Eksponentielle sammenhænge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Eksponentielle sammenhænge"

Transkript

1 Eksponentielle sammenhænge Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge Hvad er en eksponentiel sammenhæng? Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6 3. Konstanter a og b... 2, 7 4. Praktisk brug af regneforskrift... 3, 7 Simple opgaver med isolation af ubekendt i b a =y ) ( y ukendt) ) (b ukendt) ) (a ukendt) ) ( ukendt) ) (både b og y ukendte) ) (fordobling eller halvering) ) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate) Vækst over forskellige perioder...3, Beregne a ud fra ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 )...3, Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge...4, Fordoblingstid og halveringstid (-konstant)...4, Logaritmefunktionen... 4, 12, Potensligninger... 5, 12, Eksempler Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem Variabel-sammenhænge Vi bruger i det følgende: 1

2 : Uafhængig variabel y : Afhængig variabel Grafen for en sammenhæng består af punkter (, y) Sammenhængende - og y-værdier kan skrives i et sildeben : y Nogle sammenhænge kan beskrives ved simple formler. Det gælder f. eks. lineære sammenhænge, eksponentielle sammenhænge, potens-sammenhænge. Vi omtaler nu: Ekspontielle sammenhænge Oversigt og begrundelser (mundtlig eksamen ). 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng? Definition: En eksponentiel sammenhæng beskrives ved en ligning Hvor a og b er positive konstanter. 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst hvert år. F. eks. hvis befolkningstallet vokser med 8 % pr. år (konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr -enhed (f. eks. pr år) med formlen: Se også side 6 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst uddybning 3. Konstanter a og b b : y-akse-skæringen Grafens skæring med y-aksen. Dvs. den y-værdi, der svarer til =0. (Eks.: befolkningsstørrelse i året 0). a: fremskrivningsfaktoren Når stiger med 1, bliver y ganget med a. (Eks.: hver gang der går 1 år, ganges folketallet med 1.05) Se også side 7 3. Konstanter a og b - uddybning ) 2

3 4. Praktisk brug af regneforskrift for eksponentiel sammenhæng y = b a Som eksempel, når regnes i år: : tid y : slutværdi b : begyndelsesværdi : årlig fremskrivningsfaktor 5. Omskrivninger af regneforskriften log y b log( a) b y a 1 y a b Se også side 7 4. Praktisk brug af regneforskrift - uddybning 6. Vækst over forskellige perioder Når stiger med 1, bliver y ganget med a Når stiger med 2, bliver y ganget med a a = a 2 Når stiger med 3, bliver y ganget med a a a = a 3... Når stiger med h, bliver y ganget med a h Dette kan også formuleres således: Når vokser fra 1 til 2 med stykket h = 2 1, vil y ganges med fremskrivningsfaktoren Bemærk: Der er to fremskrivningsfaktorer i spil her. Tænker vi f. eks. på befolkningsvækst er a : fremskrivningsfaktoren for en periode på 1 år F : fremskrivningsfaktoren for en periode på h år Se også side Vækst over forskellige perioder - uddybning 7. Beregne a ud fra ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 ) eller Se også side Beregne a ud fra (1, y1) og (2, y2) uddybning 3

4 8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge Se også side Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge - uddybning Hvis a er større end 1, er y = b a Hvis a er mellem 0 og 1, er y = b a voksende aftagende (- og har en fordoblingskonstant) ( - og har en halveringskonstant) 9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) Definition af Fordoblingstid (når måler tid): Den tid, T, det tager for y at fordobles Sætning: Ved en voksende eksponentiel udvikling, y = b a, afhænger fordoblingstiden, T, kun af konstanten a, og er den samme uanset hvilket tidspunkt 1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også fordoblingskonstanten T kan beregnes af den sædvanlige y = b a, hvor y gives den dobbelte værdi af b. Eller: Formel Definition af Halveringstid (når måler tid): Den tid, T, det tager for y at halveres Sætning: Ved en aftagende eksponentiel udvikling, y = b a, afhænger halveringstiden, T, kun af konstanten a, og er den samme uanset hvilket tidspunkt 1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også halveringskonstanten T kan beregnes af den sædvanlige y = b a, hvor y gives den halve værdi af b. Eller: Formel Omformninger: Omformninger: Se også side Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) - uddybning 10. Logaritmefunktionen Logaritmefunktionen, log(t), er defineret sådan at gælder for alle tal,. Eksempel log(1000) = 3, da Se også side Logaritmefunktionen - uddybning og evt.appendi side Logaritmer 4

5 11. Potensligninger Eksempler: Se også side Potensligninger - uddybning og evt. side Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem ( 12. udgået) 13. Eksempler Renter Befolkningsvækst Prisstigninger Radioaktivt henfald Rapport om medicin i blodet 14. Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem Side 13 5

6 Om uddybningerne nedenfor (begrundelser, beviser, eksempler). Regneudtrykket y er lettest at forstå, når er et helt positivt tal, f. eks. 3:. Regler og formler om eksponentiel vækst gælder imidlertid også, for -værdier (tidsangivelser) som er decimaltal. Det giver mening at spørge: Hvor stor er populationen efter 3.4 år? Og at udregne et svar som Den matematiske betydning af den slags potenser er berørt i appendi: Potenser, rødder og logaritmer. Men i nedenstående beviser og begrundelser vil vi holde os til de anskuelige tilfælde med -værdier, som er positive hele tal eller evt. 0. Havde man bevist potensregnereglerne for alle reelle tal som eksponenter, ville det ikke være svært at bevise sætningerne om eksponentielle sammenhænge helt generelt Vi vil i regler og begrundelser ofte tale om den eksponentielle sammenhæng som én der beskriver en størrelse, y, (f. eks. en population) der vokser med tiden,, hvor regnes i år. Matematisk set er dette naturligvis ingen nødvendighed, resultaterne gælder uanset hvad er for en størrelse, og hvilken enhed den angives i. En del af de 14 punkter i oversigten side 2-5 uddybes nedenfor. Et teknisk appendi til sidst (fra side 13 til 17) rækker ud over hvad der forventes i matematik C. 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst uddybning En population vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst hvert år. F. eks. hvis en kapital vokser med 8 % pr. år (konstanten a udregnes af vækstprocenten p pr -enhed (f. eks. pr år) med formlen: Forklaring: Fra procentregning kender vi fremskrivningsfaktoren F fra y 1 til y 2, som opfylder y 2 = y 1 F Ved eksponentiel vækst bruger man bogstavet a i stedet for F, for den fremskrivningsfaktor, der optræder, når stiger med 1. Hvis måles i år: det som y ganges med, når der går 1 år. I stedet for skriver vi altså, og p er nu den vækstprocent der gælder pr. -enhed, f. eks. den årlige vækstprocent. Eksempel om rentetilskrivning: 1000 kr. indsættes og forrentes med 8 procent om året. Hvor mange penge står på kontoen efter 10 år? Hvert år tillægges 8%, det betyder at beløbet ganges med fremskrivningsfaktoren a = )

7 Vi kan da opstille følgende oversigt (se i øvrigt eksempel om Renters rente i Rentesregning side 3 Efter 0 år: 1000 Efter 1 år: ,08 Efter 2 år: ,08 1,08 Efter 3 år: ,08 1,08 1,08 = ,08 3 Efter 10 år: ,08 1,08 = ,08 10 = 2158,92 Med bogstaver: b a = y 3. Konstanter a og b - uddybning Sætning om b: b er grafens skæring med y-aksen. Dvs. når =0, er y = b. (Eks.: b er befolkningsstørrelse i året 0). Bevis: I regneforskriften for en eksponentiel sammenhæng indsætter vi =0, og husker at a 0 = 1: y = b a y = b a 0 = b 1, altså y = b Sætning om a: Når stiger med 1, bliver y ganget med a. ( fremskrivningsfaktoren ) (Eks.: hver gang der går 1 år, ganges folketallet med 1.05) Begrundelse ud fra definitionen y = b a (med taleksempel for -værdier): Vi ser på eksempler hvor -værdierne er hele tal, her 1 =3 og 2 er 1 større: 2 = 1 +1 = 4 De tilsvarende y-værdier udregnes ved hjælp af forskriften y = b a Altså hvilket viser at y ganges med a, når stiger med 1 4. Praktisk brug af regneforskrift - uddybning y = b a Når regnes i år: : tid y : slutværdi b : begyndelsesværdi : årlig fremskrivningsfaktor 7

8 Simple opgaver med isolation af ubekendt i b a =y 4.1) ( y ukendt) 100 kr. forrentes i 5 år med 12% hvert år. Beregn slutkapitalen. = 5 (år) y =? b = 100 kr. b a y 100 1, ,26 Altså slut-kapital (y) bliver 176,26 kr. 4.2) (b ukendt) På en bankkonto fås 7,5% årligt Om 15 år ønskes et rådighedsbeløb på kr. Hvor meget skal man sætte ind nu? = 15 (år) y = kr. b =? b a b y 15 1, Med solve/løs ligning i f. eks. WordMat / Casio FX 991/ b 8449,15 eller b a y Idet b skal findes bruges omkrivningen y b 8449,15 15 a 1,075 Der skal nu altså indsættes beløbet 8449,15 kr. 4.3) (a ukendt) I en reklame står at en kapital på 6 år øges fra 500 kr. til 800 kr. Hvor stor er den årlige rentefod? = 6 (år) y = 800 kr. b = 500 kr.? p =? b a y a 800 Med solve/løs ligning i f. eks. WordMat / Casio FX 991/ a 1, 0815 eller b a y Idet a skal findes bruges omskrivningen y 800 a 1, 0815 b 500 Procentændringen på en tidsenhed beregnes således: p ( a 1) 100 (1,0815 1) 100 8,15 Den årlige rentefod er altså 8,15% 8

9 4.4) ( ukendt) Verdens befolkning er 6 mia. og vokser med 1,8% om året. Hvornår når den op på 10 mia.? =? y = 10 mia. b = 6 mia b a y 6 1, Med solve/løs ligning i f. eks. WordMat / Casio FX 991/ 28,6 eller b a y Idet skal findes bruges omskrivningen y 10 log log b 6 28,6 log( a) log(1, 018) (Om logaritmer: log er en lommeregner-tast, regneteknisk hjælpemiddel, se evt. kort gennemgang side ) Om 28,6 år når verdens befolkning op på 10 mia., hvis den fortsat vokser med 1,8% hvert år Andre opgavetyper 4.5) (både b og y ukendte) Undertiden kendes hverken y eller b som absolutte tal, men kun forholdet mellem dem, f. eks. udtrykt i procent. Det kan som regel betale sig at sætte b = 100%. Vi giver et eksempel. Eksempel Et beløb blev forrentet med fast rentefod i 6 år, og voksede derved med i alt 60%. Hvad var rentefoden? Vi sætter startværdien til 100% og får så: = 6 (år) b = 100% y = 100% + 60% = 160% a ukendt p =? b a y a (se type 3 ovenfor, a ukendt)... a 1, 0815 p ( a 1) 100 (1, ) 100 8,15 Dvs. rentefoden var 8,15% 4.6) (fordobling eller halvering) Mange opgaver eller problemstillinger handler om hvor lang tid en eksponentielt voksende størrelse er om at fordobles. (Eller halveres, hvis det er en aftagende udvikling). Man taler om fordoblingstid henholdvis halveringstid. Sådanne opgaver kan løses uden at huske andre formler end regneforskriften Øvelse En population voksede med 3% om året. Hvor længe var den om at blive fordoblet? Vi sætter som ovenfor begyndelseværdien b til 100%, og slutværdien til det dobbelte: 200% 9 b a 4.7) (gennemsnitlig rentefod eller vækstrate) Ofte vokser en størrelse uregelmæssigt og med alt andet end samme procent hvert år. Måske ønsker man at vide hvor mange procent den årlige vækst været i gennemsnit. Man har vedtaget at give begrebet gennemsnitlig rentefod eller gennemsnitlig vækstrate en præcis matematisk betydning, som måske er lidt anderledes end man ville forvente. Man definerer den gennemsnitlige vækstrate (rentefod) som svaret på følgende spørgsmål: y

10 Hvis væksten havde været eksponentiel, hvad skulle den konstante vækstrate så være for at komme fra samme udgangsposition til samme slutposition på samme tid? Øvelse I år 2006 kostede en bestemt vare 200 kr, og i 2008 var prisen 242 kr. Hvad var den gennemsnitlige årlige vækstrate? = 2 (år) y = 242 (kr). (slutværdi ifølge faktiske oplysninger) b = 200 (kr.) (udgangsposition) a = ukendt (gennemsnitlig fremskrivningsfaktor) p =? (procenttal for gennemsnitlig vækstrate, beregnes ud fra a) (Svaret er : Den gennemsnitlige vækstrate var 10% ; vis mellemregningerne!) 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning Sætning: Når stiger med 1, bliver y ganget med a Når stiger med 2, bliver y ganget med a a = a 2 Når stiger med 3, bliver y ganget med a a a = a 3... Når stiger med h, bliver y ganget med a h Begrundelse: Antag at y har nået værdien y 1. Se Eksponenitiel begrundelse 3a ovenfor Når herefter stiger med 1 ( der går 1 år), og herefter med endnu 1 og endnu 1, fås følgende værdier af y: y 1 a, y 1 a a, y 1 a a a At y bliver ganget med a h, når stiger med h, kan vi også skrive sådan: y 1 a h = y 2, hvor -stigningen h er 2-1. Om fremskrivningsfaktoren F ved vi: y 1 F = y 2 Og vi ser dels at F = a h. Dels kan vi isolere F af ligningen y 1 F = y 2, og det giver I alt har vi altså 7. Beregne a ud fra ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 ) uddybning ( 1, y 1 ) og ( 2, y 2 ) er to punkter på grafen for y = b a I fortsættelse af ovenstående 6. Vækst over forskellige perioder - uddybning side 10 isolerer vi a i af og får ifølge reglen om løsning af 11. Potensligninger side 5 eller Da h = 2-1 kan dette omskrives: eller 10

11 8. Voksende og aftagende eksponentielle sammenhænge - uddybning Sætning: Hvis a er større end 1, er y = b a voksende Begrundelse: Tænk på en population, der vokser med en årlig fremskrivningsfaktor på 1.05 Hvert år ganges populationen med 1.05, og da dette tal er større end 1 bliver populationen større og større. Sætning: Hvis a er mellem 0 og 1, er y = b a aftagende Tænk på en population, der ændres med en årlig fremskrivningsfaktor på 0.97 Hvert år ganges populationen med 0.97, og da dette tal er mindre end 1 bliver populationen mindre og mindre. 9. Fordoblingstid og halveringstid (-konstant) - uddybning Sætning: Ved en voksende eksponentiel udvikling, y = b a, afhænger fordoblingstiden, T, kun af konstanten a, og er den samme uanset hvilket tidspunkt 1 der bruges som udgangspunkt. Kaldes derfor også fordoblingskonstanten Eksempel: Se på en population, der vokser med 2% om året, det passer omtrent med verdens befolkning. Den årlige fremskrivningsfaktor er Ifølge 6. Vækst over forskellige perioder ovenfor ganges popuiationen med a h i enhver periode af længde h. Lad os nu se på en periode på 35 år. Populationens størrelse ganges i løbet af enhver 35-årsperiode med tallet Det er altså næsten præcist rigtigt at sige at populationen fordobles på 35 år, dvs. at fordoblingstiden er 35 år (eller fordoblingskonstanten ). For den nøjagtige fordoblingskonstant skrives T eller T 2 i stedet for h. Vi har altså, at Reglerne om løsning af potensligninger (side )giver: Begrundelserne vedrørende halveringstid/halveringskonstant følger samme mønster. 11

12 10. Logaritmefunktionen - uddybning Logaritmefunktionen er defineret som "den omvendte funktion til 10 " Det betyder at den "tæller nuller" når den anvendes på meget runde tal: Da 10 3 = 1000 er log(1000) = 3 Da 10 2 = 100 er log(100) = 2 Da 10 1 = 10 er log(10) = 1 Da 10 0 = 1 er log(1) = 0 Da 10-1 = 0,1 er log(0,1) = -1 Da 10-2 = 0,01 er log(0,01) = -2 (Dette princip gælder også for mere skæve tal: Da 10 1,5 = 31,6 er log(31,6) = 1,5 (lille afrundingsfejl)) Man kan også sige at sildebenet vendes: , ,01 0, ,6 100 Vendes på hovedet: 0,01 0, ,6 100 log() ,5 2 Se eventuelt mere i det tekniske appendi Logaritmer side Potensligninger - uddybning 3 12 hhv Eksempel 11.1 I et potensopløftnings-udtryk kan den ubekendte stå "oppe" som eksponent, og så skal den "logges" ned. Se på ligningen Her kan man måske gætte at =3 idet = = Tallet = har nemlig 3 2 = 6 nuller Division af de 6 nuller (i ) med de 2 nuller ( i 100) giver i virkeligheden resultatet =3. Vi skriver således: 100 = log( ) 6 = log(100) 2 = 3 Vi viser nu et lignende eksempel, men med mindre pæne tal: (Eksempel 11.2) 3 = 12 log(12) = log(3) = 2,26 Gør selv prøve ved at udregne om 3 2,26 giver 12 (eller tæt på)! Eksempel 11.3 Hvis den ubekendte står for neden, gøres således: 12

13 (Eksempel 11.3) 5 = = = 1,82 Det lille 5-tal flyttes altså over på den anden side af lighedstegnet og bliver til (1/5) Alternativ skrivemåde (og indtastning): Ofte skrives som 20 (Den femte rod af 20, dvs. det positive tal, som ganget med sig selv 5 gange giver 20). Se evt. mere i nedenstående tekniske appendi Rødder side Teknisk appendi om potenser, rødder, logaritmer og enkeltlogarimisk koordinatsystem Potenser (læses i n te ) hvor n er et positivt, helt tal. Eksempler: Potenser hvor n er 0 eller et negativt, helt tal. Ovenstående tabel fortsættes ved hver gang at dividere med 10 hhv. med Rødder (læses den n te rod af ) hvor n er et positivt, helt tal, t er positiv eller 0 Som illustration forklarer vi den tredje rod af 64, Tallet er det positive tal,, der opfylder (altså ) (Dette kan vi også udtrykke på en måde, der fremtidig hjælper os med ligningsløsning Ligningen har løsningen At alle positive tal har en tredje rod, kan anskueliggøres ved at tegne en graf for funktionen Sildeben: =? Graf: 13

14 14.4. Potenser, hvor er uforkortelig brøk med hele positive tal i tæller og nævner. Som eksempel vælger vi Man definerer dette tal således: ( ) Baggrunden for denne definition er, at de såkaldte potensregneregler derved er opfyldt (så længe er et positivt tal). Dette er dog et langsommeligt arbejde at bevise. (Potensregnereglerne: se side 10 af folkeskole-formelsamling vedlagt her som sidste side) Som specialtilfælde har vi brøker med tæller 1, f.eks. som eksponent. Der gælder og (se 3. Rødder ovenfor): Når t er et postitivt tal, og q 0 gælder (som anført under 11. Potensligninger side 5 ) at ligningen har løsningen Hvordan har man fundet på at definere ( )? Potensregnereglen er let nok at forstå i et taleksempel med hele tal som eksponenter: Hvis reglen også skal gælde for tal som 0.01 og 0.13 som eksponenter, så må der gælde om tallet at, altså hvoraf (se afsnit 3 Rødder på forrige side). Herved ses at er nødt til at være lig hvis potensreglerne skal passe. Med samme begrundelse kan vi fortsætte: ( ) 14

15 14.5. Logaritmer Definition: Tallet ( =) log(t) er defineret som det tal,, der opfylder 10 = t. Grafen for 10 antyder grunden til at sådan et tal kan findes for alle positive værdier af t. Eksempel Tallet = log(100) er det tal, der opfylder 10 = 100, altså tallet 2, idet 10 2 =100. Som man også kan efterprøve på lommeregneren, gælder altså log(100) = 2 Eksempel Tallet (=) log(50) findes på lommeregneren til 1, Vi prøver om det passer med at 10 = 50. Med de anførte decimaler fås (se definition 4 ovenfor) ( ) - det er altså rigtigt nok bortset fra afrundningsfejl. 15

16 16

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 & maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Laila Knudsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING INDHOLDSFORTEGNELSE A Formler og eksemler... side B Procentregning uddbning (fremlæggelse)... side 6 Grundlæggende færdigheder... side 8 b Omregning mellem rocentændring

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2017 Skoleår 2016/2017 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Laila Knudsen mac5 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb 1

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Laila Knudsen 1a ma Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016/Januar 2017 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør-afdelingen Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution VUC Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) 2-årigt hf Hf matematik C Hanne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VestegnenHFVUC Albertslund-afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Herning HF og VUC Hf Fag og niveau Matematik C Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution VestegnenHFVUC Rødovre-afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015/2016, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Januar 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommertermin, skoleår 15-16 Institution HF &VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf-2

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat C

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014/2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC Hf Matematik C Ineta

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2016, skoleåret 15/16 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C PROCENTREGNING INDHOLDSFORTEGNELSE A Formler og eksemler... side B Procentregning uddbning (fremlæggelse)... side 5 Grundlæggende færdigheder... side 7 b Omregning mellem rocentændring

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 VUCHA Hf-2 og Hf-Enkeltfag Matematik-C Anders

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse HF net-undervisning,

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Thomas K. Andersen mac4 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 13/14 Institution Vejle HF og VUC/Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere