MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
|
|
- Eva Johnsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematisk analyse indenfor følgende emner: Vektoranalyse: Gradient, divergens og rotation, samt integralsætninger for disse. Laplace-transformation: Snedig metode til løsning af 2. ordens differentialligninger. Fourier-rækker: Hvordan funktioner kan opløses i (uendeligt mange) harmoniske svingninger, og hvornår dette er smart. Potensrækker: En slags Taylorpolynomier af uendeligt høj grad. Analytiske funktioner: Om at udnytte komplekse funktioner til nemmere beregninger, inklusive integration ved residuer. Praktisk: Vi mødes 4 gange til seancer à 4 timer. Hver seance vil bestå af 90 minutters forelæsning (i Fib.6 lokale /08), som efterfølges af 2 timers opgaveregning i grupperummene (opgaver: se de næste sider). Uge Dato Nr. Emner 36 4/9 kapitel 5.: Talfølger, konvergens. Uendelige rækker. kapitel 9. 4: Vektorer og vektorfelter. Prik- og krydsprodukt. 7/9 2 kapitel 9.5 9: Kurvelængde, gradient. Divergens og rotation. kapitel 0. 4: Kurveintegraler. Greens sætning. 37 /9 3 kapitel 0.5 7: Fladeintegraler, Gauss s sætning (divergenssætningen). 4/9 4 kapitel 0.8 9: Potentialer. Stokes s sætning (rotationssætningen). 38 8/9 5 kapitel 6. 2: Laplace-transformation, differentialligninger. 2/9 6 kapitel 6.3 5: Trinfunktionen, Diracs deltafunktion. Foldning /9 7 kapitel 6.6 9: Mere om differentiation og differentialligninger. 28/9 8 kapitel. 2: Fourierrækker I: periodiske funktioner. 40 2/0 9 kapitel.2: Fourierrækker II: lige og ulige funktioner. 5/0 0 kapitel.3 4: Fourierrækker III: tvungne svingninger; approximation. 4 2/0 kapitel 3: Komplekse funktioner I: kompleks differentiation /0 2 kapitel 4: Komplekse funktioner II: kurveintegraler. Cauchys integralsætning og -formler. 44 2/ 3 kapitel 5: Komplekse funktioner III: Potens- og Taylorrækker. 45 9/ 4 kapitel 6+7.: Komplekse funktioner IV: Laurentrækker, integration ved residuer. Konform afbildning. Eksamen: Intern skriftlig prøve med hjælpemidler. Pensum: Den gennemgåede litteratur i de 4 seancer, der er skemasat.
2 ET,MP, FYS, NANO 3. august 202 Oversigt nr. 2 Tirsdag den 4. september.. Til opgaveregningen repeterer vi lidt om komplekse tal (det er IKKE meningen man skal bruge regnemaskine): Skriv brøkerne 6 i 4 + i, 7 + i i 3 på formen x + i y for passende reelle tal x, y. Find z 2 og z 2 når z = 3 i 4. (Overraskende!?) Find modulus og (et) argument for z = 2 i 2 3. Skriv z på formen re i θ. Find real- og imaginærdelen for 4e i π/2. (Svar: 6 ± i 2)!) Desuden tager vi et par små opgaver om uendelige rækker: Bestem summen af den uendelige række ( 0 )2 + + ( 0 )n +... Brug først din intuition! Brug dernæst en relevant formel og sammenlign! Udregn Brug kvotientkriteriet til at afgøre om følgende rækker konvergerer: n= n!, e. n n= Tid til overs? Begynd på opgave i bogen. 2
3 ET,MP, FYS, NANO 5. september 202 Oversigt nr. 3 Fredag den 7. september. Her er der opgaver i uendelige rækker (konvergens/divergens): Brug sammenligningskriteriet til at vise at rækken nedenfor konvergerer: n=0 + = 2 2 2n Regn Husk at angive hvilket kriterium du brugte til at finde svarene. De entusiastiske kan regne (Vink: Man kan f.eks. begynde med at vise, at rækken opfylder kvotientkriteriet med q = ( ).) NB! Som et supplement til Kreyzigs sætninger bør jeg nævne følgende velkendte resultat: n= n p konvergerer hvis og kun hvis < p <. Desuden er der et resultat om såkaldte alternerende rækker: ( ) n b n konvergerer når b > b 2 > > b n >... 0 n= og desuden b n 0 for n. Begge disse resultater kan være nyttige, både direkte og når man vil bruge sammenligningskriteriet. 3
4 ET,MP, FYS, NANO 7. september 202 Oversigt nr. 4 Som sagt ved dagens forelæsning: I bør bladre kapitel 9 igennem og nikke til det I kender undervejs og læse nærmere om de ting, I ikke genkender! Ligeså med kaptitel 0.. I de nye emner kan I med fordel gennemregne Kreysigs taleksempler, blot for at afmystificere tingene. 3. gang, tirsdag den. september. Her regnes opgaver i følgende emner: Gradienter/potentialer: Gennemsku opgave Divergens af vektorfelt: Lav først taleksemplerne i 9.8.,3. Regn så Rotation af vektorfelt: Regn Overvej om du kan bruge en af formlerne i 9.9.4, og bevis den formel du bruger. Bevis formlerne i Theorem (regn løs!). Linieintegraler: Regn NB! Opskriv først en parameterfremstilling for kurverne; brug dernæst definitionen af linieintegraler nederst side 44. Greens sætning: Kontroller at Greens sætning er korrekt i tilfældet hvor F = (y, x) og kurven C er cirklen x 2 + y 2 = /4. (Udregn begge integraler.) 4. gang, fredag den 4. september. Opgaver i de nye temaer: Linieintegraler: Regn Stiuafhængighed: Lav 0.2.3; fortsæt med Greens sætning: Øv dig på formlen ved at regne
5 ET,MP, FYS, NANO 4. september 202 Oversigt nr gang, tirsdag den 8. september. Her er temaerne: Greens sætning: Lav Fladeintegraler: Regn Divergenssætningen: Regn Også Rotationssætningen: Lav gang, fredag den 2. september. Opgaver i følgende emner: Green, Gauss, Stokes: Lav opgave og Hyperbolsk sinus og cosinus: Eftervis at cosh t = et +e t og sinh t = et e t er 2 2 hinandens afledte: (cosh t) = sinh t, (sinh t) = cosh t. Begrund at sinh t er strengt monotont voksende og derfor har en invers funktion, sinh t. Vis at når man betragter punktet (x, y) = (cosh t, sinh t) for et vilkårligt reelt tal t, så ligger punktet (x, y) på hyperblen H med ligningen x 2 y 2 =. Omvendt: Givet et punkt (x 0, y 0 ) på denne hyperbel, udled da at der findes t 0 sådan at (x 0, y 0 ) = (cosh t 0, sinh t 0 ). (Vink: Man kan begynde med at sætte t 0 = sinh y 0 ; dernæst slutte at x 2 0 = cosh 2 t 0.) Da H således er parametriseret ved (cosh t, sinh t), hvad der er analogt til enhedscirklen, så kaldes disse funktioner hyperbolsk cosinus, hhv. hyperbolsk sinus. Laplace transformation: Bestem L(f) for funktionerne i opgave (Brug bogen IKKE computer!) Lav så Invers transformation: Regn (brug tabel, IKKE computer!). 5
6 ET,MP, FYS, NANO 2. september Oversigt nr. 6 Vi har de sidste to gange brugt l Hôpitals regel ved forelæsningerne. Indtil videre vil jeg henvise jer til wikipedia. Dvs. slå den op på Hopital rule. Angående gammafunktionen Γ(x) (den glatte forlængelse af n!), så kan I se en oversigt i bogens Appendix 3. (læseværdigt!). 7. gang, tirsdag den 25. september. Her ser vi på opgaver i emnerne: Laplacetransformering: Regn Forsæt eventuelt med 6..22; man skal bruge gammafunktionen. Invers transformering: Lav og Gamma-funktionen: Læs om Γ(x) side A54 og regn efter at definitionen i (24) giver formlerne i (25) (26) som påstået. (Nemme!) Differentialligninger: Regn Skubbede problemer: Prøv med (Jvf. Ex ) 8. gang, fredag den 28. september. her var programmet ved opgaveregningen følgende: Differentialligninger: Opgave Trinfunktionen: Regn Flytning i s: Regn Diskontinuerte højresider: Lav opgave Diracs deltafunktion: Regn Vi nåede ved forelæsningerne idag at gennemgå Fourierrækker i kapitel til og med side
7 ET,MP, FYS, NANO 28. september 202 Oversigt nr. 7 Vi fortsætter her i kursets 2. halvdel med at gennemgå kapitel. 4 om Fourierrækker. 9. gang, tirsdag den 2. oktober. Her ser vi på opgaver i Differentialligninger: Regn Foldning: Lav opgave (nemme!). Fortsæt med 6.5. og Stambrøker: Regn Koblede ligninger: Lav (man kan gå frem som i Ex ). Fourierrækker: Brug din PC til at plotte S 0 (x), S 20 (x) og S 30 (x) i eksemplet side 478 over intervallet 4 x 4. Den dårlige tilnærmelse i diskontinuitetspunkterne kaldes Gibbs fænomen. De interesserede kan se nærmere på phenomenon. 0. gang, fredag den 5. oktober. Vi regner opgaver i Periodiske funktioner: Lav..7+0 (nemme!). Fourierrækker: Først..2. Dernæst..3; er resultatet overraskende? Fortsæt med (U)lige funktioner: Lav.2. og også (nemme!). Gl. eksamensopgave: Betragt begyndelsesværdiproblemet givet ved y() = 0, y () = 0 og ligningen y (t) + 9y(t) = r(t), hvor r(t) er defineret ved { 0, for t < 2, r(t) = t 2, for t 2.. (5 point) Omskriv begyndelsesværdiproblemet således at begyndelsesbetingelserne ligger ved t = (20 point) Anvend Laplacetransformationen til at finde y(t). 7
8 ET,MP, FYS, NANO. oktober 202 Oversigt nr. 8. gang, fredag den 2. oktober. Vi ser denne gang på følgende opgaver: Fourierrækker, (u)lige fkt.: Regn opgave.2.. Brug resultatet til at slutte at der (som lovet; jvf. også opgave.2.20) gælder at n 2 + = π2 6. (Hvorfor er Fourierrækken punktvis konvergent?) Halv-periode udviklinger: Regn (OBS. (a) er nem!) Gl. eksamensopgave i Fourieranalyse: (jan. 202) Betragt differentialligningen y (t) + 4y (t) + 8y(t) = r(t), hvor r(t) er den 2π-periodiske funktion defineret ved: { π 2 t 2, for π t < 0, r(t) = π 2 + t 2, for 0 t < π..(5 point) Vis at r(t) kan skrives som en sum af en lige og en ulige funktion. 2.(0 point) Find Fourierrækken for r(t). 3.(5 point) Find den periodiske partikulærløsning til ligningen. Gl. eksamensopgave i vektoranalyse: (jan. 202) Betragt vektorfeltet F(x, y, z) = (x 6 z)i + xyzj + (x 5 z 3 + x)k og fladen S med parameterfremstillingen hvorved 0 ρ 5 og 0 φ 2π..(5 point) Beregn F(x, y, z). r(ρ, φ) = 2ρ cos φi + ρ sin φk, 2.(0 pint) Beregn F n da. S 3.(0 point) Beregn C γ F dr, når C γ betegner kurven med parameterfremstillingen γ(t) = 0 cos ti + 5 sin tk, 0 t 2π. 8
9 ET,MP, FYS, NANO 24. oktober 202 Oversigt nr gang, TORSDAG den 25. oktober kl NB!. Inden forelæsningen bedes I sikre jer, at I (hver især!) har forstået og kan huske grundbegreberne om komplekse tal i afsnit 3. 3 i bogen. Vi fortsætter fra afsnit 3.5. Ved øvelserne ser vi på følgende opgaver (de fleste er helt enkle): Komplekse tal og funktioner: For hvilke komplekse tal z er funktionen f(z) = (z 2 + )(z 2 2z 3) defineret? Skitser definitionsmængden for f(z). Dernæst opgave (nemme). Real- og imaginærdele: Regn (nemme). Differentiation: Regn (nemme). Analytiske funktioner: Begrund at ethvert polynomium p(z) = a n z n + + a z + a 0 er analytisk (dvs. differentiabel i ethvert z C). Er p en hel funktion? Cauchy Riemanns ligninger: Regn Gl. eksamensopgave: (jan. 20) Betragt funktionen f(z) = 2z + z 2, hvor z = x + i y for relle tal x, y.. Find to reelle funktioner u og v sådan at f(z) = u(x, y) + i v(x, y) for alle z. Vis at f(z) ikke er analytisk. 2. Lad γ betegne cirklen med radius 2, centrum i z 0 = i og orientering mod uret. Beregn det komplekse kurveintegral f(z) dz. γ 9
10 ET,MP, FYS, NANO 3. oktober 202 Oversigt nr. 0 Sidste gang fik vi repeteret fra kapitel 3 og gennemgået nyt om en række nye funktioner i kapitel 3.6. Læs/repeter dette og test dig selv hjemme med Repetitionsopgaver til kap. 3.6: Lav om eksponentialfunktionen e z (nemme!). Fortsæt med om trigonometriske funktioner (cos z, sin z) og hyperbolske funktioner (cosh z, sinh z). Desuden gennemgik vi kapitel 4.+2 om komplekse kurveintegraler til og med Cauchys integralsætning. 3. gang, fredag den 2. november. Her regnes opgaver i emnerne: Kurveintegraler: Lav opgave Find også en nem måde at angribe på! Kurveopdeling: Regn ML-uligheden: Repeter denne ved at regne Cauchys integralsætning: Gennemsku (nem!). Deformation af kurver: Udfør diskussionen i opgave Lav også Gl. eksamensopgave: (jan. 202). (0 point) Vis at z n+ n=0 konvergerer for alle z i det komplekse plan n! C. Lad f(z) = z n+ n=0. Da potensrækken for konvergerer for alle z C er n! f(z) analytisk i hele C. 2. (0 point) Lad C 3 (0) betegne cirklen med radius 3 og centrum i z 0 = 0 og orienteret mod uret. Beregn f(z) dz. z C 3 (0) 0
11 ET,MP, FYS, NANO 2. november 202 Oversigt nr. Som lovet efter forelæsning idag kommer der til jeres oplysning/inspiration et Eksamenslignende opgavesæt. Opgave. (25 point) Løs ved brug af Laplacetransformationen systemet af ligninger y (t) = 2y 2 (t) + y 2(t) = y (t) + t under begyndelsesbetingelserne y (0) = og y 2 (0) = 2. Opgave 2. (25 point) Betragt vektorfeltet F (x, y, z) = (yz, xz, xy) og fladen S givet ved parameterfremstillingen hvor 0 ρ og 0 φ 2π. r(ρ, φ) = (2 + ρ cos φ, 3, + ρ sin φ), () (5 point) Begrund at S er en cirkelskive i xz-planen, og find dens radius og centrum. (2) (0 point) Beregn div F = F og rot F = F. (3) (0 point) Beregn flade integralet S F n da, hvor n betegner enhedsnormalvektoren til S. Opgave 3 (25 point) Betragt ligningen y (t)+2y (t)+y(t) = r(t), hvor den ydre kraft r(t) er en 2π-periodisk funktion givet ved { sin t, for π < t < 0 r(t) = sin t, for 0 t π. Find en 2π-periodisk partikulærløsning. Opgave 4. (25 point) () (0 point) Lad f(z) = z2 +. Find alle f s nulpunkter og poler. z 4 + (2) (5 point) Beregn integralet + x 2 + x 4 dx.
12 ET,MP, FYS, NANO 8. november 202 Oversigt nr. 2 Inden den sidste forelæsning fred d. 9/ kan man med fordel repetere kapitel 5. om uendelige rækker hjemmefra. Især kvotient- og rodkriteriet for konvergens. 4. gang, fredag den 9. november. Her vil vi først gennemgå kapitel og kapitel 6. 3 samt fra 6.4 delafsnittet (uden overskrift) fra side 726 til 729 øverst. Alt sammen fra et praktisk synspunkt. Dvs. med hovedvægt på eksempler. Dernæst ser vi på opgaver i Konvergensradius: Bestem Taylorrækken for g(z) = vis at dens konvergensradius er R =. Regn også z 2 i z 0 = 0 (nem!) og Taylorrækker: Find Taylorrækken for f(z) = e z + z 0 = 0. Lav så (nem) og z med udviklingspunkt Laurentrækker: Regn 6..5 og 6..6 samt Vink: Brug Taylorrækkerne for de kendte funktioner. Residuer: Lav Residueintegration: Regn først 6.3.7; eventuelt også Dernæst udregnes integralerne over R i opgave NB! Jeg minder om, at I kan stille spørgsmål til pensum torsdag den 3. januar 203; vi mødes i Fib. 6 lokale.08 kl
13 ET,MP, FYS, NANO 9. november 202 Oversigt nr. 3 Som lovet i dag ved den sidste forelæsning bringer jeg her en mindre samling af de resterende Gl. eksamensopgaver:. (januar 20). (25 point) Anvend Laplace transformationen til at løse ligningen y (t) + 2y (t) + y(t) = t 2, med begyndelsesbetingelsen y(2) = 0, y (2) =. (januar 20) 2. (25 point) Betragt vektorfeltet F (x, y, z) = (0, xz, y 2 x). Lad σ være fladen med parameterfremstillingen r(u, v) = (u + v, u 2, v 2 ), u 2 + v 2, og lad C betegne kurven givet ved γ(t) = (cos t + sin t, cos 2 t, sin 2 t), 0 t 2π. (i) Beregn σ rot F n da, idet n betegner σ s normalvektor. (ii) Beregn C F d γ. Hvorfor får man samme resultat? (januar 20) 3. (25 point) Betragt ligningen y (t) + 2y (t) + y(t) = r(t), hvor den ydre kraft r(t) er den 2π-periodiske funktion der er defineret ved { t + π/2, for π < t < 0, r(t) = t 2 /π + π/2, for 0 t π. Vis at r(t) hverken er lige eller ulige. Find en 2π-periodisk partikulærløsning til ligningen. 3
MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1
EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2014 [K] E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle
Læs mereMATEMATIK 3 EN3,MP3 28. august 2015 Oversigt nr. 1
EN3,MP3 28. august 205 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 205 [K] E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereMATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereMatematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses
Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget
Læs mereOpgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 46
EIT3+ITC3/2018 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 46 Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/18 Opgavesæt 46 181229HEb Skriftlig prøve
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereMM01 (Mat A) Ugeseddel 1
Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereOpgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 22
EIT3+ITC3/2012 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 22 Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/12 Opgavesæt 22 121201HEb Skriftlig prøve
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereSkriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet
Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/11 Opgavesæt 18 111203HEb Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet Prøve d. 3. januar 2012 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereOpgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 42
EIT3+ITC3/2017 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 42 Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/17 Opgavesæt 42 171225HEb Skriftlig prøve
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereOpgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1
1.17 Opgaver til 1. 1 1.1. Vis, at f(z) = er vilkårligt ofte differentiabel i C \ {, 1}, og z(1 z) find et udtryk for f (n) (z) for alle n. (Vink. Skriv f(z) = 1 z + 1 1 z ). 1.2. Beskriv billedkurverne
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereOversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 og maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC-Nordvest Uddannelse Fag og niveau
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)
Læs mereReeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mere