 9 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden 5 9 realet er Konklusion: 5 9,5 realet af trekant er, 5 Opgave : Udregne areal nçr hypotenusen og en af kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er, og längden af siden er 5 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden Vi bestemmer grundlinjen: 5 Vi bruger Pythagoras' sätning: f 5 Heraf får vi f 5 f Vi bestemmer arealet: realet er f dvs Vi udregner dette på lommeregner og får 4,4949 Konklusion: realet af trekant er 4, 5 Trekantsberegning Side Karsten Juul

10 fsnit 3 nsvinklede trekanter Åvelse 3 (a) Hvilket tal skal vi gange siderne i trekant () med for at få siderne i trekant ()? a alle sider skal ganges med samme tal, er () en forstérrelse eller en formindskelse af () et tal vi ganger med, er stérrelsesforholdet og kaldes skalafaktoren (b) or hver af trekanterne (3), (4), (5) og (6) skal du afgére om der findes en skalafaktor som ganget med sidederne i () giver siderne i den pågäldende trekant ngiv skalafaktoren hvis den eksisterer ( ) () 4 5,6 6,5 5, (3) 7,6,8 9,5 (4) 6,8 3,4 8,5 ( 5) (6),4,8,8 3,5,8 3,5 Trekantsberegning Side Karsten Juul

11 ksempel 3 PÅ figuren nedenfor bruger vi buer, dobbelte buer og tredobbelte buer til at vise hvilke vinkler der er lige store Trekanterne har samme vinkler, så de har samme form en store er altså en forstérrelse af den lille I den lille trekant er der en side med längde 4, og i den store trekant er der en side med längde 8 isse to sider ligger over for vinkler der er lige store a vi skal gange den lille side med for at få den store, er skalafaktoren Siden over for vinklen med dobbelt bue i den store trekant er altså gange 5, dvs Åvelse 33 u får nu en ny oplysning om den store trekant fra eksempel 3: Siden over for vinklen med tredobbelt bue har längden Hvor lang er den side i den lille trekant som ligger over for vinklen med tredobbelt bue? SÇTNING 34 nsvinklede trekanter NÅr en trekant har samme vinkler som en anden trekant, så findes et tal k (skalafaktoren) så vi ved at gange siderne i den férste trekant med k får siderne i den anden trekant Vi skal se på om en side i den férste trekant og en side i den anden trekant ligger over for vinkler der er lige store Hvis de gér det, vil k gange den férste side väre lig den anden side Åvelse 35 e to trekanter til héjre er ensvinklede så der findes et tal k som ganget med siderne i férste trekant giver siderne i anden trekant fgér for hver af félgende ligninger om den er gyldig: () 5 k 7 () p k n (3) p k 7 (4) m k q (5) q k m p 5 q 7 n m Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

12 Opgave 36: Udregne sider i ensvinklede trekanter iguren viser to ensvinklede trekanter og estem längderne af siderne og Svar: a trekanterne er ensvinklede, findes der en skalafaktor k : 5 0 k d c 8 Skalafaktoren: Siden med längde 5 fra den férste trekant og siden med längde fra den anden ligger over for vinkler som er lige store erfor gälder 5 k Heraf får vi k 5 dvs k,4 Siden : Siden med längde 0 i den férste trekant og siden med längde d i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder dvs 0, 4 d d 4 Siden : Siden med längde c i den férste trekant og siden med längde 8 i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder c,4 8 Heraf får vi c 8,4 dvs c 0 Konklusioner: LÄngden af siden er 4 og längden af siden er 0 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

13 fsnit 4 osinus INITION 4 Hosliggende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben n af de sider du holder i, er en katete enne side kaldes vinklens hosliggende katete Vinklen kaldes katetens hosliggende spidse vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's hosliggende katete har längden 5 Åvelse 4 rug metoden fra definition 4 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (3) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (4) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? 3,6 0,09 0, 3,9,5 0,5 Åvelse 43 () Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? () Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? (4) Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde 4? 33 f e Trekantsberegning Side Karsten Juul

14 INITION 44 osinus PÅ lommeregner kan vi udregne cosinus og omvendt cosinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: cosinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels hosliggende katete Vi skriver: cos( v) t Hvis vi udregner: omvendt cosinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens hosliggende spidse vinkel Vi skriver: cos ( t) v v t Symbolet cos er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 45 PÅ lommeregner udregner vi at cos( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at cos (0,750) 4,4096 ette betyder at vinklen er 4,4 0,750 Trekantsberegning Side Karsten Juul

15 Åvelse 46 Nedenfor er vist to trekanter rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og QR Q 38 53, P R Åvelse 47 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt cosinus til at udregne vinklerne og 8 5 0,809 Åvelse 48 I trekant er vinkel ret, vinkel er er q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,9, längden af siden er, og längden af siden Åvelse 49 I trekant er vinkel ret, vinkel er siden er p 4, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 36,9, längden af siden er, og längden af Trekantsberegning Side Karsten Juul

16 Åvelse 40 OplÅg til 4 Nedenfor er vist to trekanter () rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af siden () rug svaret på () til at udregne längden af siden (3) Hvilken sätning fra dette häfte skal bruges i ()? 36,8 3 36,8 SÇTNING 4 cosinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen emärkning til 4 SÄtning 4 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er cos( ) b c Trekantsberegning Side Karsten Juul

17 evis for 4 Vi tegner en retvinklet trekant T : hypotenuse T : p v q v ' s hosliggende katete Vi tegner en ny trekant S med samme vinkler Hypotenusen er : S : Trekanterne er ensvinklede Skalafaktoren er p da hypotenusen i S skal ganges med p for at få hypotenusen i T v's hosliggende katete i S kan vi udregne ved at dividere q med skalafaktoren: v f definitionen på cosinus får vi cos( v) cos ( q p ) q p v I disse to ligninger erstatter vi v, p og q med ord SÅ får vi: v q p cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen ette er de to ligninger vi skulle bevise Trekantsberegning Side Karsten Juul

18 Opgave 4: n vinkel og hypotenusen er kendt Udregn vinklens hosliggende katete I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 6, estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er cos( ) ' s hosliggende katete hypotenusen dvs cos(5 ) b 6, Ved at gange begge sider med 6, får vi 6, 5 b 6, cos(5) b Vi udregner venstre side på lommeregner og får 3,9076 b dvs längden af er 3, 9 Opgave 43: n vinkel og dens hosliggende katete er kendt Udregn hypotenusen I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 6 estem längden af siden 50, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er dvs cos( ) cos( 50 ) 3,6 f ' s hosliggende katete hypotenusen PÅ begge sider ganger vi med f og dividerer med f 50 3,6 cos( 50 ) Vi får f 3,6 cos(50) Vi udregner héjre side på lommeregner og får dvs f 5,6006 längden af siden er 5, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

19 Opgave 44: n katete og hypotenusen er kendt Udregn katetens hosliggende spidse vinkel I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PQ er 6, 5, og längden af siden PR er 4, 0 estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s hosliggende katete cos ) ( 4, 0 6, 5 hypotenusen cos ) P P 6,5 Vi udregner venstre side på lommeregner og får 5,00 dvs vinkel P er P 5 P 4,0 R Trekantsberegning Side Karsten Juul

20 fsnit 5 Sinus INITION 5 ModstÇende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben er er Ñn side tilbage som du ikke holder i enne side kaldes vinklens modstående katete Vinklen kaldes katetens modstående vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's modstående katete har längden 39 Åvelse 5 rug metoden fra definition 5 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (3) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (4) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? 0,48,0, 5 0,0 0,5,5 Åvelse 53 () Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? () Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? (4) Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde 0? f e Trekantsberegning Side Karsten Juul

21 INITION 54 Sinus PÅ lommeregner kan vi udregne sinus og omvendt sinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: sinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels modstående katete Vi skriver: sin( v) t t Hvis vi udregner: omvendt sinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens modstående vinkel Vi skriver: sin ( t) v v Symbolet sin er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 55 PÅ lommeregner udregner vi at sin( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at sin (0,66) 4,376 ette betyder at 0,66 vinklen er 4,4 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

22 Åvelse 56 Nedenfor er vist to trekanter rug sinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og PR Q 37 54, P R Åvelse 57 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt sinus til at udregne vinklerne og 0, Åvelse 58 I trekant er vinkel ret, vinkel er er 3 q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,6, längden af er, og längden af siden Åvelse 59 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 5, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 34,4, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

23 SÇTNING 50 sinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: sin( vinklen) vinklens modstçende katete hypotenusen ( vinklens modstçende katete sin ) vinklen hypotenusen emärkning til 50 SÄtning 50 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er sin( ) a c Åvelse 5 evis for 50 () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved denne vinkels modstående katete skal du skrive q, og ved hypotenusen skal du skrive p () Tegn en ny trekant S med samme vinkler som T og med hypotenuse (skriv dette tal ved hypotenusen) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at sin( v) q p? Opgave 5: I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 3 estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er sin( ) ' s modstçende katete hypotenusen dvs a sin(5 ) 3,3 Ved at gange begge sider med 3, 3 får vi 3,3 5 a 3,3 sin(5) a Vi udregner venstre side på lommeregner og får,60044 a dvs längden af er, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

24 fsnit 6 Tangens INITION 6 Tangens PÅ lommeregner kan vi udregne tangens og omvendt tangens iguren viser en retvinklet trekant hvor v's hosliggende katete er Hvis vi udregner: tangens til gradtallet v, så får vi: längden af v 's modstående katete Vi skriver: tan( v) t v Hvis vi udregner: omvendt tangens til längden af v 's modstående katete, så får vi: gradtallet v Vi skriver: tan ( t) v t Symbolet tan er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 6 PÅ lommeregner udregner vi at tan( 34,8 ) 0,69508 ette betyder at längden af siden er 0, ,8 PÅ lommeregner udregner vi at tan (0,65) 3,0054 ette betyder at 0,65 vinklen er 3,0 Åvelse 63 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 6, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 8,6, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side Karsten Juul

25 SÇTNING 64 tangens Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: tan( vinklen) vinklens modstçende katete vinklens hosliggende katete ( vinklens modstçende katete tan ) vinklen vinklens hosliggende katete emärkning til 64 SÄtning 64 kan også formuleres sådan: Åvelse 65 evis for 64 I en trekant hvor vinkel er ret, er tan( ) a b () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved v 's modstående katete skal du skrive q, og ved v 's hosliggende katete skal du skrive p () Tegn en ny trekant S hvor vinklerne er de samme som i T og hvor v 's hosliggende katete er (skriv dette tal ved kateten) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at tan( v) q p? Opgave 66: n vinkels modstçende og hosliggende katete er kendt Udregn vinklen I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PR er 3, 7, og längden af siden QR er 5, estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s modstçende katete tan ) P' s hosliggende katete ( 5, 3, 7 tan ) P vinklen 5, Vi udregner venstre side på lommeregner og får 54,0395 dvs vinkel P er P 54 P 3,7 R Trekantsberegning Side Karsten Juul

26 fsnit 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant Oversigt 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant I en retvinklet trekant gälder p q r, p og q er kateterne, r er hypotenusen or en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete cos( vinklen) cos ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete sin( vinklen) sin ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete tan( vinklen) ) vinklen vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete ( ( ( tan Åvelse 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant a orestil dig at du sidder i vinkel v og holder i de to vinkelben Hvilke af siderne d, k og p holder du i? b Hvilke af siderne d, k og p er hosliggende til vinkel v? c Hvilke to af siderne d, k og p danner en ret vinkel? d Hvilke af siderne d, k og p er kateter? e Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til v? f Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til v? g Hvilken af siderne d, k og p er hypotenuse? h Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til t? i Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til t? j NÅr vi siger at tre stérrelser indgår i en opgave om retvinklet trekant, så mener vi at vi skal finde Ñn af dem og kender de to andre ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: () er indgår en spids vinkel og denne vinkels modstående katete samt hypotenusen () er indgår hypotenusen og de to kateter (3) er indgår en spids vinkel og de to kateter (4) er indgår en spids vinkel og denne vinkels hosliggende katete samt hypotenusen k ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: (5) Vi skal finde d og kender k og t (0) Vi skal finde p og kender d og v (6) Vi skal finde d og kender k og v () Vi skal finde v og kender p og d (7) Vi skal finde d og kender k og p () Vi skal finde v og kender k og p (8) Vi skal finde d og kender p og t (3) Vi skal finde t og kender k og p (9) Vi skal finde d og kender p og v (4) Vi skal finde v og kender k og d k v t d p Trekantsberegning Side Karsten Juul

27 fsnit 8 Opgaver Opgave 8 I trekant er 90, 6 og 6, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 8 I trekant er 90, 4, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 83 6,0 4, 5 4,5 Trekanterne og er retvinklede,7 a) estem arealet af trekant b) estem arealet af trekant Opgave 84 I trekant GHI er I 90, GI og HI, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 85 I trekant JKL er L 90, JK 3 og KL, 8 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 86 3,6 h c,5 iguren viser trekant hvor vinkel er ret, samt héjden hc fra på siden a) estem b) estem arealet af trekant, og bestem derefter längden af h c Trekantsberegning Side Karsten Juul

28 Opgave iguren viser to ensvinklede trekanter og a) estem längden af hver af siderne og Opgave 88 3,6, 5 4,5 Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden 7, Opgave Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden Opgave 80,8,5 a,0 b 4, PÅ billedet ses to ensvinklede trekanter a) eregn a og b Opgave 8 I de ensvinklede trekanter og ' ' ' er ', ' og ' esuden er 36, 4, ' ' 45 og ' ' 65 a) Tegn en skitse af trekanterne, og bestem '' og Trekantsberegning Side Karsten Juul

29 Opgave 8 Trekanterne og er ensvinklede a) estem längden af siden 4 0 Opgave 83, 0,5 0,8 Trekanterne og er retvinklede a) estem längden af siden b) estem längden af siden,0 Opgave 84 0 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem 6 6 Opgave 85,8 3,4 5, e to retvinklede trekanter og er ensvinklede a) estem og Opgave 86 Trekanterne er ensvinklede og retvinklede a) estem siden m m Trekantsberegning Side Karsten Juul

30 Opgave 87 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden a er 6, og längden af siden c er 7 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem vinkel Opgave 88 I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5,, og vinkel er 47,5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af siden Opgave 89 I trekant er vinkel ret Vinkel er 39,5, og längden af er 4, a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af Opgave 80 I trekant QRS er S 90, QR 6 og QS 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Q Opgave 8 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden c er 8, 5, og vinkel er,3 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af siden b Opgave 8 69,0,0 iguren viser en trekant hvor vinklen er ret a) estem Opgave 83 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden er 348 og vinkel er a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af hypotenusen Opgave 84 I trekant JKL er L 90, J 49 og KL 4 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem JK Opgave 85 I trekant MNP er P 90, M 55 og MN a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem NP 63,6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

31 Opgave 86 stige mur iguren viser en stige der når op til toppen af en 3 m héj mur Stigen danner en vinkel på jordoverfladen a) estem längden af stigen Opgave a) eregn siderne p og q i de viste trekanter 55 med p 49 6, q 54 8,0 Opgave iguren viser en retvinklet trekant a) estem längden af siden, og bestem vinkel Opgave 89 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er 5, og längden af siden r er 0 a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem vinkel P Opgave 830 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er, og vinkel P er a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem längden af siden r Opgave 83 I trekant er 90, 3 og 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem 55 Trekantsberegning Side Karsten Juul

32 Opgave 83 I trekant er 90, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 833 I trekant GHI er I 90, GI 4 og HI 0 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem G Opgave 834 a) eregn vinklerne u og v i de viste trekanter 4,4 4,3 u 4,6 4, v Opgave 835 a) eregn x på den viste figur 6,0 7,5 x 4 Opgave 836 iguren viser to lodrette stolper og en skrå liste Listen er fastgjort til stolperne i punkterne og Punktet er,5 meter over gulvet, og punktet er, meter over gulvet fstanden mellem stolperne er,8 meter a) estem vinklen v mellem den venstre stolpe og den skrå liste Opgave 837 a) eregn arealet af den viste figur 4 35, Trekantsberegning Side Karsten Juul

33 Opgave m 8 m 3 iguren viser tvärsnittet af et kunstmuseum TvÄrsnittet er en firkant hvor vinkel er ret, og diagonalen står vinkelret på siden a) estem längden af, og bestem vinkel b) estem längden af Opgave 839 iguren viser en tribune i tvärsnit Stangen holder taget n person har målt de tal der står på figuren a) estem b) estem c) estem Opgave 840 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden b er 4, og trekantens areal er 0 a) estem vinkel Opgave 84 Vinklen v er fastlagt ved figuren a) estem uden hjälpemidler cosv og tan v Opgave 84 I trekanterne og ' ' ' er ' og ' ndvidere er 3 og ' ' I trekant er längden af héjden fra vinkel lig a) estem arealet af trekant ' ' ' Trekantsberegning Side Karsten Juul

34 Opgave 843 iguren viser to ensvinklede trekanter og Nogle af sidelängderne er givet på figuren a) estem Opgave 844 6,5,5,5 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem arealet af trekant c) estem vinkel Opgave 845 a) estem 65, 3,5 Opgave 846 a) estem längden af b) estem arealet af trekant 5,8 37,3 30,8 Trekantsberegning Side Karsten Juul

35 Opgave 847 I trekant er ret PÅ siden ligger et punkt et er oplyst at, 0, 3, 8 og 4, 0 a) estem estem i trekant 4,0 3,8,0 Opgave 848 a) estem vinkel u på den viste figur b) estem vinkel v på den viste figur v u Opgave 849 PÅ figuren er angivet nogle af målene a) estem längden af 7,0 3 5 Opgave 850 I trekant PQR er R 90, P 33 og PQ, 4 Midtpunktet af PR hedder T a) Tegn en skitse, og bestem T i trekant QRT Opgave 85 I firkant står diagonalen vinkelret på både og iagonalen har längden 48, siden har längden 36, og siden har längden 5 a) Tegn en skitse af firkanten, og bestem vinklerne og b) estem firkantens omkreds Trekantsberegning Side Karsten Juul

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin sommer 15 Institution VUC-vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kofi Mensah 1maC05

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 1. Procent og rente Forklar hvordan man udregner procentvis ændringer i forskellige tidsrum og giv et konkret eksempel herpå. Forklar gerne med et eksempel,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Hvidovre-Amager Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Suna Vinther

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kristian Møller

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf MATEMATIK C Lene Kærgaard Jensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Vest - Esbjerg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Peter

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik C Angela

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Michael

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

http://tinyurl.com/jmgformel - Samme formelsamling som du har fået udleveret.

http://tinyurl.com/jmgformel - Samme formelsamling som du har fået udleveret. JG s matematikkompendium Nyttige links: http://www.eduap.com/wordmat/ - Tilføjelse til Word. Et rigtig godt hjælpeværktøj til matematikken. http://tinyurl.com/jmgformel - Samme formelsamling som du har

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Lise A.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg HF

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer 2hf Matematik C Søren Fritzbøger Hold

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Side 1/5 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Malene Overgaard

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Mat C Trine Eliasen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5.

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5. Facitliste Tal og regning Tal og regning a 5 b c d 8 e 4 f g 6 h 9 a b 5 c d e f g h 7 4 a 8 b c d 6 5... 7... 0 6 og 5 7 9 cm og cm 8 a 4 b 6 c 0 d 0 e f g 4 h 9, 0 og 0 x 8 a 84 b 0 c d 56 e 44 f 5 g

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015. Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Benny Jørgen

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Odense Tekniske Skole

Odense Tekniske Skole Odense Tekniske Skole Lokal undervisningsplan for matematik i grundforløbet Læringsaktiviteten matematik på grundforløbet på håndværk og teknik Niveauer: I matematik undervises på niveau F, men tilbydes

Læs mere

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011 fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning December 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem 1 På tryk tryk

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUC Skive-Viborg Hf Mat C Lars Kehlet Hansen (LKH)

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere