Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Transkript

1 Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

2 Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

3 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang tid til en fødselsdag eller til juleaften. Man kan også synes, at Brian eller Conny er uendeligt dum, eller man kan snakke om, at verdensrummet er uendeligt stort. Uendeligt kan altså betyde omfattende eller langvarigt. I matematikken bruger man også begrebet uendelig. På de næste sider kan du lære den matematiske betydning af det symbol, som betyder uendelig. Det skrives sådan: Uendelighed er noget, som nogle har tænkt sig frem til, men som ikke findes i virkeligheden. Man kan ikke skrive et uendeligt stort tal. Man kan sagtens skrive meget store tal, men uanset hvor store de er, kan man altid lave et, der er endnu større. Og så har man jo ikke nået uendeligheden. Måske husker du historierne om Aladdin og Ali Baba og de 40 røvere? De stammer alle fra 1001 Nats Eventyr, der er blevet fortalt i beduintelte, kaffehuse og basarer i Arabien i mange hundrede år. I det gamle Arabien var det højeste tal, man havde. Derfor var én mere end det samme som uendeligt mange.

4

5 4 Uendelighed Hilberts Hotel Når man skal lære noget om matematisk uendelighed, kan det være en god idé at se på Hilberts Hotel. Hilberts Hotel er et meget stort hotel, det rummer uendeligt mange værelser. Der arbejder en ung receptionist på hotellet, og han regner med en rolig aften på arbejde, da alle værelser er optaget. Han sætter sig til rette med en god bog og forventer fred og ro natten igennem. Men allerede fem minutter efter dukker der en ældre, forvirret og træt kvinde op ved skranken. Hun spørger, om der er et ledigt værelse. Desværre er alt optaget, svarer den unge mand. Han får dog så ondt af kvinden, at han siger: Lad mig se, hvad jeg kan gøre. Receptionisten kan ikke sende kvinden hen til det sidste værelse for der er jo ikke et sidste værelse, når der er uendeligt mange værelser. Han finder på noget andet. Over højtaleren beder han alle gæster flytte til det værelse, der har et nummer højere end det, man bor i. For eksempel skal den, der bor i værelse nr. 1, flytte til nr. 2, nr. 36 flytter til nr. 37, og nr flytter til nr Værelse nr. 1 bliver dermed ledigt, og kvinden kan flytte ind. Vi har altså et uendeligt stort hotel, som er fyldt op, idet der er uendeligt mange gæster, som bor der. Og alligevel er der plads til en ekstra gæst, hvorefter hotellet stadig er fyldt. Med andre ord kan man sige at + 1 = Receptionisten kunne have fundet plads til flere gæster. Hvis han skulle have plads til 10 gæster mere, skulle alle gæster blot flytte til 10 værelsesnumre fremad.

6

7

8 Uendelighed 7 Uendeligt mange flere gæster Senere kommer der flere gæster til hotellet. Der kommer en bus fuld af gæster. Og det er en ganske særlig bus. Den har nemlig uendeligt mange passagerer med, og de vil alle have et værelse. Receptionisten kan ikke bruge samme trick som før og bede alle gæster om et flytte til et værelsesnummer uendeligt meget større end deres nuværende. Det nummer findes jo ikke. Han beder derfor alle gæster om at flytte til det værelse, som har et nummer, der er det dobbelte af det værelsesnummer, gæsten kom fra. Så gæsten på værelse nr. 1 flytter til nr. 2, fra nr. 33 flyttes til nr. 66 osv. Nu bliver de uendeligt mange ulige numre ledige, og derind kan de uendeligt mange nye gæster flytte ind. Hotellet er igen fyldt. Med andre ord kan man sige at + = Uanset om man fordobler eller halverer uendelig, har man stadig uendelig (se også side 12). Hvem er stærkest? To drenge skændes i skolegården. Brian siger: Jeg er 10 gange så stærk som dig. Jesper svarer: Ja, men jeg er 100 gange så stærk som dig, hvortil Brian siger: Jeg er altid 1 gang stærkere end dig. Jesper tænker sig om og siger: Jeg er uendeligt meget stærkere end dig, men Brian svarer bare: Det er ligegyldigt, for jeg er altid 1 gang stærkere end dig. Men det passer ikke. Der findes nemlig ikke noget, som er større end uendelig.

9 8 Uendelighed Endnu flere gæster Receptionisten er stolt af sig selv og drømmer ikke om, at der kan dukke værre opgaver op. Men der er et stort møde om uendelighed i byen. Man har glemt at reservere hotelværelser til deltagerne, så nu holder der uendeligt mange busser uden for Hilberts Hotel med uendeligt mange passagerer i hver. Dét er en vanskelig nød at knække, men receptionisten er dygtig til matematik. Han ved, at der findes uendeligt mange primtal, dvs. tal som kun 1 og tallet selv går op i: for eksempel 2, 3, 5, 7 og 11. Han giver alle busser og sæder i hver bus numre. Først skal han skaffe uendeligt mange ledige værelser. Det er nemt nok. Han beder blot alle gæster om at flytte til det værelse, som har et nummer, der er det dobbelte af det værelsesnummer, de kom fra (se side 7).

10 Uendelighed 9 Så finder han værelser til de uendeligt mange passagerer i den første bus. Han tager det første primtal, som er større end 2. Det er 3. Passager nr. 1 får værelse nr. 3 1, altså 3. Passager nr. 2 får værelse nr. 3 2, altså 3 3, dvs. 9. Passager nr. 3 får nr. 3 3 (= = 27) osv.

11 10 Uendelighed Resten får plads Det næste primtal er 5. Passagererne i den anden bus skal derfor have følgende værelser: Nr. 1 får 5 1 (5), nr. 2 får 5 2 (25), nr. 3 får 5 3 (125) osv. Passagererne i den tredje bus får følgende værelsesnumre, idet det næste primtal i rækken er 7: Nr. 1 får 7 1, nr. 2 får 7 2 (49), nr. 3 får 7 3 (343) osv. Receptionisten kan på denne måde fordele uendeligt mange passagerer fra hver af de uendeligt mange busser. Alle får et værelse, og der er kun én gæst på hvert værelse. Med andre ord kan man sige at = Ledige værelser Efter at de uendeligt mange passagerer i de uendeligt mange busser har fået deres værelser, får det udsolgte hotel for første gang ledige værelser. Værelse nr. 15 bliver for eksempel ikke optaget, da 15 ikke er et primtal og ikke kan fås ved at gange et primtal med sig selv et antal gange. Der bliver således uendeligt mange ledige værelser på hotellet.

12

13 12 Uendelighed Hvordan uendeligt? I Hilberts Hotel kunne uendeligt mange gæster, der boede på værelser med numrene 1, 2, 3, 4, 5 osv., flytte til værelserne med numrene 2, 4, 6, 8, 10 osv. Alle tallene parres altså med halvdelen af tallene, nemlig alle de lige tal. Matematikere definerer, at en mængde er uendelig, når mængden har den egenskab, at hele mængden kan parres med en del af mængden. Det underlige symbol Symbolet for uendelig har ikke et navn. Engang var det et romertal og betød Det kom senere til at betyde uendelig. Måske er symbolet valgt, fordi man kan bevæge sig rundt på en kurve med denne form i det uendelige. Det kan man selvfølgelig også på en cirkel, men det symbol betyder jo nul. Den mængde af tal, vi bruger, når vi tæller, kaldes de naturlige tal. Hilberts Hotel viser, at mængden af naturlige tal er uendelig.

14

15 14 Uendelighed Uendeligt mange brøker Brøker er der uendeligt mange af. De ligger helt tæt ved siden af hinanden på tallinien. Hver gang man har to brøker lige ved siden af hinanden, kan man finde brøker imellem dem. Hvis man deler tallinien mellem 0 og 1 op i 100 dele, ligger brøkerne 53/100 og 54/100 ved siden af hinanden.

16 Uendelighed 15 Også tallinien mellem disse to brøker kan inddeles i 100 stykker, hvor for eksempel brøkerne 5371/10000 og 5372/10000 ligger. Og sådan kan man blive ved. Alene mellem 0 og 1 er der uendeligt mange brøker, så man kan tro, at der er flere brøker, end der er naturlige tal. Det er der ikke.

17 16 Uendelighed Tæl alle brøker For at man kan indse, at der er lige mange brøker og naturlige tal, skal man finde en måde at tælle brøkerne på. De naturlige tal er jo de tal, vi tæller med. Matematikeren Georg Cantor ( ) fandt på at opstille alle verdens brøker på en måde, så de kan tælles. Forestil dig et uendeligt stort koordinatsystem. Der er naturlige tal ud af både x- og y-aksen. Hver plads i koordinatsystemet repræsenterer nu en brøk, og koordinat-systemet rummer alle mulige brøker. Cantor begyndte i nederste venstre hjørne og talte i den rækkefølge, som tegningen viser. På denne måde kan alle brøker tælles. Altså er der ikke flere brøker end naturlige tal. Ved du, at det ikke er alle mængder, der kan tælles? Der findes mængder, der er så uendelige, at de kaldes overtællelige.

18

19 18 Uendelighed Billeder af uendelighed Da uendelighed ikke findes i virkeligheden, kan det være meget svært at illustrere. Men der findes nogle figurer, som giver os muligheden for at få et glimt af uendeligheden. De hedder fraktaler. En fraktal laves ved at gentage den samme figur inde i sig selv uendelig mange gange. Vi kan naturligvis ikke gentage noget uendeligt mange gange, men ved at gentage figurerne for eksempel 10 gange får vi en god idé om, hvordan fraktalen ser ud. Sierpinskis Si er et eksempel på en fraktal. Man laver den ved at tegne en trekant og dele trekanten op i fire mindre trekanter. Man farver den midterste.

20 Man fortsætter med at dele de trekanter, som ikke er farvede. Og sådan kan man blive ved...og ved......og ved...

21 Opgaver Opgave 1 Tænk på tallene i 3-tabellen {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, } som en mængde. Er det en uendelig mængde? Det vil sige: Kan du parre mængden med en del af mængden for eksempel tallene i en anden tabel? Opgave 2 I en børnesang synger man: Ti små cyklister kom til en cykelsti, en kørte udenfor, og så var der ni. Forestil dig, at det var uendeligt mange cyklister og ikke kun ti. Hvordan vil de to linier af sangen så lyde? Opgave 3 Forestil dig, at Hilberts Hotel var fyldt, og der kom to busser med uendeligt mange passagerer.

22 Uendelighed 21 Hvad skal receptionisten gøre for at skaffe plads til alle de ekstra gæster på én gang? Hotellet skal være fyldt, når gæsterne har fået deres værelser. Hvilke værelser skal hotelgæsterne flytte hen i, og hvilke værelser får buspassagererne? Opgave 4 Tegn en fraktal ved at dele et kvadrat i ni tern, farv det midterste tern i hver side. Fortsæt på den måde. Find mindst fem steder, hvor der bliver ved med at være hvidt, selv hvis man blev ved med at farve tern i det uendelige.

23 Løsninger Løsning på opgave 1 Ja, tallene i 3-tabellen er en uendelig mængde. Man kan for eksempel parre alle tallene i 3-tabellen med 2 gange sig selv, så får man parret alle tal i 3- tabellen med tallene i 6-tabellen. Alle tallene fra 6-tabellen ligger også i 3- tabellen, dvs. man har parret tallene fra 3-tabellen med en del af mængden selv. Når man kan det, er mængden uendelig. Løsning på opgave 2 De to første liner af sangen ville nu lyde sådan: Uendelig mange cyklister kom til en cykelsti, en kørte udenfor, og så var der stadig uendelig. På samme måde som + 1 =, er også 1 =.

24 Uendelighed 23 Du skal ikke prøve at synge omkvædet fra sangen du vil aldrig blive færdig! Der var en, der var to, der var tre, der var fire, der var fem på cykeltur der var seks, der var syv, der var otte, der var ni, der var ti på cykeltur der var elleve, der var tolv, der var tretten, der var fjorten, der var femten på cykeltur... Løsning på opgave 3 Receptionisten beder hotelgæsterne flytte hen til 3 gange deres værelsesnummer. Så gæsten på værelse nr. 1 flytter til nr. 3, fra nr. 33 flyttes til nr. 99 osv. Nu bliver der uendeligt mange numre ledige. Buspassagererne fra den første bus kan nu rykke ind i værelserne 1, 4, 7, 10 osv. Alle de værelsesnumre der ligger én over et tal fra 3-tabellen. Buspassagererne fra den anden bus kan rykke ind i værelserne 2, 5, 8, 11 osv. Dvs. alle de værelsesnumre, der ligger to over et tal fra 3-tabellen. Og igen er hotellet fyldt! + 2 = Løsning på opgave 4 Der bliver ved med at være hvidt mange steder. For eksempel præcis midt i det store kvadrat. Eller præcis midt i hver af de fire hjørne-tern fra den første tegning. Eller i hvert hjørne af det store kvadrat.

25 Læs selv om uendelighed af Erik Bjerre og Pernille Pind Serietitel: Læs selv matematik Copyright Forfatterne og Forlaget Mañana 2005 Illustrationer : Jørgen Stamp Layout, tilrettelæggelse og omslag: Søren Kirkemann & Jørgen Stamp Tryk: Johnsen Offset Distribution: DBK ISBN: Udgivet med støtte fra Undervisningsministeriets Tips- og Lottomidler Kopiering fra denne bog er kun tilladt i henhold til overenskomst med Copy-Dan Der er lærervejledning på forlagets hjemmeside: Andre titler i samme serie: Læs selv om korttricks Læs selv om labyrinter Læs selv om landkort Læs selv om logik Læs selv om mål Forlaget Mañana Grenåvej 658B 8541 Skødstrup Tlf.: manana@manana.dk

26 Læs selv om uendelighed Hvad betyder uendelig? Og kan man måle uendelighed? I denne bog kan du læse om Hilberts Hotel, der underligt nok har uendeligt mange værelser. Læs selv om uendelighed indgår i serien Læs selv matematik. Det er bøger, der handler om matematik på en ny måde. I hver bog er der opgaver med løsninger. Bøgerne kan læses af alle med interesse for matematik. Fra 12 år. Andre bøger i serien Læs selv matematik: Læs selv om labyrinter Lær at tegne labyrinter. I denne bog er der eksempler på gamle labyrinter, som mennesker har lavet i flere tusinde år, og der er eksempler på helt nye labyrinter. Læs selv om landkort Jorden er rund, og landkort er flade. Det betyder, at det er svært at lave et præcist billede af jorden på et landkort. I denne bog kan du læse, hvordan matematik gør det muligt at tegne landkort. Læs selv om mål For nogle hundrede år siden havde næsten hver landsby sine egne mål for længde, vægt og rumfang. Efter Den franske revolution opfandt man metersystemet, som i dag bruges i de fleste lande i verden. Forlaget Mañana Grenåvej 658B 8541 Skødstrup Tlf.: manana@manana.dk ISBN: Læs selv om korttricks Korttricks virker som magi, men det er ofte matematik, der ligger bag. I denne bog kan du lære nogle korttricks, som garanteret vil forbløffe dine venner. Læs selv om logik Kan man altid finde ud af, om folk taler sandt eller falsk? Ikke helt, men matematisk logik kan hjælpe dig på vej. I denne bog kan du læse om, hvad logik er, og du kan lære, hvordan man kan forstå logikken.