Kogebog til Maple 18

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kogebog til Maple 18"

Transkript

1 Kogebog til Maple 18 Indledning Udgave 6, Henrik Just, Hjørring Gymnasium og HF, august 2014 Kogebogen er ikke en lærebog i Maple, men en samling af korte opskrifter på brug af de faciliteter, der er relevante for at kunne regne skriftlige eksamensopgaver. Maple-indtastninger er markeret med for at fremhæve dem. Du kan finde mere detaljerede vejledninger til Maple på denne webadresse: maplegym.dk. Det er en forudsætning, at du har installeret Hjørringpakken til Maple. Worksheet mode og Document mode Maple kan bruges enten i Worksheet mode eller Document mode. Kogebogen forudsætter at du bruger Worksheet mode, men de fleste funktioner bruges på samme måde i de to tilstande. Document mode giver bedre layoutmuligheder når der fremstilles opgaver i Maple (denne kogebog er f.eks. lavet i Document mode), men anbefales kun til erfarne Maple-brugere. For at Gøres sådan Start et nyt dokument i Worksheet mode Brug Worksheet mode som standard Vælg File - New - Worksheet mode. Vælg Tools - Options, (Mac: Maple 18 - Options), fanebladet Interface. Vælg Default format for new worksheets: Worksheet. Luk med knappen Apply Globally. Herefter kan du blot taste Ctrl-N eller klikke på ikonen for at åbne et nyt dokument i Worksheet mode. Vigtigt at huske i skriftlige opgaver For at skrive en flot og læsevenlig opgave og undgå redigeringsfejl bør du følge disse råd. Husk... Indsæt sidehoved/sidefod med navn, sidetal osv. Fjern stregerne i venstre side (forstyrrer læsningen) Fjern overflødige resultater ved indlæsning af pakker og ved definitioner (forstyrrer læsningen) Fjern tomme beregningsbokse Det gør du sådan Vælg View - Header Footer Vælg View - Show/Hide Content, fjern markering ved Execution Group Boundaries Sæt kolon efter kommandoen, for eksempel Tip: Indtast kommandoen uden kolon først så du ser eventuelle fejlmeldinger. En tom beregningsboks som denne slettes med Ctrl-Delete.

2 (forstyrrer læsningen): Brug korrekt matematisk skrivemåde i forklarende tekst. Indsæt forklarende formel ved at taste F5 eller klikke på Math øverst. Skift tilbage til tekst ved at taste F5 igen eller klikke på Text øverst. Slet alle definitioner i starten af hver opgave (også den første). Genberegn opgaven når du har redigeret i den. For at slette alle definitioner: For at indlæse Hjørring-pakken: For at lave alle beregninger i opgaven igen: Flyt markøren til restart, og tast herefter Enter gentagne gange. Hvad kan der gå galt Problem Decimalkomma Forklaring Husk at Maple bruger punktum som decimaltegn: 3.14 er korrekt, 3,14 virker ikke Gangetegn Skriv altid gangetegn, f.eks. i stedet for. Ekstra mellemrum Undgå ekstra mellemrum ved kommandoer: F.eks. er korrekt, virker ikke Store/små bogstaver Maple skelner altid mellem store og små bogstaver, f.eks. er korrekt, virker ikke En beregning tager lang tid Visse beregninger kan tage meget lang tid. Du kan afbryde en beregning med knappen. Tekst og beregninger I Worksheet mode skifter dokumentet mellem beregninger (kaldes Execution groups) og tekstområder. Beregninger vises med markøren. For at Indsæt et nyt tekstområde efter markøren Indsæt en ny beregning efter markøren Gøres sådan Klik på ikonen Klik på ikonen eller tast Ctrl-J efterfulgt af Ctrl-T eller tast Ctrl-J Slet en beregning eller et tekstområde Udfør en beregning Vælg Edit - Delete Element eller tast Ctrl-Delete Indtast udtrykket og tast Enter.

3 Indsæt et matematisk udtryk i et tekstområde Tast F5 eller klik på Text/Math ikonerne i værktøjslinjen for at skifte mellem almindelig tekst og matematiske udtryk. Tip: Du kan se i værktøjslinjen hvilken tilstand du er i Tip: Matematiske udtryk i tekstområder bliver ikke beregnet, de kan bruges til at forklare dine beregninger og skrive konklusioner. OBS: Dette gælder ikke Document mode, hvor alle formler beregnes hvis du trykker Enter Indtastninger Regneudtryk indtastes i Maple med almindelig matematisk notation. I paletterne kan du finde skabeloner for det, du ikke umiddelbart kan indtaste på tastaturet. I paletten Expression Common Symbols Greek Relational Finder du blandt andet Matematiske udtryk som potenser, brøker, kvadratrødder osv. Konstanterne og Græske bogstaver Ulighedstegn Calculus Differentialkvotienter og integraler Tabellen viser hvordan du kan indtaste visse udtryk uden at bruge paletterne: Eksempel Maple Gangetegn Brøker Potenser Variabel med indeks Indtast 12*17. Maple erstatter automatisk * af gangetegn. Indtast 3/4. Maple erstatter automatisk udtrykket af en brøk. Tip: Hvis tælleren indeholder et sammensat udtryk skal du markere det før du taster /. Indtast 5^7. Maple erstatter automatisk udtrykket af en potens. Indtast x_2. Maple erstatter automatisk _2 af et indeks. Generelle regler om indtastninger: Problem Hvordan flytter man markøren ud af et rodtegn, en eksponent, en brøk osv.? Hvordan håndterer man underforståede gangetegn, f.eks. i udtrykket? Løsning Tryk på højre piletast Du bør altid indtaste gangetegn, ellers risikerer du at Maple misforstår dig. I eksemplet vil Maple forstå indtastningen 2x korrekt, men yz vil blive opfattet som ét symbol. Tast derfor 2*x+ y*z. Matricer Tabeller med tal (den matematiske betegnelse er matricer) indtastes med paletten Matrix.

4 For at gøre dette Indsætte en matrix Indtaste tal i en matrix Tilføje en række Gør du sådan Indtast antal rækker (Rows) og antal søjler (Columns) og klik Insert Matrix. Tryk på tabulatortasten efter hvert tal for at skifte til den næste position. Tast Ctrl-Shift-R Tilføje en søjler Tast Ctrl-Shift-C Tip: Af hensyn til udskrift bør du undgå for mange kolonner, vend i stedet matricen så du får mange rækker. Beregninger Sådan udfører du beregninger i Maple: For at gøre dette Gør du sådan Beregne et udtryk Bruge resultatet fra en anden beregning Tryk Enter når markøren står i udtrykket eller: Højreklik og vælg Evaluate Resultatet vises på en linje for sig med en etiket til højre for resultatet, for eksempel: 5 (1) Vælg Insert - Label eller tast Ctrl-L. Indtast nummeret på det resultat du vil bruge, for eksempel: 23 (2) Genberegn de markerede formler Klik på i værktøjslinjen Genberegn hele dokumentet Klik på i værktøjslinjen Kun Document mode: Beregne et udtryk med resultatet på samme linje som udtrykket Tryk Ctrl-Alt-0 når markøren står i udtrykket eller Højreklik og vælg Evaluate and display inline. I dette tilfælde får resultatet ingen etiket og du kan ikke henvise til det i en anden beregning. Beregninger med decimaltal Maple laver eksakte beregninger hvis alle tal i udtrykket er eksakte. For eksempel = giver et eksakt resultat, mens = 3.56 giver et decimaltal som resultat. Maple-kommandoen evalf omregner til decimaltal Eksempel Maple Omregn brøken til et decimaltal (3)

5 (3) Tip: Du kan også højreklikke på et udtryk og vælge Approximate samt et antal cifre. Eksponential- og logaritmefunktioner Når du indtaster udtryk med eksponential- og logaritmefunktioner er der nogle ting du skal være opmærksom på: Udtryk Maple Ingen specielle regler, kan indtastes som det står Skal indtastes med skabelonen skrive e på tastaturet! eller alternativt som exp(x). Du kan ikke blot Tallet Skal indtastes med skabelonen i paletten Common Symbols eller alternativt som exp(1). Du kan ikke blot skrive e på tastaturet! Formler og ligninger Skrives i Maple. Hvis du blot skriver betyder det! Indtastes ved at bruge skabelonen eller ved at indtaste log_10(x). Ingen specielle regler, kan indtastes som det står ved at indtaste 10^x. Reduktioner af bogstavudtryk Dette afsnit giver en oversigt over kommandoerne til at reducere bogstavudtryk. For at gøre dette Sætte på fælles brøkstreg Gøres sådan (4) (5) Gange parenteser ud Faktorisere et udtryk (6) (7) (8) (9) (10)

6 Samle led med bestemt bogstav Reducere mest muligt (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) Tip: Du kan også højreklikke på et udtryk og vælge reduktionskommandoen. Substitution/udregning for en bestemt værdi Dette afsnit viser hvordan du kan indsætte en bestemt værdi/et bestemt udtryk i stedet for et bogstav. For at lave denne beregning Gør du sådan i Maple Beregn for 28 (15) Indsætte i ligningen (16) Definition af variable Alle udtryk i Maple kan defineres som en variabel. Tabellen giver nogle eksempler på brug af variable: Beregning i Maple Forklaring Definer til at være det samme som (17) (18) (19) Definerer til at være 7. Advarsel: Når du definerer variablen kan du ikke samtidigt have en variabel, der blot hedder. Maple indsætter definitionen af. Denne kommando sletter alle defintioner.

7 (19) OBS: Husk at bruge denne i starten af hver opgave!!! Paletten Variables I paletten Variables kan du se alle variable, der er defineret. For at slette en definition: Højreklik på den relevante linje og vælg Unassign. Løsning af ligninger Ligninger løses med gymsolve-kommandoen eller numsolve-kommandoen. Hvis der er mere end én ubekendt i ligningen skal du angive hvilken, du vil løse for. For at løse dette problem Løse ligningen Gør du sådan i Maple Løsning til ligningen er (20) Løse ligningen Løsninger til ligningen er Løse ligningen intervallet i (21) Da der indgår flere ubekendte størrelser skal du angive hvilken du vil isolere. Løsninger til den trigonometriske ligning i intervallet [0;4*Pi] Ved ligninger med sinus, cosinus og tangens skal du angive et interval for at finde alle løsninger (22) Finde alle positive løsninger til ligningen Løs ligningen Løsning til ligningen i intervallet [0; oo[ Her er den ubekendte angivet foran intervallet, det er valgfrit om man gør det. (23)

8 (23) numerisk Kommandoen numsolve bruges til numerisk løsning Én løsning til ligningen (der kan være flere) er (24) Numerisk løsning finder kun én løsning, du kan angive et gæt på en løsning for at finde andre løsninger: Én løsning til ligningen (der kan være flere) er (25) Her er nogle eksempler på problemer du kan støde ind i ved ligningsløsning Problem Maple giver et uforståeligt resultat Løsninger til ligningen er Maple giver ikke et resultat Warning, Ved ligniner med sin, cos og tan skal du angive et interval for at få alle løsninger! Maple fandt ingen løsninger til ligningen (26) Forklaring/løsning Maple forsøger at angive et eksakt resultat. Du kan tvinge Maple til at regne med decimaltal ved at ændre ét af tallene til et decimaltal. Løsninger til ligningen er (27) Maple kan ikke løse ligningen. Brug numerisk løsning i stedet Én løsning til ligningen (der kan være flere) er (28) Husk at kun finder én løsning selvom der er flere (i dette tilfælde er der dog kun én). Maple giver kun én løsning selvom der er flere Warning, Ved ligniner med sin, cos og tan skal du angive et interval for at få alle løsninger! Løsning til ligningen er (29) Ved ligninger med sin, cos og tan skal du angive et interval Løsninger til den trigonometriske ligning i intervallet [0;2*Pi] (30) Maple giver blot den ubekendte som resultat, f.eks. Løsning til ligningen er (31) Ligningen har uendeligt mange løsninger, alle værdier af er løsning til ligningen

9 (31) Løsning af flere ligninger med flere ubekendte Maples gymsolve-kommando kan også løse flere ligninger med flere ubekendte Eksempel Løs de to ligninger med to ubekendte og Løs de to ligninger med to ubekendte og. Løsning i Maple Løsning til ligningssystemet er (32) OBS: Ligningerne skal i krøllede parenteser! Løsning til ligningssystemet er (33) Resultatet skal forstås sådan, at ligningen har uendeligt mange løsninger: Nemlig alle de talpar, som løser ligningen. Kommandoerne solve og fsolve Kommandoerne gymsolve og numsolve fra Hjørringpakken er lavet så de skriver resultatet på en måde, der er let at læse. Du kan også bruge Maples tilsvarende standardkommander solve og fsolve. Forskellen er forklaret i eksemplerne her: Løsning med Hjørringpakken Løsning til ligningen er Én løsning til ligningen (der kan være flere) er Trigonometri (34) (36) Løsning med standardkommandoer (35) Standardudgaven af solve finder også komplekse løsninger. Resultatet skrives som en liste af løsninger, og du kan ikke angive et interval (37) Resultatet skrives som et tal eller en liste af tal. Trekantsberegninger Tip: Du kan tegne skitser ved at vælge Insert - Canvas. Funktion sinus Eksempel med grader (store bogstaver!) Eksempel med radianer (små bogstaver!)

10 cosinus tangens invers sinus invers cosinus invers tangens Eksempel I trekant er givet siderne, og vinklen. Beregn siden. I trekant er givet siderne, og vinklen. Beregn vinkel. Maple Cosinusrelationerne benyttes Løsning til ligningen i intervallet [0;oo[ Siden er altså Sinusrelationerne benyttes Husk sinusfælden! Der kan være to løsninger mellem 0 og 180, derfor angives dette interval Løsninger til den trigonometriske ligning i intervallet [0;180] (38) (39) (40) (41)

11 Vinkel er altså eller Tip: Husk altid at angive intervallet 0 til 180 når du bestemmer vinkler! Tip: For at indtaste et gradtegn i forklarende tekst gør du sådan: Gradtegnet findes i paletten Punctuation. Vælg View - Palettes - Show Palette - Punctuation for at vise denne. Du kan også bruge tastaturet: I Windows skal du holde Alt-tasten ned og taste 0176 på det numeriske tastatur, på Mac skal du taste Ctrl-Alt-' (apostrof). Funktioner og grafer Definition af funktioner I Maple kan man definere funktioner givet ved en regneforskrift. Eksempel Maple Kommentar (41) Definer funktionen Beregn og 13 (42) (43) Hvis du ikke har indlæst Hjørringpakken fremkommer der en dialogboks hvor du skal klikke OK. Det skyldes at Maple har to måder at forstå dette udtryk. Tip: Skriv kolon (:) efter definitionen som vist for at undgå Maples tekst. Løs ligningen Løsning til ligningen er (44) Da der kun er én ubekendt er det i dette tilfælde nok at skrive. Tegning af grafen for en eller flere funktioner For at tegne grafen for en funktion bruges plot-kommandoen. Eksempel: Tegn grafen for funktion. Efter kommaet angives hvilket x-interval, grafen skal tegnes i. I dette tilfælde har vi

12 valgt intervallet. Skrivemåden er altså plot (funktionsudtryk, uafhængig variabel=mindste værdi..største værdi). Tip: Du kan også angive intervallet for - aksen, f.eks.. Eksempel: Tegn graferne for og samme koordinatsystem i Funktionerne skal altså sættes i krøllede (eller firkantede) parenteser. Du kan tegne grafen for tre eller flere funktioner på samme måde. Når du har tegnet grafen kan du ændre visningen af grafen (marker først grafen ved at klikke på den). Tabellen giver nogle eksempler Eksempel Ændre farve, stregtykkelse mm. for en graf Maple Højreklik på grafen (derved bliver den markeret) og vælg f.eks. Line eller Color i menuen. Ændre koordinatsystemet Klik på for at zoome ind og ud. Klik på for at flytte koordinatsystemet. Klik på for selv at indtaste grænserne på akserne eller ændre andre egenskaber ved akserne. Indsætte gitterlinjer (for at gøre

13 det lettere at aflæse på grafen) Indsætte titel, figurtekst eller forklaring til grafen Indsætte tegninger, markering og andet Klik på for at indsætte gitterlinjer, og på ikonen ved siden af for at ændre egenskaberne. Højreklik på grafen og vælg Title - Add Title for at indsætte en titel (øverst i grafen) Title - Add Caption for at indsætte en figurtekst (nederst i grafen) Legend - Show Legend for at indsætte en forklaring til grafen (mest relevant hvis du har flere grafer) Alle teksterne kan redigeres ved at dobbeltklikke på dem, og de kan også indeholde formeludtryk. Klik på ikonen og vælg Drawing for at skifte få en værktøjslinje til at tegne på grafen. Du kan indsætte linjer, pile, geometriske figurer, tekst og frihåndstegning på grafen. (Værktøjerne gennemgås ikke i denne kogebog). Klik på ikonen og vælg Plot for at vende tilbage til den Du kan plotte punkter i et koordinatsystem på to måder Data som lister Indtast - og -koordinaterne som lister. Tegn derefter punkterne ind normale værktøjslinje. Advarsel/Tip: Hvis du udfører plot-kommandoen (f.eks. ved at trykke på eller ) igen forsvinder nogle af de ændringer du har lavet. For at undgå dette kan du tage en kopi af grafen: Marker grafen og tryk Ctrl-C (eller højreklik og vælg Copy) klik et andet sted i dokumentet og tryk Ctrl-V (eller højreklik og vælg Paste). Den oprindelige graf kan slettes. Plot af punkter

14 Data som matrix Data kan også indtastes i en matrix, enten lodret eller vandret. Du kan have overskrifter på rækkerne/kolonnerne hvis du sætter dem i anførselstegn. Tip: Hvis du har mange data bør du indtaste dem lodret (af hensyn til udskriften). Tegn derefter punkterne ind Regression Lineær regression Maple kan lave regressionsberegninger ud fra et talmateriale, metoderne bliver illustreret med et konkret eksempel (Danmarks olieproduktion): Årstal Olieproduktion i mio. kg.

15 Data som lister Indtast - og -koordinaterne som lister. (Her er -koordinaterne valgt som antal år efter 1980.) Udfør derefter lineær regression Forskrift fundet ved lineær regression: Data som matrix Data kan også indtastes i en matrix, enten lodret eller vandret. Du kan have overskrifter på rækkerne/kolonnerne hvis du sætter dem i anførselstegn. Tip: Hvis du har mange data bør du indtaste dem lodret (af hensyn til udskriften). (45) Forskrift fundet ved lineær regression: Modelfunktionen Til slut kan du definere resultatet som en funktion, hvor du vælger et passende antal cifre (46) Når du har defineret funktionen kan du let besvare spørgsmål til modellen. Eksempel. Giv en prognose for olieproduktionen i år 2010: Da der er gået 30 år beregnes funktionsværdien Dvs. det forventes at olieproduktionen i 2010 vil være ca mio. ton. Eksempel. Hvornår forventes olieproduktionen at være 5000 mio. tons? Ligningen Så dette forventes ca. 22 år efter 1980, altså i år Tegning af grafer Du kan desuden tegne datapunkterne og regressionsgrafen i samme koordinatsystem. Eksempel 1 løses: Eksempel 2: Angiv selv grænser for akserne (47) (48)

16 Andre typer regression På tilsvarende vis kan Maple lave andre typer regression, tabellen viser en oversigt over kommandoerne Lineær regression Eksponentiel regression Eksponentiel regression Potensregression Polynomiumsregression Proportionalitetsregression Du kan erstatte af en anden uafhængig variabel Du kan tilføje den afhængige og uafhængige variabel, eventuelt med et interval Differentialregning Grænseværdier For at beregne grænseværdier skal du åbne paletten Expression og vælge skabelonen. Tabellen viser eksempler på udregning af forskellige typer af grænseværdier Beregning Maple Kommentar Grænseværdi 6 (49) (50)

17 (49) Grænseværdi fra højre Grænseværdi fra venstre skrives tilsvarende med minus efter tallet. 0 (50) Grænseværdi for x gående mod uendelig 3 (51) Grænseværdi for x gående mod minus uendelig skrives tilsvarende som. Common Symbols. Differentialkvotienter Der er flere måder at beregne differentialkvotienter, her er nogle eksempler: Beregning Maple Kommentar Differentier Skabelonen findes i (52) paletten Calculus. Husk at sætte udtrykket i parentes! Differentier (53) (54) Indtast udtrykket, højreklik og vælg Differentiate - x. Differentier Differentier (55) (56) Hvis den variable er kan du bruge "mærke"-notationen. Hvis du først definerer funktionen kan du bruge "mærke"-notation Den sidste metode er lettest at bruge når du skal regne videre på differentialkvotienten! Beregning Beregn tangenthældningen i punktet Bestem de vandrette tangenter til grafen Maple Løsning til ligningen er (57) (58)

18 (58) Der er altså vandret tangent for Løs ligningen Løsning til ligningen er (59) Tangentligning Tangentligningen opstilles let ved hjælp af den generelle tangentligning. Eksempel: Bestem en ligning for tangenten til grafen for i punktet. Først defineres funktionen Integralregning Ubestemt integral (60) Dernæst opstilles tangentligningen ved at indsætte for Tip: Hvis du har tegnet grafen for funktionen kan du tilføje tangenten til grafen ved at trække og slippe tangentligningen til grafen. Eksempel: Bestem alle stamfunktioner til. Beregning i Maple Kommentar Skabelonen findes i paletten Calculus. (61) OBS: Maple beregner én stamfunktion, du skal selv tilføje integrationskonstanten som vist hvis du vil have alle stamfunktioner Eksempel: Bestem den stamfunktion til Beregning i Maple (62) (63) hvis graf går gennem punktet Kommentar Først defineres funktionen f Det ubestemte integral bestemmes (man kan selvfølgelig også skrive forskriften direkte ind som i forrige eksempel) Stamfunktionen defineres ved at henvise til resultatet

19 Løsning til ligningen er (63) (64) (65) (66) Punktet giver at, så integrationskonstanten kan bestemmes ved at løse denne ligning. Og resultatet opskrives Husk restart inden næste opgave! Bestemt integral Eksempel: Beregn det bestemte integral. Beregning i Maple Kommentar Skabelonen findes i paletten Calculus. (67) Tip: Du kan flytte rundt i skabelonen med Tabulator-tasten. Grafisk visning Kommandoen arealplot bruges til at illustrere bestemte integraler Farv et område mellem grafen og -aksen svarende til et bestemt integral Farv området afgrænset af graferne for to funktioner svarende til en forskel mellem to bestemte integraler

20 Deskriptiv statistik Ikke-grupperede data - beregninger ud fra rådata Hvis du kender de oprindelige observationer (rådata) kan du indtaste dem som en liste sådan: Beregning af hyppigheder (68) Beregning af frekvenser (69) Beregning af kumulerede hyppigheder

21 (70) Beregning af kumulerede frekvenser (71) Ikke-grupperede data - beregninger ud fra hyppighedstabel Hvis du allerede kender hyppighederne, så kan du indtaste dine data i en matrix. Overskrifterne er valgfrie, og du kan også skrive tallene i kolonner i stedet for i rækker. Beregning af frekvenser (72) Beregning af kumulerede hyppigheder (73)

22 (73) Beregning af kumulerede frekvenser (74) Ikke-grupperede observationer - beregning af deskriptorer De statistiske deskriptorer kan beregnes på samme måde uanset om du bruger rådata eller en hyppighedstabel Beregning af middeltallet Beregningaf kvartilsættet (inklusiv minimum og maksimum) Minimum: 12 Nedre kvartil: 16 Median: 18 Øvre kvartil: 25 Maksimum: 27 (75) Deskriptiv statistik - grafiske illustrationer Tegning af stolpediagram/pindediagram

23 Tegning af boksplot Tip: Boksplottet bliver meget højt som standard; træk i den nederste kant for at gøre det smallere som vist her. Tip: Hvis du kun kender kvartilsættet indtaster du blot tallene som dine data. For eksempel kan boksplottet her også tegnes med Tegning af boksplot for flere observationssæt Grupperede data - beregninger Grupperede observationer indtastes som en matrix. Det er ligemeget om dine data står lodret som her

24 eller vandret som her: Gruppering af et observationssæt Ikke-grupperede data kan grupperes sådan: (76) Du skal angive et samlet interval, dine observationer ligger indenfor (her 0..10), og du skal angive antallet af intervaller (her 5). Grupperede observationer - beregning af deskriptorer Beregning af middeltallet Beregning af kvartilsættet Nedre kvartil: Median: Øvre kvartil: (77) Grupperede observationer - grafiske illustrationer Tegning af histogram

25 Tegning af sumkurve (hvor kvartilsættet automatisk vises også) Du kan lave andre markeringer på sumkurven, for eksempel

26 Du kan også lave to markeringer, f.eks. Berening af fraktiler 40%-fraktilen beregnes sådan Dvs. 40% af observationerne er 12.5 eller derunder. Statistik - hypotesetest (78) -test for uafhængighed Metoden til lave uafhængighedstest beskrives ved hjælp af et eksempel: Der er givet en række (fiktive) data om Mænds og kvinders tøjforbrug Mindre end 1500 kr. pr. måned Mindst 1500 kr. pr. måned Ialt Kvinder Mænd Ialt Vi ønsker at teste nulhypotesen 5% signifikansniveau. Indtast data i en matrix. : Størrelsen af tøjforbruget er uafhængigt af kønnet. Testen udføres på Indtast dernæst denne kommando, idet signifikansniveauet 5% skrives som decimaltallet Resultat af chi-i-anden test for uafhængighed på signifikansniveau 5%:

27 Den kritiske værdi: Teststørrelsen: p-værdien: = % Nulhypotesen forkastes, da -værdien (testsandsynligheden) er 2.89%. Der er altså statistisk belæg for at sige, at tøjforbruget afhænger af kønnet. Du kan også få vist resultatet grafisk: Figuren viser den kritiske mængde under grafen for tæthedsfunktionen, samt placeringen af teststørrelsen. I dette tilfælde ligger teststørrelsen i den kritiske mængde, så nulhypotesen forkastes. Du kan også få Maple til at beregne de forventede værdier ud fra de observerede værdier: (79) -test for goodness of fit Metoden til at lave goodness of fit-test beskrives ved hjælp af et eksempel. Ved en meningsmåling forud for byrådsvalget i X-købing kommune fordelte svarene sig som vist i tabellen Vil stemme på Liste P Liste Q Liste R Ialt Antal 219 Vi ønsker at teste nulhypotesen : Tilslutningen til partierne er uændret siden sidste byrådsvalg. Testen udføres på 5% signifikansniveau. Ved sidste byrådsvalg var fordelingen som vist i tabellen, hvorfra de forventede antal beregnes

28 Indtast de observerede værdier og de forventede værdier Stemte på Liste P Liste Q Liste R Ialt Procentdel Forventet af 400 = = = 80.0 Indtast så denne kommando, idet signifikansniveauet 5% skrives som decimaltallet Resultat af chi-i-anden test for goodness of fit på signifikansniveau 5%: Den kritiske værdi: Teststørrelsen: 5.08 p-værdien: = % Nulhypotesen accepteres, da -værdien (testsandsynligheden) er 7.89%. Der er altså ikke statistisk belæg for at sige, at tilslutningen til partierne har ændret sig. Du kan også få vist resultatet grafisk: Figuren viser den kritiske mængde under grafen for tæthedsfunktionen, samt placeringen af teststørrelsen. I dette tilfælde ligger teststørrelsen ikke i den kritiske mængde, så nulhypotesen accepteres. Differentialligninger af første orden (kun A-niveau) Indtaste differentialligninger Vigtigt: I en differentialligning kan man skrive såvel den ukendte funktion som de afledede på flere

29 måder. Tabellen viser hvordan du kan indtaste differentialligningen i hvert tilfælde. Eksempel Den ubekendte funktion skrevet med funktionsnotation: Indtastning i Maple Denne differentialligning kan indtastes direkte (80) Den ubekendte funktion skrevet som variabel Denne differentialligning kan indtastes direkte. Husk gangetegn! (81) Læg mærke til at Maple selv skifter til funktionsnotation Du kan ikke bruge denne notation for differentialkvotienten, men skal i stedet skrive sådan: (82) Gøre prøve Eksempel: Undersøg, om funktionen er løsning til differentialligningen. Beregning i Maple (83) Kommentar Definer først funktionen Indtast så differentialligningen: Du skal omskrive den til at bruge funktionsnotation. I dette tilfælde er venstresiden lig højresiden, så funktionen er en løsning. I nogle tilfælde kan det være nødvendigt at reducere resultatet med for eksempel simplify eller expand. Tegning af linjeelementer Derefter skal du bruge funktionen linjeelementer. Du skal angive et x-interval og et -interval, der skal tegnes indenfor. Eksempel: Tegn linjeelementer for differentialligningen, hvor der bruges -intervallet og y-intervallet.

30 Opbygningen af kommandoen er altså dfieldplot(differentialligning,funktion,x-interval,y-interval). Du kan ændre udseendet på samme måde som ved tegning af grafer. Analytiskløsning af differentialligninger Maple kan løse differentialligninger analytisk ved hjælp af kommandoen dsolve. Eksempel Maple Kommentar Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (84) er et tal; normalt ville vi skrive f.eks. Bestem den partikulære løsning til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (85) (86) (87) Skrivemåden når du vil bestemme en partikulær løsning er altså dsolve( { diff.ligning, begyndelsesbetingelse } ) Løsningen defineres som funktion ved at henvise til resultatet. Dette kræver at man først udtager højre side af lighedstegnet (rhs står for right hand side) Vektorregning og analytisk geometri (kun A-niveau) Vektorer i planen Eksempel Maple Kommentar Indtast vektoren Vektorer indtastes med paletten Matrix. Indtast 2 ved Rows, 1 ved Columns og klik

31 Beregn. Insert Vector. Husk at skrive gangetegn mellem tal og vektor! (88) Beregn prikproduktet (89) Prikproduktet skrives med en fed prik, som findes under Common Symbols. Et almindeligt gangetegn giver en fejlmelding. Beregn længden af vektoren Læg mærke til at der bruges dobbelte lodrette streger! (90) eller (91) Bestem determinanten af vektorparret og 10 (92) Bestem tværvektoren til vektoren (93) Bestem vinklen mellem vektorerne og (94) Bestem projektionen af på (95)

32 (99) Vektorpile Du kan sætte vektorpile på vektorer ved at bruge paletten Accents. Hvis den ikke er synlig, så højreklik på en palette og vælg Show Palette - Accents. Eksempel Maple Kommentar Definer vektoren Klik først på derefter højrepil., tast a og Beregn og hvor (96) Vigtigt: og er ikke det samme! Du kan godt definere en vektor uden pil: men så skal den skrives uden pil i alle udregninger. Beregn midtpunktet af punkterne og Stedvektorerne for punkterne bruges. Midtpunktet er altså (6,1). (97) Analytisk plangeometri Eksempel Maple Kommentar Beregn skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne og Løsning til ligningssystemet er (98) Skæringspunktet er altså. Beregn skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne og gymsolve fandt ingen løsninger til ligningssystemet Maple finder ingen løsninger: Forklaringen er at de to linjer er parallelle, og derfor ingen skæringspunkter har.

33 Bestem centrum og radius for cirklen givet ved ligningen Centrum er altså radius er 5. og (99) Tegn cirklen med ligningen samt linjen med ligningen i samme koordinatsystem Bemærk at intervallerne for akserne skal angives. Maple indskrænker -aksen til det relevante. Cirkler kan blive forvrænget pga. forskellige enheder på akserne: Træk i kanten for at korrigere dette. Hvis du kun vil tegne én figur kan du undlade de krøllede parenteser. Vektorer i rummet Vektorregning i rummetforegår på samme måde som i planen, dog erstattes determinant og tværvektor af krydsproduktet. Eksempel Maple Kommentar Beregn krydsproduktet af vektorerne og Symbolet for krydsprodukt findes under Common Symbols (100) Analytisk rumgeometri Eksempel Maple Kommentar Beregn skæringspunktet mellem planen givet ved Skæringspunktet er altså. og linjen givet ved Løsning til ligningssystemet er (101) Beregn skæringspunktet mellem Skæringspunktet er altså

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side. TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning i brug af Gym17-pakken... iv 1 Deskriptiv statistik... 1 1.1 Ikke-grupperede observationssæt... 1 1.2 Grupperede observationssæt... 4 2 Regressioner...

Læs mere

Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde

Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Options: I menuen "Tools" findes "Options". Under fanebladet "Interface" bør man vælge Default format for new worksheets = Worksheet Det bevirker, at man kan skelne

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benyttet cd'en 'Maple 15 - Til danske Gymnasier' eller en af de tilsvarende installere.

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 16, eksamen december 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2015-2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Uddannelse VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg STK Fag og niveau Matematik 0-A

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2015 Sommer VUC Lyngby HF Matematik B Christian Møller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

GeoGebra metoder MatB

GeoGebra metoder MatB GeoGebra metoder MatB Geogebra Metoder version 15c Søren Toft 2015 marts Virum Gymnasium Side 1 af 14 GeoGebra metoder, MatB Her har jeg beskrevet Geogebra version 4.4.43 fra den 8.aug 2014, for matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik B Vicki Jacob

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse 414 Københavns VUC Stx Fag og niveau Matematik A (fra B til A) Lærer(e)

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser 0-B hold, B del. C delen ligger selvstændigt efter B delen, fra side 8. Termin Maj-juni 2016 Institution HF og VUC

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler Maple på C-niveau Umiddelbart kan Maple på C-niveauet virke som en stor mundfuld, men nøjes man med at benytte Maple som et skriveværktøj kombineret med nogle ganske få menukommandoer, vil eleverne kunne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009-juni 2012 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015/2016, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Maple 18 B-Niveau Copyright Knud Nissen & Maplesoft 2014

Maple 18 B-Niveau Copyright Knud Nissen & Maplesoft 2014 Maple 18 B-Niveau Copyright Knud Nissen & Maplesoft 2014 Maple 18 B-Niveau Contents 1 Løsning af ligninger i Maple 1 11 Solve-kommandoen og førstegradsligninger 1 metode1 (højreklik - cmd+klik) 1 metode

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere