MATEMATIK på Søværnets officerskole

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK på Søværnets officerskole"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9

2 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt kendskab til det matematiske pensum, de findes i læebogen P. Madsen: Teknisk Matematik kapitlene til Ha man ikke denne bog kan man på intenettet på hjemmesiden lasen-net.dk gatis hente læebogen Mogens Oddeshede Lasen: Matematik fa C til A- niveau. He svae pensum nogenlunde til kapitlene - 5 +afsnit 6. og 6.. (sidene til 6) Selv om avanceede matematiklommeegnee let kan educee selv de vanskeligste udtyk, og løse selv meget kompliceede ligninge osv. så vise efaingen, at det e meget svæt, at anvende matematikken, hvis man ikke e i stand til at manipulee med simple udtyk. Det blive også næsten umuligt at læse en teknisk tekst elle høe et foedag, hvoi de indgå nogen matematik, hvis man ikke i imelig gad beheske symbolikken. Anvendelse af lommeegne. De foudsættes, at man ha ådighed ove en matematiklommeegne (he TI89). Denne e en avanceet minicompute, og det e en del af pensum, at man læe at anvende den på foskellige poblemstillinge. Eksemplene e dog ofte egnet både med og uden bug af lommeegne. Opgave e anføt efte hvet kapitel. En facitliste til disse opgave findes bagest i bogen. august 9 Mogens Oddeshede Lasen ii

3 Indhold INDHOLD Vektoe i planen. Indledning.... Definitione....3 Vektos koodinate Skalapodukt Retningsvinkel, polæe koodinate Vinkel mellem vektoe Tvævekto, Deteminant... 9 Opgave til kapitel... Rumgeometi. Vektoe i ummet.... Koodinatsystem i ummet Skalapodukt Linie i ummet Vektopodukt....6 Plane i ummet Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Kuglen... 3 Opgave til kapitel Sfæisk geometi 3. Gundbegebe Sfæisk tekant Sfæiske koodinate, polatekant Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant Den etvinklede sfæiske tekant De 6 tekantstilfælde Navigationsfomle Opgave til kapitel iii

4 Indhold 4 Standadfunktione 4. Funktionsbegebet Potensfunktione Polynomie Eksponential- og potensfunktione Eksponentialfunktion Logaitmefunktion Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione Tigonometiske funktione Indledning Definition af sinus og cosinus Peiodicitet Relatione mellem tigonometiske funktione Svingninge Opgave til kapitel Regession 5. Indledning Lineæ model Bestemmelse af egessionsligning Vudeing af om model beskive data godt Eksemple på lineæ egession egnet på TI Opgave til kapitel Diffeentialegning 6. Indledning Gænsevædi og kontinuitet Gænsevædi Kontinuitet Diffeentialkvotient Regneegle fo diffeentialkvotiente Diffeentiation af standadfunktionene Højee afledede Funktionsundesøgelse Nogle anvendelse af diffeentialegning Optimeing... iv

5 Indhold 6.8. Kinematik Indledning Jævn etlinet bevægelse Ikke etlinet bevægelse Økonomi... 8 Opgave til kapitel Integation 7. Indledning Ubestemt integal Integationsegle Bestemt integal Numeisk integation Rumfang af omdejningslegeme Tyngdepunkt af homogent plant omåde... 4 Opgave til kapitel Appendix Beegninge foetaget på lommeegne... 8 Facitliste... 3 Stikod v

6 .. Definitione Vektoe i planen. Indledning Som indledning til umgeometien epetees he kot de væsentligste definitione fa vektoe i planen. Bevisene e ofte udeladt, men kan findes i læebogen Matematik fa C til A niveau de kan findes på nettet (se foodet) Specielt gennemgås vektoe givet i polæe koodinate... Definitione Ved mange målinge og beegninge e man blot inteesseet i at opnå et tal som esultat. Man sige også, at esultatet e en skala. Dette gælde eksempelvis ved måling af en masse ( kg) elle en afstand (5 m). Ofte e tallet fosynet med en enhed. I ande tilfælde e man ikke alene inteesseet i et tal som esultat, men også i en etning. Dette gælde eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både e den etning skibet sejle i, og dens fat. Dette ske nomalt ved pile som både ha en etning og en længde (se figuen). Et andet eksempel e de kæfte de påvike et legeme. Også he ha man behov fo både at angive kaftens etning og dens støelse. Det e netop egning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Definition: Mængden af alle liniestykke med samme længde og samme etning kaldes en vekto. Hve af disse oienteede liniestykke kaldes en pil, og hve pil kaldes en epæsentant fo vektoen. Vektoe betegnes med små bogstave med en pil ove eksempelvis a. Hvis vektoen ha begyndelsespunkt i A og endepunkt i B betegnes den AB a b b a Fig.: Vektoe På figu. e a = AB = CD og b = EF = GH, mens a b (da de ha foskellig etning).

7 . Vektoe i planen Længden af vektoen a = AB skives a og definees som længden af liniestykket AB. Nulvektoen e en vekto med længden. Egentlig vekto: Vekto de ikke e nulvektoen Vektoaddition. Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vektoen a+ b definees på følgende måde. Et vilkåligt punkt A vælges som begyndelsespunkt fo a. Lad B væe endepunkte fo a. Deefte afsætte vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet fo b kaldes C (se figu.). Vektoen a+ b e da defineet som vektoen med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Indskudssætningen: AC = AB+ BC (kaldes således, da B e skudt ind mellem A og C) a b a a+ b a+ b a+ b b Fig. Vektoaddition Kæftenes paallelogam. En anden måde at konstuee summen af a og b e ved at afsætte de to vektoe med samme begyndelsespunkt (på figu. i punktet D). Vektoen a+ b e da diagonalen i det af a+ b udspændte paallelogam. Hvis a og b va kæfte de påvikede et legeme i punktet D, så e a+ b den esulteende kaft. Det ses umiddelbat af en figu, at de gælde a+ b = b + a og a+ ( b + c) = ( a+ b) + c Disse egle bevike, at man egneeglene fo addition af eelle tal og fo vektoaddition blive de samme. Man kan således hæve og sætte plus paentese efte behag.

8 .. Definitione Vektosubtaktion Fo eelle tal gælde som bekendt, at 6-4 e det tal de lagt til 4 give 6, elle 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b + ( a b) = a. På figu.3 e a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b e da den vekto, de ha begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig.3 Vektosubtaktion Multiplikation med tal Definition: Lad a væe en egentlig vekto og t væe et eelt tal. Vektoen t a e da bestemt ved: Hvis t > : t a og a e ensettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t < : t a og a e modsat ettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t = : a =. a a b b b Fig..4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a e vektoen de e modsat ettet a og lige så lang som a. Den benævnes kot a. Fo multiplikation af vektoe med tal gælde se sædvanlige egneegle som vi e vant til fa tal. Eksempelvis ( a + 3b ) 4( 3a b ) = a + 6b a + 8b = a + 4b Ved en enhedsvekto e fostås en vekto med længden a Enhedsvekto e ensettet med en given vekto a e e = a a Hvis eksempelvis a ha længden 5, så e en enhedsvekto i a s etning e =. 5 3

9 . Vektoe i planen.3 Vektoes koodinate Lad i et koodinatsystem punktene O, E og F have koodinatene O = (,), E = (,) og F = (,). Vektoene i = OE, j = OF kaldes koodinatsystemets basisvektoe (jævnfø figu.5) En vekto a kan nu skives a = a + a hvo e paallel med x - aksen og ay e paallel med x y a x y - aksen. Da a x e paallel med i findes de et tal a, så ax = ai hvo tallet a e entydigt bestemt. Analogt haves ay = a j Vi ha defo a = ax + ay = ai + aj Vi sige, at vektoen a ha koodinatene (a, a ). Fo at kende foskel på punktes og vektoes koodinate, vælge man ofte at skive vektoens a koodinate lodet : a =. a a x j a ay a j i Fig..5. Basisvektoe j i 3 i a = 3 i + j = 3 Fig..6. Vektos koodinate Regning med koodinate a Sætning.. Lad a = og b b = a b Da gælde a + b a b ta a+ b = a b = t a = a + b a b,, ta Bevis: a = a i + a j, b = b i + b j a a+ b = ai + a j + bi + b j = ( a + b) i + ( a + b) j = a På ganske samme måde bevises de to ande fomle. + b + b 4

10 .3 Vektoes koodinate Eksempel.. Regning med vektoe Lad de væe givet a = og b = Find koodinatene til a+ 5b Løsning: a+ b = ( ) + = = TI-89: *[-,3]+5*[3,5] Resultat [ 3] Stedvekto Lad P=(x, y) væe et punkt i planen og O=(,). Vektoen OP kaldes stedvektoen til punktet P. Det ses umiddelbat af figu.7, at stedvektoen punktet P ha samme koodinate. OP og Fig.7. Stedvekto Sætning.. Koodinate fo vekto givet ved to punkte Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a De gælde da, at vektoen AB = b a Bevis: Af indskudseglen fås: OB = OA+ AB AB = OB OA Da OB og OA e stedvektoe, ha de samme koodinate som A og B. Heaf fås b a b a AB = OB OA = b = a b a Eksempel.. Koodinate fo vekto givet ved punkte Lad punktene A = (5,) og B = (-3, 6). Find koodinatene til vektoen AB. Løsning: AB = 3 5 =

11 . Vektoe i planen Vektos længde. Sætning.3. Længde af vekto a a = a + a, hvo a =. a Bevis: Vektoene ai og a j danne sammen med a en etvinklet tekant med a som hypotenuse (se figu.8). Da længdene af katetene e ai = a og ai = a fås af Pythagoas sætning: a = a + a a = a + a Eksempel.3 Længde af vekto ) Find længden af vektoen a = 3. 4 ) Find en enhedsvekto e ensettet med a. Løsning: ) a = ( 3) + 4 = 5 ) 3 5 a e = = a 4 5 TI 89: ) ((-3)^+4^) elle nom([-3,]) (nom kan findes unde CATALOG) ) unitv([-3,4]) (unitv angive enhedsvekto og kan findes unde CATALOG).4 Skalapodukt. Vi vil nu definee et podukt af vektoe, hvo esultatet e et tal (en skala). Definition af skalapodukt. a Ved skalapoduktet (også kaldet pikpoduktet ) af vektoene a = og fostås b b = a b tallet a b = a b + a b. Eksempel.4. Skalapodukt Lad de væe givet a = og b = Find skalapoduktet a b. Løsning: a b = ( ) = 9 TI89: CATALOG\ dotp([-,],[3,5]) 6

12 De gælde følgende egneegle fo skalapoduktet:.5 Retningsvinkel, polæe koodinate Sætning.4. Regneegle fo skalapodukt () a b = b a () a ( b + c) = a b + a c (3) ( ta) b = a ( tb) = t( a b) (4) a = a a = a (sammenhæng mellem længde og skalapodukt) Bevis: Alle egle bevises ved koodinategning, efte samme metode som nedenfo bevist: a Lad a =, og b b = a c c = b c () a b = ab+ ab, b a = ba + ba. Da de to side e ens e () bevist. Regneeglene (), () og (3) svae ganske til de man kende fa almindelige tal, så vi kan defo tillade os at benytte samme metode ved udegning. a b a b a b a b = = + a b Eksempelvis ha vi ( ) ( )( ) ( ) Heaf fås a b = ( a b) a + b a b = a b a b. Da længden af en vekto e den samme uanset hvilket koodinatsystem de abejdes ( blot man ha samme enhed) så vise ovenstående, at skalapoduktets vædi også e uafhængigt af koodinatsystemet..5 Retningsvinkel, polæe koodinate Lad a væe en egentlig vekto. Vi ha tidligee vist, at en enhedsvekto e i samme etning a e givet ved a e =. Heaf fås a = a e a Hvis vi afsætte e med begyndelsespunkt i (,) vil endepunktet P ligge på enhedsciklen (se figu.8). j e i a Fig..8 Retningsvinkel Lad e danne vinklen v med den positive del af x - aksen. Punktet P få da koodinatene (cos v, sin v). Da en stedvekto ha de samme koodinate som punktet e e = cos v sin v a Vi ha demed a = a e = a. cos v = cos v sin v a sin v 7

13 . Vektoe i planen Vinklen v fa x - aksens positive del til a s etningsvekto kaldes a s etningsvinkel og egnes med fotegn sædvanligvis i intevallet [-8 ; 8 ] elle i intevallet [ ; 36 ] Man sige også, at punktet P ha de polæe koodinate OP,v. Da det e ganske besvæligt med håndkaft at egne i polæe koodinate, vil man sædvanligvis benytte en lommeegne som TI-89 til det. Eksempel.5 Regninge i polæe koodinate med TI89 5 ) Omegn vektoen til polæe koodinate ) Omegn vektoen til etvinklede koodinate 3) Udegn 3, i polæe koodinate Løsning: ) [5,] Pola ( Pola kan findes unde CATALOG) Resultat: [ ] ) [5.4,.8] ( findes ove EE) Resultat: [5..] 3) [3.6, 5] + [6., ] Pola Resultat: [ ] Eksempel.6. Regning i polæe koodinate Et skib sejle i 4 time fa punktet A til punktet B med en begyndelseskus på 34 og en fat på 6 knob. I B ændes kusen til 3. Man sejle med uændet fat videe i 5 time, hvoefte man e nået til punktet C a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A, hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet. Løsning: a) Skibet ha sejlet 6 ( 4 + 5) = 44 sm b) I polæe koodinate haves AB = ( 4 6, 34) og BC = ( 56, 3) Heaf fås AB+ BC = AC dvs. [64, 34] + [8, 3] Pola = [35.43, - 4.3] Kusen e = og antallet af sømil e sm.6 Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe, danne de en vinkel v med hinanden. Vi vil he altid egne vinkle som placeet i intevallet [ ; 8 ] (elle [; π] ). Vi egne altså ikke he vinkle med fotegn. Sætning.5. Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe og v e vinklen mellem dem gælde cos v = Bevis: Kan ses i læebog Fa C til A a b a b 8

14 Eksempel.7. Vinkel mellem vektoe Find vinklen mellem vektoene a = b 5 3 og = Løsning: a = 5 + = 9 b = 3 + ( ) = 3 a b = 53 + ( ) = a b cos v = = = a b 9 3 v = a b TI 89: Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b.7 Yvævekto, deteminant cos - ( dotp(unitv([5,]),unitv([3,-]))) hvo de enkelte vektoode findes i CATALOG elle ved MATH, MATRIX, L: Vecto ops To vektoe siges at væe otogonale hvis vinklen mellem dem e 9 Af sætning.5 følge:.7 Tvævekto, deteminant. a b = a b Definition af tvævekto. Ved tvævektoen $a til en egentlig vekto a fostås den vekto, de femkomme ved at deje a 9 i positiv omløbsetning (d.v.s. mod uet). Specielt gælde, at i et sædvanligt koodinatsystem e $i = j. Sætning.6. Tvævektos koodinate. a Lad a = væe en egentlig vekto. Tvævektoen ha da koodinatene. a $a $a = a a Bevis: se læebog fa C til A Eksempel.8. Tvævekto Find tvævektoen til vektoen a = 5 Løsning: $a = 5 b a 9

15 . Vektoe i planen Definition af deteminant. Ved deteminanten fo vektopaet ( ab, ) fostås tallet det ( ab, ) = a$ b a E a = og blive det b b = a (, ) $ a b ab = a b= ab ab b a = b Man buge en speciel skivemåde fo deteminanten fo et vektopa, nemlig et kvadatisk talskema med a som føste søjle og b som anden søjle. det(, a b ab) = = ab ab a b Eksempel.9. Beegning af deteminant. Lad a = b. Beegn deteminantene det og det. 3 = og (, ab ) ( ba, ) 4 Løsning: det (, 3 3 ab) = = ( ) = 4, det ( ba, ) = = = TI 89: CATALOG: det([3,;-,4]) Sætning.7. Aeal af paallelogam. Lad a og b væe to egentlige ikke-paallelle vektoe. Lad endvidee d= det( ab, ), v væe vinklen mellem a og b og A aealet af det paallelogam, som a og b udspænde. De gælde da: A = d = a b sin v. Bevis: Se læebog fa C til A. Eksempel.. Aeal af tekant Lad A=(5,), B=(6,-) og C=(3,-4). Find aealet af ABC. Løsning: Vi finde AB = og AC =. 3 5 Da deteminanten 5 6, ha det paallelogam de udspændes af vektoene 3 5 = = AB og AC aealet T =. Vi ha følgelig, at ABC s aeal = = 55.

16 Opgave til kapitel Opgave til kapitel. Løs ligningen x = x 4 4. a) Skiv a = på polæ fom. 3 b) Find de polæe koodinate fo punktet P = (, -3) c) I polæe koodinate e Q = (5, 46 ). Angiv Q s koodinate på ektangulæ fom d) Beegn (6, ) + (4, -3 ) i polæe koodinate..3 AB ha begyndelsespunkt A = (3,-), længden 6 og etningsvinklen 33. Bestem med 3 decimale koodinatene til B..4 Et skib sejle i 3 time fa punktet A med en begyndelseskus på 3 og en fat på 5 knob. (en kus e vinklen i fohold til nod (y-aksen) egnet positiv med uet, og knob e sømil/time) Heefte ændes kusen med i sydlig etning (med uet) og faten ændes til knob. Efte 4 times sejlads med den nye kus nås til punktet C. a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet..5 Bestem vinklen mellem vektoene a = b 5 = 9 og.6 Bestem vinklene i ABC, nå A = (7,8), B = (-5,) og C = (8,-).7 a) Vis at punktene A = (-,), B = (-,-), C = (4,) og D = (3,5) udspænde et paallelogam. b) Find den spidse vinkel mellem diagonalene..8 Lad A = (-,), B = (,5) og C = (,) Vis, at ABC e etvinklet, og bestem de to spidse vinkle i tekanten.

17 Rumgeometi. Rumgeometi. Vektoe i ummet. Vi vil i dette kapitel antage at epæsentantene fo vektoene e pile de e beliggende i det tedimensionale um. Et eksempel hepå kunne væe hastighedsvektoen fo en patikel i ummet. Definitionene i afsnit. (af længde, enhedsvekto osv.) og egneeglene i afsnit.3 (addition, subtaktion, multiplikation med tal) gælde også fo disse vektoe. Eksempel.. Paallelepipedum Ved et paallelepipedum ABCD-EFGH fostås et legeme begænset af paallelogamme (se figu.) Idet a = AB, b = AD og c = AE skal man udtykke diagonalvektoene AG, BH, EC og FD ved a, b og c. Løsning: Af indskudssætningen fås AG = AB+ BC+ CG = a + b + c BH = BA+ AD+ DH = a+ b + c EC = EA+ AB+ BC = a + b c FD = FE + EA+ AD= a c + b c b Fig... Paallelepipedum

18 . Koodinatsystem i ummet.. Koodinatsystem i ummet. Lad a, b og c væe 3 egentlige vektoe i ummet, som e tegnet med begyndelsespunkt i samme punkt, og som ikke ligge i samme plan. c De te vektoe a, b og c nævnt i denne ækkefølge siges at væe i højestilling, hvis følgende egel gælde: Omslutte man vektoen c med høje hånd (se figu.) og lade fingene følge undt samme vej som den mindste dejning, de føe a ove i b, vil tommelfingeen pege i c s etning. a Fig...Højestilling Et (sædvanligt) etvinklet koodinatsystem i ummet e givet ved et begyndelsespunkt O, og 3 enhedsvektoe (kaldet basisvektoe) som to og to stå vinkelette på hinanden. Basisvektoene benævnes sædvanligvis i, j og k og e i denne ækkefølge placeet i højestilling. De te oienteede linie de gå gennem O og ha i, j og k som etningsvektoe kaldes koodinatsystemets akse, og benævnes henholdsvis x, y og z - aksen. (elle (), () og (3) - aksen). k i j Fig..3. Koodinatsystem Punktet P pojicees ned i xy - planen i punktet Q. I xy - planen pojicees Q ind på x - aksen i R og på y - aksen i punktet S. Desuden pojicees P ind på z - aksen i punktet T. (jævnfø figu.3). Indskudseglen fo vektoe give OP = OQ+ QP = OR+ RQ+ QP = OR+ OS+ OT Da OR, OS og OT e paallelle med henholdsvis i, j og k fås OP = OR+ OS+ OT = xi + yj + zk. x Man sige, at P ha koodinatene (x, y, z) og vektoen OP = y. z 3

19 Rumgeometi Regning med vektoenes koodinate foegå på samme måde som det blev vist i det plane tilfælde. De gælde således b a Hvis A= ( a, a, a3) og B = ( b, b, b3), så e AB = b a og a = a + a + a3 b a 3 3 Tetaede Ved et tetaede fostås et legeme begænset af fie tekante (jævnfø figu.4). Ligesom en tekant e en gundlæggende figu i plangeometien e et tetaede en gundlæggende figu i umgeometien. Man kan vise, at umfanget V af et tetaede e V=, hvo G e gundfladens aeal og h e 3 Gh højden. Fig..4. Tetaede Eksempel.. Tetaede. I tetaedeet ABCD e A = (,,), B=(,4,) og C = (,,). Idet M e midtpunktet af BC, e D bestemt ved, at D ha positive koodinate, at DM stå vinkelet på xy - planen, og DM = 3 Skitse tetaedeet, og find D s koodinate. Løsning: Tetaedeet e skitseet på figu.5. Idet OM = OC+ CB = + == 4 3 fås D = (,3,3) k i j Fig..5. Skitse af tetaede 4

20 .3 Skalapodukt.3 Skalapodukt. Skalapodukt definees på ganske samme måde som i planen. Definition af skalapodukt: a b Hvis a = a og b = b e to vektoe i ummet, definees skalapoduktet a b ved a3 b3 a b = a b + a b + a b. 3 3 Fo skalapoduktet gælde defo egle, de e ganske mage til de tilsvaende i planen. Vi vil defo ikke gentage dem he, men henvise til afsnit 3.4, 3.6 og det følgende eksempel. Eksempel.3 Anvendelse af skalapodukt Givet punktene A = (,,-3), B = (, -, 3) og C = (3,4,5). ) Find skalapoduktet AB AC ) Find vinklen mellem AB og AC. Løsning: 3 AB = = 4, AC = 4 =. 3 ( 3) 6 5 ( 3) 8 ) AB AC = = 4 ) Vinklen mellem vektoe findes af fomlen i sætning.5. AB AC 4 7 cos v = = = = v = AB AC TI89: CATALOG ) dotp([,-4,6],[,,8]) Resultat 48 a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-4,6]),unitv([,,8]))) Resultat

21 Rumgeometi.4. Linie i ummet. Lad l væe en et linie i ummet, som gå gennem et fast punkt P og e paallel med en egentlig vekto l. Fo vilkålige punkte P på linien l og kun fo disse punkte vil de da gælde: PP = tl, hvo t e et eelt tal. Fo hve vædi af t (kaldet paameteen) svae de ét punkt på linien og omvendt. Af indskudssætningen fås OP = OP + P P OP = OP + t l OP = OP + t l, kaldes en paametefemstilling fo linien l, med paameteen t (som e et eelt tal). l kaldes liniens etningsvekto. k i j l Fig..6. Ret linie l a Lad vektoen l = b og P =(x, y,z ). (jævnfø figu.6) c x x a En paametefemstillingen fo l i koodinate blive da y = y + t b, t eelt tal z z c En linie ha mange paametefemstillinge, da man dels jo kan vælge foskellige faste punkte på l, dels vil alle vektoe popotionale med l kunne benyttes som etningsvektoe. 6

22 .4 Linie i ummet Eksempel.4. Linies paametefemstilling. ) Find en paametefemstilling fo linien l gennem punktene A=(3,, 4) og B = (,, -3). ) Angiv en paametefemstilling fo liniestykket AB Løsning: 3 ) Da AB = = og et punkt på linien e A e en paametefemstilling fo l: x 3 y t t R = +, z 4 7 ) Da t = svae til punktet A og t = svae til punktet B, ha liniestykket AB x 3 paametefemstillingen y t t = +, [, ] z 4 7 Man kan opfatte paametefemstillingen fo l som en beskivelse af en jævn etlinet bevægelse x () t a i ummet, hvo t angivet tiden. Bevægelsens hastighedsvekto e. = y () t b z () t c Eksempel.5. Retlinet bevægelse. x 4 Lad y t beskive et legeme L s etlinede bevægelse i ummet, hvo t angive tiden = + z 4 og hastigheden måles i m/s. a) Find vejlængden (i m) som legemet gennemløbe i 3 sekunde. b) Find den tid det tage fo L at gennemløbe en stækning på 9 m. Løsning: a) Faten e = 36 = 6m/s I 3 sekunde gennemløbes 8 m. 9 b) 9 m gennemløbes på = 5 s 6 7

23 Rumgeometi Skæing mellem ette linie I ummet vil to ette linie som ikke e paallelle ikke nødvendigvis skæe hinanden. Eksempelvis vil to linie, de indeholde to modstående side i et tetaede ikke skæe hinanden. Linie, de ikke e paallelle og ikke skæe hinanden kaldes vindskæve. Eksempel.6. Skæing mellem linie x x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = y s = + 4 z 4 5 z Vis, at liniene l og m e vindskæve. Løsning: Retningsvektoene l = 6 og m = e ikke paallelle (ikke popotionale) 5 Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 5 t = 5+ s s+ t = 4 s= 4 t () y t = elle. = s 3+ 6t = 4+ s 6t s= s= 6t ( ) z t = s s 5t = s= + 5t () 3 7 Indsættes ligning () i ligning () fås ( 4 t) = 6t t = 7 t = Indsættes t = 7 i ligning () fås s= s= ) 6 Indsættes disse vædie i ligning (3) fås = = Da de ikke findes paametevædie de tilfedsstille alle te ligninge skæe de to linie ikke hinanden. Liniene e vindskæve. TI 89 F: solve(-t=5+x and 3+6t=4+x and 4-5t=-x,{t,x}) Resultat: false Anden mulighed APPS, A b, New, Numbe of eqns :, Numbe of unknown :, Ente Udfyld skemae, F5 8

24 .4 Linie i ummet Vinkel mellem linie Ved vinklen mellem to linie fostås den spidse vinkel mellem linienes etningsvektoe. Lad linienes etningsvektoe væe l og m l m I afsnit 3.6 fandt vi, at den spidse vinkel v e cos v = l m Eksempel.7. Vinkel mellem linie x 3 x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = y s = z 5 z 9 3 a) Vis, at liniene skæe hinanden, og find koodinatene til skæingspunktet S. b) Find vinklen mellem l og m. Løsning: a) Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 3 3+ t = 5 s s+ t = s= t () 5 y t = elle = s 5+ 3t = 8+ 5s 3t 5s= 3 3t = 5s 3 ( ) 9 3 z 5 + 5t = 9+ 3s 5t 3s= 5t = 3s () 3 Indsættes ligning () i ligning () fås 3t = 5 ( t) 3 8t = 8 t = Indsættes t = i ligning () fås 3= 5s 3 s= Indsættes disse vædie i ligning (3) fås 5( ) = 3 5= 5 De to linie skæe hinanden i det til t = - svaende punkt S = (,, -3) Som kontol kan vi se, at indsættes s = fås samme punkt. TI 89 a) F: Solve(3+t=5-x and 5+3t=-8+5x and +5t=-9+3x,{t,x}) Resultat: t=- and x = b) Lad en vinkel mellem l og m væe v. Vi ha da 3 5 l m 5 3 cos v = = = = l m v = TI 89 l m l m e e b) Idet cos v = = l m, hvo el og em e enhedsvektoe fås cos - ( dotp(unitv([,3,5]),unitv([-,5,3]))) Resultat:

25 Rumgeometi.5 Vektopodukt. Ved mange anvendelse ha man bug fo en anden fom fo podukt af to vektoe, hvo esultatet e en vekto (og ikke et tal). Dette podukt kaldes vektopoduktet (elle kydspoduktet ) af de to vektoe a og b og skives a b. Man sige kot a kyds b. Definition af vektopodukt. Lad a og b væe to egentlige, ikke-paallelle vektoe. a b e da en vekto, ) hvis etning e bestemt ved, at a b stå vinkelet på både a og b, og a, b og a b i denne ækkefølge e i højestilling, ) hvis længde e aealet af det paallelogam, de udspændes af a og b dvs. a b = a b sin v hvo v e vinklen mellem a og b ( v π ). a b b a Fig..7. Vektopodukt Eksempel.8. Rotation. Lad de væe givet et stift legeme L, som otee om en akse l med vinkelhastigheden ω. Fa et vilkåligt punkt O på l afsættes en vekto ω, hvis længde e lig vinkelhastigheden, og hvis etning e fastlagt således, at den sammen med dejningen om l bestemme en højeskuning (se figu.7). Til et givet tidspunkt ha hve patikel P i legemet L en hastighed, de tænkes afsat som en vekto v P ud fa punktet P. Det e klat, at v P = ω d, hvo d e afstanden fa P til aksen l (se figu.7). Idet d e højden i det af ω og = OP udspændte paallelogam, ha dette paallelogam aealet ω d, og demed e v P = ω. Da v P også e ensettet med ω, e hemed vist = ω. v P ω v P ω

26 .5 Vektopodukt Eksempel.9. Momentvekto Lad k væe en kaft, de ha angebspunkt i punktet P. Kaftens momentvekto m om et punkt Q definees ved m= QP k m k Fig..8. Momentvekto Regneegle fo vektopoduktet. Lad a, b og c væe vektoe i ummet og t et eelt tal. Da gælde ) a b = b a Den kommutative lov gælde ikke. ) ( a b ) c a ( b c ) Den associative lov gælde ikke. 3) a ( b + c) = a b + a c Den distibutive lov gælde. 4) ta ( b) = ( ta) b Den distibutive lov gælde. Bevis: () følge umiddelbat af definitionen. (4) følge også af definitionen, ved at gennempøve de foskellige mulighede t >, t =, t <. () gælde ikke fo alle vektoe, thi hvis i, j og k e basisvektoe i et koodinatsystem, e ( i i ) j = mens i ( i j) = i k = j. (3) ha et noget vanskeligee bevis: a E a = gælde (3) umiddelbat. E a en egentlig vekto og e e = e det tilstækkeligt at vise a e ( b + c) = e b + e c (5) da vi blot ha divideet alle led i (3) med a. Lad nu α væe en plan vinkelet på e, og v en vilkålig vekto (jævnfø figu.9) v Lad endvidee v α væe pojektionen væe pojektionen af e v på α. Vi vil så føst vise, at e v= e v. v α α E v nulvektoen, elle v paallel med e e begge podukte α lig I alle ande tilfælde vil det af e og v udspændte paallelogam have samme aeal som det af e og Fig.9. Tvævekto i plan v α udspændte ektangel. De to vektoe ha altså samme længde, og som figu.9 vise, ha de også samme etning. Da e v α = vα e e v α simpelt hen vα s tvævekto $v α i planen α. Vi ha følgelig e v= e vα = v$ α Anvendes dette på ligning (5) fås e ( b + c) = e b + e c e ( b + c) α = e b α + e c α ( b+ c) α = b $ + c $ Den sidste ligning e sand ifølge egning med tvævektoe. Reglene (3) og (4) sike, at vi kan multiplicee to fleleddede støelse på sædvanlig vis. Reglene () og () vise, at man ikke må ombytte faktoe, og ikke hæve gange paentese. α α

27 Rumgeometi Eksempel.. Regneegle. Beegn ( a + b c ) ( a b ). Løsning: ( a + b c ) ( a b ) = a a + ( b a ) c a a b b b + c b = 3( b a ) c a + c b Sætning.. Vektopodukts koodinate. a b a3 b3 a b a b a b Lad a = a og b = b. Da gælde a b = a b = 3 3. a b a3 b3 a b 3 3 a b a b En huskeegel e, a b at. koodinaten i a b e deteminanten man få, hvis man se bot fa. ække i a b, a b. koodinaten e med modsat fotegn den deteminant man få hvis man se bot fa anden ække og 3. koodinaten e den deteminant man få, hvis man se bot fa 3. ække. Bevis: Idet a = ai + a j + a3k og b = bi + b j + b3k, fås ved benyttelse af egneeglene (), (3) og (4) samt elationene i i = j j = k k =, at a b= ( ai+ a j+ ak) ( bi+ b j+ bk) = ( ab ab) i+ ( ab ab) j+ ( ab ab) k Eksempel.. Vektopodukt. Lad A = (, 3, -), B = (-, 4, 4) og C = (,, 3). a) Beegn vektopoduktet AB AC b) Find aealet af ABC. Løsning: a) Idet AB = og AC = e AB AC = x = b) Tekant ABC s aeal e T AB AC = = + + = TI 89: CATALOG: a) cossp([-3,,5],[-,-,4]) Resultat [9 7 4 ] b) /* (dotp([9, 7, 4 ],[9, 7, 4 ])) Resultat

28 .5 Vektopodukt 3 k Fig... Idealiseet kan Fig... Kan Eksempel.. Kæfte. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Hjønespidsene A, B og C tænkes bundet til et vandet plan, hvoi de kan foskydes gnidningsfit (se figu.) Stativet ha sådanne dimensione, at vælges denne plan som xy - plan og punktet A som begyndelsespunkt i et etvinklet koodinatsystem, få hjønespidsene koodinatene A = (,, ), B=(4,, ), C= (, 5, ) og D = (, 6, 3) (se figu 4.). Idet vi tænke os punktet D belastet og demed påviket af en lodet kaft. k k k = >, skal vi finde de eaktionskæfte og. de vike i undestøtningspunktene A, B og C, således at stativet k k A B, k C e i ligevægt.. Løsning: Da de ingen gnidning e, må eaktionskæftene væe lodette. Sættes og fås ifølge statikken, at ligevægten kæve k a k b A B = =, k c C = k k k k AB k AC k AD k A A B C B C = + + = ( ) ( ) kæftenes sum e nul moment om e nul = a b c k b c k x = + + = + + = = = = = a b c k b c k k a k b k c k k k k k k k A B C = = = ,,

29 Rumgeometi Afstand mellem punkt og linie. Lad en linie l gå gennem punktet A og have etningsvektoen l. Afstanden fa et punkt P til linien l kan findes af fomlen AP l dist( Pl) = l AP l Bevis: Vektoene og udspænde et paallelogam hvis ene side e og hvis højde e PQ (se figuen) AP l Aealet af paallelogammet e PQ l = AP l PQ = l Eksempel.3 Afstand punkt- linie x 3 Find afstanden mellem linien l : y t og punktet P=(, 5, 4). = + 5 z AP l Løsning: Idet A = (,,-3) fås dist( Pl) = = = = = 89. l ( ) TI 89: CATALOG: nom( cossp([-,4,7],[3,5,-]) )/nom([3,5,-]) l l.6. Plane i ummet. Lad P væe et givet punkt og n en given egentlig vekto. Ved en plan α gennem P med vektoen n som nomalvekto fostås mængden af punktet P fo hvilken vektoen PP stå vinkelet på vektoen n (se figu.). n α k i j Fig.. Plan 4

30 a Lad punktet P =(x, y, z ) og n = b (jævnfø figu.). c.6 Plane i ummet x x a Da gælde PPn y y b ax x by y cz z () = = ( ) + ( ) + ( ) = z z c Ligningen () kaldes planens ligning. Vektoen n kaldes planens nomalvekto Enhve plan kan altså femstilles ved en ligning af føste gad ax + by + cz + d =, Omvendt vil enhve ligning ax + by + cz + d = hvo (, abc,) (,,) femstille en plan med vektoen a n = b som nomalvekto. c Eksempel.4. Ligning fo plan. Find ligningen fo planen gennem punktene A = (,, ), B = (, -, ) og C = (-, -, ). Løsning: En nomalvekto til planen e n = AB AC = x = 3 4 Planens ligning e da: ( x ) ( y ) ( z ) = x y z+ 3= Vinkel mellem to plane. Ved vinklen mellem to plane fostås vinklen mellem dees nomalvektoe. Denne vinkel kan enten væe spids elle stump. E intet andet nævnt vil man sædvanligvis mene den spidse vinkel. nα nβ Denne spidse vinkel v kan beegnes af cos v =. (se figu.3) n n α β n β n α β α Fig.3. Vinkel mellem plane 5

31 Rumgeometi I en umlig figu eksempelvis et tetaede kan man ønske at finde den indvendige vinkel i figuen, og denne kan jo godt væe stump. Ønske man eksempelvis i tetaedeet ABCD (se figu.4) at bestemme den indvendige vinkel mellem planene ABD og BCD, så skal man vælge nomalvektoene således at den ene nomalvekto pege indad i figuen og den anden udad figuen. nbcd = BD BC pege he ind i figuen nabd = BD BA pege ud af figuen Den indvendige vinkel i tetaedeet e så nbcd nabd cos(v) = n n Fig..4. Tetaede BCD ABD Eksempel.5. Vinkel mellem plane. Lad hjønene i et tetaede ABCD have koodinatene A = (,, ), B = (, -, ), C = (-, -, ) og D = (, 3, 5) Find den indvendige vinkel i tetaedeet ved kanten AB Løsning: = = Ifølge eksempel.4 ha planen ABC nomalvektoen n AB AC 3 Planen ABD ha nomalvektoen n = AB AD= 3 x 3 = 4 4 n n cos v = = = 476. v = 4.34 n n TI89: a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-,]),unitv([-3,3,-4]))) Resultat:

32 .6 Plane i ummet Afstand mellem punkt og plan α Ved afstanden mellem et punkt og en plan fostås afstanden PP α, hvo P α e P s pojektion på planen α (se figu.5) α P α k i j Fig..5. Afstand d mellem P og plan Afstanden findes lettest ved benyttelse af sætning.. Sætning.. Afstandsfomel. Punktet P = (x, y, z ) s afstand fa planen med ligningen ax + by + cz + d dist( P, α ) = a + b + c ax + by + cz + d = Beviset e ganske analogt med det tilsvaende bevis i planen fo afstand mellem punkt og linie, og vil defo ikke blive gentaget he. Eksempel.6. Afstandsfomel Lad de væe givet et punkt P = (,, ) og en plan α: x+ y+ z 3=. Find punktet P s afstand til α. Løsning: dist( P, α ) = = = e 7

33 Rumgeometi Skæing mellem linie og plan. På figu.7 e tegnet en linie l som skæe planen α i punktet S. Da punktet S ligge både i planen α og på linien l må dens koodinate tilfedsstille både liniens paametefemstilling og planens ligning. Femgangsmåden femgå af det følgende eksempel.7. k i j α Fig..6. Skæing mellem linie og plan Eksempel.7. Skæing linie - plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find skæingspunktet S mellem linien og planen. Løsning: x x = t Paametefemstillingen y t y t = + = + z z = t indsættes i ligningen x+ y+ z = ( + t) + ( + t) + t = t = Indsættes t= i paametefemstillingen fås skæingspunktet. S = (, 3, ) 8

34 .6 Plane i ummet Vinkel mellem linie l og plan α. Pojektionen af l på α e den linie l α som femkomme ved at alle punkte på l pojicees ned på planen α. Vinklen mellem en linie og plan e vinklen mellem linien og dens pojektion på planen (se figu.7). n α k i j Fig..7. Vinkel mellem linie og plan Vinklen v mellem en linie l med etningsvekto l og en plan α med nomalvekto n beegnes lettest ved, at man føst beegne den spidse vinkel u mellem etningsvektoen fo linien og planens nomalvekto. Deefte e v = 9 - u (se figu.7) l n Da cos( u) = sin( 9 u) = sin v fås sin v = l n Eksempel.8. Vinkel mellem linie og plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find vinklen v mellem linien og planen Løsning: l n 7 sin v = = = = 956. v = 7.8 l n TI 89: sin - (abs(dotp(unitv([,,]),unitv([,,])))) Resultat: 7.8 9

35 Rumgeometi.7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang. Polyede Indledning. Ved et polyede fostås et legeme, de e begænset af et endeligt antal plane polygone. Disse polygone kaldes polyedeets sideflade, og dees side og vinkelspidse betegnes henholdsvis som polyedeets kante og hjønespidse.. En diagonal e en et linie, de fobinde to hjønespidse uden at ligge i en af polyedeets sideflade. (se figu.8). Et konvekst polyede e et polyede, hvo det fo vilkålige punkte A og B i polyedeet gælde, at hele liniestykket AB tilhøe polyedeet.. Pisme. Lad de væe givet to polygone F og G, som ikke ligge i samme plan, og hvo F kan føes ove i G ved en paallelfoskydning. (se figu.9). Ved pismet bestemt af F og G fostås det polyede, hvis kante e sidene i F og G samt fobindelsesstykkene mellem tilsvaende vinkelspidse i de to polygone. Afstanden mellem F og G (pismets gundflade) kaldes pismets højde. Rumfanget af et pisme e G h hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden mellem de to paallelle flade. Fig.8. Polyede Fig..9. Pisme Nedenstående figue vise specielle pisme. 3

36 .7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Pyamide Ved en n - sidet pyamide fostås et polyede, de fembinges ved, at vinkelspidsene i en given plan n - kant ABC,... fobindes med et punkt T uden fo polygonens plan (se figu.). Polygonen ABC... kaldes pyamidens gundflade og tekantene TAB, TBC,... kaldes pyamidens sideflade. E H pojektionen af toppunktet T på gundfladen, kaldes HT fo pyamidens højde Af specielle pyamide kan nævnes de tidligee omtalte tetaede, som e begænset af fie tekante. Rumfanget af en pyamide 3 Gh gundfladens aeal og h e højden hvo G e Fig... Pyamide Fig... Tetaede Rumfanget af en cylinde e mellem de to paallelle flade. Rumfanget af en kegle e G h 3 Gh hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden hvo G e gundfladens aeal og h e højden. 3

37 Rumgeometi.8 Kuglen På figu. e tegnet en kugle med centum i C = og adius. ( x, y, z ) Kuglen kan vises at have umfanget V = π og ovefladen O = 4 π Sætning.3.Kuglens ligning En kugle med centum i C = ( x, y, z ) og adius ha ligningen Bevis: Lad P = (x, y, z)væe et vilkåligt punkt på peifeien af kuglen. Da Kuglepeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius, e CP =. I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Fig.. Kugle med adius ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Eksempel.9 Kugle Opskiv ligningen fo kuglen med centum i C = (, -, 5) og adius = 5. Løsning. ( x ) + ( y+ ) + ( z 5) = 5 Ganges kuglens ligning ud fås ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = x + y + z x x y y z z+ x + y + z = Vi kan defo omvendt se, at hvis vi ha en ligning indeholdende leddet det muligvis en kugle. x + y + z så femstille 3

38 .8 Kuglen Eksempel. Kugle Undesøg om ligningen x + y + z x+ 4y z+ 3= femstille en kugle, og angiv i bekæftende fald kuglens centum og adius. Løsning: Vi ha, at x = y = 4 z = x = y = z = = 4 Hemed fås x y z dvs. 4-3 = 9 = elle = 3 Lad en kugle have centum C og adius. Ved kuglens tangentplan i et punkt P på peifeien, fostås den plan, som gå gennem P og stå vinkelet på CP. Eksempel.. Tangentplan En kugle ha centum C = (3, 4,5) og adius = 69. ) Vis, at punktet P = (4,, -3) ligge på kuglepeifeien. ) Find ligningen fo tangentplanen til kuglen i punktet P. Løsning: ) CP = CP = = 69 8 Da = CP ligge P på kuglens peifei. ) Tangentplanen gå gennem P og ha nomalvktoen CP = 8 Tangentens ligning: ( x 4) + ( )( y ) + ( 8)( z+ 3) = x y 8z = 4 33

39 Rumgeometi 34 Opgave til kapitel. Afsæt i et koodinatsystem punktet P = (,, ) og punktet Q = (, -, 3). Afsæt endvidee punktet R, således at vektoen, og angiv R s koodinate. PR =. Lad de væe givet punktene A =(-,, ), B = (3,, 4) og C = (6, 3, 7). Bestem punktet D, så ABCD danne et paallelogam..3 Find det abejde som kaften udføe på en patikel, nå denne bevæge sig etlinet k = 3 4 fa punktet A = (8, -, -3) til punktet B = (-,, 6)..4 Undesøg om vektoene og e indbydes otogonale a b = = 3, c = 5 4 (vinkelette på hinanden)..5 I teningen ABCD - EFGH med kantlængden a, skal man finde vinklen u mellem diagonalen i gundfladen AC og diagonalen AG. Find endvidee vinklen v mellem diagonalene AG og BH..6 Linien l gå gennem punktene A = (,-3,4) og B = (-,4, 3) Angiv en paametefemstilling fo l. En anden linie m ha paametefemstillingen x y z t = Undesøg om liniene l og m skæe hinanden..7 Lad en patikel P bevæge sig med jævn hastighed bestemt ved, hvo t x y z t = + 4 angive tiden i sekunde og afstande egnes i mete. a) Find faten (i m/s) b) Find den stækning ( i m) som legemet gennemløbe i 5 sekunde..8 Givet punktene A = (4, 3, -), B = (5, 9, ), C = (, -, -) og D = (4, 9, ). Lad l væe linien gennem A og B og lad m væe linien gennem C og D. a) Find koodinatene til liniene l og m s skæingspunktet E (foudsat natuligvis at de skæe hinanden). b) Find vinklen mellem de to linie

40 Opgave til kapitel.9 Et etlinet ø med en diamete på, skal føes fa punktet P i én bygning til punktet Q i en anden bygning. Røets centelinie gå gennem P = (-,, 3) og Q = (5, 4, 6). a) Find en paametefemstilling fo linien gennem P og Q. b) Undesøg om østykket fit kan passee en kommende kassefomet udbygning K givet ved K = {( x, y, z) x y 4 z 4} (Vink: tegn figuen set ovenfa).. En kugle med adius 4 m og med centum i koodinatsystemets begyndelsespunkt otee om z - aksen med en vinkelhastighed ω = ad/sec ( høje om ). Find hastighedsvektoene vp og vqi punktene P =(,, ) og Q = (, 3, 3 ).. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Unde samme betingelse som i eksempel. skal man finde eaktionskæftene i punktene A = (3,, ), B = (,, ) og C = (-, -, ), nå punktet D = (,, 6) e påviket af kaften k =. 4. a) Angiv ligningen fo en plan α, som gå gennem punktene A = (3,, -), B = (,, 3) og C = (-, 3, ). b) Angiv ligningen fo en plan, de gå gennem D = (, 3, ) og e paallel med α..3 Find aealet af ABC., hvo A = (,, -), B = (, -, ) og C = (,, ).4 Lad de væe givet punktene A = (,, ), B = (-,, 3) og C = (,, ). a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde A, B og C. b) Find ligningen fo den plan β, som indeholde A, B og e paallel med z - aksen. c) Find ligningen fo den plan γ, som indeholde A, og e paallel med yz - planen. d) Find de te planes skæingspunkte med x - aksen..5 I tetaedeet ABCD e A = (6,, ), B = (,, 3) og C = (,, ). Idet D ha positive koodinate, DB = DA = 3 og D s pojektion på xz - planen falde på liniestykket AB, skal man a) Skitsee tetaedeet i et etvinklet koodinatsystem og finde D s koodinate. b) Idet P e det punkt på BD fo hvilke BP = BD, skal P s koodinate angives. 3 35

41 Rumgeometi.6 To ette linie l og m e givet ved paametefemstillingene x x l: y t, t R og = m: y s, s R = + z 3 z Find en ligning fo den plan α, som indeholde l og e paallel med m..7 a) Undesøg om liniene x x l: y t, t R og = + 5 m: y s, = + z z 4 3 s R skæe hinanden. b) Find skæingspunktet mellem linien l og planen α med ligningen α: 6x+ 7y+ z = 6.8 Beegn toplansvinklen mellem to diagonalplane i en tening..9 Taghældningen e ovealt 45 på en filænget gåd (hvo længene stå vinkelet på hinanden. Find vinklen mellem to sammenstødende tagflade tilhøende hve sin længe.. Tetaedeet ABCD e bestemt ved A = (8,, ), B = (, 4, ), C = (3, -, ) og D = (,, ). a) Find afstanden fa C til planen ABD. b) Idet umfanget af en tetaede e, hvo G e gundfladens aeal og h e højden 3 G h skal man finde umfanget af tetaedeet ABCD c) Find vinklen mellem kanten CD og planen ABD. d) Find den indvendige vinkel ved kanten CD. e) Fodpunktet fo højden fa C på planen ABD kaldes H. Find H s koodinate. f) Find vinklen mellem liniene CD og AD.. De e givet et punkt P = (, 3, ), samt en et linie m med paametefemstillingen x y t t R = + 6,. z 5 a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde punktet P og den ette linie m. b) Find ligningen fo den plan β, som gå gennem P og stå vinkelet på linien m. c) Find skæingspunktet H mellem m og β. d) Bestem en paametefemstilling fo linien gennem P, som skæe m unde en et vinkel. e) Find koodinatene til punktet P s symmetiske punkt med hensyn til linien m. 36

42 . En kugle ha centum i C = (3, 5, -) og gå gennem punktet P = (,, -3). Opskiv kuglens ligning. Opgave til kapitel.3 Angiv en ligning fo den kugle, de gå gennem punktet P = (4, 6, 9) og som tangee xy-planen i punktet O = (..).4 Bestem centum og adius fo de kugle, hvis ligninge e a) x + y + z 6x+ 6y+ 64= b) x + y + z 8y+ 5= 37

43 3. Sfæisk geometi 3. Sfæisk geometi 3.. Gundbegebe Plangeometien handle om egenskabe ved figue tegnet i en plan, mens den sfæiske geometi behandle egenskabe ved figue tegnet på en kugleflade. Den sfæiske geometi finde bl.a. anvendelse i astonomien (stjenene sidde på en kugleflade), og i geogafien ( joden opfattes som en kugle) Stocikel Ved en stocikel på en kugle fostås den cikel de femkomme ved skæing mellem kuglen og en plan gennem kuglens centum. Som eksemple på stocikle kan nævnes jodens ækvato og længdeciklene, som alle e stocikle. To punkte på kuglen, de ikke e diamentalt modsatte, bestemme netop en stocikel. Dette ses af, at de to punkte sammen med kuglens centum bestemme netop en plan. To stocikle skæe hinanden i to diamentalt modsatte punkte. Dette ses af, at de to plane skæe hinanden i en kuglediamete. (se figu 3.) Fig 3.. To stocikle Pole Til enhve stocikel høe pole. Disse e bestemt som skæingspunktene mellem kuglen og linien gennem kuglens centum vinkelet på planen bestemt ved stociklen. Et eksempel e jodens ækvato, som e en stocikel og dens to pole nodpol og sydpol. To stocikle siges at væe vinkelette på hinanden, nå dees plane e det. Hve af stociklene vil så indeholde hinandens nomale gennem begyndelsespunktet O. De vil defo indeholde hinandens pole. Omvendt gælde, at indeholde en stocikel en anden Fig 3.. To stocikle vinkelet på stocikels pole, e de to stocikle vinkelette på hinan- hinanden den. 38

44 3. Sfæisk tekant Ved den sfæiske afstand mellem to punkte A og B fostås den mindste af de to stocikelbue, de fobinde punktene målt i gade (elle adiane) Sfæisk tokant To foskellige stocikle dele kuglen i 4 omåde. Hve af disse omåde kaldes en sfæisk tokant. En tokant begænses altså af halve stocikle. På figuen e det skaveede omåde således en tokant. Tokantsvinklen v e afstanden mellem de to halvcikles midtpunkte, hvilket e den samme som vinklen mellem de to plane de bestemme stociklene. Det blive defo også den sfæiske afstand mellem de to pole P og Q på figu 3.3. Vælges de pole, de ligge på samme side af stociklen som tokanten blive det vinklen mellem P og Q, dvs. den blive 8 - v. Fig Tokant 3. Sfæisk tekant Te stocikle, de ikke gå gennem samme punkt, dele kuglen i otte omåde. Hvet af disse kaldes en sfæisk tekant. På figu 3.4 e aftegnet en af disse tekante med vinkelspidsene A, B og C. Hve af de sfæiske afstande mellem to af tekantens vinkelspidse kaldes en side. Disse side betegnes på samme måde som i plangeometien med a, b og c. Ligeledes tale man i en sfæisk tekant om mediane, højde osv. i tilsvaende betydning som fo en plan tekant. Fig Sfæisk tekant Lillecikel Skæe vi kuglen med en plan, de ikke gå gennem centum af kuglen blive skæingskuven en cikel. Denne kaldes en lillecikel. En beddecikel e et eksempel på en lillecikel (idet dog vi he se bot fa ækvato, som jo e en stocikel. 39

45 3. Sfæisk geometi Af figu 3.5 ses, at hvis lilleciklen e en beddecikel på b bedde, så e adius BA = cos b. Omkedsen af lilleciklen e følgelig π cos b E den sfæiske afstand mellem to punkte på stociklen v så e den tilsvaende buelængde på lilleciklen følgelig v cosb Fig 3.5 Omkeds af lillecikel Eksempel 3.. Sejlads langs beddecikel Et skib sejle fa Esbjeg (55.3 N, 8.5 Ø) til et punkt P (55.3 N,.5 V) ved den engelske kyst langs beddeciklen 55.3 N. Idet skibet sejle med en fat på 6 knob, skal man beegne hvo lang tid det tage fo skibet at sejle fa Esbjeg til P. Løsning: PÅ figuen e N nodpolen og NB og NA e længdeciklene gennem E og P ned til ækvato. Idet N = = 9.55 e BA =9.55 Heaf følge at EP = 9.55 cos(55.3) = =.4 time Idet = 6 sm vil sejladsen vae 6 Til beegning af stykkene i en vilkålig plan tekant anvendes cosinus- og sinuselationene. Ganske på samme måde kan man fo en vilkålig sfæiske tekant udvikle cosinus-og sinuselatione. Beviset fo disse elatione e et omfattende og kæve en ække suppleende begebe udviklet. Dette ske i det følgende afsnit. 4

46 3.3 Sfæiske koodinate 3.3. Sfæiske koodinate, polatekant 3.3. Polatekant Ved polatekanten A B C til en sfæiske tekant ABC fostås den sfæiske tekant, hvis vinkelspidse e pole fo sidene til den givne tekant, idet man ved udvælgelsen af polen fo en tekantside skal vælge den pol, de ligge på samme side af tekantsiden som tekant ABC. På figu 3.6 e således A pol fo stociklen gennem B og C, og afstanden A A < 9, da A ligge på samme halvkugle som A De gælde nu følgende sætninge: Fig Polatekant Sætning 3.. Hvis A B C e polatekant til ABC, vil omvendt ABC væe polatekant til A B C. Bevis: Idet B C indeholde en pol fo hve af sidene AC og AB, e B C vinkelet på disse to side. Gennem sidenes skæingspunkt A vil de defo gå to foskellige stocikle vinkelet på B C. A e følgelig en pol fo B C. Tilsvaende indses, at B og C e pole fo henholdsvis AC og AB. Sætning 3. E A B C polatekant til ABC vil side og vinkle i A B C væe supplementvinkle til vinkle og side i ABC. De gælde altså A = 8 - a, B = 8 - b, C = 8 - c, a = 8 - A, b = 8 - B, c = 8 - C. Bevis: Betagte den af AB og AC bestemte tokant, e den sfæiske afstand a mellem de to pole C og B (ifølge afsnittet om tokante ) 8 -toplansvinklen A. dvs. a = 8 - A Tilsvaende kan vises fo de øvige side. Da ABC e polatekant fo A B C fås tilsvaende, at a =8 - A, hvoaf A = 8 - a 3.3. Sfæiske koodinate Vi betagte en kugle med centum O og adius. Vi anbinge et koodinatsystem med centum i O (se figu.7) Fo et vilkåligt punkt P betegne vi dens sfæiske afstand til punktet (,, ) med. θ Vi ha nu, at OP = OP + OP, og = OP = OP + OP () Af den etvinklede tekant OPP, fås OP = cosθ Indsættes dette i (), fås = cos θ + OP OP = ( cos θ) OP = sin θ Da θ π e sinθ, dvs. OP = sinθ Koodinatene til OP kan defo skives på fomen sinθ cos ϕ, sinθ sin ϕ,, hvo ϕ π ( ) Da tediekoodinaten til OP e OP k = cosθ ha vi nu OP s koodinate, og demed P s koodinate Fig..7. Sfæiske koodinate P = ( sinθ cos ϕ, sinθ sin ϕ, cosθ) Beliggenheden af P på kuglen kan defo kaakteisees ved talpaet ( ϕ, θ), som kaldes punktets sfæiske koodinate. I geogafien og astonomien måles vinklene ofte i gade, og man estattes i eglen θ med v = 9 - θ Eksempelvis ligge København 55 4' nodlig bedde og 35' østlig længde. θ 4

47 3. Sfæisk geometi 3.4. Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant Sætning 3.3 Fo en sfæisk tekant ABC med sidene a, b og c gælde følgende fomle Cosinuselationene: cosa cosb cosc (a) cos a = cosb cosc+ sin b sin c cos A elle (b) cos A = sin b sin c cos A+ cos B cosc (a) cos A = cos B cosc + sin B sin C cosa elle (b) cosa = sin B sin C Sinuselationene: sin a sin b sin c (3) = = sin A sin B sin C Det e klat, at ha man en tekant PNQ (hvad man ofte ha, da N e nodpolen) så kan man bae indsætte de elevante bogstave eksempelvis cos p = cosq cosn+ sin q sin n cos P Bevis: Bevis fo fomel (a) Koodinatsystemet anbinges som på figu 3.8, således at C ha koodinaten (,,), B ligge i xz-planen med positiv føstekoodinat, og A ha positiv andenkoodinat. A ha da de sfæiske koodinate (b, C) og B ha koodinatene (a,). sinbcosc sina Heaf følge OA = sinbsinc og OB = cosc cosa OA OB = sina sinb cosc+ cosa cosb Da vi samtidig ha, at OA OB = OA OB cosc = cosc få vi, at cosc= cosa cosb+ sin a sinb cosc Bevis fo fomel (a) Benyttes fomel () på polatekanten A B C fås Fig Sfæisk tekant cos a = cosb cosc + sinb sinc cos A Af sætning. følge nu ved indsættelse cos ( 8 A) = cos( 8 B) cos( 8 C) + sin( 8 B) sin( 8 C cos( 8 a) Da cos( 8 u) = cosu og sin( 8 u) = sinu, fås cos A = cos B cosc + sin B sin C cosa Hemed e fomel () bevist 4

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

OPGAVE 3. A Hvilken opbevaringskasse har det største rumfang?

OPGAVE 3. A Hvilken opbevaringskasse har det største rumfang? Rumgeometi OPGAVE 2 Matildes lillebo og lillesøste a ve fundet en I kassene skal de 3 cm 39 3 cm sto sten på standen, og de kan ikke blive enige opbevaes skumteninge, I dette kapitel skal du abejde med

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf)

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005

Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005 Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-005 99-8-1 C = (,-) radius = 7 f (x) = 6x + 4x 5 + y = x + : dist(t, ) = 1,0607 A(1,) og B(5,-1) M AB = (,1) m: y = x 1 x Redegørelse! f(x) = 70,74 x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undvisningsbskivls Stamoplysning til bug vd pøv til gymnasial uddannls Tmin Tmin hvo undvisningn afslutts (Juni 2016) Institution Uddannls Rybns HTX Fag og nivau Matmatik B/A Læ Jack Sandbæk Hold 1.c Ovsigt

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere