Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul"

Transkript

1 Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning a ' nçr ikke er tiden 6 Frtlkninger a ' begrundet 7 Bestem ' med Nspire 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler 9 Advarsler m regler ra ramme 84 0 Eksempler pç brug a regler ra ramme 8 4 Eksempel pç brug a regel 8k 4 Eksempler pç brug a regel 8j med ydre g indre unktin 5 AlÅs tallet r pç igur6 4 AlÅs tallet 'r pç igur6 5 AlÅs läsninger til =t pç igur 7 6 AlÅs läsninger til '=s pç igur 7 7 Aledede unktin 8 8 Er det graen r den aledede?8 Tangent 9 Bestem ligning r tangent9 0 Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat 9 Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat 0 Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning eller ligning der er parallel med tangenten i punktet 0 Bestem tangenthåldning 4 Har graen en tangent med håldningskeicienten a? 5 Bestem 0 ud ra tangents ligning 6 Er linjen tangent? 7 Bestem räringspunkt r tangent 8 Vinkel g tangent 9 Bestem knstant i rskrit4 0 Bestem räringspunkt r tangent gennem givet punkt4 VÄksthastighed VÅksthastighed5 AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt 5 AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt 6 4 AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt 6 5 AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt 7 6 Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt7 7 Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt 7 8 Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt8 9 Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt 8 40 Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed 8 Mntni 4 Vksende g atagende9 4 Hvad er mntnirhld?0 4 Regel r at inde mntnirhld 0 44 Bestem mntnirhld 45 GÄr rede r at er vksende eller at er atagende 46 Bestem k sç er vksende eller sç er atagende 47 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm 48 Bestem mntnirhld r ud ra -gra 49 Bestem mntnirhld r ud ra '-gra

3 Ekstrema 50 Maksimum g minimum4 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst 5 5 Bestem med ' den stärste vårdi a y6 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst 7 54 Bestem med ' den mindste vårdi a y 7 55 Bestem ekstrema7 56 GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum 7 57 Lkalt maksimum g minimum8 58 Bestem lkale ekstrema 9 59 Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til = a 0 60 GÄr rede r at ligning ikke kan have mere end Én läsning0 6 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum 0 Beviser 6 Dierentiabel 6 GrÅnsevÅrdi Kntinuert 64 GrÅnsevÅrdi-rmel r dierentialkvtient 65 Udledning a rmlen r at dierentiere 4 66 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk 4 Tidligere udgaver a dette häte har skitet adresse til: Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4, Ä 07 Karsten Juul /-07 Nyeste versin a dette häte kan dwnlades ra HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til sm plyser at dette häte benyttes, g plyser hld, niveau, lärer g skle

4

5 Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt a At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm Älger graen når P b P kaldes tangentens råringspunkt c Grapunkterne når P ligger nrmalt ikke pç tangenten selv m det ser sçdan ud pç en tegning da stregen ikke er uendelig tynd l P d PÇ iguren er linje l tangent til -gra i P FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient a At t er unktinsvärdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm låses t er lig a r t P a b At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm låses a er lig märke a r l r c r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r d 'r = tangents häldning i -gras punkt med -krdinat r e 'r = väksthastighed r pç tidspunkt r Hvis er tid c g d er vedtägter e g er begrundet i ramme 6 NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca 'r gange dette lille tal til y g I ligninger a typerne m = n g 'm = p gålder: Tallet pç m 's plads er en -vårdi Tallet pç n 's plads er en y-vårdi Tallet pç p 's plads er en tangenthåldning eller våksthastighed h typerne i rammerne 0-, 7-9, 6-9, 6 läses med Älgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten Denne metde indgçr sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

6 Frtlkning a ' vedr gra LÄsningerne til ligningen ' = er = g = 7 Hvad rtåller dette m graen? ' = tangenthåldning se d sç det at läsningerne er = g = 7, rtåller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthåldningen er 4 Frtlkning a ' nçr er tiden Der er et tegnet dyr pç skårmen er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter Det er plyst at 0 GÄr rede r betydningen a dette Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen Du behéver ikke bruge arve Regel se e: 'r er våksthastighed r pç tidspunkt r I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sätningen at héjden i lébet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen er våksthastighed r håjden pç tidspunktet 0 Dvs PÇ tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr minut 5 Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Der er et tegnet dyr pç skårmen er dyrets häjde mçlt i mm, g er långden mçlt i mm Det er plyst at 0 GÄr rede r betydningen a dette Regel Se : Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen Du behéver ikke bruge arve NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca 'r gange dette lille tal til y I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: NÇr längde lig 0, g vi lågger et lille tal til längde, sç lågges ca gange det lille tal til håjde Eksempel Tal i tabel er arundet til decimal Pris kr Agit Ére g 7, 8,0 8,7 9,4 0,0 0,6 Vi ser at g'=0,7 g g'6 = 0,6 6 Frtlkninger a ' begrundet Symblet '0 betyder tangenthåldning, sç '0 = betyder tangenthåldning er, sç pç tangenten gålder: nçr bliver stärre, sç vil y blive stärre ca h l Fr når 0 er gra g tangent nåsten ens, sç * nçr er ca 0 g bliver stärre, sç vil blive ca stärre NÇr er sm i ramme 4, sç versåttes * til Älgende: NÇr tidspunktet er ca 0 minutter g der gçr Ét minut, vil dyrets häjde blive ca mm stärre dvs våksthastigheden er ca mm pr minut NÇr er sm i ramme 5, sç versåttes * til Älgende: NÇr er når 0 g vi lågger et lille tal til, sç bliver der lagt ca gange dette lille tal til y, dvs nçr vi lågger et lille tal til långden, sç lågges gange dette lille tal til häjden h Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

7 7 Bestem ' med Nspire 7a Fr at Ç Nspire til at dierentiere mht bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire 7b Hvis rskrit indehlder cs eller sin: HÄjreklik pç matematikelt, vålg Attributter g såt vinkel til radianer HUSK at skrive dette! 7c Fr at udregne ' skal vi Ärst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a SÇ indsåtter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjälp a en brékstreg d 7d Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg 7e Eksempel Her rtäller vi til Nspire g til läseren at m betyder ' := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler 8a k 0 nçr k er en knstant eks 4 0 g ln 0 8b k k eks g 4 4 8c a aa eks 4 4 g,6, 6 4,6 8d e er et bestemt tal ligesm e,788 e er ikke den sådvanlige e-tast Brug tegn-palet e 8e ln e 8 k k Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin" g ln eks g g g 7 7 eks ln eks 4 ln eks ln ln ln 8h g g 8i g g g 5 4 eks 5 8j g g g 8k Da ln ln g kan vi udregne g med reglen a aa PÇ de t nåste sider er der lere eksempler pç brug a reglerne 8a-8k 7 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

8 9 Advarsler m regler ra ramme 8 a er IKKE a g 4 e er IKKE e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e e g er IKKE er IKKE 4 er IKKE g ln g e e er IKKE er IKKE e 0 Eksempler pç brug a regler ra ramme 8 0a En unktin er givet ved 4 Bestem Her må vi Érst inde ' Dereter indsätter vi r i det dierentierede udtryk Da 4 0b er sç En unktin er givet ved e ln Regel 8g, 8, 8a g 8c Bestem Her må vi Érst inde ' Dereter indsätter vi r i det dierentierede udtryk Da e ln er e ln e ln ln Hera Çr vi e ln e0 e ln e e ln Eksempel pç brug a regel 8k En unktin er givet ved 8 Bestem 4 Her må vi Érst inde ' Dereter indsätter vi 4 r i det dierentierede udtryk Da 8 er Hera Çr vi Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul

9 Eksempler pç brug a regel 8j med ydre g indre unktin 8j NÇr g h er g h h g er ydre unktin g h er indre unktin a En unktin er bestemt ved 4 Bestem SÇdan tänker vi Fr 4 er ydre unktin = 4 g indre unktin = ydre dierentieret = 4 g indre dierentieret = ' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = 4 = 4+ ' = 4+ 8 b En unktin er bestemt ved ln Bestem SÇdan tänker vi FÄrste del a rskriten vil vi dierentiere ved hjålp a reglen m ydre g indre unktin Fr g= ln er ydre unktin = ln g indre unktin = ydre dierentieret = g indre dierentieret = g' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = = Vi skal gsç huske at dierentiere sidste del a rskriten: ' = + MÅske synes du ikke at det er klart at vi kan mskrive til dette Man kan evt rklare det med Élgende mellemregninger: c En unktin er bestemt ved e Bestem SÇdan tänker vi Fr e er ydre unktin = e g indre unktin = ydre dierentieret = e g indre dierentieret = ' = ydre dierentieret gange indre dierentieret = e = e ' = e + + e Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 5 07 Karsten Juul

10 AlÅs tallet r pç igur AlÅs tallet 4 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal vi inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4 Der stçr, sç y-krdinaten er acit 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4 Se markering pç igur Husk NÇr vi alåser et tal pç en igur, skal vi skrive tallet pç iguren der hvr vi har alåst det Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alåst 4 AlÅs tallet 'r pç igur AlÅs tallet '4 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4 Der stçr, sç tangenthåldningen er acit '4 Vi tegner l = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4 Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l l 's håldningskeicient er sç ' 4 6,7 l 4, Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 6 07 Karsten Juul

11 5 AlÅs läsninger til =t pç igur AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 6, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr y-krdinaten er 6 Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal läse 6 er y-krdinaten til et grapunkt Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6 Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7 Se markeringen pç iguren LÄsningerne til 6 er eller 7 6 AlÅs läsninger til '=s pç igur AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 0, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 0 Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal läse 0 er tangenthåldningen i et grapunkt Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0 Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5 Se markeringen pç iguren LÄsningen til 0 er 5 Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes håldningskeicient Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 7 07 Karsten Juul

12 7 Aledede unktin Funktinen ' kaldes den aledede unktin a Hvis g er den aledede a er g = ' r alle i deinitinsmångden r 8 Er det graen r den aledede? 8 GÄr rede r at g ikke er den aledede a Se igur g = P 's y-krdinat ' = tangenthåldning i Q sç g er psitiv sç ' er negativ Da g ' er g ikke den aledede a g g Q P 8 Figuren viser graen r t unktiner g ' GÄr rede r hvilken gra der härer til hvilken unktin A B Tangenten i P har håldningskeicient 0, sç hvis A var -gra, g B var '-gra, sç skulle y-krdinaten til Q våre 0 Det er den ikke SÇ mç det mvendte gålde: -B er -gra, g A er '-gra- I pgaver a disse typer skal man altid vise at det ene ikke kan väre rigtigt SÅ har man vist at det mdsatte gälder 8 Figuren viser graerne r tre unktiner, g g h GÄr rede r hvilken a unktinerne g g h der er den aledede a P Q A B Se igur Fr < t er -graens tangenthåldning ' negativ Fr < t er g psitiv sç g kan ikke våre den aledede ' -Det er h der er den aledede a -- Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 8 07 Karsten Juul

13 9 Bestem ligning r tangent Tangent Bestem ligning r tangent til gra r i punktet, er plyst Se ramme 8, y g a er räringspunkt g håldning r tangent: er plyst y 4 Se c g ramme 0 Tangent: a Se d g ramme y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y GrÉnne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y Kntrl a tangentligning med Nspire Vi angiver rskriten g -krdinaten, g Çr Nspire til at bestemme tangentligning, g Çr y 0 Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat En unktin er givet ved Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5 Bevarelse y-krdinat = 5 Se c y-krdinat = 5 5 da y-krdinat = 50 Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 9 07 Karsten Juul

14 Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat En unktin er givet ved Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4 Bevarelse Fr unktinen Çr vi: y-krdinat = 4 = 4 Se c = 4 Nspire läser ligningen = 4 mht g Çr = eller = Nspire: De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning eller ligning r linje der er parallel med tangenten i punktet a En unktin er givet ved Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9 Bevarelse Fr unktinen Çr vi: tangenthåldning = 9 ' = 9 Se d 6 = 9 Se ramme 7 g 8 Nspire läser ligningen 6 = 9 mht g Çr = eller = Nspire: NÇr = er y = = = 4 Se c NÇr = er y = = = 0 De punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0 b En unktin g er givet ved g 4 En linje m er giver ved m: y PÇ graen r g ligger et punkt P Tangenten i P er parallel med med linjen m Bestem -krdinaten til P Bevarelse Ligningen r m er pç rmen y a b med a =, sç m's håldningskeicient er Tangenten i P er parallel med m, sç tangenthåldning i P er Fr unktinen g 4 Çr vi tangenthåldning = g' = 4 = = 6 = -krdinaten til P er Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 0 07 Karsten Juul

15 Bestem tangenthåldning En unktin g er givet ved g Bevarelse Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat g tangenthåldning = g' Se d tangenthåldning = + da g Se ramme 7 g 8 tangenthåldning = 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er 4 4 Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved g Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten? g tangenthåldning = g' = Se d + = Se ramme 7 g 8 = Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten 5 Bestem 0 ud ra tangents ligning Bevarelse Linjen l: y 4 er tangent til graen r i punktet med -krdinat 7 Bestem 7 7 er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat 7 Da dette punkt ligger pç l, kan dets y-krdinat bestemmes a l 's ligning: y 47 y 7 Dvs 7 7 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

16 6 Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens Dette er vist pç de tre igurer ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent Linjen er ikke tangent Linjen er tangent Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? l : y 9 7 g Hvis l er tangent til -gra: I räringspunktet skal -graens tangenthåldning l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht g Çr eller våre lig Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat Linjen l er tangent til graen r Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

17 7 Bestem räringspunkt r tangent Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen Bestem krdinatsåttet til räringspunktet l : y 9 7 er tangent til gra r I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht g Çr eller Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt Hvis er y-krdinat pç -gra lig Hvis du skriver i hånden, skal der y-krdinat pç l lig parentes m - eter gangetegn sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt KrdinatsÅttet til räringspunktet er, 8 Vinkel g tangent Linjen l er tangent til graen r 0,875 i punktet P4, Bestem vinklen v mellem vandret g tangenten l Figuren viser graen r 0,875 g tangenten l i punktet P4, g vinklen v mellem vandret g l 0,875 0, 75 sç l 's håldningskeicient er 4 0,75 4,5 A den viste trekant Çr vi tanv =,5 sç v = tan -,5 = 56,099 dvs v 56, Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

18 9 Bestem knstant i rskrit 9a a4 g Bestem a a4 g, sç a 4, sç a 9b Punktet, ligger pç graen r a4 Bestem a Da, ligger pç graen r a4, er a 4, sç a 9c a4 g 8 Bestem a a4 g 8 4a sç 4a 8, dvs a 9d Gra r a4 har i punkt med -krdinat tangenthåldning 8 Bestem a a4 sç 4a Fr = er tangenthåldning 8, sç 4a 8, dvs a 0 Bestem räringspunkt r tangent gennem givet punkt Punktet P0, ligger pç linjen l sm er tangent til graen r Bestem det punkt Q 0, y hvr l rärer graen r 0 P0, ligger pç tangenten l sm rär -gra i Q 0, y 0 I stedet kan vi skrive da er så nem at dierentiere i hvedet Vi skriver ligningen r l udtrykt ved 0 : Vi bruger metden ra ramme 9 Da Q 0, y 0 y ligger pç -graen, er Da Q 0, y er räringspunkt r l, er l 's håldningskeicient a 0 0 l har ligningen dvs y a 0 0 l : y Vi indsätter P 's krdinater i l 's ligning r at bestemme 0 : l 's ligning er sand r, y 0, da P0, ligger pç l : Nspire läser ligningen mht 0 g Çr 0 Nspire: P er IKKE réringspunkt r tangenten! Vi udregner y 0 : Da Q 0, y 0 ligger pç -graen, er l 's räringspunkt er Q, Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter + Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul

19 VÄksthastighed VÅksthastighed Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca 0,5 mm häjere pr dag Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr dag I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca 0,5 mm pr dag dage AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem temperaturen pç tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alåser at r dette punkt er T 4 Dette har vi vist pä skitsen T / C PÇ tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C t / s Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 5 07 Karsten Juul

20 AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g pç l alåser vi punkterne A,5 g B 7, 7 Alt dette har vi vist pä skitsen T / C A l B l 's häldningskeicient er temperaturens väksthastighed pç tidspunktet sekunder l 's håldningskeicient er t / s ,75 Temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder er 0,75 C pr sekund 4 AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alåser at r dette punkt er t Dette har vi vist pä skitsen T / C Temperaturen er 4 C pç tidspunktet sekunder t / s Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 6 07 Karsten Juul

21 5 AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturens våksthastighed er 0,75 C pr sekund T / C Vi tegner en linje m sm har håldningskeicient 0,75, g vi lågger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alåser at r räringspunktet er t Alt dette har vi vist pä iguren VÅksthastigheden r t er l 's håldningskeicient: PÇ tidspunktet sekunder er temperaturens våksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr sekund 0 0,75 5 t / s 6 Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0 dage Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0 7 Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0,0 gram pr dag Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 7 07 Karsten Juul

22 8 Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage vågt = 500 = , = 500 Nspire läser ligning 56, mht g Çr 77, 56 Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage 9 Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr dag 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage Vi Çr hastighed = 4 ' = 4 Se e,0895,0 = 4 Nspire läser ligningen,0895,0 4 PÇ tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0 mht g Çr 64, dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr dag 40 Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er långden pç tidspunktet Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er långden pç tidspunktet = ' = ' = = 6 PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 6 Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet = = = 9 PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 9 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 8 07 Karsten Juul

23 4 Vksende g atagende Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre hele tiden blive mindre 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ét tal Vi taler m at en unktin er vksende i et interval Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 9 07 Karsten Juul

24 4 Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 4 Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4 ** er vksende i intervallet 4 Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ét punkt hvri tangenthåldningen er 0 Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder SÄtning 4a Hvis er psitiv r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet Hvis er negativ r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 0 07 Karsten Juul

25 44 Bestem mntnirhld Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs hvr 0 Nspire läser ligningen 0 mht g Çr eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : 9 sç negativ r sç psitiv r 0 sç psitiv r 0 A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Husk at kntrllere at tallene der agränser intervallerne, er de tal du ik sm lésning til '=0 Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

26 45 GÄr rede r at er vksende eller at er atagende En unktin er givet ved Bestem 4 4 e g gär rede r at er vksende 4 e 4 Da 4 e altid er psitiv, er psitiv, g sç er vksende 4 BemÄrkning: Hvis e 4, er 4e 4 Da e altid er psitiv, er negativ, sç er atagende 46 Bestem k sç er vksende eller sç er atagende En unktin er givet ved k Bestem de vårdier a k r hvilke er vksende k Hvis k 0 er psitiv, da 0, sç er vksende Hvis k 0 er lig 0 nçr er 0, g ellers psitiv, sç er vksende Hvis k 0 er negativ nçr er 0, sç er ikke vksende er vksende netp nçr k 0 BemÄrkning: Hvis k e, er negativ netp nçr k, sç er atagende netp nçr k 0 47 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist pç tallinjen: NÇr : : m n, gçr -graen gennem punktet m, n er atagende i -intervaller hvr er vksende i -intervaller hvr er negativ er psitiv Fr de -vårdier hvr er 0, har graen vandret tangent Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

27 48 Bestem mntnirhld r ud ra -gra Figuren viser graen r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 PÇ iguren har vi vist hvrdan vi alåser at -vårdierne r de lkale ekstrema er g 4 PÇ iguren ser vi at er atagende i intervallet 4 er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet Bestem mntnirhld r ud ra '-gra Figuren viser graen r den aledede unktin ' r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 PÇ iguren har vi vist hvrdan vi alåser at 4, 5 PÇ nåsten samme mçde kan vi alåse r andre vårdier a end 4 Feks ser vi at g at er 0 nçr er eller er psitiv r 4 er negativ r er psitiv r 6 Hera Älger at er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet PÅ -gra er ' lig tangenthäldning PÅ '-gra er ' lig y-krdinat PÅ '-gra er '' lig tangenthäldning er vksende i intervallet 6 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

28 50 Maksimum g minimum Ekstrema g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen Vi ser at maksimum r er Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen Vi ser at minimum r er Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere, eks: har maksimum i 4 g maksimum er har minimum i g minimum er StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv maksimum g minimum I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul

29 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs hvr 0 5 Nspire läser ligningen 0 mht r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9 Vi bestemmer bredden sç häjden er stärst mulig: 5 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr, dvs HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 5 07 Karsten Juul

30 5 Bestem med ' den stärste vårdi a y 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde Bestem den stärst mulige häjde 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs hvr 0 5 Nspire läser ligningen 0 mht r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9 Vi bestemmer den stärst mulige häjde: 5 6 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr Den stärst mulige häjde er 74 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 6 07 Karsten Juul

31 5 Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst Dette gäres sm vist i ramme 5 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst 54 Bestem med ' den mindste vårdi a y Dette gäres sm vist i ramme 5 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst 55 Bestem ekstrema NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum Se ramme 5 g GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Metde GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 44 Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 7 07 Karsten Juul

32 57 Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5 Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5 har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5 har minimum r 70 g minimum er y 5 Undertiden er det skrevet krtere, eks: har minimum i 70 g minimum er 5 har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5 I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 8 07 Karsten Juul

33 58 Bestem lkale ekstrema Bestem de lkale ekstrema r unktinen Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs hvr 8 0 Nspire läser ligningen 8 0 mht g Çr = 6 eller = 6 g deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene Älger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r = har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 0 : 6 ': : vks at vks 4 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 9 07 Karsten Juul

34 59 Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til = a a UndersÄg mht lkale ekstrema b Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til ligningen a a b A undersägelsen i a Älger at graen r er sm vist pç skitsen PÇ skitsen har vi vist hvrdan vi ser at hvis a 4, har a t läsninger g PÇ nåsten samme mçde ser vi: a 0 : 0 läsninger a 0 : läsninger 0 a : 4 läsninger a : läsninger a 89 : läsninger a 89 : läsning 89 a 0 läsninger 60 GÄr rede r at ligning ikke kan have mere end Én läsning Fr unktinen sin cs 5 ser vi pç ligningen c hvr c er et tal GÄr rede r at denne ligning ikke kan have mere end Én läsning sin cs 5, cs g sin kan ikke våre under Da der lågges 5 til, er resultatet psitivt Da er psitiv, er vksende, g kan derr ikke vår lig c r mere end Én vårdi a 0,0 89, Udregnet a Nspire med matematikelt indstillet til radianer 6 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum Funktinen k har lkalt minimum r Bestem k k har lkalt minimum r k Da har lkalt minimum r, Çr vi 0 k 0 k Hvis der i stedet er plyst en -värdi med lkalt maksimum, léses pgaven på samme måde Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 0 07 Karsten Juul

35 Beviser 6 Dierentiabel Graen r har et knåk i punktet med -krdinat Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt Tangenten er en linje der Älger graen når punktet Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent Der gålder altsç at ikke eksisterer Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient g Der gålder altsç at g ikke eksisterer Deinitin 6a Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs hvis eksisterer Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

36 6 GrÅnsevÅrdi Kntinuert 6a u g v stçr r t regneudtryk NÇr vi indsåtter tal r, sç vil der m resultaterne gålde: Fr u: NÇr det indsatte tal er når 7, vil resultatet våre når 5 NÇr det indsatte tal er 7, vil resultatet våre lig 5 Fr v: NÇr det indsatte tal er når 7, vil resultatet våre når 5 NÇr det indsatte tal er 7, vil resultatet våre lig De resultater vi Çr nçr vi indsåtter tal i regneudtrykket, kaldes unktinsvärdier gränne tal Det tal sm resultaterne unktinsvårdierne er når, kaldes gränsevärdi rädt tal Det råde tal er bestemt uden at bruge unktinsvärdien a 7 Vi har kun brugt -värdier när 7!!! Fr u: FunktinsvÅrdi i 7 = grånsevårdi r gçende md 7 SÇ siger vi: u er kntinuert i 7 Fr v: FunktinsvÅrdi i 7 grånsevårdi r gçende md 7 SÇ siger vi: v er ikke kntinuert i 7 Dette kan skrives med symbler: lim u 7 Symblet lim u 7 6b 5 g u 7 5 lim v 5 7 låses grånsevårdi r gçende md 7 a u g v 7 Hvis et regneudtryk u er pbygget a sådvanlige symbler ikke lim, sç gålder: Regneudtrykket er kntinuert i ethvert tal hvr det er deineret dvs i -vårdier hvr det kan udregnes 6 6c Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0 Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç :,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6 Vi siger: gränsevärdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 : 7,5 7, 7,04 7 u: 5,5 5,04 5,006 5 : 7,5 7, 7,04 7 v: 5,5 5,04 5,006 6d Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende metde: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 lim lim da 6 r = da er kntinuert i = se 6b = 6 6e lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en kntant 6 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 6g Udregning a grånsevårdi med Nspire PÅ Nspire kan vi välge gränsevärdi-skabelnen på skabelnpaletten e lim udregnet a Nspire Skabelnen ser sådan ud: Vi behéver ikke skrive nget 0 i det tredje elt Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

37 64 GrÅnsevÅrdi-rmlen r dierentialkvtient Hvis er dierentiabel i, sç gålder 64a lim Dette er gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient Begrundelse r 64a: y t m t er tangent til -graen ' = t 's håldk Dette er deinitinen pç dierentialkvtient Vi tegner en linje m der skårer -graen i punkterne med -krdinater g y-krdinater til disse punkter er g SÇ m 's håldk = NÇr nårmer sig til vil m 's håldk nårme sig til t 's håldk, sç iälge rmlen a y y t 's håldk = lim m ' s håldk = lim Vi har nu indset at bçde venstre g häjre side i ligningen i 64a er lig t 's håldk, sç ligningen gålder Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 07 Karsten Juul

38 Dierentialregning r A-niveau i st, udgave 4 Side 4 07 Karsten Juul 65 Udledning a rmlen r at dierentiere NÇr er lim iälge gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient 64a lim lim iälge en a kvadratsåtningerne lim vi har rkrtet med da + er kntinuert Vi har nu undet rem til Älgende: 65a: 66 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk NÇr h g er lim iälge gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient 64a lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iälge 6 h g gränsevärdi-rmlen r dierentialkvtient 64a er brugt t gange Vi har nu undet rem til Älgende: 66a: h g h g

39

40 Stikrdsregister aledede unktin 8 atagende9, 0, dierentiabel dierentialkvtient,, dierentialkvtient pç gra 6 dierentialkvtient, udledning4 dierentialkvtients rskrit dierentialkvtients rtlkning dierentiatinsregler ekstrema 4, 7 ekstremum4 rtlkning a dierentialkvtient unktinsvårdi unktinsvårdi pç gra 6 gra grånsevårdi, håldningskeicient9,, 6, 7, knstant i rskrit, bestem 4 lkale ekstrema 8, 9 lkalt ekstremum0 lkalt maksimum8, 9, 0 lkalt minimum8, 9, 0 läs ligning ud ra gra7 läsninger, antal0 maksimum4, 7 mindstevårdi4, 7 minimum4, 7 mntnirhld 0,, Nspire, 9, 0,, 4, 7, 8,, 6, 9, 0, räringspunkt,,, 4 stärstevårdi4, 5, 6 tangent, 9,,, 5, tangent, vinkel tangenthåldning0,,, 4 vinkel g tangent vksende 9, 0, våksthastighed5, 6, 7, 8

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' når er tiden....

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2

Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2 Ävelser til håtet Dierentialrenin r ymnasiet h Udave t s 0 Karsten Juul Ävelserne i dette håte Çr eleverne til at pdae hvad det er der reçr i dierentialreninen Dette pnçr man ikke ved en undervisnin hvr

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Vejledning til Plakater

Vejledning til Plakater Vejledning til Plakater Når du er lgget ind, finder du plakatskabelnerne ved at klikke skabelner g derefter Plakat. Under teksten plakater finder du tre ikner. Det er skabelner til tre frskellige plakater:

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Windws perativsystemer Brugervejledning Prduktregistrering Hvis du registrerer dit SMART-prdukt, giver vi dig besked, når der er nye funktiner g sftwarepgraderinger. Registrer

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader.

Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader. - - Kap. : Trignmetriske funktiner g grader. Grader sm vinkelmål. Inden vi går i gang med at mtale de trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens, vil vi først minde m, hvrdan en given vinkel kan

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7 REMOTE BACKUP Skyfillers Kundemanual INDHOLD Opsætning... 2 Installatin... 2 Lg ind... 3 Backup-sets... 4 Datasikring... 7 Online datasikring... 7 Lkal datasikring... 7 Gendannelse af data... 9 Gendannelse

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 11 Kvalitetsstandard fr støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 1 Frmålet med kvalitetsstandarden En kvalitetsstandard er et andet rd fr serviceniveau. Den beskriver indhldet g mfanget

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG KÆRBO Sundheds- g Omsrgsfrvaltningen Brugerundersøgelse : Plejeblig 1 Brugerundersøgelse Plejeblig Brugerundersøgelsen er udarbejdet af Epinin P/S g Afdeling fr Data g Analyse,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

T0150 - Brugervejledning - Lugtberegning

T0150 - Brugervejledning - Lugtberegning Miljøministeriet Miljøstyrelsen husdyrgdkendelse.dk T0150 - Brugervejledning - Lugtberegning Versin: 1.0 Status: 05 - Gdkendt Gdkender: Pul Lundsby Frfatter: Mrten Lange Kirkegaard Cpyright 2015 Netcmpany.

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Forslag til diskussion

Forslag til diskussion Frslag til diskussin Her bliver der vist ngle frslag til temaer, sm eleverne kan diskutere efter de har set præsentatinen. Disse temaer kan diskuteres i grupper eller i plenum. 1. Præsentatinen kmmer med

Læs mere

Når ledelse gør forskellen - evaluering af tilgang og ledelse i Børneinstitution Hunderup

Når ledelse gør forskellen - evaluering af tilgang og ledelse i Børneinstitution Hunderup Når ledelse gør frskellen - evaluering af tilgang g ledelse i Børneinstitutin Hunderup I Børneinstitutin Hunderup har man længe plevet, at der sker nget usædvanligt g særligt i de tilknyttede institutiner.

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Evaluering af Cykel-Sidevejskampagne 2010. Hold øje ved sidevejene. Du ved aldrig hvad der kommer

Evaluering af Cykel-Sidevejskampagne 2010. Hold øje ved sidevejene. Du ved aldrig hvad der kommer Evaluering af Cykel-Sidevejskampagne 2010 Hld øje ved sidevejene. Du ved aldrig hvad der kmmer 1 Indhld Frmål g metde Resultater Oplevede farer g cykeladfærd Kendskab til kampagnen Frståelse af kampagnens

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen MÅL FOR ELEVERNES ARBEJDE Fælles fkusmråder mht. udviklingen af elevernes faglige kmpetencer herunder særligt den skriftlige! Overrdnet

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Indledning. Side 2 af 13

Indledning. Side 2 af 13 Frside Indledning e-addin er et Excel tilføjelses prgram der nemt kan hente data fra e-cnmic ver i Excel. Fr at bruge det skal du have dit regnskab hs e-cnmic. Hvis du ikke har det kan du prette en gratis

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Christian Hjortshøj. HTX Roskilde 1.4 06-05-2011. Lære: Bartlomiej Warszawski. Fag: KomIT 1 S ide

Christian Hjortshøj. HTX Roskilde 1.4 06-05-2011. Lære: Bartlomiej Warszawski. Fag: KomIT 1 S ide Christian Hjrtshøj HTX Rskilde 1.4 06-05-2011 Lære: Bartlmiej Warszawski Fag: KmIT 1 S ide Indhld 1. Indledning... 3 2. Målgruppeanalyse... 4 3. Valg af medie... 5 4. Skitsering... 6 4.1 Skitse 1.... 6

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil År 2010 Cmputerspil Nils Per Olsen g Martin Vighlt Cmputerspil 10-03-2010 Planlægning Først diskuterer vi hvilken målgruppe spillet skal henvende sig til. Derefter kikker vi på frskellige spil, fr at finde

Læs mere

Floorballstævner. Folderen er for dig, der gerne vil arrangere et stævne eller vide mere om floorballstævner i DGI og Floorball Danmark.

Floorballstævner. Folderen er for dig, der gerne vil arrangere et stævne eller vide mere om floorballstævner i DGI og Floorball Danmark. L L A B R O O L F R E N V STÆ rball på l F s n i l g Mt anmark l a b r l vner i F I g Flrball D æ t s d l h Af ed DG m e n a b hjemme Flrballstævner Flderen er fr dig, der gerne vil arrangere et stævne

Læs mere

VERSIONSBREV. LUDUS version 1.27.0. Den 10. december 2009. J.nr.: 4004 V1088 09. CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N

VERSIONSBREV. LUDUS version 1.27.0. Den 10. december 2009. J.nr.: 4004 V1088 09. CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N VERSIONSBREV LUDUS versin 1.27.0 Den 10. december 2009 J.nr.: 4004 V1088 09 CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N Tlf. +45 3614 4000, fax +45 3614 7324, www.scandihealth.dk, scandihealth@csc.cm

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere