BRP Sortering og søgning. Hægtede lister

Transkript

1 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

2 Opgave P18.6 (øvelsesopgave fra 11.10) Lav en rekursiv metode til at finde det største element i et arrary

3 Implementation: Ved rekursion er der altid (mindst) to tilfælde 1. Det rekursive tilfælde Det ikke-rekursive (simple, stop, basis) tilfælde

4 Implementation: hjælpemetode Metoden getmaximum() benytter hjælpemetoden getmaximum(int start) det er getmaximum(int start) der er rekursiv formålet er at undgå at kopiere og parameter-overføre arrayet start = 0 start = 1

5 Implementation: brug metoder til del-operationer Man skal selvfølgelig bruge almindelig god programmereingsskik, og fx lave en særskilt metode til at finde det største af to elementer int max(int x, int y) { if (x >= y) return x; else return y; }

6 Hjælpemetoden int getmaximum(int start) { int x = a[start]; if (start == a.length 1) return x; int y = getmaximum(start+1); return max(x,y); } start = 1

7 Samlet løsningsforslag (komprimeret) class DataSet { int[] a; int getmaximum() { if (a.length == 0) return 0; else return getmaximum(0); } int getmaximum(int start) { if (start == a.length 1) return a[start]; return max(a[start],getmaximum(start+1)); } } int max(int x,int y) {.. }

8 Horstmann Algoritme A er O(n) og skal bruge 5 sekunder til 1000 poster. Hvor lang tid tager 2000 poster? poster?

9 Horstmann 19.5 (svar) Algoritme A er O(n) og skal bruge 5 sekunder til poster. T(1.000) = 5, hvad er T(2.000) og T(10.000)? Svar: T(2.000) = 2*T(1.000) = 2*5 sekunder = 10 sekunder. Fordi 2000/1000 = 2. T(10.000) = 10*T(1.000) = 10*5 sekunder = 50 sekunder Fordi 10000/1000 = 10 OBS! Kun cirkatal.

10 Horstmann 19.5 (uddybning) Algoritme A er O(n) og skal bruge 5 sekunder til poster, dvs. T(1.000) = 5. Ræsonnement bruger at A er O(n): T(2.000) = (2.000/1.000) * T(1.000) = 2*5

11 Horstmann 19.6 O(n) O(n2) O(n3) O(n log(n)) O(2n)

12 Horstmann (n) 0(n 2 ) 0(n 3 ) 0(n log(n)) 0(2 n ) *5= *5= *5=20

13 Horstmann (n) 0(n 2 ) 0(n 3 ) 0(n log(n)) 0(2 n ) *2*5= *3*5= *4*5=80

14 Horstmann uddybning af O(n 2 ) T(2.000) = ( / ) * T(1.000) = 2*2*5

15 Horstmann (n) 0(n 2 ) 0(n 3 ) 0(n log(n)) 0(2 n ) *2*2*5= *3*3*5= *4*4*5=320

16 Horstmann (n) 0(n 2 ) 0(n 3 ) 0(n log(n)) 0(2 n ) *(11/10)*5= *(12/10)*5)=24

17 Horstmann uddybning af O(n log n) T(2.000) = (2.000 log 2.000) / (1.000 log 1.000) * T(1.000) = (2.000 / 1.000) * (log / log 1.000) * T(1.000) = ca. (2.000/1.000) * (log 2048) / (log 1024) * T(1.000) = (2.000/1.000) * (log 2 11 ) / log 2 10 ) * T(1.000) = (2.000/1.000) * (11 log 2) / (10 log 2) * T(1.000) = 2 * (11/10) * T(1.000) = 2 * 1,1 * 5 = 11

18 Horstmann (n) 0(n 2 ) 0(n 3 ) 0(n log(n)) 0(2 n ) *5= *2*5= *2*2*5=40

19 Horstmann uddybning af O(2 n ) T(1.001) = / * T(1.000) = 2 * T(1.000) = 10

20 Horstmann Hvad er kompleksiteten (vækstraten) af følgende metode til at fjerne dubletter i arrayet a (eller en hægtet liste a): For hvert i, optæl hvor mange gange a[i] forekommer efterfølgende; hvis der er mindst en forekomst, slettes elementet a[i].

21 Horstmann svar Metoden er O(n 2 ). For hvert element gennemløbes hele (resten af) arrayet

22 Horstmann tillægsspørgsmål Metoden er O(n 2 ) - kan det gøres bedre?

23 Horstmann P19.1 Skriv et program som sorterer i aftagende rækkefølge, på basis af selection sort.

24 Horstmann P19.1 svar Eneste linje i Horstmanns program s. 705, som man behøver ændre, er linje 38: a[i] < a[minpos] ==> a[i] > a[maxpos] -- samt man skal ændre navne på variable og metoder, fx minpos ==> maxpos

25 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

26 Selection sort Usorteret: Sorteret: Algoritmen selection sort (udvælgelsessortering) find mindste element i (det er 5) anbring 5 forrest, ved hjælp af en ombytning mellem 5 og 11, herefter er arrayet fortsæt rekursivt (eller iterativt )med at sortere elementerne efter

27 Horstmanns iterative program class SelectionSorter { SelectionSorter(int[] anarray) {a = anarray} int[] anarray; void sort() { for (int i=0;..) { minpos = minimumposition(i); swap(minpos,i); } } } int minimumposition(int from) {..} void swap(int i, int j) {..}

28 Horstmanns iterative program class SelectionSorter { SelectionSorter(int[] anarray) {a = anarray} int[] anarray; kan minimumposition() void sort() { returnere i??? for (int i=0;..) { minpos = minimumposition(i); swap(minpos,i); } } } int minimumposition(int from) {..} void swap(int i, int j) {..}

29 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

30 Tidsforbrug af selection sort 1000 elementer: 0,037 sek elementer: 0,149 sek. (ca. fire-dobbelt tid) 3000 elementer: 0,327 sek. (ca. ni-dobbelt tid) 4000 elementer: 0,581 sek. (ca. seksten-dobbelt tid) Som om der gælder følgende formel: T(n*1000) = n 2 * T(1000)

31 Kompleksitetsanalyse Formål: Helst: formel for tidsforbrug af algoritme som funktion af input (antal elementer), både worst-case og gennemsnit. Men afhænger af implementation, cpu, cpu-type,.. Derfor arbejder man med approksimationer som fx selection sort er O(n 2 ) - det skal præciseres/fremgå om det er worst-case ell. gennemsnit - hvordan input måles (n) - om det er tidsforbrug eller pladsforbrug der beskrives - kun en approksimation (tilnærmelse)

32 Kompleksitetsanalyse: eksempel Selection sort Input = 5 elementer: tidsforbrug som funktion af antal elementer, der skal sorteres et overslag er antal besøg i et array-element (læs eller skriv) 5 besøg for at fastslå at 5 er mindste element, 2 besøg til ombygning, ialt 7 6 besøg i næste runde.. (Horstmanns har nu flere sammenligninger) Antal besøg (ingenting når der kun er et element) Hvis n input: (n+2) + (n+1) + n + (n-1) (n led) = ½*n 2 + (5/2)*n - 1 Svarer til kvadratisk kompleksitet, ikke tilfredsstillende.

33 Store O-notation f(n) er antal array-besøg når selection sort skal sortere n elementer f(n) < ½*n2 + (5/2)*n - 1 f(n) < n2 hvis n > 10 så kan vi sige: at selection sort (eller f(n) eller bare f) er O(n2 ) (eller kvadratisk)

34 Selection sort er O(n 2 ) Pragmatisk set betyder det: Store o-notation Når input er passende stor, så vokser tidsforbruget som kvadratisk funktion af input (evt. menes der pladsforbruget) Hvis det skal gøres præcist: skal input n præciseres og tidsenheden (pladsenheden) f(n) præciseres tidsenhed: fx antal array-besøg, eller maskininstruktioner på bestemt cpu altid cpu med random access, dvs. med hurtigt opslag i array hvis f(n) < k*g(n) for n over en vis grænse, siger man at f(n) er O(g(n)) Erfaringen viser at store O-notation giver en brugbar, entydig information

35 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

36 Merge sort (flettesortering) Merge sort er interessant fordi kompleksiteten er n * (log n). Andre sorteringsalgoritmer med kompleksitet n log n: quicksort, mest udbredt og mest studeret hob-sortering (heap sort) Andre med kvadratisk kompleksitet indsættelsessortering (insertion sort, se Horstmann s. 713)

37 Merge sort, ide & kompleksitet Sorter array a: 1. opdel arrayet i to halvdele, a1 og a2. 2. sorter a1 og a2. 3. Flet de to sorterede dele af arrayet. T(2n) = 2*T(n) + fletning = 2*T(n) + 5*n Dette er netop logaritmisk kompleksitet: T(n) = O(n log n) (kan man vise) Min merge sort: T(1000) = 0,075 sek. T( ) = 50 sek.

38 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

39 Binær søgning Ide: problemopdeling, del og hersk Forudsætning: et sorteret array Når et array er sorteret, kan søgning efter et bestemt element foregå meget hurtigt: er 25 indeholdt i arrayet? vi sammenligner med et element ca. i midten herefter har vi fået udelukket halvdelen af elementerne uden at vi har besøgt dem!

40 Opsummering Lad os sige vi har n elementer (fx n = 1mio. patient-journaler) Sortering: af hele datamængden kan foregå hurtigt: n log n Søgning: efter et enkelt element kan foregå hurtigt: log n Begge dele foregår bedst i arrays (gælder også quicksort og heap sort)

41 Spørgsmål Men: hvad med et indsætte eller fjerne et element?!? (Sortering og søgning er operationer på den samme datamængde)

42 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister (udskudt til næste gang) 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

43 BRP Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser: rekursive udgaver af..

44 Øvelser 1. Skriv en rekursiv udgave af metoden minimumposition() (med udgangspunkt i Horstmanns iterative program s. 706). 2. Skriv en rekursiv udgave af selection sort (med udgangspunkt i Horstmanns iterative program s. 705f). 3. Skriv en rekursiv udgave af binær søgning (med udgangspunkt i Horstmanns iterative program s. 729).