Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).
|
|
- Olivia Carstensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler epidemiske sygdomme, de biologiske og sundhedsmæssige aspekter i dette og hvordan matematik kan bruges til at opstille en model for udvikling af en epidemi. De biologiske aspekter vil særligt være smitsomme sygdomme, det menneskelige immunsystem, samt teori om og eksempler på epidemiers forløb. De matematiske aspekter er særligt epidemimodellen SIR i forskellige varianter. Desuden kan inddrages analyse af statistiske data fra faktiske epidemier, sammenligning af data med modeller, overvejelser af sammenhæng data/model og muligheder for forbedring af model. Eventuelt kan faget historie også inddrages, hvor fokus er på de historiske rammer for epidemiers udvikling, hvilke samfundsmæssige faktorer påvirkede epidemiens forløb og hvilke konsekvenser epidemien efterfølgende havde på de berørte samfund/mennesker/områder. Faglige forudsætninger, matematik: Kendskab til modellering generelt erfaring med at opstille og analysere matematiske modeller. Hvis analyse af statistisk data skal inddrages, skal eleven have kendskab til dette. I fald at differentialligninger inddrages kan det være en fordel, at eleven har et forhåndskundskab til disse. Faglige mål, matematik: Eleverne skal udvide deres kritiske forståelse af matematiske modeller. Herunder at kunne opstille modeller på korrekt matematisk måde, at kunne anvende modeller i løsningen af konkrete problemstillinger, samt at kunne forholde sig kritisk til modellernes begrænsninger. Eleverne skal få en grundlæggende forståelse for, hvordan SIR-modellen beskriver et epidemiforløb. Hertil er det muligt at komme med en gennemgang af differensligninger og deres sammenhæng med SIR-modellen. Herudover kommer desuden muligheden for, at eleverne kan udvise matematisk forståelse og kritik af datamateriale og af de modeller der indgår. Faglige forudsætninger, biologi: Kendskab til generelle aspekter af sygdomsbiologi herunder det menneskelige immunforsvar, resistens, bakterier og virus. Faglige mål, biologi: Eleverne skal udvide deres forståelse af sygdomme fra individniveau til populationsniveau. Eleverne skal lære at anvende matematisk modellering i biologisk sammenhæng. Eleverne skal erhverve detaljeret viden om en specifik smitsom sygdom. 1
2 Eleverne kan gå mere i dybden med immunforsvaret og sygdomsfremkaldende mikroorganismer, end hvad der er gennemgået i undervisningen. Introduktion til SIR-modellen Der laves nogle grundantagelser: Antallet N af individer i befolkningsgruppen er konstant. Altså er der ingen nyfødte eller immigranter, ligesom at døde stadig tælles med. Der er tale om en homogen interaktion mellem individerne, dvs. at alle med lige stor sandsynlighed kan støde ind i hinanden. Dem der har haft sygdommen, men som er blevet raske, bliver immune og kan altså ikke blive syge igen. Befolkningsgruppen inddeles i tre disjunkte grupper til tiden t: S t : Antallet af raske individer, der er modtagelige for sygdommen (suspectible) I t : Antallet af smittede individer (infective) R t : Antallet af individer, der er immune, fordi de har haft sygdommen (removed) Bemærk, at dem der er døde af sygdommen tælles med i R t. Da populationsstørrelsen N er konstant gælder der for alle t, at N = S t + I t + R t En sygdom kan derfor siges at bevæge sig mellem de tre grupper på følgende måde: S I R Følgende tre differensligninger kan opstilles for at illustrere dynamikken mellem de tre grupper: S t+1 = S t - α S t I t I t+1 = I t + α S t I t - γi t R t+1 = R t + γi t Her kaldes koefficienten α for transmissionskoefficienten; idet den siger os noget om sandsynligheden for at et individ i den modtagelige gruppe bliver smittet ved mødet med en allerede inficeret person. γ er den såkaldte removal rate ; idet denne koefficient påvirker antallet af inficerede individer, der kureres af sygdommen eller dør indenfor et tidsinterval. γ kan derfor også beskrives som γ =1/T, hvor T er smitteperioden. Tilvæksten over et tidsinterval for de forskellige kategorier kan opskrives som: S = - α S t I t I = α S t I t - γi t = (α S t γ) I t = αi t (S t - ρ) R = γi t Her er ρ = γ/α den såkaldte relative removal rate, som er et vigtigt begreb, idet det kan opfattes som en slags tærskel, hvornår epidemien topper. Der gælder nemlig, at hvis I > 0, så opstår der en epidemi, idet tallet af inficerede vil vokse. Hvis der derimod gælder, at I 0 for alle t, så er der ikke fare for 2
3 epidemiudbrud. Idet transmissionskoefficenten α>0, får vi nemlig fra ovenstående ligning I t = αi t (S t - ρ), at der gælder: Hvis S t > ρ, så er I t > 0, hvis S t = ρ, så er I t = 0, og hvis S t < ρ, så er I t < 0. ρ kan således estimeres ved aflæsning på graferne for S og I (se graf for SIRmodellen). Når epidemien topper går I t nemlig fra at være positiv til at være negativ. Toppunktet for kurven for I t har toppunkt når I t = 0, og for dette t kan man aflæse værdien S t = ρ. Denne værdi siger os noget om, hvor voldsom epidemien vil være. ρ kan også aflæses ud fra SI-fasediagrammet (se graf nederst på siden), idet toppunktet for grafen er (ρ, I max ), hvor I max er det maximale antal inficerede under epidemien. Videre kan α estimeres ud fra γ og ρ ved at udregne α = γ/ρ. Graf for SIR-modellen: S= Blå, I= Rød, R= Grøn SI-fasediagram: 3
4 Hvis vi igen betragter I t = α S t I t - γi t = γ I t (α /γ S t -1), så er en anden vigtig størrelse R 0 = α /γ S t = (α S t )(1/γ), som kaldes basic reproduction number. Af højre side af lighedstegnet ses det, at R 0 fortæller os, hvor mange personer en inficeret person når at smitte i løbet af smitteperioden. Det er ret oplagt, at det giver god mening, at R 0 = 1 er en tærskel, idet der gælder, at hvis R 0 > 1, så er I t > 0 og en epidemi vil forekomme, mens R 0 < 1 vil medføre at I t < 0. Dette har den betydning, at hvis sundhedsmæssige tiltag kan sørge for, at antallet af modtagelige personer er mindre end den relative removal rate, dvs. S 0 < ρ= γ/ α, så vil dette forhindre epidemien at bryde ud. Et uventet resultat af SIR-modellen er, at det som regel vil gælde, at grænseværdien for S t ikke vil gå mod 0 for t. Der altså modtagelige personer, som aldrig vil blive smittet. Variationer og modifikationer af modellen Her nævnes nogle af mulighederne for, hvordan man kan justere på SIR-modellen for at tilpasse den forskellige sygdommes forløb. SI-model: De inficerede kan ikke blive friske igen (AIDS). SIS-model: Hvis en inficeret person bliver frisk, så er vedkommende igen modtagelig for sygdommen. Det er altså ikke muligt at blive immun (eksempelvis syfilis eller lus). sir-model: I stedet for at betragte faktiske tal kan det ofte være belejligt at se på procentdele af befolkningen. Her er s=s/n, i=i/n og r=r/n. SIRS model. Her forsvinder immuniteten med årene, og en person risikerer derfor at blive syg igen senere i sit liv. Desuden kan man tage hensyn til nogle af de antagelser, som blev nævnt i starten. Eksempelvis kunne man inkluder en parameter for fødsler/dødsfald i modellen. En anvendelse af sir-modellen kan sikre, at der aldrig vil være mere en vis procentdel af befolkningen, som bliver inficerede. Hvis vi antager, at i 0 er andelen af inficerede til tiden t=0, og at vi ikke ønsker, at andelen skal blive større, så skal man sørge for at i t < 0. I sir-modellen er i t = β s t i t γ i t = (β s t γ) i t = β(s t γ/ β) i t. Her kaldes koefficienten β for kontakt raten. Da i t og β begge antager værdier mellem 0 og 1, så er kravet altså, at s 0 < γ/ β =1/σ, hvor σ kaldes kontakttallet. Man kan derfor konkludere, at hvis man sørger for at 1-1/σ del af befolkningen er immune, så er der ifølge sir-modellen ikke risiko for en epidemi. Problematiske aspekter Foruden de antagelser, der blev formuleret i starten, så tager SIR-modellen heller ikke højde for faktorer som Hvilken aldersgruppe individerne tilhører Hvilket køn individerne er Hvilket socialt lag individerne tilhører Individernes helbredsmæssige status 4
5 Muligheder for variation i projektet: Biologi: Eleverne kan arbejde med forskellige smitsomme sygdomme. Data fra epidemiforløb kan varieres. Eleverne kan stilles forskellige teoretiske sygdomme, som de skal modellere eller selv vælge en sygdom de vil beskæftige sig med. Eleverne kan præsenteres for sygdomme med forskellige karakteristika, som de skal modellere, f.eks. en sygdom med/uden resistensudvikling. Matematik: Der er mulighed for at benytte forskellige modifikationer af SIR-modellen til at beskrive forskellige slags sygdomme. Det er også muligt at benytte sig af helt andre modeller, hvis det er muligt at finde nogle. Desuden findes forskellige måder at anvende computerprogrammer til at simulere sygdomsforløbene. Muligt udkast til projekt 1. Der ønskes en kort gennemgang af det menneskelige immunforsvar. Kom i den forbindelse ind på smitsomme sygdomme fremkaldt af mikroorganismer og den biologiske baggrund for udvikling af resistens overfor smitsomme sygdomme. 2. På baggrund af dette ønskes en gennemgang og diskussion af den matematiske model SIR for epidemier med smitsomme sygdomme. Inddrag i den forbindelse det vedlagte talmateriale for (xx sygdom). 3. Diskuter hvad man på samfundsplan kan gøre for at forhindre og begrænse udbrud af smitsomme sygdomme og hvordan matematiske modeller som SIR kan bruges i den forbindelse. Et andet muligt udkast 1. Der ønskes en redegørelse for den matematiske model SIR for smitsomme sygdomme. Inddrag i den forbindelse relevante biologiske aspekter. 2. Lav på baggrund af ovenstående simuleringer af epidemiforløb over tid af sygdomme med forskellige biologiske egenskaber. 3. Kommenter og diskuter de fremkomne epidemiforløb ud fra de matematiske og biologiske forudsætninger. Inddrag eventuelt muligheder for udvidelse og ændring af SIR modellen til at simulere forskellige typer sygdom. 5
6 Litteratur Introduktion til matematisk infektionsepidemiologi af Viggo Andreasen, IMFUFA, RUC PDF-udgave: (Meget fin og lettilgængelig introduktion til emnet) Mathematical Models in Biology af Elizabeth Allman og John Rhodes, Cambridge University Press (specielt kapitel 7 er interessant mhp. epidemimodellering.) Velskrevne danske noter af Jesper Michael Møller om matematikken i epidemimodeller (kapitel 4), samt forelæsningsslides: "Modelsnak differentialligningsmodeller" af Blomhøj, M. og Frisdahl, K., FAG, 1985 (et kapitel om epidemimodeller) Some discrete-time SI, SIR and SIS epidemic models fra tidsskriftet Math. Biosci. 124: fra 1994, af L. J. S. Allen. PDF-udgave: (Eksempel på en ret avanceret artikel om de forskellige epidemimodeller, som sammenligner de diskrete modeller (differensligninger) med de kontinuerte modeller (differentialligninger)) Noter om differensligninger af Anders Thorup. PDF-udgave: (Noter brug til faget 2DD på Københavns Universitet, hvis differensligninger inddrages i projektet er disse noter glimrende. Eleverne bør evt. have lidt støtte i dechifreringen af universitetsmatematik notationen.) 6
7 Links: Tjekket Bemærk at det ikke er svært at finde data for forskellige epidemier på nettet. Dette kan eleven med rimelighed selv gøre. Generelle links: Statens Serum Institut: Center for Disease Control: Links om epidemier og epidemimodeller Om narkotikarelaterede smitsomme sygdomme: Elevdel af undervisningsforløb: Tilsvarende lærerdel: Interaktiv simulering af SIR-modellen: Generelt, omhandlende bla. SIR: (på svensk) Modeller i excel (kun den nederste del af siden er relevant): To Wikipedia-links: To projekter, skrevet af studerende på 4. semester på RUC, som begge benytter SIRmodellen: En artikel om matematisk modellering generelt set, hvor epidemimodeller også kort nævnes: 7
Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereVelkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden
Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Matematisk modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer i matematik Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach
Læs mereEpidemi. Matematik. Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF
Matematik Epidemi Indermohan Singh Walia, Egedal Gymnasium & HF Denne artikel er skrevet som den matematiske teori til beskrivelse af udvikling af en epidemi i en befolkning. Den matematiske model indeholder
Læs mereVelkommen til RUC og den naturvidenskabelige bacheloruddannelse!
Velkommen til RUC og den naturvidenskabelige bacheloruddannelse! Matematikworkshops i: Matematisk modellering i epidemiologi Matematisk bevisførelse Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach Program for
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs mereEpidemimodeller og immunbiologi fra bio-mat udviklinggruppe.
Epidemimodeller og immunbiologi fra bio-mat udviklinggruppe. Indhold: Indledende snik-snak Forslag til teori til matematikdelen Figurer fra Viggo Andreasens foredrag og fra hans tidligere noter Graflommeregner,
Læs mereBiologisk model: Epidemi
C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer
Læs mereMatematisk modellering af mæslinger
Matematisk modellering af mæslinger En undersøgelse af vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik Christoffer Dalgaard Lasse Sønderskov Hansen Natasja Nielsen Rasmus Kristoffer Pedersen Jeanette Rasmussen
Læs mereVelkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden
Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Dobbelt workshop Modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer Kort evaluering Morten Blomhøj, Studieleder for
Læs mereVelkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden
Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Dobbelt workshop i: Matematisk modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer i matematik Morten Blomhøj, Studieleder
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg
Læs mereJan B. Larsen HTX Næstved Computational Thinking Albena Nielsen N. Zahles Gymnasium 2018/2019
Forløb: Toksikologi Fag og emner Forløbet kan laves udelukkende i matematik og bioteknologi, men der er oplagt, at det implementeres i andre fag. Matematik modellering, differenceligninger, sandsynlighed,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik A Jane Madsen X2maA18s
Læs mereDig og din puls Lærervejleding
Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet
Læs mereEt sygt samfund. - Kan problemerne løses?
Et sygt samfund - Kan problemerne løses? Biologi A,B og C niveau: Epidemiers natur-hiv i Zimbabwe: Hvordan påvirker HIV/AIDS og kolera menneskekroppen? Præsentation af problematikken og den faglige relevans.
Læs mereHVAD GØR RØGEN VED KROPPEN?
42 www.op-i-røg.dk GÅ OP I RØG Kræftens Bekæmpelse KAPITEL 5: HVAD GØR RØGEN VED KROPPEN? www.op-i-røg.dk 43 Kapitel 5: Indhold Dette kapitel tager udgangspunkt i, hvad der sker med røgen i kroppen på
Læs mereTeori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen
Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive
Læs mereBiologi i fagligt samspil. Fagdidaktisk kursus: Biologi i fagligt samspil
Biologi i fagligt samspil 1 Biologi i fagligt samspil STX: Toning af studieretningen NV AT SRP HF: NF SSO HTX: Toning af studieretningen SO SRP Teknologi og teknikfag 2 Fagsamarbejde? Om indhold? Om mål?
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode November Maj 2018 Institution Vejen Business College
Studieplan Stamoplysninger Periode November 2017 - Maj 2018 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-B Sabine Lindemann Petersen MatematikB-hh1117-EF1718-AFS/VØ
Læs mereProjekt 3.5 Når en population kollapser
Projekt 3.5 Når en population kollapser Logistisk vækst beskrives af en langstrakt S-formet graf, der blødt bevæger sig op mod en øvre grænse, som vi kalder for bæreevnen. Virkeligheden er ofte betydeligt
Læs mereDifferensligninger og populationsstørrelser
Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 16/17 Institution Hf i Nørre Nissum VIA UC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B
Læs mereRobusthed af netværk
Robusthed af netværk Optimering af vaccinationsstrategier Projekt Rapport Gruppe B2-1a Aalborg Universitet Det Teknisk- Naturvidenskabelige Basisår Software Strandvejen 12-14 DK-9000 Aalborg Første Studierår
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2012 Institution Vejen Handelsskole og Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereFremtiden visioner og forudsigelser
Fremtiden visioner og forudsigelser - Synopsis til eksamen i Almen Studieforberedelse - Naturvidenskabelig fakultet: Matematik A Samfundsfaglig fakultet: Samfundsfag A Emne/Område: Trafikpolitik Opgave
Læs mereBiologi i fagligt samspil. Fagdidaktisk kursus: Biologi i fagligt samspil
Biologi i fagligt samspil 1 Biologi i fagligt samspil STX: Toning af studieretningen NV AT SRP HF: NF SSO HTX: Toning af studieretningen SO SRP Teknologi og teknikfag 2 Fagsamarbejde? Om indhold? Om mål?
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 119 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Erhvervsgymnasiet Grindsted HHX Matematik B John Hansen (JO) Christian Norling Svane (CS) 1.AI18 Forløbsoversigt
Læs mereDifferensligninger og populationsstørrelser
Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 5, 2014 Printed: October 5, 2014 File: differensligninger-slides.tex
Læs mereAnden grads polynomier og populations dynamik
matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt
Læs mereTips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF
Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMatema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen
Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereProjekt: Logistisk vækst med/uden høst
Projekt: Logistisk vækst med/uden høst I dette projekt skal vi arbejde med differentialligninger, specielt med logistisk vækst og med en udvidelse, hvor der indgår høst. Den eksponentielle vækst (type:
Læs mereÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN
ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN OM NOBELPRISMODTAGERNE I ØKONOMI 2011 Thomas J. Sargent og Christopher A. Sims Præsentation på Statens Naturhistoriske Museum Nobelkavalkade 2012 d. 25/1 2012 ved Professor
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau
Læs mereUndervisningsplan 3-4. klasse Matematik
Undervisningsplan 3-4. klasse Matematik Formålet for faget matematik Guldminen 2019/2020 Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan
Læs mere1 Problemformulering CYKELHJELM
1 Problemformulering I skal undersøge hvor mange cyklister, der kommer til skade og hvor alvorlige, deres skader er. I skal finde ud af, om cykelhjelm gør nogen forskel, hvis man kommer ud for en ulykke.
Læs mereALMEN STUDIEFORBEREDELSE
ALMEN STUDIEFORBEREDELSE 9. januar 2018 Oplæg i forbindelse med AT-generalprøveforløbet 2018 Formalia Tidsplan Synopsis Eksamen Eksempel på AT-eksamen tilegne sig viden om en sag med anvendelse relevante
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2016 Marie
Læs mereOrdbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2
Fremstillingsformer Fremstillingsformer Vurdere Konkludere Fortolke/tolke Diskutere Ordbog Biologi Samfundsfag Kemi: Se bilag 1 Matematik: Se bilag 2 Udtrykke eller Vurder: bestemme På baggrund af biologisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Maj-juni, 13. Denne plan dækker efteråret 2012 og foråret 2013. Institution Uddannelse Fag og niveau
Læs mereRetsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager
7.4.07 Flóvin Tór Nygaard Næs & Kristian Priisholm Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager Studieretningsprojekt i biologi (A) og matematik (A) Emne: Brug af genetisk materiale som grundlag
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau
Læs mereUndervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb
Undervisningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015-2016 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jesper
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 2st101-MAT/B-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik
Læs mereMobning på arbejdspladsen. En undersøgelse af oplevelser med mobning blandt STEM-ansatte
Mobning på arbejdspladsen En undersøgelse af oplevelser med mobning blandt STEM-ansatte September 2018 Mobning på arbejdspladsen Resumé Inden for STEM (Science, Technology, Engineering & Math) var der
Læs mereSkriftlig eksamen BioMatI (MM503)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne
Læs mereDagens program. Velkommen og præsentation.
Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2017 Institution DET BLÅ GYMNASIUM - TØNDER Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereÅrsplan for matematik
Årsplan for matematik Målgruppe: 07A Periode: Oprettet af: GL Mål for undervisningen: Matematik, 2017/18, 7. klasse. Undervisningen vil veksle mellem fælles gennemgang og selvstændigt arbejde, både individuelt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Thy-Mors hf & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Knud Søgaard
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereStatistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereBedømmelseskriterier Naturfag
Bedømmelseskriterier Naturfag Grundforløb 2 rettet mod social- og sundhedsuddannelsen Social- og sundhedsassistentuddannelsen NATURFAG NIVEAU E... 2 NATURFAG NIVEAU C... 5 Gældende for prøver afholdt på
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Københavns
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Claus Simonsen 14MABA61
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereIndholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole
Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017/18 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Haderslev Handelsskole EUX/EUD Matematik C
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2014 Roskilde
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen
Læs mereTEKST NR 433 2004. TEKSTER fra. En komparativ analyse af to samtidige modeller for udbredelse af HIV/AIDS HIV AIDS
TEKST NR 433 2004 En komparativ analyse af to samtidige modeller for udbredelse af HIV/AIDS HIV Britta Frier & Lene Marie Pedersen AIDS Spildte liv Vejleder: Jesper Larsen TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling
Læs mereKompetencetræning i matematik - også til prøverne. KP 10. januar 2019
Kompetencetræning i matematik - også til prøverne KP 10. januar 2019 Kompetencetræning i matematik - også til prøven Prøverne i matematik bliver i stadig højere grad kompetencebaseret, så det giver god
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mere(bogudgave: ISBN , 2.udgave, 4. oplag)
Videnskabsteori 1. e-udgave, 2007 ISBN 978-87-62-50223-9 1979, 1999 Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Denne bog er beskyttet af lov om ophavsret. Kopiering til andet end personlig brug
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 & Maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereSimpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen
Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jane Madsen X1maC18s
Læs mereSpørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer
Spørgeskemaundersøgelse blandt lærere og censorer Bilag til evaluering af matematik på stx DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Indledning Dette bilag til EVA s evaluering af matematik på stx indeholder i tabelform
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mere