Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion"

Transkript

1 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne i dette projekt indgår or en stor del i grundbogen til A-niveau. Det giver deror muliged or, at man på et old til A-niveau kan aslutte gennemgangen a dierentialregningen i.g. Omvendt unktion er supplerende sto på både B og A.. De elementære unktioner - og alle de andre De elementære unktioner som de lineære unktioner, de trigonometriske unktioner sin( ) og cos( ), den naturlige eksponentialunktion e og den naturlige logaritmeunktion ln( ), samt potensunktionerne er en slags byggestene vora ovedparten a andre unktioner bygges op ved jælp a de ire traditionelle regningsarter,,,, :, samt de to særlige operationer der indes i unktionernes verden: Sammensat unktion, og omvendt unktion. Det betyder, at vis vi både ar styr på, vordan vi dierentierer de elementære unktioner, og ar styr på alle regneregler or dierentiation, så kan vi populært sagt dierentiere vad som elst, der er dierentiabel. Eksempel. Vi kan klare os med ærre byggestene I virkeligeden er det endnu mere simpelt: e og ln( ) er inandens omvendte unktioner, så ar vi styr på, vordan vi dierentierer den ene og kan vi regnereglen med at dierentiere omvendt unktion, ar vi også styr på den anden. Det ser vi på i sidste asnit. sin og cos er orbundet med ormlen cos( v) sin9 v π, når det skrives med grader, eller cos( ) sin, når det skrives med radianer. Har vi styr på vordan vi dierentierer sinus, og kan vi regnereglen or sammensat unktion, kan vi også dierentiere cosinus. Da e og ln( ) er inandens omvendte unktioner gælder der, at e ln( ) ln( ) a a a ln( ). Deror er e e. Har vi styr på, vordan vi dierentierer e, og kan vi regnereglen or sammensat dierentiation, så kan vi også dierentiere Dvs byggestenene kan reduceres til: de lineære unktioner, sinus og en a de to e eller ln( ). I A-bogen vil vi gå dybere ind i dette og vise, vordan vi ved jælp a integralregning kan give elt præcise deinitioner a logaritmeunktioner, eksponentialunktioner og trigonometriske unktioner. a a. Sammensat unktion Vi kalder unktioner med regneorskriter a typen: 7 ( ) 5, 5 ( ) 3, 3 ( ) 3,, π 4 ( ) 5 sin( ) 3,3 5 ( ) e or sammensatte unktioner. Funktionerne er alle karakteriseret ved, at der vor vi normalt inder den uaængige variabel, er der skrevet en regneorskrit. Denne kan vi opatte som regneorskrit or en unktion, som vi kalder or den indre unktion. og Sådanne mere komplekse unktionsudtryk optræder ote, når vi arbejder med matematisk modellering a orskellige ænomener. Funktionen 4 er således en armonisk svingning, som kan være en model or

2 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion udbredelse a lyd. Funktionen 5 indgår i unktionsudtrykket or en normalordeling, der kan være en statistisk model or øjderne a alle børn i en bestemt skoleårgang. Dierentialregning er et stærkt værktøj til at undersøge graiske orløb. Men i stedet or at undersøge sådanne unktioner orra ver gang, så ar vi en ælles metode, en særlig regneregel til at åndtere disse sammensatte unktioner. For at kunne anvende denne - og bevise regnereglen - skal vi ørst lære at analysere sådanne unktioner og opdele dem i de bestanddele, de er bygget op a, som vi betegner: Indre unktion og ydre unktion Eksempel. Indre unktion og ydre unktion Metoden er ølgende: Den regneorskrit, der er skrevet, vor der normalt indgår den uaængige variabel, kaldes or den indre unktion. I er dette unktionen g ( ) 5 Hvis vi i stedet or 5 skriver y, ar vi den ydre unktion. I er dette unktionen Med disse betegnelser kan vi opskrive ølgende udtryk or : ( ) ( g( )) Man kan eterprøve, at dette er korrekt ved at udregne øjre side. Funktionen opløter i syvende, så: ( g( )) ( g( )) Indsætter vi nu udtrykket or g år vi det oprindelige: ( g( )) ( g( )) ( 5) som var udtrykket or. () y y 7 Prais: Symbol or sammensat unktion Når vi ar opdelt regneorskriten or en unktion ( ) i en ydre unktion yog () en indre unktion g ( ), så vi kan skrive ( ) ( g( )) kalder vi or en sammensat unktion og vi skriver: g Dvs. ( ) g ( ) ( g( )) I praksis opskriver vi ote den ydre unktion som ( ) i stedet or y. () Men det er vigtigt at uske, at den indre unktion erstatter den uaængige variabel i, når vi sammensætter dem, uanset om vi kalder denne or eller y. Eksempel 3. Opdeling a en sammensat unktion I de indledende eksempler år vi ølgende opdeling i ydre og indre unktioner ( ) ( g( )) ( ) (ydre) g ( ) (indre) 5 5 ( ) ( ) 3 g ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) g 3 ( ) 3 π 4 ( ) 5sin( ) 3 4 ( ) 5sin( ) 3 π g ( ), 4,3 5 ( ) e 5 ( ) e, g5( ),3 Selv om vi skriver den ydre ørst så er det otest lettest ørst at å øje på den indre og skille den ud. 4

3 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Gennemør selv samme analyse og opdeling a nedenstående unktioner i en ydre og en indre. ( ) ( g( )) ( ) (ydre) g ( ) (indre) ( ) 3 ( ) (5 4) 3 ( ) ( 4 ) 3 3 ( ) e 4 4 ( ) ( ) 3 5 ( ) 3 6 ( ) ( ) 4 7 ( ) ln( 4) ( ) ( 3 ) 6 9 ( ) e 78 ( ) ln( 9) 9 4 ( ) 3. Dierentiation a sammensat unktion. Det lineære tilælde. Vi bemærker, at or rækken a ydre unktioner i eksemplet ovenor - og tilsvarende i øvelsen - ar vi ver gang en sætning, der giver os dierentialkvotienten. Se i B-bogens oversigt over unktioner, man skal kunne dierentiere på B, og ind dierentialkvotienterne or ver a dem. For unktioner som og 3 i a eksemplet kan det være en ordel ørst at omskrive til en potensunktion på ormen. Vi bemærker endvidere, at i rækken a indre unktioner er de leste aktisk lineære unktioner. Kun g 5 er en ikke-lineær unktion. I øvelsen er der yderligere nogle ikke-lineære. Når vi skal vise en regneregel or, vorledes vi dierentierer sammensatte, vil vi ørst gennemgå tilældet, vor den indre unktion er lineær. Det skyldes, at vi kan gennemøre dette bevis ved jælp a tretrinsreglen. Beviset or det det generelle tilælde anvender en lidt mere avanceret teknik. Sætning. Dierentiation a den sammensatte unktion ( ) ( a b) Antag unktionen er dierentiabel i, med dierentialkvotient ( ). Funktionen ( ) ( a b) er da også dierentiabel i, med dierentialkvotienten: ( ) ( a b) a Hvis er overalt dierentiabel er også overalt dierentiabel, og der gælder: ( ) ( a b) a Bevis. Forudsætningerne i beviset, nemlig at er dierentiabel i, med dierentialkvotient, kan opskrives således: ( ) ( ) ( ) når (*) Vi anvender tretrinsreglens anden version.. Opskriv sekantældningen: 3

4 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b. Omskriv sekantældningen: ( a b) ( a b) ( a a b) ( a b) gang a ind i parentesen ( a b a) ( a b) roker rundt ( y a) ( y) Kald a b or y ( y a) ( y) a Forlæng med a a Vi kan se, dette ligner udtrykket, vi skrev op i begyndelsen a beviset. Forskellen er ørst og remmest, at tilvæksten er edder a. Hvis vi kalder a or k og sætter dette ind år vi: ( yk) ( y) a (**) k 3. Lad og se, vad der sker. Når vil også k a I ølge orudsætningen (*) ar vi: ( k) ( ) ( ) når k k Men dette vil så også ske, når. Deror vil der gælde om det omskrevne udtryk or sekantældningen (**), at: ( ) ( ) ( y k) ( y) a ( y) a når k Indsætter vi nu y a b år vi konklusion: er dierentiabel i med dierentialkvotient ( ) ( a b) a Eksempel 5. Sådan dientieres en sammensat unktion Betragt unktionen 7 ( ) 5 Vi så ovenor, at ( ) ( g( )), vor () y y, og g ( ) 5. Iølge sætningen skal vi gøre ølgende: Dierentier den ydre, og lad den indre stå (gange) dierentialkvotienten a den indre. 6 ( ) 7 (-5) Konklusion: 6 Dierentier, 3 og 4 ( ) 4 (-5) 7 Dierentier unktionerne -7 i øvelse

5 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion 8. Dierentiation a e k a) Hvad er den ydre og den indre unktion or ( ) e k b) Anvend sætningen til at opskrive dierentialkvotienten or e k a 9. Dierentiation a a) Omskriv a til et udtryk på ormen e k b) Anvend sætningen til at opskrive dierentialkvotienten or a. I det generelle tilælde gælder ølgende sætning: Sætning. Dierentiation a den sammensatte unktion ( ) ( g( )) Antag unktionen er dierentiabel i y g( ), med dierentialkvotient ( y) ( g( )), samt at unktionen unktionen g er dierentiabel i med dierentialkvotienten g ( ). Funktionen ( ) ( g( )) er da dierentiabel i, med dierentialkvotienten: ( ) ( g( )) g( ) Hvis og g er overalt dierentiable i deres deinitionsmængder, så er også overalt dierentiabel, og der gælder: ( ) ( g( )) g( ) Beviset or sætningen gives i asnit 5. Eksempel. Sådan dientieres en sammensat unktion,,3 Betragt unktionen 5 ( ) e Vi så i øvelse 3, at 5( ) 5( g5( )), vor 5 ( ) ey. y, og, g ( ). 5,3 Iølge sætningen skal vi gøre ølgende: Dierentier den ydre, og lad den indre stå (gange) dierentialkvotienten a den indre.,,3, 5 ( ) e,3,3, Konklusion:,,3 ( ) e 5.,3 I en model or produktionen a palmeolie i Malaysia kan sammenængen mellem alderen a palmerne og udbyttet a palmeolien pr. ektar beskrives ved,499,64 ( ) 35,9,493e, 5, vor er palmernes alder målt i år, og ( ) er udbyttet pr. ektar målt i ton. a) Tegn en gra or, og bestem udbyttet ra en ektar, vor palmerne er år gamle. b) Bestem vækstastigeden i udbyttet ra en ektar, vor palmerne er 5 år gamle. Kilde Nonlinear Growt Models or Modeling Oil Palm Yield Growt a Kamis et al, Journal o Matematics and Statistics (3):5-33,5. (st A eksamen maj med) Dierentier unktionerne 8- i øvelse 4. 5

6 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion 4. Dierentiation a sammensat unktion. Det generelle tilælde. Den mest nærliggende ide til et bevis i det generelle tilælde, ville være at generalisere beviset ra det lineære tilælde. Det kunne orløbe således med brug a tretrinsreglens. version:. Opskriv sekantældningen: ( ) ( ) ( g( )) ( g( )). Omskriv sekantældningen: ( g( )) ( g( )) g( ) g( ) g( ) g( ) ( g( )) ( g( )) g( ) g( ) g( ) g( ) ( y) ( y) g( ) g( ) y y Forlæng med g( ) g( ) Roker rundt Kald g ( ) or y og g ( ) or y 3. Lad og se, vad der sker. Vi ser på de to brøker en a gangen. Først den sidste brøk: g ( ) er dierentiabel i så deror ar vi: g( ) g( Når, vil ) g( ) Så den ørste brøk: g ( ) er dierentiabel i så deror er g ( ) også kontinuert i. Men det betyder: Når, vil g( ) g( ), dvs. y y er dierentiabel i y g( ), så deror ar vi: ( y) ( y Når y y, vil ) ( y) y y Samlet år vi nu: ( y) ( y Når, vil ) g( ) g( ) ( y) g( ) y y Indsættes y g( ) år vi konklusionen: er dierentiabel med dierentialkvotienten ( ) ( y ) g( ) ( g( )) g( ) Dette bevis er korrekt i langt de leste tilælde. Men ikke generelt. Problemet indes i den omskrivning, vor vi orlænger, dvs. ganger og dividerer med udtrykket g( ) g( ). Hvorra ved vi nemlig, at dette udtryk er orskellig ra, og er det i ele grænseovergangen, vor? Det ved vi aktisk ikke. Udtrykket g( ) g( ) er jo en unktion a, og de unktioner vi møder, vil normalt ave et endeligt antal nulpunkter. Hvis vi antager det, så er der et a de eventuelle nulpunkter, der ligger tættest ved, og vi kan deror lægge et lille interval endnu tættere omkring, vori udtrykket g( ) g( ) aldrig bliver (bortset ra i selve, men i grænseovergangene indsætter vi jo aldrig det tal vi nærmer os uendelig tæt). Fastlægger vi nu ra starten, at vi kun regner indenor dette lille interval, så older beviset. Der indes imidlertid situationer, der ikke er dækket a dette bevis. I næset asnit giver vi et generelt bevis, der older i alle tilælde. Beviset er især interessant, ordi det illustrerer vorledes vi kan indøre en 6

7 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion deinition på dierentiabilitet, der kan generaliseres til unktioner a lere variable. Det er således et eksempel på vordan emnet beandles i videregående matematik. 5. Deinition a dierentiabilitet uden anvendelse a brøker For at gennemøre beviset i det generelle tilælde skal vi ørst ave omormuleret selve deinitionen på at være dierentiabel, så vi undgår brøker. I B-bogen kapitel 4 asnit giver vi ølgende deinition på at være dierentiabel: Deinition: Dierentiabilitet, dierentialkvotient og aledet unktion Hvis graen or en unktion er lokalt lineær i punktet, ( ), så siger vi, at er dierentiabel i. Hvis tangenten i punktet, ( ) ar en ældningskoeicient a, så kaldes dette tal or dierentialkvotienten or i. Tallet betegnes a ( ) og læses mærke a. Forud or det ar vi deineret begrebet lokalt lineær: Deinition: Lokalt lineær og tangent til en kurve En kurve kaldes lokalt lineær i et punkt P, vis kurven kan tilnærmes vilkårligt tæt med en ret linje gennem punktet P, blot vi zoomer tilstrækkelig tæt ind på punktet. Den rette linje kaldes i så ald or tangenten til kurven i punktet P. Vi ar også kommenteret vad der menes med vilkårlig tæt : Vi trækker linjer ra P til alle mulige punkter på graen, og ser på ældningskoeicienterne or disse linjer. Kurven er lokalt lineær i P, vis disse ældningskoeicienter nærmer sig ældningen or en bestemt linje, når vi zoomer ind mod P. Denne bestemte linje er så tangenten i P. Denne sproglige repræsentationsorm or dierentialkvotient oversættes til en symbolsk orm, som vi kan regne på: ( ) ( Funktionen er dierentiabel i, vis ældningskoeicienterne ) nærmer sig ét bestemt tal a, når nærmer sig Dette tal a er så ældningskoeicient or tangenten, og det angiver dierentialkvotienten or i. Dette kan også udtrykkes således: ( ) ( ) a når Sætter vi kan dette udtrykkes således: ( ) ( ) a når Venstre side er en unktion a. Vi kalder denne or E: () ( ) ( ) a E() (*) ( ) ( ) a E( ) Gang igennem med (så vi slipper or brøken) ( ) ( ) ae( ) Flyt over. (**) Læg mærke til, at de ørste to led på øjre side repræsenterer tangenten og dennes ligning: y ( ) a ( ) a( ) Det sidste led E() er således et udtryk or, vor meget graen or unktion aviger ra tangenten. 7

8 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Eer () iølge (*) umiddelbart ikke deineret i. Men når er, er vi i punktet, ( ) på graen. Dette punkt er det ælles røringspunkt or graen og tangenten. Det er deror naturligt at vi udvider deinitionen a E, () så denne sættes til at være når er. Deinition: Epsilonunktioner En unktion Ekaldes () en epsilonunktion, vis den er deineret i et interval omkring, og vis den opylder ølgende to krav; ) E() ) E( ), når Funktionen E() er et eksempel på en epsilonunktion. Angiv selv to andre. Vi kan nu ved jælp a epsilonunktioner give en deinition på at være dierentiabel, der er en symbolsk oversættelse a den sproglige ormulering lokalt lineær, og som kan generaliseres til øjere dimensioner: Deinition: Dierentiabilitet i et punkt En unktion siges at være dierentiabel i, vis der indes et tal a og en epsilonunktion, E () således at der i et interval omkring gælder ølgende: ( ) ( ) ae( ) Tallet a kaldes i så ald or dierentialkvotienten or i tallet og betegnes ( ). Opskriv ligningen i vert a tilældene a) ( ) 3 v) ( ) ( ) og g( ) 3 : Vi ar ovenor set og argumenteret or, at vis er dierentiabel iølge den traditionelle deinition, så er også dierentiabel eter den nye deinition. Argumentér nu or, at vis er dierentiabel iølge den nye deinition, så er den også dierentiabel eter den traditionelle. (Hjælp: Opskriv den nye deinition og regn baglæns, så vi på venstre side år udtrykket or sekantældningerne. Lad og udnyt epsilonunktionens egenskaber.) De to deinitioner er således elt ækvivalente. Bevis or sætning om dierentiation a sammensat unktion Vi vender nu tilbage til sætning, og opskriver orudsætningerne ved jælp a den nye deinition: g er dierentiabel i med dierentialkvotienten g ( ), så i et interval omkring kan vi skrive: g( ) g( ) g( ) E ( ) (*) g er dierentiabel i y g( ), med dierentialkvotient ( y) ( g( )), så i et interval omkring y kan vi skrive: ( y k) ( y ) ( y ) k E ( k) k ( g( ) k) ( g( )) ( g( )) k E ( k) k Indsæt y g( ) (**) Vi betragter nu unktionen g og skal inde et udtryk or ( ) : 8

9 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion ( ) ( g( )) Anvend deinitionen på g( ) g( ) E ( ) Indsæt (*) g g( ) k Kald g( ) Eg( ) or k ( g( )) ( g( )) k E ( k) k Anvend (**) ( ) ( g( )) k E ( k) k Indsæt ( ) ( g( )) Indsæt nu udtrykket or k i dette: ( ) ( g( )) g( ) E ( ) E ( k) g( ) E ( ) g g Vi ganger ud og samler de tre a leddene i en parentes: ( ) ( g( )) g( ) ( g( )) E ( ) E ( k) g( ) E ( k) E ( ) g g Vi sætter udenor parentes og kalder parentesen or E() : ( ) ( g( )) g( ) ( g( )) E ( ) E ( k) g( ) E ( k) E ( ) g g ( ) ( g( )) g( ) E ( ) Vi mangler nu kun at vise, at unktionen E() er en epsilonunktion: E ( ) ( g( )) E ( ) E ( k) g( ) E ( k) E ( ) g g Vi bemærker ørst, at det midterste led stadig indeolder k. Men udtrykket or k : k g( ) E ( ) g viser, at når er også k, og når vil også k. Deror ser vi, at alle tre led i E() opylder kravene til en epsilonunktion, og dermed er det samlede udtryk or E() også en epsilonunktion. Men dermed ar vi ået skrevet den sammensatte unktion på ormen: ( ) ( ) ( g( )) g( ) E( ) Dvs er dierentiabel og dierentialkvotienten er som angivet i sætningen. I den såkaldte Gompertz model or en bestemt population a kyllinger kan sammenængen mellem en kyllings vægt M (målt i kg) og kyllingens alder t (målt i døgn eter udklækning) beskrives ved,43 t ln( M),654 4,6 e a) Benyt modellen til at bestemme vægten a en kylling, der er 3 døgn gammel b) Bestem M som unktion a t c) Tegn graen or M, og bestem vækstastigeden når kyllingen er 3 døgn. 6. Omvendt unktion og dierentiation a omvendt unktion (supplerende sto) Vi ar i B-bogens kapitel 4 asnit 6 ormuleret sætningen om dierentiation a ln( ), og dér givet et geometrisk bevis or ormlen. I det ølgende gennemgås dette mere generelt. I en række tilælde, vor en unktion indgår i en ligning, ar vi brug or at kunne jerne unktionen. F: ) sin( ).8 ) e π 36 3) 5cos( t ) 4,3 4) ln(.3 3,7) 4,7 I tilælde som disse kan vi jerne unktionen ved at anvende den omvendte unktion: 3 Eksponentialunktionen e jernes ved at anvende den naturlige logaritmeunktion, ln. ln er således den omvendte unktion til e. 9

10 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Den naturlige logaritme, ln jernes ved at anvende den naturlige eksponentialunktion e. e er således den omvendte unktion til ln. sin og cos jernes ved anvende enoldsvis sin og cos. Disse unktioner kaldes også or Arcusunktioner, og man skriver a og til Arcsin i stedet or sin og Arccos i stedet or cos. Arcusunktionerne er således de omvendte til de trigonometriske unktioner. I eksemplerne ovenor ar vi således: Eksempel. sin( ).8 sin sin( ) sin.8 sin.8 Eksempel. e 36 ln(e ) ln(36) ln(36) Løs selv ligningerne i eksempel 3 og 4. Deinition Hvis der om en unktion, der er deineret på et bestemt interval I gælder, at or enver y-værdi vi vælger i værdimængden indes præcis én -værdi i deinitionsmængden, således at: y (), så kalder vi den unktion, der knytter til y or den omvendte unktion til, og vi betegner unktionen er således deineret ved, at () y, når y () (*) Graisk bestemmes den -værdi, der er knyttet til en given y-værdi ved at vi går vandret ud ra punktet y på. aksen til vi rammer graen or, og vor vi rammer, går vi lodret ned (eller op) til. aksen, vor vi alæser -værdien. Bemærkning. Da vi ar byttet om på. og. aksen i den graiske bestemmelse a unktionsværdierne () y, så kan ele graen or remkomme ved at vi spejler graen or i linjen med ligning y. Denne spejling bytter jo netop om på de to akser. Bemærkning. Hvis vi kombinerer de to ligninger i (*) år vi: ( ( )) og y ( ( )) Dette er den generelle orm, som vi så illustreret med de to eksempler ovenor. De omvendte unktioner er ote interessante i sig selv og i undersøgelsen a disse unktioner og a deres graiske orløb ar vi brug or kendskab til deres aledede unktioner. Vi tillader os at tale om den aledede unktion a den omvendte ordi deinitionen på at være dierentiabel, nemlig at være lokalt lineær, naturligvis arves a den gra der remkommer ved at spejle i linjen y. Vi demonstrerer nu vorledes vi bestemmer de aledede til omvendte unktioner i de to specialtilælde med ln og sin, og ormulerer dereter den generelle sætning. Sætning. Dierentiation a ln( ) ln( ) er dierentiabel or alle med dierentialkvotienten: ln ( ).

11 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Bevis. Ud ra deinitionen a ln( ) som den omvendte til e ar vi ølgende: ln( ) e e ln( ) Dierentier på begge sider Udnyt reglen or sammensat dierentiation, samt ln( ) e ln( ) ln( ) Udnyt, at e og ln( ) opæver inanden ln( ) vilket var det ønskede resultat. Isoler ln( ) Sætning. Dierentiation a sin ( ) sin ( ) er dierentiabel i sin deinitionsmængde med dierentialkvotienten: sin ( ) Bevis. I omskrivningerne i dette tilælde år vi brug or Pytagoras sætning or sin og cos: sin ( ) cos ( ) Hvis du ar glemt denne sætning, så slå op i C-bogens kapitel 8. Formlen kan omskrives til: cos( ) sin ( ) (*) Ud ra deinitionen a sin ( ) sin sin ( ) sin sin ( ) som den omvendte til sin( ) ar vi ølgende: Dierentier på begge sider Udnyt reglen or sammensat dierentiation, samt sin sin ( ) sin ( ) cos sin ( ) sin ( ) Udnyt, at sin ( y) cos( y) sin (sin ( )) sin ( ) Udnyt (*) sin ( ) Udnyt a sin og sin ( ) vilket var det ønskede resultat. Isoler sin sin opæver inanden Sætning. Dierentiation a den omvendte unktion Antag unktionen er dierentiabel i og at ar en omvendt unktion i den deinitionsmængde vi arbejder inden or. Antag endvidere, at ( ). Så er dierentiabel i y ( ) med dierentialkvotient:

12 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion ( y), eller: ( y ) ( ) ( ( y ) Bevis. Vi ølger gangen i specialtilældene: ( ( y)) y Udnyt deinitionen på omvendt unktion ( ( y )) y Vi dierentierer med ensyn til y Udnyt reglen or sammensat dierentiation, samt ( y) ( y) y ( y) Udnyt, at og ( y) Indsæt y opæver inanden y og Isoler ( y) Indsæt y ( ) ( ) ( y) Udnyt, at ( y) ( ( y )) vilket var det ønskede resultat. ( y )

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Funktion af to eller flere variable I

Funktion af to eller flere variable I MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktion a to eller lere variable I Dierentiation og Optimering. udgave 005 FORORD Dette notat giver en indøring i de grundlæggende begreber or analse a reelle unktioner a to og

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Variabelsammenænge. Projekt.8 Design en optimal flaske Projekt.8 Design en optimal flaske Firmaet PartyKids ønsker at relancere deres energidrik Energizer. Den skal

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution VUC Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) 2-årigt hf Hf matematik C Hanne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13/14 Institution Grenaa HTX Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Bo Paivinen Ullersted

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Rabia Jeelani

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland Helsingør-afdelingen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hfe Matematik B Najib Faizi Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering MULTI 7 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Læs og skriv matematik Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13/14 Institution Grenaa HTX Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Bo Paivinen Ullersted

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B Niels

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 & Maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

4 Sandsynlighedsfordelinger og approksimationer

4 Sandsynlighedsfordelinger og approksimationer 4 Sandsynlighedsordelinger og approksimationer 4. Sandsynlighedsordeling or specielle diskrete variable 4.. Bernoulliordelingen En indikatorvariabel (dummyvariabel) er en variabel, som viser (indikerer)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere