Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild"

Transkript

1 Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

2 Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild 1. udgave 2004 Sats og Typografi: Preben Blæsild & Lars Madsen Sat med LATEX 2ε i palatino med pazo og computer modern matematikfonte. Figur 2.1 og Figur 2.3 er lavet i Excel.

3 INDHOLD 1 Indledning 1 2 Lidt sandsynlighedsteori Notation fra mængdelæren Definition af sandsynlighedsmål Regneregler for sandsynligheder Optælling af antal delmængder Stokastiske variable Middelværdi Lotteri 20 4 Væddemål Oddset Kombination af væddemål Systemspil Hestevæddemål Beregning af præmier Eksempler Spillerens dilemma Facitliste til alle opgaver 42 Referencer 48 Indeks 49

4 FORORD I standardforsøget for matematik på den matematiske linje i gymnasiet er det obligatoriske pensum reduceret med ca. 30%, så ca 1/3 af undervisningstiden kan og skal bruges på valgfrie emner. På B-niveau og A3-niveau skal der bruges mindst 15 timer på emner inden for sandsynlighedsregning og statistik. Hæftet skal ses som forslag til ét valgfrit emneforløb i sandsynlighedsregning. Med udgangspunkt i nogle få velkendte spil introduceres de begreber fra sandsynlighedsregningen, der gør det muligt præcist at besvare relevante spørgsmål vedrørende disse spil såsom Hvad er chancen for at vinde? og Hvor stor er den forventede gevinst? Hæftet er en introduktion til nogle få af de basale begreber i sandsynlighedsregningen, såsom sandsynlighedsmål på endelige mængder, uafhængighed, stokastiske variable og middelværdi af stokastiske variable. Det er tilstræbt at benytte en præcis matematisk formulering ved definitionen og anvendelserne af disse begreber. Hæftet omtaler altså blot nogle få begreber fra sandsynlighedsregningen; på samme måde er hæftet langtfra udtømmende i omtalen af forskellige spil. En mere omfattende mængde af populære spil i Danmark betragtes i Andersen (1998), som har været én af inspirationskilderne til hæftet. I Kapitel 1 introduceres de spil, der regnes på senere i hæftet. Foruden et lotteri drejer det sig om følgende spil, som Dansk Tipstjeneste udbyder: JOKER, LOTTO, Tips 12, Tips 13 og Den Lange. Kapitel 2 starter med den notation fra mængdelæren, der er nødvendig i forbindelse med definitionen af et sandsynlighedsmål og formuleringen af regneregler for sandsynligheder senere i kapitlet. Endvidere indføres stokastiske variable og middelværdier af disse. Kapitel 3 vedrører lotterier og i Kapitel 4 omtales væddemål og relaterede emner, såsom kombination af væddemål og systemspil. Endelig vedrører Kapitel 5 beregning af præmier. I slutningen af Kapitel 2 5 er der opgaver. En facitliste til disse opgaver findes bagest i hæftet på side 42. En liste med matematiske symboler findes i begyndelsen af Indeks på side 49. I hæftet benyttesêogùhenholdsvis før og efter eksempler. Definitioner og sætninger afsluttes med og beviser med. Endelig bruges i forbindelse med formulering af opgaver. Da matematiske it-kompetencer kan være en integreret del af valgfrie emneforløbene i standardforsøget, er der lavet regneark i Excel, som udfører beregningerne i hæftets eksempler og opgaver. Disse kan hentes på internettet på adressen: I forbindelse med udarbejdelse af eksempler og opgaver vil jeg gerne takke for hjælp fra Tom Helligsøe fra Sponsorudvalget i I.F. Lyseng Fodbold, Peter Hunsbal og Karl Skytte fra Totalisatoren på Jydsk Væddeløbsbane, Rolf Laugesen, Dantoto og Morten Sørensen, Dansk Tipstjeneste. Desuden tak til Lars Bo Kristensen, Tørring Gymnasium, for hans kommentarer til hæftet. ii

5 INDHOLD III Hæftet er skrevet i LATEX med velvillig og særdeles kompetent hjælp fra Lars Madsen, som også har lavet hæftets layout. Aarhus, januar Preben Blæsild

6

7 1 INDLEDNING Mennesker har altid været fascineret af at spille, det vil sige, at risikere en indsats på at en bestemt hændelse indtræffer for at opnå en gevinst, hvis hændelsen indtræffer. I forbindelse med ethvert spil er spørgsmål som Hvad er chancen for at vinde? og Hvor stor er den forventede gevinst? interessante. Spørgsmål af denne art var inspirationskilden til sandsynlighedsregningen, som er den matematiske disciplin, der beskæftiger sig med teorien for tilfældige hændelser. Udviklingen af sandsynlighedsregningen startede for alvor i begyndelsen af 1500-tallet og skyldes specielt italieneren Cardano. Vi vil ikke her komme nærmere ind på sandsynlighedsregningens historie, men blot henvise interesserede læsere til Hoffmann-Jørgensen (1994) og referencer heri. I nogle situationer er spillet dog så ukompliceret, at de to ovenstående spørgsmål kan besvares ved ganske almindelig regning. Dette er tilfældet i ÊEksempel 1.1 Et lotteri, hvortil der er n = 160 lodsedler a p L = 20 kr. per lod, har følgende præmier: Præmie antal værdi i kr. 1 1 Luxus håndbruser Jakke Skakspil Legetøj Gavekort Tøj Gavekort Børnerygsæk Gavekort glas Rødvin 50 Tabel 1.1: Listen over præmier i et lotteri. Der er altså 11 forskellige præmier, og da der er 2 fjerde præmier og 3 elvte præmier, er det samlede antal præmier a = 14. De 160 lodsedler har samme chance for at vinde, så chancen for en præmie på en bestemt lodseddel er a n = = Den samlede værdier af præmierne eller arrangørernes udgift til lotteriet er u = 3780 kr. Den gennemsnitlige værdi i kr. af præmien per lod er således u n = =

8 2 INDLEDNING Hvis vi herfra trækker prisen for et lod, får vi den gennemsnitlige gevinst i kr. per lod, som altså er u n p L = = Den gennemsnitlige gevinst per lod er altså positiv, hvilket er højst usædvanligt i et lotteri. Dette afspejler sig også ved, at arrangørens fortjeneste i kr., som er indtægten fra de 160 lodder a 20 kr. minus udgiften, det vil sige np L u = = 580, er negativ. Lotteriet blev afholdt i forbindelse med fodboldklubben I.F. Lyseng s hjemmekamp i Jyllandsserien mod Randers Freja den 9. juni Ved hver af klubbens 13 Ù hjemmekampe arrangeres et tilsvarende lotteri for klubbens 160 målaktionærer. Hver aktionær betaler 50 kr. i indskud og 5 kr. per mål, som klubben scorer i turneringen. Vi har her antaget, at hver aktionær betaler 260 kr. årligt. Prisen for at deltage i lotteriet er derfor 20 kr. per hjemmekamp. Forklaringen på det usædvanlige lotteri er, at alle præmierne er sponsoreret af forskellige firmaer, så klubben reelt ingen udgifter har til lotteriet. Andre spil er mere komplicerede. Vi skal senere beregne chancen for at vinde i de følgende tre eksempler: ÊEksempel 1.2 Et jokertal er et syvcifret tal, hvor hvert ciffer er et af tallene 0, 1,..., 9. Spiller man JOKER er antallet af rigtige på en række lig med antallet af cifre fra højre mod venstre, der stemmer overens med jokertallet. Er jokertallet for eksempel og man har tallet er der fire rigtige. Har man derimod tallet har man ingen rigtige. Ù I JOKER, der kun kan spilles sammen med andre af Dansk Tipstjenestes spil som LOTTO, Tips 12, Tips 13 for eksempel, udbetales der præmier til rækker med 7, 6, 5, 4, 3 og 2 rigtige. ÊEksempel 1.3 En række i LOTTO består af 7 af de første 36 hele positive tal. Der udtrækkes 7 vindertal og 2 tillægstal og der udbetales præmier til rækker med 7 vindertal, 6 vindertal + 1 tillægstal, 6 vindertal, 5 vindertal og 4 vindertal. Ù ÊEksempel 1.4 Spillet Tips 12 hos Dansk Tipstjeneste går ud på at tippe om hver af de 12 fodboldkampe på tipskuponen resulterer i henholdsvis hjemmesejr (1), uafgjort ( ) eller udesejr (2). I Tabel 1.2 ses en udfyldt række på tipskuponen i uge 31 i Der udbetales præmie til rækker med 12, 11 og 10 rigtige. Tipstjenesten har et tilsvarende spil Tips 13 med 13 kampe på tipskuponen, hvor der er præmie til rækker med 13, 12, 11 og 10 rigtige. I forbindelse med væddemål udtrykkes præmiens størrelse ofte ved hjælp af odds. I Kapitel 4 diskuteres sammenhængen mellem odds og chancen for at vinde med udgangspunkt i

9 INDLEDNING 3 1. AB AaB AGF FC Nordsjælland Frem Brøndby Herfølge FC Midtjylland Viborg Esbjerg HFK Sønderjylland Randers FC.. 7. Horsens Brønshøj Køge Vejle Silkeborg B Skjold Fremad Amager Ølstykke Nykøbing F All Hvidovre Næstved Tabel 1.2: En udfyldt række på tipskuponen i uge 31 i ÊEksempel 1.5 I Tabel 1.3 er vist de odds Dansk Tipstjeneste tilbød i spillet Den Lange for de seks kampe i den næstsidste runde (18. juni 2003) af SAS-Ligaen 2002/03.Ù Kamp 1 2 AaB FC Midtjylland AB Farum AGF Esbjerg Brøndby FC København OB Silkeborg Viborg Køge Tabel 1.3: Odds for de seks kampe i næstsidste runde af SAS-ligaen 2002/03.

10 2 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI I sandsynlighedsteorien udtrykkes chancen for at hændelser, det vil sige mængder af tilfældige udfald, indtræffer ved hjælp af sandsynligheder. De spil, vi betragter her, har et endeligt antal udfald, så i de teoretiske overvejelser kan vi nøjes med at betragte et endeligt udfaldsrum E, det vil sige en mængde E, som har et endeligt antal elementer. En hændelse A er en delmængde af E, som siges at indtræffe, hvis udfaldet e af spillet tilhører mængden A. Et sandsynlighedsmål P på E er en funktion, som til enhver hændelse A knytter et tal P(A), sandsynligheden for A. For at give en præcis definition af et sandsynlighedsmål i Afsnit 2.2 og vise regnereglerne for sandsynligheder i Afsnit 2.3 er det nødvendigt at kende den notation fra mængdelæren, som er gengivet i Afsnit 2.1. I eksemplerne beregnes sandsynligheden P(A) ofte som antallet af elementer i A, #A, divideret med antallet af elementer i E, #E. I Afsnit 2.4 diskuteres, hvorledes disse antal kan bestemmes i forskellige situationer. I Afsnit 2.5 introduceres stokastiske variable, som er funktioner defineret på udfaldsrummet E med værdier på den reelle akse, som blandt andet er nyttige, når vi skal finde den forventede gevinst i et spil. Denne størrelse udtrykkes ved hjælp af middelværdien af en stokastisk variabel, som defineres og eksemplificeres i Afsnit 2.6. Endelig er der opgaver i slutningen af kapitlet. 2.1 Notation fra mængdelæren Hvis A og E er to mængder, er A en delmængde af E og vi bruger notationen A E, hvis alle elementer i A også er elementer i E, det vil sige e A e E. De følgende fire definitioner er illustreret i Figur 2.1 på side 5. Hvis A E, er komplementærmængden til A (inden for E) mængden af elementer i E som ikke tilhører A, A C = {e E e / A}. Hvis A og B er delmængder af E, er foreningsmængden af A og B mængden af elementer i E som tilhører enten A eller B, A B = {e E e A eller e B}, fællesmængden af A og B er mængden af elementer i E som tilhører både A og B, A B = {e E e A og e B}, og mængdedifferensen mellem A og B er mængden af elementer i A som ikke tilhører B, A \ B = {e A e / B} = A B C. 4

11 2.1. NOTATION FRA MÆNGDELÆREN 5 E A E B E A A komplementær E A B A forenet med B E A B A fælles med B E A B A fraregnet B Figur 2.1: Illustration af følgende delmængder af E: Øverst mængderne A og B. I midten A C (A komplementær) og A B (A forenet med B). Nederst A B (A fælles med B) og A \ B (A fraregnet B).

12 6 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Foreningsmængden af n delmængder A 1, A 2..., A n af E er mængden A 1 A n = {e E e A i for mindst et i = 1..., n} og fællesmængden af A 1, A 2..., A n er mængden A 1 A n = {e E e A i for alle i = 1..., n}. (Hvis for eksempel E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, A 1 = { 1, 2, 3 }, A 2 = { 2, 3, 4 } og A 3 = { 3, 4, 5 }, så er A 1 A 2 A 3 = { 1, 2, 3, 4, 5 } og A 1 A 2 A 3 = { 3 }.) Den tomme mængde er mængden uden elementer. Den opfattes som en delmængde af enhver anden mængde. To delmængder A og B af E siges at være disjunkte, hvis A B =, og elementerne i en følge af delmængder, A 1, A 2,..., A n, siges at være parvis disjunkte, hvis A i A j =, hvis i = j, i, j = 1, 2,..., n, det vil sige, hvis det for alle par A i og A j af mængder med forskellige indeks gælder, at A i og A j er disjunkte. 2.2 Definition af sandsynlighedsmål Et sandsynlighedsmål P på et endeligt udfaldsrum E er en funktion, der til en delmængde A af mængden E tilordner et tal P(A), som ligger i intervallet [0, 1]. Funktionen skal opfylde to betingelser som angivet i Definition 2.1 Et sandsynlighedsmål P på udfaldsrummet E er en funktion der opfylder to betingelser: (1) P(E) = 1. P : E A P(A) [0, 1], (2) Hvis A 1,..., A n er parvis disjunkte mængder, A i A j =, i = j, så er P(A 1 A n ) = P(A 1 ) + + P(A n ). (2.1) Elementer i E omtales som udfald og delmængder A af E som hændelser. En hændelse A indtræffer, hvis e A, det vil sige, hvis udfaldet e er i mængden A.

13 2.3. REGNEREGLER FOR SANDSYNLIGHEDER Regneregler for sandsynligheder Ud fra Definition 2.1 kan man vise en række af regneregler for sandsynlighedsmål. I sætningen nedenfor gengives de regneregler, vi har brug for. Sætning 2.1 Hvis P er et sandsynlighedsmål på E og A og B er hændelser gælder der: P( ) = 0. (2.2) P(A \ B) = P(A) P(B), hvis A B. (2.3) P(A C ) = 1 P(A). (2.4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). (2.5) Bevis Hvis A B er A foreningsmængden af de to disjunkte mængder A \ B og B, det vil sige, A = (A \ B) B. Benytter vi (2.1) med n = 2, A 1 = A \ B og A 2 = B, får vi at P(A) = P(A \ B) + P(B), hvoraf (2.3) følger. Formel (2.4) er et specialtilfælde af (2.3), idet A C = E \ A og P(E) = 1. Sætter vi A og B i formel (2.3) lig med henholdsvis E og A, finder vi P(A C ) = P(E \ A) = P(E) P(A) = 1 P(A). Da = E C, fås (2.2) af (2.4), idet P( ) = P(E C ) = 1 P(E) = 0. For at vise (2.5) bemærker vi at formlen A B = (A \ (A B)) (B \ (A B)) (A B) giver en opdeling af A B i tre disjunkte hændelser. Ved hjælp af (2.1) med i = 3 og (2.3), finder vi P(A B) = P(A \ (A B)) + P(B \ (A B)) + P(A B) = (P(A) P(A B)) + (P(B) P(A B)) + P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), hvilket er formel (2.5). ÊEksempel 2.1 Hvis udfaldsrummet E er en endelig mængde med #E elementer, er der i alt 2 #E delmængder af E, se Opgave 2.3 på side 17. Det kan let vises, at funktionen P, som til enhver delmængde A af E tilordner tallet P(A) = #A #E, (2.6)

14 8 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Ù er et sandsynlighedsmål, som kaldes det uniforme sandsynlighedsmål på E. Sandsynligheden for en delmængde A er altså blot antallet af elementer i A divideret med antallet af elementer i E, specielt gælder der, at alle elementer e i E har samme sandsylighed, nemlig P({e}) = 1 #E, e E. ÊEksempel 2.2 Antag at vi kaster en rød og en blå terning samtidigt. Udfaldsrummet E, det vil sige de mulige udfald, kan beskrives som E = {(r, b) r, b = 1, 2,..., 6}, hvor r antallet af øjne den røde terning viser og b er antallet af øjne den blå terning viser, se Figur 2.2. Antag, at vi betragter det uniforme sandsynlighedsmål på E, defineret i Eksempel 2.1. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Figur 2.2: Udfaldsrummet for kast med en rød og en blå terning. Lad A betegne hændelsen at de to terninger viser samme antal øjne, det vil sige A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),(4, 4), (5, 5),(6, 6)}, så ifølge (2.6) er P(A) = #A/#E = 6/36 = 1/6. Hvis B betegner hændelsen at de to terninger viser et forskelligt antal øjne, er B = A C og ved hjælp af (2.4) finder vi P(B) = P(A C ) = 1 P(A) = 1 1/6 = 5/6.

15 2.4. OPTÆLLING AF ANTAL DELMÆNGDER 9 Lad C betegne hændelsen at mindst en af de to terninger viser seks øjne. Sandsynligheden P(C) kan beregnes ved hjælp af formel (2.6), idet #C = 11, men for at illustrere regnereglerne for sandsynligheder lader vi C r og C b betegne hændelserne at henholdsvis den røde og den blå terning viser seks øjne, det vil sige at C r = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),(6, 5), (6, 6)} og C b = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6),(5, 6), (6, 6)}. Da C = C r C b og C r C b = {(6, 6)}, finder vi ved hjælp af (2.5) at P(C) = P(C r C b ) = P(C r ) + P(C b ) P(C r C b ) = 6/36 + 6/36 1/36 = 11/36. Lad D betegne hændelsen at præcis én af de to terninger viser seks øjne. Da D = C \ (C r C b ) og C C r C b Ù, får vi fra (2.3) at P(D) = P(C \ (C r C b )) = P(C) P(C r C b ) = 11/36 1/36 = 10/36, samme resultat, som vi ville have fået ved hjælp af (2.6), idet #D = Optælling af antal delmængder Når man i en konkret situation skal beregne sandsynligheder som antal gunstige divideret med antal mulige, det vil sige ved hjælp af formel (2.6), er det vigtigt at kende visse regler til bestemmelse af disse antal. Ofte er situationen den, at vi vælger x elementer ud blandt n, hvor n og x er hele positive tal. Ved bestemmelsen af antallet af måder, vi kan vælge x elementer blandt n elementer, er det vigtigt af skelne mellem om rækkefølgen af de x elementer er væsentlig eller ej. Rækkefølgen af de x elementer er væsentlig (a) Hvis gengangere blandt de x elementer er tilladt, er antallet af måder, vi kan vælge x elementer ud blandt n elementer, n i x te, n x = n n n, (2.7) det vil sige n ganget med sig selv x gange, fordi vi i hvert af de x valg har n muligheder. (b) Hvis gengangere blandt de x elementer ikke er tilladt, betegnes antallet af måder, vi kan vælge x elementer ud blandt n, med n (x), n i x rund.

16 10 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Hvis x n er n (x) = n (n 1) (n x + 2) (n x + 1), (2.8) fordi vi har n muligheder når det første af de x elementer skal vælges, n 1 muligheder når det andet af de x elementer skal vælges osv. Når det næstsidste af de x elementer skal vælges, har vi allerede valgt x 2 og har n x + 2 muligheder tilbage, og når det sidste skal vælges, har vi allerede valgt x 1 og har n x 1 muligheder tilbage. Hvis x > n er n (x) = 0 og per definition sættes n (0) = 1. (2.9) Tallet n (x) omtales ofte som antallet af permutationer af x elementer, der kan vælges blandt n elementer. Tallet n (n) betegnes sædvanligvis n!, n fakultet, det vil sige n! = n (n 1) 2 1, (2.10) og det angiver antallet af permutationer af de n elementer, det vil sige antallet af forskellige rækkefølger af de n elementer. Per definition sættes 0! = 1. (2.11) ÊEksempel 1.2 (fortsat) I JOKER er de 7 cifres rækkefølge væsentlig. Endvidere kan hvert af de 10 tal 0, 1,..., 9 optræde mere end én gang. Antallet af mulige jokertal er derfor 10 7 = (Antallet af jokertal hvor de 7 cifre er forskellige er 10 (7) = ) For at beregne sandsynligheden for præcis x rigtige, finder vi antallet af rækker med præcis x rigtige. Hvis x = 0, stemmer sidste ciffer ikke overens med jokertallet, hvilket kan ske på 9 måder, mens de øvrige 6 cifre kan være tilfældige, så antallet af rækker med x = 0 rigtige er Hvis x = 1,..., 6, skal de sidste x cifre være rigtige, hvilket kun kan ske på én måde; desuden skal ciffer x + 1 fra højre være forkert, hvilket kan ske på 9 måder; endelig kan de resterende 7 (x + 1) = 6 x cifre vælges tilfældigt, hvilket kan ske på 10 6 x måder; antallet af rækker med x rigtige er derfor x Ù, x = 0, 1,..., 6. Endelig er der kun en måde hvorpå x = 7, og ved hjælp af (2.6) på side 7 finder vi derfor, at sandsynligheden for x rigtige er { x hvis x = 0, 1,..., 6 P(x rigtige ) = 10 7 (2.12) hvis x = 7.

17 2.4. OPTÆLLING AF ANTAL DELMÆNGDER 11 Rækkefølgen af de x elementer er uvæsentlig Antallet af måder vi kan vælge x elementer blandt n elementer, når rækkefølgen af de x elementer er uden betydning og gengangere ikke er tilladt, betegnes ( ) n x. Der gælder, at ( ) n = x n! x! (n x)!, (2.13) hvis x n. Dette kan indses således: Hvis vi for hver af de ( ) n x måder at udtage x elementer blandt de n først betragter alle permutationer af de x elementer og dernæst alle permutationer af de resterende n x elementer, så får vi alle permutationer af alle n elementer, det vil sige ( ) n n! = x! (n x)!, x hvilket er det samme som (2.13). Hvis x > n er ( ) n x = 0, og per definition sættes ( ) n = 1. (2.14) 0 Tallet i (2.13) omtales ofte som antallet af kombinationer af x elementer udvalgt blandt n elementer. I Opgave 2.1 vises følgende formler for disse antal: ( ) ( ) n n =, (2.15) n x x og rekusionsformlerne ( ) n + 1 = x ( ) n = n(x) x x! (2.16) ( ) ( ) n n +, x = 1,..., n, (2.17) x x 1 som viser, hvorledes antallene for n + 1 elementer kan beregnes, hvis man kender antallene for n elementer. Ifølge (2.14) og (2.15) er ( ) ( n+1 0 = n+1 ) ( n+1 = 1. Tallene nx ) præsenteres ofte i Pascals trekant, se Tabel 2.1, og formel (2.17) viser, hvorledes tallene i det (n + 1) te række i trekanten kan beregnes ud fra tallene i det n te række. Bemærkning 2.1 Tallet ( ) n x omtales også som en binomial koefficient. Det skyldes, at tallene optræder som koefficienter i udtrykket for en to-leddet (binomiel) størrelse opløftet til en heltallig potens. Mere præcist vises det i Opgave 2.2, at (a + b) n = ( n 0 ) a 0 b n ( n x n x=0 ) a x b n x + + ( n n ) a n b n n. Ved hjælp af summationstegnet skrives formlen ofte kort på følgende måde ( n (a + b) n = x ) a x b n x. (2.18)

18 12 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI n ( ) n x Tabel 2.1: De syv første rækker i Pascals trekant. I rækken nummereret med n findes tallene ( n 0 ), ( n1 ),..., ( nx ),..., ( nn ). Bemærk, at ifølge (2.17) kan ( nx ) beregnes ved at addere de to nærmeste tal i rækken ovenfor. ÊEksempel 1.3 (fortsat) I LOTTO er rækkefølgen af de 7 tal, der vælges blandt de første 36 hele positive tal, ikke væsentlig. Antallet af mulige lottorækker er derfor ( ) 36 = Antallet af rækker med x rigtige vindertal er ( 7 x )( 29 7 x), det vil sige antallet af måder hvorpå de x rigtige kan vælges blandt de 7 vindertal ganget med antallet af måder hvorpå de resterende 7 x numre på rækken kan vælges blandt de 29 numre, som ikke er vindertal. Formel (2.6) på side 7 giver derfor følgende sandsynligheder: ( )( ) 7 29 x 7 x P(x rigtige vindertal) = ( ), x = 0, 1,..., 7. (2.19) 36 7 Ù På tilsvarende måde vises det i Opgave 2.9, at for x = 0, 1,..., 7 og y = 0, 1, 2 så x + y 7 er ( )( )( ) x y 7 (x + y) P(x rigtige vindertal og y rigtige tillægstal ) = ( ). (2.20) 36 7 Beregninger Størrelserne n x, n (x), n! og ( n x ) kan beregnes på langt de fleste lommeregnere. I regnearket Excel kan størrelserne beregnes ved hjælp af funktionerne POTENS, PERMUT,

19 2.5. STOKASTISKE VARIABLE 13 FAKULTET og KOMBIN, idet n x = POTENS(n;x) n! = FAKULTET(n) n (x) = PERMUT(n;x) ( ) n = KOMBIN(n; x) x 2.5 Stokastiske variable En stokastisk variabel er som tidligere nævnt en funktion defineret på udfaldsrummet E med værdier på den reelle akse R, det vil sige en forskrift som til ethvert udfald tilordner et reelt tal. Ofte kan hændelser, det vil sige delmængder A af E, karakteriseres ved hjælp af sådanne funktioner. For eksempel svarer hændelsen { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } i Eksempel 2.2 på side 8 således til at funktionen S, der angiver summen af øjnene på de to terninger, har værdien 5, det vil sige { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) } = { S = 5 }. En vigtig stokastisk variabel i forbindelse med spil er funktionen som til et givet udfald tilordner den tilsvarende gevinst. Ù ÊEksempel 2.3 Antag, at vi betaler 2 kr. for at deltage i et spil med én terning. Hvis terningen viser et ulige antal øjne, taber vi de 2 kr. Hvis terningen viser et lige antal øjne, får vi udbetalt lige så mange kr. som antal øjne terningen viser minus indsatsen på de 2 kr. Gevinsten, det vil sige det beløb vi får udbetalt, kan beskrives ved hjælp af følgende funktion X defineret på udfaldsrummet E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } : udfald e gevinst X(e) Vi antager i det følgende, at der er givet et sandsynlighedsmål P på udfaldsrummet E. Definition 2.2 En stokastisk variabel X er en funktion, som er defineret på udfaldsrummet E og som antager værdier på den reelle akse R, det vil sige X : E R e X(e). (2.21) Da E er en endelig mængde, er værdimængden Vm(X) for X en endelig delmængde af R. For x Vm(X) skriver vi kort X = x for hændelsen { e X(e) = x}, så P(X = x) = P({e X(e) = x}) = P({e}). (2.22) e:x(e)=x Selv om værdien X(e) af den stokastiske variable X ikke er kendt, før vi kender udfaldet e, kan fordelingen af X, det vil sige sandsynligheden for de forskellige værdier af X, beregnes ved hjælp af sandsynlighedsmålet P, inden vi kender udfaldet e. Dette gøres ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen for X, som defineres således:

20 14 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Definition 2.3 Lad X være en stokastisk variabel med værdimængde Vm(X). Funktionen kaldes sandsynlighedsfunktionen for X. f X : Vm(X) [0, 1] (2.23) x f X (x) = P(X = x) ÊEksempel 2.3 (fortsat) Vi betragter det uniforme sandsynlighedsmål på udfaldsrummet E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Sandsynlighedsfunktionen for gevinsten X i terningespillet er: fordi, for eksempel, x f X (x) 1/2 1/6 1/6 1/6 f X ( 2) = P(X = 2) = P({ 1, 3, 5 }) = 3/6 = 1/2 og f X (0) = P(X = 0) = P({ 2 }) = 1/6. u ÊEksempel 2.2 (fortsat) Når vi kaster en rød og en blå terning samtidigt, er udfaldsrummet E = {(r, b) r, b = 1, 2,..., 6}, hvor r og b er antallet af øjne som henholdsvis den røde og den blå terning viser. Den stokastiske variabel, der angiver summen af øjnene på de to terninger, er S(r, b) = r + b med værdimængde Vm(S) = {2, 3,..., 11, 12}. Hændelsen {S = 5} består af udfaldene {(1, 4), (2, 3), (3, 2),(4, 1)}, og betragter vi det uniforme sandsynlighedsmål på E, er f S Ù (5) = P(S = 5) = 4/36 = 1/9. På samme måde vises det, at sandsynlighedsfunktionen for S er bestemt ved s f S (s) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 Funktionen er vist i Figur 2.3, som er lavet i Excel. Bemærkning 2.2 Af tabellen ovenfor ses, at f S (s) = P(S = s) = 1. s=2 s=2

21 2.6. MIDDELVÆRDI 15 sandsynlighedsfunktionen for S P(S=s) 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0, s Figur 2.3: Sandsynlighedsfunktionen for den stokastiske variabel S, der angiver summen af øjnene på den røde og blå terning. For en vilkårlig stokastisk variabel gælder der tilsvarende, at P(X = x) = 1, (2.24) x Vm(X) hvilket indses således: Udfaldsrummet E er foreningsmængden af de disjunkte mængder { e X(e) = x} som er indiceret ved x Vm(X). (Af Figur 2.2 på side 8 ses, at i Eksempel 2.2 ovenfor er udfaldsrummet E en foreningsmængde af de disjunkte mængder {(r, b) r + b = 2}, {(r, b) r + b = 3},..., {(r, b) r + b = 11}, {(r, b) r + b = 12}.) Da P(E) = 1, fås ved hjælp af (2.22) at 1 = P({e}) = e E x Vm(X) P({e}) = e:x(e)=x P(X = x). x Vm(X) 2.6 Middelværdi I anvendelser er man ofte ikke interesseret i den nøjagtige fordeling for X, men derimod i visse størrelser der beskriver vigtige egenskaber ved fordelingen. Disse er ofte givet som et tal, der bestemmes ud fra fordelingen. En sådan er middelværdien af X, der defineres således:

22 16 LIDT SANDSYNLIGHEDSTEORI Definition 2.4 Lad X være en stokastisk variabel med værdimangde Vm(X) og sandsynlighedsfunktion f X. Middelværdien EX af X er tallet EX = x f X (x) = xp(x = x), (2.25) x Vm(X) x Vm(X) det vil sige summen over alle mulige værdier x af X ganget med sandsynligheden for at X antager værdien x. Bemærkning 2.3 Brugen af bogstavet E i forbindelse med middelværdien EX stammer fra engelsk, hvor middelværdien ofte omtales som Expected value. Forhåbentlig giver det ikke anledning til misforståelser, at vi her også bruger E til at betegne udfaldsrummet med. Bemærkning 2.4 Ved hjælp af (2.24) kan vi omskrive (2.25) til EX = xp(x = x) x Vm(X) P(X = x) x Vm(X) som viser, at middelværdien EX er et tal, der ligger central i fordelingen af X, da den er en vægtet sum af de forskellige værdier x af X med vægte P(X = x). Et par vigtige regneregler for middelværdier findes i Sætning 2.2, som vises i Opgave 2.5. Sætning 2.2 Lad X og Y være stokastiske variable og lad a og b være reelle tal. Da gælder: E(a + bx) = a + bex (2.26) og Ù E(X + Y) = EX + EY. (2.27) ÊEksempel 2.3 (fortsat) Ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen f X (x) for gevinsten X i tabellen på side 14 og formel (2.25) fås, at middelværdien af X er EX = 2 1/ / / /6 = 0. Ù ÊEksempel 2.2 (fortsat) Ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen for S, summen af øjnene på de to terninger, i tabellen på side 14 og formel (2.25) finder vi, at middelværdien for S er 12 ES = s f S (s) = = 7. s=2,

23 2.6. MIDDELVÆRDI 17 ÊEksempel 1.2 (fortsat) Hvis X betegner den stokastiske variabel, der angiver antallet af rigtige på en JOKER række, er sandsynlighedsfunktion f X Ù for X givet i (2.12) på side 10 og det kan vises, at middelværdien af X er EX = (2.28) ÊEksempel 1.3 (fortsat) Hvis X betegner den stokastiske variabel, der angiver antallet af rigtige vindertal på en LOTTO række, er sandsynlighedsfunktion f X Ù for X givet i (2.19) på side 12, og det kan vises, at EX = 7 7 = , (2.29) 36 se Opgave 2.9. Opgaver Opgave 2.1 Vis formlerne (2.15), (2.16) og (2.17). Opgave 2.2 Vis formel (2.18). Opgave 2.3 Vis ved hjælp af (2.18), at antallet af delmængder af en mængde med n elementer er 2 n. Opgave 2.4 Et fodboldhold består som bekendt af 11 spillere, én målmand, et antal forsvarsspillere, et antal midtbanespillere og et antal angribere. Forskellige spilsystemer er opkaldt efter fastsættelsen af de tre sidstnævnte antal. For eksempel har et hold, der spiller efter systemet, 3 forsvarspillere, 5 midtbanespillere og 2 angribere. Til EM-kvalifikationskampen mod Norge 7. juni 2003 udtog landstræner Morten Olsen 20. maj en bruttotrup på 27 spillere bestående af 3 målmænd, 8 forsvarspillere, 7 midtbanespillere og 9 angribere. Antag, at Morten Olsen ønsker en startopstilling efter systemet. 1 På hvor mange måder kan han udtage målmanden? 2 På hvor mange måder kan han udtage de 3 forsvarsspillere? 3 På hvor mange måder kan han udtage de 5 midtbanespillere? 4 På hvor mange måder kan han udtage de 2 angribere? 5 På hvor mange måder kan han udtage de 11 spillere i startopstillingen? Alternative systemer er 4-4-2, det mere offensive system og det mere defensive system. 6 Besvar spørgsmålet i 5 for hvert af disse tre systemer. Senere blev endelige trup til kampen udtaget. Den bestod af 2 målmænd, 6 forsvarspillere, 7 midtbanespillere og 6 angribere, ialt 21 spillere. 7 Besvar spørgsmålet i 5 for denne trup og Morten Olsens foretrukne system,

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser...2 2. Poker...3 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

*CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE

*CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE *CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE *CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:37 Side 2 AMERIKANSK ROULETTE Intet casino uden roulette et klassisk bordspil, hvor

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Rapport dannet den: 5. oktober 2010 1 Spil kontrol

Rapport dannet den: 5. oktober 2010 1 Spil kontrol 1 Spil kontrol kan vindes af 1 Jackpot - Identifikation - Gevinst - TotalGevinst - DatoTid - KommissionRake Spil - Identifikation - KøbDatoTid - Salgskanal - ForventetSlutDatoTid - FaktiskSlutDatoTid -

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information AMERIKANSK ROULETTE Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Rente, lån og opsparing

Rente, lån og opsparing Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu

Rentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Bogtrykkergårdens BANKO SYSTEM. Dansk udviklet BankoSystem til styring af:

Bogtrykkergårdens BANKO SYSTEM. Dansk udviklet BankoSystem til styring af: Bogtrykkergårdens BANKO SYSTEM Dansk udviklet BankoSystem til styring af: Banko 90. Bingo 75. Kortbingo. Lotteri. Gevinst Chancen - samt gevinstplan med gevinstvisning Beskrivelse Systemet er udviklet

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere