Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A)."

Transkript

1 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler epidemiske sygdomme, de biologiske og sundhedsmæssige aspekter i dette og hvordan matematik kan bruges til at opstille en model for udvikling af en epidemi. De biologiske aspekter vil særligt være smitsomme sygdomme, det menneskelige immunsystem, samt teori om og eksempler på epidemiers forløb. De matematiske aspekter er særligt epidemimodellen SIR i forskellige varianter. Desuden kan inddrages analyse af statistiske data fra faktiske epidemier, sammenligning af data med modeller, overvejelser af sammenhæng data/model og muligheder for forbedring af model. Eventuelt kan faget historie også inddrages, hvor fokus er på de historiske rammer for epidemiers udvikling, hvilke samfundsmæssige faktorer påvirkede epidemiens forløb og hvilke konsekvenser epidemien efterfølgende havde på de berørte samfund/mennesker/områder. Faglige forudsætninger, matematik: Kendskab til modellering generelt erfaring med at opstille og analysere matematiske modeller. Hvis analyse af statistisk data skal inddrages, skal eleven have kendskab til dette. I fald at differentialligninger inddrages kan det være en fordel, at eleven har et forhåndskundskab til disse. Faglige mål, matematik: Eleverne skal udvide deres kritiske forståelse af matematiske modeller. Herunder at kunne opstille modeller på korrekt matematisk måde, at kunne anvende modeller i løsningen af konkrete problemstillinger, samt at kunne forholde sig kritisk til modellernes begrænsninger. Eleverne skal få en grundlæggende forståelse for, hvordan SIR-modellen beskriver et epidemiforløb. Hertil er det muligt at komme med en gennemgang af differensligninger og deres sammenhæng med SIR-modellen. Herudover kommer desuden muligheden for, at eleverne kan udvise matematisk forståelse og kritik af datamateriale og af de modeller der indgår. Faglige forudsætninger, biologi: Kendskab til generelle aspekter af sygdomsbiologi herunder det menneskelige immunforsvar, resistens, bakterier og virus. Faglige mål, biologi: Eleverne skal udvide deres forståelse af sygdomme fra individniveau til populationsniveau. Eleverne skal lære at anvende matematisk modellering i biologisk sammenhæng. Eleverne skal erhverve detaljeret viden om en specifik smitsom sygdom. 1

2 Eleverne kan gå mere i dybden med immunforsvaret og sygdomsfremkaldende mikroorganismer, end hvad der er gennemgået i undervisningen. Introduktion til SIR-modellen Der laves nogle grundantagelser: Antallet N af individer i befolkningsgruppen er konstant. Altså er der ingen nyfødte eller immigranter, ligesom at døde stadig tælles med. Der er tale om en homogen interaktion mellem individerne, dvs. at alle med lige stor sandsynlighed kan støde ind i hinanden. Dem der har haft sygdommen, men som er blevet raske, bliver immune og kan altså ikke blive syge igen. Befolkningsgruppen inddeles i tre disjunkte grupper til tiden t: S t : Antallet af raske individer, der er modtagelige for sygdommen (suspectible) I t : Antallet af smittede individer (infective) R t : Antallet af individer, der er immune, fordi de har haft sygdommen (removed) Bemærk, at dem der er døde af sygdommen tælles med i R t. Da populationsstørrelsen N er konstant gælder der for alle t, at N = S t + I t + R t En sygdom kan derfor siges at bevæge sig mellem de tre grupper på følgende måde: S I R Følgende tre differensligninger kan opstilles for at illustrere dynamikken mellem de tre grupper: S t+1 = S t - α S t I t I t+1 = I t + α S t I t - γi t R t+1 = R t + γi t Her kaldes koefficienten α for transmissionskoefficienten; idet den siger os noget om sandsynligheden for at et individ i den modtagelige gruppe bliver smittet ved mødet med en allerede inficeret person. γ er den såkaldte removal rate ; idet denne koefficient påvirker antallet af inficerede individer, der kureres af sygdommen eller dør indenfor et tidsinterval. γ kan derfor også beskrives som γ =1/T, hvor T er smitteperioden. Tilvæksten over et tidsinterval for de forskellige kategorier kan opskrives som: S = - α S t I t I = α S t I t - γi t = (α S t γ) I t = αi t (S t - ρ) R = γi t Her er ρ = γ/α den såkaldte relative removal rate, som er et vigtigt begreb, idet det kan opfattes som en slags tærskel, hvornår epidemien topper. Der gælder nemlig, at hvis I > 0, så opstår der en epidemi, idet tallet af inficerede vil vokse. Hvis der derimod gælder, at I 0 for alle t, så er der ikke fare for 2

3 epidemiudbrud. Idet transmissionskoefficenten α>0, får vi nemlig fra ovenstående ligning I t = αi t (S t - ρ), at der gælder: Hvis S t > ρ, så er I t > 0, hvis S t = ρ, så er I t = 0, og hvis S t < ρ, så er I t < 0. ρ kan således estimeres ved aflæsning på graferne for S og I (se graf for SIRmodellen). Når epidemien topper går I t nemlig fra at være positiv til at være negativ. Toppunktet for kurven for I t har toppunkt når I t = 0, og for dette t kan man aflæse værdien S t = ρ. Denne værdi siger os noget om, hvor voldsom epidemien vil være. ρ kan også aflæses ud fra SI-fasediagrammet (se graf nederst på siden), idet toppunktet for grafen er (ρ, I max ), hvor I max er det maximale antal inficerede under epidemien. Videre kan α estimeres ud fra γ og ρ ved at udregne α = γ/ρ. Graf for SIR-modellen: S= Blå, I= Rød, R= Grøn SI-fasediagram: 3

4 Hvis vi igen betragter I t = α S t I t - γi t = γ I t (α /γ S t -1), så er en anden vigtig størrelse R 0 = α /γ S t = (α S t )(1/γ), som kaldes basic reproduction number. Af højre side af lighedstegnet ses det, at R 0 fortæller os, hvor mange personer en inficeret person når at smitte i løbet af smitteperioden. Det er ret oplagt, at det giver god mening, at R 0 = 1 er en tærskel, idet der gælder, at hvis R 0 > 1, så er I t > 0 og en epidemi vil forekomme, mens R 0 < 1 vil medføre at I t < 0. Dette har den betydning, at hvis sundhedsmæssige tiltag kan sørge for, at antallet af modtagelige personer er mindre end den relative removal rate, dvs. S 0 < ρ= γ/ α, så vil dette forhindre epidemien at bryde ud. Et uventet resultat af SIR-modellen er, at det som regel vil gælde, at grænseværdien for S t ikke vil gå mod 0 for t. Der altså modtagelige personer, som aldrig vil blive smittet. Variationer og modifikationer af modellen Her nævnes nogle af mulighederne for, hvordan man kan justere på SIR-modellen for at tilpasse den forskellige sygdommes forløb. SI-model: De inficerede kan ikke blive friske igen (AIDS). SIS-model: Hvis en inficeret person bliver frisk, så er vedkommende igen modtagelig for sygdommen. Det er altså ikke muligt at blive immun (eksempelvis syfilis eller lus). sir-model: I stedet for at betragte faktiske tal kan det ofte være belejligt at se på procentdele af befolkningen. Her er s=s/n, i=i/n og r=r/n. SIRS model. Her forsvinder immuniteten med årene, og en person risikerer derfor at blive syg igen senere i sit liv. Desuden kan man tage hensyn til nogle af de antagelser, som blev nævnt i starten. Eksempelvis kunne man inkluder en parameter for fødsler/dødsfald i modellen. En anvendelse af sir-modellen kan sikre, at der aldrig vil være mere en vis procentdel af befolkningen, som bliver inficerede. Hvis vi antager, at i 0 er andelen af inficerede til tiden t=0, og at vi ikke ønsker, at andelen skal blive større, så skal man sørge for at i t < 0. I sir-modellen er i t = β s t i t γ i t = (β s t γ) i t = β(s t γ/ β) i t. Her kaldes koefficienten β for kontakt raten. Da i t og β begge antager værdier mellem 0 og 1, så er kravet altså, at s 0 < γ/ β =1/σ, hvor σ kaldes kontakttallet. Man kan derfor konkludere, at hvis man sørger for at 1-1/σ del af befolkningen er immune, så er der ifølge sir-modellen ikke risiko for en epidemi. Problematiske aspekter Foruden de antagelser, der blev formuleret i starten, så tager SIR-modellen heller ikke højde for faktorer som Hvilken aldersgruppe individerne tilhører Hvilket køn individerne er Hvilket socialt lag individerne tilhører Individernes helbredsmæssige status 4

5 Muligheder for variation i projektet: Biologi: Eleverne kan arbejde med forskellige smitsomme sygdomme. Data fra epidemiforløb kan varieres. Eleverne kan stilles forskellige teoretiske sygdomme, som de skal modellere eller selv vælge en sygdom de vil beskæftige sig med. Eleverne kan præsenteres for sygdomme med forskellige karakteristika, som de skal modellere, f.eks. en sygdom med/uden resistensudvikling. Matematik: Der er mulighed for at benytte forskellige modifikationer af SIR-modellen til at beskrive forskellige slags sygdomme. Det er også muligt at benytte sig af helt andre modeller, hvis det er muligt at finde nogle. Desuden findes forskellige måder at anvende computerprogrammer til at simulere sygdomsforløbene. Muligt udkast til projekt 1. Der ønskes en kort gennemgang af det menneskelige immunforsvar. Kom i den forbindelse ind på smitsomme sygdomme fremkaldt af mikroorganismer og den biologiske baggrund for udvikling af resistens overfor smitsomme sygdomme. 2. På baggrund af dette ønskes en gennemgang og diskussion af den matematiske model SIR for epidemier med smitsomme sygdomme. Inddrag i den forbindelse det vedlagte talmateriale for (xx sygdom). 3. Diskuter hvad man på samfundsplan kan gøre for at forhindre og begrænse udbrud af smitsomme sygdomme og hvordan matematiske modeller som SIR kan bruges i den forbindelse. Et andet muligt udkast 1. Der ønskes en redegørelse for den matematiske model SIR for smitsomme sygdomme. Inddrag i den forbindelse relevante biologiske aspekter. 2. Lav på baggrund af ovenstående simuleringer af epidemiforløb over tid af sygdomme med forskellige biologiske egenskaber. 3. Kommenter og diskuter de fremkomne epidemiforløb ud fra de matematiske og biologiske forudsætninger. Inddrag eventuelt muligheder for udvidelse og ændring af SIR modellen til at simulere forskellige typer sygdom. 5

6 Litteratur Introduktion til matematisk infektionsepidemiologi af Viggo Andreasen, IMFUFA, RUC PDF-udgave: (Meget fin og lettilgængelig introduktion til emnet) Mathematical Models in Biology af Elizabeth Allman og John Rhodes, Cambridge University Press (specielt kapitel 7 er interessant mhp. epidemimodellering.) Velskrevne danske noter af Jesper Michael Møller om matematikken i epidemimodeller (kapitel 4), samt forelæsningsslides: "Modelsnak differentialligningsmodeller" af Blomhøj, M. og Frisdahl, K., FAG, 1985 (et kapitel om epidemimodeller) Some discrete-time SI, SIR and SIS epidemic models fra tidsskriftet Math. Biosci. 124: fra 1994, af L. J. S. Allen. PDF-udgave: (Eksempel på en ret avanceret artikel om de forskellige epidemimodeller, som sammenligner de diskrete modeller (differensligninger) med de kontinuerte modeller (differentialligninger)) Noter om differensligninger af Anders Thorup. PDF-udgave: (Noter brug til faget 2DD på Københavns Universitet, hvis differensligninger inddrages i projektet er disse noter glimrende. Eleverne bør evt. have lidt støtte i dechifreringen af universitetsmatematik notationen.) 6

7 Links: Tjekket Bemærk at det ikke er svært at finde data for forskellige epidemier på nettet. Dette kan eleven med rimelighed selv gøre. Generelle links: Statens Serum Institut: Center for Disease Control: Links om epidemier og epidemimodeller Om narkotikarelaterede smitsomme sygdomme: Elevdel af undervisningsforløb: Tilsvarende lærerdel: Interaktiv simulering af SIR-modellen: Generelt, omhandlende bla. SIR: (på svensk) Modeller i excel (kun den nederste del af siden er relevant): To Wikipedia-links: To projekter, skrevet af studerende på 4. semester på RUC, som begge benytter SIRmodellen: En artikel om matematisk modellering generelt set, hvor epidemimodeller også kort nævnes: 7

Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr

Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr 8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion

Læs mere

Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden

Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Matematisk modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer i matematik Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach

Læs mere

Velkommen til RUC og den naturvidenskabelige bacheloruddannelse!

Velkommen til RUC og den naturvidenskabelige bacheloruddannelse! Velkommen til RUC og den naturvidenskabelige bacheloruddannelse! Matematikworkshops i: Matematisk modellering i epidemiologi Matematisk bevisførelse Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach Program for

Læs mere

Epidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF

Epidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Matematik Epidemi Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Denne artikel er skrevet som den matematiske teori til beskrivelse af udvikling af en epidemi i en befolkning. Den matematiske model indeholder

Læs mere

Epidemimodeller og immunbiologi fra bio-mat udviklinggruppe.

Epidemimodeller og immunbiologi fra bio-mat udviklinggruppe. Epidemimodeller og immunbiologi fra bio-mat udviklinggruppe. Indhold: Indledende snik-snak Forslag til teori til matematikdelen Figurer fra Viggo Andreasens foredrag og fra hans tidligere noter Graflommeregner,

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Matematisk modellering af mæslinger

Matematisk modellering af mæslinger Matematisk modellering af mæslinger En undersøgelse af vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik Christoffer Dalgaard Lasse Sønderskov Hansen Natasja Nielsen Rasmus Kristoffer Pedersen Jeanette Rasmussen

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Robusthed af netværk

Robusthed af netværk Robusthed af netværk Optimering af vaccinationsstrategier Projekt Rapport Gruppe B2-1a Aalborg Universitet Det Teknisk- Naturvidenskabelige Basisår Software Strandvejen 12-14 DK-9000 Aalborg Første Studierår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Anden grads polynomier og populations dynamik

Anden grads polynomier og populations dynamik matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Projekt: Logistisk vækst med/uden høst

Projekt: Logistisk vækst med/uden høst Projekt: Logistisk vækst med/uden høst I dette projekt skal vi arbejde med differentialligninger, specielt med logistisk vækst og med en udvidelse, hvor der indgår høst. Den eksponentielle vækst (type:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 16/17 Institution Hf i Nørre Nissum VIA UC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 5, 2014 Printed: October 5, 2014 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Fremtiden visioner og forudsigelser

Fremtiden visioner og forudsigelser Fremtiden visioner og forudsigelser - Synopsis til eksamen i Almen Studieforberedelse - Naturvidenskabelig fakultet: Matematik A Samfundsfaglig fakultet: Samfundsfag A Emne/Område: Trafikpolitik Opgave

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2

Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2 Fremstillingsformer Fremstillingsformer Vurdere Konkludere Fortolke/tolke Diskutere Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2 Udtrykke eller Vurder: bestemme På baggrund af biologisk

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over

Læs mere

Biologi i fagligt samspil. Fagdidaktisk kursus: Biologi i fagligt samspil

Biologi i fagligt samspil. Fagdidaktisk kursus: Biologi i fagligt samspil Biologi i fagligt samspil 1 Biologi i fagligt samspil STX: Toning af studieretningen NV AT SRP HF: NF SSO HTX: Toning af studieretningen SO SRP Teknologi og teknikfag 2 Fagsamarbejde? Om indhold? Om mål?

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 2st101-MAT/B-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

HVAD GØR RØGEN VED KROPPEN?

HVAD GØR RØGEN VED KROPPEN? 42 www.op-i-røg.dk GÅ OP I RØG Kræftens Bekæmpelse KAPITEL 5: HVAD GØR RØGEN VED KROPPEN? www.op-i-røg.dk 43 Kapitel 5: Indhold Dette kapitel tager udgangspunkt i, hvad der sker med røgen i kroppen på

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2012 Institution Vejen Handelsskole og Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Eksempler på differentialligningsmodeller

Eksempler på differentialligningsmodeller 1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk

Læs mere

1 Problemformulering CYKELHJELM

1 Problemformulering CYKELHJELM 1 Problemformulering I skal undersøge hvor mange cyklister, der kommer til skade og hvor alvorlige, deres skader er. I skal finde ud af, om cykelhjelm gør nogen forskel, hvis man kommer ud for en ulykke.

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Biologi i fagligt samspil. Fagdidaktisk kursus: Biologi i fagligt samspil

Biologi i fagligt samspil. Fagdidaktisk kursus: Biologi i fagligt samspil Biologi i fagligt samspil 1 Biologi i fagligt samspil STX: Toning af studieretningen NV AT SRP HF: NF SSO HTX: Toning af studieretningen SO SRP Teknologi og teknikfag 2 Fagsamarbejde? Om indhold? Om mål?

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN

ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN OM NOBELPRISMODTAGERNE I ØKONOMI 2011 Thomas J. Sargent og Christopher A. Sims Præsentation på Statens Naturhistoriske Museum Nobelkavalkade 2012 d. 25/1 2012 ved Professor

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb Undervisningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015-2016 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jesper

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Thy-Mors hf & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Knud Søgaard

Læs mere

Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager

Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager 7.4.07 Flóvin Tór Nygaard Næs & Kristian Priisholm Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager Studieretningsprojekt i biologi (A) og matematik (A) Emne: Brug af genetisk materiale som grundlag

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

forebygger og bekæmper smitsomme sygdomme og medfødte lidelser

forebygger og bekæmper smitsomme sygdomme og medfødte lidelser INFEKTIONS- SYGDOMME S T A T E N S S E R U M I N S T I T U T forebygger og bekæmper smitsomme sygdomme og medfødte lidelser Statens Serum Institut Artillerivej 5 2300 København S TIL DEN GRAVIDE Tel.:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 14MABA61

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie

Læs mere

Appendiks A. Entreprenørskabsundervisning i befolkningen, specielt blandt unge

Appendiks A. Entreprenørskabsundervisning i befolkningen, specielt blandt unge Appendiks A. Entreprenørskabsundervisning i befolkningen, specielt blandt unge Redegørelsen ovenfor er baseret på statistiske analyser, der detaljeres i det følgende, et appendiks for hvert afsnit. Problematikken

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

TEKST NR 433 2004. TEKSTER fra. En komparativ analyse af to samtidige modeller for udbredelse af HIV/AIDS HIV AIDS

TEKST NR 433 2004. TEKSTER fra. En komparativ analyse af to samtidige modeller for udbredelse af HIV/AIDS HIV AIDS TEKST NR 433 2004 En komparativ analyse af to samtidige modeller for udbredelse af HIV/AIDS HIV Britta Frier & Lene Marie Pedersen AIDS Spildte liv Vejleder: Jesper Larsen TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for matematik C

Undervisningsbeskrivelse for matematik C Termin Termin hvor undervisnings afsluttes: maj-juni skoleåret 12/13 Institution Thisted Gymnasium og HF-kursus Uddannelse STX Fag og niveau Matematik C Lære Mads Lundbak Severinsen Hold 1.d Oversigt over

Læs mere

Biologien bag epidemien

Biologien bag epidemien Biologien bag epidemien Af Niels Kristiansen, biologilærer, Grindsted Gymnasium Sygdomme kan smitte på mange måder. Enten via virus, bakterier eller parasitter. I det følgende vil vi koncentrere os om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Anne Lausten Hansen Institut for Geografi og Geologi, Københavns Universitet De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland (GEUS)

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Introduktion til overlevelsesanalyse

Introduktion til overlevelsesanalyse Faculty of Health Sciences Introduktion til overlevelsesanalyse Kaplan-Meier estimatoren Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

"Mulige sociale og kulturelle aspekter i et fremtidsscenarie med udbredt medicinresistens - globalt og i Danmark"

Mulige sociale og kulturelle aspekter i et fremtidsscenarie med udbredt medicinresistens - globalt og i Danmark "Mulige sociale og kulturelle aspekter i et fremtidsscenarie med udbredt medicinresistens - globalt og i Danmark" Jens Seeberg Antropolog Institut for Kultur og Samfund Aarhus Universitet Min baggrund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer

Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Bilag til evaluering af matematik på stx DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Indledning Dette bilag til EVA s evaluering af matematik på stx indeholder i tabelform

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Jun 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2016 Marie

Læs mere

Bedømmelseskriterier Naturfag

Bedømmelseskriterier Naturfag Bedømmelseskriterier Naturfag Grundforløb 2 rettet mod social- og sundhedsuddannelsen Social- og sundhedsassistentuddannelsen NATURFAG NIVEAU E... 2 NATURFAG NIVEAU C... 5 Gældende for prøver afholdt på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Opsøgende tuberkulose sygeplejerske blandt socialt udsatte

Opsøgende tuberkulose sygeplejerske blandt socialt udsatte Opsøgende tuberkulose sygeplejerske blandt socialt udsatte -et tiltag mhp. at optimere tidlig diagnostik og behandling af tuberkulose i socialt udsatte grupper i Københavnsområdet. Styregruppe: Tuberkulose

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Skriftlig eksamen BioMatI (MM503)

Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET

Læs mere

BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik

BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik Dette dokument indeholder yderligere informationer, tips og råd angående: Tabelfunktionen SmartArtfunktionen Billedfunktionen Samt en ekstra

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 12/13 Institution International Business College Fredericia-Middelfart Uddannelse Fag og niveau

Læs mere