Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
|
|
- Sandra Simonsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig χ 2 -test i e r c krydstabel Teststørrelse Uafhægighedstest - e oversigt Uafhægighedstest - et eksempel Homogeitetstest - e oversigt Homogeitetstest - et eksempel χ 2 -test - geerelt χ 2 -test - et eksempel Idledig Når data klassificeres efter to eller flere karakteristika/kriterier, ka vi dae e krydstabel, hvor vi optæller atallet af udfald for hver mulig kombiatio af de forskellige kriterier. Vi skal her beskæftige os med det simpleste tilfælde, emlig klassificerig efter to kriterier, e situatio som har visse træk tilfælles med tosidig variasaalyse. Aalyse af flerdimesioale krydstabeller falder, ligesom flersidig variasaalyse, ude for rammere af dette kursus. Hvert kriterium svarer til e opdelig i et atal kategorier, og svarer således til e faktor, i samme forstad som i variasaalyse. Geerelt taler vi om e r c krydstabel, hvor det ee kriterium er opdelt i r kategorier (rækker/rows), og det adet kriterium er opdelt i c kategorier (søjler/colums). Krydstabeller beyttes primært til at vise relatioe mellem to kvalitative variable, målt på omielt eller ordialt skalaiveau (ma udytter dog ikke ordialitete i krydstabelaalyse), me ka også beyttes ved kvatitative variable, år disse grupperes og dermed bliver til omielle eller ordiale variable χ 2 -test i e r c krydstabel De test som bruges i forbidelse med aalyse af krydstabeller kaldes e χ 2 -test, og ka til e vis grad sammeliges med teste for ige iteraktio i e tosidig variasaalyse.
2 14.3 Teststørrelse 2 Fortolkige af teste afhæger af stikprøvegrudlaget, og vi skeler pricipielt mellem to typer af tests: test for uafhægighed test for homogeitet Der skeles mellem tre typer af stikprøvegrudlag: multiomisk, hvor stikprøvestørrelse,, er givet og fastlagt på forhåd. Poisso, hvor stikprøvestørrelse ikke er fastlagt på forhåd, me typisk afhæger af, hvor mage idivider ma træffer i løbet af et på forhåd fastlagt tidsrum produkt-multiomisk, hvor der er flere stikprøver af e give størrelse, i, fra hver si populatio. Når stikprøvegrudlaget er multiomisk eller Poisso ka vi lave uafhægighedstest, mes homogeitetstest beyttes, år stikprøvegrudlaget er produkt-multiomisk. Det skal uderstreges at χ 2 -teste i alle tilfælde udreges på samme måde, mes det ku er fortolkige som varierer Teststørrelse E r c krydstabel opskrives på følgede måde: 1 c 1 f 11 f 1c R r f r1 f rc R r C 1 C c f ij står for det observerede atal i de ij-te celle. R i er rækkesumme i de i-te række. C j er søjlesumme i de j-te søjle. R i og C j kaldes tabelles margialer. er det samlede atal observatioer. ˆf ij kaldes de forvetede atal, og udreges som følger: ˆf ij = R i C j De forvetede atal udtrykker de atal vi forveter hvis de to iddeligskriterier er uafhægige af hiade.
3 14.4 Uafhægighedstest - e oversigt 3 Ligesom i variasaalyse vil vi beytte e teststørrelse baseret på summe af de kvadratiske ( afvigelser f ij ˆf ) 2, ij me på grud af de specielle omstædigheder ved tælletal bruger vi e teststørrelse som er vægtet: χ 2 = r c (f ij ˆf ) 2 ij i=1 j=1 ˆf ij idet vægtee 1/ ˆf ij afspejler det faktum at variase på f ij er større jo større ˆf ij er. Dee teststørrelse kaldes χ 2 -teststørrelse, med tilhørede frihedsgrader ν = (r 1)(c 1). Ved fuldstædig overesstemmelse mellem de observerede og de forvetede værdier atager teststørrelse værdie 0. Jo større uoveresstemmelse, jo større teststørrelse, og jo mere afviger data fra det som forvetes uder uafhægighed af iddeligskriteriere. χ 2 -størrelse skal vurderes i e χ 2 ν fordelig. Da dee fordelig er e approximatio til χ 2 -størrelses sade fordelig, og da approximatioe gælder for store værdier af ˆf ij, så kræves der i praksis at de forvetede atal ˆf ij alle er midst 5. Dog ka det tillades at ogle få forvetede atal er så små som 2, se Zar, afsit I dee forbidelse bemærkes at teste ku ka geemføres hvis alle R i og alle C j er stregt positive, da ˆf ij skal være stregt positiv for overhovedet at kue udrege χ 2. Derimod er det ikke i sig selv et problem hvis ekelte f ij er 0, bortset fra at sådae uller er et teg på at ikke er valgt stor ok til at belyse alle kombiatioer af i og j tilfredsstillede Uafhægighedstest - e oversigt Forudsætiger: Data i form af e r c krydstabel. Stikprøvegrudlaget er multiomisk eller Poisso. Notatio: Lad p ij være sadsylighede for at et tilfældigt udfald falder i de ij-te celle. Lad p i være sadsylighede for at udfaldet falder i række i, og lad p j være sadsylighede for at udfaldet falder i søjle j. Nulhypotese H 0 : p ij = p i p j for alle i, j, dvs. hypotese om uafhægighed.af de to iddeligskriterier. Alterativ hypotese H A : der er ikke uafhægighed. Teststørrelse: χ 2 = r i=1 j=1 c (f ij ˆf ) 2 ij ˆf ij, hvor ˆf ij = R i C j
4 14.5 Uafhægighedstest - et eksempel 4 Fortolkig af ˆfij : Da ˆp i = R i / og ˆp j = C j /, så fås de forvetede atal uder H 0 som følger: ˆp i ˆp j = Ri Cj = R i C j = ˆf ij Fordelig: χ 2 er approximativt χ 2 -fordelt med ν = (r 1)(c 1) frihedsgrader. Approximatioe kræver ˆf ij 5 i alle celler, se dog ovefor. Sigifikasiveau: α. p-værdi: p = P(χ 2 > χ 2 obs ) udreget uder χ2 ν fordelige, hvor χ2 obs er de observerede værdi af teststørrelse. Beslutigsregel: Forkast H 0, hvis p-værdi < α eller hvis χ 2 > χ 2 α,ν Koklusio: Hvis H 0 forkastes ka ma yderligere se på bidragee i de ekelte celler for at få idtryk af hvorda afhægighede er mellem de to variable Uafhægighedstest - et eksempel Data: På et studium er der tilfældigt udvalgt et atal studerede, der klassificeres efter kø og alder (itervalgrupperet): I alt Kvide Mad I alt Forudsætiger: På grudlag af tabelle syes det rimeligt at lave e uafhægighedstest, idet forudsætigere er opfyldte. Nulhypotese H 0 : Uafhægighed mellem de to kriterier/variable, som også ka fortolkes som aldersfordelige er de samme for mæd og kvider køsfordelige er de samme i de tre aldersgrupper Teststørrelse: χ 2 = 0.26 Fordelig: χ 2 er approximativt χ 2 -fordelt med (3 1)(2 1) = 2 frihedsgrader. Approximatioe er ok, da de forvetede værdier i alle celler er større ed eller lig med 5 (se SAS-output).
5 14.5 Uafhægighedstest - et eksempel 5 p-værdi = Koklusio: Dee p-værdi er så stor, at vi ved ethvert rimeligt valg af α vil acceptere H 0, dvs. der er ige sammehæg mellem kø og alder. Dette betyder også, at alle cellebidragee til teststørrelse er små. Diskussio: Forskelle mellem det multiomiske og Poisso stikprøvegrudlag ka illustreres som følger: Det multiomiske stikprøvegrudlag fremkommer hvis forsøgsdesiget på forhåd fastlægger at der skal iterviewes = 96 studerede, og disse udvælges tilfældigt bladt alle studerede på studiet. Poisso stikprøvegrudlaget fremkommer hvis forsøgsdesiget f.eks. siger at hver femte studerede i katiekøe skal iterviewes, så mage ma ka å ide for 30 miutter, således at det er tilfældigt at ma etop opåede at få = 96. Her forudsættes det at alle studerede på studiet går igeem katiekøe, og at det sker i tilfældig rækkefølge. Ma ka også tæke sig e mellemtig, hvor desiget med katiekøe bruges, på de måde at ma fortsætter med at iterviewe, idtil et forud fastlagt atal ( = 96) er opået. SAS-output: The FREQ Procedure Table of SEX by ALDER SEX ALDER Frequecy Expected Cell Chi-Square Row Pct Col Pct Total K M Total
6 14.6 Homogeitetstest - e oversigt 6 Statistics for Table of SEX by ALDER Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Matel-Haeszel Chi-Square Phi Coefficiet Cotigecy Coefficiet Cramer s V Homogeitetstest - e oversigt Dee test mider i praksis meget om uafhægighedsteste, me stikprøvegrudlaget og hypotesere er aderledes. Dermed bliver koklusioere også formuleret aderledes. Vi opererer u med flere stikprøver, udtaget fra hver si populatio, og observatioere klassificeres ide for hver stikprøve efter et givet kriterium. Hver række opfattes her som e stikprøve, mes søjlere repræseterer kriteriet. Stikprøvegrudlaget er således produkt-multiomisk (i praksis kue det lige så godt være søjlere, der udgjorde stikprøvere). Forudsætiger: Stikprøvegrudlaget er produkt-multiomisk. Der udtrækkes e tilfældig stikprøve af størrelse R i fra de i-te populatio, for alle i. Produkt-multiomisk modelle forudsætter at de r stikprøver er idsamlet uafhægigt af hiade. Notatio: Lad u p ij være sadsylighede for at et objekt fra de i-te populatio klassificeres i de j-te kategori. Nulhypotese H 0 : p 1j = = p rj for j = 1,...,c, dvs. at der for alle kategorier j gælder at sadsylighede for at falde i de j-te kategori er de samme for alle r populatioer. Dette kaldes hypotese om homgeitet. Alterativ hypotese H A : der er ikke homogeitet. Teststørrelse: χ 2 = r i=1 j=1 c (f ij ˆf ) 2 ij ˆf ij, hvor ˆf ij = R i C j
7 14.7 Homogeitetstest - et eksempel 7 Fortolkig af ˆfij : Da estimatere uder H 0 er ˆp ij = ˆp j = C j / er de forvetede atal i de i-te populatio R i ˆp j = R i Cj = ˆf ij Fordelig: χ 2 er approximativt χ 2 -fordelt med ν = (r 1)(c 1) frihedsgrader. Approximatioe kræver ˆf ij 5 i alle celler, se dog ovefor. Sigifikasiveau: α. p-værdi: p = P(χ 2 > χ 2 obs ) udreget uder χ2 ν fordelige, hvor χ 2 obs er de observerede værdi af teststørrelse. Beslutigsregel: Forkast H 0, hvis p-værdi < α eller hvis χ 2 > χ 2 α,ν. Koklusio: Formulerige af koklusio bliver aturligvis aderledes ed i uafhægighedsteste som følge af, at hypotese er formuleret aderledes. Hvis H 0 forkastes ka ma yderligere se på bidragee til teststørrelse i de ekelte celler for at få idtryk af hvorda fordeligere afviger fra hiade Homogeitetstest - et eksempel Problemstillig: Der øskes e udersøgelse af, om fordelige på hårfarve er de samme for mæd og kvider (Zar, eks. 23.1, p. 487). Udersøgelse: Der udtages e tilfældig stikprøve af 100 mæd og 200 kvider. Persoere klassificeres efter hårfarve. Data: Observatioere placeres i e krydstabel, hvor rækkere er de to stikprøver (se SAS-output). Forudsætiger: Stikprøvegrudlaget er produkt-multiomisk. Dette forudsætter at de to stikprøver er idsamlet uafhægigt af hiade. Nulhypotese er, at observatioere i de ee stikprøve fordeler sig på de 4 kategorier af variable hårfarve som observatioere i de ade stikprøve, dvs. adele i hver af hårfarvegruppere er de samme for mæd og kvider. H 0 : p 11 = p 21, p 12 = p 22, p 13 = p 23 og p 14 = p 24 dvs. homogeitet. Alterativ hypotese H A : der er ikke homogeitet. Fordelige med hesy til hårfarve fremgår af de fjerde liie i hver celle af SAS-output (row pct.) og syes ikke at være særlig es.
8 14.7 Homogeitetstest - et eksempel 8 Teststørrelse: χ 2 = Fordelig: χ 2 er approximativt χ 2 -fordelt med (4 1)(2 1) = 3 frihedsgrader. Approximatioe er ok, da ˆf ij 5 i alle celler. p-værdi: p = P(χ 2 > 8.987) = Koklusio: Ved ethvert valg af α på mere ed 3%, vil vi forkaste H 0, dvs. der er formetlig ikke homogeitet. Altså er fordelige på hårfarve ikke de samme for mæd og kvider. Ud fra row pct. i tabelle ses det at der er flere mæd ed kvider med sort og bru hårfarve, mes der er flere kvider ed mæd med hårfarve blod. SAS-output: The FREQ Procedure Table of SEX by COLOR SEX COLOR Frequecy Expected Cell Chi-Square Row Pct Col Pct BLACK BROWN BLOND RED Total MALE FEMALE Total Statistics for Table of SEX by COLOR Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Matel-Haeszel Chi-Square
9 14.8 χ 2 -test - geerelt 9 Phi Coefficiet Cotigecy Coefficiet Cramer s V χ 2 -test - geerelt χ 2 -teste er e geerel og meget fleksibel metode til behadlig af tælletal, og ka bruges på mage adre måder ed vist ovefor. Her er e skematisk geemgag af metode. Forudsætiger: Der er idsamlet e stikprøve på, som er iddelt efter et kriterium med k kategorier (k = r c for krydstabeller). De observerede atal er f i for i = 1,...,k. De forvetede atal er ˆf i = ˆp i, hvor ˆp i er estimatet for sadsylighede p i for at falde i de i-te kategori. Disse forvetede atal er udreget uder e ulhypotese H 0 som har m ukedte parametre (m = (r 1)+(c 1) = r+c 2 for krydstabeller). Teststørrelse: χ 2 = k (f i ˆf ) 2 i i=1 ˆf i Fordelig: χ 2 er approximativt χ 2 -fordelt med ν = k 1 m frihedsgrader. Approximatioe kræver ˆf i 5 i alle celler, påær ogle få. Sigifikasiveau: α. p-værdi: p = P(χ 2 > χ 2 obs ) udreget uder χ2 ν fordelige, hvor χ 2 obs er de observerede værdi af teststørrelse. Beslutigsregel: Forkast H 0, hvis p-værdi < α eller hvis χ 2 > χ 2 α,ν Koklusio: Hvis H 0 forkastes ka ma yderligere se på bidragee i de ekelte celler for at få idtryk af hvor afvigelsere mellem f i og ˆf i især fides χ 2 -test - et eksempel Problemstillig: Farve og form for ærter (á la Medel), fra Zar eksempel 22.2, p Udersøgelse: 250 ærter iddeles efter kriteritet (gul, glat); (gul, ryket); (grø, glat); (grø, ryket) (k = 4) Data: Fordelige på de fire kategorier er (152, 39, 53, 6) Forudsætiger:
10 14.9 χ 2 -test - et eksempel 10 Stikprøvegrudlaget er multiomisk. Dette forudsætter at stikprøve er idsamlet tilfældigt fra de øskede populatio. Nulhypotese er, at udspaltige i de fire kategorier sker i forholdet 9:3:3:1. Bemærk at dee hypotese ka fortolkes som uafhægighed mellem de to kriterier farve og form, samtidig med at det kræves at udspaltige sker i forholdet 3:1 for begge kriterier. Hypotese ka også skrives som H 0 : p 1 = 9 16 p 2 = 3 16 p 3 = 3 16 p 4 = 1 16 Da hypotese således ige ukedte parametre har er m = 0. De forvetede atal er ˆf 1 = = ˆf 2 = = 46.9 ˆf 3 = = 46.9 ˆf 4 = = 15.3 Alterativ hypotese H A : udspaltige sker ikke i forholdet 9:3:3:1. Teststørrelse: χ 2 = (se Zar). Fordelig: χ 2 er approximativt χ 2 -fordelt med = 3 frihedsgrader. Approximatioe er ok, da ˆf i 5 i alle celler. p-værdi: p = P(χ 2 > 8.972) = Koklusio: Ved ethvert valg af α på mere ed 3%, vil vi forkaste H 0, dvs. der er formetlig ikke udspaltig i forholdet 9:3:3:1. Sammeliges de observerede og forvetede atal ses det at der er fudet flere glatte bøer ed forvetet, både gule og grøe.
13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereTest i polynomialfordelingen
Statisti og Sadsylighedsregig STAT apitel 4.4 Test i polyomialfordelige Lad X (X,..., X ) Poly (, p). Observatio: (,..., ) der agiver atal udfald, 2,..., Susae Ditlevse Istitut for Matematise Fag Email:
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 4.4 og kapitel 6 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae 8. udervisigsuge 1 E hypotese af forme H 0 : θ =
Læs mereTests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereSammensatte hypoteser i en polynomialfordeling
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 44 og kapitel 6 E hypotese af forme H 0 : θ θ 0 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@mathkudk http://mathkudk/ susae hvor der ikke idgår ukedte
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereYngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016
Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereAfdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006 i SAS (Zar kapitel 23) PROC FREQ PROC CATMOD
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereKapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Læs mereScorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?
Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereTeam Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013
Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mereFacilitering ITU 15. maj 2012
Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog
Læs merePostoperative komplikationer
Løsninger til øvelser i kategoriske data, oktober 2008 1 Postoperative komplikationer Udgangspunktet for vurdering af den ny metode må være en nulhypotese om at der er samme komplikationshyppighed, 20%.
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereProjekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen
Projekt 9.8 Betigede sadsyligheder og paradokser i sadsylighedsregige Et forløb om betigede sadsyligheder ka itroduceres via et selvstædigt elevarbejde med materialet i projekt 9.7 Testet positiv? samme
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereRESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStatistik Lektion 8. Test for ens varians
Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae
Læs mere