MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1"

Transkript

1 ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematisk analyse indenfor følgende emner: Vektoranalyse: Gradient, divergens og rotation, samt integralsætninger for disse. Laplace-transformation: Snedig metode til løsning af 2. ordens differentialligninger. Fourier-rækker: Hvordan funktioner kan opløses i (uendeligt mange) harmoniske svingninger, og hvornår dette er smart. Potensrækker: En slags Taylorpolynomier af uendeligt høj grad. Analytiske funktioner: Om at udnytte komplekse funktioner til nemmere beregninger, inklusive integration ved residuer. Praktisk: Vi mødes 4 gange til seancer à 4 timer. Hver seance vil bestå af 90 minutters forelæsning (i Fib.6 lokale /08), som efterfølges af 2 timers opgaveregning i grupperummene (opgaver: se de næste sider). Uge Dato Nr. Emner 36 4/9 kapitel 5.: Talfølger, konvergens. Uendelige rækker. kapitel 9. 4: Vektorer og vektorfelter. Prik- og krydsprodukt. 7/9 2 kapitel 9.5 9: Kurvelængde, gradient. Divergens og rotation. kapitel 0. 4: Kurveintegraler. Greens sætning. 37 /9 3 kapitel 0.5 7: Fladeintegraler, Gauss s sætning (divergenssætningen). 4/9 4 kapitel 0.8 9: Potentialer. Stokes s sætning (rotationssætningen). 38 8/9 5 kapitel 6. 2: Laplace-transformation, differentialligninger. 2/9 6 kapitel 6.3 5: Trinfunktionen, Diracs deltafunktion. Foldning /9 7 kapitel 6.6 9: Mere om differentiation og differentialligninger. 28/9 8 kapitel. 2: Fourierrækker I: periodiske funktioner. 40 2/0 9 kapitel.2: Fourierrækker II: lige og ulige funktioner. 5/0 0 kapitel.3 4: Fourierrækker III: tvungne svingninger; approximation. 4 2/0 kapitel 3: Komplekse funktioner I: kompleks differentiation /0 2 kapitel 4: Komplekse funktioner II: kurveintegraler. Cauchys integralsætning og -formler. 44 2/ 3 kapitel 5: Komplekse funktioner III: Potens- og Taylorrækker. 45 9/ 4 kapitel 6+7.: Komplekse funktioner IV: Laurentrækker, integration ved residuer. Konform afbildning. Eksamen: Intern skriftlig prøve med hjælpemidler. Pensum: Den gennemgåede litteratur i de 4 seancer, der er skemasat.

2 ET,MP, FYS, NANO 3. august 202 Oversigt nr. 2 Tirsdag den 4. september.. Til opgaveregningen repeterer vi lidt om komplekse tal (det er IKKE meningen man skal bruge regnemaskine): Skriv brøkerne 6 i 4 + i, 7 + i i 3 på formen x + i y for passende reelle tal x, y. Find z 2 og z 2 når z = 3 i 4. (Overraskende!?) Find modulus og (et) argument for z = 2 i 2 3. Skriv z på formen re i θ. Find real- og imaginærdelen for 4e i π/2. (Svar: 6 ± i 2)!) Desuden tager vi et par små opgaver om uendelige rækker: Bestem summen af den uendelige række ( 0 )2 + + ( 0 )n +... Brug først din intuition! Brug dernæst en relevant formel og sammenlign! Udregn Brug kvotientkriteriet til at afgøre om følgende rækker konvergerer: n= n!, e. n n= Tid til overs? Begynd på opgave i bogen. 2

3 ET,MP, FYS, NANO 5. september 202 Oversigt nr. 3 Fredag den 7. september. Her er der opgaver i uendelige rækker (konvergens/divergens): Brug sammenligningskriteriet til at vise at rækken nedenfor konvergerer: n=0 + = 2 2 2n Regn Husk at angive hvilket kriterium du brugte til at finde svarene. De entusiastiske kan regne (Vink: Man kan f.eks. begynde med at vise, at rækken opfylder kvotientkriteriet med q = ( ).) NB! Som et supplement til Kreyzigs sætninger bør jeg nævne følgende velkendte resultat: n= n p konvergerer hvis og kun hvis < p <. Desuden er der et resultat om såkaldte alternerende rækker: ( ) n b n konvergerer når b > b 2 > > b n >... 0 n= og desuden b n 0 for n. Begge disse resultater kan være nyttige, både direkte og når man vil bruge sammenligningskriteriet. 3

4 ET,MP, FYS, NANO 7. september 202 Oversigt nr. 4 Som sagt ved dagens forelæsning: I bør bladre kapitel 9 igennem og nikke til det I kender undervejs og læse nærmere om de ting, I ikke genkender! Ligeså med kaptitel 0.. I de nye emner kan I med fordel gennemregne Kreysigs taleksempler, blot for at afmystificere tingene. 3. gang, tirsdag den. september. Her regnes opgaver i følgende emner: Gradienter/potentialer: Gennemsku opgave Divergens af vektorfelt: Lav først taleksemplerne i 9.8.,3. Regn så Rotation af vektorfelt: Regn Overvej om du kan bruge en af formlerne i 9.9.4, og bevis den formel du bruger. Bevis formlerne i Theorem (regn løs!). Linieintegraler: Regn NB! Opskriv først en parameterfremstilling for kurverne; brug dernæst definitionen af linieintegraler nederst side 44. Greens sætning: Kontroller at Greens sætning er korrekt i tilfældet hvor F = (y, x) og kurven C er cirklen x 2 + y 2 = /4. (Udregn begge integraler.) 4. gang, fredag den 4. september. Opgaver i de nye temaer: Linieintegraler: Regn Stiuafhængighed: Lav 0.2.3; fortsæt med Greens sætning: Øv dig på formlen ved at regne

5 ET,MP, FYS, NANO 4. september 202 Oversigt nr gang, tirsdag den 8. september. Her er temaerne: Greens sætning: Lav Fladeintegraler: Regn Divergenssætningen: Regn Også Rotationssætningen: Lav gang, fredag den 2. september. Opgaver i følgende emner: Green, Gauss, Stokes: Lav opgave og Hyperbolsk sinus og cosinus: Eftervis at cosh t = et +e t og sinh t = et e t er 2 2 hinandens afledte: (cosh t) = sinh t, (sinh t) = cosh t. Begrund at sinh t er strengt monotont voksende og derfor har en invers funktion, sinh t. Vis at når man betragter punktet (x, y) = (cosh t, sinh t) for et vilkårligt reelt tal t, så ligger punktet (x, y) på hyperblen H med ligningen x 2 y 2 =. Omvendt: Givet et punkt (x 0, y 0 ) på denne hyperbel, udled da at der findes t 0 sådan at (x 0, y 0 ) = (cosh t 0, sinh t 0 ). (Vink: Man kan begynde med at sætte t 0 = sinh y 0 ; dernæst slutte at x 2 0 = cosh 2 t 0.) Da H således er parametriseret ved (cosh t, sinh t), hvad der er analogt til enhedscirklen, så kaldes disse funktioner hyperbolsk cosinus, hhv. hyperbolsk sinus. Laplace transformation: Bestem L(f) for funktionerne i opgave (Brug bogen IKKE computer!) Lav så Invers transformation: Regn (brug tabel, IKKE computer!). 5

6 ET,MP, FYS, NANO 2. september Oversigt nr. 6 Vi har de sidste to gange brugt l Hôpitals regel ved forelæsningerne. Indtil videre vil jeg henvise jer til wikipedia. Dvs. slå den op på Hopital rule. Angående gammafunktionen Γ(x) (den glatte forlængelse af n!), så kan I se en oversigt i bogens Appendix 3. (læseværdigt!). 7. gang, tirsdag den 25. september. Her ser vi på opgaver i emnerne: Laplacetransformering: Regn Forsæt eventuelt med 6..22; man skal bruge gammafunktionen. Invers transformering: Lav og Gamma-funktionen: Læs om Γ(x) side A54 og regn efter at definitionen i (24) giver formlerne i (25) (26) som påstået. (Nemme!) Differentialligninger: Regn Skubbede problemer: Prøv med (Jvf. Ex ) 8. gang, fredag den 28. september. her var programmet ved opgaveregningen følgende: Differentialligninger: Opgave Trinfunktionen: Regn Flytning i s: Regn Diskontinuerte højresider: Lav opgave Diracs deltafunktion: Regn Vi nåede ved forelæsningerne idag at gennemgå Fourierrækker i kapitel til og med side

7 ET,MP, FYS, NANO 28. september 202 Oversigt nr. 7 Vi fortsætter her i kursets 2. halvdel med at gennemgå kapitel. 4 om Fourierrækker. 9. gang, tirsdag den 2. oktober. Her ser vi på opgaver i Differentialligninger: Regn Foldning: Lav opgave (nemme!). Fortsæt med 6.5. og Stambrøker: Regn Koblede ligninger: Lav (man kan gå frem som i Ex ). Fourierrækker: Brug din PC til at plotte S 0 (x), S 20 (x) og S 30 (x) i eksemplet side 478 over intervallet 4 x 4. Den dårlige tilnærmelse i diskontinuitetspunkterne kaldes Gibbs fænomen. De interesserede kan se nærmere på phenomenon. 0. gang, fredag den 5. oktober. Vi regner opgaver i Periodiske funktioner: Lav..7+0 (nemme!). Fourierrækker: Først..2. Dernæst..3; er resultatet overraskende? Fortsæt med (U)lige funktioner: Lav.2. og også (nemme!). Gl. eksamensopgave: Betragt begyndelsesværdiproblemet givet ved y() = 0, y () = 0 og ligningen y (t) + 9y(t) = r(t), hvor r(t) er defineret ved { 0, for t < 2, r(t) = t 2, for t 2.. (5 point) Omskriv begyndelsesværdiproblemet således at begyndelsesbetingelserne ligger ved t = (20 point) Anvend Laplacetransformationen til at finde y(t). 7

8 ET,MP, FYS, NANO. oktober 202 Oversigt nr. 8. gang, fredag den 2. oktober. Vi ser denne gang på følgende opgaver: Fourierrækker, (u)lige fkt.: Regn opgave.2.. Brug resultatet til at slutte at der (som lovet; jvf. også opgave.2.20) gælder at n 2 + = π2 6. (Hvorfor er Fourierrækken punktvis konvergent?) Halv-periode udviklinger: Regn (OBS. (a) er nem!) Gl. eksamensopgave i Fourieranalyse: (jan. 202) Betragt differentialligningen y (t) + 4y (t) + 8y(t) = r(t), hvor r(t) er den 2π-periodiske funktion defineret ved: { π 2 t 2, for π t < 0, r(t) = π 2 + t 2, for 0 t < π..(5 point) Vis at r(t) kan skrives som en sum af en lige og en ulige funktion. 2.(0 point) Find Fourierrækken for r(t). 3.(5 point) Find den periodiske partikulærløsning til ligningen. Gl. eksamensopgave i vektoranalyse: (jan. 202) Betragt vektorfeltet F(x, y, z) = (x 6 z)i + xyzj + (x 5 z 3 + x)k og fladen S med parameterfremstillingen hvorved 0 ρ 5 og 0 φ 2π..(5 point) Beregn F(x, y, z). r(ρ, φ) = 2ρ cos φi + ρ sin φk, 2.(0 pint) Beregn F n da. S 3.(0 point) Beregn C γ F dr, når C γ betegner kurven med parameterfremstillingen γ(t) = 0 cos ti + 5 sin tk, 0 t 2π. 8

9 ET,MP, FYS, NANO 24. oktober 202 Oversigt nr gang, TORSDAG den 25. oktober kl NB!. Inden forelæsningen bedes I sikre jer, at I (hver især!) har forstået og kan huske grundbegreberne om komplekse tal i afsnit 3. 3 i bogen. Vi fortsætter fra afsnit 3.5. Ved øvelserne ser vi på følgende opgaver (de fleste er helt enkle): Komplekse tal og funktioner: For hvilke komplekse tal z er funktionen f(z) = (z 2 + )(z 2 2z 3) defineret? Skitser definitionsmængden for f(z). Dernæst opgave (nemme). Real- og imaginærdele: Regn (nemme). Differentiation: Regn (nemme). Analytiske funktioner: Begrund at ethvert polynomium p(z) = a n z n + + a z + a 0 er analytisk (dvs. differentiabel i ethvert z C). Er p en hel funktion? Cauchy Riemanns ligninger: Regn Gl. eksamensopgave: (jan. 20) Betragt funktionen f(z) = 2z + z 2, hvor z = x + i y for relle tal x, y.. Find to reelle funktioner u og v sådan at f(z) = u(x, y) + i v(x, y) for alle z. Vis at f(z) ikke er analytisk. 2. Lad γ betegne cirklen med radius 2, centrum i z 0 = i og orientering mod uret. Beregn det komplekse kurveintegral f(z) dz. γ 9

10 ET,MP, FYS, NANO 3. oktober 202 Oversigt nr. 0 Sidste gang fik vi repeteret fra kapitel 3 og gennemgået nyt om en række nye funktioner i kapitel 3.6. Læs/repeter dette og test dig selv hjemme med Repetitionsopgaver til kap. 3.6: Lav om eksponentialfunktionen e z (nemme!). Fortsæt med om trigonometriske funktioner (cos z, sin z) og hyperbolske funktioner (cosh z, sinh z). Desuden gennemgik vi kapitel 4.+2 om komplekse kurveintegraler til og med Cauchys integralsætning. 3. gang, fredag den 2. november. Her regnes opgaver i emnerne: Kurveintegraler: Lav opgave Find også en nem måde at angribe på! Kurveopdeling: Regn ML-uligheden: Repeter denne ved at regne Cauchys integralsætning: Gennemsku (nem!). Deformation af kurver: Udfør diskussionen i opgave Lav også Gl. eksamensopgave: (jan. 202). (0 point) Vis at z n+ n=0 konvergerer for alle z i det komplekse plan n! C. Lad f(z) = z n+ n=0. Da potensrækken for konvergerer for alle z C er n! f(z) analytisk i hele C. 2. (0 point) Lad C 3 (0) betegne cirklen med radius 3 og centrum i z 0 = 0 og orienteret mod uret. Beregn f(z) dz. z C 3 (0) 0

11 ET,MP, FYS, NANO 2. november 202 Oversigt nr. Som lovet efter forelæsning idag kommer der til jeres oplysning/inspiration et Eksamenslignende opgavesæt. Opgave. (25 point) Løs ved brug af Laplacetransformationen systemet af ligninger y (t) = 2y 2 (t) + y 2(t) = y (t) + t under begyndelsesbetingelserne y (0) = og y 2 (0) = 2. Opgave 2. (25 point) Betragt vektorfeltet F (x, y, z) = (yz, xz, xy) og fladen S givet ved parameterfremstillingen hvor 0 ρ og 0 φ 2π. r(ρ, φ) = (2 + ρ cos φ, 3, + ρ sin φ), () (5 point) Begrund at S er en cirkelskive i xz-planen, og find dens radius og centrum. (2) (0 point) Beregn div F = F og rot F = F. (3) (0 point) Beregn flade integralet S F n da, hvor n betegner enhedsnormalvektoren til S. Opgave 3 (25 point) Betragt ligningen y (t)+2y (t)+y(t) = r(t), hvor den ydre kraft r(t) er en 2π-periodisk funktion givet ved { sin t, for π < t < 0 r(t) = sin t, for 0 t π. Find en 2π-periodisk partikulærløsning. Opgave 4. (25 point) () (0 point) Lad f(z) = z2 +. Find alle f s nulpunkter og poler. z 4 + (2) (5 point) Beregn integralet + x 2 + x 4 dx.

12 ET,MP, FYS, NANO 8. november 202 Oversigt nr. 2 Inden den sidste forelæsning fred d. 9/ kan man med fordel repetere kapitel 5. om uendelige rækker hjemmefra. Især kvotient- og rodkriteriet for konvergens. 4. gang, fredag den 9. november. Her vil vi først gennemgå kapitel og kapitel 6. 3 samt fra 6.4 delafsnittet (uden overskrift) fra side 726 til 729 øverst. Alt sammen fra et praktisk synspunkt. Dvs. med hovedvægt på eksempler. Dernæst ser vi på opgaver i Konvergensradius: Bestem Taylorrækken for g(z) = vis at dens konvergensradius er R =. Regn også z 2 i z 0 = 0 (nem!) og Taylorrækker: Find Taylorrækken for f(z) = e z + z 0 = 0. Lav så (nem) og z med udviklingspunkt Laurentrækker: Regn 6..5 og 6..6 samt Vink: Brug Taylorrækkerne for de kendte funktioner. Residuer: Lav Residueintegration: Regn først 6.3.7; eventuelt også Dernæst udregnes integralerne over R i opgave NB! Jeg minder om, at I kan stille spørgsmål til pensum torsdag den 3. januar 203; vi mødes i Fib. 6 lokale.08 kl

13 ET,MP, FYS, NANO 9. november 202 Oversigt nr. 3 Som lovet i dag ved den sidste forelæsning bringer jeg her en mindre samling af de resterende Gl. eksamensopgaver:. (januar 20). (25 point) Anvend Laplace transformationen til at løse ligningen y (t) + 2y (t) + y(t) = t 2, med begyndelsesbetingelsen y(2) = 0, y (2) =. (januar 20) 2. (25 point) Betragt vektorfeltet F (x, y, z) = (0, xz, y 2 x). Lad σ være fladen med parameterfremstillingen r(u, v) = (u + v, u 2, v 2 ), u 2 + v 2, og lad C betegne kurven givet ved γ(t) = (cos t + sin t, cos 2 t, sin 2 t), 0 t 2π. (i) Beregn σ rot F n da, idet n betegner σ s normalvektor. (ii) Beregn C F d γ. Hvorfor får man samme resultat? (januar 20) 3. (25 point) Betragt ligningen y (t) + 2y (t) + y(t) = r(t), hvor den ydre kraft r(t) er den 2π-periodiske funktion der er defineret ved { t + π/2, for π < t < 0, r(t) = t 2 /π + π/2, for 0 t π. Vis at r(t) hverken er lige eller ulige. Find en 2π-periodisk partikulærløsning til ligningen. 3

MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1 EN,MP 28. august 2014 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2014 [K] E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses

Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009

Formelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 6

Matematik F2 Opgavesæt 6 Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Opgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1

Opgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1 1.17 Opgaver til 1. 1 1.1. Vis, at f(z) = er vilkårligt ofte differentiabel i C \ {, 1}, og z(1 z) find et udtryk for f (n) (z) for alle n. (Vink. Skriv f(z) = 1 z + 1 1 z ). 1.2. Beskriv billedkurverne

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

[EP] C. Edwards og D. Penney: Calculus, 6th edition, Prentice Hall, New Jersey, 2002.

[EP] C. Edwards og D. Penney: Calculus, 6th edition, Prentice Hall, New Jersey, 2002. MATEMATISK ANALYSE 29. august 2003 Oversigt nr. 1 I kurset matematik 1A skal vi beskæftige os med matematisk analyse, og der kommer groft sagt til at være tre emner: Funktioner af flere variable (hvordan

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Stokes rotationssætning

Stokes rotationssætning enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Bo Løvschall

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere