Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Transkript

1 Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning a ' nçr ikke er tiden 6 Frtlkninger a ' begrundet 7 Bestem ' med Nspire 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler 9 Advarsler m regler ra ramme 84 0 Eksempler pç brug a regler ra ramme 8 4 Eksempel pç brug a regel 8k 4 Eksempler pç brug a regel 8j med ydre g indre unktin 5 AlÅs tallet r pç igur6 4 AlÅs tallet 'r pç igur6 5 AlÅs läsninger til =t pç igur 7 6 AlÅs läsninger til '=s pç igur 7 7 Aledede unktin 8 8 Er det graen r den aledede?8 Tangent 9 Bestem ligning r tangent9 0 Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat 9 Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat 0 Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning eller ligning der er parallel med tangenten i punktet 0 Bestem tangenthåldning 4 Har graen en tangent med håldningskeicienten a? 5 Bestem 0 ud ra tangents ligning 6 Er linjen tangent? 7 Bestem räringspunkt r tangent 8 Vinkel g tangent 9 Bestem knstant i rskrit4 0 Bestem räringspunkt r tangent gennem givet punkt4 VÄksthastighed VÅksthastighed5 AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt 5 AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt 6 4 AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt 6 5 AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt 7 6 Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt7 7 Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt 7 8 Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt8 9 Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt 8 40 Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed 8 Mntni 4 Vksende g atagende9 4 Hvad er mntnirhld?0 4 Regel r at inde mntnirhld 0 44 Bestem mntnirhld 45 GÄr rede r at er vksende eller at er atagende 46 Bestem k sç er vksende eller sç er atagende 47 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm 48 Bestem mntnirhld r ud ra -gra 49 Bestem mntnirhld r ud ra '-gra

3 Ekstrema 50 Maksimum g minimum4 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst 5 5 Bestem med ' den stärste vårdi a y6 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst 7 54 Bestem med ' den mindste vårdi a y 7 55 Bestem ekstrema7 56 GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum 7 57 Lkalt maksimum g minimum8 58 Bestem lkale ekstrema 9 59 Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til = a 0 60 GÄr rede r at ligning ikke kan have mere end Én läsning0 6 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum 0 Beviser 6 Dierentiabel 6 GrÅnsevÅrdi Kntinuert 64 GrÅnsevÅrdi-rmel r dierentialkvtient 65 Udledning a rmlen r at dierentiere 4 66 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk 4 Tidligere udgaver a dette häte har skitet adresse til: Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4, Ä 07 Karsten Juul /-07 Nyeste versin a dette häte kan dwnlades ra HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk sm plyser at dette häte benyttes, g plyser hld, niveau, lärer g skle

4

5 Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt a At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm Älger graen når P b P kaldes tangentens råringspunkt c Grapunkterne når P ligger nrmalt ikke pç tangenten selv m det ser sçdan ud pç en tegning da stregen ikke er uendelig tynd l P d PÇ iguren er linje l tangent til -gra i P FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient a At t er unktinsvärdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm låses t er lig a r t P a b At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm låses a er lig märke a r l r c r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r d 'r = tangents häldning i -gras punkt med -krdinat r e 'r = väksthastighed r pç tidspunkt r Hvis er tid c g d er vedtägter e g er begrundet i ramme 6 NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca 'r gange dette lille tal til y g I ligninger a typerne m = n g 'm = p gålder: Tallet pç m 's plads er en -vårdi Tallet pç n 's plads er en y-vårdi Tallet pç p 's plads er en tangenthåldning eller våksthastighed h typerne i rammerne 0-, 7-9, 6-9, 6 läses med Älgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten Denne metde indgçr sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

6 Frtlkning a ' vedr gra LÄsningerne til ligningen ' = er = g = 7 Hvad rtåller dette m graen? ' = tangenthåldning se d sç det at läsningerne er = g = 7, rtåller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthåldningen er 4 Frtlkning a ' nçr er tiden Der er et tegnet dyr pç skårmen er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter Det er plyst at 0 GÄr rede r betydningen a dette Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen Du behéver ikke bruge arve Regel se e: 'r er våksthastighed r pç tidspunkt r I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sätningen at héjden i lébet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen er våksthastighed r håjden pç tidspunktet 0 Dvs PÇ tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr minut 5 Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Der er et tegnet dyr pç skårmen er dyrets häjde mçlt i mm, g er långden mçlt i mm Det er plyst at 0 GÄr rede r betydningen a dette Regel Se : Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen Du behéver ikke bruge arve NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca 'r gange dette lille tal til y I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: NÇr längde lig 0, g vi lågger et lille tal til längde, sç lågges ca gange det lille tal til håjde Eksempel Tal i tabel er arundet til decimal Pris kr Agit Ére g 7, 8,0 8,7 9,4 0,0 0,6 Vi ser at g'=0,7 g g'6 = 0,6 6 Frtlkninger a ' begrundet Symblet '0 betyder tangenthåldning, sç '0 = betyder tangenthåldning er, sç pç tangenten gålder: nçr bliver stärre, sç vil y blive stärre ca h l Fr når 0 er gra g tangent nåsten ens, sç * nçr er ca 0 g bliver stärre, sç vil blive ca stärre NÇr er sm i ramme 4, sç versåttes * til Älgende: NÇr tidspunktet er ca 0 minutter g der gçr Ét minut, vil dyrets häjde blive ca mm stärre dvs våksthastigheden er ca mm pr minut NÇr er sm i ramme 5, sç versåttes * til Älgende: NÇr er når 0 g vi lågger et lille tal til, sç bliver der lagt ca gange dette lille tal til y, dvs nçr vi lågger et lille tal til långden, sç lågges gange dette lille tal til häjden h Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

7 7 Bestem ' med Nspire 7a Fr at Ç Nspire til at dierentiere mht bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire 7b Hvis rskrit indehlder cs eller sin: HÄjreklik pç matematikelt, vålg Attributter g såt vinkel til radianer HUSK at skrive dette! 7c Fr at udregne ' skal vi Ärst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a SÇ indsåtter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjälp a en brékstreg d 7d Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg 7e Eksempel Her rtäller vi til Nspire g til läseren at m betyder ' := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler 8a k 0 nçr k er en knstant eks 4 0 g ln 0 8b k k eks g 4 4 8c a aa eks 4 4 g,6, 6 4,6 8d e er et bestemt tal ligesm e,788 e er ikke den sådvanlige e-tast Brug tegn-palet e 8e ln e 8 k k Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin" g ln eks g g g 7 7 eks ln eks 4 ln eks ln ln ln 8h g g 8i g g g 5 4 eks 5 8j g g g 8k Da ln ln g kan vi udregne g med reglen a aa PÇ de t nåste sider er der lere eksempler pç brug a reglerne 8a-8k 7 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

8 9 Advarsler m regler ra ramme 8 a er IKKE a g 4 e er IKKE e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e e g er IKKE er IKKE 4 er IKKE g ln g e e er IKKE er IKKE e 0 Eksempler pç brug a regler ra ramme 8 0a En unktin er givet ved 4 Bestem Her må vi Érst inde ' Dereter indsätter vi r i det dierentierede udtryk Da 4 0b er sç En unktin er givet ved e ln Regel 8g, 8, 8a g 8c Bestem Her må vi Érst inde ' Dereter indsätter vi r i det dierentierede udtryk Da e ln er e ln e ln ln Hera Çr vi e ln e0 e ln e e ln Eksempel pç brug a regel 8k En unktin er givet ved 8 Bestem 4 Her må vi Érst inde ' Dereter indsätter vi 4 r i det dierentierede udtryk Da 8 er Hera Çr vi Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul

9 Eksempler pç brug a regel 8j med ydre g indre unktin 8j NÇr g h er g h h g er ydre unktin g h er indre unktin a En unktin er bestemt ved 4 Bestem SÇdan tänker vi Fr 4 er ydre unktin = 4 g indre unktin = ydre dierentieret = 4 g indre dierentieret = ' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = 4 = 4+ ' = 4+ 8 b En unktin er bestemt ved ln Bestem SÇdan tänker vi FÄrste del a rskriten vil vi dierentiere ved hjålp a reglen m ydre g indre unktin Fr g= ln er ydre unktin = ln g indre unktin = ydre dierentieret = g indre dierentieret = g' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = = Vi skal gsç huske at dierentiere sidste del a rskriten: ' = + MÅske synes du ikke at det er klart at vi kan mskrive til dette Man kan evt rklare det med Élgende mellemregninger: c En unktin er bestemt ved e Bestem SÇdan tänker vi Fr e er ydre unktin = e g indre unktin = ydre dierentieret = e g indre dierentieret = ' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = e = e ' = e + + e Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 5 07 Karsten Juul

10 AlÅs tallet r pç igur AlÅs tallet 4 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal vi inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4 Der stçr, sç y-krdinaten er acit 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4 Se markering pç igur Husk NÇr vi alåser et tal pç en igur, skal vi skrive tallet pç iguren der hvr vi har alåst det Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alåst 4 AlÅs tallet 'r pç igur AlÅs tallet '4 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4 Der stçr, sç tangenthåldningen er acit '4 Vi tegner l = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4 Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l l 's håldningskeicient er sç ' 4 6,7 l 4, Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 6 07 Karsten Juul

11 5 AlÅs läsninger til =t pç igur AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 6, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr y-krdinaten er 6 Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal läse 6 er y-krdinaten til et grapunkt Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6 Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7 Se markeringen pç iguren LÄsningerne til 6 er eller 7 6 AlÅs läsninger til '=s pç igur AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 0, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 0 Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal läse 0 er tangenthåldningen i et grapunkt Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0 Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5 Se markeringen pç iguren LÄsningen til 0 er 5 Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes håldningskeicient Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 7 07 Karsten Juul

12 7 Aledede unktin Funktinen ' kaldes den aledede unktin a Hvis g er den aledede a er g = ' r alle i deinitinsmångden r 8 Er det graen r den aledede? 8 GÄr rede r at g ikke er den aledede a Se igur g = P 's y-krdinat ' = tangenthåldning i Q sç g er psitiv sç ' er negativ Da g ' er g ikke den aledede a g g Q P 8 Figuren viser graen r t unktiner g ' GÄr rede r hvilken gra der härer til hvilken unktin A B Tangenten i P har håldningskeicient 0, sç hvis A var -gra, g B var '-gra, sç skulle y-krdinaten til Q våre 0 Det er den ikke SÇ mç det mvendte gålde: -B er -gra, g A er '-gra- I pgaver a disse typer skal man altid vise at det ene ikke kan väre rigtigt SÅ har man vist at det mdsatte gälder 8 Figuren viser graerne r tre unktiner, g g h GÄr rede r hvilken a unktinerne g g h der er den aledede a P Q A B Se igur Fr < t er -graens tangenthåldning ' negativ Fr < t er g psitiv sç g kan ikke våre den aledede ' -Det er h der er den aledede a -- Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 8 07 Karsten Juul

13 9 Bestem ligning r tangent Tangent Bestem ligning r tangent til gra r i punktet, er plyst Se ramme 8, y g a er räringspunkt g håldning r tangent: er plyst y 4 Se c g ramme 0 Tangent: a Se d g ramme y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y GrÉnne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y Kntrl a tangentligning med Nspire Vi angiver rskriten g -krdinaten, g Çr Nspire til at bestemme tangentligning, g Çr y 0 Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat En unktin er givet ved Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5 Bevarelse y-krdinat = 5 Se c y-krdinat = 5 5 da y-krdinat = 50 Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 9 07 Karsten Juul

14 Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat En unktin er givet ved Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4 Bevarelse Fr unktinen Çr vi: y-krdinat = 4 = 4 Se c = 4 Nspire läser ligningen = 4 mht g Çr = eller = Nspire: De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning eller ligning r linje der er parallel med tangenten i punktet a En unktin er givet ved Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9 Bevarelse Fr unktinen Çr vi: tangenthåldning = 9 ' = 9 Se d 6 = 9 Se ramme 7 g 8 Nspire läser ligningen 6 = 9 mht g Çr = eller = Nspire: NÇr = er y = = = 4 Se c NÇr = er y = = = 0 De punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0 b En unktin g er givet ved g 4 En linje m er giver ved m: y PÇ graen r g ligger et punkt P Tangenten i P er parallel med med linjen m Bestem -krdinaten til P Bevarelse Ligningen r m er pç rmen y a b med a =, sç m's håldningskeicient er Tangenten i P er parallel med m, sç tangenthåldning i P er Fr unktinen g 4 Çr vi tangenthåldning = g' = 4 = = 6 = -krdinaten til P er Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 0 07 Karsten Juul

15 Bestem tangenthåldning En unktin g er givet ved g Bevarelse Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat g tangenthåldning = g' Se d tangenthåldning = + da g Se ramme 7 g 8 tangenthåldning = 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er 4 4 Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved g Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten? g tangenthåldning = g' = Se d + = Se ramme 7 g 8 = Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten 5 Bestem 0 ud ra tangents ligning Bevarelse Linjen l: y 4 er tangent til graen r i punktet med -krdinat 7 Bestem 7 7 er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat 7 Da dette punkt ligger pç l, kan dets y-krdinat bestemmes a l 's ligning: y 47 y 7 Dvs 7 7 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

16 6 Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens Dette er vist pç de tre igurer ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent Linjen er ikke tangent Linjen er tangent Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? l : y 9 7 g Hvis l er tangent til -gra: I räringspunktet skal -graens tangenthåldning l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht g Çr eller våre lig Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat Linjen l er tangent til graen r Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

17 7 Bestem räringspunkt r tangent Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen Bestem krdinatsåttet til räringspunktet l : y 9 7 er tangent til gra r I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht g Çr eller Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt Hvis er y-krdinat pç -gra lig Hvis du skriver i hånden, skal der y-krdinat pç l lig parentes m - eter gangetegn sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt KrdinatsÅttet til räringspunktet er, 8 Vinkel g tangent Linjen l er tangent til graen r 0,875 i punktet P4, Bestem vinklen v mellem vandret g tangenten l Figuren viser graen r 0,875 g tangenten l i punktet P4, g vinklen v mellem vandret g l 0,875 0, 75 sç l 's håldningskeicient er 4 0,75 4,5 A den viste trekant Çr vi tanv =,5 sç v = tan -,5 = 56,099 dvs v 56, Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

18 9 Bestem knstant i rskrit 9a a4 g Bestem a a4 g, sç a 4, sç a 9b Punktet, ligger pç graen r a4 Bestem a Da, ligger pç graen r a4, er a 4, sç a 9c a4 g 8 Bestem a a4 g 8 4a sç 4a 8, dvs a 9d Gra r a4 har i punkt med -krdinat tangenthåldning 8 Bestem a a4 sç 4a Fr = er tangenthåldning 8, sç 4a 8, dvs a 0 Bestem räringspunkt r tangent gennem givet punkt Punktet P0, ligger pç linjen l sm er tangent til graen r Bestem det punkt Q 0, y hvr l rärer graen r 0 P0, ligger pç tangenten l sm rär -gra i Q 0, y 0 I stedet kan vi skrive da er så nem at dierentiere i hvedet Vi skriver ligningen r l udtrykt ved 0 : Vi bruger metden ra ramme 9 Da Q 0, y 0 y ligger pç -graen, er Da Q 0, y er räringspunkt r l, er l 's håldningskeicient a 0 0 l har ligningen dvs y a 0 0 l : y Vi indsätter P 's krdinater i l 's ligning r at bestemme 0 : l 's ligning er sand r, y 0, da P0, ligger pç l : Nspire läser ligningen mht 0 g Çr 0 Nspire: P er IKKE réringspunkt r tangenten! Vi udregner y 0 : Da Q 0, y 0 ligger pç -graen, er l 's räringspunkt er Q, Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter + Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul

19 VÄksthastighed VÅksthastighed Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca 0,5 mm häjere pr dag Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr dag I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca 0,5 mm pr dag dage AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem temperaturen pç tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alåser at r dette punkt er T 4 Dette har vi vist pä skitsen T / C PÇ tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C t / s Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 5 07 Karsten Juul

20 AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g pç l alåser vi punkterne A,5 g B 7, 7 Alt dette har vi vist pä skitsen T / C A l B l 's häldningskeicient er temperaturens väksthastighed pç tidspunktet sekunder l 's håldningskeicient er t / s ,75 Temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder er 0,75 C pr sekund 4 AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alåser at r dette punkt er t Dette har vi vist pä skitsen T / C Temperaturen er 4 C pç tidspunktet sekunder t / s Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 6 07 Karsten Juul

21 5 AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturens våksthastighed er 0,75 C pr sekund T / C Vi tegner en linje m sm har håldningskeicient 0,75, g vi lågger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alåser at r räringspunktet er t Alt dette har vi vist pä iguren VÅksthastigheden r t er l 's håldningskeicient: PÇ tidspunktet sekunder er temperaturens våksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr sekund 0 0,75 5 t / s 6 Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0 dage Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0 7 Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0,0 gram pr dag Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 7 07 Karsten Juul

22 8 Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage vågt = 500 = , = 500 Nspire läser ligning 56, mht g Çr 77, 56 Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage 9 Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr dag 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage Vi Çr hastighed = 4 ' = 4 Se e,0895,0 = 4 Nspire läser ligningen,0895,0 4 PÇ tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0 mht g Çr 64, dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr dag 40 Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er långden pç tidspunktet Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er långden pç tidspunktet = ' = ' = = 6 PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 6 Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet = = = 9 PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 9 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 8 07 Karsten Juul

23 4 Vksende g atagende Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre hele tiden blive mindre 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ét tal Vi taler m at en unktin er vksende i et interval Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 9 07 Karsten Juul

24 4 Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 4 Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4 ** er vksende i intervallet 4 Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ét punkt hvri tangenthåldningen er 0 Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder SÄtning 4a Hvis er psitiv r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet Hvis er negativ r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 0 07 Karsten Juul

25 44 Bestem mntnirhld Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs hvr 0 Nspire läser ligningen 0 mht g Çr eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : 9 sç negativ r sç psitiv r 0 sç psitiv r 0 A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Husk at kntrllere at tallene der agränser intervallerne, er de tal du ik sm lésning til '=0 Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

26 45 GÄr rede r at er vksende eller at er atagende En unktin er givet ved Bestem 4 4 e g gär rede r at er vksende 4 e 4 Da 4 e altid er psitiv, er psitiv, g sç er vksende 4 BemÄrkning: Hvis e 4, er 4e 4 Da e altid er psitiv, er negativ, sç er atagende 46 Bestem k sç er vksende eller sç er atagende En unktin er givet ved k Bestem de vårdier a k r hvilke er vksende k Hvis k 0 er psitiv, da 0, sç er vksende Hvis k 0 er lig 0 nçr er 0, g ellers psitiv, sç er vksende Hvis k 0 er negativ nçr er 0, sç er ikke vksende er vksende netp nçr k 0 BemÄrkning: Hvis k e, er negativ netp nçr k, sç er atagende netp nçr k 0 47 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist pç tallinjen: NÇr : : m n, gçr -graen gennem punktet m, n er atagende i -intervaller hvr er vksende i -intervaller hvr er negativ er psitiv Fr de -vårdier hvr er 0, har graen vandret tangent Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

27 48 Bestem mntnirhld r ud ra -gra Figuren viser graen r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 PÇ iguren har vi vist hvrdan vi alåser at -vårdierne r de lkale ekstrema er g 4 PÇ iguren ser vi at er atagende i intervallet 4 er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet Bestem mntnirhld r ud ra '-gra Figuren viser graen r den aledede unktin ' r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 PÇ iguren har vi vist hvrdan vi alåser at 4, 5 PÇ nåsten samme mçde kan vi alåse r andre vårdier a end 4 Feks ser vi at g at er 0 nçr er eller er psitiv r 4 er negativ r er psitiv r 6 Hera Älger at er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet PÅ -gra er ' lig tangenthäldning PÅ '-gra er ' lig y-krdinat PÅ '-gra er '' lig tangenthäldning er vksende i intervallet 6 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

28 50 Maksimum g minimum Ekstrema g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen Vi ser at maksimum r er Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen Vi ser at minimum r er Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere, eks: har maksimum i 4 g maksimum er har minimum i g minimum er StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv maksimum g minimum I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul

29 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs hvr 0 5 Nspire läser ligningen 0 mht r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9 Vi bestemmer bredden sç häjden er stärst mulig: 5 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr, dvs HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 5 07 Karsten Juul

30 5 Bestem med ' den stärste vårdi a y 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde Bestem den stärst mulige häjde 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs hvr 0 5 Nspire läser ligningen 0 mht r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9 Vi bestemmer den stärst mulige häjde: 5 6 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr Den stärst mulige häjde er 74 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 6 07 Karsten Juul

31 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst Dette gäres sm vist i ramme 5 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst 54 Bestem med ' den mindste vårdi a y Dette gäres sm vist i ramme 5 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst 55 Bestem ekstrema NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum Se ramme 5 g GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Metde GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 44 Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 7 07 Karsten Juul

32 57 Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5 Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5 har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5 har minimum r 70 g minimum er y 5 Undertiden er det skrevet krtere, eks: har minimum i 70 g minimum er 5 har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5 I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 8 07 Karsten Juul

33 58 Bestem lkale ekstrema Bestem de lkale ekstrema r unktinen Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs hvr 8 0 Nspire läser ligningen 8 0 mht g Çr = 6 eller = 6 g deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene Älger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r = har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 0 : 6 ': : vks at vks 4 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 9 07 Karsten Juul

34 59 Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til = a a UndersÄg mht lkale ekstrema b Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til ligningen a a b A undersägelsen i a Älger at graen r er sm vist pç skitsen PÇ skitsen har vi vist hvrdan vi ser at hvis a 4, har a t läsninger g PÇ nåsten samme mçde ser vi: a 0 : 0 läsninger a 0 : läsninger 0 a : 4 läsninger a : läsninger a 89 : läsninger a 89 : läsning 89 a 0 läsninger 60 GÄr rede r at ligning ikke kan have mere end Én läsning Fr unktinen sin cs 5 ser vi pç ligningen c hvr c er et tal GÄr rede r at denne ligning ikke kan have mere end Én läsning sin cs 5, cs g sin kan ikke våre under Da der lågges 5 til, er resultatet psitivt Da er psitiv, er vksende, g kan derr ikke vår lig c r mere end Én vårdi a 0,0 89, Udregnet a Nspire med matematikelt indstillet til radianer 6 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum Funktinen k har lkalt minimum r Bestem k k har lkalt minimum r k Da har lkalt minimum r, Çr vi 0 k 0 k Hvis der i stedet er plyst en -värdi med lkalt maksimum, léses pgaven på samme måde Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 0 07 Karsten Juul

35 Beviser 6 Dierentiabel Graen r har et knåk i punktet med -krdinat Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt Tangenten er en linje der Älger graen når punktet Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent Der gålder altsç at ikke eksisterer Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient g Der gålder altsç at g ikke eksisterer Deinitin 6a Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs hvis eksisterer Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

36 6 GrÅnsevÅrdi Kntinuert 6a u g v stçr r t regneudtryk NÇr vi indsåtter tal r, sç vil der m resultaterne gålde: Fr u: NÇr det indsatte tal er når 7, vil resultatet våre når 5 NÇr det indsatte tal er 7, vil resultatet våre lig 5 Fr v: NÇr det indsatte tal er når 7, vil resultatet våre når 5 NÇr det indsatte tal er 7, vil resultatet våre lig De resultater vi Çr nçr vi indsåtter tal i regneudtrykket, kaldes unktinsvärdier gränne tal Det tal sm resultaterne unktinsvårdierne er når, kaldes gränsevärdi rädt tal Det råde tal er bestemt uden at bruge unktinsvärdien a 7 Vi har kun brugt -värdier när 7!!! Fr u: FunktinsvÅrdi i 7 = grånsevårdi r gçende md 7 SÇ siger vi: u er kntinuert i 7 Fr v: FunktinsvÅrdi i 7 grånsevårdi r gçende md 7 SÇ siger vi: v er ikke kntinuert i 7 Dette kan skrives med symbler: lim u 7 Symblet lim u 7 6b 5 g u 7 5 lim v 5 7 låses grånsevårdi r gçende md 7 a u g v 7 Hvis et regneudtryk u er pbygget a sådvanlige symbler ikke lim, sç gålder: Regneudtrykket er kntinuert i ethvert tal hvr det er deineret dvs i -vårdier hvr det kan udregnes 6 6c Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0 Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç :,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6 Vi siger: gränsevärdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 : 7,5 7, 7,04 7 u: 5,5 5,04 5,006 5 : 7,5 7, 7,04 7 v: 5,5 5,04 5,006 6d Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende metde: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 lim lim da 6 r = da er kntinuert i = se 6b = 6 6e lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en kntant 6 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 6g Udregning a grånsevårdi med Nspire PÅ Nspire kan vi välge gränsevärdi-skabelnen på skabelnpaletten e lim udregnet a Nspire Skabelnen ser sådan ud: Vi behéver ikke skrive nget 0 i det tredje elt Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

37 64 GrÅnsevÅrdi-rmlen r dierentialkvtient Hvis er dierentiabel i, sç gålder 64a lim Dette er gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient Begrundelse r 64a: y t m t er tangent til -graen ' = t 's håldk Dette er deinitinen pç dierentialkvtient Vi tegner en linje m der skårer -graen i punkterne med -krdinater g y-krdinater til disse punkter er g SÇ m 's håldk = NÇr nårmer sig til vil m 's håldk nårme sig til t 's håldk, sç iälge rmlen a y y t 's håldk = lim m ' s håldk = lim Vi har nu indset at bçde venstre g häjre side i ligningen i 64a er lig t 's håldk, sç ligningen gålder Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

38 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul 65 Udledning a rmlen r at dierentiere NÇr er lim iälge gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient 64a lim lim iälge en a kvadratsåtningerne lim vi har rkrtet med da + er kntinuert Vi har nu undet rem til Älgende: 65a: 66 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk NÇr h g er lim iälge gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient 64a lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iälge 6 h g gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient 64a er brugt t gange Vi har nu undet rem til Älgende: 66a: h g h g

39

40 Stikrdsregister aledede unktin 8 atagende9, 0, dierentiabel dierentialkvtient,, dierentialkvtient pç gra 6 dierentialkvtient, udledning4 dierentialkvtients rskrit dierentialkvtients rtlkning dierentiatinsregler ekstrema 4, 7 ekstremum4 rtlkning a dierentialkvtient unktinsvårdi unktinsvårdi pç gra 6 gra grånsevårdi, håldningskeicient9,, 6, 7, knstant i rskrit, bestem 4 lkale ekstrema 8, 9 lkalt ekstremum0 lkalt maksimum8, 9, 0 lkalt minimum8, 9, 0 läs ligning ud ra gra7 läsninger, antal0 maksimum4, 7 mindstevårdi4, 7 minimum4, 7 mntnirhld 0,, Nspire, 9, 0,, 4, 7, 8,, 6, 9, 0, räringspunkt,,, 4 stärstevårdi4, 5, 6 tangent, 9,,, 5, tangent, vinkel tangenthåldning0,,, 4 vinkel g tangent vksende 9, 0, våksthastighed5, 6, 7, 8