Komplekse tal i elektronik
|
|
- Hans Clemmensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger, og hvis ohmske værdier afhænger af frekvensen. Dvs. spoler og kondensatorer. Med komplekse tal kan man opstille ligninger hvori frekvensen indgår som variabel. Ligningerne gælder altså for alle frekvenser, der blot skal indsættes og udregnes. Ligningerne giver fx. i forstærkerkoblinger som resultat både forstærkningen og fasedrejning. Komplekse tal opererer med begrebet Imaginære tal uvirkelige eller - indbildte tal. De tal, vi hidtil har opereret med, kan alle afbildes på en tallinie. Et sted er, et sted 47 osv. De er alle beliggende på X-aksen. Med komplekse tal indføres alle tal, der ligger i planet. Et tal kan fx ligge på en position i planet, der kan beskrives som 4 ud ad X-aksen, og 3 op ad Y-aksen. Dette ligner jo meget vektorer, hvor tallet ville benævnes (4, 3). Vektoren kan også angives som en vektors længde, og dens vinkel i forhold til X-aksen. Y-aksen kaldes også den Imaginære akse, og X-aksen den eelle akse. Tilsvarende med komplekse tal. Et komplekst tal kan angives med en vandret del og en lodret del. De kaldes hhv. den reelle del, og den imaginære del. Forkortes til e, og Im. En angivelse af et tal på den form kaldes Sumform. Som med vektorer kan tallet også angives med en længde og en vinkel. Denne form kaldes Polær. Altså afstanden ud til tallet, og vinklen i forhold til vandret mød højre! Den del af et komplekst tal, der er lodret angives med et j foran. I matematikkens verden benyttes i for den imaginære del af et tal, men i elektriske sammenhænge bruges i som formeltegn for strøm, og kan herved forveksles. Det er derfor normalt at bruge j. I komplekse tal findes definitionen, at j gange j = j. Eller som det må fremgå, j Med brug af komplekse tal er det derfor muligt at uddrage kvadratroden af et negativt tal!! Hvorfor er j = -? Af Valle Thorø Side af 3
2 Januar 5 Den komplekse vektor j kan også skrives som + j. Dvs. ud ad x-aksen, og opad Y- aksen. På polær form er + j = 9 j * j er altså lig (9) * (9).Dette er lig *(9 + 9 ) = 8. Som igen er lig + j =. Altså er j j For regneregler for komplekse tal, se sidst i kompendiet! Fasedrejning i modstande, kondensatorer og spoler: For at komme lidt ind på forståelsen af komplekse tal brugt på elektroniske komponenter, undersøges komponenterne, modstande, kondensatorer og spoler, først vektorielt. MODSTANDE. U og I er i fase. I modstande er strøm og spænding i fase. Dvs. at strømmen løber samtidigt med at der er en spænding over modstanden. Der er altså ingen faseforskydning. Modstanden er ren ohmsk, og kan udtrykkes ved = U / I. I et "venstre-roterende" koordinatsystem afbildes U og I vandret ud ad samme akse. Strømmen tegnes vandret mod højre! KONDENSATOE. En kondensators "modstand" kaldes EAKTANS. Den måles i Ohm, og er udtrykt ved formlen X C. Frekvensen indgår i ligningen, dvs. reaktansen er frekvensafhængig og fc omvendt proportional med frekvensen. I en kondensator er strømmen 9 grader før spændingen, og heraf fremgår også, at spændingen er efter strømmen. For en nærmere beskrivelse af hvorfor det er sådan, se speciel kompendium herom Af Valle Thorø Side af 3
3 Januar 5 Navnet "ELICE" bruges ofte som huskeregel. Omkring "C" er "I" før "E".( E burde egentlig være U, fordi vi bruger U som formeltegn for spænding! ). Man siger også, at reaktansen er "kapasitiv". Koordinatsystemet for vektorerne, der viser strøm og spænding ser således ud, idet strømmen er tegnet vandret: Ugen Vac Vdc V C n I [A] ELICE Uc Fi I Uc er 9 grader efter strømmen SPOLE. I en spole er strømmen 9 grader bagud i forhold til spændingen. Dvs. at U er før I. eaktansen kaldes "INDUKTIV", ikke ohmsk!!, og beregnes med X L f L. Enheden er Ohm. Ugen VOFF = VAMPL = FEQ = V L mh I [A] UL Fi I ELICE UL er 9 grader foran strømmen IL Af Valle Thorø Side 3 af 3
4 Januar 5 Simuleres med OCAD skal der sættes en lille modstand ind i serie med spolen, idet en ideel spole jo ikke har nogen trådviklingsmodstand, og strømmen i den kan derfor blive uendelig stor. En graf for strøm og spænding ses her: s 9.96s 9.97s 9.98s 9.99s.s V(UGEN) -I(L) Time På grafen ses, at U er 9 grader før I MODSTAND OG KONDENSATO I SEIE. Er der en modstand og en kondensator i serie, eller i parallel, vil den samlede impedans også være frekvensafhængig. Hermed vil der være en fasedrejning, der også er afhængig af frekvensen. Leddet kaldes også et C-led. Ethvert C-led har en overgangs-frekvens, kaldet f. Det er den frekvens, ved hvilken XC =. Forholdene kan ved en given frekvens tegnes i det roterende koordinatsystem. Strømmen må være ens i serieforbindelsen. Derfor afsættes den vandret. U er i fase med strømmen, og afsættes vandret. UC er 9 grader bagud, ( idet strømmen er forud ), altså afsættes den nedad. Af Valle Thorø Side 4 af 3
5 Januar 5 "fi" er vinklen mellem strøm og spænding. Spidsen af vektoren Z beskriver en cirkelbue fra lodret nedad til vandret mod højre når frekvensen går fra mod uendelig."fi" er 45 grader ved XC =, dvs. ved f. Den samlede "modstand", kaldes impedans, når den ikke er ren ohmsk. Den findes ved at addere de to vektorer "vektorielt", eller ved beregning: Z U U Z X C C eller Modstandstrekanten fremkommer ved at dividere spændingerne med strømmen. Trekanterne ligner altså hinanden hvad størrelsesforholdene angår. De er ligedannede! Af Z X C ses, at for f XC Z. Husk! X C f C Med værdierne = Kohm og C = nf fås følgende graf for Z, altså indgangsmodstanden Z X C Ugen V.M Vac Vdc V k C.M n (.8574K,.369K).Hz Hz Hz.KHz KHz V(UGEN) / I() Frequency Ved lave frekvenser er modstanden i kondensatoren meget stor. Ved meget høje frekvenser går Xc mod nul, og grafen må gå mod K. Modstandens værdi ændres jo ikke! MODSTAND OG SPOLE I SEIE. Af Valle Thorø Side 5 af 3
6 Januar 5 Ved en spole i serie med en modstand er strømmen I igen fælles, og afsættes vandret. U er i fase med I, og afsættes vandret. UL er foran strømmen, dvs. afsættes opad. Fasedrejningen "fi" er vinklen mellem strøm og spænding. Modstandstrekanten fremkommer ved at dividere spændingerne med strømmen, der jo er fælles. = U/I Vac Vdc Ugen V3 k L uh Det ses, at Z X L Idet X L f L findes, at for f XL Z Grafen for Z ser således ud:.5k Vac Vdc V Ugen V k L.K.5K mh (4.69,.K).K Hz Hz.KHz KHz KHz V(UGEN) / I() Frequency MODSTAND, KONDENSATO OG SPOLE I SEIE. Er der både en kondensator, en spole og en modstand i serie fås idet XL og XC er modsat rettede at: Z X X L C Af Valle Thorø Side 6 af 3
7 Januar 5 Ugen k Fasedrejningen "fi" er vinklen mellem strøm og spænding Ugen som også svarer til vinklen mellem Z og. Ved den frekvens, hvor XC = XL, ophæves de helt. De er jo modsat rettede, og den samlede modstand bliver så rent ohmsk. Vac Vdc V C n L uh Ved lave frekvenser er kondensatoren en stor modstand. Ved høje frekvenser er det spolen, der yder stor modstand: Ugen 8K Vac Vdc V k C n L mh 4K (.5744K,.K) Hz Hz KHz.MHz V(UGEN) / I() Frequency Af Valle Thorø Side 7 af 3
8 Januar 5 Brug af komplekse tal på modstande, kondensatorer og spoler. I ovenstående eksempler er brugt et roterende koordinatsystem, med en X-akse til ikke faseforskudte størrelser, dvs. reelle, og en Y-akse til de faseforskudte, ( kaldes imaginære = svært forståelige ) størrelser. Vektorer heri udtrykker størrelser og fasedrejning for et givet kredsløb ved en given frekvens. Kompleks e Vektorer: Fra venstre: Tilfældig vektor, der både består af en reel part og en imaginær part. I midten for kondensator og til højre vektoren for en spole. Ved matematisk beskrivelse af vektorerne bruges "j" foran de lodrette vektorer for at angive, at de er 9 grader foran eller bagud, dvs. i vores system opad eller nedad. Modstand: Kompleks fremstilling af vektoren for en modstand er : Z = + j "j", som udtales j nul, angiver, at modstanden ikke har en imaginær del, altså er ren ohmsk eller "reel". Altså er vektoren ud ad den normale talakse. Z bruges om Impedanser, eller Modstande, der ikke er rent ohmske. Kondensator: For kondensatorer fås, at impedansen Zc jxc j fc fc kan også skrives som C, ( omega * C ), så Zc j C eller Zc jc idet j j j jc jc j C C Af Valle Thorø Side 8 af 3
9 Januar 5 Bemærk j*j = -! Vektoren starter i origo, og minustegnet indikerer, at den går nedad. Spoler: Z L j L idet omega = *pi*f. Vektoren starter i origo, og går opad. EKSEMPEL Der ses i dette eksempel på en serieforbindelse af en modstand og en kondensator. Den samlede impedans "Z" er den vektorielle sum af vektoren "" og "XC" lodret nedad. Modstanden kan på kompleks form skrives som + j, og kondensatorens værdi som - jxc. Minusset angiver "nedad". Den samlede impedans Z bliver, idet "j" angiver de 9 graders drejning: Z C Vektoren Zin = ( + j ) + ( - jxc ). De reelle komposanter adderes for sig, og de imaginære adderes for sig, begge med fortegn. I øvrigt henvises til separat afsnit om regneregler. Her fås: Zin = - jxc. Dette angiver at vektoren Zin kan opløses i en projektion på x-aksen som er "" og en projektion på y-aksen der er XC lang i negativ, lodret retning. Længden af Z bliver vha Pythagoras : Z Xc Z C En graf kan tegnes for Z ved forskellige frekvenser. (frekvensen er variabel). Frekvensen indgår i omega. Fasedrejningen Inv-tan( XC/ ) eller på en anden skrivemåde "fi" = tg - (XC/) bliver : Af Valle Thorø Side 9 af 3 f
10 Januar 5 Im tg e eller tg Xc eller tg f C Eksempel på beregning af impedansen Z og fi. Eksempel med spændingsdeler: Flg. eksempel med en spændingsdeler, bestående af en modstand og en kondensator, et såkaldt "lavpas-led", vil være noget svær at overskue vha. vektorer. Men med en undersøgelse eller beregning vha. kompleks regning kan det lade sig gøre, omend mellemregningerne kan være svære at tolke. Først ses rent logisk, at ved høje frekvenser vil udgangen nærmest være kortsluttet, idet en kondensator er en lille modstand ved høje frekvenser. UOut er altså dæmpet ved høje frekvenser. Modsat har kondensatoren en meget stor modstand ved meget lave frekvenser, og dette fører til at kondensatoren ikke belaster eller "stjæler" ret meget af signalet ved lave frekvenser. UOut er altså næsten lig UIn ved lave frekvenser. Heraf navnet, LAVPASFILTE. Lave frekvenser passerer nærmest uhindret, og høje dæmpes. Dæmpningen af udgangen er altså frekvensafhængig. Man kan også opfatte kredsløbet som en forstærker, hvor forstærkningen dog er under gange. Kredsløb med C-led og skitse af dets boodeplot. Inddelingen på X-aksen er logaritmisk! På Y-aksen angives forstærkningen i db. Dvs. * Log ( Uout / Uin ) Af Valle Thorø Side af 3
11 Januar 5 Ser man logisk på kredsløbet, må der være en frekvens, hvor størrelsen af er lig størrelsen af Xc, idet Xc jo er frekvensafhængig. Det er jo en serieforbindelse, så strømmen er ens!! Derfor må spændingen over modstanden have samme størrelse som spændingen over C ved denne frekvens. Men de er jo vinkelrette på hinanden!!!! Og summen af dem må være lig den påtrykte spænding. Grafisk haves en ligesidet retvinklet trekant. Hypotenusen er den påtrykte spænding, og den må være lig Side Side. Eller med andre ord, spændingen over modstanden og kondensatoren er hver især,77 gange den påtrykte spænding.!! Frekvensen, hvor størrelsen af og Xc er ens, kan findes af: X C, f C, f C Undersøges et kredsløb med OCAD, findes følgende: Ugen Uc Til venstre ses et eksempel på et kredsløb. Vac Vdc V V k V+ V- C V n Graferne herunder viser spændingerne over modstanden, ( den blå, ) og over kondensatoren, den røde! Tilsammen er spændingerne lig den påtrykte spænding, Ugen..V.5V V.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz V(UGEN) V(UC) V(UGEN,UC) Frequency Bodeplot Af Valle Thorø Side af 3
12 Januar 5 Et Bodeplot, der viser kredsløbets "forstærkningen" i db ved forskellige frekvenser ser således ud: Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VDB(C:) Frequency En graf for fasedrejningen for udgangsspændingen ser således ud. d -5d -d.hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VP(C:) Frequency Ved knækfrekvensen er forstærkningen faldet 3 db, og fasedrejningen er 45 grader. Ved knækfrekvensen er X C Undersøgelse af kredsløbet vha. vektorer: Som det ses af diagrammet ovenover, tages udgangsspændingen UOut over kondensatoren. Fasedrejningen for udgangssignalet må altså være lig fasedrejningen over kondensatoren. Af Valle Thorø Side af 3
13 UC er bagud i forhold til UGen. Stiger frekvensen, bliver XC mindre, derfor også vektoren, og fasedrejning en stiger. Januar 5 UC er bagud i forhold til UGenerator. Vinklen "fi" på fasedrejningen, dvs. vinklen mellem Ugen og UOut beregnes: Tangens "fi" = Modstående Hosliggende = U U C = X C "fi" er følgelig tg X C Længden af XC ændres når frekvensen ændres. XC bliver meget kortere ved høje frekvenser. Det indses også af formlen til beregning af XC. X C. Frekvensen f optræder i fc nævneren. Altså bliver XC mindre ved stigende frekvens. Samtidig ses af tegningen ovenover, at fasedrejningen bliver meget større ved høje frekvenser, op mod 9 grader. Er XC og lige store, er "fi" = tg - (/) = 45 grader. Det sker ved f. Undersøgelse af kredsløbet vha. kompleks regning: Undersøges spændingsdeleren, eller lavpasleddet, med kompleks notation, fås, idet der ses på overføringsfunktionen for kredsløbet: ( spændingsdelerformlen ) Forstærkningen A` X C X C jc jc j C Af Valle Thorø Side 3 af 3
14 Januar 5 Man bør ikke have "j" i nævneren da det ikke er håndterlig. Ligningen forlænges derfor ved at gange i tæller og nævner med den kompleks konjugerede, dvs. den kompleks modsatte. A` jc jc jc jc j C j C j C De to midterste led i nævneren går ud. Nu optræder der et "j ", og der er det specielle ved det komplekse system, at j*j er lig -. Altså fås: A` jc C Dette er en sammensat ligning, hvor nogle af leddene, angivet med "j", er vinkelret på den reelle, vandrette akse. Ligningen opdeles nu i en vandret, dvs. reel del uden "j", og en imaginær, lodret del med "j" foran. Nævneren må være fælles. A` j C C C Længden af de vektorielt sammenlagte dele er: A` C C C Som er det samme som: A C C Dvs. grafen for et Bodeplot for kredsløbet kan tegnes som log A ' med f som variabel! Og fasedrejningen tg Im tg e C Obs: Idet nævneren er ens for den reelle del og den imaginære del, er det nok ved betragtning af fasevinklen at se på tællerne. Prøve: esultatet kan nu underkastes en prøve for at teste resultatet. Der undersøges først for frekvensen f gående mod nul, dvs. omega også går mod nul: Af Valle Thorø Side 4 af 3
15 Januar 5 A` A` tg tg Eller A tg Uout er altså ved meget lave frekvenser Uin ganget med Dvs. at Uout går imod Uin ganget med og "" grader fasedrejning. Det må også være resultatet af en logisk betragtning da kondensatoren ikke udgør en belastning ved frekvensen f gående mod.. Herefter undersøges for frekvensen f gående mod uendelig, dvs. omega også går mod uendelig: A` tg A 9 9 ` Uout er altså ved meget høje frekvenser Uin ganget med 9. Dvs. at Uout går imod Uin ganget med og "9" grader fasedrejning bagud. Outputamplituden går imod "", eller "kortsluttet" til stel, og fasedrejningen er -9 grader. For frekvensen gående mod f, dvs. knækfrekvensen i bodeplottet, eller den frekvens, hvor = Xc fås: Xc C Dette indsættes: C A` tg A` 45 Af Valle Thorø Side 5 af 3
16 Januar 5 A` A`, A` =,77 og fasedrejningen = 45 grader bagud ved knækfrekvensen. Flg. skitser viser sammenhængen mellem Bodeplot og graf for fasedrejningen: Ovenfor ses OCAD grafer, og igen herunder, med andre komponentværdier: Eksempel: Spændingsdeler: Vac Vdc V k C 5n Uout Hvis viste kredsløb bygges op, og der foretages en række målinger og beregninger ved forskellige frekvenser kan følgende måleskema udfyldes, og på baggrund af denne tegnes en graf for kredsløbet. Ønskes at tegne en graf for et specifikt elektronisk system, kan der foretages en række målinger ved forskellige frekvenser. esultaterne kan placeres i et måleskema, og der kan efterfølgende tegnes en graf: Måleskema: Frekvens Forstærkning A`i db "fi" Af Valle Thorø Side 6 af 3
17 A` Januar 5 Med OCAD fås følgende grafer for hhv. forstærkningen i db og fasedrejningen. (48.63,-3.443) -5 SEL>> -5 d Vdb(UOUT) (48.63,-45.) -5d -d.hz Hz Hz.KHz KHz VP(Uout) Frequency Med Cursorerne blev punkterne 3 db og 45 graders fasedrejning markeret. Ved knækfrekvensen er forstærkningen faldet til -3 db. db udregnes som * Log(Uout/Uin) I knækket er udgangsspændingen faldet til,77 gange Uin. Hvis indgangssignalet sættes til Volt, fås: A,77 Log 3 OPAMP- forstærker-kobling. Af Valle Thorø Side 7 af 3
18 Januar 5 Eksempel med inverterende OP-AMP-forstærker med modstand parallel med kondensator i modkoblings-grenen. C Vac Vdc Uin V m - U OUT + OPAMP Uout Gnd Forstærkningen A` = - m X C ( m Parallel med XC )/ ( Leddene regnes som komplekse vektorer ) Parallelforbindelsen findes ved at gange de to og dividere med deres sum. A` m j C m j C I tæller ganges for oven og neden med j C m jc j C m jc j C A` m j Cm m jcm Der ganges med kompleks konjungerede Af Valle Thorø Side 8 af 3
19 Januar 5 m A` jcm jcm jcm A` m jcm Cm Dette opdeles i længde og vinkel: ( Polær form! ) A` m Cm Cm tg Cm Det minus, der står foran udtrykket, kan tolkes som en fasedrejning på 8 grader. Derfor kan ovenstående også skrives: A` m Cm Cm tg 8 Cm Bodeplot graf for forstærkningen kan findes af log A' Prøve: Der undersøges først for frekvensen f gående mod nul, dvs. omega også går mod nul: A` m tg 8 m m A` 8 A` 8 Ved lave frekvenser findes altså, som forventet, at forstærkningen er m divideret med, og fasedrejningen er 8 grader. Undersøges for frekvensen gående mod uendelig, dvs. at omega også går mod uendelig, fås: m A` tg 8 Af Valle Thorø Side 9 af 3
20 Januar 5 m m A` A` Altså A` 9 Ved høje frekvenser findes altså, igen som forventet, at forstærkningen er faldet meget. XC er jo meget lille, og fasedrejningen er 9 grader forud. Anvendes for ovenstående op-amp-forstærkerkredsløb flg. værdier, fås følgende graf: m = 47 Kohm, = Kohm, C = 47 pf 4 SEL>> -4 8d Vdb( UOUT) 9d d Hz Hz.KHz KHz KHz VP(Uout) Frequency Øverste vises Bodeplot for forstærkningen. Nederste graf viser fasedrejningen. Den starter i 8 grader og ender ved ca. KHz ved 9 grader. ( For endnu højere frekvenser er der indflydelse fra fejl i operationsforstærkeren. ) Af Valle Thorø Side af 3
21 Januar 5 Inverterende forstærker igen: Kredsløbet ser nu således ud! C n k U Uin k - + OUT Uout OPAMP Overføringsfunktionen: A' Xc Nævneren ganges med jc A' jc jc A' jc jc A' A' c c tg Minus tegnet kan opfattes som en fasevinkel på8 grader. Så der fås: A' c c tg 8 Test: A' 8 8 A' 8 tg Af Valle Thorø Side af
22 Januar 5 Bode Plot: Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VDB(Uout) Frequency Og fasedrejningen: 8d 6d 4d d d 8d.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz 36+VP(Uout) Frequency I knækket haves: Af Valle Thorø Side af 3
23 Januar 5 3 db : Xc c A' c c tg A' 45 Non inverting amplifier: Kredsløbet er følgende: U Uin Vac Vdc V + - OUT Uout VDB OPAMP m 47k C 47p k 4 3.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VDB(Uout) Frequency Det ses, at for højere frekvenser går A mod db, som er lig en forstærkning på gange. Tæller Dette ses også af overføringsfunktionen: A Tælleren er lig 47 K parallel med Nævner 47 pf, og Nævneren er lig K. Af Valle Thorø Side 3 af 3
24 Januar 5 Tælleren bliver ganske vist mindre ved højere frekvenser pga. at kondensatorens mindre impedans kortslutter modstanden, men der er jo stadig et-tallet. Fasegrafen ser således ud: -d -d -4d -6d -8d.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VP(Uout) Frequency Båndpas forstærker: U Nu monteres der en kondensator C i kredsløbet, som vist herunder. Den vil optræde i nævneren i overføringsfunktionen. Uin Vac Vdc V + OUT - OPAMP Uout m k C 47p k C u Bode Plot: Af Valle Thorø Side 4 af 3
25 Januar (5.57,43.77) (.5849K,43.748) 4 (66.4,46.795) 3 (4.783m,6.65) mhz mhz.hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz MHz VDB(Uout) Frequency Fasedrejningen er mere kompleks, pga. flere kondensatorer i kredsløbet. d 5d d -5d -d mhz mhz.hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz MHz VP(Uout) Frequency Givet følgende kredsløb: Af Valle Thorø Side 5 af 3
26 Januar 5 C 3 U - OUT + OPAMP Der kan opstilles følgende overføringsfunktion: X C A Dette er lig med: 3 A C C X X 3 A` 3 jc jc, der kan ordnes til: A C 3 j j C ( ) A c tg C C C 3 tg Ligning () kunne også omdannes, ved at gange med Omega C i tæller og nævner!! C C C 3 C C A tg tg To komplekse tal divideres med hinanden ved at dividere de reelle dele, og subtrahere vinklerne!! Graferne for bodeplot kan plottes, ved at plotte * log(a ) på en logaritmisk X-akse. Af Valle Thorø Side 6 af 3
27 Januar 5 Her er et eksempel på et kredsløb med værdier : C n 56k 3 U 8k Vac Vdc V 5k - OUT + OPAMP VDB Og Bodeplot for det: 5 5.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VDB(:) Frequency Det ses, at ved høje frekvenser vil kondensatoren kortslutte, og tælleren være de to modstande i parallel. Derfor er forstærkningen lavere ved høje frekvenser!! Og fasen!! Af Valle Thorø Side 7 af 3
28 Januar 5 8d 7d 6d 5d.Hz Hz Hz.KHz KHz KHz.MHz VP(:) Frequency egneregler for komplekse tal!! Først gennemgås her regnereglerne for komplekse tal. Vektorer i det komplekse plan kan beskrives på to måder. På rektangulær eller polær form. På rektangulær form angiver man længden ud ad x-aksen og højden op ad eller ned ad den imaginære akse. På polær form angiver man en vektors længde fra origo (, ) og en retning i form af vektorens vinkel til x-aksen. egnereglerne er forskellige for de to former. De illustreres med bogstav-eksempler og derefter regneeksempler med tal. Vi tænker os, at følgende vektorer, kaldet K, L og M, eksisterer: K a jb, L c jd, M e jf Ved tal-eksempler anvendes: K 3 j4 L j3 og på polær form ( se senere om omregning ): Af Valle Thorø Side 8 af 3
29 Januar 5 K 5533, L 3, 656, 3 ( Udtales: K = 5 vinkel 53,3 ) ADDITION Addition af komplekse vektorer foregår på rektangulær form. Summen af K og L er: K L a jb c jd De reelle dele adderes for sig, og de imaginære for sig med fortegn. K L a c j b d K M a e j b f Et tal-eksempel: K L j j j SUBTAKTION Subtraktion af komplekse vektorer foregår også på rektangulær form. Differencen mellem K og L er: K L a jb c jd a c jb d eelle dele subtraheres for sig og imaginære dele for sig. Tal-eksempel: K L 3 j4 j3 3 j 4 3 j Addition og subtraktion svarer til at addere og subtrahere vektorer. MULTIPLIKATION Multiplikation af komplekse vektorer foregår enten på rektangulær eller polær form. ektangulær form: Af Valle Thorø Side 9 af 3
30 Januar 5 komplekse tal på rektangulær form multipliceres med hinanden så hvert led multipliceres med de andre led, ialt 4 "dele" bliver det til., K a jb L c jd K L a c jad jbc jjbd j*j er -, så derfor fås K L ac bd jad bc Tal-eksempel: K L 3 j4 j3 3 j 33 j 4 43 K L 6 j7 Polær form: Følgende vektorer findes: O ab, P cd Vektorerne O og P ganges på polær form ved at gange de reelle dele og addere vinklerne. O P ab cd a cb d Tal-eksempel: K 553, 3 L 3, 656, , 3 3, 6 56, 3 K L K L 53, 6 53, 3 56, 3 8, 39, 44 Omregnes til rektangulær form, fås når den polære vektor opløses i komposanter på den reelle og imaginære akse ( x og y-akse ): j K L 8, 3 cos 9, 44 8, 3 sin 9, 44 K L 6 j7 Af Valle Thorø Side 3 af 3
31 Januar 5 DIVISION ektangulær form: Division på rektangulær form er noget besværligt. Enten omregnes det komplekse tal til polær form, som ovenfor, eller der bruges en omskrivning af udtrykket vha. "den kompleks konjugerede". Herved kan der i stedet anvendes multiplikation. Den kompleks konjugerede er det komplekse tal spejlet i X-aksen., K a jb L c jd K L a jb c jd ( c + jd ) i nævner omdannes ved at der ganges med den kompleks konjungerede i tæller og nævner. K L a jb c jd c jdc jd ac jad jbc jjbd cc jcd jcd jjdd K L ac bd jbc ad c d Dette opdeles til brøkstreger: K L ac bd c d j bc ad c d Tal-eksempel: K L 3 j4 j3 3 j4 j j j jj j3 j3 4 j6 j6 jj9 K L 8 j j 3 Division på polær form: Af Valle Thorø Side 3 af 3
32 Januar 5 På polær form udføres division ved at dividere de reelle dele og subtrahere vinklerne. O ab, P cd O P a b d c Tal-eksempel: K 553, 3 L 3, 656, 3 K L 5 53, , 3 56, 3, 38 3, 8 3, 6 56, 3 3, 6 Omregning fra rektangulær til polær: Vektoren K a jb omregnes til længde og vinkel: K a b tg b a For taleksemplet findes: K 3 4 tg 4 553, 3 grader. 3 Og tilbage igen, idet vektorens projektion på den reelle og imaginær-akse findes: j K 5 cos 53, 3 5 sin 53, 3 K 5, 6 j5, 8 3 j4 Af Valle Thorø Side 3 af 3
Komplekse tal i elektronik
3/-8 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger,
Læs mereFasedrejning og komplekse tal i elektronik Version
9/-8 KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger, og hvis ohmske værdier afhænger
Læs mereNoter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant
Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er
Læs mereFasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.
Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers
Læs mereFasedrejning i RC / CR led og betragtninger vedrørende spoler
Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers frekvensafhængighed,
Læs mereAnalog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %
A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del
Læs mereOperationsforstærkere
OPamps 1/12215 Kompendium / noter til: Operationsforstærkere Links til afsnit: Generelt, Splitsupply, Impedanskonverter, Delta_Ui_Fejl, Noninverting_Amp, Inverting_Amp, Summationsforstærker, Single_Supply,
Læs mereFiltre. Passive filtre har ikke forstærkende led, som fx operationsforstærkere.
8/5 Filtre bruges til at fremhæve eller dæmpe nogle frekvenser. Dvs. man kan fx få kraftigere diskant, fremhæve lave toner Passive filtre Passive filtre har ikke forstærkende led, som fx operationsforstærkere.
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Kondensatorens faseforskydning: En kondensator består alene af ideel reaktiv del (X C ),
Læs mereThevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0.
Maskeligninger: Givet følgende kredsløb: 22Vdc 1,5k 1Vdc Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med. I maskerne er der sat en strøm på. Retningen er tilfældig
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereProjekt. Analog Effektforstærker.
Projekt. Analog Effektforstærker. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn Udarbejdet i perioden: 7/0-03 /-03 Vejledere:
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereAf: Valle Thorø Fil.: Oscilloscopet Side 1 af 10
Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger forklares i det følgende.: Blokdiagram for
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mereELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER
EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt
Læs mere3 Overføringsfunktion
1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereJ-fet. Kompendium om J-FET
J-fet 27/8-215 Kompendium om J-FET FET transistorer Generelt Fet-transistorer er opbygget helt anderledes end bipolar transistorerne. Her er det ikke en basisstrøm, der styrer ledeevnen gennem transistoren,
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs meredb og Bodeplot Når man arbejder med forstærkere, skelnes mellem Effektforstærkning, - og Spændingsforstærkning.
db, Decibel Når man arbejder med forstærkere, skelnes mellem Effektforstærkning, - og Spændingsforstærkning. Hvis et forstærkersystem består af 3 trin forstærkere, der forstærker hhv. 57, 78 og 29 gange,
Læs mereComputer- og El-teknik A 6. semester BAR Version 03.17
Sallen-Key Filter som impedanser Et sallen-key filter består af både modstande og kondensatorer, placeret alt efter hvilken konfiguration man ønsker (højpas, lavpas eller båndpas, men som grundlag kan
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereProjekt. HF-forstærker.
Projekt. HF-forstærker. Rapport. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Brian Schmidt, Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn. Udarbejdet i perioden:
Læs mereThevenin / mayer-norton Redigeret
6/12217 Thevenin eller MayerNortonomformninger er en måde, at omregne et kredsløb, så det fx bliver lettere at overskue. Maskeligninger: Først ses her lidt på traditionel løsning af et kredsløb: Givet
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs meretil undervisning eller kommercielt brug er Kopiering samt anvendelse af prøvetryk
Frembringelse af vekselstrøm Når en ledersløjfe drejes i et homogent (ensartet) magnetfelt, opstår der i ledersløjfen en sinusformet vekselspænding. Denne ændrer under drejningen ikke kun sin størrelse,
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereØvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.
ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereOrcad DC Sweep & Parametrsk analyse
Dette kompendium beskriver forskellige simulationsmåder, ved hvilke, der er mulighed for at få ORCAD til at foretage gentagne simuleringer med varierende komponentværdier. Ved at gennemgå forskellige eksempler,
Læs mereFrederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen
Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereAntennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse?
Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Det faktum, at lyset har en endelig hastighed er en forudsætning for at en antenne udstråler, og at den har en ohmsk udstrålingsmodstand. Den
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereUge Emne Formål Faglige mål Evaluering
Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig
Læs mereMODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber
1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereUgeopdelte Hjemmeopgaver
Dette er en samling af opgaver opdelt på uger. Vær opmærksom på, at der kan være flere sider pr uge! Uge 5 Nul R 5,k a). I = m[a] R = 5, K[Ω] Find U og den afsatte effekt, P b). U R U = V, R =,5 K, Find
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere1 v out. v in. out 2 = R 2
EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereEDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus. Afsnit 9-9B-10. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand
Afsnit 9-9B-10 EDR Frederikssund Afdelings Joakim Soya OZ1DUG Formand 1 Opgaver fra sidste gang Pico, nano, micro, milli,, kilo, mega Farvekode for modstande og kondensatorer. 10 k 10 k m A Modstanden
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereProjekt Modtager. Kapitel 2. Klasse D.
Projekt Modtager. Kapitel. Klasse D. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn Udarbejdet i perioden: /9-3 3/-3 Vejledere:
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereImpedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L
Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,
Læs mereSamtaleanlæg Projekt.
Projekt: Beskrivelse: I større bygninger kan det være praktisk med et samtaleanlæg, så der kan kommunikeres over større afstande. Det kan fx. være mellem stuehuset og stalden på en landbrugsejendom, eller
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereEn forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.
1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereElektronikken bag medicinsk måleudstyr
Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Måling af svage elektriske signaler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 2 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling...
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs merepraktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær
praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereErhvervsakademiet Fyn Signalbehandling Aktivt lavpas filter Chebyshev Filter
Erhvervsaademiet Fyn Signalbehandling Ativt lavpas filter --3 Chebyshev Filter Udarbejdet af: Klaus Jørgensen & Morten From Jacobsen. It- og Eletronitenolog, Erhvervsaademiet Fyn Udarbejdet i perioden:
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs meretil undervisning eller kommercielt brug er Kopiering samt anvendelse af prøvetryk El-Fagets Uddannelsesnævn
Flerfaset belastning 3-faset vekselstrøm Mindre belastninger tilsluttes normalt 230 V, hvorimod større belastninger, for at begrænse strømmen mest muligt, tilsluttes 2 eller 3 faser med eller uden nul.
Læs mereEl-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4
El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.
Læs mereUnityskolen Årsplan for Matematik Team 2 (3.-4. klasse)
Klasse: Team 2 (3.- 4.klasse) Fag: Matematik Lærer: Nawal Tayibi Lektioner pr. uge:? Antal elever:? Uge Forløb Færdigheds- og vidensmål Læringsmål 33 introuge 34-37 Addition og subtraktion Tal og algebra
Læs mereStrømforsyning +/- 12V serieregulator og 5V Switch mode
Udarbejdet af: +/- 12V serieregulator og 5V Switch mode Side 1 af 15 Udarbejdet af: Komponentliste. B1: 4 stk. LN4007 1A/1000V diode D1: RGP30D diode Fast Recovery 150nS - 500nS, 3A 200V C1 C3 og C4: 100nF
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE
ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereBasal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:
Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 4 og 5 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer af selvstudium med
Læs mere