Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære funktioner. Erik Vestergaard"

Transkript

1 Lineære funktioner Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard

3 Erik Vestergaard Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber for disse funktioner. Først en definition: Definition En lineær funktion er en funktion med forskriften f ( ) = a+ b, hvor a og b er konstanter, dvs. faste tal. Undertiden vil vi også skrive = a+ b. Husk at der er underforstået et gangetegn imellem a og den variable. A kaldes hældningskoefficienten og b kaldes konstantleddet. Hvis man tegner grafen for en lineær funktion, vil man se, at det giver en ret linje. Vi vil dog ikke bevise denne påstand her. Til enhver -værdi svarer en bestemt funktionsværdi f ( ), også kaldet -værdien. Denne -værdi fås ved at indsætte -værdien i forskriften for f. Punktet (, ) er et punkt på grafen for f. På figuren nedenfor er afbildet grafen for en funktion f, og vi ser, at funktionsværdien i er lig med 4. Dette skriver vi f () = 4. Figur f ( ) (, ) f f () Når vi ændrer en -værdi, siger vi, at vi giver -værdien en tilvækst, og den betegnes ofte med. Hvis for eksempel ændres fra 0 til 5, så har fået en tilvækst på = 5 0= 5. Hvis ændres fra 8 til 5, så har fået en tilvækst på = 5 8=, altså en negativ tilvækst. På nøjagtig samme måde kan vi tale om tilvækster for den variable. På figur nedenfor har vi givet en tilvækst på = og kan se, at det resulterer i en -tilvækst på =. Figur f ( ) f ( ) f

4 4 Erik Vestergaard Lad os udlede nogle egenskaber for lineære funktioner. Sætning Lad f være en lineær funktion. a) Grafen for den lineære funktion skærer -aksen i b. b) Hvis man øger -værdien med, så øges -værdien med a. Bevis: a) Punkter på -aksen er karakteriseret ved at -koordinaten er 0 her, så vi indsætter simpelthen = 0 i forskriften: = a 0+ b= 0+ b= b, hvormed den første påstand er vist. b) Vi starter et vilkårligt sted på førsteaksen. Den tilhørende -værdi er naturligvis = a+ b. Herefter øger vi -værdien med, så vi får +. Indsættes denne værdi på s plads i forskriften, fås den ne -værdi: = a( + ) + b= a+ a+ b, efter at have ganget ind i parentesen. Forskellen i -værdi er: () = ( a+ a+ b) ( a+ b) = a+ a+ b a b= a så = = a og det ønskede er vist. Figur a( ) b a b? f Eksempel På figur 4 til højre ses graferne for to lineære funktioner. Graf skærer -aksen i og når øges med, så øges med. Derfor er = den tilhørende forskrift, ifølge sætning. Tilsvarende fås at graf er graf for den lineære funktion med forskrift = + 4. Der er tale om en negativ hældning på i sidstnævnte tilfælde. b b a a

5 Erik Vestergaard 5 Nu til en sætning, der fortæller hvordan man kan finde hældningskoefficienten, når man kender to punkter på grafen for den lineære funktion. Sætning 4 Antag givet to punkter (, ) og (, ) på grafen for en lineær funktion f. Da er hældningskoefficienten givet ved: () a = Bevis: Da (, ) ligger på grafen for f, så passer det med, at hvis man indsætter på s plads i forskriften, så får man. Tilsvarende med det andet punkt: () = a + b = a + b Man kunne da finde på at trække de to ligninger fra hinanden: = ( a + b) ( a + b) = a + b a b = a a = a( ) (4) Det gode er at den ubekendte b forsvinder, så der kun er én ubekendt a, som vi dermed kan bestemme. Det sker ved at dividere med ( ) på begge sider af lighedstegnet: (5) a = Figur 5 a b a b f Vi skal se et eksempel på en opgave, der både kan løses ved beregning og ved aflæsning. Sidstnævnte kaldes også grafisk løsning. Førstnævnte er som regel det mest præcise, da grafisk løsning beror på et skøn. Eksempel 5 Grafen for en lineær funktion f går gennem (, ) = (,) og (, ) = (4,4). a) Bestem forskriften for den lineære funktion. b) Bestem funktionsværdien i,5, altså bestem f (,5). c) Løs ligningen f ( ) = 0,5, dvs. find når = 0,5.

6 6 Erik Vestergaard Løsning ved beregning: a) Forskriften for en lineær funktion er = a+ b. Vi starter med at bestemme hældningskoefficienten a via formel () i sætning 4: a = = = = 4 4 ( ) 6 Vi mangler at bestemme konstantleddet b. Derfor isolerer vi b i forskriften for den lineære funktion: b= a og indsætter derefter den netop beregnede værdi for a samt et vilkårligt af de to opgivne punkter. Vi vælger (,), dvs. indsættes på s plads og på s plads: b = a = ( ) = + = Værdierne a= og b= indsættes nu i udtrkket for linjens forskrift og man får: = + eller f ( ) = +, om man vil. b) Da forskriften nu er fundet, kan funktionsværdien i,5 bestemmes ved indsættelse af,5 på s plads: f (,5) =,5+ =, 75. Så -værdien er altså,75. c) Mens vi i spørgsmål b) kendte og skulle finde, så er det her omvendt: Vi ved, at = f ( ) = 0,5. Vi indsætter denne værdi på s plads i forskriften og løser for : = 0,5 0,5= + 0,5 =,5= = Så løsningen er altså =. Løsning ved aflæsning (grafisk løsning): Hvis man blev bedt om at løse opgaverne grafisk, så kunne man gøre det på følgende måde: De to punkter (,) og (4, 4) indtegnes i et koordinatsstem og linjen igennem punkterne tegnes, som vist på figur 6. Figur b / a 0, ,

7 Erik Vestergaard 7 Herefter: a) Hældningskoefficienten a findes ved at undersøge, hvor meget en tilvækst på på -aksen giver i -tilvækst. Det passer med at a=, som vist på figuren. Konstantleddet b findes som skæringen med -aksen, her. Derfor er forskriften, også kaldet --sammenhængen, givet ved = +. b) Funktionsværdien i,5 fås ved at gå hen til,5 på -aksen, op til grafen og hen til -aksen. Det giver rimeligt nok =,75. Man skriver: f (,5) =,75. c) Løsningen til ligningen f ( ) = 0,5 eller = 0,5 fås ved at gå op til 0,5 på -aksen, vandret ud til grafen og lodret ned på -aksen. Det givet =. Vi skriver følgende: f ( ) = 0,5 =. Husk altid at markere aflæsninger på grafen, for eksempel med stiplede linjer! Bemærkning 6 Idet = og = kan formel () i sætning 4 skrives: (6) a= Hældningskoefficienten fås altså ved at dividere -tilvæksten med -tilvæksten! Sætning 7, så får en til- For en lineær funktion gælder, at hvis gives en -tilvækst på vækst på = a. Bevis: Fremgår direkte af bemærkning 6 ved at gange med på begge sider af (6). Figur 7 f a Eksempel 8 På figuren nedenfor ser vi, at det er svært at se præcist, hvor stor -tilvæksten er, når - tilvæksten er. Foretager man derimod en -tilvækst på, så ses det, at det resulterer i en -tilvækst på. Ifølge ovenstående betder det, at hældningen er a= =.

8 8 Erik Vestergaard Figur a 4 a Ovenstående resultat kan i øvrigt også indses ved anvendelse af teorien for ensvinklede trekanter (Overvej). I eksemplet ovenfor er forstørrelsesfaktoren lig med. Eksempel 9 (Om tilvækster) Udover at se på tilvækster på en graf, så kan vi også gøre det i en støttepunktstabel. Tabellen nedenfor indeholder to funktionsværdier for en lineær funktion f. Vi skal bestemme de manglende funktionsværdier i skemaet For det første observerer vi, at når øges med, så øges med. Ifølge sætning 7 vil en tilvækst på, som er det dobbelte af, derfor resultere i en dobbelt så stor -tilvækst, dvs. 4. Efter lignende argumenter for resten af tabellen, fås: Da en -tilvækst på giver en -tilvækst på, har vi straks, at hældningen er a=, og endvidere har vi b= f (0) = 5, så forskriften er = + 5.

9 Erik Vestergaard 9 Eksempel 0 (Tegne grafen ud fra forskriften) Lad os sige, at vi skal tegne grafen for f ( ) =,5 +, altså =,5 +. Vi skal se to måder at løse opgaven på: Løsning : Man kan indsætte to -værdier i forskriften for at få to punkter på grafen: f ( ) =, 5 ( ) + =,5+ = 0,5 f () =, 5 + = + = 4 0,5 4 Da vi ved, at grafen er en ret linje, er der ingen grund til at udregne flere støttepunkter. Vi kan afsætte punkterne i et koordinatsstem og tegne linjen igennem dem. Resultatet ses på figur 9 nedenfor. Løsning : Af forskriften =,5 + aflæser vi direkte, at linjen skærer -aksen i b=. Derfor har vi punktet (0,) at starte i. Da hældningskoefficienten for den lineære funktion er a=,5, ved vi, at hver gang vi går til højre, skal vi gå,5 opad. Det giver det andet punkt (;,5). Egentligt er det nok med disse to punkter, men for at kunne tegne linjen mere nøjagtigt med linealen kan det være fornuftigt at finde flere punkter via ovenstående regel, at når man går til højre, skal man gå,5 opad. Resultatet ses på figur 0. Figur 9 og ,5 4 4 (,4),5, ( ; 0,5) -

10 0 Erik Vestergaard Eksempel (Proportionalitet) Hvis b-leddet er 0, så siges den lineære funktion at være en proportionalitet, og man siger da, at er proportional med : f ( ) = a eller = a. I dette tilfælde gælder den egenskab, at hvis fordobles, so fordobles også. Mere generelt gælder der, at hvis bliver k gange så stor, så bliver også k gange så stor. Eksempel (Ligningsløsning ved beregning) 4 Lad f ( ) = og g( ) = +. Løs ligningen f ( ) = g( ) ved beregning. Løsning: Vi sætter funktionsudtrkkene lig med hinanden og løser for. Udregningerne følger på næste side. f ( ) = g( ) = + + = = = = = = = Så løsningen til ligningen er altså =. Eksempel (Grafisk ligningsløsning) En anden mulighed end beregning er af løse ligningen fra eksempel grafisk. Her tegner man graferne for de to lineære funktioner i samme koordinatsstem og finder skæringspunktet mellem dem. -koordinaten til dette skæringspunkt er løsningen. På figur er løsningen =,6 markeret ved en stiplet linje. Bemærk, at man ikke altid kan forvente, at en grafisk løsning er en eksakt løsning. Vi fik =,6, mens den eksakte løsning er =, 66. Små afvigelser accepteres ved grafisk 7 løsning! Figur 6 5 f g ,

11 Erik Vestergaard Lineære modeller Ikke så sjældent kan lineære funktioner benttes til at beskrive og forudsige forhold i den praktiske verden. Vi skal i det følgende betragte to eksempler. Det første er en tairegning og det andet er et fsikforsøg, hvor man måler på trkket i en gasflaske, når den opvarmes. Eksempel 4 (Tai-regning) En tai-chauffør tager 0 kr. i starttakst og kr. pr. kørt km. På grundlag af denne oplsning kan vi uden videre opstille et udtrk for tai-regningen som funktion af antal kørt km. Den bliver = + 0, hvor er antal kørte km og betegner tai-regningen i kr. Begrundelse for udtrkket: Skæringen med -aksen skal være 0, fordi dette svarer til, at = 0, altså prisen før der overhovedet er kørt. Hældningskoefficienten skal være, fordi hældningskoefficienten jo netop svarer til -tilvæksten svarende til en -tilvækst på, hvilket jo her er den ekstra pris der skal betales, når der køres ekstra km! Modellen kan benttes til at besvare nogle spørgsmål: a) Hvor stor er tai-regningen, når der køres 8 km? b) Hvor langt kan man køre for 00 kr? Løsning: a) Vi sætter 8 ind på s plads i forskriften: = + 0= 8+ 0= 8, dvs. prisen er 8 kr. b) Her kender vi prisen, dvs. = 00. Det giver anledning til ligningen: 70 00= = 70= = 6, 4 så svaret er altså, at man kan køre ca. 6,4 km for 00 kr. Bemærk, at mange modeller ikke tager højde for alle forhold. Heller ikke denne model: Taameteret tæller nemlig også, mens taien holder stille i lskrds. Det vil føre for vidt at forsøge at tage hensn til dette forhold i denne note. I modellen i eksempel 4 kunne vi opstille en forskrift for den lineære funktion ud fra nogle få oplsninger. I andre tilfælde skal man forsøge at opstille en lineær model, som tilnærmer resultaterne af en serie målinger. Sidstnævnte skal vi se et eksempel på.

12 Erik Vestergaard Eksempel 5 (Lineær regression) Når man opvarmer en gasflaske indeholdende en gas, så stiger gassens trk. En tekniker målte sammenhørende værdier mellem temperaturen T i C og trkket p i Bar for en bestemt gasflaske med ogen: T ( C) p (Bar) Punkterne blev afsat i et koordinatsstem med temperaturen T hen ad -aksen og trkket p opad -aksen for at se, om der var et sstem i dataene: Figur p (Bar) T ( C) Man ser tdeligt, at der er tale om en lineær sammenhæng. Derfor lægger vi den linje ind, som tilnærmer punkterne bedst muligt. Denne linje kaldes med et fint ord for en regressionslinje og processen kaldes for lineær regression. Linjen kan ikke komme til at gå igennem alle datapunkterne, da de ikke ligger helt på linje. Det er normalt, at fsiske målinger har unøjagtigheder, men vi slutter alligevel, at der er tale om en lineær sammenhæng. Regressionslinjen kan benttes til at forudsige, hvad trkket vil være for andre temperaturer, end dem, som figurerer i datalisten. Man skal dog være opmærksom på, at fordi --sammenhængen i et vist interval ser ud til at være lineær, så behøver den

13 Erik Vestergaard ikke være det udenfor dette interval. Der kan være forhold, som taler for, at noget ændrer sig. I dette tilfælde vurderes det dog, at tendensen fra målingerne fortsætter. Det betder, at vi for eksempel kan opstille prognoser ud fra regressionslinjen. a) Bestem en forskrift for regressionslinjen. b) Bent regressionslinjen til at forudsige trkket, når temperaturen er 0 C. c) Gasflasken er garanteret at kunne modstå et trk på 0 Bar. Hvor meget må temperaturen højst være, for at gasflasken ikke er i fare for at eksplodere? d) Hvad fortæller regressionslinjens hældningskoefficient og konstantled noget om? e) Hvor meget vokser trkket med, når temperaturen vokser med 0 grader? Figur p (Bar) 00 (70,00) ( 0,70) T ( C) Løsninger: Man kan få lommeregneren til at udregne regressionslinjen, men her vil vi blot lægge regressionslinjen ind pr. øjemål, så der både ligger punkter over og under linjen, og så linjen tilnærmer punkterne pænt. Dette er gjort på figur. a) For at finde forskriften vælges to punkter, som ligger præcist på linjen. Bemærk, at man ikke bør vælge punkter fra datalisten, for hvis disse to punkter ikke ligger præcist på regressionslinjen, så er det jo en forkert linje, man regner på! På figur er valgt to punkter markeret med røde kors som ligger et stkke fra hinanden, for

14 4 Erik Vestergaard at minimere usikkerheden: ( 0,70) og (70,00), underforstået med de rigtige enheder. Som hældning fås: a = = = ( 0) 0, 684 Vi kan indsætte denne værdi for a i linjens udtrk: = a+ b, så vi indtil videre har, at = 0,684+ b. Det ukendte b-led findes som sædvanligt ved indsættelse af et vilkårligt af de to punkter, f (70,00): b= a = 00 0,684 70= 8, 7 således, at den ønskede forskrift er = 0,684+ 8,7. b) Temperaturen er 0 C, dvs. = 0. Denne værdi indsættes i forskriften: = 0, , 7= 0, , 7= 59,0 Så trkket ved 0 C er altså 59,0 Bar. c) Trkket er 0 Bar, dvs. = 0. Denne værdi indsættes i forskriften og findes: = 0, , 7 0= 0, , 7 0 8, 7= 0, 684 6, 6,= 0, 684 = 99, = 0, 684 så svaret er altså, at gasflasken har et trk på 0 Bar, når temperaturen er 99, C, som altså er den temperatur, som man skal holde sig under af sikkerhedsmæssige grunde. d) Hældningskoefficienten a er jo pr. definition det stkke, regnet med fortegn, som øges med, når øges med. I dette tilfælde bliver det altså det, som trkket vokser med, når temperaturen vokser med grad! Vi har altså, at trkket stiger med 0,684 Bar, hver gang temperaturen vokser med C. b-leddet er skæringen med -aksen, altså -værdien svarende til = 0. Derfor er b-leddet her trkket ved frsepunktet, altså 0 C. e) Her udntter vi sætning 7: = a = 0, 684 0= 6,84 så trkket stiger altså med 6,84 Bar, hver gang temperaturen vokser med 0 C.

15 Erik Vestergaard 5 Opgaver Hvis en opgave er mærket med en * vurderes den til at være lidt sværere. Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 4 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) På delfigur (a): Bestem funktionsværdierne i og. c) På delfigur (b): Aflæs f (0) og f (,5). d) På delfigur (c): Aflæs f () og f (0,5). e) På delfigur (d): Løs ligningerne f ( ) = og f ( ) = grafisk. f) På delfigur (e): Løs ligningen f ( ) = grafisk. g) På delfigur (f): Løs ligningerne f ( ) = og f ( ) =,75 grafisk. Opgave Hver af delfigurerne (a) til (f) på figur 5 indeholder grafen for en lineær funktion f. a) Aflæs forskriften for f i hvert af de seks tilfælde. b) Bestem funktionsværdien f () i hvert af de seks tilfælde. c) Løs ligningen f ( ) = i hvert af de seks tilfælde. Opgave Vi har følgende --sammenhæng: = +. a) Beregn, når = b) Beregn, når =,5 c) Beregn, når = Opgave 4 En lineær funktion er givet ved f ( ) = + 6 a) Beregn funktionsværdierne f (0), f () og f ( ). b) Løs ligningerne f ( ) = 0, f ( ) = 0 og f ( ) = 7 ved beregning. c) Hvor stor er -tilvæksten, når -tilvæksten er? Opgave 5 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) = 4 b) = + c) = d) f ( ) =,5 + 5 e) = 0,8+,6 f ) f ( ) = 4 56

16 6 Erik Vestergaard Figur 4 (a) (b) (c) (d) (e) (f)

17 Erik Vestergaard 7 Figur 5 (a) (b) (c) 5 4 (d) (f) (e)

18 8 Erik Vestergaard Opgave 6 Tegn graferne for nedenstående lineære sammenhænge: a) = + 8 d) = b) = e) f ( ) = c) = + 5 f ) f ( ) = 4 Opgave 7 Tegn graferne for den lineære funktion f ( ) 0,54,5 ; [ 4,6[ = +. Hjælp: Husk, at funktionen kun er defineret i intervallet [ 4,6[. Det er da oplagt at beregne to støttepunkter ved at indsætte intervallets endepunkter! Opgave 8 Tegn grafen for den lineære funktion f ( ),,7 ; [,8[ = +. Opgave 9 Bestem i hvert af de seks tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (,) og (,6) b) (,) og (6,7) c) (, ) og (,) d) (, 5) og (6,) e) (, ; 5,76) og (,0;4,6) f) ( 4,6; 5,) og (6, ; 5,8) Opgave 0 Bestem i hvert af de tre tilfælde nedenfor forskrifterne for de lineære funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) (0, ) og (4,6) b) (, 4) og (7,0) c) (0,5; 8,) og (7,;7,9) Opgave Bestem forskriften for den lineære funktion f, hvis hældning er og hvor f () = 0.

19 Erik Vestergaard 9 Opgave En lineær funktion f har forskriften =, 5 4. En anden lineær funktion g har en graf, som er parallel med grafen for f, og som passerer igennem punktet (,6). Bestem forskriften for g. Opgave a) Givet den lineære funktion f ( ) = +. Beregn grafens skæring med -aksen. b) Givet den lineære funktion f ( ) =,5. Bestem grafens skæring med -aksen både grafisk og ved beregning. Opgave 4 Løs ligningen f ( ) = g( ) grafisk i følgende tilfælde: a) f ( ) = + 5, g( ) = + 0. b) f ( ) = +, g( ) = 4. c) f ( ) = +, g( ) = Opgave 5 Løs opgave 4 ved beregning også. Opgave 6 Lad f ( ) = 5 og g( ) =. a) Løs ligningen f ( ) = både grafisk og ved beregning. b) Løs ligningen g( ) =,5 både grafisk og ved beregning. Opgave 7 Lad f ( ) =, 6 5,. a) Bestem -tilvæksten, når -tilvæksten er. b) Hvilken -tilvækst giver en -tilvækst på 6? Opgave 8 Nedenfor en delvist udfldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfld selv resten! 0 5

20 0 Erik Vestergaard Opgave 9 Nedenfor en delvist udfldt støttepunktstabel for en lineær funktion. Udfld selv resten! Angiv desuden en forskrift for den lineære funktion Opgave 0 Et tai-firma A tager 0 kr. i startgebr og kr. pr. kørt km. a) Opskriv en forskrift for den lineære funktion, som beskriver tairegningen i kroner for antal kørte kilometer. b) Bent forskriften fra a) til at finde prisen for at køre,5 km. c) Hvor langt kan man køre for 00 kr.? Et andet tai-firma B tager 0 kr. i startgebr, men kun 0 kr. pr. kørt km. d) Hvor langt skal man køre, før tai-firma B bliver billigst? Opgave I USA bentter man ofte Fahrenheit-skalaen som temperaturskala, mens man i Europa plejer at bruge Celsius-skalaen. Sammenhængen mellem temperaturen T F i Fahrenheit og temperaturen T C i graders Celsius er givet ved: TF =,8 TC +. Eller hvis vi vedtager at lade være temperaturen i C og temperaturen i Fahrenheit: =,8 +. a) I Danmark i april er det C. Hvad svarer det til i Fahrenheit? b) En sommerdag på Hawaii er det 00 F. Hvad svarer det til i C? c) Hvis temperaturen stiger med 0 C, hvor mange grader stiger så temperaturen, når der regnes i Fahrenheit? d) Hvad er frsepunktet, regnet i Fahrenheit? e) Lav en formel, som giver temperaturen i C, når man har temperaturen i graders Fahrenheit. Opgave Når radius i en cirkel vokser, så vokser cirklens omkreds som bekendt også. a) Argumenter for at cirklens omkreds vokser proportionalt med radius. b) Hvor meget vokser omkredsen med, hvis radius vokser med meter? c) Vokser cirklens areal også lineært med radius?

21 Erik Vestergaard Opgave Det oplses, at og er proportionale. Udfld de resterende felter i tabellen: 0 5 Opgave 4 Benn er en gammel professionel ckelrtter. Han holder sig stadig i form sammen med vennerne i den lokale ckelklub. Da han skal deltage i et landevejsløb en uge senere, har han besluttet sig for at teste sig selv på en enkeltstart på lige vej. I det følgende antager vi, at Benn holder en konstant fart på hele turen. Desværre glemte Benn at nulstille sit stopur hjemmefra. Derfor viste stopuret ikke 0, da han startede ud på ruten. Undervejs kommer Benn forbi to steder på ruten, som han ved ligger henholdsvis 5, km og 6,6 km fra udgangspunktet. Det sker når stopuret viser henholdsvis 6 min. og 54 min. I det følgende skal vi betragte den tilbagelagte strækning som funktion af stopurets visning, dvs. den tilbagelagte strækning skal udgøre -værdien og stopurets visning skal udgøre -værdien. Da farten er konstant, bliver sammenhængen lineær. a) Du skal regne tiderne om til timer, så vi fremover regner strækning i km og tid i timer. Opskriv koordinaterne for de to punkter, der ligger på den lineære graf. Det er en god idé at lave en hurtig skitse af situationen. Den kan bruges til at skabe overblik og til at få gode idéer til de efterfølgende spørgsmål. b) Bestem en forskrift for den lineære funktion ved hjælp af blandt andet formel () i sætning 4. Giv desuden en sproglig fortolkning af hældningskoefficienten og konstantleddet. Altså hvad angiver de sagt med ord i det konkrete tilfælde? c) Bent forskriften fra spørgsmål b) til at vurdere hvor langt Benn vil være kommet, når stopuret viser time og 0 min. d) Hvad viste stopuret ved løbets start? e) (Frivillig) Prøv at argumentere for, hvorfor en konstant fart medfører en lineær graf. Hvordan ville grafen have set ud, hvis Benn øgede farten løbende undervejs?

22 Erik Vestergaard Opgave 5 Sarah er vild med fitness. Hun vil gerne kende den maksimale effekt, P ma, som hun kan præstere. Når hun ckler hurtigere og hun dermed øger sin effekt, så øges hendes puls naturligvis også. Effekt er det samme som energi pr. tid og regnes i Watt (W). Det har vist sig, at et menneskes puls vokser omtrent lineært med den leverede effekt. Der er imidlertid en grænse for, hvor høj en puls (antal hjerteslag pr. minut) et menneske kan opnå, og en håndregel siger, at den er 0 minus udøverens alder. Da Sarah er 7 år, kan vi altså regne med, at hendes maksimale puls er 0 7= 0. I det følgende skal vi bentte den lineære model til at regne baglæns til en værdi for Sarahs maksimale effekt. For at finde den lineære sammenhæng mellem Sarahs effekt og hendes puls, er det nødvendigt at hun foretager to tests under forskellige belastninger. Resultatet af disse er indføjet som to punkter på nedenstående graf, som viser sammenhørende værdier mellem effekten og pulsen. Puls ma puls P ma Effekt (W) a) Du skal nu beregne forskriften for den lineære sammenhæng, idet du lader svare til effekten og til pulsen. Start med at aflæse koordinaterne for de to punkter og bent formel i sætning 4 til at bestemme hældningen, etc. b) Hvad fik du hældningskoefficienten og konstantleddet til? Forklar med ord, hvad disse ord fortæller om Sarah. c) Hvad vil Sarahs puls være ved en belastning på 5 W? Beregn det via forskriften. d) Man kan aflæse Sarahs maksimale effekt nogenlunde på grafen, men du skal prøve at beregne den ved hjælp af forskriften.

23 Erik Vestergaard Opgave 6 Fra Danmarks Statistik kan man finde følgende data for trafikken på Køge Bugt Motorvejen ved Ølb i perioden fra 990 til 007: År Antal/døgn År Antal/døgn Til følgende analse anbefales det at anvende regnearket Ecel. Man kan med fordel gå direkte ind på Danmarks Statistiks hjemmeside på vælge Statistikbanken oppe i venstre hjørne. Her vælges Transport >Motorkøretøjer pr. døgn efter vejstrækning. Her kan man få data direkte ud i Ecel, og analsere data videre derfra. a) Redegør for, at udviklingen i trafikken er vokset omtrent lineær i den omtalte periode fra 990 til 007, ved at indtegne antal køretøjer pr. døgn som funktion af antal år efter 990 (Dvs. år 990 svarer til 0 på -aksen!). Bestem derefter den bedste rette linje igennem punkterne. b) Hvor stor er hældningskoefficienten a og konstantleddet b? Giv en sproglig fortolkning af disse størrelser. Hvad fortæller de? c) Hvis udviklingen fortsætter, hvor mange køretøjer vil der så være pr. døgn i 04? d) Hvornår vil der være køretøjer pr. døgn, hvis udviklingen fortsætter? e) Hvor meget vil antallet af køretøjer pr. døgn vokse med over en periode på 5 år? f) Nævn nogle faktorer som kan betde at prognosen ikke kommer til at holde stik. Opgave 7 Som bekendt falder luftens temperatur, når man stiger op igennem atmosfæren. Udenfor flveren i 0 km s højde er der således frosttemperaturer. Spørgsmålet er, hvordan luft-

24 4 Erik Vestergaard temperaturen T ( h ) falder med højden h over jordoverfladen. En model, som holder nogenlunde i en del tilfælde er, at temperaturen falder lineært: T( h) = a h+ T0. hvor temperaturen T 0 er temperaturen ved jordoverfladen, og a er en konstant. Lad os i det følgende sige, at vi har en situation, hvor temperaturen ved jordoverfladen er lig med 5 C og hvor temperaturen falder med 0,7 grader pr. 00 meters opstigen. a) Lad os i det følgende vedtage, at vi kalder højden for (regnet i meter) og temperaturen for (regnet i C). Argumenter for, at der så gælder følgende lineære sammenhæng mellem og : = 0, b) Hvad er temperaturen i højden km? c) Hvor højt skal man op, før temperaturen er faldet til frsepunktet? I en anden model, som gælder i en anden vejrmæssig situation er = 0, d) Hvad er temperaturen ved jordoverfladen? e) Hvor meget falder temperaturen pr. 00 meter i dette tilfælde? Opgave 8 I fsik gælder Ohms lov: U = R I, hvor U er spændingen, I er strømstrken og R er modstanden. Spændingen kan måles med et voltmeter og strømstrken kan måles med et amperemeter, som vist på figuren herunder. Hvis vi afsætter U opad -aksen og I hen ad -aksen, så skal vi altså teoretisk få en ret linje gennem (0,0). a) Afsæt punkterne fra tabellen nedenfor i et koordinatsstem, som angivet ovenfor. b) Konstater, at der er tale om en proportionalitet mellem I og U og tegn den bedste rette linje, der tilnærmer datapunkterne, idet du tvinger linjen igennem (0,0). c) Bestem en forskrift for den lineære sammenhæng. Hvad siger hældningskoefficienten noget om? I (A) 0 0,0 0,5 0,5 0,50 0,60 0,75 0,85 U (V) 0 0,7,70,6,60 4,47 5,45 6,0 Opgave 9 Ifølge hjemmesiden for Sd Energi er der for private (september 009) en årlig abonnementsudgift på 0 kr. og derudover en kwh pris på 0,40 kr. Angiv et udtrk for den totale pris som funktion af antallet af kilowatt timer.

25 Erik Vestergaard 5 Opgave 0* Teleselskabet telenor har flere tilbud til mobilkunder pr. 8. september 009: XS (for etra small) 0,79 kr. pr. minut. S (for small) Månedlig abonnement: 49 kr., 0 min. gratis taletid og derefter 0,69 kr. pr. minut. M (for medium) Månedlig abonnement: 99 kr., 40 min. gratis taletid og derefter 0,59 kr. pr. minut. L (for large) Månedlig abonnement: 99 kr., 480 min. gratis taletid og derefter 0,49 kr. pr. minut. Der er også en XL mulighed, men vi udelader den, da der er forbehold for længden af de enkelte samtaler, hvilket gør sammenligningen besværlig. Endvidere skal det nævnes, at der er en opkaldsafgift på 0,5 kr. Den vurderes dog ikke til at være væsentlig i sammenligningen mellem abonnementerne. I det følgende skal vi analsere hvornår det er fordelagtigt at bentte det ene abonnement frem for det andet. Lad i det følgende angive totalprisen i kr. og angive antal talte minutter. a) Vis at prisen for XS kan angives ved den lineære funktion = I de andre abonnementsmuligheder er man nødt til at dele op i intervaller alt efter om der tales i flere eller færre antal minutter end det antal, der er gratis. Det giver anledning til en såkaldt stkvis lineær funktion, hvor grafen består af flere linjestkker. b) Argumenter for at der for abonnementet S gælder = 0, 69( 0) + 49, når der tales i over 0 minutter, dvs. > 0. Reducer udtrkket og vis, at der er tale om en lineær sammenhæng. Argumenter for, at vi alt i alt har følgende: 49 for 0 = 0, 69( 0) + 49 for > 0 c) Tegn grafen for den stkvist lineære funktion i spørgsmål b) og tegn i samme koordinatsstem grafen for = Hvor meget skal man tale i mobil før S bliver mest fordelagtig? Prøv at beregne det nøjagtige antal taleminutter. d) Prøv at sammenligne nogle af de øvrige abonnementsmuligheder. Hvor mange minutter skal man tale pr. måned for at L er mere fordelagtig end S? e) (Svær) I denne opgave skal du prøve at tage hensn til opkaldsafgiften på de 0,5 kr., som vi hidtil har set bort fra. En mulighed er at antage en bestemt gennemsnitlig samtalelængde...

26 6 Erik Vestergaard Opgave En elektronikkæde har haft et tilbud med et billigt fladskærms TV i deres tilbudsavis. Nedenstående tabel indeholder oplsning om kædens lagerbeholdning af det pågældende TV forskellige dage efter lanceringen. I det konkrete tilfælde viser det sig, at der er tale om en omtrent lineær sammenhæng mellem lagerbeholdningen og antal dage efter lancering. Dag Lagerbeholdning a) Afbild i et koordinatsstem lagerbeholdningen som funktion af antal dage efter lanceringen dvs. antal dage på -aksen og lagerbeholdningen på -aksen. Gennemfør lineær regression og bestem herunder en forskrift for den lineære sammenhæng. b) Giv en fortolkning af hældningskoefficienten a og konstantleddet b. Hvad fortæller de om salget? c) Hvis den lineære udvikling fortsætter, hvornår vil lageret så være tomt? d) Det er faktisk ret atpisk, at en udvikling på et lager udvikler sig lineært. Prøv at give en forklaring på dette?

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Opgaver i lineær regression

Opgaver i lineær regression Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Opgaver i lineær regression Opgave 1 I Troposfæren op til en højde af ca. 12 km over jordoverfladen aftager lufttemperaturen på en regelmæssig måde. istock.com/ttsz

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

1. Installere Logger Pro

1. Installere Logger Pro Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Minut pris. (efter 4 timer : 0,69 pr minut) Happii Basiic 0 0,60 sekund Lebara 0,49 0,19 minut

Minut pris. (efter 4 timer : 0,69 pr minut) Happii Basiic 0 0,60 sekund Lebara 0,49 0,19 minut Mobilaftaler Se alle mulige selskaber: http://telepristjek.dk/ Mobil-priser efterår 2010. Hvad er mon billigst nu? Besvar opgaverne på de følgende sider, mindst til og med opgave 4 Teleselskaber Abonnement

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 008 HHX08-MAB Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

4. Funktioner lineære & hyperbel

4. Funktioner lineære & hyperbel 4. 4.1 Tegn følgende lineære funktioner: a. y = 2 +1 b. y = 3 c. y = 3 d. y = ½ + 2 e. y = 2 + 350 f. y = -25 + 4200 g. y = 125-375 4.2 Tegn følgende lineære funktioner. Det er en stor fordel at isolere

Læs mere

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium

Udledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere