Numerisk løsning af differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Numerisk løsning af differentialligninger"

Transkript

1 KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un med urimeligt stort besvær, an løses teoretis/esat. Der er tale om numerise metoder, allerede når man tilnærmer et reelt tal med et andet, typis en decimalbrø, idet man f.es. sriver , , π , 3 og når man bruger de velendte regler for regning med sådanne decimaltal, herunder for afortning til et bestemt antal decimaler eller et bestemt antal betydende cifre. Andre numerise metoder, der endes fra tidligere er: 1) Tilnærmet løsning af en ligning f(x) = 0. En effetiv metode er Newtons metode, også aldet Newton-Raphson iteration. Ud fra en gætteværdi x 0 beregnes en forbedret gætteværdi x 1 = x 0 f(x 0 )/f (x 0 ), og beregningen an gentages (itereres), til den ønsede nøjagtighed er nået. ) Brug af Taylors formel til tilnærmet beregning af en funtions værdier i nærheden af et givet punt, idet funtionen erstattes af et Taylor-polynomium af passende grad. Den begåede fejl vurderes vha restleds-udtry. 3) Numeris integration, hvor specielt Simpsons formel gør det muligt på enel vis at udregne gode tilnærmelser til et forelagt bestemt integral. De to grundlæggende synsvinler i numeris analyse er dels at udvile effetive, dvs hurtigt onvergerende og ie for omfangsrige, metoder til at løse et foreliggende problem, dels for en given metode at undersøge, hvor stor en fejl man begår ved at bruge metoden i stedet for at løse problemet - eller tæne sig det løst - esat. Numeris løsning af 1. ordens differentialligninger Den underdisciplin af numeris analyse, der handler om numeris (tilnærmet) løsning af differentialligninger, er allerede gammel og særdeles omfattende. En del af de grundlæggende metoder inden for området bygger på følgende princip. Lad den forelagte differentialligning være y = f(x,y). Problemet an ansues grafis ved at indtegne et stort antal såaldte linieelementer, dvs. små liniestyer gennem forsellige punter (x 0,y 0 ), hver gang med hældningsoefficient f(x 0,y 0 ). 1

2 Esempel (Esempel 1, s. 54 i Differentialligninger af Poul Einer Hansen.) På Figur 1 er linieelementer indtegnet for differentialligningen y = x + y. y x 1 Figur 1 Ved løsning af denne lineære 1. ordens differentialligning fås den fuldstændige løsning y = ce x x 1 (c R). Løsningen gennem puntet (0,1) svarer til c =, og er derfor givet ved y = e x x 1. Grafen for denne partiulære løsning ses ligeledes på Figur 1. Vi vender nu tilbage til den generelle differentialligning og tilføjer en begyndelsesbetingelse y = f(x,y) y(x 0 ) = y 0. Vi ved altså at løsningsurven i ethvert af sine punter (x,y) har tangenthældningen f(x,y), samt at den specifie løsningsurve, vi søger, går gennem puntet (x 0,y 0 ). Vi vil benytte dette til at finde tilnærmede værdier for y(x), når x er i nærheden af x 0. Eulers metode Vi bevæger os et lille step af længde h til højre for x 0, og approsimerer y(x 0 + h) vha. tangentligningen i (x 0,y 0 ) : Med y(x 0 + h) y(x 0 ) + y (x 0 )h = y(x 0 ) + f(x 0,y 0 )h. x 1 = x 0 + h og y 1 = y 0 + f(x 0,y 0 )h, har vi altså y(x 1 ) y 1 (se Figur ). Tilsvarende sætter vi så y er en tilnærmelse til y(x ). x = x 1 + h og y = y 1 + f(x 1,y 1 )h,

3 y y = y(x) y(x ) + y + + y 1 + y(x 1 ) Hældning f(x 0,y 0 ) y 0 + Hældning f(x 1,y 1 ) h h x 0 x 1 x Figur x Generelt finder vi den næste tilnærmede værdi ved at sætte x n+1 = x n + h (= x 0 + (n + 1)h) og y n+1 = y n + f(x n,y n )h. På samme måde an man tilnærme y(x) når x < x 0. Vi sætter x 1 = x 0 h og y 1 = y 0 f(x 0,y 0 )h; derefter osv. x = x 1 h og y = y 1 f(x 1,y 1 )h, Esempel (Esempel, s. 55 i Differentialligninger af Poul Einer Hansen.) differentialligningen y = x + y, med begyndelsesbetingelsen y(0.5) = 0.3, og benytter h = 0.1. Vi har da (angivet med decimaler) Vi betragter x 1 = = 0.6, y 1 = y 0 + (x 0 + y 0 )h = ( ) 0.1 = 0.38, x = = 0.7, y = y 1 + (x 1 + y 1 )h = ( ) 0.1 = 0.48, x 3 = = 0.8, y 3 = y + (x + y )h = ( ) 0.1 = 0.60, osv. Tilsvarende fås x 1 = = 0.4, y 1 = y 0 (x 0 + y 0 )h = 0.3 ( ) 0.1 = 0., x = = 0.3, y = y 1 (x 1 + y 1 )h = 0. ( ) 0.1 = 0.16, x = = 0., y 3 = y (x + y )h = 0.16 ( ) 0.1 = 0.11, 3

4 osv. For at vurdere den præcision, der opnås ved Eulers metode, vil vi finde den esate løsning til differentialligningen, og benytte denne til at beregne y(x n ). Som nævnt ovenfor er den fuldstændige løsning til differentialligningen y = x + y givet ved y = ce x x 1 (c R). For løsningen gennem (0.5,0.3) gælder 0.3 = ce , dvs. c = 1.8/e 0.5 = 1.09 og dermed y = 1.09 e x x 1. De tilnærmede og esate værdier fremgår af Tabel 1 (hvor vi har tilføjet værdierne svarende til n = 4 og n = 5): n x n y n y(x n ) Tabel 1 Det ses, at fejlen bliver større jo længere væ fra udgangspuntet (0.3,0.5) man ommer, og at fejlen efterhånden bliver relativt stor. Generelt an man vise, at den begåede fejl i fast afstand fra udgangspuntet er omtrent proportional med h. Man siger derfor, at Eulers metode er af 1. orden. Eulers forbedrede metode Når løsningsfuntionen som på Figur er onves (opad rum), vil tangenthældningen i puntet (x 0,y(x 0 )) undervurdere den fatise hældning af linien mellem (x 0,y(x 0 )) og (x 1,y(x 1 )), så den beregnede tilnærmede funtionsværdi y 1 bliver for lille. Der sal dog ie så meget til for at forbedre metoden betragteligt. Den sande hældning af linien mellem (x 0,y(x 0 )) og (x 1,y(x 1 )) ligger betydeligt nærmere ved middeltallet mellem tangenthældningerne f(x 0,y(x 0 )) og f(x 1,y(x 1 )) i hhv. (x 0,y(x 0 )) og (x 1,y(x 1 )). (Dette an i øvrigt vises at gælde esat for enhver parabel i ethvert interval.) Dette giver og da x 1 x 0 = h fås y(x 1 ) y(x 0 ) f(x 0,y(x 0 )) + f(x 1,y(x 1 )), x 1 x 0 y(x 1 ) y(x 0 ) + f(x 0,y(x 0 )) + f(x 1,y(x 1 )) Nu ender man ganse vist ie y(x 1 ); det er jo netop den, vi ønser at finde (eller rettere tilnærme). Af denne grund vil vi først approsimere y(x 1 ) vha. Eulers metode og derefter benytte denne værdi til at approsimere f(x 1,y(x 1 )). Vi sætter altså y 1 = y 0 + f(x 0,y 0 )h, h. og derefter y 1 = y 0 + f(x 0,y 0 ) + f(x 1,y 1 ) h. 4

5 Den grafise fortolning af dette er, at vi i intervallet [x 0,x 0 + h/] approsimerer y(x) med en ret linie med hældning f(x 0,y 0 ), og i intervallet [x 0 + h/,x 1 ] approsimerer y(x) med en ret linie med hældning f(x 1,y1 ) (se Figur 3). y(x 1 ) y 1 y1 y 0 y Hældning f(x 0,y 0 ) y = y(x) Hældning f(x 1,y 1 ) h h x 0 x 1 Figur 3 x Generelt sætter vi yn+1 = y n + f(x n,y n )h, og derefter y n+1 = y n + f(x n,y n ) + f(x n+1,yn+1 ) h. Metoden an naturligvis også anvendes til at finde de tilnærmede værdier y 1, y osv. Esempel Benyttes Eulers forbedrede metode på esemplet ovenfor fås (med 3 decimaler) og dermed x 1 = = 0.6, y 1 = y 0 + (x 0 + y 0 )h = ( ) 0.1 = 0.380, y 1 = y 0 + (x 0 + y 0 ) + (x 1 + y 1 ) I næste sridt fås og dermed h = ( ) + ( ) 0.1 = x = = 0.7, y = y 1 + (x 1 + y 1 )h = ( ) 0.1 = 0.488, y = y 1 + (x 1 + y 1 ) + (x + y ) h = ( ) + ( ) 0.1 =

6 Fortsættes på denne måde fås værdierne i Tabel : n x n y n y n y(x n ) Tabel Det ses, at metoden giver væsentligt bedre resultater end Eulers simple metode. Generelt an man vise, at Eulers forbedrede metode er af. orden, dvs. at den begåede fejl i fast afstand fra udgangspuntet er omtrent proportional med h. Der findes forsellige videreudvilinger af Eulers forbedrede metode, som vi ie vil omme nærmere ind på her, men blot nævne den måse mest berømte af dem, nemlig Runge-Kuttas metode, der tilnærmer hældningen af linien mellem (x 0,y(x 0 )) og (x 1,y(x 1 )) med et vægtet gennemsnit af fire forsellige f-værdier valgt på så raffineret vis, at metoden bliver af 4. orden. Ved tilnærmet løsning ifølge Runge-Kuttas metode eller andre tilsvarende an man opnå meget stor nøjagtighed, selv med en ie særlig lille h. Det sal til slut nævnes, at mange metoder benytter sig af variable steplængder, hvor x n+1 x n an variere med n. Ideen er at benytte små steplængder de steder, hvor løsningsfuntionen varierer raftigt. Endvidere an de samme principper som i Eulers (forbedrede) metode overføres til numeris løsning af systemer af samhørende differentialligninger. Det er ofte sådanne principper, der er indbygget i færdige programpaer (såsom Maple) til behandling af disse spørgsmål. 3 Numeris løsning af diffusionsligningen Vi betragter metalstangen fra Esempel 1 i noterne om partielle differentialligninger, og har da diffusionsligningen T t = D T x, randbetingelserne T(0,t) = 0 og T(L,t) = 0, samt begyndelsesbetingelsen T(x,0) = u(x) (0 x L). 6

7 Vi vi finde tilnærmede værdier T nm til T(x n,t m ) for punter (x n,t m ) i et gitter (se Figur 4). t t t 3 t t 1 T(0,t) = 0 T(L,t) = 0 T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 01 T 11 T 1 T 31 T 41 T 51 T 00 T 10 T 0 T 30 T 40 T 50 x = 0 h x 1 h x x 3 h x 4 h x = L T(x,0) = u(x) Figur 4 Steplængden er h på x-asen og på t-asen, så x n = nh og t m = m. På x-asen er der ialt N step, hvor Nh = L, mens der på t-asen i princippet er et ubegrænset antal step. dvs. Nederste ræe (m = 0, dvs. t = t 0 = 0) findes vha. begyndelsesbetingelsen T n0 = T(nh,0) = u(nh), T 00 = u(0) = 0, T 10 = u(h), T 0 = u(h) osv. Endvidere vil første og sidste søjle være 0, dvs. for alle m pga. randbetingelserne. T 0m = 0 og T Nm = 0 For at unne benytte selve diffusionsligningen vil vi finde tilnærmede udtry for T t og T et gitterpunt (x n,t m ). Da har vi T(x n,t m+1 ) T(x n,t m ) T t (x n,t m ), For at tilnærme T x har vi brug for følgende Hjælperesultat For en funtion g(x) gælder tilnærmelsen x x i T t (x n,t m ) T n,m+1 T nm. ( ) g (x) g(x + h) g(x) + g(x h) h 7

8 når h er lille. Bevis Vi tilnærmer g med dets. Taylorpolynomium i udvilingspuntet x : g(x + h) g(x) + g (x)h + 1 g (x)h. Vi udsifter h med h g(x h) g(x) g (x)h + 1 g (x)h og lægger de to ligninger sammen: g(x + h) + g(x h) g(x) + g (x)h, hvoraf resultatet følger. Vi anvender hjælperesultatet på T(x,t) som funtion af x (med t = t m fastholdt) og får T x (x n,t m ) T(x n+1,t m ) T(x n,t m ) + T(x n 1,t m ) h T n+1,m T nm + T n 1,m h. ( ) Nu indsætter vi de tilnærmede udtry ( ) og ( ) for T t og T x i diffusionsligningen og får T n,m+1 T nm = D Tn+1,m T nm + T n 1,m h. Af de indgående størrelser er T n,m+1 den eneste, der ligger i (m + 1) te ræe, så vi isolerer denne: T n,m+1 = T nm + D h (T n+1,m T nm + T n 1,m ). Med r = D h fås T n,m+1 = (1 r)t nm + r(t n+1,m + T n 1,m ). Denne formel an nu anvendes succesivt til finde T nm ; f.es. er T 11 = (1 r)t 10 + r(t 0 + T 00 ). Når hele ræen med m = 1 er beregnet, an man gå videre og beregne ræen med m =, osv. Man an vise, at det er nødvendigt at r 1, dvs. D h 1 for på denne måde at få gode tilnærmelser til løsningsfuntionen T(x,t). 8

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard

Det skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet

Læs mere

Sammenligning af proteiners 3-dimensionelle strukturer

Sammenligning af proteiners 3-dimensionelle strukturer Sammenligning af proteiners 3-dimensionelle struturer Køreplan 01005 Matemati 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med opgaven er at lave en metode til sammenligning af proteiners 3-dimensionale struturer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Jordskælvs svingninger i bygninger.

Jordskælvs svingninger i bygninger. Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

a ortogonal med b <=> ( ) 4p q

a ortogonal med b <=> ( ) 4p q STX Mat A.maj 9 KP NB: i opg -5, som er uden hjælpemidler, benytter jeg her un Mathcad som srivemasine og bruger derfor onsevent det logise (fede) lighedstegn, da det ie har regnemæssige følger. Opg. a

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002

Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

cos( x) dt = 3.1 Vi udregner integralet: sin( x) 2 + cos( x) sin( x) 2 t cos( x)

cos( x) dt = 3.1 Vi udregner integralet: sin( x) 2 + cos( x) sin( x) 2 t cos( x) 6x-MA 7 (4..8) opg () Cec om den angivne værdi er orret b) ( sin( x) + cos( x) ) 3. Vi udregner integralet: sin( x) + cos( x) + sin( x) + sin( x) [x] + ( ) cos( x) sin( ) t cos( x) cos( x) cos( x) + sin(

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier . 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmars Tenise Universitet Sriftlig prøve, tirsdag den 15. december, 009, l. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysi 1 Kursus nr. 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen bedømmes

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Imputeret forbrug over livscyklussen

Imputeret forbrug over livscyklussen Imputeret forbrug over livscylussen Stephanie Koefoed Rebbe Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Arbejdspapir 2014:1 Marts 2014 Abstract Arbejdspapiret beregner individers private forbrug

Læs mere

3.8 Lineære differentialligninger af første orden

3.8 Lineære differentialligninger af første orden 92 Differentialligninger af 1. orden Fordelen ved differentialligningen ved empiris modellering Bemær, at en blandt andre fordele ved at have en differentialligning for logistis væst i modsætning til blot

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College.

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College. Studieplan Stamoplysninger Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-A Ole Gentz Nørager MatematikAhh1313-VØ Oversigt over planlagte

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Maksimum likelihood estimation af parametrene i logitmodellen med stokastiske individparametre Et simulationsstudie.

Maksimum likelihood estimation af parametrene i logitmodellen med stokastiske individparametre Et simulationsstudie. Masimum lelihood estimation af parametrene i logitmodellen med stoastise individparametre Et simulationsstudie Jørgen Kai Olsen Institut for Afsætningsøonomi Handelshøjsolen i København 23 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Dagens forelæsning. Grinblatt & Titman kap. 5. Introduktion. Introduktion. Exhibit 5.1. Investeringsmulighedsområdet. Investeringsmulighedsområdet

Dagens forelæsning. Grinblatt & Titman kap. 5. Introduktion. Introduktion. Exhibit 5.1. Investeringsmulighedsområdet. Investeringsmulighedsområdet Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Grinblatt & Titman ap. 5 Sammenhængen mellem risio og forventet afast (security maret line Capital Asset Pricing Model ( Empirise tests af 2 G&T ap 4: Introdution

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Arealer som summer Numerisk integration

Arealer som summer Numerisk integration Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

En undersøgelse af faktoriseringsalgoritmen Pollard p-1

En undersøgelse af faktoriseringsalgoritmen Pollard p-1 itsi 009, proetopgave Torsten Jordt, 9754 00009 En undersøgelse af fatoriseringsalgoritmen Pollard p- Indhold: Opgavens mål og rammer Introdution til fatoriseringsalgoritmer og Pollard p- 3 Pollard p-

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Taylorpolynomier og Taylors sætning

Taylorpolynomier og Taylors sætning og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet

Læs mere

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010 Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Numerisk differentiation og integration med Python

Numerisk differentiation og integration med Python Numerisk differentiation og integration med Python En uformel prototype til en tutorial, Karl Bjarnason, maj 2010 Vi vil gerne lave et program som numerisk integrerer og differentierer funktionen f(x)=x

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA STUDENTEREKSAMEN MAJ 008 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 14. maj 008 Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere