Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild"

Transkript

1 Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

2 Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild 1. udgave 2004 Sats og Typografi: Preben Blæsild & Lars Madsen Sat med LATEX 2ε i palatino med pazo og computer modern matematikfonte. Figur 2.1 og Figur 2.3 er lavet i Excel.

3 INDHOLD 1 Indledning 1 2 Lidt sandsynlighedsteori Notation fra mængdelæren Definition af sandsynlighedsmål Regneregler for sandsynligheder Optælling af antal delmængder Stokastiske variable Middelværdi Lotteri 20 4 Væddemål Oddset Kombination af væddemål Systemspil Hestevæddemål Beregning af præmier Eksempler Spillerens dilemma Facitliste til alle opgaver 42 Referencer 48 Indeks 49

4 FORORD I standardforsøget for matematik på den matematiske linje i gymnasiet er det obligatoriske pensum reduceret med ca. 30%, så ca 1/3 af undervisningstiden kan og skal bruges på valgfrie emner. På B-niveau og A3-niveau skal der bruges mindst 15 timer på emner inden for sandsynlighedsregning og statistik. Hæftet skal ses som forslag til ét valgfrit emneforløb i sandsynlighedsregning. Med udgangspunkt i nogle få velkendte spil introduceres de begreber fra sandsynlighedsregningen, der gør det muligt præcist at besvare relevante spørgsmål vedrørende disse spil såsom Hvad er chancen for at vinde? og Hvor stor er den forventede gevinst? Hæftet er en introduktion til nogle få af de basale begreber i sandsynlighedsregningen, såsom sandsynlighedsmål på endelige mængder, uafhængighed, stokastiske variable og middelværdi af stokastiske variable. Det er tilstræbt at benytte en præcis matematisk formulering ved definitionen og anvendelserne af disse begreber. Hæftet omtaler altså blot nogle få begreber fra sandsynlighedsregningen; på samme måde er hæftet langtfra udtømmende i omtalen af forskellige spil. En mere omfattende mængde af populære spil i Danmark betragtes i Andersen (1998), som har været én af inspirationskilderne til hæftet. I Kapitel 1 introduceres de spil, der regnes på senere i hæftet. Foruden et lotteri drejer det sig om følgende spil, som Dansk Tipstjeneste udbyder: JOKER, LOTTO, Tips 12, Tips 13 og Den Lange. Kapitel 2 starter med den notation fra mængdelæren, der er nødvendig i forbindelse med definitionen af et sandsynlighedsmål og formuleringen af regneregler for sandsynligheder senere i kapitlet. Endvidere indføres stokastiske variable og middelværdier af disse. Kapitel 3 vedrører lotterier og i Kapitel 4 omtales væddemål og relaterede emner, såsom kombination af væddemål og systemspil. Endelig vedrører Kapitel 5 beregning af præmier. I slutningen af Kapitel 2 5 er der opgaver. En facitliste til disse opgaver findes bagest i hæftet på side 42. En liste med matematiske symboler findes i begyndelsen af Indeks på side 49. I hæftet benyttesêogùhenholdsvis før og efter eksempler. Definitioner og sætninger afsluttes med og beviser med. Endelig bruges i forbindelse med formulering af opgaver. Da matematiske it-kompetencer kan være en integreret del af valgfrie emneforløbene i standardforsøget, er der lavet regneark i Excel, som udfører beregningerne i hæftets eksempler og opgaver. Disse kan hentes på internettet på adressen: I forbindelse med udarbejdelse af eksempler og opgaver vil jeg gerne takke for hjælp fra Tom Helligsøe fra Sponsorudvalget i I.F. Lyseng Fodbold, Peter Hunsbal og Karl Skytte fra Totalisatoren på Jydsk Væddeløbsbane, Rolf Laugesen, Dantoto og Morten Sørensen, Dansk Tipstjeneste. Desuden tak til Lars Bo Kristensen, Tørring Gymnasium, for hans kommentarer til hæftet. ii

5 INDHOLD III Hæftet er skrevet i LATEX med velvillig og særdeles kompetent hjælp fra Lars Madsen, som også har lavet hæftets layout. Aarhus, januar Preben Blæsild

6

7 1 INDLEDNING Mennesker har altid været fascineret af at spille, det vil sige, at risikere en indsats på at en bestemt hændelse indtræffer for at opnå en gevinst, hvis hændelsen indtræffer. I forbindelse med ethvert spil er spørgsmål som Hvad er chancen for at vinde? og Hvor stor er den forventede gevinst? interessante. Spørgsmål af denne art var inspirationskilden til sandsynlighedsregningen, som er den matematiske disciplin, der beskæftiger sig med teorien for tilfældige hændelser. Udviklingen af sandsynlighedsregningen startede for alvor i begyndelsen af 1500-tallet og skyldes specielt italieneren Cardano. Vi vil ikke her komme nærmere ind på sandsynlighedsregningens historie, men blot henvise interesserede læsere til Hoffmann-Jørgensen (1994) og referencer heri. I nogle situationer er spillet dog så ukompliceret, at de to ovenstående spørgsmål kan besvares ved ganske almindelig regning. Dette er tilfældet i ÊEksempel 1.1 Et lotteri, hvortil der er n = 160 lodsedler a p L = 20 kr. per lod, har følgende præmier: Præmie antal værdi i kr. 1 1 Luxus håndbruser Jakke Skakspil Legetøj Gavekort Tøj Gavekort Børnerygsæk Gavekort glas Rødvin 50 Tabel 1.1: Listen over præmier i et lotteri. Der er altså 11 forskellige præmier, og da der er 2 fjerde præmier og 3 elvte præmier, er det samlede antal præmier a = 14. De 160 lodsedler har samme chance for at vinde, så chancen for en præmie på en bestemt lodseddel er a n = = Den samlede værdier af præmierne eller arrangørernes udgift til lotteriet er u = 3780 kr. Den gennemsnitlige værdi i kr. af præmien per lod er således u n = =

8 2 INDLEDNING Hvis vi herfra trækker prisen for et lod, får vi den gennemsnitlige gevinst i kr. per lod, som altså er u n p L = = Den gennemsnitlige gevinst per lod er altså positiv, hvilket er højst usædvanligt i et lotteri. Dette afspejler sig også ved, at arrangørens fortjeneste i kr., som er indtægten fra de 160 lodder a 20 kr. minus udgiften, det vil sige np L u = = 580, er negativ. Lotteriet blev afholdt i forbindelse med fodboldklubben I.F. Lyseng s hjemmekamp i Jyllandsserien mod Randers Freja den 9. juni Ved hver af klubbens 13 Ù hjemmekampe arrangeres et tilsvarende lotteri for klubbens 160 målaktionærer. Hver aktionær betaler 50 kr. i indskud og 5 kr. per mål, som klubben scorer i turneringen. Vi har her antaget, at hver aktionær betaler 260 kr. årligt. Prisen for at deltage i lotteriet er derfor 20 kr. per hjemmekamp. Forklaringen på det usædvanlige lotteri er, at alle præmierne er sponsoreret af forskellige firmaer, så klubben reelt ingen udgifter har til lotteriet. Andre spil er mere komplicerede. Vi skal senere beregne chancen for at vinde i de følgende tre eksempler: ÊEksempel 1.2 Et jokertal er et syvcifret tal, hvor hvert ciffer er et af tallene 0, 1,..., 9. Spiller man JOKER er antallet af rigtige på en række lig med antallet af cifre fra højre mod venstre, der stemmer overens med jokertallet. Er jokertallet for eksempel og man har tallet er der fire rigtige. Har man derimod tallet har man ingen rigtige. Ù I JOKER, der kun kan spilles sammen med andre af Dansk Tipstjenestes spil som LOTTO, Tips 12, Tips 13 for eksempel, udbetales der præmier til rækker med 7, 6, 5, 4, 3 og 2 rigtige. ÊEksempel 1.3 En række i LOTTO består af 7 af de første 36 hele positive tal. Der udtrækkes 7 vindertal og 2 tillægstal og der udbetales præmier til rækker med 7 vindertal, 6 vindertal + 1 tillægstal, 6 vindertal, 5 vindertal og 4 vindertal. Ù ÊEksempel 1.4 Spillet Tips 12 hos Dansk Tipstjeneste går ud på at tippe om hver af de 12 fodboldkampe på tipskuponen resulterer i henholdsvis hjemmesejr (1), uafgjort ( ) eller udesejr (2). I Tabel 1.2 ses en udfyldt række på tipskuponen i uge 31 i Der udbetales præmie til rækker med 12, 11 og 10 rigtige. Tipstjenesten har et tilsvarende spil Tips 13 med 13 kampe på tipskuponen, hvor der er præmie til rækker med 13, 12, 11 og 10 rigtige. I forbindelse med væddemål udtrykkes præmiens størrelse ofte ved hjælp af odds. I Kapitel 4 diskuteres sammenhængen mellem odds og chancen for at vinde med udgangspunkt i

9 INDLEDNING 3 1. AB AaB AGF FC Nordsjælland Frem Brøndby Herfølge FC Midtjylland Viborg Esbjerg HFK Sønderjylland Randers FC.. 7. Horsens Brønshøj Køge Vejle Silkeborg B Skjold Fremad Amager Ølstykke Nykøbing F All Hvidovre Næstved Tabel 1.2: En udfyldt række på tipskuponen i uge 31 i ÊEksempel 1.5 I Tabel 1.3 er vist de odds Dansk Tipstjeneste tilbød i spillet Den Lange for de seks kampe i den næstsidste runde (18. juni 2003) af SAS-Ligaen 2002/03.Ù Kamp 1 2 AaB FC Midtjylland AB Farum AGF Esbjerg Brøndby FC København OB Silkeborg Viborg Køge Tabel 1.3: Odds for de seks kampe i næstsidste runde af SAS-ligaen 2002/03.

10 2 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI I sandsynlighedsteorien udtrykkes chancen for at hændelser, det vil sige mængder af tilfældige udfald, indtræffer ved hjælp af sandsynligheder. De spil, vi betragter her, har et endeligt antal udfald, så i de teoretiske overvejelser kan vi nøjes med at betragte et endeligt udfaldsrum E, det vil sige en mængde E, som har et endeligt antal elementer. En hændelse A er en delmængde af E, som siges at indtræffe, hvis udfaldet e af spillet tilhører mængden A. Et sandsynlighedsmål P på E er en funktion, som til enhver hændelse A knytter et tal P(A), sandsynligheden for A. For at give en præcis definition af et sandsynlighedsmål i Afsnit 2.2 og vise regnereglerne for sandsynligheder i Afsnit 2.3 er det nødvendigt at kende den notation fra mængdelæren, som er gengivet i Afsnit 2.1. I eksemplerne beregnes sandsynligheden P(A) ofte som antallet af elementer i A, #A, divideret med antallet af elementer i E, #E. I Afsnit 2.4 diskuteres, hvorledes disse antal kan bestemmes i forskellige situationer. I Afsnit 2.5 introduceres stokastiske variable, som er funktioner defineret på udfaldsrummet E med værdier på den reelle akse, som blandt andet er nyttige, når vi skal finde den forventede gevinst i et spil. Denne størrelse udtrykkes ved hjælp af middelværdien af en stokastisk variabel, som defineres og eksemplificeres i Afsnit 2.6. Endelig er der opgaver i slutningen af kapitlet. 2.1 Notation fra mængdelæren Hvis A og E er to mængder, er A en delmængde af E og vi bruger notationen A E, hvis alle elementer i A også er elementer i E, det vil sige e A e E. De følgende fire definitioner er illustreret i Figur 2.1 på side 5. Hvis A E, er komplementærmængden til A (inden for E) mængden af elementer i E som ikke tilhører A, A C = {e E e / A}. Hvis A og B er delmængder af E, er foreningsmængden af A og B mængden af elementer i E som tilhører enten A eller B, A B = {e E e A eller e B}, fællesmængden af A og B er mængden af elementer i E som tilhører både A og B, A B = {e E e A og e B}, og mængdedifferensen mellem A og B er mængden af elementer i A som ikke tilhører B, A \ B = {e A e / B} = A B C. 4

11 2.1. NOTATION FRA MÆNGDELÆREN 5 E A E B E A A komplementær E A B A forenet med B E A B A fælles med B E A B A fraregnet B Figur 2.1: Illustration af følgende delmængder af E: Øverst mængderne A og B. I midten A C (A komplementær) og A B (A forenet med B). Nederst A B (A fælles med B) og A \ B (A fraregnet B).

12 6 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Foreningsmængden af n delmængder A 1, A 2..., A n af E er mængden A 1 A n = {e E e A i for mindst et i = 1..., n} og fællesmængden af A 1, A 2..., A n er mængden A 1 A n = {e E e A i for alle i = 1..., n}. (Hvis for eksempel E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, A 1 = { 1, 2, 3 }, A 2 = { 2, 3, 4 } og A 3 = { 3, 4, 5 }, så er A 1 A 2 A 3 = { 1, 2, 3, 4, 5 } og A 1 A 2 A 3 = { 3 }.) Den tomme mængde er mængden uden elementer. Den opfattes som en delmængde af enhver anden mængde. To delmængder A og B af E siges at være disjunkte, hvis A B =, og elementerne i en følge af delmængder, A 1, A 2,..., A n, siges at være parvis disjunkte, hvis A i A j =, hvis i = j, i, j = 1, 2,..., n, det vil sige, hvis det for alle par A i og A j af mængder med forskellige indeks gælder, at A i og A j er disjunkte. 2.2 Definition af sandsynlighedsmål Et sandsynlighedsmål P på et endeligt udfaldsrum E er en funktion, der til en delmængde A af mængden E tilordner et tal P(A), som ligger i intervallet [0, 1]. Funktionen skal opfylde to betingelser som angivet i Definition 2.1 Et sandsynlighedsmål P på udfaldsrummet E er en funktion der opfylder to betingelser: (1) P(E) = 1. P : E A P(A) [0, 1], (2) Hvis A 1,..., A n er parvis disjunkte mængder, A i A j =, i = j, så er P(A 1 A n ) = P(A 1 ) + + P(A n ). (2.1) Elementer i E omtales som udfald og delmængder A af E som hændelser. En hændelse A indtræffer, hvis e A, det vil sige, hvis udfaldet e er i mængden A.

13 2.3. REGNEREGLER FOR SANDSYNLIGHEDER Regneregler for sandsynligheder Ud fra Definition 2.1 kan man vise en række af regneregler for sandsynlighedsmål. I sætningen nedenfor gengives de regneregler, vi har brug for. Sætning 2.1 Hvis P er et sandsynlighedsmål på E og A og B er hændelser gælder der: P( ) = 0. (2.2) P(A \ B) = P(A) P(B), hvis A B. (2.3) P(A C ) = 1 P(A). (2.4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). (2.5) Bevis Hvis A B er A foreningsmængden af de to disjunkte mængder A \ B og B, det vil sige, A = (A \ B) B. Benytter vi (2.1) med n = 2, A 1 = A \ B og A 2 = B, får vi at P(A) = P(A \ B) + P(B), hvoraf (2.3) følger. Formel (2.4) er et specialtilfælde af (2.3), idet A C = E \ A og P(E) = 1. Sætter vi A og B i formel (2.3) lig med henholdsvis E og A, finder vi P(A C ) = P(E \ A) = P(E) P(A) = 1 P(A). Da = E C, fås (2.2) af (2.4), idet P( ) = P(E C ) = 1 P(E) = 0. For at vise (2.5) bemærker vi at formlen A B = (A \ (A B)) (B \ (A B)) (A B) giver en opdeling af A B i tre disjunkte hændelser. Ved hjælp af (2.1) med i = 3 og (2.3), finder vi P(A B) = P(A \ (A B)) + P(B \ (A B)) + P(A B) = (P(A) P(A B)) + (P(B) P(A B)) + P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), hvilket er formel (2.5). ÊEksempel 2.1 Hvis udfaldsrummet E er en endelig mængde med #E elementer, er der i alt 2 #E delmængder af E, se Opgave 2.3 på side 17. Det kan let vises, at funktionen P, som til enhver delmængde A af E tilordner tallet P(A) = #A #E, (2.6)

14 8 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Ù er et sandsynlighedsmål, som kaldes det uniforme sandsynlighedsmål på E. Sandsynligheden for en delmængde A er altså blot antallet af elementer i A divideret med antallet af elementer i E, specielt gælder der, at alle elementer e i E har samme sandsylighed, nemlig P({e}) = 1 #E, e E. ÊEksempel 2.2 Antag at vi kaster en rød og en blå terning samtidigt. Udfaldsrummet E, det vil sige de mulige udfald, kan beskrives som E = {(r, b) r, b = 1, 2,..., 6}, hvor r antallet af øjne den røde terning viser og b er antallet af øjne den blå terning viser, se Figur 2.2. Antag, at vi betragter det uniforme sandsynlighedsmål på E, defineret i Eksempel 2.1. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Figur 2.2: Udfaldsrummet for kast med en rød og en blå terning. Lad A betegne hændelsen at de to terninger viser samme antal øjne, det vil sige A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),(4, 4), (5, 5),(6, 6)}, så ifølge (2.6) er P(A) = #A/#E = 6/36 = 1/6. Hvis B betegner hændelsen at de to terninger viser et forskelligt antal øjne, er B = A C og ved hjælp af (2.4) finder vi P(B) = P(A C ) = 1 P(A) = 1 1/6 = 5/6.

15 2.4. OPTÆLLING AF ANTAL DELMÆNGDER 9 Lad C betegne hændelsen at mindst en af de to terninger viser seks øjne. Sandsynligheden P(C) kan beregnes ved hjælp af formel (2.6), idet #C = 11, men for at illustrere regnereglerne for sandsynligheder lader vi C r og C b betegne hændelserne at henholdsvis den røde og den blå terning viser seks øjne, det vil sige at C r = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),(6, 5), (6, 6)} og C b = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6),(5, 6), (6, 6)}. Da C = C r C b og C r C b = {(6, 6)}, finder vi ved hjælp af (2.5) at P(C) = P(C r C b ) = P(C r ) + P(C b ) P(C r C b ) = 6/36 + 6/36 1/36 = 11/36. Lad D betegne hændelsen at præcis én af de to terninger viser seks øjne. Da D = C \ (C r C b ) og C C r C b Ù, får vi fra (2.3) at P(D) = P(C \ (C r C b )) = P(C) P(C r C b ) = 11/36 1/36 = 10/36, samme resultat, som vi ville have fået ved hjælp af (2.6), idet #D = Optælling af antal delmængder Når man i en konkret situation skal beregne sandsynligheder som antal gunstige divideret med antal mulige, det vil sige ved hjælp af formel (2.6), er det vigtigt at kende visse regler til bestemmelse af disse antal. Ofte er situationen den, at vi vælger x elementer ud blandt n, hvor n og x er hele positive tal. Ved bestemmelsen af antallet af måder, vi kan vælge x elementer blandt n elementer, er det vigtigt af skelne mellem om rækkefølgen af de x elementer er væsentlig eller ej. Rækkefølgen af de x elementer er væsentlig (a) Hvis gengangere blandt de x elementer er tilladt, er antallet af måder, vi kan vælge x elementer ud blandt n elementer, n i x te, n x = n n n, (2.7) det vil sige n ganget med sig selv x gange, fordi vi i hvert af de x valg har n muligheder. (b) Hvis gengangere blandt de x elementer ikke er tilladt, betegnes antallet af måder, vi kan vælge x elementer ud blandt n, med n (x), n i x rund.

16 10 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Hvis x n er n (x) = n (n 1) (n x + 2) (n x + 1), (2.8) fordi vi har n muligheder når det første af de x elementer skal vælges, n 1 muligheder når det andet af de x elementer skal vælges osv. Når det næstsidste af de x elementer skal vælges, har vi allerede valgt x 2 og har n x + 2 muligheder tilbage, og når det sidste skal vælges, har vi allerede valgt x 1 og har n x 1 muligheder tilbage. Hvis x > n er n (x) = 0 og per definition sættes n (0) = 1. (2.9) Tallet n (x) omtales ofte som antallet af permutationer af x elementer, der kan vælges blandt n elementer. Tallet n (n) betegnes sædvanligvis n!, n fakultet, det vil sige n! = n (n 1) 2 1, (2.10) og det angiver antallet af permutationer af de n elementer, det vil sige antallet af forskellige rækkefølger af de n elementer. Per definition sættes 0! = 1. (2.11) ÊEksempel 1.2 (fortsat) I JOKER er de 7 cifres rækkefølge væsentlig. Endvidere kan hvert af de 10 tal 0, 1,..., 9 optræde mere end én gang. Antallet af mulige jokertal er derfor 10 7 = (Antallet af jokertal hvor de 7 cifre er forskellige er 10 (7) = ) For at beregne sandsynligheden for præcis x rigtige, finder vi antallet af rækker med præcis x rigtige. Hvis x = 0, stemmer sidste ciffer ikke overens med jokertallet, hvilket kan ske på 9 måder, mens de øvrige 6 cifre kan være tilfældige, så antallet af rækker med x = 0 rigtige er Hvis x = 1,..., 6, skal de sidste x cifre være rigtige, hvilket kun kan ske på én måde; desuden skal ciffer x + 1 fra højre være forkert, hvilket kan ske på 9 måder; endelig kan de resterende 7 (x + 1) = 6 x cifre vælges tilfældigt, hvilket kan ske på 10 6 x måder; antallet af rækker med x rigtige er derfor x Ù, x = 0, 1,..., 6. Endelig er der kun en måde hvorpå x = 7, og ved hjælp af (2.6) på side 7 finder vi derfor, at sandsynligheden for x rigtige er { x hvis x = 0, 1,..., 6 P(x rigtige ) = 10 7 (2.12) hvis x = 7.

17 2.4. OPTÆLLING AF ANTAL DELMÆNGDER 11 Rækkefølgen af de x elementer er uvæsentlig Antallet af måder vi kan vælge x elementer blandt n elementer, når rækkefølgen af de x elementer er uden betydning og gengangere ikke er tilladt, betegnes ( ) n x. Der gælder, at ( ) n = x n! x! (n x)!, (2.13) hvis x n. Dette kan indses således: Hvis vi for hver af de ( ) n x måder at udtage x elementer blandt de n først betragter alle permutationer af de x elementer og dernæst alle permutationer af de resterende n x elementer, så får vi alle permutationer af alle n elementer, det vil sige ( ) n n! = x! (n x)!, x hvilket er det samme som (2.13). Hvis x > n er ( ) n x = 0, og per definition sættes ( ) n = 1. (2.14) 0 Tallet i (2.13) omtales ofte som antallet af kombinationer af x elementer udvalgt blandt n elementer. I Opgave 2.1 vises følgende formler for disse antal: ( ) ( ) n n =, (2.15) n x x og rekusionsformlerne ( ) n + 1 = x ( ) n = n(x) x x! (2.16) ( ) ( ) n n +, x = 1,..., n, (2.17) x x 1 som viser, hvorledes antallene for n + 1 elementer kan beregnes, hvis man kender antallene for n elementer. Ifølge (2.14) og (2.15) er ( ) ( n+1 0 = n+1 ) ( n+1 = 1. Tallene nx ) præsenteres ofte i Pascals trekant, se Tabel 2.1, og formel (2.17) viser, hvorledes tallene i det (n + 1) te række i trekanten kan beregnes ud fra tallene i det n te række. Bemærkning 2.1 Tallet ( ) n x omtales også som en binomial koefficient. Det skyldes, at tallene optræder som koefficienter i udtrykket for en to-leddet (binomiel) størrelse opløftet til en heltallig potens. Mere præcist vises det i Opgave 2.2, at (a + b) n = ( n 0 ) a 0 b n ( n x n x=0 ) a x b n x + + ( n n ) a n b n n. Ved hjælp af summationstegnet skrives formlen ofte kort på følgende måde ( n (a + b) n = x ) a x b n x. (2.18)

18 12 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI n ( ) n x Tabel 2.1: De syv første rækker i Pascals trekant. I rækken nummereret med n findes tallene ( n 0 ), ( n1 ),..., ( nx ),..., ( nn ). Bemærk, at ifølge (2.17) kan ( nx ) beregnes ved at addere de to nærmeste tal i rækken ovenfor. ÊEksempel 1.3 (fortsat) I LOTTO er rækkefølgen af de 7 tal, der vælges blandt de første 36 hele positive tal, ikke væsentlig. Antallet af mulige lottorækker er derfor ( ) 36 = Antallet af rækker med x rigtige vindertal er ( 7 x )( 29 7 x), det vil sige antallet af måder hvorpå de x rigtige kan vælges blandt de 7 vindertal ganget med antallet af måder hvorpå de resterende 7 x numre på rækken kan vælges blandt de 29 numre, som ikke er vindertal. Formel (2.6) på side 7 giver derfor følgende sandsynligheder: ( )( ) 7 29 x 7 x P(x rigtige vindertal) = ( ), x = 0, 1,..., 7. (2.19) 36 7 Ù På tilsvarende måde vises det i Opgave 2.9, at for x = 0, 1,..., 7 og y = 0, 1, 2 så x + y 7 er ( )( )( ) x y 7 (x + y) P(x rigtige vindertal og y rigtige tillægstal ) = ( ). (2.20) 36 7 Beregninger Størrelserne n x, n (x), n! og ( n x ) kan beregnes på langt de fleste lommeregnere. I regnearket Excel kan størrelserne beregnes ved hjælp af funktionerne POTENS, PERMUT,

19 2.5. STOKASTISKE VARIABLE 13 FAKULTET og KOMBIN, idet n x = POTENS(n;x) n! = FAKULTET(n) n (x) = PERMUT(n;x) ( ) n = KOMBIN(n; x) x 2.5 Stokastiske variable En stokastisk variabel er som tidligere nævnt en funktion defineret på udfaldsrummet E med værdier på den reelle akse R, det vil sige en forskrift som til ethvert udfald tilordner et reelt tal. Ofte kan hændelser, det vil sige delmængder A af E, karakteriseres ved hjælp af sådanne funktioner. For eksempel svarer hændelsen { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } i Eksempel 2.2 på side 8 således til at funktionen S, der angiver summen af øjnene på de to terninger, har værdien 5, det vil sige { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } = { S = 5 }. En vigtig stokastisk variabel i forbindelse med spil er funktionen som til et givet udfald tilordner den tilsvarende gevinst. Ù ÊEksempel 2.3 Antag, at vi betaler 2 kr. for at deltage i et spil med én terning. Hvis terningen viser et ulige antal øjne, taber vi de 2 kr. Hvis terningen viser et lige antal øjne, får vi udbetalt lige så mange kr. som antal øjne terningen viser minus indsatsen på de 2 kr. Gevinsten, det vil sige det beløb vi får udbetalt, kan beskrives ved hjælp af følgende funktion X defineret på udfaldsrummet E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } : udfald e gevinst X(e) Vi antager i det følgende, at der er givet et sandsynlighedsmål P på udfaldsrummet E. Definition 2.2 En stokastisk variabel X er en funktion, som er defineret på udfaldsrummet E og som antager værdier på den reelle akse R, det vil sige X : E R e X(e). (2.21) Da E er en endelig mængde, er værdimængden Vm(X) for X en endelig delmængde af R. For x Vm(X) skriver vi kort X = x for hændelsen { e X(e) = x}, så P(X = x) = P({e X(e) = x}) = P({e}). (2.22) e:x(e)=x Selv om værdien X(e) af den stokastiske variable X ikke er kendt, før vi kender udfaldet e, kan fordelingen af X, det vil sige sandsynligheden for de forskellige værdier af X, beregnes ved hjælp af sandsynlighedsmålet P, inden vi kender udfaldet e. Dette gøres ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen for X, som defineres således:

20 14 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Definition 2.3 Lad X være en stokastisk variabel med værdimængde Vm(X). Funktionen kaldes sandsynlighedsfunktionen for X. f X : Vm(X) [0, 1] (2.23) x f X (x) = P(X = x) ÊEksempel 2.3 (fortsat) Vi betragter det uniforme sandsynlighedsmål på udfaldsrummet E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Sandsynlighedsfunktionen for gevinsten X i terningespillet er: fordi, for eksempel, x f X (x) 1/2 1/6 1/6 1/6 f X ( 2) = P(X = 2) = P({ 1, 3, 5 }) = 3/6 = 1/2 og f X (0) = P(X = 0) = P({ 2 }) = 1/6. u ÊEksempel 2.2 (fortsat) Når vi kaster en rød og en blå terning samtidigt, er udfaldsrummet E = {(r, b) r, b = 1, 2,..., 6}, hvor r og b er antallet af øjne som henholdsvis den røde og den blå terning viser. Den stokastiske variabel, der angiver summen af øjnene på de to terninger, er S(r, b) = r + b med værdimængde Vm(S) = {2, 3,..., 11, 12}. Hændelsen {S = 5} består af udfaldene {(1, 4), (2, 3), (3, 2),(4, 1)}, og betragter vi det uniforme sandsynlighedsmål på E, er f S Ù (5) = P(S = 5) = 4/36 = 1/9. På samme måde vises det, at sandsynlighedsfunktionen for S er bestemt ved s f S (s) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 Funktionen er vist i Figur 2.3, som er lavet i Excel. Bemærkning 2.2 Af tabellen ovenfor ses, at f S (s) = P(S = s) = 1. s=2 s=2

21 2.6. MIDDELVÆRDI 15 sandsynlighedsfunktionen for S P(S=s) 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, s Figur 2.3: Sandsynlighedsfunktionen for den stokastiske variabel S, der angiver summen af øjnene på den røde og blå terning. For en vilkårlig stokastisk variabel gælder der tilsvarende, at P(X = x) = 1, (2.24) x Vm(X) hvilket indses således: Udfaldsrummet E er foreningsmængden af de disjunkte mængder { e X(e) = x} som er indiceret ved x Vm(X). (Af Figur 2.2 på side 8 ses, at i Eksempel 2.2 ovenfor er udfaldsrummet E en foreningsmængde af de disjunkte mængder {(r, b) r + b = 2}, {(r, b) r + b = 3},..., {(r, b) r + b = 11}, {(r, b) r + b = 12}.) Da P(E) = 1, fås ved hjælp af (2.22) at 1 = P({e}) = e E x Vm(X) P({e}) = e:x(e)=x P(X = x). x Vm(X) 2.6 Middelværdi I anvendelser er man ofte ikke interesseret i den nøjagtige fordeling for X, men derimod i visse størrelser der beskriver vigtige egenskaber ved fordelingen. Disse er ofte givet som et tal, der bestemmes ud fra fordelingen. En sådan er middelværdien af X, der defineres således:

22 16 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Definition 2.4 Lad X være en stokastisk variabel med værdimangde Vm(X) og sandsynlighedsfunktion f X. Middelværdien EX af X er tallet EX = x f X (x) = xp(x = x), (2.25) x Vm(X) x Vm(X) det vil sige summen over alle mulige værdier x af X ganget med sandsynligheden for at X antager værdien x. Bemærkning 2.3 Brugen af bogstavet E i forbindelse med middelværdien EX stammer fra engelsk, hvor middelværdien ofte omtales som Expected value. Forhåbentlig giver det ikke anledning til misforståelser, at vi her også bruger E til at betegne udfaldsrummet med. Bemærkning 2.4 Ved hjælp af (2.24) kan vi omskrive (2.25) til EX = xp(x = x) x Vm(X) P(X = x) x Vm(X) som viser, at middelværdien EX er et tal, der ligger central i fordelingen af X, da den er en vægtet sum af de forskellige værdier x af X med vægte P(X = x). Et par vigtige regneregler for middelværdier findes i Sætning 2.2, som vises i Opgave 2.5. Sætning 2.2 Lad X og Y være stokastiske variable og lad a og b være reelle tal. Da gælder: E(a + bx) = a + bex (2.26) og Ù E(X + Y) = EX + EY. (2.27) ÊEksempel 2.3 (fortsat) Ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen f X (x) for gevinsten X i tabellen på side 14 og formel (2.25) fås, at middelværdien af X er EX = 2 1/ / / /6 = 0. Ù ÊEksempel 2.2 (fortsat) Ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen for S, summen af øjnene på de to terninger, i tabellen på side 14 og formel (2.25) finder vi, at middelværdien for S er 12 ES = s f S (s) = = 7. s=2,

23 2.6. MIDDELVÆRDI 17 ÊEksempel 1.2 (fortsat) Hvis X betegner den stokastiske variabel, der angiver antallet af rigtige på en JOKER række, er sandsynlighedsfunktion f X Ù for X givet i (2.12) på side 10 og det kan vises, at middelværdien af X er EX = (2.28) ÊEksempel 1.3 (fortsat) Hvis X betegner den stokastiske variabel, der angiver antallet af rigtige vindertal på en LOTTO række, er sandsynlighedsfunktion f X Ù for X givet i (2.19) på side 12, og det kan vises, at EX = 7 7 = , (2.29) 36 se Opgave 2.9. Opgaver Opgave 2.1 Vis formlerne (2.15), (2.16) og (2.17). Opgave 2.2 Vis formel (2.18). Opgave 2.3 Vis ved hjælp af (2.18), at antallet af delmængder af en mængde med n elementer er 2 n. Opgave 2.4 Et fodboldhold består som bekendt af 11 spillere, én målmand, et antal forsvarsspillere, et antal midtbanespillere og et antal angribere. Forskellige spilsystemer er opkaldt efter fastsættelsen af de tre sidstnævnte antal. For eksempel har et hold, der spiller efter systemet, 3 forsvarspillere, 5 midtbanespillere og 2 angribere. Til EM-kvalifikationskampen mod Norge 7. juni 2003 udtog landstræner Morten Olsen 20. maj en bruttotrup på 27 spillere bestående af 3 målmænd, 8 forsvarspillere, 7 midtbanespillere og 9 angribere. Antag, at Morten Olsen ønsker en startopstilling efter systemet. 1 På hvor mange måder kan han udtage målmanden? 2 På hvor mange måder kan han udtage de 3 forsvarsspillere? 3 På hvor mange måder kan han udtage de 5 midtbanespillere? 4 På hvor mange måder kan han udtage de 2 angribere? 5 På hvor mange måder kan han udtage de 11 spillere i startopstillingen? Alternative systemer er 4-4-2, det mere offensive system og det mere defensive system. 6 Besvar spørgsmålet i 5 for hvert af disse tre systemer. Senere blev endelige trup til kampen udtaget. Den bestod af 2 målmænd, 6 forsvarspillere, 7 midtbanespillere og 6 angribere, ialt 21 spillere. 7 Besvar spørgsmålet i 5 for denne trup og Morten Olsens foretrukne system,

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

matematik grundbog trin 2 preben bernitt

matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog 2 3. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-29-9 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel

Læs mere

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år : 1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 92%

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler

Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik.

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere