Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7"

Transkript

1 Numerisk/grafisk løsning af differentialigninger med TI-Nspire CAS version 1.7 Baseret på noter af Knud Nissen og Bjørn Felsager Kapitel 1: Grafisk løsning af differentialligninger side 1 Kapitel 2: Første ordens differentialligninger side 12 Linjeelementer side 12 Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger side 13 Implicit differentiation side 17 Et eksempel fra fysik: faldskærmsudspring side 18 Et eksempel fra kemi: Reaktionskinetik side 19 Aktiviteter: Isokliner side 29 Logistisk vækst med jagt/fiskeri side 30 Kapitel 3: Koblede differentialligninger side 31 Romeo og Julie side 35 Et eksempel fra samfundsfag side 39 Rygtespredning side 41 Aktiviteter: En rovdyr-byttedyr model side 44 En epidemi model side 45 Kapitel 4: Anden ordens differentialligninger side 46 Eksempel fra fysik: det matematiske pendul side 48 Aktiviteter: Standselængden for en bil side 50

2 Kapitel 1: Grafisk løsning af differentialligninger Når man skal løse en differentialligning af formen, er det godt at danne sig et grafisk overblik over løsningernes forløb. Det er da godt at kunne få tegnet linjeelementerne hørende til differentialligningen. Et linjeelement er et lille tangentstykke hørende til en løsning for differentialligningen. Hvis løsningskurven går gennem et bestemt punkt (x0,y0), så vil den i dette punkt hare en tangent med hældningen s(x0,y0) (bogstavet s er netop valgt for ordet slope = hældning). Hvis vi tegner et lille linjestykke med denne hældning vil det derfor give et godt indtryk af hvordan løsningen forløber lige omkring dette punkt. Lad os som et konkret eksempel se på differentialligningen 1 4 Vi åbner nu for et grafer og geometriværksted og afsætter et punkt på det gitter, der hører til koordinatsystemet (højreklik for at få vist gitteret): Gitteret følger inddelingen af koordinatakserne, der styres af vinduesindstillingerne X-skala og Y-skala. Normalt indstilles de automatisk, men har vi sat X- skala og Y-skala til 1, så gitteret netop dækker punkterne med heltallige koordinater. 1

3 Vi kan nu finde punktets koordinater og dermed beregne værdien af hældningen i dette punkt, idet vi indskriver en tekstboks med formlen for hældningen og peger på x-koordinaten henholdsvis y-koordinaten, når vi beregner den. Trækker vi i punktet kan vi se det springe rundt på gitteret samtidigt med at den lokale hældning knyttet til punktet opdateres. Vi er nu klar til at tegne linjeelementet. Vi skal da have afsat endepunkterne for linjeelementet., og, Her er s hældningen og h er den vandrette tilvækst Δx som skal afpasses så linjeelementet får længden 1, dvs. h er givet ved 1 1 (det sidste følger af Pythagoras sætning anvendt på den karakteristiske retvinklede trekant med den vandrette side h og den lodrette side s h). Vi indskriver derfor formlerne for koordinaterne til endepunkterne og beregner dem ved at pege på de relevante størrelser undervejs, dvs. øverst hældningen s givet ved formlen, derefter den vandrette tilvækst h givet ved formlen, efterfulgt af formlerne for de fire koordinater. Når de først er beregnet kan vi overføre deres mål til de relevante akser og konstruere endepunkterne ved hjælp af vinkelret-konstruktionen: 2

4 Herefter kan vi skjule beregningerne (med undtagelse af formlen for hældningen, dvs. forskriften for differentialligningen, hældningen og gitterpunktet med dets koordinater) og ved at trække rundt i punktet kan vi nu spore linjeelementet og dermed få tegnet linjeelementerne: Men det bedste ville selvfølgelig være, hvis vi kunne få dem tegnet i et hug, og det kan vi netop, fordi gitteret også kan fungere som en sti for et geometrisk sted. 3

5 Vælger vi at konstruere et geometrisk sted og peger vi først på gitterpunktet og dernæst på linjeelementet får vi netop konstrueret det feltet af linjeelementer: Det giver nu en god fornemmelse for løsningskurvernes forløb, idet vi kan følge linjeelementerne på samme måde som et blad følger den skiftende retning af vinden. Læg mærke til, at linjefeltet også er dynamisk. Skifter vi forskrift for differentialligningen opdateres linjefeltet. Hvis vi vil have tegnet løsningskurven gennem et begyndelsespunkt kan vi nu afsætte et frit punkt uden for gitteret og gemme x- og y-koordinaten i variablene x 0 og y 0 og derefter bruge kommandoen desolve til at løse differentialligningen eksakt. Vi starter da med at finde den eksakte løsningsformel for et vilkårligt startpunkt i Grafregner-værkstedet: Grafregner-værkstedet er imidlertid ikke dynamisk, så vi kopierer dette udtryk ind i Grafer og geometri-værkstedet som forskrift for f1(x), idet vi substituerer gitterpunktets koordinater x 0 og y 0 for x_start og y_start. Resultatet er da netop en dynamisk løsningskurve, der følger med rundt når vi trækker i gitterpunktet. Vi ser da netop hvordan løsningskurven følger linjeelementerne lige så nydeligt (læg mærke til at vi har skjult gitterpunktet og dets koordinater). 4

6 Men det er jo ikke alle differentialligninger vi kan løse eksakt ved hjælp af en færdig formel for y udtrykt ved x. Så i mange tilfælde må man i stedet nøjes med en numerisk løsning baseret på en passende numerisk løsningsformel, fx Eulers metode eller Runge Kuttas metode. Det er nemmest at illustrere Eulers metode, hvor vi simpelthen følger linjeelementerne trin for trin og dermed approksimerer løsningskurven med linjestykker, der hele tiden har den korrekte hældning i midtpunktet. Det er selvfølgelig ikke så præcist som en symbolsk løsning, men det illustrerer princippet rimeligt klart. Vi anvender igen differentialligningen 1 4 som vores illustrative eksempel. Vi vil følge løsningen 20 skridt fremad og tyve skridt bagud. Vi starter derfor med at definere de relevante funktioner, der skal føre os frem henholdsvis tilbage:.,, 1 4, (med decimalpunktum i tælleren),,,,,,,,,,,, Derefter arbejder vi os såvel fremad som tilbage i et lister og regneark-værksted. Det sker ved hjælp af cellekommandoerne 5

7 Her har vi valgt pæne værdier for startpunktet (x_0,y_0) ved at gå ind og rette direkte i startpunktets koordinater! Efterfølgende kan vi nu afbilde de to lister som forbundne dataserier: Det er selvfølgelig ikke så præcist som den symbolske løsning, men det er tydeligt at vi trods alt prøver at følge linjeelementernes retningsangivelse så godt vi kan. Skal det være bedre skal vi enten bruge mindre trin eller en mere præcis algoritme eller allerhelst begge dele. 6

8 Fx kan man nøjes med at gå et halvt skridt frem og så bruge hældningen fra det halve skridt til at gå ét helt skridt: Det ser allerede meget bedre ud. Men det kan ikke betale sig at fortsætte af denne vej, idet der findes en professionel fil, som allerede har implementeret en runge-kutta fjerdeordens metode i et fuldstændigt interaktivt miljø. Du henter denne fil ved at åbne for Hjælp-menuen og vælge menupunktet Download den nyeste vejledning. Derved åbnes for TI-Nspires opsamlingsvindue på nettet. 7

9 Du åbner dernæst for fanebladet lærere og vælger menupunktet Undervisningsmaterialer og service til lærere: Til sidst downloader du de filerne til grafisk løsning af differentialligninger: I dette tilfælde er vi derfor interesserede i eksempelfilen for førsteordens differentialligninger. Den åbnes med et forudprogrammeret eksempel, som vi så kan omskrive efter behov: 8

10 Hovedsiden består af to delvinduer, øverst et grafisk vindue, hvor man ser den grafiske løsning af differentialligningen, og nederst et grafregnervindue, hvor men indskriver den differentialligning man vil undersøge. Man henter altså kommandoen på den foregående linje og retter den til: Herefter kan man tilpasse grafregnervinduet ved at rette i vinduesindstillinger. Her skal man især være opmærksom på indstillingerne for koordinatgitteret, X- skala og Y-skala, der jo fastlægger linjeelementerne. Hvis man vælger for små 9

11 skalainddelinger, bliver gitteret for stort og så kan det komme til at tage rigtigt lang tid at feltet af linjeelementer! Man kan også skifte til det næste vindue, hvor man kan sætte en række parametre: De sidste seks parametre er netop vinduesindstillingerne, der altså også kan indstilles her. De første seks kontrollerer derimod løsningskurven: x0, y0: Det er startværdierne for løsningskurven. De kan også vælges grafisk på hovedvinduet, ved enten at indtaste værdierne i koordinatsættet for begyndelsespunktet eller trække i begyndelsespunktet med musen: Max # Points, #Division: Her fortæller vi dels hvor mange punkter vi ønsker at beregne på løsningskurven (idet dette antal punkter vil blive benyttet såvel når vi fremskriver løsningen, som når vi tilbageskriver løsningen), dels angiver vi hvor store skridt vil tage, idet antallet inddelinger langs x-aksen angiver størrelsen af skridtet. Jo mere præcis vi ønsker løsningen, jo flere inddelinger skal vi altså vælge men alt med måde, da beregningen ellers kan komme til at tage lidt for lang tid. 10

12 VL: Kontrollerer vektorens længde, så de ikke overlapper. Ved en skala på 1 vil de ligge direkte i forlængelse af hinanden. Function_only: Runge-Kutta metoden kan føre til kurver, der begynder at gå baglæns, og derfor ikke længere kan opfattes som grafer for funktioner. Det undgås ved at sætte parameteren til 1. Endelig skal man være opmærksom på at man også får stillet tabeller over løsningen til rådighed. De står gemt lidt af vejen i regnearket og hedder lx1 og ly1. De kan selvfølgelig kopieres over i lister med mere fornuftige navne, hvis det ønskes, ligesom de kan afbildes i et data og statistk-vindue, hvis det er mere overskueligt: Læg mærke til at kommandoen def_eqd1 er lidt mere restriktiv end den tilsvarende desolve-kommando: Differentialligningen skal angives på formen, med x og y som navnene på den uafhængige og afhængige variabel. Tilsvarende skal koordinatsættet for begyndelsespunktet angives som en liste med 2 værdier. 11

13 Kapitel 2: 1. ordens differentialligninger Linjeelementer Differentialligningen x (1) y ' = y kan tolkes således, at den i ethvert punkt (x 0,y 0 ), giver oplysning om tangenthældningen α for en eventuel løsningskurve 1 gennem dette punkt. Kaldes løsningskurven for f, gælder f ( x ) = y 0 0 f '( x og 0 ) = α Dette udtrykkes ved, at f går igennem linjeelementet (x 0,y 0 ;α). Fx vil løsningskurven gennem punktet (2,1) have tangenthældningen α= 2, med andre ord, vil løsningskurven gå gennem linjeelementet (2,1; 1). For at kunne danne sig et indtryk af løsningskurvernes forløb, kan man tegne nogle linjeelementer ind i et koordinatsystem. Går løsningskurven gennem linjeelementet ( x0, y0 ; α), tegnes gennem punktet ( x0, y0 ) et lille orienteret linjestykke med hældningen α. Nedenfor ses en række linjeelementer tegnet for differentialligningen (1): 1 Vi benytter ordet løsningskurve som betegnelse for grafen for en løsning. 12

14 Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger Du vil nu se, hvordan vi får TI-Nspire CAS til at tegne disse linjeelementer. Hertil skal vi åbne en særlig fil: Grafisk løsning af førsteordens differentialligninger, som altså skal ligge på din computer! Den åbner et særligt værksted, hvor de nødvendige kommandoer til at få tegnet linjeelementer er indbygget på forhånd. Som du kan se, består hovedvinduet af et Grafer og Geometri-vindue og et Grafregner-vindue. Det er i Grafregner-vinduet man indtaster differentialligningen. Læg mærke til at der skal bruges x og y for den uafhængige og afhængige variabel! Dertil kommer en startværdi for x henholdsvis y, der indtastes som en liste. I det ovenstående eksempel ser det således ud: x def _ eqd1 y ' =,{1,1} y Der er ingen grund til at stave dig igennem kommandoen. Du piler bare op og henter den foregående kommando og retter differentialligningen til. Hvis grafvinduet ikke er passende kan du ændre det på sædvanlig vis via zoom-menuer eller ved at håndrette aksernes slutværdier. Læg også mærke til startværdierne øverst til venstre. De kan også rettes til efterfølgende, men du kan også direkte trække i startpunktet, dvs. centrum for startcirklen, der udelukkende er tegnet med for at gøre det nemmere at finde startpunktet. Ved at trække i startpunktet kan man få en god fornemmelse, for hvordan løsningskurverne opfører sig. 13

15 Ved gentagen anvendelse af træk i startpunktet, kan du tegne alle de løsningskurver, du måtte ønske. Ved at eksperimentere lidt med dette, ser du, at alle løsningskurver bliver halvcirkler med centrum i origo, og at ingen løsningskurve skærer x-aksen. Hvis du højreklikker på løsningskurven kan du slå et geometrisk spor til og på denne måde som vist få tegnet en masse løsningskurver på en gang: Almindelig sporing virker også, men kun på den aktive løsningskurve. Løsningskurven er tegnet som et sammenhængende punktplot, så du kan ikke ramme et vilkårligt punkt ved at justere koordinaterne for det punkt, der spores! Hvis du får brug for at ændre indstillingerne for linjeelementerne så følger de gitteret i Grafer og Geometri-vinduerne. Du kan derfor ændre på opløsningen af linjeelementerne ved at ændre på stepværdierne for akserne, dvs. rette i tallene for aksemærkerne (tæt ved origo). Får du brug for det kan du også finde de samme oplysninger i det Lister og regneark-vindue, der følger med på den næste side. Vinduesoplysningerne står til sidst i de første kolonner! De andre oplysninger man kan indskrive direkte er startværdierne, det maksimale antal punkter på løsningskurven, antal inddelinger på x-aksen og en skalafaktor, der regulerer længden af linjeelementet: 14

16 Det er også i lister og regnearket man finder tabellerne for det punktplot, der udgør løsningskurven! Disse lister, kaldet lx1 og ly1 kan naturligvis gøres til genstand for selvstændige undersøgelser i andre applikationer. Du skal se på et par eksempler mere. Du kan nøjes med at lave nogle små ændringer i det, du allerede har. Først fjerner du minus: Her ser du, at løsningerne bliver hyperbler med asymptoterne y = ±x. Disse linjer er i øvrigt også selv løsninger. Læg mærke til at løsningskurverne igen undgår at skære x-aksen. 15

17 Byttes om på x og y, bliver løsningskurverne er rette linjer gennem origo: Denne gang er der ikke problemer med at krydse akserne. Krydset sker gennem origo, hvor begge koordinater er nul og hældningen derfor skizofren. Øvelse 1: Undersøg nu selv, hvad der sker, hvis vi skifter fortegn igen, dvs. undersøger differentialligningen y y ' = x Undersøg på tilsvarende måde differentialligningen y ' = 2 y. x Øvelse 2: Gør rede for at parablen y = x 2 løser de følgende tre typer differentialligninger Tegn linjeelementerne i de tre tilfælde og karakterisér sammenhængen mellem den specielle løsning y = x2 og generelle løsning. 16

18 Implicit differentiation Vi slutter med et par bemærkninger om hvordan man ud fra løsningskurverne kan gætte sig frem til den pågældende differentialligning. Lad os se på det første eksempel, hvor løsningskurverne bestod at koncentriske halvcirkler med centrum i origo. Ligningen for en sådan halvcirkel er givet på formen: x + y = r Dette er en implicit sammenhæng mellem de to variable x og y. Vi kunne gøre den eksplicit ved at isolere y. Men vi kan godt differentiere den implicitte sammenhæng direkte. Det gøres ved hjælp af en implicit differentiation: Hvordan skal det nu forstås? Jo, hvis y opfattes som en funktion af x, kan vi jo differentiere cirkelligningen således i hånden: Vi er nødt til at gære det i hånden, da TI-Nspire CAS ellers ikke ved at y rent faktisk afhænger af x! Isolerer vi derefter y ' fås netop resultatet af den implicitte differentiation. Uden den implicitte differentiation havde vi været nødt til at binde y til at være en funktion af x ved hjælp af kommandoen: y : = f ( x) hvorefter vi kan differentiere på normal vis og finder: Øvelse 3: Fra løsningskurver til differentialligninger I Undersøg på samme måde de øvrige differentialligninger fra det foregående, idet du først gætter på ligningen for løsningskurverne. Denne ligning indeholder en parameter, som du isolerer, så den forsvinder ved differentiationen. Derefter genfinder du differentialligningen ved hjælp af en implicit differentiation. Øvelse 4: Fra løsningskurver til differentialligninger II Der findes mange andre familier af løsningskurver, som udfylder planen, fx vandrette og lodrette forskydninger af enhedsparablen: 2 (1) y = x + k 2 (2) y = ( x h), x > h Disse ligninger indeholder en parameter, som du isolerer, så den forsvinder ved differentiationen. Derefter genfinder du differentialligningen ved hjælp af en implicit differentiation. 17

19 Eksempel fra fysik: Faldskærmsudspring Et faldskærmsudspring sker fra 4000 meters højde og faldskærmen udløses først i 1500 meters højde. Den maksimale fart, der opnås, er 50 m/s. I denne 2 situation gælder kraftligningen m v' = m g k v hvor v er hastigheden til tiden t, m er massen, g = 9.82 m/s 2 er tyngdeaccelerationen og k en konstant, der bl.a. afhænger af form og størrelse af den faldende genstand. Antag, at m = 80 kg. Når den maksimale fart (50 m/s) nås, er v' = 0. Ved indsættelse af dette i kraftligningen fås k = kg/m: Omformet til en differentialligning i TI-NSpire CAS syntaks fås kraftligningen (divider med m på begge sider og skriv y i stedet for v): m 2 Differentialligningen y' = g y indtastes sammen med begyndelsesbetingelsen x0=0 og y0=0 idet hastigheden er 0 ved udspringets start. I grafbille- k det er Spor aktiveret. Her kan du se, at løsningskurven nærmer sig asymptotisk til 50 og at tophastigheden nås efter ca. 15 sek. 18

20 Et eksempel fra kemi: Reaktionskinetik Vi ser på reaktionen mellem nitrogenoxid og dichlor som fører til dannelsen af nitrocylchlorid: 2NO + Cl 2 2NOCl Vi ser da at hver gang der forsvinder 2 NO-molekyler og 1 Cl 2 -molekyle, dannes der 2 NOCl-molekyler. Det gør det nemt at holde styr på den indbyrdes omsætning af de tre molekyler. Vi kan fx oprette lister over deres antal, hvor vi sørger for at der i hvert trin forsvinder 2 NO-molekyler og 1 Cl 2 -molekyle, samtidig med at der opstår 2 NOCl-molekyler. Vi kan fx forestille os at der er 100 NOmolekyler og 100 Cl 2 -molekyler, men ingen NOCl-molekyler til start. Læg mærke til at vi kun behøver at taste de to første rækker ind. Derefter kan vi udfylde tabellen nedad, efter det system, der angives af de to første rækker. Læg også mærke til at vi har tilføjet en søjle for antallet af kemiske reaktioner. Vi kan derfor nu nemt oprette en graf i data og statistik-værkstedet der viser hvor de tre stoffer udvikler sig efterhånden som reaktionen skrider fremad: 19

21 Vi lægger mærke til at NO-molekylerne forsvinder dobbelt så hurtigt som Cl2- molekylerne. Vi kan nemt finde forbindelsen mellem de enkelte typer molekyler ved at oprette grafer og aflæse ligningerne: Der gælder altså sammenhængen NOCl = - NO NOCl + NO =

22 Altså er summen af antallet af NO-molekyler og antallet af NOCl-molekyler konstant, hvilket selvfølgelig ikke er så overraskende, eftersom der dukker 2 NOCl-molekyler op for hver gang der forsvinder 2 NO-molekyler. Den konstante sum kan så fastlægges alene ud fra startværdierne. Tilsvarende finder vi sammenhængen mellem de to reaktanter: NO = 2 Cl Antallet af NO-molekyler falder altså i den dobbelte takst af antallet af Cl 2 - molekyler.det er selvfølgelig heller ikke overraskende, idet der forsvinder 2 NOmolekyler for hver gang der forsvinder 1 Cl 2 -molekyle. Igen kan konstanten fastlægges alene ud fra startværdierne. Konklusionen er altså at der kun er én frihedsgrad i den kemiske reaktion. Hvis vi kender antallet af Cl 2 -molekyler, kender vi også de to andres antal: NO(t) = 2Cl 2 (t) + (NO(0) 2Cl 2 (0)) NOCl(t) = -2Cl 2 (t) + (NOCl(0) + 2Cl 2 (0)) Men vi har endnu ikke styr på dynamikken, dvs. vi ved ikke hvor hurtigt reaktionen forløber. Vi blot at jo færre NO-molekyler, der er jo langsommere kører reaktionen fordi møderne mellem NO-molekylerne og Cl 2 -molekylerne bliver sjældnere. For nu at håndtere dynamikken fornuftigt vil vi for det første håndtere et realistisk antal molekyler, som altså skal måles i mol og ikke i hundreder. Det ændrer ikke de fundne relationer. Tilsvarende vil vi gå over til at regne på koncen- 21

23 trationer [NO], [Cl 2 ] og [NOCl] i stedet for absolutte antal indesluttet i et fast volumen. Det ændrer heller ikke på realationerne. Vi bemærker så at når der hele tiden forsvinder dobbelt så mange NO-molekyler som Cl 2 -molekyler, må der gælde sammenhængen Tilsvarende må der gælde: 2 2 Vi skal så blot have fundet en relation for differentialkvotienten. Vi indfører da som det er sædvane i kemi, reaktionens hastighed v således: Reaktionshastigheden er altså positiv og den antages for almindelige kemiske reaktioner at opfylde en relation af formen: hvor n og m angiver reaktionens orden med hensyn til Cl2 henholdsvis NO. En sådan relation kan begrundes ud fra massevirkningsloven om kemisk ligevægt. Men eksponenterne n og m kan kun findes eksperimentelt. Det er nemlig kun brutto reaktionen vi har skrevet op. Den kan godt være delt op i en kæde af delreaktioner. Det er så den langsomste af disse delreaktioner, der typisk fastlægger eksponenterne. Man finder ordenen ved at måle starthastigheden v 0 ved forskellige kombinationer af startkoncentrationer for dichlor og nitrogenoxid. Ved eksperimenter har man nu fundet (hvor vi i forsøg 1,2 holder [NO] 0 konstant, mens vi i forsøg 1, 3 holder [Cl 2 ] 0 konstant): Forsøg [Cl 2 ] 0 / M [NO] 0 / M v 0 / m s Reaktionen er altså af første orden med hensyn til dichlor og af anden orden med hensyn til Nitrogenoxid. Når vi nemlig fordobler koncentrationen af dichlor (forsøg 1 forsøg 2) fordobles også starthastigheden v 0. Når vi derimod fordobler koncentrationen af nitrogenoxid firdobles hastigheden (forsøg 1 forsøg 3). Sammenhængen ser derfor således ud: med k =

24 Læg mærke til at det er et smukt eksempel på variabelkontrol. 23

25 Her har vi skiftet til Grafer og Geometri, fordi vi så kan tegne familier af funktioner! Men så kan vi jo opstille en simpel differentialligning for dichlor-koncentrationen, når vi erstatter [NO] med 2[Cl 2 ] + ([NO] 0-2 [Cl2] 0 : , Hvis vi vedtager at startkoncentrationen for NO og Cl 2 skal være den samme, fx 0.18 M, mens startkoncentrationen for NOCl er sat til 0 M, så får vi altså den følgende differentialligning og de følgende sammenhænge: med Men denne differentialligning af tredje orden kan vi jo forsøge at løse symbolsk: Som det ses kan vi ikke isolere koncentrationen c, men vi kan godt isolere tiden t. Vi har altså fundet den omvendte funktion. Det kan vi i princippet udnytte til at finde lister, der repræsenterer tid og koncentration. Vi kan da frit vælge værdierne for koncentrationen af dichlor i intervallet fra startværdien 0.18 til den halve værdi 0.09 (der ikke må komme med). Derefter beregnes dels tiderne hørende til disse koncentrationer ved hjælp af den fundne løsningsfunktion fra differentialligningen dels de øvrige to stoffers koncentrationer ved hjælp af de tidligere fundne sammenhænge: 24

26 Læg mærke til at der er problemer med at få punkterne ordentligt spredt ud. Det kunne selvfølgelig løses ved at indskyde flere værdier for koncentrationen af dichlor i den sidste del af tabellen. Men det er nok nemmere at skifte til en grafisk løsning af differentialligningen. 25

27 Vi åbner derfor hjælpefilen Grafisk løsning af første ordens differentialligninger: Efter at have skiftet vinduesgrænserne som vist (med passende valg af gitterinddelinger), så ser det ganske fornuftigt ud. Men vi har jo også adgang til lister over løsningspunkternes koordinater. Vi kan derfor plukke de tidsværdier i lx1, der svarer til intervallet fra 0 til 120 og tilsvarende for koncentrationen: 26

28 Når c nærmer sig sin ligevægtsværdi 0.09 kan vi erstatte det første c med 0.09 og ser da at c nærmer sig sin ligevægtsværdi som i en anden ordens proces, jfr. grafen for reaktionshastigheden som funktion af koncentrationen, der netop ikke krydser aksen i ligevægtspunktet 0.09! Vi kan derfor tilnærme med differentialligningen Løses denne differentialligning fås approksimationen Sætter vi konstanten c5 til -25 fås da en rimelig asymptotisk approksimation: 27

29 28

30 Aktiviteter 5:Isokliner En isoklin er en kurve tegnet gennem de punkter, hvor løsningerne til en differentialligning har samme hældning dvs. punkter, hvor y er konstant. Isoklinerne for differentialligningen y' = x + y er således bestemt ved en ligning på formen x + y = k, dvs. rette linjer med hældning 1. a) Tegn linjeelementer for y' = x + y. b) Tegn en række isokliner for y' = x + y sammen med linjeelementerne. Det gør du ved at indtaste fx f1(x) = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} - x i Grafer og Geometri-værlstedets indtastningslinje. Det kan også gøres ved at udnytte en skyder for konstanten k. Tegn nogle løsningskurver. En af isoklinerne er løsning. Hvilken? Det er iøvrigt noget som sjældent sker! c) Den lineære løsningskurve deler så at sige vandene: Over, har alle løsningskurver et minimum og under, er alle løsningskurver aftagende. Forklar dette. Hvor antager alle øvre løsningskurver deres minimum? d) Med en vis ret, kan den lineære løsningskurve til y' = x + y kaldes frastødende. Tegn linjeelementer og find lineære løsninger til differentialligningerne y' = x y, y' = x + y, y' = x y og retfærdiggør begreberne frastødende/tiltrækkende. e) Tegn linjeelementer for y' = y 2 x og et passende antal løsningskurver. Findes der tiltrækkende/frastødende kurver her? (Vink: Se på 0-isoklinen) 29

31 6: Logistisk vækst med jagt/fiskeri Som eksempler på anvendelser af differentialligninger kan vi se på vækstmodeller. Den logistiske vækst, her eksemplificeret ved y' = 2y y er et godt udgangspunkt. a) Tegn linjeelementer og tegn nogle typiske løsningskurver. Find de stationære (dvs. konstante) løsninger og marker, hvilken der er tiltrækkende og hvilken der er frastødende. b) Hvis der inkluderes jagt/fiskeri i modellen kan det gøres simpelt ved at trække en konstant fra: 1 2 y' = 2y 2 y a Konstanten a repræsenterer da den hastighed, hvormed der skydes/fiskes i populationen. Lav billeder af typiske løsningskurver for a = 3/2 og a = 3. Angiv de stationære løsninger i tilfældet a = 3/2 og marker, hvilken der er tiltrækkende og hvilken der er frastødende. Forklar, hvorfor der ikke kan være stationære løsninger i tilfældet a =3. Bestem den kritiske værdi af a (1 dec.), hvor de stationære løsninger forsvinder, og gør rede for, hvilke konsekvenser det har for populationen, hvis jagten/fiskeriet overstiger den kritiske værdi. c) Hvis der inkluderes sæsonsvingninger i modellen, kan differentialligningen fx ændres til denne: 1 2 ( ) y' = 2 + cos( x) y y a Lav nogle løsningskurver for tilfældet a = 1. De konstante løsninger forsvinder, men i stedet dukker der nogle "periodiske" løsninger op, hvor den ene er tiltrækkende og den anden er frastødende. Lav også nogle løsningskurver for tilfældet a = 2, og forklar, hvorfor der ikke kan være periodiske løsninger i dette tilfælde. Find gennem eksperimenter den kritiske værdi af a (1 dec.), hvor de periodiske løsninger forsvinder, og gør rede for, hvilke konsekvenser det har for populationen, hvis jagten/fiskeriet overskrider denne værdi. 2 30

32 Kapitel 3. Koblede differentialligninger Grafisk/numerisk løsning af to koblede førsteordens differentialligninger foregår ved hjælp af en særlig skabelon, der hentes i filen Grafisk løsning af systemer af differentialligninger. Det forudsætter altså tilstedeværelsen af denne fil på din computer. Eksempel: Løs differentialligningssystemet, og tegn den løsningskurve, der går gennem begyndelses (2,1). 31

33 Læg mærke til at man interaktivt både kan regulere på startpunktet (x0,y0), fx ved at rette direkte i koordinatsættet øverst til venstre eller ved at trække i det. Læg også mærke til at systemet er et autonomt system, dvs. højre siden indeholder ikke tidsparameteren t. Det er forudsætningen for at det giver mening at tegne linjeelementer og faseplot. Udover faseplottet (x, y) får vi også tegnet tidsgraferne (t, x) og (t, y) på den følgende side: Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere kan vi oversætte systemet af de to koblede differentialligninger til en førsteordens differentialligning ved at foretage omskrivningen: 32

34 Denne ligning kan løses eksakt og vi kan derfor finde ligningen for løsningskurven i (x,y)-rummet (der netop viser sig at være en cirkel med radius 5: Vil vi også have tidsafhængigheden med ind i en eksakt løsning, bliver det lidt mere indviklet, fordi vi denne gang skal omskrive systemet til en andenordens differentialligning: og det samme for y: De løser altså den samme anden ordens differentialligning, hvilket er et generelt træk ved autonome systemer af koblede differentialligninger. Bemærkning: I almindelighed går omskrivningen ikke helt så nemt: Når vi differentierer den første differentialligning dukker der i almindelighed både dx/dt (som er ok) og dy/dt (som skal elimineres) op på højresiden. Når dy/dt erstattes af udtrykket fra den anden differentialligning dukker der i almindelighed både x og y op i udtrykket. Vi må så eliminere y ved hjælp af den første differentialligning, dvs. erstatte y med et udtryk i x og dx/dt.. Det giver i praksis ofte en andenordens differentialligning, der ikke kan løses eksakt. Men i det ovenstående tilfælde går det. Først bemærker vi at startbetingelsen også skal oversættes. I det første tilfælde finder vi: 0 2, I det andet tilfælde finder vi tilsvarende: 0 1, Det er altså startværdierne, der skelner mellem de to tilfælde: Det kan være svært at genkende parameterfremstillingen for en cirkel på denne form, men så kan vi samle leddene ved hjælp af tcollect-kommandoen: 33

35 Vi ser da netop at der er tale om en cirkel med radius 5. De to parameterkurver kan naturligvis efterprøves simpelt grafisk: 34

36 Romeo og Julie (et studie i ulykkelig kærlighed) Første akt. De elskende plages af en manglende tilpasning af deres gensidige følelser overfor hinanden. Romeo (kølig): "Min kærlighed til Julie falder i takt med hendes følelser for mig!" Juliet (varmblodet): "Min kærlighed til Romeo vokser i takt med hans følelser for mig!" Vi lader x repræsentere Romeo's følelser for Julie og y repræsentere Julies følelser for Romeo. Tiden måles i dage (0-60), og deres følelser måles på en skala fra -5 til 5, hvor 0 er ligegyldighed: Følelse Hysterisk had Begyndende afsky Ligegyldighed Spirende forelskelse Ekstatisk kærlighed Værdi Ligningerne til modellen for deres kærlighedsaffære ser således ud Vi antager nu, at Romeo ser Julie for første gang til tidspunktet t = 0, og at han straks bliver tiltrukket af hende (dvs. x(0) = 2). Julie derimod er naturligvis i første omgang ligeglad (y(0) = 0), men situationen er selvfølgelig ustabil! Eleverne vil få grafer som de følgende: 35

Workshop i differentialligninger

Workshop i differentialligninger Workshop i differentialligninger Indholdsfortegnelse Eksempler på eksamensopgaver side 1 Opgave 1 7: side 1 Projekter: side 3 8. Isokliner side 3 9. Logistisk vækst med jagt/fiskeri side 4 10. Romeo og

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger 9 Differentialligninger Linjeelementer Differentialligningen (1) y = x y kan tolkes således, at den i ethvert punkt ( x 0, y 0 ), giver oplysning om tangenthældningen α for en eventuel løsningskurve gennem

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A)

Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) (Data er hentet fra M. Radelet, "Racial characteristics and imposition of death penalty", American Sociological Review, 46 (1981), pp 918-927

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk

Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Numeriske metoder - til løsning af differentialligninger - fra borgeleo.dk Eksakte løsninger: fuldstændig løsning og partikulær løsning Mange differentialligninger kan løses eksakt. Fx kan differentialligningen

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse

Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

En sumformel eller to - om interferens

En sumformel eller to - om interferens En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 A + B C + D

Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 A + B C + D Baggrundsmateriale til Minigame 7 side 1 Indhold Kernestof... 1 Supplerende stof... 1 1. Differentialligninger (Baggrundsmateriale til Minigame 3)... 1 2. Reaktionsorden (Nulte-, første- og andenordensreaktioner)...

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Projekt 3.5 Når en population kollapser

Projekt 3.5 Når en population kollapser Projekt 3.5 Når en population kollapser Logistisk vækst beskrives af en langstrakt S-formet graf, der blødt bevæger sig op mod en øvre grænse, som vi kalder for bæreevnen. Virkeligheden er ofte betydeligt

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2010 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 4. juni 2010 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Stx matematik B maj 2009

Stx matematik B maj 2009 Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden

Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Hvad er nyt i version 3.6?

Hvad er nyt i version 3.6? Hvad er nyt i version 3.6? 1. Dokumentformater Den afgørende nyhed og også den mest problematiske er indførelsen af nye dokumentformater: Vi har hidtil arbejdet med et flydende dokumentformat. Når man

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Deskriptiv statistik (grupperede observationer)

Deskriptiv statistik (grupperede observationer) Deskriptiv statistik (grupperede observationer) Tallene er hentet fra Arbejdsbog B1 (2.udg.) eller Arbejdsbog B2, øvelse 408: Der åbnes et Lister og Regneark værksted og observationerne indtastes og navngives:

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =

Læs mere

QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra

QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning   De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere