Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære funktioner. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Lineære funktioner Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard

3 Erik Vestergaard Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber for disse funktioner. Først en definition: Definition En lineær funktion er en funktion med forskriften f ( ) = a+ b, hvor a og b er konstanter, dvs. faste tal. Undertiden vil vi også skrive = a+ b. Husk at der er underforstået et gangetegn imellem a og den variable. A kaldes hældningskoefficienten og b kaldes konstantleddet. Hvis man tegner grafen for en lineær funktion, vil man se, at det giver en ret linje. Vi vil dog ikke bevise denne påstand her. Til enhver -værdi svarer en bestemt funktionsværdi f ( ), også kaldet -værdien. Denne -værdi fås ved at indsætte -værdien i forskriften for f. Punktet (, ) er et punkt på grafen for f. På figuren nedenfor er afbildet grafen for en funktion f, og vi ser, at funktionsværdien i er lig med 4. Dette skriver vi f () = 4. Figur f ( ) (, ) f f () Når vi ændrer en -værdi, siger vi, at vi giver -værdien en tilvækst, og den betegnes ofte med. Hvis for eksempel ændres fra 0 til 5, så har fået en tilvækst på = 5 0= 5. Hvis ændres fra 8 til 5, så har fået en tilvækst på = 5 8=, altså en negativ tilvækst. På nøjagtig samme måde kan vi tale om tilvækster for den variable. På figur nedenfor har vi givet en tilvækst på = og kan se, at det resulterer i en -tilvækst på =. Figur f ( ) f ( ) f

4 4 Erik Vestergaard Lad os udlede nogle egenskaber for lineære funktioner. Sætning Lad f være en lineær funktion. a) Grafen for den lineære funktion skærer -aksen i b. b) Hvis man øger -værdien med, så øges -værdien med a. Bevis: a) Punkter på -aksen er karakteriseret ved at -koordinaten er 0 her, så vi indsætter simpelthen = 0 i forskriften: = a 0+ b= 0+ b= b, hvormed den første påstand er vist. b) Vi starter et vilkårligt sted på førsteaksen. Den tilhørende -værdi er naturligvis = a+ b. Herefter øger vi -værdien med, så vi får +. Indsættes denne værdi på s plads i forskriften, fås den ne -værdi: = a( + ) + b= a+ a+ b, efter at have ganget ind i parentesen. Forskellen i -værdi er: () = ( a+ a+ b) ( a+ b) = a+ a+ b a b= a så = = a og det ønskede er vist. Figur a( ) b a b? f Eksempel På figur 4 til højre ses graferne for to lineære funktioner. Graf skærer -aksen i og når øges med, så øges med. Derfor er = den tilhørende forskrift, ifølge sætning. Tilsvarende fås at graf er graf for den lineære funktion med forskrift = + 4. Der er tale om en negativ hældning på i sidstnævnte tilfælde. b b a a

5 Erik Vestergaard 5 Nu til en sætning, der fortæller hvordan man kan finde hældningskoefficienten, når man kender to punkter på grafen for den lineære funktion. Sætning 4 Antag givet to punkter (, ) og (, ) på grafen for en lineær funktion f. Da er hældningskoefficienten givet ved: () a = Bevis: Da (, ) ligger på grafen for f, så passer det med, at hvis man indsætter på s plads i forskriften, så får man. Tilsvarende med det andet punkt: () = a + b = a + b Man kunne da finde på at trække de to ligninger fra hinanden: = ( a + b) ( a + b) = a + b a b = a a = a( ) (4) Det gode er at den ubekendte b forsvinder, så der kun er én ubekendt a, som vi dermed kan bestemme. Det sker ved at dividere med ( ) på begge sider af lighedstegnet: (5) a = Figur 5 a b a b f Vi skal se et eksempel på en opgave, der både kan løses ved beregning og ved aflæsning. Sidstnævnte kaldes også grafisk løsning. Førstnævnte er som regel det mest præcise, da grafisk løsning beror på et skøn. Eksempel 5 Grafen for en lineær funktion f går gennem (, ) = (,) og (, ) = (4,4). a) Bestem forskriften for den lineære funktion. b) Bestem funktionsværdien i,5, altså bestem f (,5). c) Løs ligningen f ( ) = 0,5, dvs. find når = 0,5.

6 6 Erik Vestergaard Løsning ved beregning: a) Forskriften for en lineær funktion er = a+ b. Vi starter med at bestemme hældningskoefficienten a via formel () i sætning 4: a = = = = 4 4 ( ) 6 Vi mangler at bestemme konstantleddet b. Derfor isolerer vi b i forskriften for den lineære funktion: b= a og indsætter derefter den netop beregnede værdi for a samt et vilkårligt af de to opgivne punkter. Vi vælger (,), dvs. indsættes på s plads og på s plads: b = a = ( ) = + = Værdierne a= og b= indsættes nu i udtrkket for linjens forskrift og man får: = + eller f ( ) = +, om man vil. b) Da forskriften nu er fundet, kan funktionsværdien i,5 bestemmes ved indsættelse af,5 på s plads: f (,5) =,5+ =, 75. Så -værdien er altså,75. c) Mens vi i spørgsmål b) kendte og skulle finde, så er det her omvendt: Vi ved, at = f ( ) = 0,5. Vi indsætter denne værdi på s plads i forskriften og løser for : = 0,5 0,5= + 0,5 =,5= = Så løsningen er altså =. Løsning ved aflæsning (grafisk løsning): Hvis man blev bedt om at løse opgaverne grafisk, så kunne man gøre det på følgende måde: De to punkter (,) og (4, 4) indtegnes i et koordinatsstem og linjen igennem punkterne tegnes, som vist på figur 6. Figur b / a 0, ,

7 Erik Vestergaard 7 Herefter: a) Hældningskoefficienten a findes ved at undersøge, hvor meget en tilvækst på på -aksen giver i -tilvækst. Det passer med at a=, som vist på figuren. Konstantleddet b findes som skæringen med -aksen, her. Derfor er forskriften, også kaldet --sammenhængen, givet ved = +. b) Funktionsværdien i,5 fås ved at gå hen til,5 på -aksen, op til grafen og hen til -aksen. Det giver rimeligt nok =,75. Man skriver: f (,5) =,75. c) Løsningen til ligningen f ( ) = 0,5 eller = 0,5 fås ved at gå op til 0,5 på -aksen, vandret ud til grafen og lodret ned på -aksen. Det givet =. Vi skriver følgende: f ( ) = 0,5 =. Husk altid at markere aflæsninger på grafen, for eksempel med stiplede linjer! Bemærkning 6 Idet = og = kan formel () i sætning 4 skrives: (6) a= Hældningskoefficienten fås altså ved at dividere -tilvæksten med -tilvæksten! Sætning 7, så får en til- For en lineær funktion gælder, at hvis gives en -tilvækst på vækst på = a. Bevis: Fremgår direkte af bemærkning 6 ved at gange med på begge sider af (6). Figur 7 f a Eksempel 8 På figuren nedenfor ser vi, at det er svært at se præcist, hvor stor -tilvæksten er, når - tilvæksten er. Foretager man derimod en -tilvækst på, så ses det, at det resulterer i en -tilvækst på. Ifølge ovenstående betder det, at hældningen er a= =.

8 8 Erik Vestergaard Figur a 4 a Ovenstående resultat kan i øvrigt også indses ved anvendelse af teorien for ensvinklede trekanter (Overvej). I eksemplet ovenfor er forstørrelsesfaktoren lig med. Eksempel 9 (Om tilvækster) Udover at se på tilvækster på en graf, så kan vi også gøre det i en støttepunktstabel. Tabellen nedenfor indeholder to funktionsværdier for en lineær funktion f. Vi skal bestemme de manglende funktionsværdier i skemaet For det første observerer vi, at når øges med, så øges med. Ifølge sætning 7 vil en tilvækst på, som er det dobbelte af, derfor resultere i en dobbelt så stor -tilvækst, dvs. 4. Efter lignende argumenter for resten af tabellen, fås: Da en -tilvækst på giver en -tilvækst på, har vi straks, at hældningen er a=, og endvidere har vi b= f (0) = 5, så forskriften er = + 5.

9 Erik Vestergaard 9 Eksempel 0 (Tegne grafen ud fra forskriften) Lad os sige, at vi skal tegne grafen for f ( ) =,5 +, altså =,5 +. Vi skal se to måder at løse opgaven på: Løsning : Man kan indsætte to -værdier i forskriften for at få to punkter på grafen: f ( ) =, 5 ( ) + =,5+ = 0,5 f () =, 5 + = + = 4 0,5 4 Da vi ved, at grafen er en ret linje, er der ingen grund til at udregne flere støttepunkter. Vi kan afsætte punkterne i et koordinatsstem og tegne linjen igennem dem. Resultatet ses på figur 9 nedenfor. Løsning : Af forskriften =,5 + aflæser vi direkte, at linjen skærer -aksen i b=. Derfor har vi punktet (0,) at starte i. Da hældningskoefficienten for den lineære funktion er a=,5, ved vi, at hver gang vi går til højre, skal vi gå,5 opad. Det giver det andet punkt (;,5). Egentligt er det nok med disse to punkter, men for at kunne tegne linjen mere nøjagtigt med linealen kan det være fornuftigt at finde flere punkter via ovenstående regel, at når man går til højre, skal man gå,5 opad. Resultatet ses på figur 0. Figur 9 og ,5 4 4 (,4),5, ( ; 0,5) -

10 0 Erik Vestergaard Eksempel (Proportionalitet) Hvis b-leddet er 0, så siges den lineære funktion at være en proportionalitet, og man siger da, at er proportional med : f ( ) = a eller = a. I dette tilfælde gælder den egenskab, at hvis fordobles, so fordobles også. Mere generelt gælder der, at hvis bliver k gange så stor, så bliver også k gange så stor. Eksempel (Ligningsløsning ved beregning) 4 Lad f ( ) = og g( ) = +. Løs ligningen f ( ) = g( ) ved beregning. Løsning: Vi sætter funktionsudtrkkene lig med hinanden og løser for. Udregningerne følger på næste side. f ( ) = g( ) = + + = = = = = = = Så løsningen til ligningen er altså =. Eksempel (Grafisk ligningsløsning) En anden mulighed end beregning er af løse ligningen fra eksempel grafisk. Her tegner man graferne for de to lineære funktioner i samme koordinatsstem og finder skæringspunktet mellem dem. -koordinaten til dette skæringspunkt er løsningen. På figur er løsningen =,6 markeret ved en stiplet linje. Bemærk, at man ikke altid kan forvente, at en grafisk løsning er en eksakt løsning. Vi fik =,6, mens den eksakte løsning er =, 66. Små afvigelser accepteres ved grafisk 7 løsning! Figur 6 5 f g ,

11 Erik Vestergaard Lineære modeller Ikke så sjældent kan lineære funktioner benttes til at beskrive og forudsige forhold i den praktiske verden. Vi skal i det følgende betragte to eksempler. Det første er en tairegning og det andet er et fsikforsøg, hvor man måler på trkket i en gasflaske, når den opvarmes. Eksempel 4 (Tai-regning) En tai-chauffør tager 0 kr. i starttakst og kr. pr. kørt km. På grundlag af denne oplsning kan vi uden videre opstille et udtrk for tai-regningen som funktion af antal kørt km. Den bliver = + 0, hvor er antal kørte km og betegner tai-regningen i kr. Begrundelse for udtrkket: Skæringen med -aksen skal være 0, fordi dette svarer til, at = 0, altså prisen før der overhovedet er kørt. Hældningskoefficienten skal være, fordi hældningskoefficienten jo netop svarer til -tilvæksten svarende til en -tilvækst på, hvilket jo her er den ekstra pris der skal betales, når der køres ekstra km! Modellen kan benttes til at besvare nogle spørgsmål: a) Hvor stor er tai-regningen, når der køres 8 km? b) Hvor langt kan man køre for 00 kr? Løsning: a) Vi sætter 8 ind på s plads i forskriften: = + 0= 8+ 0= 8, dvs. prisen er 8 kr. b) Her kender vi prisen, dvs. = 00. Det giver anledning til ligningen: 70 00= = 70= = 6, 4 så svaret er altså, at man kan køre ca. 6,4 km for 00 kr. Bemærk, at mange modeller ikke tager højde for alle forhold. Heller ikke denne model: Taameteret tæller nemlig også, mens taien holder stille i lskrds. Det vil føre for vidt at forsøge at tage hensn til dette forhold i denne note. I modellen i eksempel 4 kunne vi opstille en forskrift for den lineære funktion ud fra nogle få oplsninger. I andre tilfælde skal man forsøge at opstille en lineær model, som tilnærmer resultaterne af en serie målinger. Sidstnævnte skal vi se et eksempel på.

12 Erik Vestergaard Eksempel 5 (Lineær regression) Når man opvarmer en gasflaske indeholdende en gas, så stiger gassens trk. En tekniker målte sammenhørende værdier mellem temperaturen T i C og trkket p i Bar for en bestemt gasflaske med ogen: T ( C) p (Bar) Punkterne blev afsat i et koordinatsstem med temperaturen T hen ad -aksen og trkket p opad -aksen for at se, om der var et sstem i dataene: Figur p (Bar) T ( C) Man ser tdeligt, at der er tale om en lineær sammenhæng. Derfor lægger vi den linje ind, som tilnærmer punkterne bedst muligt. Denne linje kaldes med et fint ord for en regressionslinje og processen kaldes for lineær regression. Linjen kan ikke komme til at gå igennem alle datapunkterne, da de ikke ligger helt på linje. Det er normalt, at fsiske målinger har unøjagtigheder, men vi slutter alligevel, at der er tale om en lineær sammenhæng. Regressionslinjen kan benttes til at forudsige, hvad trkket vil være for andre temperaturer, end dem, som figurerer i datalisten. Man skal dog være opmærksom på, at fordi --sammenhængen i et vist interval ser ud til at være lineær, så behøver den

13 Erik Vestergaard ikke være det udenfor dette interval. Der kan være forhold, som taler for, at noget ændrer sig. I dette tilfælde vurderes det dog, at tendensen fra målingerne fortsætter. Det betder, at vi for eksempel kan opstille prognoser ud fra regressionslinjen. a) Bestem en forskrift for regressionslinjen. b) Bent regressionslinjen til at forudsige trkket, når temperaturen er 0 C. c) Gasflasken er garanteret at kunne modstå et trk på 0 Bar. Hvor meget må temperaturen højst være, for at gasflasken ikke er i fare for at eksplodere? d) Hvad fortæller regressionslinjens hældningskoefficient og konstantled noget om? e) Hvor meget vokser trkket med, når temperaturen vokser med 0 grader? Figur p (Bar) 00 (70,00) ( 0,70) T ( C) Løsninger: Man kan få lommeregneren til at udregne regressionslinjen, men her vil vi blot lægge regressionslinjen ind pr. øjemål, så der både ligger punkter over og under linjen, og så linjen tilnærmer punkterne pænt. Dette er gjort på figur. a) For at finde forskriften vælges to punkter, som ligger præcist på linjen. Bemærk, at man ikke bør vælge punkter fra datalisten, for hvis disse to punkter ikke ligger præcist på regressionslinjen, så er det jo en forkert linje, man regner på! På figur er valgt to punkter markeret med røde kors som ligger et stkke fra hinanden, for

14 4 Erik Vestergaard at minimere usikkerheden: ( 0,70) og (70,00), underforstået med de rigtige enheder. Som hældning fås: a = = = ( 0) 0, 684 Vi kan indsætte denne værdi for a i linjens udtrk: = a+ b, så vi indtil videre har, at = 0,684+ b. Det ukendte b-led findes som sædvanligt ved indsættelse af et vilkårligt af de to punkter, f (70,00): b= a = 00 0,684 70= 8, 7 således, at den ønskede forskrift er = 0,684+ 8,7. b) Temperaturen er 0 C, dvs. = 0. Denne værdi indsættes i forskriften: = 0, , 7= 0, , 7= 59,0 Så trkket ved 0 C er altså 59,0 Bar. c) Trkket er 0 Bar, dvs. = 0. Denne værdi indsættes i forskriften og findes: = 0, , 7 0= 0, , 7 0 8, 7= 0, 684 6, 6,= 0, 684 = 99, = 0, 684 så svaret er altså, at gasflasken har et trk på 0 Bar, når temperaturen er 99, C, som altså er den temperatur, som man skal holde sig under af sikkerhedsmæssige grunde. d) Hældningskoefficienten a er jo pr. definition det stkke, regnet med fortegn, som øges med, når øges med. I dette tilfælde bliver det altså det, som trkket vokser med, når temperaturen vokser med grad! Vi har altså, at trkket stiger med 0,684 Bar, hver gang temperaturen vokser med C. b-leddet er skæringen med -aksen, altså -værdien svarende til = 0. Derfor er b-leddet her trkket ved frsepunktet, altså 0 C. e) Her udntter vi sætning 7: = a = 0, 684 0= 6,84 så trkket stiger altså med 6,84 Bar, hver gang temperaturen vokser med 0 C.

15 Erik Vestergaard 5 Opgaver Hvis en opgave er mærket med en * vurderes den til at være lidt sværere. Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 4 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) På delfigur (a): Bestem funktionsværdierne i og. c) På delfigur (b): Aflæs f (0) og f (,5). d) På delfigur (c): Aflæs f () og f (0,5). e) På delfigur (d): Løs ligningerne f ( ) = og f ( ) = grafisk. f) På delfigur (e): Løs ligningen f ( ) = grafisk. g) På delfigur (f): Løs ligningerne f ( ) = og f ( ) =,75 grafisk. Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 5 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) Bestem funktionsværdien f () i hvert af de seks tilfælde. c) Løs ligningen f ( ) = i hvert af de seks tilfælde. Opgave Vi har følgende --sammenhæng: = +. a) Beregn, når = b) Beregn, når =,5 c) Beregn, når = Opgave 4 En lineær funktion er givet ved f ( ) = + 6 a) Beregn funktionsværdierne f (0), f () og f ( ). b) Løs ligningerne f ( ) = 0, f ( ) = 0 og f ( ) = 7 ved beregning. c) Hvor stor er -tilvæksten, når -tilvæksten er? Opgave 5 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) = 4 b) = + c) = d) f ( ) =,5 + 5 e) = 0,8+,6 f ) f ( ) = 4 56

16 6 Erik Vestergaard Figur 4 (a) (b) (c) (d) (e) (f)

17 Erik Vestergaard 7 Figur 5 (a) (b) (c) 5 4 (d) (f) (e)

18 8 Erik Vestergaard Opgave 6 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) = + 8 d) = b) = e) f ( ) = c) = + 5 f ) f ( ) = 4 Opgave 7 Tegn graferne for den lineære funktion f ( ) 0,54,5 ; [ 4,6[ = +. Hjælp: Husk, at funktionen kun er defineret i intervallet [ 4,6[. Det er da oplagt at beregne to støttepunkter ved at indsætte intervallets endepunkter! Opgave 8 Tegn grafen for den lineære funktion f ( ),,7 ; [,8[ = +. Opgave 9 Bestem i hvert af de seks tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (,) og (,6) b) (,) og (6,7) c) (, ) og (,) d) (, 5) og (6,) e) (, ; 5,76) og (,0;4,6) f) ( 4,6; 5,) og (6, ; 5,8) Opgave 0 Bestem i hvert af de tre tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (0, ) og (4,6) b) (, 4) og (7,0) c) (0,5; 8,) og (7,;7,9) Opgave Bestem forskriften for den lineære funktion f, hvis hældning er og hvor f () = 0.

19 Erik Vestergaard 9 Opgave En lineær funktion f har forskriften =, 5 4. En anden lineær funktion g har en graf, som er parallel med grafen for f, og som passerer igennem punktet (,6). Bestem forskriften for g. Opgave a) Givet den lineære funktion f ( ) = +. Beregn grafens skæring med -aksen. b) Givet den lineære funktion f ( ) =,5. Bestem grafens skæring med -aksen både grafisk og ved beregning. Opgave 4 Løs ligningen f ( ) = g( ) grafisk i følgende tilfælde: a) f ( ) = + 5, g( ) = + 0. b) f ( ) = +, g( ) = 4. c) f ( ) = +, g( ) = Opgave 5 Løs opgave 4 ved beregning også. Opgave 6 Lad f ( ) = 5 og g( ) =. a) Løs ligningen f ( ) = både grafisk og ved beregning. b) Løs ligningen g( ) =,5 både grafisk og ved beregning. Opgave 7 Lad f ( ) =, 6 5,. a) Bestem -tilvæksten, når -tilvæksten er. b) Hvilken -tilvækst giver en -tilvækst på 6? Opgave 8 Nedenfor en delvist udfldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfld selv resten! 0 5

20 0 Erik Vestergaard Opgave 9 Nedenfor en delvist udfldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfld selv resten! Angiv desuden en forskrift for den lineære funktion Opgave 0 Et tai-firma A tager 0 kr. i startgebr og kr. pr. kørt km. a) Opskriv en forskrift for den lineære funktion, som beskriver tairegningen i kroner for antal kørte kilometer. b) Bent forskriften fra a) til at finde prisen for at køre,5 km. c) Hvor langt kan man køre for 00 kr.? Et andet tai-firma B tager 0 kr. i startgebr, men kun 0 kr. pr. kørt km. d) Hvor langt skal man køre, før tai-firma B bliver billigst? Opgave I USA bentter man ofte Fahrenheit-skalaen som temperaturskala, mens man i Europa plejer at bruge Celsius-skalaen. Sammenhængen mellem temperaturen T F i Fahrenheit og temperaturen T C i graders Celsius er givet ved: TF =,8 TC +. Eller hvis vi vedtager at lade være temperaturen i C og temperaturen i Fahrenheit: =,8 +. a) I Danmark i april er det C. Hvad svarer det til i Fahrenheit? b) En sommerdag på Hawaii er det 00 F. Hvad svarer det til i C? c) Hvis temperaturen stiger med 0 C, hvor mange grader stiger så temperaturen, når der regnes i Fahrenheit? d) Hvad er frsepunktet, regnet i Fahrenheit? e) Lav en formel, som giver temperaturen i C, når man har temperaturen i graders Fahrenheit. Opgave Når radius i en cirkel vokser, så vokser cirklens omkreds som bekendt også. a) Argumenter for at cirklens omkreds vokser proportionalt med radius. b) Hvor meget vokser omkredsen med, hvis radius vokser med meter? c) Vokser cirklens areal også lineært med radius?

21 Erik Vestergaard Opgave Det oplses, at og er proportionale. Udfld de resterende felter i tabellen: 0 5 Opgave 4 Benn er en gammel professionel ckelrtter. Han holder sig stadig i form sammen med vennerne i den lokale ckelklub. Da han skal deltage i et landevejsløb en uge senere, har han besluttet sig for at teste sig selv på en enkeltstart på lige vej. I det følgende antager vi, at Benn holder en konstant fart på hele turen. Desværre glemte Benn at nulstille sit stopur hjemmefra. Derfor viste stopuret ikke 0, da han startede ud på ruten. Undervejs kommer Benn forbi to steder på ruten, som han ved ligger henholdsvis 5, km og 6,6 km fra udgangspunktet. Det sker når stopuret viser henholdsvis 6 min. og 54 min. I det følgende skal vi betragte den tilbagelagte strækning som funktion af stopurets visning, dvs. den tilbagelagte strækning skal udgøre -værdien og stopurets visning skal udgøre -værdien. Da farten er konstant, bliver sammenhængen lineær. a) Du skal regne tiderne om til timer, så vi fremover regner strækning i km og tid i timer. Opskriv koordinaterne for de to punkter, der ligger på den lineære graf. Det er en god idé at lave en hurtig skitse af situationen. Den kan bruges til at skabe overblik og til at få gode idéer til de efterfølgende spørgsmål. b) Bestem en forskrift for den lineære funktion ved hjælp af blandt andet formel () i sætning 4. Giv desuden en sproglig fortolkning af hældningskoefficienten og konstantleddet. Altså hvad angiver de sagt med ord i det konkrete tilfælde? c) Bent forskriften fra spørgsmål b) til at vurdere hvor langt Benn vil være kommet, når stopuret viser time og 0 min. d) Hvad viste stopuret ved løbets start? e) (Frivillig) Prøv at argumentere for, hvorfor en konstant fart medfører en lineær graf. Hvordan ville grafen have set ud, hvis Benn øgede farten løbende undervejs?

22 Erik Vestergaard Opgave 5 Sarah er vild med fitness. Hun vil gerne kende den maksimale effekt, P ma, som hun kan præstere. Når hun ckler hurtigere og hun dermed øger sin effekt, så øges hendes puls naturligvis også. Effekt er det samme som energi pr. tid og regnes i Watt (W). Det har vist sig, at et menneskes puls vokser omtrent lineært med den leverede effekt. Der er imidlertid en grænse for, hvor høj en puls (antal hjerteslag pr. minut) et menneske kan opnå, og en håndregel siger, at den er 0 minus udøverens alder. Da Sarah er 7 år, kan vi altså regne med, at hendes maksimale puls er 0 7= 0. I det følgende skal vi bentte den lineære model til at regne baglæns til en værdi for Sarahs maksimale effekt. For at finde den lineære sammenhæng mellem Sarahs effekt og hendes puls, er det nødvendigt at hun foretager to tests under forskellige belastninger. Resultatet af disse er indføjet som to punkter på nedenstående graf, som viser sammenhørende værdier mellem effekten og pulsen. Puls ma puls P ma Effekt (W) a) Du skal nu beregne forskriften for den lineære sammenhæng, idet du lader svare til effekten og til pulsen. Start med at aflæse koordinaterne for de to punkter og bent formel i sætning 4 til at bestemme hældningen, etc. b) Hvad fik du hældningskoefficienten og konstantleddet til? Forklar med ord, hvad disse ord fortæller om Sarah. c) Hvad vil Sarahs puls være ved en belastning på 5 W? Beregn det via forskriften. d) Man kan aflæse Sarahs maksimale effekt nogenlunde på grafen, men du skal prøve at beregne den ved hjælp af forskriften.

23 Erik Vestergaard Opgave 6 Fra Danmarks Statistik kan man finde følgende data for trafikken på Køge Bugt Motorvejen ved Ølb i perioden fra 990 til 007: År Antal/døgn År Antal/døgn Til følgende analse anbefales det at anvende regnearket Ecel. Man kan med fordel gå direkte ind på Danmarks Statistiks hjemmeside på vælge Statistikbanken oppe i venstre hjørne. Her vælges Transport >Motorkøretøjer pr. døgn efter vejstrækning. Her kan man få data direkte ud i Ecel, og analsere data videre derfra. a) Redegør for, at udviklingen i trafikken er vokset omtrent lineær i den omtalte periode fra 990 til 007, ved at indtegne antal køretøjer pr. døgn som funktion af antal år efter 990 (Dvs. år 990 svarer til 0 på -aksen!). Bestem derefter den bedste rette linje igennem punkterne. b) Hvor stor er hældningskoefficienten a og konstantleddet b? Giv en sproglig fortolkning af disse størrelser. Hvad fortæller de? c) Hvis udviklingen fortsætter, hvor mange køretøjer vil der så være pr. døgn i 04? d) Hvornår vil der være køretøjer pr. døgn, hvis udviklingen fortsætter? e) Hvor meget vil antallet af køretøjer pr. døgn vokse med over en periode på 5 år? f) Nævn nogle faktorer som kan betde at prognosen ikke kommer til at holde stik. Opgave 7 Som bekendt falder luftens temperatur, når man stiger op igennem atmosfæren. Udenfor flveren i 0 km s højde er der således frosttemperaturer. Spørgsmålet er, hvordan luft-

24 4 Erik Vestergaard temperaturen T ( h ) falder med højden h over jordoverfladen. En model, som holder nogenlunde i en del tilfælde er, at temperaturen falder lineært: T( h) = a h+ T0. hvor temperaturen T 0 er temperaturen ved jordoverfladen, og a er en konstant. Lad os i det følgende sige, at vi har en situation, hvor temperaturen ved jordoverfladen er lig med 5 C og hvor temperaturen falder med 0,7 grader pr. 00 meters opstigen. a) Lad os i det følgende vedtage, at vi kalder højden for (regnet i meter) og temperaturen for (regnet i C). Argumenter for, at der så gælder følgende lineære sammenhæng mellem og : = 0, b) Hvad er temperaturen i højden km? c) Hvor højt skal man op, før temperaturen er faldet til frsepunktet? I en anden model, som gælder i en anden vejrmæssig situation er = 0, d) Hvad er temperaturen ved jordoverfladen? e) Hvor meget falder temperaturen pr. 00 meter i dette tilfælde? Opgave 8 I fsik gælder Ohms lov: U = R I, hvor U er spændingen, I er strømstrken og R er modstanden. Spændingen kan måles med et voltmeter og strømstrken kan måles med et amperemeter, som vist på figuren herunder. Hvis vi afsætter U opad -aksen og I hen ad -aksen, så skal vi altså teoretisk få en ret linje gennem (0,0). a) Afsæt punkterne fra tabellen nedenfor i et koordinatsstem, som angivet ovenfor. b) Konstater, at der er tale om en proportionalitet mellem I og U og tegn den bedste rette linje, der tilnærmer datapunkterne, idet du tvinger linjen igennem (0,0). c) Bestem en forskrift for den lineære sammenhæng. Hvad siger hældningskoefficienten noget om? I (A) 0 0,0 0,5 0,5 0,50 0,60 0,75 0,85 U (V) 0 0,7,70,6,60 4,47 5,45 6,0 Opgave 9 Ifølge hjemmesiden for Sd Energi er der for private (september 009) en årlig abonnementsudgift på 0 kr. og derudover en kwh pris på 0,40 kr. Angiv et udtrk for den totale pris som funktion af antallet af kilowatt timer.

25 Erik Vestergaard 5 Opgave 0* Teleselskabet telenor har flere tilbud til mobilkunder pr. 8. september 009: XS (for etra small) 0,79 kr. pr. minut. S (for small) Månedlig abonnement: 49 kr., 0 min. gratis taletid og derefter 0,69 kr. pr. minut. M (for medium) Månedlig abonnement: 99 kr., 40 min. gratis taletid og derefter 0,59 kr. pr. minut. L (for large) Månedlig abonnement: 99 kr., 480 min. gratis taletid og derefter 0,49 kr. pr. minut. Der er også en XL mulighed, men vi udelader den, da der er forbehold for længden af de enkelte samtaler, hvilket gør sammenligningen besværlig. Endvidere skal det nævnes, at der er en opkaldsafgift på 0,5 kr. Den vurderes dog ikke til at være væsentlig i sammenligningen mellem abonnementerne. I det følgende skal vi analsere hvornår det er fordelagtigt at bentte det ene abonnement frem for det andet. Lad i det følgende angive totalprisen i kr. og angive antal talte minutter. a) Vis at prisen for XS kan angives ved den lineære funktion = I de andre abonnementsmuligheder er man nødt til at dele op i intervaller alt efter om der tales i flere eller færre antal minutter end det antal, der er gratis. Det giver anledning til en såkaldt stkvis lineær funktion, hvor grafen består af flere linjestkker. b) Argumenter for at der for abonnementet S gælder = 0, 69( 0) + 49, når der tales i over 0 minutter, dvs. > 0. Reducer udtrkket og vis, at der er tale om en lineær sammenhæng. Argumenter for, at vi alt i alt har følgende: 49 for 0 = 0, 69( 0) + 49 for > 0 c) Tegn grafen for den stkvist lineære funktion i spørgsmål b) og tegn i samme koordinatsstem grafen for = Hvor meget skal man tale i mobil før S bliver mest fordelagtig? Prøv at beregne det nøjagtige antal taleminutter. d) Prøv at sammenligne nogle af de øvrige abonnementsmuligheder. Hvor mange minutter skal man tale pr. måned for at L er mere fordelagtig end S? e) (Svær) I denne opgave skal du prøve at tage hensn til opkaldsafgiften på de 0,5 kr., som vi hidtil har set bort fra. En mulighed er at antage en bestemt gennemsnitlig samtalelængde...

26 6 Erik Vestergaard Opgave En elektronikkæde har haft et tilbud med et billigt fladskærms TV i deres tilbudsavis. Nedenstående tabel indeholder oplsning om kædens lagerbeholdning af det pågældende TV forskellige dage efter lanceringen. I det konkrete tilfælde viser det sig, at der er tale om en omtrent lineær sammenhæng mellem lagerbeholdningen og antal dage efter lancering. Dag Lagerbeholdning a) Afbild i et koordinatsstem lagerbeholdningen som funktion af antal dage efter lanceringen dvs. antal dage på -aksen og lagerbeholdningen på -aksen. Gennemfør lineær regression og bestem herunder en forskrift for den lineære sammenhæng. b) Giv en fortolkning af hældningskoefficienten a og konstantleddet b. Hvad fortæller de om salget? c) Hvis den lineære udvikling fortsætter, hvornår vil lageret så være tomt? d) Det er faktisk ret atpisk, at en udvikling på et lager udvikler sig lineært. Prøv at give en forklaring på dette?

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Minut pris. (efter 4 timer : 0,69 pr minut) Happii Basiic 0 0,60 sekund Lebara 0,49 0,19 minut

Minut pris. (efter 4 timer : 0,69 pr minut) Happii Basiic 0 0,60 sekund Lebara 0,49 0,19 minut Mobilaftaler Se alle mulige selskaber: http://telepristjek.dk/ Mobil-priser efterår 2010. Hvad er mon billigst nu? Besvar opgaverne på de følgende sider, mindst til og med opgave 4 Teleselskaber Abonnement

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver

Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver Omvendt proportionalitet og hperbler.gradsfunktioner og parabler Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktioner og lineære funktioner Andre funktioner og blandede

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008. Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: Collage af foto fra blandt andet: istock.com/chuntise istock.com/ihoe Side 11: istock.com/jamesbenet Side 14: Tegning af

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 2 ISBN: 978-87-92488-12-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave LW 014 Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave FORMÅL: At undersøge den aktuelle strålingsbalance for jordoverfladen og relatere den til drivhuseffekten. MÅLING AF KORTBØLGET STRÅLING

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Type: Niveau: Indhold: Indgang: Kernekompetence:

Type: Niveau: Indhold: Indgang: Kernekompetence: 3.2.2 TK, temaopgave niveau E Opgaveeksempel udarbejdet på TEC Teknisk Erhvervsskolecenter. Se lærerens kommentar efter opgaven. Type: Niveau: Indhold: Indgang: Kernekompetence: Opgave Tværgående x Alment

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Om temperatur, energi, varmefylde, varmekapacitet og nyttevirkning

Om temperatur, energi, varmefylde, varmekapacitet og nyttevirkning Om temperatur, energi, varmefylde, varmekapacitet og nyttevirkning Temperaturskala Gennem næsten 400 år har man fastlagt temperaturskalaen ud fra isens smeltepunkt (=vands frysepunkt) og vands kogepunkt.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere