Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7"

Transkript

1 Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7 Baseret på noter af Knud Nissen og Bjørn Felsager Kapitel 1: Grafisk løsning af differentialligninger side 1 Kapitel 2: Første ordens differentialligninger side 12 Linjeelementer side 12 Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger side 13 Implicit differentiation side 17 Et eksempel fra fysik: faldskærmsudspring side 18 Et eksempel fra kemi: Reaktionskinetik side 19 Aktiviteter: Isokliner side 29 Logistisk vækst med jagt/fiskeri side 30 Kapitel 3: Koblede differentialligninger side 31 Romeo og Julie side 35 Et eksempel fra samfundsfag side 39 Rygtespredning side 41 Aktiviteter: En rovdyr-byttedyr model side 44 En epidemi model side 45 Kapitel 4: Anden ordens differentialligninger side 46 Eksempel fra fysik: det matematiske pendul side 48 Aktiviteter: Standselængden for en bil side 50

2 Kapitel 1: Grafisk løsning af differentialligninger Når man skal løse en differentialligning af formen, er det godt at danne sig et grafisk overblik over løsningernes forløb. Det er da godt at kunne få tegnet linjeelementerne hørende til differentialligningen. Et linjeelement er et lille tangentstykke hørende til en løsning for differentialligningen. Hvis løsningskurven går gennem et bestemt punkt (x0,y0), så vil den i dette punkt hare en tangent med hældningen s(x0,y0) (bogstavet s er netop valgt for ordet slope = hældning). Hvis vi tegner et lille linjestykke med denne hældning vil det derfor give et godt indtryk af hvordan løsningen forløber lige omkring dette punkt. Lad os som et konkret eksempel se på differentialligningen 1 4 Vi åbner nu for et grafer og geometriværksted og afsætter et punkt på det gitter, der hører til koordinatsystemet (højreklik for at få vist gitteret): Gitteret følger inddelingen af koordinatakserne, der styres af vinduesindstillingerne X-skala og Y-skala. Normalt indstilles de automatisk, men har vi sat X- skala og Y-skala til 1, så gitteret netop dækker punkterne med heltallige koordinater. 1

3 Vi kan nu finde punktets koordinater og dermed beregne værdien af hældningen i dette punkt, idet vi indskriver en tekstboks med formlen for hældningen og peger på x-koordinaten henholdsvis y-koordinaten, når vi beregner den. Trækker vi i punktet kan vi se det springe rundt på gitteret samtidigt med at den lokale hældning knyttet til punktet opdateres. Vi er nu klar til at tegne linjeelementet. Vi skal da have afsat endepunkterne for linjeelementet., og, Her er s hældningen og h er den vandrette tilvækst Δx som skal afpasses så linjeelementet får længden 1, dvs. h er givet ved 1 1 (det sidste følger af Pythagoras sætning anvendt på den karakteristiske retvinklede trekant med den vandrette side h og den lodrette side s h). Vi indskriver derfor formlerne for koordinaterne til endepunkterne og beregner dem ved at pege på de relevante størrelser undervejs, dvs. øverst hældningen s givet ved formlen, derefter den vandrette tilvækst h givet ved formlen, efterfulgt af formlerne for de fire koordinater. Når de først er beregnet kan vi overføre deres mål til de relevante akser og konstruere endepunkterne ved hjælp af vinkelret-konstruktionen: 2

4 Herefter kan vi skjule beregningerne (med undtagelse af formlen for hældningen, dvs. forskriften for differentialligningen, hældningen og gitterpunktet med dets koordinater) og ved at trække rundt i punktet kan vi nu spore linjeelementet og dermed få tegnet linjeelementerne: Men det bedste ville selvfølgelig være, hvis vi kunne få dem tegnet i et hug, og det kan vi netop, fordi gitteret også kan fungere som en sti for et geometrisk sted. 3

5 Vælger vi at konstruere et geometrisk sted og peger vi først på gitterpunktet og dernæst på linjeelementet får vi netop konstrueret det feltet af linjeelementer: Det giver nu en god fornemmelse for løsningskurvernes forløb, idet vi kan følge linjeelementerne på samme måde som et blad følger den skiftende retning af vinden. Læg mærke til, at linjefeltet også er dynamisk. Skifter vi forskrift for differentialligningen opdateres linjefeltet. Hvis vi vil have tegnet løsningskurven gennem et begyndelsespunkt kan vi nu afsætte et frit punkt uden for gitteret og gemme x- og y-koordinaten i variablene x 0 og y 0 og derefter bruge kommandoen desolve til at løse differentialligningen eksakt. Vi starter da med at finde den eksakte løsningsformel for et vilkårligt startpunkt i Grafregner-værkstedet: Grafregner-værkstedet er imidlertid ikke dynamisk, så vi kopierer dette udtryk ind i Grafer og geometri-værkstedet som forskrift for f1(x), idet vi substituerer gitterpunktets koordinater x 0 og y 0 for x_start og y_start. Resultatet er da netop en dynamisk løsningskurve, der følger med rundt når vi trækker i gitterpunktet. Vi ser da netop hvordan løsningskurven følger linjeelementerne lige så nydeligt (læg mærke til at vi har skjult gitterpunktet og dets koordinater). 4

6 Men det er jo ikke alle differentialligninger vi kan løse eksakt ved hjælp af en færdig formel for y udtrykt ved x. Så i mange tilfælde må man i stedet nøjes med en numerisk løsning baseret på en passende numerisk løsningsformel, fx Eulers metode eller Runge Kuttas metode. Det er nemmest at illustrere Eulers metode, hvor vi simpelthen følger linjeelementerne trin for trin og dermed approksimerer løsningskurven med linjestykker, der hele tiden har den korrekte hældning i midtpunktet. Det er selvfølgelig ikke så præcist som en symbolsk løsning, men det illustrerer princippet rimeligt klart. Vi anvender igen differentialligningen 1 4 som vores illustrative eksempel. Vi vil følge løsningen 20 skridt fremad og tyve skridt bagud. Vi starter derfor med at definere de relevante funktioner, der skal føre os frem henholdsvis tilbage:.,, 1 4, (med decimalpunktum i tælleren),,,,,,,,,,,, Derefter arbejder vi os såvel fremad som tilbage i et lister og regneark-værksted. Det sker ved hjælp af cellekommandoerne 5

7 Her har vi valgt pæne værdier for startpunktet (x_0,y_0) ved at gå ind og rette direkte i startpunktets koordinater! Efterfølgende kan vi nu afbilde de to lister som forbundne dataserier: Det er selvfølgelig ikke så præcist som den symbolske løsning, men det er tydeligt at vi trods alt prøver at følge linjeelementernes retningsangivelse så godt vi kan. Skal det være bedre skal vi enten bruge mindre trin eller en mere præcis algoritme eller allerhelst begge dele. 6

8 Fx kan man nøjes med at gå et halvt skridt frem og så bruge hældningen fra det halve skridt til at gå ét helt skridt: Det ser allerede meget bedre ud. Men det kan ikke betale sig at fortsætte af denne vej, idet der findes en professionel fil, som allerede har implementeret en runge-kutta fjerdeordens metode i et fuldstændigt interaktivt miljø. Du henter denne fil ved at åbne for Hjælp-menuen og vælge menupunktet Download den nyeste vejledning. Derved åbnes for TI-Nspires opsamlingsvindue på nettet. 7

9 Du åbner dernæst for fanebladet lærere og vælger menupunktet Undervisningsmaterialer og service til lærere: Til sidst downloader du de filerne til grafisk løsning af differentialligninger: I dette tilfælde er vi derfor interesserede i eksempelfilen for førsteordens differentialligninger. Den åbnes med et forudprogrammeret eksempel, som vi så kan omskrive efter behov: 8

10 Hovedsiden består af to delvinduer, øverst et grafisk vindue, hvor man ser den grafiske løsning af differentialligningen, og nederst et grafregnervindue, hvor men indskriver den differentialligning man vil undersøge. Man henter altså kommandoen på den foregående linje og retter den til: Herefter kan man tilpasse grafregnervinduet ved at rette i vinduesindstillinger. Her skal man især være opmærksom på indstillingerne for koordinatgitteret, X- skala og Y-skala, der jo fastlægger linjeelementerne. Hvis man vælger for små 9

11 skalainddelinger, bliver gitteret for stort og så kan det komme til at tage rigtigt lang tid at feltet af linjeelementer! Man kan også skifte til det næste vindue, hvor man kan sætte en række parametre: De sidste seks parametre er netop vinduesindstillingerne, der altså også kan indstilles her. De første seks kontrollerer derimod løsningskurven: x0, y0: Det er startværdierne for løsningskurven. De kan også vælges grafisk på hovedvinduet, ved enten at indtaste værdierne i koordinatsættet for begyndelsespunktet eller trække i begyndelsespunktet med musen: Max # Points, #Division: Her fortæller vi dels hvor mange punkter vi ønsker at beregne på løsningskurven (idet dette antal punkter vil blive benyttet såvel når vi fremskriver løsningen, som når vi tilbageskriver løsningen), dels angiver vi hvor store skridt vil tage, idet antallet inddelinger langs x-aksen angiver størrelsen af skridtet. Jo mere præcis vi ønsker løsningen, jo flere inddelinger skal vi altså vælge men alt med måde, da beregningen ellers kan komme til at tage lidt for lang tid. 10

12 VL: Kontrollerer vektorens længde, så de ikke overlapper. Ved en skala på 1 vil de ligge direkte i forlængelse af hinanden. Function_only: Runge-Kutta metoden kan føre til kurver, der begynder at gå baglæns, og derfor ikke længere kan opfattes som grafer for funktioner. Det undgås ved at sætte parameteren til 1. Endelig skal man være opmærksom på at man også får stillet tabeller over løsningen til rådighed. De står gemt lidt af vejen i regnearket og hedder lx1 og ly1. De kan selvfølgelig kopieres over i lister med mere fornuftige navne, hvis det ønskes, ligesom de kan afbildes i et data og statistk-vindue, hvis det er mere overskueligt: Læg mærke til at kommandoen def_eqd1 er lidt mere restriktiv end den tilsvarende desolve-kommando: Differentialligningen skal angives på formen, med x og y som navnene på den uafhængige og afhængige variabel. Tilsvarende skal koordinatsættet for begyndelsespunktet angives som en liste med 2 værdier. 11

13 Kapitel 2: 1. ordens differentialligninger Linjeelementer Differentialligningen x (1) y ' = y kan tolkes således, at den i ethvert punkt (x 0,y 0 ), giver oplysning om tangenthældningen α for en eventuel løsningskurve 1 gennem dette punkt. Kaldes løsningskurven for f, gælder f ( x ) = y 0 0 f '( x og 0 ) = α Dette udtrykkes ved, at f går igennem linjeelementet (x 0,y 0 ;α). Fx vil løsningskurven gennem punktet (2,1) have tangenthældningen α= 2, med andre ord, vil løsningskurven gå gennem linjeelementet (2,1; 1). For at kunne danne sig et indtryk af løsningskurvernes forløb, kan man tegne nogle linjeelementer ind i et koordinatsystem. Går løsningskurven gennem linjeelementet ( x0, y0 ; α), tegnes gennem punktet ( x0, y0 ) et lille orienteret linjestykke med hældningen α. Nedenfor ses en række linjeelementer tegnet for differentialligningen (1): 1 Vi benytter ordet løsningskurve som betegnelse for grafen for en løsning. 12

14 Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger Du vil nu se, hvordan vi får TI-Nspire CAS til at tegne disse linjeelementer. Hertil skal vi åbne en særlig fil: Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger, som altså skal ligge på din computer! Den åbner et særligt værksted, hvor de nødvendige kommandoer til at få tegnet linjeelementer er indbygget på forhånd. Som du kan se, består hovedvinduet af et Grafer og Geometri-vindue og et Grafregner-vindue. Det er i Grafregner-vinduet man indtaster differentialligningen. Læg mærke til at der skal bruges x og y for den uafhængige og afhængige variabel! Dertil kommer en startværdi for x henholdsvis y, der indtastes som en liste. I det ovenstående eksempel ser det således ud: x def _ eqd1 y ' =,{1,1} y Der er ingen grund til at stave dig igennem kommandoen. Du piler bare op og henter den foregående kommando og retter differentialligningen til. Hvis grafvinduet ikke er passende kan du ændre det på sædvanlig vis via zoom-menuer eller ved at håndrette aksernes slutværdier. Læg også mærke til startværdierne øverst til venstre. De kan også rettes til efterfølgende, men du kan også direkte trække i startpunktet, dvs. centrum for startcirklen, der udelukkende er tegnet med for at gøre det nemmere at finde startpunktet. Ved at trække i startpunktet kan man få en god fornemmelse, for hvordan løsningskurverne opfører sig. 13

15 Ved gentagen anvendelse af træk i startpunktet, kan du tegne alle de løsningskurver, du måtte ønske. Ved at eksperimentere lidt med dette, ser du, at alle løsningskurver bliver halvcirkler med centrum i origo, og at ingen løsningskurve skærer x-aksen. Hvis du højreklikker på løsningskurven kan du slå et geometrisk spor til og på denne måde som vist få tegnet en masse løsningskurver på en gang: Almindelig sporing virker også, men kun på den aktive løsningskurve. Løsningskurven er tegnet som et sammenhængende punktplot, så du kan ikke ramme et vilkårligt punkt ved at justere koordinaterne for det punkt, der spores! Hvis du får brug for at ændre indstillingerne for linjeelementerne så følger de gitteret i Grafer og Geometri-vinduerne. Du kan derfor ændre på opløsningen af linjeelementerne ved at ændre på stepværdierne for akserne, dvs. rette i tallene for aksemærkerne (tæt ved origo). Får du brug for det kan du også finde de samme oplysninger i det Lister og regneark-vindue, der følger med på den næste side. Vinduesoplysningerne står til sidst i de første kolonner! De andre oplysninger man kan indskrive direkte er startværdierne, det maksimale antal punkter på løsningskurven, antal inddelinger på x-aksen og en skalafaktor, der regulerer længden af linjeelementet: 14

16 Det er også i lister og regnearket man finder tabellerne for det punktplot, der udgør løsningskurven! Disse lister, kaldet lx1 og ly1 kan naturligvis gøres til genstand for selvstændige undersøgelser i andre applikationer. Du skal se på et par eksempler mere. Du kan nøjes med at lave nogle små ændringer i det, du allerede har. Først fjerner du minus: Her ser du, at løsningerne bliver hyperbler med asymptoterne y = ±x. Disse linjer er i øvrigt også selv løsninger. Læg mærke til at løsningskurverne igen undgår at skære x-aksen. 15

17 Byttes om på x og y, bliver løsningskurverne er rette linjer gennem origo: Denne gang er der ikke problemer med at krydse akserne. Krydset sker gennem origo, hvor begge koordinater er nul og hældningen derfor skizofren. Øvelse 1: Undersøg nu selv, hvad der sker, hvis vi skifter fortegn igen, dvs. undersøger differentialligningen y y ' = x Undersøg på tilsvarende måde differentialligningen y ' = 2 y. x Øvelse 2: Gør rede for at parablen y = x 2 løser de følgende tre typer differentialligninger Tegn linjeelementerne i de tre tilfælde og karakterisér sammenhængen mellem den specielle løsning y = x2 og generelle løsning. 16

18 Implicit differentiation Vi slutter med et par bemærkninger om hvordan man ud fra løsningskurverne kan gætte sig frem til den pågældende differentialligning. Lad os se på det første eksempel, hvor løsningskurverne bestod at koncentriske halvcirkler med centrum i origo. Ligningen for en sådan halvcirkel er givet på formen: x + y = r Dette er en implicit sammenhæng mellem de to variable x og y. Vi kunne gøre den eksplicit ved at isolere y. Men vi kan godt differentiere den implicitte sammenhæng direkte. Det gøres ved hjælp af en implicit differentiation: Hvordan skal det nu forstås? Jo, hvis y opfattes som en funktion af x, kan vi jo differentiere cirkelligningen således i hånden: Vi er nødt til at gære det i hånden, da TI-Nspire CAS ellers ikke ved at y rent faktisk afhænger af x! Isolerer vi derefter y ' fås netop resultatet af den implicitte differentiation. Uden den implicitte differentiation havde vi været nødt til at binde y til at være en funktion af x ved hjælp af kommandoen: y : = f ( x) hvorefter vi kan differentiere på normal vis og finder: Øvelse 3: Fra løsningskurver til differentialligninger I Undersøg på samme måde de øvrige differentialligninger fra det foregående, idet du først gætter på ligningen for løsningskurverne. Denne ligning indeholder en parameter, som du isolerer, så den forsvinder ved differentiationen. Derefter genfinder du differentialligningen ved hjælp af en implicit differentiation. Øvelse 4: Fra løsningskurver til differentialligninger II Der findes mange andre familier af løsningskurver, som udfylder planen, fx vandrette og lodrette forskydninger af enhedsparablen: 2 (1) y = x + k 2 (2) y = ( x h), x > h Disse ligninger indeholder en parameter, som du isolerer, så den forsvinder ved differentiationen. Derefter genfinder du differentialligningen ved hjælp af en implicit differentiation. 17

19 Eksempel fra fysik: Faldskærmsudspring Et faldskærmsudspring sker fra 4000 meters højde og faldskærmen udløses først i 1500 meters højde. Den maksimale fart, der opnås, er 50 m/s. I denne 2 situation gælder kraftligningen m v' = m g k v hvor v er hastigheden til tiden t, m er massen, g = 9.82 m/s 2 er tyngdeaccelerationen og k en konstant, der bl.a. afhænger af form og størrelse af den faldende genstand. Antag, at m = 80 kg. Når den maksimale fart (50 m/s) nås, er v' = 0. Ved indsættelse af dette i kraftligningen fås k = kg/m: Omformet til en differentialligning i TI-NSpire CAS syntaks fås kraftligningen (divider med m på begge sider og skriv y i stedet for v): m 2 Differentialligningen y' = g y indtastes sammen med begyndelsesbetingelsen x0=0 og y0=0 idet hastigheden er 0 ved udspringets start. I grafbille- k det er Spor aktiveret. Her kan du se, at løsningskurven nærmer sig asymptotisk til 50 og at tophastigheden nås efter ca. 15 sek. 18

20 Et eksempel fra kemi: Reaktionskinetik Vi ser på reaktionen mellem nitrogenoxid og dichlor som fører til dannelsen af nitrocylchlorid: 2NO + Cl 2 2NOCl Vi ser da at hver gang der forsvinder 2 NO-molekyler og 1 Cl 2 -molekyle, dannes der 2 NOCl-molekyler. Det gør det nemt at holde styr på den indbyrdes omsætning af de tre molekyler. Vi kan fx oprette lister over deres antal, hvor vi sørger for at der i hvert trin forsvinder 2 NO-molekyler og 1 Cl 2 -molekyle, samtidig med at der opstår 2 NOCl-molekyler. Vi kan fx forestille os at der er 100 NOmolekyler og 100 Cl 2 -molekyler, men ingen NOCl-molekyler til start. Læg mærke til at vi kun behøver at taste de to første rækker ind. Derefter kan vi udfylde tabellen nedad, efter det system, der angives af de to første rækker. Læg også mærke til at vi har tilføjet en søjle for antallet af kemiske reaktioner. Vi kan derfor nu nemt oprette en graf i data og statistik-værkstedet der viser hvor de tre stoffer udvikler sig efterhånden som reaktionen skrider fremad: 19

21 Vi lægger mærke til at NO-molekylerne forsvinder dobbelt så hurtigt som Cl2- molekylerne. Vi kan nemt finde forbindelsen mellem de enkelte typer molekyler ved at oprette grafer og aflæse ligningerne: Der gælder altså sammenhængen NOCl = - NO NOCl + NO =

22 Altså er summen af antallet af NO-molekyler og antallet af NOCl-molekyler konstant, hvilket selvfølgelig ikke er så overraskende, eftersom der dukker 2 NOCl-molekyler op for hver gang der forsvinder 2 NO-molekyler. Den konstante sum kan så fastlægges alene ud fra startværdierne. Tilsvarende finder vi sammenhængen mellem de to reaktanter: NO = 2 Cl Antallet af NO-molekyler falder altså i den dobbelte takst af antallet af Cl 2 - molekyler.det er selvfølgelig heller ikke overraskende, idet der forsvinder 2 NOmolekyler for hver gang der forsvinder 1 Cl 2 -molekyle. Igen kan konstanten fastlægges alene ud fra startværdierne. Konklusionen er altså at der kun er én frihedsgrad i den kemiske reaktion. Hvis vi kender antallet af Cl 2 -molekyler, kender vi også de to andres antal: NO(t) = 2Cl 2 (t) + (NO(0) 2Cl 2 (0)) NOCl(t) = -2Cl 2 (t) + (NOCl(0) + 2Cl 2 (0)) Men vi har endnu ikke styr på dynamikken, dvs. vi ved ikke hvor hurtigt reaktionen forløber. Vi blot at jo færre NO-molekyler, der er jo langsommere kører reaktionen fordi møderne mellem NO-molekylerne og Cl 2 -molekylerne bliver sjældnere. For nu at håndtere dynamikken fornuftigt vil vi for det første håndtere et realistisk antal molekyler, som altså skal måles i mol og ikke i hundreder. Det ændrer ikke de fundne relationer. Tilsvarende vil vi gå over til at regne på koncen- 21

23 trationer [NO], [Cl 2 ] og [NOCl] i stedet for absolutte antal indesluttet i et fast volumen. Det ændrer heller ikke på realationerne. Vi bemærker så at når der hele tiden forsvinder dobbelt så mange NO-molekyler som Cl 2 -molekyler, må der gælde sammenhængen Tilsvarende må der gælde: 2 2 Vi skal så blot have fundet en relation for differentialkvotienten. Vi indfører da som det er sædvane i kemi, reaktionens hastighed v således: Reaktionshastigheden er altså positiv og den antages for almindelige kemiske reaktioner at opfylde en relation af formen: hvor n og m angiver reaktionens orden med hensyn til Cl2 henholdsvis NO. En sådan relation kan begrundes ud fra massevirkningsloven om kemisk ligevægt. Men eksponenterne n og m kan kun findes eksperimentelt. Det er nemlig kun brutto reaktionen vi har skrevet op. Den kan godt være delt op i en kæde af delreaktioner. Det er så den langsomste af disse delreaktioner, der typisk fastlægger eksponenterne. Man finder ordenen ved at måle starthastigheden v 0 ved forskellige kombinationer af startkoncentrationer for dichlor og nitrogenoxid. Ved eksperimenter har man nu fundet (hvor vi i forsøg 1,2 holder [NO] 0 konstant, mens vi i forsøg 1, 3 holder [Cl 2 ] 0 konstant): Forsøg [Cl 2 ] 0 / M [NO] 0 / M v 0 / m s Reaktionen er altså af første orden med hensyn til dichlor og af anden orden med hensyn til Nitrogenoxid. Når vi nemlig fordobler koncentrationen af dichlor (forsøg 1 forsøg 2) fordobles også starthastigheden v 0. Når vi derimod fordobler koncentrationen af nitrogenoxid firdobles hastigheden (forsøg 1 forsøg 3). Sammenhængen ser derfor således ud: med k =

24 Læg mærke til at det er et smukt eksempel på variabelkontrol. 23

25 Her har vi skiftet til Grafer og Geometri, fordi vi så kan tegne familier af funktioner! Men så kan vi jo opstille en simpel differentialligning for dichlor-koncentrationen, når vi erstatter [NO] med 2[Cl 2 ] + ([NO] 0-2 [Cl2] 0 : , Hvis vi vedtager at startkoncentrationen for NO og Cl 2 skal være den samme, fx 0.18 M, mens startkoncentrationen for NOCl er sat til 0 M, så får vi altså den følgende differentialligning og de følgende sammenhænge: med Men denne differentialligning af tredje orden kan vi jo forsøge at løse symbolsk: Som det ses kan vi ikke isolere koncentrationen c, men vi kan godt isolere tiden t. Vi har altså fundet den omvendte funktion. Det kan vi i princippet udnytte til at finde lister, der repræsenterer tid og koncentration. Vi kan da frit vælge værdierne for koncentrationen af dichlor i intervallet fra startværdien 0.18 til den halve værdi 0.09 (der ikke må komme med). Derefter beregnes dels tiderne hørende til disse koncentrationer ved hjælp af den fundne løsningsfunktion fra differentialligningen dels de øvrige to stoffers koncentrationer ved hjælp af de tidligere fundne sammenhænge: 24

26 Læg mærke til at der er problemer med at få punkterne ordentligt spredt ud. Det kunne selvfølgelig løses ved at indskyde flere værdier for koncentrationen af dichlor i den sidste del af tabellen. Men det er nok nemmere at skifte til en grafisk løsning af differentialligningen. 25

27 Vi åbner derfor hjælpefilen Grafisk løsning af første ordens differentialligninger: Efter at have skiftet vinduesgrænserne som vist (med passende valg af gitterinddelinger), så ser det ganske fornuftigt ud. Men vi har jo også adgang til lister over løsningspunkternes koordinater. Vi kan derfor plukke de tidsværdier i lx1, der svarer til intervallet fra 0 til 120 og tilsvarende for koncentrationen: 26

28 Når c nærmer sig sin ligevægtsværdi 0.09 kan vi erstatte det første c med 0.09 og ser da at c nærmer sig sin ligevægtsværdi som i en anden ordens proces, jfr. grafen for reaktionshastigheden som funktion af koncentrationen, der netop ikke krydser aksen i ligevægtspunktet 0.09! Vi kan derfor tilnærme med differentialligningen Løses denne differentialligning fås approksimationen Sætter vi konstanten c5 til -25 fås da en rimelig asymptotisk approksimation: 27

29 28

30 Aktiviteter 5:Isokliner En isoklin er en kurve tegnet gennem de punkter, hvor løsningerne til en differentialligning har samme hældning dvs. punkter, hvor y er konstant. Isoklinerne for differentialligningen y' = x + y er således bestemt ved en ligning på formen x + y = k, dvs. rette linjer med hældning 1. a) Tegn linjeelementer for y' = x + y. b) Tegn en række isokliner for y' = x + y sammen med linjeelementerne. Det gør du ved at indtaste fx f1(x) = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} - x i Grafer og Geometri-værlstedets indtastningslinje. Det kan også gøres ved at udnytte en skyder for konstanten k. Tegn nogle løsningskurver. En af isoklinerne er løsning. Hvilken? Det er iøvrigt noget som sjældent sker! c) Den lineære løsningskurve deler så at sige vandene: Over, har alle løsningskurver et minimum og under, er alle løsningskurver aftagende. Forklar dette. Hvor antager alle øvre løsningskurver deres minimum? d) Med en vis ret, kan den lineære løsningskurve til y' = x + y kaldes frastødende. Tegn linjeelementer og find lineære løsninger til differentialligningerne y' = x y, y' = x + y, y' = x y og retfærdiggør begreberne frastødende/tiltrækkende. e) Tegn linjeelementer for y' = y 2 x og et passende antal løsningskurver. Findes der tiltrækkende/frastødende kurver her? (Vink: Se på 0-isoklinen) 29

31 6: Logistisk vækst med jagt/fiskeri Som eksempler på anvendelser af differentialligninger kan vi se på vækstmodeller. Den logistiske vækst, her eksemplificeret ved y' = 2y y er et godt udgangspunkt. a) Tegn linjeelementer og tegn nogle typiske løsningskurver. Find de stationære (dvs. konstante) løsninger og marker, hvilken der er tiltrækkende og hvilken der er frastødende. b) Hvis der inkluderes jagt/fiskeri i modellen kan det gøres simpelt ved at trække en konstant fra: 1 2 y' = 2y 2 y a Konstanten a repræsenterer da den hastighed, hvormed der skydes/fiskes i populationen. Lav billeder af typiske løsningskurver for a = 3/2 og a = 3. Angiv de stationære løsninger i tilfældet a = 3/2 og marker, hvilken der er tiltrækkende og hvilken der er frastødende. Forklar, hvorfor der ikke kan være stationære løsninger i tilfældet a =3. Bestem den kritiske værdi af a (1 dec.), hvor de stationære løsninger forsvinder, og gør rede for, hvilke konsekvenser det har for populationen, hvis jagten/fiskeriet overstiger den kritiske værdi. c) Hvis der inkluderes sæsonsvingninger i modellen, kan differentialligningen fx ændres til denne: 1 2 ( ) y' = 2 + cos( x) y y a Lav nogle løsningskurver for tilfældet a = 1. De konstante løsninger forsvinder, men i stedet dukker der nogle "periodiske" løsninger op, hvor den ene er tiltrækkende og den anden er frastødende. Lav også nogle løsningskurver for tilfældet a = 2, og forklar, hvorfor der ikke kan være periodiske løsninger i dette tilfælde. Find gennem eksperimenter den kritiske værdi af a (1 dec.), hvor de periodiske løsninger forsvinder, og gør rede for, hvilke konsekvenser det har for populationen, hvis jagten/fiskeriet overskrider denne værdi. 2 30

32 Kapitel 3. Koblede differentialligninger Grafisk/numerisk løsning af to koblede førsteordens differentialligninger foregår ved hjælp af en særlig skabelon, der hentes i filen Grafisk løsning af systemer af differentialligninger. Det forudsætter altså tilstedeværelsen af denne fil på din computer. Eksempel: Løs differentialligningssystemet, og tegn den løsningskurve, der går gennem begyndelses (2,1). 31

33 Læg mærke til at man interaktivt både kan regulere på startpunktet (x0,y0), fx ved at rette direkte i koordinatsættet øverst til venstre eller ved at trække i det. Læg også mærke til at systemet er et autonomt system, dvs. højre siden indeholder ikke tidsparameteren t. Det er forudsætningen for at det giver mening at tegne linjeelementer og faseplot. Udover faseplottet (x, y) får vi også tegnet tidsgraferne (t, x) og (t, y) på den følgende side: Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere kan vi oversætte systemet af de to koblede differentialligninger til en førsteordens differentialligning ved at foretage omskrivningen: 32

34 Denne ligning kan løses eksakt og vi kan derfor finde ligningen for løsningskurven i (x,y)-rummet (der netop viser sig at være en cirkel med radius 5: Vil vi også have tidsafhængigheden med ind i en eksakt løsning, bliver det lidt mere indviklet, fordi vi denne gang skal omskrive systemet til en andenordens differentialligning: og det samme for y: De løser altså den samme anden ordens differentialligning, hvilket er et generelt træk ved autonome systemer af koblede differentialligninger. Bemærkning: I almindelighed går omskrivningen ikke helt så nemt: Når vi differentierer den første differentialligning dukker der i almindelighed både dx/dt (som er ok) og dy/dt (som skal elimineres) op på højresiden. Når dy/dt erstattes af udtrykket fra den anden differentialligning dukker der i almindelighed både x og y op i udtrykket. Vi må så eliminere y ved hjælp af den første differentialligning, dvs. erstatte y med et udtryk i x og dx/dt.. Det giver i praksis ofte en andenordens differentialligning, der ikke kan løses eksakt. Men i det ovenstående tilfælde går det. Først bemærker vi at startbetingelsen også skal oversættes. I det første tilfælde finder vi: 0 2, I det andet tilfælde finder vi tilsvarende: 0 1, Det er altså startværdierne, der skelner mellem de to tilfælde: Det kan være svært at genkende parameterfremstillingen for en cirkel på denne form, men så kan vi samle leddene ved hjælp af tcollect-kommandoen: 33

35 Vi ser da netop at der er tale om en cirkel med radius 5. De to parameterkurver kan naturligvis efterprøves simpelt grafisk: 34

36 Romeo og Julie (et studie i ulykkelig kærlighed) Første akt. De elskende plages af en manglende tilpasning af deres gensidige følelser overfor hinanden. Romeo (kølig): "Min kærlighed til Julie falder i takt med hendes følelser for mig!" Juliet (varmblodet): "Min kærlighed til Romeo vokser i takt med hans følelser for mig!" Vi lader x repræsentere Romeo's følelser for Julie og y repræsentere Julies følelser for Romeo. Tiden måles i dage (0-60), og deres følelser måles på en skala fra -5 til 5, hvor 0 er ligegyldighed: Følelse Hysterisk had Begyndende afsky Ligegyldighed Spirende forelskelse Ekstatisk kærlighed Værdi Ligningerne til modellen for deres kærlighedsaffære ser således ud Vi antager nu, at Romeo ser Julie for første gang til tidspunktet t = 0, og at han straks bliver tiltrukket af hende (dvs. x(0) = 2). Julie derimod er naturligvis i første omgang ligeglad (y(0) = 0), men situationen er selvfølgelig ustabil! Eleverne vil få grafer som de følgende: 35

Workshop i differentialligninger

Workshop i differentialligninger Workshop i differentialligninger Indholdsfortegnelse Eksempler på eksamensopgaver side 1 Opgave 1 7: side 1 Projekter: side 3 8. Isokliner side 3 9. Logistisk vækst med jagt/fiskeri side 4 10. Romeo og

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion)

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Når du åbner for TI-Nspire CAS i en standardopsætning ser brugerfladen således ud (hvis ikke, så vælg Dialogboks > Indlæs standardområdet): I midterpanelet

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje:

TI-92 / TI-92 Plus. Skærmen består af fire dele: En menulinje, et historikområde, en indtastningslinje og nederst en statuslinje: TI-92 / TI-92 Plus TI-92 har et væld af indbyggede funktioner og i dette lille hæfte kan vi kun stifte bekendskab med nogle ganske få udvalgte, der har til formål at vise den regnekraft og fleksibilitet,

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer.

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer. [OPGAVER I NSPIRE] 1 Opgave 1) Opgaver og sider - dokumentstyring Start et nyt Nspire dokument. Følg herefter nedenstående trin. a) Opret to opgaver i dokumentet, hvor første opgave består to sider, og

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet

Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet Niels Hjersing Per Hammershøj Jensen Børge Jørgensen Indholdsfortegnelse 1 1. Forord... 3 2.

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650

Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650 Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650 Bølgelængdeinterval: 350 nm 1000 nm, nøjagtighed: < 1 nm. Brug Logger Pro s nyeste udgaver (3.6.0 eller 3.6.1). Hent evt. opdateringer fra Verniers hjemmeside

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Grupperede observationer

Grupperede observationer Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Hvad er nyt i version 3.6?

Hvad er nyt i version 3.6? Hvad er nyt i version 3.6? 1. Dokumentformater Den afgørende nyhed og også den mest problematiske er indførelsen af nye dokumentformater: Vi har hidtil arbejdet med et flydende dokumentformat. Når man

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Daglig brug af JitBesked 2.0

Daglig brug af JitBesked 2.0 Daglig brug af JitBesked 2.0 Indholdsfortegnelse Oprettelse af personer (modtagere)...3 Afsendelse af besked...4 Valg af flere modtagere...5 Valg af flere personer der ligger i rækkefølge...5 Valg af flere

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere