Den harmoniske svingning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den harmoniske svingning"

Transkript

1 Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder har vi tegnet grafen for funktionen f () = sin() i intervallet [; ]. = sin() Grafen viser en enkelt periode for sinussvingningen. Hvis vi udvider definitionsmængden til R vil grafen blot gentage sig selv uendelig mange gange, idet det for alle R gælder, at sin( + p) = sin() hvor p Z. Nedenunder er der tegnet tre perioder: Da grafen svinger mellem - og siger vi at svingningen har amplituden. Amplituden er altså udsvingets absolutte størrelse regnet fra -aksen. Når vi ser på svingninger, vil vi altid gå ud fra, at er en tidsvariabel (s). Vi kan se, at sinussvingningen bruger sekunder om at udføre en svingning. Derfor siger vi, at

2 svingningens periode er sekunder, hvilket skrives således T = s. Eksempel Her har vi tegnet svingningerne med ligningerne = sin(2) og = sin() sin() sin(2) Grafen for ligningen = sin(2) udfører to hele svingninger på samme tid, som grundsvingningen (dvs. = sin()) bruger for at udføre en svingning, dvs. at perioden er. Amplituden er. Eksempel 2 Svingningen givet ved =.5 sin(): 2 2 Her kan vi se, at der udføres tre hele svingninger på den samme tid, som grundsvingningen bruger om at udføre en hel svingning, dvs, at perioden T =. Amplituden er.5. Ovenstående er eksempler på sinussvingninger givet ved en funktion af formen f () = A sin(ω), og de omtales som harmoniske svingninger. Konstanten A kaldes amplituden, idet den udtrkker udsvingets størrelse omkring -aksen, og konstanten ω kaldes vinkelfrekvensen. Af de foregående eksempler fremgår det, at perioden T =, hvilket også er let at ω den generelle definition følger senere 2

3 indse, idet svingningen skal starte forfra første gang, når ωt bliver lig med. Eksempel En svingning hvor T = 4 og A = 2. Ligningen bliver derfor = 2 sin( 2 ) Vi opsummerer vores resultater nedenunder: f () = A sin(ω) (en harmonisk svingning) A = amplituden ( udsvingets størrelse ). T = perioden (den tid (s) det tager at udføre en svingning). ν = frekvensen (antal svingninger pr. sekund). T ω = ν = T vinkelfrekvensen. Vi kan dermed udtrkke den harmoniske svingning på forskellige måder : afhængig af den givne situation. f () = A sin(ω) = A sin(ν) = A sin( T ) Eksempel 4 En svingning med amplituden 2 og frekvensen 5 Hz, har forskriften f () = 2 sin(). Eksempel 5 Den harmoniske svingning givet ved f () = 5 sin() har amplituden 5 og frekvensen 5 Hz, og perioden er derfor lig med,2 s.

4 Vi er nu klar til den endelige definition. Ved en harmonisk svingning forstås en funktion f givet ved f () = A sin(ω + ϕ) + C Konstanten ϕ kaldes fasekonstanten og konstanten C forskder grafen langs -aksen, således at den svinger omkring linjen = C. Da virkningen af konstanten C er triviel, vil vi se bort fra C i det følgende. Vi foretager følgende omskrivning: hvor f () = A sin(ω + ϕ) = A sin(ω( + ϕ ω )) = g( + ϕ ω ), g() = A sin(ω). Omskrivningen viser os, at grafen for f fremkommer ved at parallelforskde grafen for g stkket ϕ i -aksens retning. Vi omtaler derfor tallet ϕ som faseforskdningen. ω ω Eksempel 4 Herunder er en tegning af graferne for grundsvingningen og for f () = sin( ). Vi kan se, at sidstnævnte graf er forskudt en enhed til højre Når vinkelfrekvensen er, er fasekonstanten og faseforskdningen modsatte tal. 4

5 Eksempel 5 Her er en tegning af graferne for g() = sin(2) og for f () = sin(2 ). Vi kan se, at sidstnævnte graf er forskudt en halv enhed til højre! Vekselstrøm Vekselstrøm kan beskrives ved en sinussvingning med frekvensen 5 Hz, dvs. spændingen svinger 5 gange i sekundet mellem -2 V og 2 V. Det har ingen betdning for en glødelampe, idet glødetråden er varm i de korte tidsrum, hvor spændingen falder, men f. computerskærme vil blinke 5 gange i sekundet, men det er så hurtigt at vores øjne ikke kan opfatte det. Komfurer, opvaskemaskiner mv. kræver normalt trefaset vekselstrøm, hvor spændingen svinger mellem -4 V og 4 V. Trefaset vekselstrøm består af tre elledninger med almindelig vekselstrøm, hvor sinussvingningerne er faseforskudt med en tredjedel periode. De tre svingninger kan derfor beskrives ved følgende forskrifter: f () = 2 sin() g() = 2 sin( 2 ) h() = 2 sin( 4 ) 5

6 Der gælder følgende: De tre faseforskudte svingninger ophæver hinanden, dvs. hvis man lægger dem sammen får man -funktionen. Differencen mellem to vilkårlige af svingningerne er en harmonisk svingning med en amplitude på ca 4 V (sådan laver man altså trefaset vekselstrøm). Påstandene er en konsekvens af følgende Sætning Summen af to harmoniske svingninger med samme vinkelfrekvens (eller samme frekvens) er selv en harmonisk svingning (evt. nulfunktionen). Der gælder nemlig, at hvis vi lader f () = A sin(ω + ϕ ) og g() = B sin(ω + ϕ 2 ), så er f () + g() = C sin(ω + ϕ), hvor C = A 2 + B 2 + 2AB cos(ϕ ϕ 2 ) og ϕ kan bestemmes på følgende måde: ( ) A ϕ = tan sin(ϕ ) + B sin(ϕ 2 ) A cos(ϕ ) + B cos(ϕ 2 ) når nævneren ikke er. Hvis nævneren er negativ, skal der dog lægges til. (Beviset udelades.) Bemærkning cos(ϕ ϕ 2 ) = cos(ϕ 2 ϕ ), så vi kan undgå negative argumenter til cos. Formlerne gælder for alle A, B R, og dækker derfor også det tilfælde, hvor vi trækker fra i stedet for at lægge til. Vi vil nu efterregne påstandene ovenfor : Først viser vi, at summen af de tre svingninger giver -funktionen. Vi ser først på summen af de to første: 6

7 . 2 sin() + 2 sin( ) : C = cos( ) = 2 så amplituden er uændret. ϕ = tan 2 sin() + 2 sin( ) 2 cos() + 2 cos( ) = så regneforskriften for summen bliver lig med: 2 sin( ). Vi lægger den nu sammen med den tredje svingning: 2. 2 sin( ) + 2 sin( 4 ) : C = cos() = altså amplituden bliver, hvormed resultatet er bevist. Vi ser nu på differencen mellem de to første (svarende til at B = -2) : 2 sin() 2 sin( ). Her får vi, at C = cos( ) = 2 så amplituden er 4, og ϕ = tan 2 sin() 2 sin( ) 2 cos() 2 cos( ) = 6 så regneforskriften for differencen bliver lig med: 2 sin( + 6 ). Preben M. Henriksen 4//26 7

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal

Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal Indhold Oversigt over Procent, absolut og relativ tilvækst samt indekstal... 1 Procent... 1 Hvad er én procent?... 1 Procentsatser over

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5

INDHOLDSFORTEGNELSE. Side Indledning 2. Kapitel 1 Introduktion til funktioner af 2 variable 3 Niveaukurver 5 INDHOLDSFORTEGNELSE Side Indledning Kapitel 1 Introduktion til funktioner af variable 3 Niveaukurver 5 Kapitel Partiel differentiation og gradienten 7 Kapitel 3 Differentialet 1 Fejlvurdering 13 Tangentplan

Læs mere

Hvordan gør de professionelle?

Hvordan gør de professionelle? Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

HVORFOR HAR VI NOTATPLIGT? Der er tre hensyn bag bestemmelserne om notatpligt, der alle er med til at sikre borgernes retssikkerhed.

HVORFOR HAR VI NOTATPLIGT? Der er tre hensyn bag bestemmelserne om notatpligt, der alle er med til at sikre borgernes retssikkerhed. NOTATPLIGT Som medarbejdere i kommunen er vi omfattet af reglerne om notatpligt. Det betyder, at vi har pligt til at notere mundtlige oplysninger i en sag, hvis de har betydning for den afgørelse, vi efterfølgende

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15

AFFINE KRYPTOSYSTEM. Programmering og Talteori med TI-Nspire. Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen. Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 AFFINE KRYPTOSYSTEM Programmering og Talteori med TI-Nspire Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 2009 03-07-2009 12:15 Forord Indholdsfortegnelse Forord... 3 1. Introduktion til

Læs mere

Prokrastineringsformlen i praksis. Afviklet arbejde. Udnyttet tid

Prokrastineringsformlen i praksis. Afviklet arbejde. Udnyttet tid Figur fra Dansen på deadline side 52 slut Afviklet arbejde halvdelen Udnyttet tid om prokrastineringsformlen bliver det forhåbentlig lettere for dig at undersøge, hvad det er, der skaber problemer, når

Læs mere

Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen

Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen Positiv Ridning Systemet Arbejder min hest korrekt? Af Henrik Johansen Denne test af, hvordan din hest arbejder, tager ca. tre minutter og bør indgå i opvarmningen hver dag. Du må vide, nøjagtig hvad der

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler

Knud Nissen. TI-89 Titanium Voyage 200. introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium Voyage 200 introduktion og eksempler Knud Nissen TI-89 Titanium / Voyage 200 introduktion og eksempler Copyright 2000 by Texas Instruments 4. reviderede oplag 2005 Tryk: Jelling

Læs mere