Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012"

Transkript

1 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion En sproglig detalje En upræcis definition Problemet med snydedefinitionen Integrabilitet Begrænsede funktioner Undersummer og oversummer Integrabilitet Eksempler Gymnastik med grænserne Indskudssætningen Kontinuerte funktioner Nummererede over og undersummer En forklaring af integraltegnet Integrationsvariablen Middelværdisætningen Analysens fundamentalsætning De fleste funktioner er integrable Stamfunktioner ved hjælp af bestemte integraler Bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner Ikke-integrable funktioner 37

3 Resumé Dette dokument handler om integration. Eller mere præcist: Bestemt integration. Vi definerer hvad det vil sige at en funktion kan integreres og formulerer nogle vigtige resultater om integration. 1 Introduktion Du har måske allerede hørt at der findes to begreber med navnet integration: ubestemt og bestemt integration. Sådan burde det ikke være, for på mange måder er bestemt integration den eneste rigtige form for integration, mens ubestemt integration bare er et (temmeligt uheldigt 1 ) navn til den proces som også hedder at finde stamfunktioner. Derfor har jeg valgt simpelt hen at kalde dette dokument for integration, selvom det næsten udelukkende handler om bestemt integration altså den proces hvor man ønsker at beregne arealet under grafen for en funktion. Forudsætninger Før du læser dette dokument, er du nødt til at kende til følgende tre egenskaber som en funktion kan have: begrænsethed 2, monotoni 3 og kontinuitet 4. 1 Navnet er ganske udmærket, og det giver perfekt mening når man først indser hvad stamfunktioner og (bestemt) integration har med hinanden at gøre. Men indtil man opnår denne indsigt kan det være mere forvirrende end fornuftigt. 2 Du kan læse om begrænsede funktioner her 3 Du kan læse om monotone funktioner her 4 Du kan læse om kontinuerte funktioner her side 1

4 For at forstå det sidste afsnit er du også nødt til at være meget fortrolig med differentiation 5 og med stamfunktionsbegrebet 6. Hvis du er god til at lære ting uden at ane hvorfor, så behøver du ikke andet. Men slutteligt kan det være en god ide at vide hvorfor arealer under grafer er så pokkers interessante En sproglig detalje Hele dette dokument handler om en funktion, f, og et lukket interval, [a; b] i dens definitionsmængde. Funktionen kan sagtens tænkes at være defineret på en større mængde end det betragtede interval (det første eksempel du kommer i tanker om vil sikkert være defineret i alle reelle tal), men det er funktionens opførsel inden for intervallet som er vigtig. Derfor vil vi ofte bruge udtryk som f.eks. f er kontinuert på [a; b]. Dette betyder så at f er en kontinuert funktion, hvis man begrænser definitionsmængden til dette interval. (Vi er nemlig ligeglade med om f skulle have diskontinuiteter i punkter uden for intervallet). På samme måde vil vi tale om at en funktion kan være begrænset eller monoton på et givet interval. Vi vil endda tale om globale ekstremer for f på intervallet. Det betyder i så fald ekstremer der er globale hvis man begrænser f s definitionsmængde til dette interval. (Så det kan altså godt være at de ikke er rigtigt globale, fordi f antager mere ekstreme værdier uden for intervallet.) 1.2 En upræcis definition 5 Læs om differentiation her 6 Læs om stamfunktioner her 7 Læs om den fysiske betydning af differentiation og integration her side 2

5 Definition 1 (Snydedefinition). Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket interval [a; b], så defineres det bestemte integral af f fra a til b: b a f(x) dx til at betyde arealet, målt med fortegn af det område som ligger mellem grafen for f og x-aksen, i intervallet [a; b] på x-aksen. (Se figur 1) y=f(x) a b Figur 1: Det bestemte integral af en funktion, f, fra et punkt, a til et punkt b. At arealet måles med fortegn betyder at arealer som ligger under x-aksen tæller som negative arealer. Eksempel 2. Her er nogle eksempler på bestemte integraler. Hvis du tegner graferne for de nævnte funktioner, så burde det være klart hvorfor integralet giver det som jeg påstår: side 3

6 1. Hvis f er den konstante funktion, givet ved: f(x) = 5, så er 4 2 f(x) dx = Hvis f er den konstante funktion, givet ved: f(x) = 5, så er 4 2 f(x) dx = Hvis f er funktionen givet ved: f(x) = 3x, så er 4 0 f(x) dx = Hvis f er funktionen givet ved: f(x) = sin(x), så er 2π 0 f(x) dx = 0 Desværre er definitionen ikke god nok til at vi kan udregne ret mange integraler præcist. Og den er helt ubrugelig hvis man vil bevise sætninger om integraler. Derfor er dette dokument længere end 4 sider. 1.3 Problemet med snydedefinitionen Problemet er at nogle grafer bliver så komplicerede at det overhovedet ikke er klart hvad vi mener med arealet mellem grafen og x-aksen. Hvis du tænker endnu mere over det, så risikerer du at opdage at du faktisk aldrig har fået at vide hvad ordet areal helt præcist betyder. Og at alle formler for beregning af arealer af f.eks. cirkler blot er påstande som du har været nødt til at tro på uden argumenter. Uhyggeligt, ikke? Faktisk kan man først lave en rigtig definition af ordet areal efter at have defineret bestemt integration. (Lidt vildt at et begreb side 4

7 som de fleste 10-årige børn kender til er så kompliceret, ikke?) Og som du vil opdage i dette dokument, så er det ikke alle funktioner som kan integreres, og dette faktum er i familie med det (måske endnu mere provokerende) faktum at ikke alle delmængder af planen har arealer! Til gengæld er snydedefinitionen god at have i baghovedet hele tiden når man læser dette dokument, fordi det giver en fornemmelse af hvad det er vi prøver at definere. Det viser sig nemlig at være meget sværere end man skulle tro at finde en definition som giver mening for så mange funktioner som muligt. 2 Integrabilitet Vi starter med at fastlægge hvad det vil sige at en funktion er integrabel altså at den kan overhovedet kan integreres og lige bagefter definerer hvad det i så fald skal betyde at integrere den. Allerførst skal vi dog starte med at smide en hel masse funktioner væk som vi overhovedet ikke har lyst til at snakke om. 2.1 Begrænsede funktioner Du vil hurtigt opdage at alle definitionerne i dette dokument starter med at antage at funktionen er begrænset på det interval vi snakker om. Derfor minder vi lige om hvad det vil sige at en funktion er begrænset: Definition 3. Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i dens definitionsmængde, så siges f at være begrænset på [a; b] hvis man kan finde to tal, m og M, sådan at m f(x) M for alle x i intervallet. side 5

8 Eksempel 4. Følgende funktion, f, er et eksempel på en funktion som ikke er begrænset: f(x) = { x 1, x 0 0, x = 0 Denne funktion er defineret i alle reelle tal, men den er ikke begrænset på f.eks. intervallet [ 1; 1], fordi den kan antage lige så store og små funktionsværdier det skal være, bare man går tæt nok på nul Figur 2: Grafen for en ubegrænset funktion. Bemærkning. (Denne kasse kan du godt springe over hvis du har travlt. Den er udelukkende for de folk som tænker hvorfor nu det? hele tiden.) I hele resten af dokumentet vil vi kun tale om begrænsede funktioner. Men man kan godt synes at det er fjollet at vi overhovedet ikke vil integrere funktionen fra eksempel 4. F.eks. er det ret logisk (og fuldkommen korrekt!), at hvis man ville integrere denne funktion fra -1 til 1 (altså bestemme arealet målt med fortegn mellem side 6

9 grafen og x-aksen i intervallet [ 1; 1]) så må det give præcis nul på grund af symmetrien. Desværre er det ikke alle ubegrænsede funktioner der opfører sig så symmetrisk, og eftersom man ikke gider at nusse med hvilke ubegrænsede funktioner der er logiske nok, så smider man bare dem allesammen i skraldespanden a når det handler om at integrere. a Dette er selvfølgelig løgn. Der findes andre (mere komplicerede) definitioner af integration som netop forsøger at få det til at give mening når f.eks. funktionerne er ubegrænsede. 2.2 Undersummer og oversummer Nu bliver det lidt svært, fordi definitionerne som vi skal lave er ret komplicerede. Det hjælper hvis man hele tiden tænker på hvad det er vi prøver på, nemlig at definere begrebet arealet under grafen, målt med fortegn så præcist at man kan bevise sætninger om det. Vi starter med et teknisk begreb: Definition 5. Hvis I = [a; b] er et lukket interval på den reelle akse, så består en inddeling af I i delintervaller af at man vælger et naturligt tal n og derefter n + 1 forskellige elementer i intervallet: hvor x 0 = a og x n = b, og hvor x 0, x 1, x 2,... x n x 0 < x 1 < x 2 < x 3... < x n side 7

10 Med selve inddelingen mener man så de n lukkede intervaller: I 1 = [x 0 ; x 1 ] I 2 = [x 1 ; x 2 ] I 3 = [x 2 ; x 3 ]. I n = [x n 1 ; x n ] Eksempel 6. Lad os lave en inddeling af intervallet [5, 18] i delintervaller. Vi sætter n til at være 3 (svarende til at vi vil dele intervallet i 3 dele) og vælger: x 0 = 5, x 1 = 7, x 2 = 12, x 3 = 18 og dermed har vi inddelt intervallet i lukkede delintervaller: I 1 = [5; 7] I 2 = [7; 12] og I 3 = [12; 18] Nu er vi klar til at definere nogle lidt sære hjælpestørrelser, nemlig de såkaldte undersummer og oversummer. Man bør tænke på at de er nogle udregninger som helt sikkert bliver henholdsvist mindre og større end det som vi egentlig gerne ville beregne. Definition 7 (Undersum). Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset, så definerer vi at en undersum for f på intervallet [a; b] består af et tal der beregnes på følgende måde: side 8

11 1. Inddel intervallet [a; b] i et antal lukkede delintervaller, I 1, I 2, I 3,... I n (hvor n er et naturligt tal). 2. Lad 1, 2, 3,... n betegne bredden af hvert af disse intervaller. 3. Vælg nogle tal, u 1, u 2, u 3,... u n som opfylder at u i f(x) for alle elementer x i delintervallet I i. 4. Udregn summen: n u i i i=1 med andre ord: Udregn summen: u u u n n Bemærkninger Denne definition (lige som resten af dokumentet) handler kun om funktioner som er begrænsede på de intervaller som vi betragter. Kan du se hvilket af de fire trin i udregningen som kunne gå galt hvis man tillod ubegrænsede funktioner? Man kan beregne mange forskellige undersummer for en bestemt funktion på et bestemt interval. Det afhænger af hvilke delintervaller man vælger under punkt 1, og hvilke tal man vælger under punkt 3. side 9

12 Den udregning som man laver under punkt 4 kan man bedst forstå hvis man tænker på at der beregnes et areal. Hvert led i summen er nemlig arealet af en kasse med bredde i og højde u i. (Med den detalje at hvis u i er negativ, så er kassens areal negativt.) (Se figur 3.) Bemærk at en undersum helt sikkert vil være mindre end eller lig med det som vi egentlig ønsker at definere (nemlig arealet mellem grafen og x-aksen, målt med fortegn). Den kan sagtens risikere at være meget mindre, men det gør ikke noget, fordi vi ikke bare vil nøjes med at kigge på en enkelt undersum, men derimod på dem alle sammen. Det er let at forestille sig hvad man ville gøre hvis man ønskede at få undersummen til at være tæt på det areal som vi egentlig er ude efter: Man ville gøre intervallerne meget små (og dermed antallet af dem, n, meget stort), og desuden vælge u i erne så store som muligt (dog sådan at de stadig er mindre end alle funktionens værdier på det relevante delinterval). Eksempel 8. Lad os beregne en undersum for den funktion f, hvis graf er tegnet på figur 3, på intervallet [a; b] = [0; 2]. Vi vælger n = 3 delintervaller, nemlig: I 1 = [0; 1], I 2 = [1; 3 2 ] og I 3 = [ 3 2 ; 2] Dermed bliver intervalbredderne: 1 = 1, 2 = 1 2 og 3 = 1 2. Desuden vælger vi tallene u 1 = 1 2, u 2 = 3 og u 3 = 4 side 10

13 Og på den måde får vi undersummen: 3 u i i = u u u 3 3 i=1 = ( 3) ( 4) 1 2 = 3 Dette svarer til arealet af de grønne kasser på figur 3, idet de to kasser som stikker under x-aksen tæller negativt. Det skulle gerne være klart at dette tal er mindre end det areal som vi egentlig er ude på at definere Figur 3: Beregning af en undersum for en funktion på intervallet [a; b] = [0; 2]. Nu er den næste definition nok ikke så overraskende: Definition 9 (Oversum). Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset, så definerer vi at en oversum for f på intervallet [a; b] består af et tal der beregnes på følgende måde: side 11

14 1. Inddel intervallet [a; b] i et antal lukkede delintervaller, (hvor n er et naturligt tal). 2. Lad I 1, I 2, I 3,... I n 1, 2, 3,... n betegne bredden af disse intervaller. 3. Vælg nogle tal, o 1, o 2, o 3,... o n som opfylder at o i er større end eller lig med alle funktionsværdier f(x) som f antager på delintervallet I i. 4. Udregn summen: n o i i i=1 med andre ord: Udregn summen: o o o n n Der gælder præcis de samme bemærkninger om oversummer som undersummer. Den eneste forskel er at oversummerne beregner et tal som altid er større end eller lig med det som vi er ude på at definere. Øvelse 10. Beregn en oversum for funktionen f fra eksempel 8 på intervallet [0, 2]. Hvis du får noget som er større end 1 så har du sandsynligvis 2 gjort det rigtigt. Nu er vi næsten klar til at definere begrebet integrabilitet. Vi mangler kun et begreb mere, nemlig en måde at forbedre en undersum eller oversum på. side 12

15 Definition 11 (Forfining). Hvis f er en funktion og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset, og U er en undersum for f beregnet som beskrevet i definition 7, så består en forfining af U af følgende: 1. Inddel hvert af delintervallerne I i i endnu mindre delintervaller, sådan at intervallet [a; b] bliver delt i (mange flere) mindre delintervaller: J 1, J 2,... J m hvor hvert af disse delintervaller ligger inde i et af de oprindelige delintervaller. 2. Vælg nogle nye tal a, ũ 1, ũ 2, ũ 3,... ũ m som opfylder at ũ i er mindre end eller lig med alle funktionsværdier f(x) som f antager på delintervallet J i, og sådan at hvis intervallet J i ligger inde i et af de oprindelige intervaller I k, så er ũ i større end eller lig det tal u k som hørte til den oprindelige undersum. 3. Undersummen hørende til den nye inddeling med de nye tal ũ i kaldes en forfining af den oprindelige undersum. a Her bruger vi en form for notation som er meget typisk i matematik. Når man allerede har nogle størrelser som hedder u 1, u 2 o.s.v. og man så skal tale om nogle andre størrelser som man helst også ville kalde u er så vælger man ofte at bruge det samme bogstav med en lille krølle (kaldet tilde ) ovenover, altså ũ. Det skal betragtes som et helt andet bogstav end u, men samtidigt skal det signalere at ũ erne spiller samme rolle som u erne. Denne definition er simplere end den ser ud til. Det er illustreret på figur 4 hvad der foregår. Man kan selvfølgelig også forfine en oversum. side 13

16 MatBog.dk Figur 4: En forfining af undersummen fra eksempel 8. Øvelse 12. Prøv at formulere en definition af hvad det vil sige at forfine en oversum. Prøv at forfine den oversum du beregnede i opgave 10. Den vigtigste egenskab ved forfining af både under og oversummer er følgende: Lemma 13. Når man forfiner en undersum, så bliver den større, og når man forfiner en oversum, så bliver den mindre. Denne egenskab skal vi nu bruge til at bevise følgende sætning: Sætning 14. Hvis f er en funktion som er begrænset på et interval, [a; b] i definitionsmængden, så er enhver undersum for f mindre end eller lig med enhver oversum for f på dette interval. Bevis. Lad U og O være en under og en oversum for f på intervallet [a; b]. Vi vil vise at uanset hvordan U og O er beregnet, så er U O. side 14

17 Hvis det nu var så heldigt at U og O var beregnet ved hjælp af præcis den samme inddeling af intervallet: I 1, I 2,... I n så er ret nemt at se at U O. Man kan nemlig vælge et element x 1 i det første delinterval, og så vil u 1 og o 1 opfylde at: u 1 f(x 1 ) o 1 og derfor er u 1 o 1. Det samme kan man gøre i alle de andre intervaller. Eftersom intervalbredderne, i er de samme (og positive) for under og oversummen, kan vi se at hvert led i undersummen: u i i er mindre end eller lig med det tilsvarende led i oversummen: o i i og derfor bliver U O i dette tilfælde. Men det kan jo godt være at U og O ikke er beregnet ved hjælp af den samme inddeling af intervallet. I så fald er vi nødt til at lave et lille trick: Tag alle de delepunkter x 0, x 1,... x n som definerer den inddeling som U er beregnet med. Tilføj alle de delepunkter som definerer den inddeling som O er beregnet med. Dette definerer en ny inddeling som både er en videreinddeling af inddelingen fra U og inddelingen fra O. Ved at forfine både U og O til denne nye inddeling, får vi en ny undersum, Ũ og en ny oversum, Õ, som ifølge lemma 13 opfylder at: og U Ũ Õ O Men eftersom Ũ og Õ er beregnet med den samme inddeling er: Ũ Õ side 15

18 De tre uligheder kan skrives på en gang som: U Ũ Õ O Og dermed viser de at: U O Denne sætning gør det muligt at forestille sig alle undersummerne og alle oversummerne på en gang. En ting er ihvertfald helt sikkert: Hvis man markerer alle tænkelige undersummer (med grønt) og alle tænkelige oversummer (med blåt) på den reelle akse (se figur 5), så vil alle de grønne markeringer ligge til venstre for alle de blå Figur 5: Forskellige undersummer (med grønt) og oversummer (med blåt) for funktionen fra figur 3. Det eneste spørgsmål er om der ligger noget ind imellem og i givet fald, hvor meget 2.3 Integrabilitet Nu er det heldigvis ret let at definere hvad vi skal mene med at en funktion er integrabel. Definition 15. Lad f være en funktion, og lad [a; b] være et lukket interval i definitionsmængden, hvorpå f er begrænset. Hvis der findes ét eneste tal, I med den egenskab at U I O side 16

19 for enhver undersum, U og enhver oversum, O, så siges f at være integrabel på intervallet [a; b]. I så fald siger vi at tallet I er integralet af f fra a til b, eller skrevet med symboler: I = b a f(x) dx Bemærkninger På grund af sætning 14 og en ret dyb egenskab ved de reelle tal 8 vil der altid ligge mindst et tal mellem under og oversummerne. Det væsentlige krav i definitionen er altså at der ikke ligger mere end et enkelt tal. Hvis man kan finde en eneste oversum og en eneste undersum som giver det samme tal, så har man fundet et sted hvor de grønne og de blå krydser når sammen (se figur 5), og dermed er dette tal det eneste som kan ligge mellem alle under og oversummer. Det betyder at funktionen er integrabel og at integralet er lig den fælles værdi af over og undersummen. Det er desværre sjældent at man finder en oversum og en undersum som giver det samme. Ofte vil man (på en anden måde) indse at der kun er et tal som kan være integralet, og så argumentere for at der ligger under og oversummer (grønne og blå krydser) lige så tæt på dette tal som det skal være. Fordi så kan der jo ikke være andre tal som ligger midt i. Nogle gange har man kun brug for at vide at en funktion er integrabel, mens man er ligeglad med hvad integralet er. I så fald er det tilstrækkeligt at argumentere for at der findes oversummer og undersummer som ligger lige så tæt på hinanden som det skal være, uden at man egentlig behøver at beregne en eneste af disse. 8 Denne egenskab kaldes at de reelle tal er et fuldstændigt tallegeme. side 17

20 2.4 Eksempler Vi starter med et meget simpelt eksempel: Eksempel 16 (En integrabel funktion). Betragt den konstante funktion, f, givet ved f(x) = 5 og betragt intervallet [a; b] = [2; 4]. Det er meget let at lave en undersum for denne funktion på dette interval. Vi kan nøjes med et enkelt interval, nemlig hele intervallet: I 1 = [2; 4] og på dette interval kan vi bruge tallet u 1 = 5 fordi dette tal er mindre end eller lig med (faktisk er det lig med) f s funktionsværdier på hele intervallet. Dette giver en undersum på: u 1 1 = 5 2 = 10 Sjovt nok kan denne udregning også bruges som oversum, idet u 1 også er større end eller lig med (faktisk lig med) alle f s funktionsværdier på intervallet. (Man skulle måske bare kalde den o 1 i stedet for ) Dermed har vi en undersum og en oversum som giver samme resultat, nemlig 10. Så kan der jo kun være et eneste tal som ligger mellem alle over og undersummer, nemlig: I = 10 side 18

21 Vi har altså vist at: 4 2 f(x) dx = 10 side 19

22 Det næste eksempel er måske lidt mere interessant: Eksempel 17. Betragt funktionen f, givet ved f(x) = x og betragt intervallet [0; 1]. Hvis man tegner grafen (se figur 6), så er det vist rimeligt klart at integralet: 1 f(x) dx (1) 0 giver 1, nemlig arealet af den retvinklede trekant. 2 Men det er jo ikke noget argument! Hvis vi skal argumentere for at f er integrabel på [0; 1], og at integralet giver 1, så kan vi 2 desværre ikke finde nogen undersummer eller oversummer som giver præcis 1. (Prøv selv, og se hvad der går galt.) 2 I stedet kan vi prøve at argumentere for at der ligger undersummer og oversummer lige så tæt på 1 som det skal være. 2 Lad os f.eks. prøve at finde nogen som ligger inden for intervallet [ ; ] 1000 Inddel intervallet i 1000 lige store delintervaller. Disse delindervaller har således en bredde på: 1 = 2 =... = 1000 = Hvis vi skal beregne en undersum, så kan vi i det første delinterval sætte u 1 = 0 I det andet delinterval kan vi sætte u 2 = side 20

23 Og så videre, indtil det sidste delinterval, hvor vi kan sætte: Dette giver en undersum på: u 1000 = U = = ( ) 1000 = = = 1 2 ( ) = Prøv selv at udregne en oversum på samme måde og se at den giver: O = Dermed har vi fundet en undersum og en oversum som er tættere på 1 end en tusindenedel. Men hvis man kigger nøje efter kunne 2 vi jo også have delt intervallet i en million dele, og mon så ikke undersummen og oversummen ville komme tættere på 1 end en milliontendedel? 2 Eftersom vi kan finde undersummer og oversummer vilkårligt tæt på 1, er der kun plads til et eneste tal mellem alle under og 2 oversummer. Dermed er f integrabel, og integralet giver faktisk 1 2 præcis som det burde. side 21

24 1 1 Figur 6: Grafen for funktionen i eksempel 17 Eksempel 18 (En funktion som ikke er integrabel). Betragt funktionen f, givet ved: f(x) = { 1, hvis x Q 0, hvis x / Q (Altså: f giver værdien 1 i rationelle tal, og værdien 0 i irrationelle tal.) Lad os se hvad der sker hvis vi prøver at beregne under og oversummer for denne funktion på f.eks. intervallet [0; 1]: Hver eneste gang vi laver en inddeling i lukkede delintervaller, så vil der både være rationelle og irrationelle tal i hvert af delintervallerne. (Det siger Archimedes princip.) Derfor vil hvert eneste u i være nødt til at være mindre end eller lig 0, og hvert eneste o i skal være større end eller lig 1. Dermed bliver enhver undersum, U: n n U = u i i 0 i = 0 i=1 i=1 side 22

25 og hver eneste oversum, O, bliver: n n n O = o i i 1 i = i = 1 i=1 i=1 i=1 (Fordi intervallernes bredder tilsammen giver bredden af hele intervallet, nemlig 1.) Det betyder at ethvert tal mellem 0 og 1 vil være større end alle undersummerne og mindre end alle oversummerne. Derfor er f ikke integrabel på intervallet [0; 1] (eller nogen som helst andre intervaller). 3 Gymnastik med grænserne Nu har vi en præcis definition af hvad det vil sige at integrere en (begrænset) funktion. Dermed kan vi begynde at bevise nogle egenskaber ved integralet. De første kommer her, og det handler om hvad der sker når man ændrer det interval som vi integrerer på altså når integralets grænser ændres. Sætning 19. Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b], og hvis [c; d] er et lukket interval som ligger inden for [a; b] (med andre ord: hvis a < c < d < b), så er f også integrabel på [c; d]. Bevis. Kommer senere. (Lidt gymnastik med at forfine undersummer og oversummer.) Ideen er: En under eller oversum på det store interval kan forfines sådan at c og d er inddelingspunkter for den. Dermed bliver den en under eller oversum på det lille interval ved at man smider nogle af leddene væk. På den måde kan man lave oversummer og undersummer på det lille interval som er vilkårligt tæt på hinanden, fordi man kan gøre det på det store interval. side 23

26 Ovenstående sætning siger at hvis en funktion er integrabel på et bestemt interval, så er den også integrabel på ethvert delinterval af dette. Den næste sætning er en slags omvendt udgave, og den kan være ret nyttig i praksis hvis man skal argumentere for at en funktion er integrabel. Sætning 20. Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket interval [a; b], og hvis m [a; b], opfylder at f er integrabel på både [a; m] og [m; b], så er f integrabel på hele intervallet [a; b] Bevis. Mere summegymnastik, gemt til senere. Ide: Hvis man har f.eks. en oversum på både [a; c] og på [c; b] så er summen af disse to oversummer en oversum på [a; b]. Ligeledes med undersummer. På den måde kan man lave undersummer og oversummer på det store interval som er vilkårligt tæt på hinanden, fordi man kan gøre det på hvert af de små intervaller. Eksempel 21. Funktionen, f, givet ved gaffelforskriften: f(x) = { x, x 0 x 2 + 1, x > 0 er integrabel på f.eks. intervallerne [ 1; 0] og [0; 1] (fordi den er monoton på disse intervaller se sætning 30). Derfor er den også integrabel på intervallet [ 1; 1]. 3.1 Indskudssætningen Den følgende sætning hænger meget tæt sammen med de to foregående. Den er totalt indlysende hvis man tænker på snydedefinitionen side 24

27 af integralet (se figur 7), men nu hvor vi skal være mere præcise er det en anelse sværere. Sætning 22 (Indskudssætningen). Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b] og hvis m [a; b] så er: b a f(x) dx = m a f(x) dx + b m f(x) dx a m b Figur 7: Indskudssætningen siger at integralet fra a til b kan beregnes som summen af integralet fra a til m og integralet fra m til b. Indskudssætningen giver os nogle gange lyst til at kunne integrere baglæns også. Hvis man f.eks. først integrerede fra a til b, og bagefter baglæns fra b til m (se figur 7), så skulle vi jo gerne have integralet fra a til m tilbage. Det giver ideen til følgende definition. Definition 23 (Ombytning af grænserne). Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b], så definerer vi at: a b b f(x) dx = f(x) dx a side 25

28 4 Kontinuerte funktioner Når den funktion som vi ser på er kontinuert så kan begreberne fra det sidste afsnit formuleres på en mere simpel måde. Det hele skyldes følgende egenskab ved kontinuerte funktioner: Sætning 24 (Ekstremalværdisætningen). Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket interval, [a; b], og som er kontinuert, så vil f have både et globalt minimums og et globalt maksimumssted i dette interval. Endvidere vil f antage alle funktionsværdier mellem den globale minums og maksimumsværdi mindst en gang, sådan at værdimængden bliver et interval: Vm(f) = [m; M] hvor m og M betegner henholdsvist minimums og maksimumsværdien. Bemærk at denne egenskab sikrer at en kontinuert funktion f automatisk er begrænset på ethvert lukket interval. Vi vil nu bruge egenskaben til at konstruere nogle helt specielle over og undersummer for en kontinuert funktion. 4.1 Nummererede over og undersummer Definition 25. Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden hvorpå f er kontinuert, så defineres de såkaldte nummererede undersummer, U 1, U 2, U 3,... på følgende måde: 1. Lad n være et naturligt tal. Inddel intervallet [a; b] i n lige store side 26

29 delintervaller, I 1, I 2,..., I n 2. Lad x være bredden af disse intervaller, altså: x = b a n 3. Find i hvert af intervallerne et element, x i, som er et minimumssted for f på dette interval. Dvs. sådan at f(x i ) f(x) for alle andre x i det pågældende delinterval. (Dermed fungerer f(x i ) som et u i hvis man sammenligner med definition 7.) 4. Beregn nu summen: n U n = f(x i ) x i=1 På præcis samme måde definerer man de nummererede oversummer: O 1, O 2, O 3,... De nummererede over og undersummer er supersmarte når man skal bevise at en (kontinuert) funktion er integrabel. Hvis det viser sig at oversummerne nærmer sig en eller anden grænseværdi, og undersummerne nærmer sig den samme grænseværdi Eller sagt på en anden måde: Hvis forskellen på de nummererede over og undersummer: U n O n nærmer sig nul, så har vi allerede fundet over og undersummer som ligger lige så tæt på hinanden som det skal være, og dermed er der kun plads til én enkelt mellemværdi som ligger mellem alle over og undersummerne. (Og det betyder jo at funktionen er integrabel.) Denne indsigt skriver vi lige som en sætning: side 27

30 Sætning 26. Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert, og de nummererede undersummer, U n og oversummer, O n opfører sig sådan at: (U n O n ) 0 når n så er f integrabel på [a; b]. 4.2 En forklaring af integraltegnet De nummererede over og undersummer giver en forklaring på hvorfor integraltegnet ser ud sådan som det gør. Hvorfor er det funktionens værdi (f(x)) der står inde i tegnet, og ikke bare funktionens navn (f)? Og ikke mindst: Hvad laver det sære lille dx (som man altid kommer til at glemme) ude til højre hver gang? Ingredienserne i et integral består af en funktion og en nedre og øvre grænse for det interval den skal integreres på. Derfor kunne man med rette foreslå at det færdige resultat altså integralet skulle skrives sådan at afhængigheden af disse tre ingredienser fremgår. Et fint forslag kunne være at skrive integralet af funktionen f fra a til b som: Int(f, a, b) Når man alligevel vælger den mere komplicerede skrivemåde: b f(x) dx a så er det for at signalere hvordan dette integral (teoretisk set) udregnes. Man tager simpelt hen en sum af typen: n f(x i ) x i=1 og lader x være ekstremt lille. På den måde får man ekstremt mange led i summen, og x i erne kommer til at gennemløbe næsten alle værdier mellem a og b. side 28

31 Man skal således forestille sig at summationstegnet bliver til integraltegnet, fordi der kommer rigtigt mange led. Samtidigt bliver x til dx for at markere at den bliver uendeligt lille. Og i stedet for at nummerere x i erne, så siger man bare at x skal antage alle værdier mellem a og b. Det er meget vigtigt at man vænner sig til at tænke på (bestemte) integraler som summer med uendeligt mange led af typen f(x i ) x. Det er fordi sådanne summer ofte opstår helt af sig selv, og så kan det være meget praktisk at genkende dem som et integral i forklædning. Det sker f.eks. når vi skal beregne rumfang af de såkaldte omdrejningslegemer Integrationsvariablen Det x som vi lader løbe fra a til b i integralet: b f(x) dx a kaldes for integrationsvariablen. Det har ikke nogen værdi i sig selv, og som vi nævte ovenfor kunne vi sagtens have undværet det i notationen. Det betyder at vi kunne bruge ethvert andet tegn i stedet for x hvis vi havde lyst. F.eks. betyder: b f(t)dt og a b a f(ξ)dξ præcis det samme 10. Vi bliver snart nødt til at bruge andre symboler som integrationsvariabel, fordi bogstavet x skal bruges til noget andet. 9 Læs om omdrejningslegemer her 10 I det sidste integral brugte vi det græske bogstav, xi som integrationsvariabel. Bare fordi det er så flot. side 29

32 4.4 Middelværdisætningen Her er en lille praktisk hjælpesætning som skal bruges når vi kaster os ud i at bevise analysens fundamentalsætning (se næste afsnit). Lemma 27. Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er både kontinuert og integrabel a, så findes der (mindst) et element, c [a; b] med den egenskab at: b a f(x) dx = f(c) (b a) a Vi kommer snart til at se at kontinuitet medfører integrabilitet, så det er egentlig ikke nødvendigt at kræve integrabilitet for sig selv a -1 c b -2-3 Figur 8: En illustration af middelværdisætningen. De to arealer (målt med fortegn) er lige store. Bevis. Det handler om at bruge sætning 24 på en snedig måde. side 30

33 Eftersom f er kontinuert på intervallet [a; b] vil den have både et minimumssted, x 1 og et maksimumssted, x 2, som altså opfylder at: f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) for alle andre x [a; b]. Betragt nu den kontinuerte funktion g, defineret ved: Dens funktionsværdier i x 1 og x 2 : og g(x) = f(x) (b a) g(x 1 ) = f(x 1 ) (b a) g(x 2 ) = f(x 2 ) (b a) er henholdsvis en undersum og en oversum for f på intervallet 11. Derfor er: g(x 1 ) b a f(x) dx g(x 2 ) Nu siger sætning 24 (brugt på den kontinuerte funktion, g) at g skal antage alle værdier mellem g(x 1 ) og g(x 2 ), så der må findes et element, c [a; b] som opfylder at: g(c) = b a f(x) dx 5 Analysens fundamentalsætning Analysens fundamentalsætning er (som navnet antyder) den mest fundamentale (og i en vis forstand den vigtigste) sætning i hele den gren af matematikken som hedder analyse altså den gren som beskæftiger sig med (blandt andet) differentiation og integration af funktioner. 11 Vel at mærke nogle meget simple nogen af slagsen, hvor vi har lavet en inddeling af intervallet i en enkelt del, nemlig det hele. side 31

34 En bemærkning om navnet Kært barn har som bekendt mange navne. Men nogle gange kan man møde en hel masse kære børn med det samme navn. Det vil du hurtigt opdage er tilfældet med Analysens fundamentalsætning. Der findes nemlig en masse sætninger med dette navn, og de kan se temmeligt forskellige ud. Hvis man ser nøje efter vil man dog opdage at de alle er præciseringer af følgende (meget upræcise) påstande: Sætning 28 (Analysens fundamentalsætning på sloganform). 1. De fleste funktioner er integrable. 2. Man kan finde stamfunktioner ved hjælp af bestemte integraler. 3. Man kan beregne bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner. De to sidste punkter kan eventuelt slås sammen til: 4. Differentiation og (bestemt) integration er omvendte operationer. Vi vil nu formulere nogle mere præcise versioner af analysens fundamentalsætning. Du kan du finde beviserne for dem i et andet dokument De fleste funktioner er integrable Den første del af analysens fundamentalsætning udtaler sig om hvor mange integrable funktioner der findes. Her er nok den mest kendte version: 12 Læs beviset for (en version af) analysens fundamentalsætning her side 32

35 Sætning 29 (Analysens fundamentalsætning, del 1). Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert, så er f integrabel på [a; b]. Dermed har vi garanteret at alle de kontinuerte funktioner kan integreres. Det er dog meget vigtigt at understrege at en funktion sagtens kan være integrabel uden at være kontinuert. Faktisk udgør de kontinuerte funktioner kun en forsvindende lille del af de integrable funktioner (det var derfor det var så svært at finde på et eksempel på en funktion der ikke var integrabel i eksempel 18). Men eftersom næsten alle vores hverdagsfunktioner er kontinuerte, er det fint nok for os. Sætningen er desværre meget svær at bevise 13 så vi vil nøjes med at bevise en light udgave. Denne udgave ligner ganske meget, idet den også siger at en bestemt egenskab garanterer at en funktion er integrabel. Men selve egenskaben er noget andet, nemlig monotoni. Sætning 30 ( Light udgave af sætning 29). Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er monoton, så er f integrabel på [a; b]. Det er vigtigt at understrege at disse sætninger fortæller at en bestemt egenskab sikrer at en funktion er integrabel. Det er på ingen måde nødvendigt at funktionen skal have disse egenskaber for at kunne integreres. Hvis f.eks. man kan dele definitionsmængden for f op i nogle intervaller, hvorpå f er enten kontinuert eller monoton, så vil sætning 19 og 20 sikre at funktionen er integrabel på alle lukkede intervaller i definitionsmængden. 13 Det kræver en lidt dybere forståelse af begrebet kontinuitet end vi arbejder med. side 33

36 5.2 Stamfunktioner ved hjælp af bestemte integraler Den næste del af analysens fundamentalsætning fortæller hvordan man ved hjælp af bestemt integration kan skaffe sig en stamfunktion til en given funktion. Sætning 31 (Analysens fundamentalsætning, del 2). Hvis f er en funktion, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert (og dermed integrabel), så er funktionen A defineret ved: A(x) = differentiabel i alle x ]a; b[ og Dvs. A er en stamfunktion til f. x a f(t)dt A (x) = f(x) Bemærkninger Det kan være ret svært at gennemskue hvordan funktionen A er lavet. Læg godt mærke til at variablen, x, som vi tager A på, står oppe i den øvre intralgrænse! Det kan virke mystisk, fordi vi indtil nu har integreret på et interval som var fastlagt helt fra starten. Men funktionen A laver altså et integral som starter i a og slutter i det x som man tager A på. Af ovenstående grund har vi været nødt til at bruge et andet bogstav (nemlig t) til at være integrationsvariabel i integralet. Man kan forstå betydningen af funktionen A som at den måler arealet under grafen for f, indtil det x som man angiver (se figur 9). Man kalder den nogle gange for f s arealfunktion. side 34

37 Bemærk at sætningen viser at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Det kan godt være lidt overraskende når man tænker på hvor svært det er i praksis at finde en stamfunktion til en given funktion. 3 2 Areal: A(x) 1 x Figur 9: En illustration af funktionen A fra sætning 31. Eksempel 32. Funktionen f, defineret ved: f(x) = e x2 er meget svær at finde en stamfunktion til. Uanset hvilken funktion du prøver at skrive ned (så længe du kun bruger de almindelige funktioner fra gymnasiematematik 5.3 Bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner Til sidst kan man også vende del 2 på hovedet. Her siger analysens fundamentalsætning at bestemte integraler kan udregnes ved hjælp side 35

38 af stamfunktioner. Det giver en fantastisk let måde at beregne bestemte integraler på (forudsat at man kan finde en stamfunktion til den funktion som skal integreres), og samtidigt udtrykker det meget præcist hvad stamfunktioner og bestemte integraler har med hinanden at gøre. Sætning 33 (Analysens fundamentalsætning, del 3). Hvis F er en stamfunktion til f, og [a; b] er et interval i definitionsmængden, hvorpå f er kontinuert (og dermed integrabel), så er: b a f(x) dx = F (b) F (a) Eksempel 34. Eftersom F givet ved: F (x) = 1 3 x3 er en stamfunktion til f givet ved: kan vi f.eks. beregne integralet: 3 0 f(x) dx = 3 0 f(x) = x 2 x 2 dx = F (3) F (0) = = 9 Nogle gange kan det være rart at have en symbol som betyder funktionens værdi i b minus funktionens værdi i a : side 36

39 Definition 35. Hvis F er en funktion, og a og b er to tal i dens definitionsmængde, så kan differensen: F (b) F (a) skrives på følgende måde: [F (x)] b a Denne notation gør det meget nemmere at skrive en beregning af et integral ned uden at man behøver navngive funktionen og dens stamfunktion. Eksempel 36. F.eks. er: og: 3 0 [ ] 1 3 x 2 dx = 3 x3 = 9 0 π 0 sin(x) dx = [ cos(x)] π 0 = cos(π) ( cos(0)) = = 2 6 Ikke-integrable funktioner Dette afsnit er kun for de meget nysgerrige mennesker. Det går langt ud over hvad man forventes at lære på gymnasielt niveau, men det er så spændende at jeg ikke kan lade være. side 37

40 Hvad nu med de funktioner som ikke er integrable? Vi så en enkelt af slagsen i eksempel 18, men selvom de er svære at finde på, så er der faktisk masser af dem. Har disse funktioner så bare slet ikke noget areal under deres grafer? Svaret er mere kompliceret end bare nej. Det viser sig nemlig at vi i dette dokument kun har defineret en helt speciel form for integration som kaldes Riemann integration. (Det er opkaldt efter en berømt tysk matematiker som spillede en kæmpe rolle i udviklingen af bl.a. teorien om funktioner). Der findes adskillige af andre former for integration! Målet med disse er at kunne integrere de funktioner som Riemann integration ikke kan klare. F.eks. findes der en type integration som hedder Lebesgue -integraion. (Naturligvis opkaldt efter en anden matematiker som hed Lebesgue). Med denne form for integration kan funktionen fra eksempel 18 faktisk integreres. Og jeg kan afsløre at integralet giver nul. (!) Heldigvis er det sådan at alle disse nye former for integration er udvidelser af hinanden, forstået på den måde at hvis en funktion kan integreres ved hjælp af to forskellige former for integration, så giver integralet det samme resultat! Du skal derfor ikke være bekymret over at integraler 1 0 x 2 dx pludselig en dag kan give noget andet end 1 3. Til gengæld melder spørgsmålet sig så: Kan alle funktioner så alligevel integreres, bare man opfinder en integration som er sej nok? Det viser sig at svaret er nej! Der findes faktisk funktioner (nogle afskyelige monstre som er meget, meget grimmere end den funktion fra eksempel 18!) som ikke vil kunne integreres med nogen som helst form for integration. Disse funktioner kaldes ikke målelige, og hvis man spørger om arealet mellem deres grafer og x-aksen, så er svaret simpelt hen: Der side 38

41 eksisterer ikke! (Bemærk: Der er en kæmpe forskel på at et areal giver nul, og så at det ikke eksisterer!) side 39

Integration. Frank Nasser. 15. april 2011

Integration. Frank Nasser. 15. april 2011 Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Pointen med Funktioner

Pointen med Funktioner Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomier. Frank Villa. 26. marts 2012

Polynomier. Frank Villa. 26. marts 2012 Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012 Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation af Potensfunktioner

Differentiation af Potensfunktioner Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Kæmpestore tal og uendelig

Kæmpestore tal og uendelig Kæmpestore tal og uendelig Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktionsfamilier Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Struktureret læsning i Matematik

Struktureret læsning i Matematik Struktureret læsning i Matematik Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Om problemløsning i matematik

Om problemløsning i matematik Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Sætninger og Beviser

Sætninger og Beviser Sætninger og Beviser Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere