Trekantsberegning 25 B Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul"

Transkript

1 Trekantsberegning 7, Karsten Juul

2 ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte en indsigt hos eleverne som de ikke kan forventes at have Indhold real af trekant 3 Pythagoras' sätning 6 3 nsvinklede trekanter 0 4 osinus 3 5 Sinus 0 6 Tangens4 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant6 8 Opgaver 7 Nyere häfter: Trekantsberegning udgave 009 Ç 009 Karsten Juul ette häfte kan downloades fra wwwmatdk HÄftet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lärer og skole/kursus

3 fsnit real af trekant Åvelse eregn arealet af hver af de tre trekanter, og GHI I G 00 H INITION HÄjde og grundlinje n héjde i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids og vinkelret ned på den modstående side eller fra en vinkelspids og vinkelret ned på forlängelsen af den modstående side er er tre héjder i en trekant Vi kan selv bestemme hvilken af trekantens sider vi kalder grundlinjen NÅr vi taler om trekantens héjde, så er det den af héjderne der er vinkelret på den side som vi har valgt at kalde grundlinje Trekantsberegning Side Karsten Juul

4 ksempel 3 iguren viser en trekant Hvis vi välger siden med längde 8 som grundlinje, så er héjden 7 Hvis vi välger siden med längde 4 som grundlinje, så er héjden Åvelse 4 Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje Tegn det linjestykke som er héjde hvis vi välger som grundlinje (Se definition ) SÇTNING 5 real af trekant NÅr T = arealet af trekanten g = grundlinjen (dvs en side i trekanten) h = héjden (dvs den af héjderne der står vinkelret på den valgte grundlinje) gälder T h g Trekantsberegning Side Karsten Juul

5 Åvelse 6 iguren viser et firkantet bur set fra oven estem burets areal på den nemmest mulige måde m Åvelse 7 estem arealet af trekant estem arealet af trekant estem arealet af trekant Trekantsberegning Side Karsten Juul

6 fsnit Pythagoras' sätning INITION Katete og hypotenuse Kateterne i en retvinklet trekant er de to sider der danner den rette vinkel Hypotenusen i en retvinklet trekant er den side der ligger over for den rette vinkel ksempel iguren viser en retvinklet trekant Kateterne er 6 og 8 Hypotenusen er SÇTNING 3 Pythagoras' såtning or en retvinklet trekant gälder: Hvis så er p og q er kateterne, og r er hypotenusen p q r p r q emärkning 4: n sprogbrug Hvis der står i trekant er f 4 gälder det er siden over for vinkelspidsen der er 4 Sprogbrugen er nemlig sådan at når et stort bogstav er en vinkelspids i en trekant, gälder det tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen, hvis der ikke fremgår andet f e d enne sprogbrug er brugt her: I en trekant hvor vinkel er ret, er a b c emårkning 4 om sprogbrug fortsåtter pç nåste side Trekantsberegning Side Karsten Juul

7 dvarsel Se figuren til héjre Her dur det ikke hvis du skriver m, 6 LÄseren kan ikke vide om det er eller der er, 6 Skriv m på den side du mener u skal altid tegne en figur i en geometriopgave M Åvelse 5 fgér for hver ligning om den er korrekt () p q r p q () (3) p r r q q p r Åvelse 6 fgér for hver ligning om den er korrekt () 3,6 8, x 3,6 8, () (3) 3,6 x 8, x 8, 3,6 x Åvelse 7 fgér for hver ligning om den er korrekt () () (3) 7 63 t t a 30 7 t a (4) a 30 7 Trekantsberegning Side Karsten Juul

8 Opgave 8: Udregne hypotenusen nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 3,4, og längden af siden er, estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten f Pythagoras' sätning får vi at d 3,4, SÅ må d 3,4, Vi udregner dette på lommeregner: d 3,9965 Konklusion: LÄngden af siden er 4, 0 d 3,4, Opgave 9: Udregne en katete nçr hypotenusen og den anden katete er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 84, og längden af siden er 85 estem längden af siden Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten 85 a 84 f Pythagoras' sätning får vi at Vi träkker 84 a fra begge sider: a Heraf får vi at a Vi udregner dette på lommeregner: a 3 Konklusion: LÄngden af siden er 3 Trekantsberegning Side Karsten Juul

9 Opgave 0: Udregne areal nçr kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5, og längden af siden er 9 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden 5 9 realet er Konklusion: 5 9,5 realet af trekant er, 5 Opgave : Udregne areal nçr hypotenusen og en af kateterne er kendt I trekant er vinkel ret, längden af siden er, og längden af siden er 5 estem arealet af trekant Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Vi välger som grundlinje SÅ er héjden Vi bestemmer grundlinjen: 5 Vi bruger Pythagoras' sätning: f 5 Heraf får vi f 5 f Vi bestemmer arealet: realet er f dvs Vi udregner dette på lommeregner og får 4,4949 Konklusion: realet af trekant er 4, 5 Trekantsberegning Side Karsten Juul

10 fsnit 3 nsvinklede trekanter Åvelse 3 (a) Hvilket tal skal vi gange siderne i trekant () med for at få siderne i trekant ()? a alle sider skal ganges med samme tal, er () en forstérrelse eller en formindskelse af () et tal vi ganger med, er stérrelsesforholdet og kaldes skalafaktoren (b) or hver af trekanterne (3), (4), (5) og (6) skal du afgére om der findes en skalafaktor som ganget med sidederne i () giver siderne i den pågäldende trekant ngiv skalafaktoren hvis den eksisterer ( ) () 4 5,6 6,5 5, (3) 7,6,8 9,5 (4) 6,8 3,4 8,5 ( 5) (6),4,8,8 3,5,8 3,5 Trekantsberegning Side Karsten Juul

11 ksempel 3 PÅ figuren nedenfor bruger vi buer, dobbelte buer og tredobbelte buer til at vise hvilke vinkler der er lige store Trekanterne har samme vinkler, så de har samme form en store er altså en forstérrelse af den lille I den lille trekant er der en side med längde 4, og i den store trekant er der en side med längde 8 isse to sider ligger over for vinkler der er lige store a vi skal gange den lille side med for at få den store, er skalafaktoren Siden over for vinklen med dobbelt bue i den store trekant er altså gange 5, dvs Åvelse 33 u får nu en ny oplysning om den store trekant fra eksempel 3: Siden over for vinklen med tredobbelt bue har längden Hvor lang er den side i den lille trekant som ligger over for vinklen med tredobbelt bue? SÇTNING 34 nsvinklede trekanter NÅr en trekant har samme vinkler som en anden trekant, så findes et tal k (skalafaktoren) så vi ved at gange siderne i den férste trekant med k får siderne i den anden trekant Vi skal se på om en side i den férste trekant og en side i den anden trekant ligger over for vinkler der er lige store Hvis de gér det, vil k gange den férste side väre lig den anden side Åvelse 35 e to trekanter til héjre er ensvinklede så der findes et tal k som ganget med siderne i férste trekant giver siderne i anden trekant fgér for hver af félgende ligninger om den er gyldig: () 5 k 7 () p k n (3) p k 7 (4) m k q (5) q k m p 5 q 7 n m Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

12 Opgave 36: Udregne sider i ensvinklede trekanter iguren viser to ensvinklede trekanter og estem längderne af siderne og Svar: a trekanterne er ensvinklede, findes der en skalafaktor k : 5 0 k d c 8 Skalafaktoren: Siden med längde 5 fra den férste trekant og siden med längde fra den anden ligger over for vinkler som er lige store erfor gälder 5 k Heraf får vi k 5 dvs k,4 Siden : Siden med längde 0 i den férste trekant og siden med längde d i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder dvs 0, 4 d d 4 Siden : Siden med längde c i den férste trekant og siden med längde 8 i den anden ligger over for vinkler der er lige store erfor gälder c,4 8 Heraf får vi c 8,4 dvs c 0 Konklusioner: LÄngden af siden er 4 og längden af siden er 0 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

13 fsnit 4 osinus INITION 4 Hosliggende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben n af de sider du holder i, er en katete enne side kaldes vinklens hosliggende katete Vinklen kaldes katetens hosliggende spidse vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's hosliggende katete har längden 5 Åvelse 4 rug metoden fra definition 4 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? () Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (3) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? (4) Hvor lang er vinkel 's hosliggende katete? 3,6 0,09 0, 3,9,5 0,5 Åvelse 43 () Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? () Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's hosliggende spidse vinkel? (4) Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med längde 4? 33 f e Trekantsberegning Side Karsten Juul

14 INITION 44 osinus PÅ lommeregner kan vi udregne cosinus og omvendt cosinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: cosinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels hosliggende katete Vi skriver: cos( v) t Hvis vi udregner: omvendt cosinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens hosliggende spidse vinkel Vi skriver: cos ( t) v v t Symbolet cos er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 45 PÅ lommeregner udregner vi at cos( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at cos (0,750) 4,4096 ette betyder at vinklen er 4,4 0,750 Trekantsberegning Side Karsten Juul

15 Åvelse 46 Nedenfor er vist to trekanter rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og QR Q 38 53, P R Åvelse 47 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt cosinus til at udregne vinklerne og 8 5 0,809 Åvelse 48 I trekant er vinkel ret, vinkel er er q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,9, längden af siden er, og längden af siden Åvelse 49 I trekant er vinkel ret, vinkel er siden er p 4, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 36,9, längden af siden er, og längden af Trekantsberegning Side Karsten Juul

16 Åvelse 40 OplÅg til 4 Nedenfor er vist to trekanter () rug cosinus på lommeregneren til at udregne längden af siden () rug svaret på () til at udregne längden af siden (3) Hvilken sätning fra dette häfte skal bruges i ()? 36,8 3 36,8 SÇTNING 4 cosinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen emärkning til 4 SÄtning 4 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er cos( ) b c Trekantsberegning Side Karsten Juul

17 evis for 4 Vi tegner en retvinklet trekant T : hypotenuse T : p v q v ' s hosliggende katete Vi tegner en ny trekant S med samme vinkler Hypotenusen er : S : Trekanterne er ensvinklede Skalafaktoren er p da hypotenusen i S skal ganges med p for at få hypotenusen i T v's hosliggende katete i S kan vi udregne ved at dividere q med skalafaktoren: v f definitionen på cosinus får vi cos( v) cos ( q p ) q p v I disse to ligninger erstatter vi v, p og q med ord SÅ får vi: v q p cos( vinklen) vinklens hosliggende katete hypotenusen ( vinklens hosliggende katete cos ) vinklen hypotenusen ette er de to ligninger vi skulle bevise Trekantsberegning Side Karsten Juul

18 Opgave 4: n vinkel og hypotenusen er kendt Udregn vinklens hosliggende katete I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 6, estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er cos( ) ' s hosliggende katete hypotenusen dvs cos(5 ) b 6, Ved at gange begge sider med 6, får vi 6, 5 b 6, cos(5) b Vi udregner venstre side på lommeregner og får 3,9076 b dvs längden af er 3, 9 Opgave 43: n vinkel og dens hosliggende katete er kendt Udregn hypotenusen I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 6 estem längden af siden 50, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er dvs cos( ) cos( 50 ) 3,6 f ' s hosliggende katete hypotenusen PÅ begge sider ganger vi med f og dividerer med f 50 3,6 cos( 50 ) Vi får f 3,6 cos(50) Vi udregner héjre side på lommeregner og får dvs f 5,6006 längden af siden er 5, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

19 Opgave 44: n katete og hypotenusen er kendt Udregn katetens hosliggende spidse vinkel I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PQ er 6, 5, og längden af siden PR er 4, 0 estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s hosliggende katete cos ) ( 4, 0 6, 5 hypotenusen cos ) P P 6,5 Vi udregner venstre side på lommeregner og får 5,00 dvs vinkel P er P 5 P 4,0 R Trekantsberegning Side Karsten Juul

20 fsnit 5 Sinus INITION 5 ModstÇende katete orestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben er er Ñn side tilbage som du ikke holder i enne side kaldes vinklens modstående katete Vinklen kaldes katetens modstående vinkel u 5 I den viste trekant gälder altså: Vinkel u 's modstående katete har längden 39 Åvelse 5 rug metoden fra definition 5 til at finde svarene på félgende spérgsmål: () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? () Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (3) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? (4) Hvor lang er vinkel 's modstående katete? 0,48,0, 5 0,0 0,5,5 Åvelse 53 () Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? () Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde e? (3) Hvor mange grader er kateten 's modstående vinkel? (4) Hvor mange grader er den vinkel der er modstående til siden med längde 0? f e Trekantsberegning Side Karsten Juul

21 INITION 54 Sinus PÅ lommeregner kan vi udregne sinus og omvendt sinus iguren viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er Hvis vi udregner: sinus til gradtallet for en af de spidse vinkler, så får vi: längden af denne vinkels modstående katete Vi skriver: sin( v) t t Hvis vi udregner: omvendt sinus til längden af en af kateterne, så får vi: gradtallet for katetens modstående vinkel Vi skriver: sin ( t) v v Symbolet sin er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 55 PÅ lommeregner udregner vi at sin( 49,5 ) 0, ette betyder at längden af siden er 0, ,5 PÅ lommeregner udregner vi at sin (0,66) 4,376 ette betyder at 0,66 vinklen er 4,4 Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

22 Åvelse 56 Nedenfor er vist to trekanter rug sinus på lommeregneren til at udregne längden af hver af siderne og PR Q 37 54, P R Åvelse 57 Nedenfor er vist to trekanter rug omvendt sinus til at udregne vinklerne og 0, Åvelse 58 I trekant er vinkel ret, vinkel er er 3 q, hvor q er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet q 33,6, längden af er, og längden af siden Åvelse 59 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 5, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 34,4, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side 009 Karsten Juul

23 SÇTNING 50 sinus Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: sin( vinklen) vinklens modstçende katete hypotenusen ( vinklens modstçende katete sin ) vinklen hypotenusen emärkning til 50 SÄtning 50 kan også formuleres sådan: I en trekant hvor vinkel er ret, er sin( ) a c Åvelse 5 evis for 50 () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved denne vinkels modstående katete skal du skrive q, og ved hypotenusen skal du skrive p () Tegn en ny trekant S med samme vinkler som T og med hypotenuse (skriv dette tal ved hypotenusen) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at sin( v) q p? Opgave 5: I trekant er vinkel ret, vinkel er og längden af siden er 3, 3 estem längden af siden 5, Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten a trekanten er retvinklet og vinkel er spids, er sin( ) ' s modstçende katete hypotenusen dvs a sin(5 ) 3,3 Ved at gange begge sider med 3, 3 får vi 3,3 5 a 3,3 sin(5) a Vi udregner venstre side på lommeregner og får,60044 a dvs längden af er, 6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

24 fsnit 6 Tangens INITION 6 Tangens PÅ lommeregner kan vi udregne tangens og omvendt tangens iguren viser en retvinklet trekant hvor v's hosliggende katete er Hvis vi udregner: tangens til gradtallet v, så får vi: längden af v 's modstående katete Vi skriver: tan( v) t v Hvis vi udregner: omvendt tangens til längden af v 's modstående katete, så får vi: gradtallet v Vi skriver: tan ( t) v t Symbolet tan er ikke en sådvanlig potens et håvede betyder "omvendt" ksempel 6 PÅ lommeregner udregner vi at tan( 34,8 ) 0,69508 ette betyder at längden af siden er 0, ,8 PÅ lommeregner udregner vi at tan (0,65) 3,0054 ette betyder at 0,65 vinklen er 3,0 Åvelse 63 I trekant er vinkel ret, vinkel er er p 6, hvor p er et tal der ikke er oplyst SkitsÑr trekanten estem tallet p 8,6, längden af er, og längden af siden Trekantsberegning Side Karsten Juul

25 SÇTNING 64 tangens Om en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: tan( vinklen) vinklens modstçende katete vinklens hosliggende katete ( vinklens modstçende katete tan ) vinklen vinklens hosliggende katete emärkning til 64 SÄtning 64 kan også formuleres sådan: Åvelse 65 evis for 64 I en trekant hvor vinkel er ret, er tan( ) a b () Tegn en retvinklet trekant T hvor du i en af de spidse vinkler skriver v Ved v 's modstående katete skal du skrive q, og ved v 's hosliggende katete skal du skrive p () Tegn en ny trekant S hvor vinklerne er de samme som i T og hvor v 's hosliggende katete er (skriv dette tal ved kateten) (3) Hvordan kan vi vide at i trekant S har vinklen v 's modstående katete längden p q? (4) Hvordan kan vi vide at tan( v) q p? Opgave 66: n vinkels modstçende og hosliggende katete er kendt Udregn vinklen I trekant PQR er vinkel R ret, längden af siden PR er 3, 7, og längden af siden QR er 5, estem vinkel P Svar: Érst tegner vi en skitse af trekanten Q a trekanten er retvinklet og vinkel P er spids, er dvs ( P' s modstçende katete tan ) P' s hosliggende katete ( 5, 3, 7 tan ) P vinklen 5, Vi udregner venstre side på lommeregner og får 54,0395 dvs vinkel P er P 54 P 3,7 R Trekantsberegning Side Karsten Juul

26 fsnit 7 eregning af sider og vinkler i retvinklet trekant Oversigt 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant I en retvinklet trekant gälder p q r, p og q er kateterne, r er hypotenusen or en spids vinkel i en retvinklet trekant gälder: vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete cos( vinklen) cos ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete sin( vinklen) sin ) vinklen hypotenusen hypotenusen vinklens modstçende katete vinklens modstçende katete tan( vinklen) ) vinklen vinklens hosliggende katete vinklens hosliggende katete ( ( ( tan Åvelse 7 ormler til beregning af sider og vinkler i retvinklet trekant a orestil dig at du sidder i vinkel v og holder i de to vinkelben Hvilke af siderne d, k og p holder du i? b Hvilke af siderne d, k og p er hosliggende til vinkel v? c Hvilke to af siderne d, k og p danner en ret vinkel? d Hvilke af siderne d, k og p er kateter? e Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til v? f Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til v? g Hvilken af siderne d, k og p er hypotenuse? h Hvilken af siderne d, k og p er hosliggende katete til t? i Hvilken af siderne d, k og p er modstående katete til t? j NÅr vi siger at tre stérrelser indgår i en opgave om retvinklet trekant, så mener vi at vi skal finde Ñn af dem og kender de to andre ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: () er indgår en spids vinkel og denne vinkels modstående katete samt hypotenusen () er indgår hypotenusen og de to kateter (3) er indgår en spids vinkel og de to kateter (4) er indgår en spids vinkel og denne vinkels hosliggende katete samt hypotenusen k ngiv i hvert af félgende tilfälde om der skal bruges cos, sin, tan eller pyth: (5) Vi skal finde d og kender k og t (0) Vi skal finde p og kender d og v (6) Vi skal finde d og kender k og v () Vi skal finde v og kender p og d (7) Vi skal finde d og kender k og p () Vi skal finde v og kender k og p (8) Vi skal finde d og kender p og t (3) Vi skal finde t og kender k og p (9) Vi skal finde d og kender p og v (4) Vi skal finde v og kender k og d k v t d p Trekantsberegning Side Karsten Juul

27 fsnit 8 Opgaver Opgave 8 I trekant er 90, 6 og 6, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 8 I trekant er 90, 4, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 83 6,0 4, 5 4,5 Trekanterne og er retvinklede,7 a) estem arealet af trekant b) estem arealet af trekant Opgave 84 I trekant GHI er I 90, GI og HI, 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 85 I trekant JKL er L 90, JK 3 og KL, 8 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem arealet Opgave 86 3,6 h c,5 iguren viser trekant hvor vinkel er ret, samt héjden hc fra på siden a) estem b) estem arealet af trekant, og bestem derefter längden af h c Trekantsberegning Side Karsten Juul

28 Opgave iguren viser to ensvinklede trekanter og a) estem längden af hver af siderne og Opgave 88 3,6, 5 4,5 Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden 7, Opgave Trekanterne og er ensvinklede Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren a) estem längden af siden og längden af siden Opgave 80,8,5 a,0 b 4, PÅ billedet ses to ensvinklede trekanter a) eregn a og b Opgave 8 I de ensvinklede trekanter og ' ' ' er ', ' og ' esuden er 36, 4, ' ' 45 og ' ' 65 a) Tegn en skitse af trekanterne, og bestem '' og Trekantsberegning Side Karsten Juul

29 Opgave 8 Trekanterne og er ensvinklede a) estem längden af siden 4 0 Opgave 83, 0,5 0,8 Trekanterne og er retvinklede a) estem längden af siden b) estem längden af siden,0 Opgave 84 0 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem 6 6 Opgave 85,8 3,4 5, e to retvinklede trekanter og er ensvinklede a) estem og Opgave 86 Trekanterne er ensvinklede og retvinklede a) estem siden m m Trekantsberegning Side Karsten Juul

30 Opgave 87 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden a er 6, og längden af siden c er 7 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem vinkel Opgave 88 I trekant er vinkel ret, längden af siden er 5,, og vinkel er 47,5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af siden Opgave 89 I trekant er vinkel ret Vinkel er 39,5, og längden af er 4, a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem längden af Opgave 80 I trekant QRS er S 90, QR 6 og QS 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Q Opgave 8 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden c er 8, 5, og vinkel er,3 a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af siden b Opgave 8 69,0,0 iguren viser en trekant hvor vinklen er ret a) estem Opgave 83 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden er 348 og vinkel er a) Tegn en skitse af trekant, og bestem längden af hypotenusen Opgave 84 I trekant JKL er L 90, J 49 og KL 4 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem JK Opgave 85 I trekant MNP er P 90, M 55 og MN a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem NP 63,6 Trekantsberegning Side Karsten Juul

31 Opgave 86 stige mur iguren viser en stige der når op til toppen af en 3 m héj mur Stigen danner en vinkel på jordoverfladen a) estem längden af stigen Opgave a) eregn siderne p og q i de viste trekanter 55 med p 49 6, q 54 8,0 Opgave iguren viser en retvinklet trekant a) estem längden af siden, og bestem vinkel Opgave 89 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er 5, og längden af siden r er 0 a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem vinkel P Opgave 830 I en retvinklet trekant PQR er vinkel Q ret, längden af siden p er, og vinkel P er a) Tegn en skitse af trekant PQR, og bestem längden af siden r Opgave 83 I trekant er 90, 3 og 5 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem 55 Trekantsberegning Side Karsten Juul

32 Opgave 83 I trekant er 90, 8 og a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem Opgave 833 I trekant GHI er I 90, GI 4 og HI 0 a) Tegn en skitse af trekanten, og bestem G Opgave 834 a) eregn vinklerne u og v i de viste trekanter 4,4 4,3 u 4,6 4, v Opgave 835 a) eregn x på den viste figur 6,0 7,5 x 4 Opgave 836 iguren viser to lodrette stolper og en skrå liste Listen er fastgjort til stolperne i punkterne og Punktet er,5 meter over gulvet, og punktet er, meter over gulvet fstanden mellem stolperne er,8 meter a) estem vinklen v mellem den venstre stolpe og den skrå liste Opgave 837 a) eregn arealet af den viste figur 4 35, Trekantsberegning Side Karsten Juul

33 Opgave m 8 m 3 iguren viser tvärsnittet af et kunstmuseum TvÄrsnittet er en firkant hvor vinkel er ret, og diagonalen står vinkelret på siden a) estem längden af, og bestem vinkel b) estem längden af Opgave 839 iguren viser en tribune i tvärsnit Stangen holder taget n person har målt de tal der står på figuren a) estem b) estem c) estem Opgave 840 I en retvinklet trekant er vinkel ret, längden af siden b er 4, og trekantens areal er 0 a) estem vinkel Opgave 84 Vinklen v er fastlagt ved figuren a) estem uden hjälpemidler cosv og tan v Opgave 84 I trekanterne og ' ' ' er ' og ' ndvidere er 3 og ' ' I trekant er längden af héjden fra vinkel lig a) estem arealet af trekant ' ' ' Trekantsberegning Side Karsten Juul

34 Opgave 843 iguren viser to ensvinklede trekanter og Nogle af sidelängderne er givet på figuren a) estem Opgave 844 6,5,5,5 Trekanterne og er retvinklede og ensvinklede a) estem b) estem arealet af trekant c) estem vinkel Opgave 845 a) estem 65, 3,5 Opgave 846 a) estem längden af b) estem arealet af trekant 5,8 37,3 30,8 Trekantsberegning Side Karsten Juul

35 Opgave 847 I trekant er ret PÅ siden ligger et punkt et er oplyst at, 0, 3, 8 og 4, 0 a) estem estem i trekant 4,0 3,8,0 Opgave 848 a) estem vinkel u på den viste figur b) estem vinkel v på den viste figur v u Opgave 849 PÅ figuren er angivet nogle af målene a) estem längden af 7,0 3 5 Opgave 850 I trekant PQR er R 90, P 33 og PQ, 4 Midtpunktet af PR hedder T a) Tegn en skitse, og bestem T i trekant QRT Opgave 85 I firkant står diagonalen vinkelret på både og iagonalen har längden 48, siden har längden 36, og siden har längden 5 a) Tegn en skitse af firkanten, og bestem vinklerne og b) estem firkantens omkreds Trekantsberegning Side Karsten Juul

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Thomas K. Andersen mac4 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan.

Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. I den første del af kapitlet skal du arbejde med trekanter, hvor du skal

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 13/14 Institution VUC Albertslund Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag Mat C Kofi Danquah Mensah

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp = 13,00 = 13,0 (idet

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau VUC Holstebro Lemvig Struer HF Matematik C Læreplan Lærer(e) Hold Michael

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Susanne Hansen

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet Rentesregning 1 Forklar begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen), og opstil/omskriv denne så du kan bestemme 1 af størrelserne, ud fra de 3 andre. Giv eksempler,

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 16 Institution VUC-vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C Nihal Günaydin Hold 1.P

Læs mere