Opgavesættet består af 3 sædvanlige (essay) opgaver samt et antal opgaver af multiple choice typen.

Transkript

1 Danmarks Farmaceutiske Højskole Side 1 af 19 sider Skriftlig prøve den: 6. januar 2003 Kursus navn og nr: Forsøgsplanlægning F343 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af eksaminant nr Opgavesættet består af 3 sædvanlige (essay) opgaver samt et antal opgaver af multiple choice typen. De sædvanlige opgaver er placeret forrest, og de ønskes besvaret på sædvanlig skriftlig måde på de dertil udleverede besvarelsesark. Ved bedømmelsen tillægges de sædvanlige opgaver samlet vægt 50% og multiple choice opgaverne ligeledes 50%. Multiple choice opgaverne er placeret efter essayopgaverne og er nummereret med romertallene IV, V,... i selve teksten. Numrene på de enkelte spørgsmål er angivet som (1),(2),... i teksten. Bevarelserne af multiple choice spørgsmålene føres ind i nedenstående skema. Opgave IV V VI VII VIII XI X Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) Dit svar Svarmulighederne for multiple choice spørgsmålene er nummereret fra 1 til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Mht. multiple choice opgaverne skal kun skemaet afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal nærværende forside alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun tallene indført i skemaet registreres. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne din besvarelse med dit eksamens nummer. Sættets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der 1

2 Opgave I I et laboratorium er man i færd med at studere den variation, som kan være mellem prøver, som iøvrigt er tilstræbt ens, samt den variation, som vil forekomme mellem målinger foretaget på samme prøve på forskellige dage. I nedenstående eksperiment er der fremstillet en vis mængde af en bestemt biologisk (gærceller) substans. Denne substans er delt i 3 dele, kaldet Prøver, som prepareres (renses og filtreres) hver for sig og på denmåde, som foreskrives for sådanne prøver. Endelig er de 3 prøver hver delt i 12 delprøver, der nedfryses til så lav temperatur, at de kan forudsættes at være biologisk inaktive i frysningsperioden. På 4 forskellige dataoer udtages nu fra hver af de 3 prøver 3 delprøver, og der foretages en bestemmelse af delprøvernes biologiske aktivitet efter optønig ved et bestemt assay. Data illustreres af følgende tabel: Prøve 1 Prøve 2 Prøve 3 12/ y 111 y 121 y 131 y 112 y 122 y 132 y 113 y 123 y / y 211 y 221 y 231 y 212 y 222 y 232 y 213 y 223 y / y 311 y 321 y 331 y 312 y 322 y 332 y 313 y 323 y / y 411 y 421 y 431 y 412 y 422 y 432 y 413 y 423 y 433 Målingen y 413 er fx delprøve 3 fra prøve nr 1 på den 4. dag. Statistikafdelingen har foretaget en beregning af kvadratafvigelsessummer mm. for de fundne data og har fremsendt følgende skema: Variationskilde Kvadrataf- Friheds- s 2 EMS vigelsessum grader Mellem Datoer σD 2 +3σDP 2 + σ2 ɛ Mellem Prøver σP 2 +3σ2 DP + σ2 ɛ Datoer Prøver σDP 2 + σ2 ɛ Restvariation σɛ 2 Totalt Spørgsmål 1: Opstil den naturlige model for dette eksperiment, idet betegnelserne P, D og ɛ anvendes for prøver, dage og restvariation hhv., på sædvanlig måde. Forklar i få ord, hvordan størrelsen σp 2, for eksempel, skal forstås. 2

3 Spørgsmål 2: Analysér den opstillede model (ved testning kan benyttes signifikansniveau α = 5%) og anfør modellen omfattende de signifikante parametre. Kommentér resultatet kort. Spørgsmål 3: Estimér den signifikante models varianskomponenter (σ 2 D og/eller σ2 P og/eller σ 2 DP ) og den til den endelige model svarende usikkerhedsvarians σ2 ɛ. Opgave II Der er gennemført en undersøgelse af et medicinsk produkts holdbarhed i afhængighed af et antal procesvariable (produktionsindstillinger) og opbevaringsforhold. Holdbarheden er udtrykt gennem mængden af et primært nedbrydningsprodukt målt efter 12 måneders henstand. I forsøget indgik 7 faktorer, og forsøgene blev udført på to råvarebatche af produktet ( -1 og 1 ). Det vil være rimeligt at opfatte disse batche som blokke. Navn Betydning Niveauer A : Opbevaringstemperatur 18 o C 24 o C B : Koncentration af konserveringsmiddel 0.0% 0.5% C : ph-justering af produkt D : Varmebehandling af ampuller 44 o C 60 o C E : Additiv for stabilisering 0% 2% F : Opbevaringskondition i ro rystes lidt G : Belysning mørkt dag/nat lys Det målte respons var relativ andel biprodukt (nedbrydningsprodukt) i udbyttet angivet som %. Design, data og nogle indledende beregninger fremgår af følgende skema: Factorial design and confounding Batch= A B C D E=BCD F=ACD G=ABD ABCD Respons Kode (1) afg beg ab ef cef ac eg bc fg abc defg ad e bd f abd g cd g acd f bcd e abcd efg Planen er iøvrigt konstrueret som vist side 9. 3

4 Man tænker sig, at følgende begrebsmodel kan benyttes: Y = µ + A + B + AB + C + AC + BC + D + AD + BD + CD + E + F + G + Batch + ɛ hvor, f.eks., faktoren A s virkning har to niveauer A 0 og A 1,(A 0 = A 1 ), afhængigt af, om temperaturen er 18 o C eller 24 o C, tilsvarende for de øvrige faktorer. Bidraget ɛ repræsenterer forsøgsusikkerheden med variansen σɛ 2. Fortsæt påside 5 Modellen udmærker sig ved, at der udover hovedvirkningerne højst er to-faktorvekselvirkninger og kun mellem faktorerne A, B, C og D. Der er udført følgende beregninger og tilhørende normalplot: kode Respons Yates algoritme Kontrast SSQ (1) afg beg ab ef cef ac eg bc fg abc defg ad e bd f abd g cd g acd f bcd e abcd efg Fortsæt på side 5 4

5 2 1.5 Normal probability plot Normal scores Normal probabilities Contrasts sorted Spørgsmål 1: Vurdér (ud fra plottet), hvilke faktorer, der synes at have væsentlig betydning for produktets holdbarhed, og anfør den reducerede model, du mener er mest rimelig (i samme notation, som ovenfor). Spørgsmål 2: Estimér µ og hovedeffekterne i den fundne model, dvs. f.eks. for faktoren A skal effekten forstås som A = A 1 A 0, dvs. ændringen i middelrespons, når faktoren A ændres fra 18 o C til 24 o C. Estimation af eventuelle vekselvirkninger kan undlades. Spørgsmål 3: Bestem et skøn for usikkerhedens varians, σ 2 ɛ (baseret på dataogditmodelforslag). Fortsæt på side 6 5

6 Opgave III Nedenstående data stammer fra et biologisk forsøg med en bestemt bakteriekultur. Kulturen kan dyrkes i nogle glas, hvor opformering og forbehandling kan foregår anaerobt. Efter forbehandlingen homogeniseres kulturen i glassene ved stærk rystning og omrøring, hvorefter glassene (ved indføring af en tæt skillevæg) kan deles i to, og hver del kan tilføres den behandling, man ønsker, ved en injektion - alt stadig anaerobt. Det biologiske respons er et udtryk for væksthæmning ved den givne behandling. Der er benyttet 4 forskellige behandlinger, nemlig et oprindeligt produkt A og et produkt B, som foreligger i 3 alternative styrker, B1, B2 og B3. Forsøgsplanen og data var: Glas A B1 B2 B3 Sum Sum ( )/2 = ( )/2 = ( )/2 = ( )/2 = 1.20 ( )/2 = = /12 = Spørgsmål 1: Opstil en rimelig model til beskrivelse af forsøgets resultater. Forklar kort, hvad man opnår med den viste forsøgsplan mht. indflydelsen fra variablen glas og nøjagtighed. Spørgsmål 2: Opstil den til den formulerede model svarende variansanalyse og analysér modellen. Da forsøget er ret lille, benyttes et 10% signifikansniveau ved testning. Spørgsmål 3: Hvis man forudsætter, at der faktisk ikke er forskel på virkningen fra de 3 B-behandlinger (dvs. B1=B2=B3), vil det være naturligt at undersøge forskellen mellem A og de tre B er under ét. Bestem den dertil svarende kvadratafvigelsessum og test derefter, om den angivne forskel er signifikant f.eks. på et 5% signifikansniveau (benyt igen restvariationen fra spm. 2). Fortsæt på side 7 6

7 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave IV Følgende figur viser princippet i en forsøgsplan, hvor 4 petriskåle er benyttet til at undersøge effekten af 5 bactericider (bakteriedræbende middel) benævnt A E, i forhold til en Kontrol. De 5 bactericider er dyrket på 5 stammer, A E, af en bestemt type penicillinsvampe. Man måler bactericidernes evne til at hæmme væksten af en bestemt bakterietype, som skålene er podet med. Der er, som vist, 6 brønde pr skål. E Kontrol E B D B D A C A C Kontrol Skål nr 1 Skål nr 2 D C Kontrol C A B D A Kontrol E B E Skål nr 3 Skål nr 4 Spørgsmål IV.1 (1): En skål udgør i dette forsøg en forsøgsenhed, der gerne benævnes: 1 En ufuldstændig, men balanceret blok 2 En stokastisk faktor 3 En fuldstændig og randomiseret blok 4 En deterministisk faktor 5 Et whole plot Fortsæt påside 8 7

8 Efter analyse af dataene viser det sig, som ventet, at Kontrol en er markant afvigende fra de 5 bactericider. Data for kontrollen udelades, og variansanalysen for de 5 bactericider blev herefter: ANOVA for bactericider Source Sum of Degrees Mean F-value of variation squares of freedom square Petriskåle Bactericider Residual Total Som det fremgår, er variationen mellem bactericider lige netop signifikant ved α = Man vil nu gerne undersøge, hvorvidt de 5 bactericider på en eller anden måde udviser gruppering eller om en eller flere er tydeligt signifikant afvigende fra de øvrige, eksempelvis. Spørgsmål IV.2 (2): Hvilken af følgende fremgangsmåder, vil du mene, herefter vil være mest formålstjenlig? 1 Udføre et Duncans multiple range test 2 Udføre en énsidet variansanalyse ved at lægge variationen mellem petriskåle ned i restvariationen 3 Benytte ortogonale kontraster (f.eks. for totaler (A + C) 3 (B + D + E) 2, hvis A og C ser ud til at ligge højere end de øvrige, osv.). 4 Udføre t-tests for alle differenser mellem par af bactericider, dvs. A B, A C,..., D E, i alt 10 tests. 5 Udføre en Yates analyse på data. Fortsæt på side 9 8

9 Opgave V Vi betragter igen eksperimentet, fra opgave II med designet som vist side 3: Factorial design and confounding Batch= A B C D E=BCD F=ACD G=ABD ABCD Kode (1) afg beg ab ef cef ac eg bc fg abc defg ad e bd f abd g cd g acd f bcd e abcd efg der er konstrueret og har definitionsrelationen som følger:. I A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD = G CD ACD = F BCD = E ABCD = blokke (batche) I=BCDE=ACDF=ABEF=ABDG=ACEG=BCFG=DEFG Fortsæt på side 10 9

10 Spørgsmål V.1 (3): Hvilken resolution har dette forsøg: 1 I 2 II 3 III 4 IV 5 V Spørgsmål V.2 (4): Den fuldstændige aliasrelation for vekselvirkningen AB er: 1 AB=ACDE=BCDF=DG 2 AB=ACDE=BCDF=EF=DG=BCEG=ACFG=ABDEFG 3 AB=BCD=ACD=ABEF=ABD=ACE=BC=DE 4 AB=AC=DF=EF=DG=EG=CFG=ABDEFG 5 AB=ACDE=CDF=EF=DG=BCEG=ACFG=ABDEFG 6 Ved ikke Vi husker, at faktorerne var: Navn Betydning Niveauer A : Opbevaringstemperatur 18 o C 24 o C B : Koncentration af konserveringsmiddel 0.0% 0.5% C : ph-justering af produkt D : Varmebehandling af ampuller 44 o C 60 o C E : Additiv for stabilisering 0% 2% F : Opbevaringskondition i ro rystes lidt G : Belysning mørkt dag/nat lys Spørgsmål V.3 (5): Ét af forsøgene i den benyttede forsøgsplan er bcfg. Hvilket af følgende enkelt-forsøg svarer til koden bcfg? 1 [18 o C, 0.0%, 6.90, 44 o C, 2%, rystes lidt, mørkt ] 2 [24 o C, 0.5%, 6.90, 60 o C, 0%, i ro, dag/nat lys ] 3 [18 o C, 0.0%, 7.20, 60 o C, 2%, i ro, dag/nat lys ] 4 [18 o C, 0.5%, 7.20, 44 o C, 0%, rystes lidt, dag/nat lys ] 5 [18 o C, 0.0%, 6.90, 44 o C, 2%, i ro, mørkt ] Fortsæt på side 11 10

11 Spørgsmål V.4 (6): Manpåtænker at udføre et lignende forsøget på et nyt produkt, men vil nu inddrage yderligere en faktor, som vi her blot kalder H. Hvorledes mener du, det er mest hensigtsmæssigt at indlægge denne faktor. Der er følgende forslag til konstruktion, idet der bygges videre på konstruktionen side 9: 1 H=AB 2 H=ABC 3 H=ABCD 4 H=ABCDE 5 H=ABCDEF 6 Ved ikke Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VI Der er udført et faktorforsøg. Faktorerne er A, B, C, D, E, og F. De to faktorer E og F er lagt ind ved relationerne E= ACD og F = BCD Spørgsmål VI.1 (7): Den fuldstændige definitionsrelation for forsøget er 1 E=ACD=F=BCD=EF=AB 2 I=ACD=BCD=AB 3 I=ACDE=BCDF=ABEF 4 I=ACDE=BCDF 5 I = ACDE = BCDF = CDF Opgave VII Der påtænkes udført et forsøg med 8 faktorer, A, B, C, D, E, F, G, H. Forsøget konstrueres ud fra det fuldstændige faktorforsøg bestående af faktorerne A, B, C, D, E ved at de sidste faktorer indlægges ved relationerne F = ABC, G = ABD og H = BCDE. Forsøget lægges ud i 2 blokke ved relationen Blok = ABE. Spørgsmål VII.1 (8): Antallet af målinger i hver af de to blokke er 1 blokstørrelse = 2 2 blokstørrelse = 4 3 blokstørrelse = 8 4 blokstørrelse = 16 5 blokstørrelse = 32 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave VIII Man har udført en undersøgelse af, om tre alternative substrater, A, B og C, har indflydelse på den tid, det tager at få gang i væksten af en bestemt mikro-organisme (en bakterie), som man har oprenset og nu opbevarer nedfrosset. Kulturen benyttes til forskellige formål i laboratoriet, og det er vigtigt at kulturen er sikkert genoplivet, når den skal benyttes Biomasse Lag fase Vækst fase 2*C0 50 Estimeret vækst C Timer Y Man måler tiden Y, indtil den optøede biomasse er fordoblet i forhold til udgangspunktet C0 enheder. På figuren er vist et eksempel på indsamling af data fra et forløb med målinger hver 6. time: Målt C0 = 30 og Y 47 timer aflæst på den estimerede forløbsgraf. Der blev gennemført 5 forløb for hvert af substraterne, og man fik følgende samhørende målinger af Y og C0: A B C Y C0 Y C0 Y C Fortsæt på side 14 13

14 Man forestiller sig, at startkoncentrationen C0 kan være af betydning for lag-fasen og dermed for den målte værdi af Y, og man kunne derfor tænke sig at benytte følgende generelle model for resultaterne: Y ij = µ + τ i + β C0 ij + ɛ ij hvor µ er en konstant, τ i er indflydelsen fra i te substrat (med i τ i =0),βer en regressionskoefficient for C0 ij, der er den målte C0 svarende til Y ij. Endelig repræsenterer ɛ ij usikkerheden i eksperimentet. Man har undersøgt forskellige modeller (med et computerprogram) og fundet, hvor godt de beskriver data. Resultatet fremgår af følgende tabel over restkvadratafvigelsessummer: Model Model Rest kvadrat- Rest beskrivelse parametre afvigelsessum frihedsgrader Fuld model µ, {τ 1,τ 2,τ 3 },β Uden β µ, {τ 1,τ 2,τ 3 } Uden {τ 1,τ 2,τ 3 } µ, β Kun med µ µ Man vil undersøge, om τ erne kan anses for ens, dvs teste hypotesen H 0 : τ 1 = τ 2 = τ 3 =0. Spørgsmål VIII.1 (9): Teststørrelsen for {H 0 : τ 1 = τ 2 = τ 3 =0}bliver, idet den relevante F-fordeling også eranført: 1 F(11,3) = [( )/3]/(32.90/11) = F(1,11) = ( )/(32.90/11) = F(1,11) = (536.00/12)/(32.90/11) = F(2,11) = [( )/2]/(32.90/11) = F(2,11)= (428.54/13)/(32.90/11) = Spørgsmål VIII.2 (10): Startkoncentrationen C0 betegnes, når den anvendes som her : 1 En whole plot faktor 2 En hierarkisk (eller nestet) faktor 3 En randomiseret blok 4 En deterministisk faktor 5 En kovariat Fortsæt på side 15 14

15 Opgave IX Man vil foretage en undersøgelse for vurdere effektiviteten af rensemidler til en bestemt overfladefilm, der benyttes som en biologisk katalysator. Filmen er monteret på nogle plader, hvoraf der er et større antal i den reaktor, hvori en bestemt biologisk proces foregår. Med tiden tilstoppes filmen med urenheder og mere eller mindre nedbrudt biologisk materiale. Den målte egenskab er restmængde af biologisk materiale efter rensningen med et af rensemidlerne. Det er udtaget et antal brugte plader og pladerne renses med ét af de tre midler. Man har tidligere gennemført et lignende forsøg, hvor man ligeledes undersøgte 3 (andre) rensemidler. Man benyttede 10 emner, og data resulterede i følgende variansanalyse-beregning: Variansanalyseskema Variationskilde Sak f s 2 F-værdi Mellem rensem = Restvariation (10 1) = Total Det nye forsøg omfatter kun n = 6 målinger pr rensemiddel: I forsøget antages modellen Rensemiddel Middel A Middel B Middel C y 1,1 y 1,2 y 1,3 y 2,1 y 2,2 y 2,3 y 3,1 y 3,2 y 3,3 y 4,1 y 4,2 y 4,3 y 5,1 y 5,2 y 5,3 y 6,1 y 6,2 y 6,3 Y i,j = µ + τ j + E i,j, j =1,3, i =1,6 hvor µ er en konstant, {τ 1,τ 2,τ 3 }er virkningerne fra de tre rensemidler, og E i,j er forsøgsfejlen. Man antager, at det nye forsøg vil have omtrent samme nøjagtighed som det tidligere forsøg, hvorfor forsøgsfejlenes varians, σe 2, kan skønnes fra ovenstående variansanalyse. Vi tænker os nu, at τ erne kan være så forskellige som svarende til {τ 1,τ 2,τ 3 }={ 2.0, 0.0, 2.0}. Fortsæt på side 16 15

16 Spørgsmål IX.1 (11): Hvis man nu udfører det påtænkte forsøg, hvor stor er da sandsynligheden, p, for,atmanikkefinder en signifikant effekt fra rensemidler, når man analyserer data, og der benyttes signifikansniveau α = 0.05? 1 p = ca 90% 2 p = ca 50% 3 p = ca 25% 4 p =ca5% 5 p<1% Inden man udfører forsøget, kommer man i tanker om, at den placering, et emne har haft i reaktoren, kan have en vis betydning for, hvor fast forureningen sidder på pladerne. Der er tre princielt forskellige placeringer, trin, I, II og III, svarende til tre procestrin, som reaktoren er opbygget af. De 18 plader udtages derfor med 6 fra hvert trin. Spørgsmål IX.2 (12): Hvilket af følgende forsøg, ville du foretrække, idet I, II og III henviser til, hvor den pågældendepladehar siddeti reaktoren, mensa, B og Cangiver det rensemiddel, der skal benyttes på de enkelte plader: Design A B C I III II III II I I III II II I III II I III III II I Design A B C I II III II I III III II I I II III III I II I II III Design A B C I II III III II I I II III II I III II I III III II I Design A B C I III I III I II I II III II I III III I II III II I Design A B C III II I III II I I III II II I III II I III II III I Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4 Forsøg 5 Fortsæt på side 17 16

17 Opgave X En forsøgsrække havde til formål at undersøge en oprensningsmetode. Det oprensede stof er udbytte fra en fermentering, og stoffet indgår i et medicinsk præparat. Der er to faktorer, man især er interesseret i, nemlig koncentrationen af et additiv og 4 fældningsmetoder, A, B, C eller D, primært karakteriseret ved ph. Resultaterne af det udførte forsøg fremgår af følgende tabel, idet én måling er angivet ved et y. I alt 64 målinger blev udført: Koncentration 2% 4% 6% 8% Metode A batch 1 yy yy yy yy batch 2 yy yy yy yy Metode B batch 3 yy yy yy yy batch 4 yy yy yy yy Metode C batch 5 yy yy yy yy batch 6 yy yy yy yy Metode D batch 7 yy yy yy yy batch 8 yy yy yy yy Som det fremgår, er hver af de 4 metoder afprøvet på materiale fra 2 batche. Derved indgik i alt 8 batche, der er tilfældigt udvalgt. Batche opfattes som en stokastisk faktor. Enkeltforsøgende og målingernes rækkefølge mv. er fuldstændigt randomiseret. For dette forsøg anser man følgende matematiske model for rimelig: Y ijkl = µ + m i + c j + mc ij + B(m) k(i) + CB(m) jk(i) + E l(ijk) hvor m i angiver effekten fra i te metode, c j er effekten af j te koncentration. Leddet B(m) k(i) angiver k te batch fra i te metode, medens mc ij og CB(m) jk(i) er vekselvirkningsled. Endelig angiver E l(ijk) forsøgsfejlen. Spørgsmål X.1 (13): Det viste forsøg kan kaldes 1 Et balanceret fuldstændigt blokforsøg 2 Et forsøg med krydsede og hierarkiske faktorer 3 Et kvadratforsøg med stokastiske effekter 4 Et hierarkisk een faktorforsøg 5 Et split plot forsøg Fortsæt påside 18 17

18 Inden man igangsætter forsøget, overvejer man, hvilke muligheder, der faktisk er for at estimere og teste modellens forskellige effekter. Derfor beregner man EMS værdierne svarende til variansanalysen for forsøget og den anførte model: Effekt EMS = E{S 2 } m i???? c j 16φ c +2σCB(m) 2 + σ2 E mc ij 4φ mc +2σCB(m) 2 + σ2 E B(m) k(i) CB(m) jk(i) E l(ijk) 8σB(m) 2 +2σ2 CB(m) + σ2 E 2σCB(m) 2 + σ2 E σ 2 E Spørgsmål X.2 (14): Skemaet er ikke helt færdigt, idet EMS for hovedeffekten m i mangler. For denne finder man: 1 EMS(m i )=16φ m +4φ mc +8σ 2 B(m) +2σ2 CB(m) + σ2 E 2 EMS(m i )=16φ m +8σ 2 B(m) +2σ2 CB(m) + σ2 E 3 EMS(m i )=16φ m +2σ 2 CB(m) + σ2 E 4 EMS(m i )=16φ m +8σ 2 B(m) +σ2 E 5 EMS(m i )=16φ m +σ 2 E Fortsæt på side 19 18

19 Modellen er stadig: Y ijkl = µ + m i + c j + mc ij + B(m) k(i) + CB(m) jk(i) + E l(ijk) og fra et varians-beregningsprogram har man fået følgende udskrift, idet det pågældende program kan foretage en fuldstændigt krydset variansopspaltning med 2 gentagelser pr faktorkombination: Source SSQ df m c mc B Bm cb cbm E Total Spørgsmål X.3 (15): For effekten B(m) k(i) finder man følgende kvadratafvigelsessum og frihedsgrader: 1 Sak B(m) = med 1 frihedsgrader 2 Sak B(m) = med 3 frihedsgrader 3 Sak B(m) = med 4 frihedsgrader 4 Sak B(m) = 24.8 med 3 frihedsgrader 5 Sak B(m) = 76.6 med 12 frihedsgrader Slut på opgavesættet Godt nyt år