Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003.
|
|
- Rasmus Ravn
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Formelsamling Noter til Astronomi 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the bird and see what it s doing that s what counts. I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something. Richard P. Feynman Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 003. De overordnede kapitelnumre i denne formelsamling svarer til de behandlede kapitler i bogen Introduction to Cosmology. Sammensat af Kristoffer Stensbo-Smidt 5. juni 007
2 INDHOLD Indhold Fundamental Observations 3 3 Newton Versus Einstein To dimensioner Tre dimensioner Cosmic Dynamics 4 5 Single-Component Universes The Benchmark Model Kun krumning Flad geometri Kun stof Kun stråling Kun Lambda, Λ Multiple-Component Universes Stof + krumning Stof + Lambda Stof + krumning + Lambda Stråling + stof Measuring Cosmological Parameters Lysstyrke-afstand Angulær-diameter-afstand Standard Candles og acceleration Dark Matter Mørkt stof i galakser The Cosmic Microwave Background Rekombination og dekobling Nucleosynthesis and the Early Universe Hurtige facts 1 Indeks 13 Side af 13
3 Fundamental Observations Fundamental Observations S. 1. Rødforskydningen er givet ved: Blåforskydning: λ < 0. Rødforskydning: λ > 0. Hubbles lov: z λ ob λ em λ em z = c r Hvor r er afstanden til objektet. Ved brug af Doppler-effekten, z = v/c, fås Hubbles lov til S. 15. Hubble-tiden defineres som H 1 0. S. 0. Blackbody-funktionen: Energi-densitet for blackbody-stråling: εf df = 8πh c 3 v = r f 3 df exphf/kt 1 ε γ = αt 4, α = π 15 k4 3 c 3 = Jm 3 K 4 3 Newton Versus Einstein 3.1 To dimensioner S. 31. Trekant med vinkler α, β, γ i et flat rum κ = 0: α + β + γ = π ds = dx + dy = dr + r dθ S. 3. Trekant med vinkler α, β, γ og areal A i et positivt krumt rum κ = 1 med krumningsradius R: α + β + γ = π + A/R ds = dr + R sin r/r dθ S. 33. Trekant med vinkler α, β, γ og areal A i et negativt krumt rum κ = 1 med krumningsradius R: α + β + γ = π A/R ds = dr + R sinh r/r dθ 3. Tre dimensioner S. 34. Generelt: ds = dr + S κ r dω Side 3 af 13
4 4 Cosmic Dynamics hvor dω dθ + sin θ dϕ og R sinr/r κ = +1 S κ r = r κ = 0 R sinhr/r κ = 1 S. 35. Minkowski metrikken kun for fladt rum!: ds = c dt + dr + r dω S. 36. Robertson-Walker metrikken for alle geometrier: ds = c dt + at [ dr + S κ r dω ] med skalafaktoren at givet ved λ e at e = λ 0 a 1 + z = a at e = 1 at e S. 39. Hubble-radius: d H c/ 4 Cosmic Dynamics S. 45. Poissons ligning: Φ = 4πGρ S. 48. Friedmann-ligningen: ȧ Ht = a = 8πG κc εt 3c R0 κc 1 at 1 Ωt = R0 at Ht S. 51 hvor Ωt = εt ε ct. S. 50. Kritisk energi-densitet: ε c t 3c 8πG Ht For en given εt: Hvis εt > ε c t: κ = +1 Ωt > 1. Hvis εt = ε c t: κ = 0 Ωt = 1. Hvis εt < ε c t: κ = 1 Ωt < 1. S. 51. Kritisk masse-densitet: ρ c t = ε ct c = 3 8πG Ht Side 4 af 13
5 5 Single-Component Universes S. 53. Fluid-ligningen: Accelerationsligningen: S. 55. Tilstandsligning: hvor ε + 3ȧ a ε + P = 0 ä a = 4πG ε + 3P 3c P = wε Øvre grænse Stråling Stof Mørk energi Den kosmologiske konstant, Λ w = 1 w = 1 3 w = 0 w < 1 3 w = 1 5 Single-Component Universes S. 63. Energi-densiteten kan adderes: ε = w ε w S. 64. Hvis w er konstant: ε w a = ε w,0 a 31+w 5.1 The Benchmark Model S. 67. En Benchmark Model beskriver et fladt rum med Ω m,0 = 0, 30 og Ω Λ,0 0, 70. Et godt skema: s. 96 øverst. I det følgende betragtes specialtilfælde Kun krumning S. 69. Friedmann-ligningen bliver: ȧ = κc R 0 Bemærk: Både κ = 0 og κ = 1 er en løsning her! I dette underafsnit betragtes kun negativt krummede rum! Skalafaktoren bliver: at = t = tc = t R 0 S. 70. Tiden da en observeret lyskilde blev udsendt: 1 + z = 1 at e S. 71. Proper distance på det tidspunkt, lyset observeres: d p = c ln1 + z Proper distance på det tidspunkt, lyset udsendes: d p t e = c ln1 + z 1 + z t e = H z Side 5 af 13
6 5.1 The Benchmark Model 5.1. Flad geometri S. 73. Friedmann-ligningen bliver: Skalafaktoren bliver: hvor idet Energi-densiteten er: ȧ = 8πGε 0 3c a 1+3w t at = 3+3w = 1 1 c = 1 + w 6πGε w H 1 0 = t 1 0 t εa = ε 0 a 31+w = ε 0 S. 74. Tiden, da en foton blev udsendt, kan beregnes ved Proper distance: d p = c 31 + w 1 + 3w 1 t e = te 1 + z 31+w 1+3w 3+3w = c 1 + 3w z 1+3w 5.1 S. 75. Horisont-afstanden kan fås ved at sætte t e = 0 i 5.1: Kun stof d hor = c 31 + w 1 + 3w = c 1 + 3w NB! Dette gælder kun for et fladt univers! Her er w = 0. S. 75. Horisont-afstanden er d hor = 3c = c hvor universets alder,, er = 3. S. 76. Skalafaktoren er Proper distance: d p = 3c 1 d p t e = c 1 + z t a m t = te = c z z Side 6 af 13
7 5. Kun Lambda, Λ Kun stråling NB! Dette gælder kun for et fladt univers! Her er w = 1 3. S. 76. Horisont-afstanden er hvor universets alder,, er = 1. Skalafaktoren bliver: d hor = c = t at = 1 c S. 77. Proper distance: d p = c 1 d p t e = c te z 1 + z 1 = c z 1 + z Energi-densiteten er givet ved: t ε r t = ε 0 5. Kun Lambda, Λ S. 79. Friedmann-ligningen bliver: hvor ε Λ er konstant med tiden. Skala-faktoren bliver: ȧ = 8πGε Λ 3c a at = e H0t t0 hvor Proper distance: = d p = c d p t e = c 8πGεΛ 3c e H0t0 te 1 z 1 + z = c z 6 Multiple-Component Universes S. 8. Omskrevet Friedmann-ligning: Ht H 0 = εt + 1 Ω 0 ε c,0 at Side 7 af 13
8 6.1 Stof + krumning hvor ε c,0 3c H 0 8πG S. 83. For vores univers ser Friedmann-ligningen således ud: H H 0 = Ω r,0 a 4 + Ω m,0 a 3 + Ω Λ,0 + 1 Ω 0 a hvor Ω r,0 = ε r,0 /ε c,0, Ω m,0 = ε m,0 /ε c,0, Ω Λ,0 = ε Λ,0 /ε c,0 og Ω 0 = Ω r,0 + Ω m,0 + Ω Λ, Stof + krumning S. 85. Friedmann-ligningen kan skrives: da Ω m,0 = Ω 0 i dette univers. Skalafaktor ved max. udvidelse: S. 86. For κ = +1 Ω 0 > 1: Ht H 0 = Ω 0 a Ω 0 a a max = Ω 0 Ω 0 1 aθ = 1 Ω 1 cos θ Ω 0 1 tθ = 1 Ω θ sin θ Ω 0 1 3/ hvor θ går fra 0 Big Bang til π Big Crunch. S. 87. For κ = 1 : aη = 1 Ω cosh η 1 1 Ω 0 3/ tη = 1 Ω sinh η η 1 Ω 0 3/ S. 88. For dette univers: DENSITY IS DESTINY! 6. Stof + Lambda Dette gælder kun for et fladt univers! S. 88. Friedmann-ligningen: S. 89. Skalafaktoren ved max. udvidelse: Big Crunch vil indtræffe ved S. 90. Skalafaktoren bliver: a mλ = H H 0 = Ω m,0 a Ω m,0 a max = Ωm,0 1/3 Ω m,0 1 t crunch = π 3 1 Ωm,0 1 Ωm,0 Ω Λ,0 1/3 = Ωm,0 1 Ω m,0 1/3 Side 8 af 13
9 6.3 Stof + krumning + Lambda 6.3 Stof + krumning + Lambda S. 91. Friedmann-ligningen: 6.4 Stråling + stof S. 94. Friedmann-ligningen: H H 0 = Ω m,0 a Ω m,0 Ω Λ,0 a + Ω Λ,0 H H 0 = Ω r,0 a 4 + Ω m,0 a 3 7 Measuring Cosmological Parameters S Accelerationsligningen: Decelerationsparameteren q 0 er givet ved: 7.1 Lysstyrke-afstand S Lysstyrke-afstanden er defineret som: ä a = 4πG 3c ε w 1 + 3w w q 0 = 1 Ω w, w w d L 1/ L 4πf hvor L er lysstyrken, og f er fluxen. S Universets udvidelse giver anledning til følgende korrektioner: 7. Angulær-diameter-afstand λ 0 = 1 at e λ e = 1 + zλ e E 0 = E e 1 + z L f = 4πS κ r 1 + z d L = S κ r1 + z S Angulær-diameter-afstand er defineret som: d A l δθ hvor l er metriklængden af objektet, og δθ er vinklen, objektet spænder over. S. 11. Angulær-diameter-afstanden kan også skrives som d A = S κr 1 + z = d L 1 + z Side 9 af 13
10 7.3 Standard Candles og acceleration 7.3 Standard Candles og acceleration S Tilsyneladende størrelse: m, 5 log 10 f f x hvor f er fluxen, og f x =, watt m. Absolut størrelse: L dl M, 5 log 10 = m 5 log L 10 5 x 1 Mpc hvor L er lysstyrken, og L x = 78.7 L. S. 10. Afstands-modulus: 8 Dark Matter 8.1 Mørkt stof i galakser m M = 5 log 10 dl 1 Mpc S Overfladelysstyrken I fra galakser aftager eksponentielt: IR = I0 exp RRs + 5 hvor R s er skalalængden, som bestemmes ud fra observationer. S Er hastigheden konstant med radius, kan massen approksimeres med: MR = v R G 9 The Cosmic Microwave Background 9.1 Rekombination og dekobling S Ioniseringsgraden defineres som: X n p = n p = n p + n H n bary hvor n p, n e, n H og n bary er antalstætheden af hhv. protoner, elektroner, hydrogenatomer og baryoner. S Den middelfri vejlængde for fotoner er: λ = 1 n e σ e hvor n e er antalstætheden af elektroner og σ e er tværsnittet for Thomson-spredningen. Generelt defineres den middelfri vejlængde: λ = 1 na n e n bary hvor n er antalstætheden og A er r i to dimensioner, πr i tre, 4 3 πr3 i fire osv. Spredningsraten for fotonerne er: Der gælder følgende for Γ: Γ = c λ = n eσ e c Side 10 af 13
11 10 Nucleosynthesis and the Early Universe Effektiv spredning Dekobling Universet transparent Γ > H Γ H Γ < H S Maxwell-Boltzmann-ligningen beskriver antalstætheden n x af ikke-relativistiske partikler med masse m x, når partiklerne er i ligevægt: hvor g x er statistiske vægte. S Den optiske dybde er defineret som: 3 mx kt n x = g x exp m xc π kt τt = t0 t z Γt dt = Nucleosynthesis and the Early Universe S Temperaturen T er proportional med skalafaktoren: T a 1. S Brøkdelen af helium i det tidlige univers: Neutron-henfald: Y p ρ4 He ρ bary n p + e + ν e Andelen af neutroner efter et tidsrum kan beregnes ved f = exp t/τ n hvor τ n er henfaldstiden. S Ved t = 0.1 s og T K foregik følgende reaktioner: γ + γ e + e + n + ν e n + e + p + e p + ν e S Neutron-proton-raten: n n = exp Q n n p kt hvor Q n = 1.9 MeV. S Ved freeze out : t 1 s og T = K. S Neutron-neutron-reaktion er negligibel: p + p D + e + + ν e p + n D + γ Massebrøk: n + n D + e + ν e Y max = f 1 + f, f n n n p Side 11 af 13
12 11 Hurtige facts S Efter freeze out sker følgende reaktioner: p + n D + γ p + e H + γ S. 18. Når der er en betydelig mængde deuterium tilstede, vil følgende reaktioner forløbe: D + p 3 He + γ D + n 3 H + γ D + D 4 He + γ D + D 3 H + p D + D 3 He + n S Hverken 3 H eller 3 He lever længe: 3 H + p 4 He + γ 3 He + n 4 He + γ 3 H + D 4 He + n 3 He + D 4 He + p Højere reaktioner inkluderer: 4 He + D 6 Li + γ 4 He + 3 H 7 Li + γ 4 He + 3 He 7 Be + γ 11 Hurtige facts S. 96. Benchmark-modellen: Ingredienser Fotoner: Ω γ,0 = Neutrinoer: Ω ν,0 = Total stråling: Ω γ,0 = Baryonisk stof: Ω bary,0 = 0.04 Ikkebaryonisk mørkt stof: Ω dm,0 = 0.6 Total stof: Ω dm,0 = 0.30 Kosmologisk konstant: Ω Λ, Vigtige epoker Stråling-stof-ækvivalens: a rm = t rm = yr Stof-lambda-ækvivalens: a mλ = 0.75 t mλ = 9.8 Gyr Nu: a 0 = 1 = 13.5 Gyr Side 1 af 13
13 Indeks absolut størrelse, 10 accelerationsligningen, 4, 9 afstands-modulus, 10 angulær-diameter-afstand, 9 blåforskydning, 3 decelerationsparameteren, 9 Doppler-effekt, 3 kun krumning, 5 kun lambda, 7 kun stof, 6 kun stråling, 7 tilstandsligningen, 4 tilsyneladende størrelse, 10 w, 4 energi-densitet, 5 flat rum, 3 fluid-ligningen, 4 freeze out, 11 Friedmann-ligningen, 4, 7 horisont, 6, 7 Hubbles lov, 3 ioniseringsgrad, 10 kritisk energi-densitet, 4 kritisk masse-densitet, 4 lysstyrke-afstand, 9 massebrøk, 11 Maxwell-Boltzmann, 11 middelfri vejlængde, 10 Minkowski metrikken, 3 multi-komponent-universer, 7 stof + krumning, 8 stof + krumning + lambda, 9 stof + lambda, 8 stråling + stof, 9 negativt krumt rum, 3 neutron-henfald, 11 optisk dybde, 11 Poissons ligning, 4 positivt krumt rum, 3 rødforskydning, 3 Robertson-Walker mektrikken, 4 skalafaktor, 4 spredningsrate, 10 standard candles, 10 the Benchmark Model, 5 flad geometri, 5 13
A4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 2 (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik
A4: Introduction to Cosmology Forelæsning (kap. 4-5): Kosmisk Dynamik 1-komponent modeller Robertson-Walker metrikken ds = c dt² a t [ Metrik med medfølgende koordinater (x,θ,φ), x= S κ (r) i den rumlige
Læs mereBenyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.
Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the
Læs mereMODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI
MODERNE KOSMOLOGI STEEN HANNESTAD, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI T (K) t (år) 10 30 10-44 sekunder 1 mia. 10 sekunder 3000 300.000 50 1 mia. He, D, Li Planck tiden Dannelse af grundstoffer Baggrundsstråling
Læs mereDannelsen af Galakser i det tidlige. Univers. Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse. første galakser. Johan P. U.
Dannelsen af Galakser i det tidlige Johan P. U. Fynbo, Adjunkt Univers Big Bang kosmologi Galakser Fysikken bag galaksedannelse Observationer af de første galakser Et dybt billede af himlen væk fra Mælkevejens
Læs mereFormelsamling i astronomi. Februar 2016
Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske
Læs mereA4: Introduction to Cosmology. Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne 2. time: inflation
A4: Introduction to Cosmology Forelæsning 5: Big Bang Nukleosyntese: Dannelsen af grundstofferne. time: inflation Idag: Dannelsen af H, D, He, Li Hvad skete før rekombinationen? Hvornår blev atomkernerne
Læs mereJuly 30, SLAC Summer Institute: Scott Dodelson
Standard Cosmological Model: I Friedmann-Robertson-Walker (FRW) Metric / Friedmann Equation Constituents of the Universe Thermal History: Neutrino Abundance Thermal History: Weakly Interacting Massive
Læs mereKosmologi. December Michael A. D. Møller. Kosmologi
Kosmologi. December 017. Michael A. D. Møller. side 1/16 Kosmologi Planck-satellittens målinger af den kosmologiske baggrundsstråling. Sådan et billede kan bruges til at måle kosmologiske parametre. Kilde:
Læs mereFormelsamling i astronomi. November 2015.
Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske
Læs mereMørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet
Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den
Læs mereKosmologi supplerende note
Kosmologi supplerende note. November 015. Michael A. D. Møller. side 1/10 Kosmologi supplerende note Denne note omhandler skalafaktoren for Universets ekspansion, og i modellen er inkluderet de seneste
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs mereUniverset bliver mørkere og mørkere
Universet bliver mørkere og mørkere Af Signe Riemer-Sørensen, School of Physics and Mathematics, University of Queensland og Tamara Davis, School of Physics and Mathematics, University of Queensland samt
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereUniversets opståen og udvikling
Universets opståen og udvikling 1 Universets opståen og udvikling Grundtræk af kosmologien Universets opståen og udvikling 2 Albert Einstein Omkring 1915 fremsatte Albert Einstein sin generelle relativitetsteori.
Læs mereOpgavesvar til Kosmologi
Side 2 af 14 Opgavesvar til Kosmologi Opgave 1, side 12 Soldøgn og stjernedøgn P * = 23 h 56 m 4.09 s med de forelagte tal 365.24 soldøgn: 8765.76 timer 366.24 stjernedøgn: 8765.76 timer Opgave 2, side
Læs mereMørkt stof og mørk energi
Mørkt stof og mørk energi UNF AALBORG UNI VERSITET OUTLINE Introduktion til kosmologi Den kosmiske baggrund En universel historietime Mørke emner Struktur af kosmos 2 KOSMOLOGI Kosmos: Det ordnede hele
Læs mereBig Bang Modellen. Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning.
Big Bang Modellen Varmestråling, rødforskydning, skalafaktor og stofsammensætning. Jacob Nielsen 1 Varmestråling spiller en central rolle i forståelsen af universets stofsammensætning og udvikling. Derfor
Læs mereKosmologi Big Bang-modellen
Kosmologi 6/BN - fra www.borgeleo.dk 1/17 Kosmologi Big Bang-modellen De tre søjler De tre grundpiller, som teorien om Big Bang bygger på, er 1) Rødforskydningen af bølgelængder i lyset fra fjerne galakser
Læs mereOutline. Chapter 6: (cont d) Qijin Chen. November 21, 2013 NH = =6 CH = 15 4
Chapter 6: Qjn Chen Department of Physcs, Zhejang Unversty November 1, 013 Copyrght c 013 by Qjn Chen; all rghts reserved. ω 3 4 1. (cont d) 1 3 n3n3n 3n (x 1, y 1, z 1 )(x, y, z ) (x 1 x ) + (y 1 y )
Læs mereAstrofysik. M bol = konstant + α log Π,
Astrofysik Ugeseddel 6 7 9/5 giver jeg en indledning til kosmologi med en gennemgng f Fundmentl Astronomy, Kpitel 19, og det supplerende mterile på denne ugeseddel. 11/5 behndler jeg målinger f kosmologiske
Læs mereOpgaver i kosmologi - fra
Opgaver i kosmologi - fra www.borgeleo.dk Opgave 1 - Dopplereffekt - eksempel Et bilhorn i hvile udsender lydbølger, og bølgetoppene udbreder sig med lydens fart v = 340 m/s i alle retninger med bølgelængden
Læs mereDET USYNLIGE UNIVERS. STEEN HANNESTAD 24. januar 2014
DET USYNLIGE UNIVERS STEEN HANNESTAD 24. januar 2014 GANSKE KORT OM KOSMOLOGIENS UDVIKLING FØR 1920: HELE UNIVERSET FORMODES AT VÆRE NOGENLUNDE AF SAMME STØRRELSE SOM MÆLKEVEJEN OMKRING 30,000 LYSÅR GANSKE
Læs mereMODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET
MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og
Læs mereResumé fra sidst. Stjernerne i bulen er mere metalrige end i skiven
Galakser 2014 F3 1 Resumé fra sidst Mælkevejen består grundlæggende af en skive, en bule og en halo. Solen befinder sig sammen med spiralarmene i skiven i en afstand af ca. 8.0 kpc fra centrum af galaksen.
Læs mereTermodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system
Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige
Læs mereAfstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk
1/7 Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk Afstandsstigen I astronomien har det altid været et stort problem at bestemme afstande. Først bestemtes afstandene til de nære objekter som Solen,
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereAlt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019
Alt det vi IKKE ved Morten Medici Januar 2019 Universets historie Første atomer 379.000 år Udviklingen af galakser, planeter, etc. Big Bang Hubbleteleskopet Første stjerner omkring 200 millioner år Big
Læs mereI dag. Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvilken betydning har skiven omkring det sorte hul?
Galakser 2014 F8 1 I dag Hvad adskiller aktive galakser fra normale galakser? Hvad er en quasar og hvordan ser spektret fra sådan en ud? Hvilke andre typer af aktive galakser findes der, og hvad er deres
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereLysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse:
Lysets kilde Ny Prisma Fysik og kemi 9 - kapitel 8 Skole: Navn: Klasse: Opgave 1 Der findes en række forskellige elektromagnetiske bølger. Hvilke bølger er elektromagnetiske bølger? Der er 7 svarmuligheder.
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 21. september 2009 Teoretiske Øvelser Mandag den 28. september 2009 Øvelse nr. 10: Solen vor nærmeste stjerne Solens masse-lysstyrkeforhold meget stort. Det vil sige, at der
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereBig Bang og inflation
Big Bang og inflation Af Michael Cramer Andersen, Christianshavns Gymnasium og John Rosendal Nielsen, Aurehøj Gymnasium I denne artikel vil vi give en introduktion til nogle af de væsentligste træk ved
Læs mereObservationelle Værktøjer
Observationelle Værktøjer Et værktøjskursus. Afsluttes med en rapport på ca. 10-15 sider (IKKE et Bachelor Projekt!). Tenerife Kursus (Januar 2010?). Matlab programmering. Øvelser i 1525-319, Instruktor:
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs mereKOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK
KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK 3. UDGAVE REVIDERET: 18. APRIL 2011 UDARBEJDET AF SØREN RIIS AARHUS SCHOOL OF ENGINEERING Ö Ô Ý º Ùº DETTE VÆRK ER TRYKT MED ADOBE UTOPIA 10PT LAYOUT OG TYPOGRAFI AF FORFATTEREN
Læs mereEksamensopgaver i Astrofysik
Eksamensopgaver i Astrofysik 1998 2006 Anden udgave, april 2007 Disse eksamensopgaver har været brugt til kurset Af.4 Astrofysik I og, siden vinter 2004 05, til kurset Astrofysik. De er lavet af Jørgen
Læs mereBitten Gullberg. Solen. Niels Bohr Institutet
Solen Niels Bohr Institutet 1 Sol data Gennemsnits afstanden til Jorden Lysets rejse tid til Jorden 1 AU = 149 598 000 km 8.32 min Radius 696 000 km = 109 Jord-radier Masse 1.9891 10 30 kg = 3.33 10 5
Læs mereHvordan blev Universet og solsystemet skabt? STEEN HANNESTAD INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI
Hvordan blev Universet og solsystemet skabt? STEEN HANNESTAD INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI HVAD BESTÅR JORDEN AF? HVILKE BYGGESTEN SKAL DER TIL FOR AT LIV KAN OPSTÅ? FOREKOMSTEN AF FORSKELLIGE GRUNDSTOFFER
Læs mereStatistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereUniversets begyndelse
Universets begyndelse Af Erik Høg, Peter Laursen og Johan Samsing, Niels Bohr Institutet Vi gør op med populære misforståelser for at skabe mere klarhed. Teorien om Big Bang handler ikke om Universets
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMÅLESTOKSFORHOLD HFB 2012 / 13. Målestoksforhold OP SL AG. Byggecentrum
MÅLESTOKSFORHOLD Målestoksforhold 340 MÅLEENHEDER Måleenheder Omsætning: Gl. dansk mål metermål gl. engelsk mål (= amerikansk mål). Se også: Målesystemer og enheder. Gl. dansk mål Metermål Gl. engelsk
Læs mereSupermassive sorte huller og aktive galaksekerner
Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner V.Beckmann / ESA Daniel Lawther, Dark Cosmology Centre, Københavns Universitet Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Vi skal snakke om: - Hvad
Læs mereBig Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole)
Big Bang og universets skabelse (af Jeanette Hansen, Toftlund Skole) Har du nogensinde tænkt på, hvordan jorden, solen og hele universet er skabt? Det er måske et af de vigtigste spørgsmål, man forsøger
Læs mereModerne Fysik 8 Side 1 af 9 Partikelfysik og kosmologi
Moderne Fysik 8 Side 1 af 9 I dag: Noget om det allermest fundamentale i naturen; nemlig naturens mindste byggesten og de fundamentale naturkræfter, som styrer al vekselvirkning mellem stof. Desuden skal
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereModerne Fysik 1 Side 1 af 7 Speciel Relativitetsteori
Moderne Fysik 1 Side 1 af 7 Hvad sker der, hvis man kører i en Mazda med nærlysfart og tænder forlygterne?! Kan man se lyset snegle sig afsted foran sig...? Klassisk Relativitet Betragt to observatører
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereCHRISTIAN SCHULTZ 28. MARTS 2014 DET MØRKE UNIVERS CHRISTIAN SCHULTZ DET MØRKE UNIVERS 28. MARTS 2014 CHRISTIAN SCHULTZ
OUTLINE Hvad er kosmologi Observationer i astrofysik Hvorfor må vi have mørk energi og mørkt stof for at forstå observationerne? 2 KOSMOLOGI Kosmos: Det ordnede hele Logi: Læren om Kosmo+logi: Læren om
Læs mereNumerisk simulering af ikke-lineære fænomener inden for geoteknik
Numerisk simulering af ikke-lineære fænomener inden for geoteknik Emil Smed Sørensen COWI, Aalborg Geoteknikerdagen - 9. juni 217 Page 1 of 25 Ph.d.-studie i perioden 212-216, AAU Titel: Numerical simulation
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereAristoteles Camillo. To cite this version: HAL Id: hal
An experimentally-based modeling study of the effect of anti-angiogenic therapies on primary tumor kinetics for data analysis of clinically relevant animal models of metastasis Aristoteles Camillo To cite
Læs mereHuseftersynsordningen plus, minus ti år -
Huseftersynsordningen plus, minus ti år - ! # # # % & # ( ( #! # ) # ( & # # # # +! #!# %, # # #! %.# / # # 0#( # # # # # # %, # # # 1 # # % 2 # & # # 0#( # # # # # 2 # #! 2 ( # # 3 ( & # # # (#! #, #
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereTil at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.
I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter
Læs mereKompendium i fysik. 5. udgave - oktober 2003. Uddannelsesstyrelsen
Kompendium i fysik 5. udgave - oktober 003 Uddannelsesstyrelsen Kompendium i fysik 5. udgave - oktober 003 Udgivet af Uddannelsesstyrelsen Redaktion Bjarning Grøn Carsten Claussen Gert Hansen Elsebeth
Læs mereCirculating Beams Søren Pape Møller ISA / DANFYSIK A/S Chapter 4 i Wilson - 1 hour
Circulating Beams Søren Pape Møller ISA / DANFYSIK A/S Chapter 4 i Wilson - 1 hour Particles in space En partikel har to transversale koordinater og en longitudinal og tilsvarende hastigheder. Ofte er
Læs mereRela2vitetsteori (iii)
Rela2vitetsteori (iii) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Udgangspunktet: Einsteins rela2vitetsprincip Einsteins postulater: 1. Alle iner*alsystemer er ligeværdige for udførelse
Læs mereDet kosmologiske verdensbillede anno 2010
Det kosmologiske verdensbillede anno 2010 Baseret på foredrag afholdt i foreningen d. 6. maj 2010. Af Anja C. Andersen Niels Bohr Instituttet Københavns Universitet. Hvad består Universet egentlig af?
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereKompendium til Kosmologi 1. Kompendium til Kosmologi
Kompendium til Kosmologi 1 Kompendium til Kosmologi Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 010-011 Kompendium til Kosmologi Indhold Indhold... 1. Hvad er kosmologi...3. Einsteins generelle relativitetsteori...3.1
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereHubble relationen Øvelsesvejledning
Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger
Læs mereTemperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe
Temperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe Josefine Adler, Lisa Lolk Hauge, Jophiel Nyman Wiis Vejledere: Steen H. Hansen, Johan Samsing 30. marts 011 (Image credit: NASA) Abstract Given that the amount
Læs mereStjerneudvikling, grundstofsyntese og supernovaer. Jørgen Christensen-Dalsgaard Dansk AsteroSeismologi Center Institut for Fysik og Astronomi
Stjerneudvikling, grundstofsyntese og supernovaer Jørgen Christensen-Dalsgaard Dansk AsteroSeismologi Center Institut for Fysik og Astronomi SN 1994D Starmodels ifølge GOOGLE Tromsø Astronomiforening Stjernebrettingskomiteen
Læs mereKurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
Læs mereAntistofteorien, en ny teori om universets skabelse.
Antistofteorien, en ny teori om universets skabelse. Hvad er mørk energi? Big Bang har længe været en anerkendt model for universets skabelse. Den har imidlertid mange mangler. For at forklare universets
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereFysik 3 Frie øvelser. Massen af galaksehob Abell 2218
Fysik 3 Frie øvelser Massen af galaksehob Abell 18 Udført af: Anne Mette Frejsel, Andreas Terkildsen, Maja Larsen og Christian Eistrup Københavns Universitet Forår 008 Massen af galaksehob Abell 18 Anne
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereForelæsning 7a. Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler) Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Moderne acceleratorers fsik og anvendelse Forelæsning 7a Ikke-linariteter og Instabiliteter Ikke-linariteter Multipoler (specielt sekstupoler Andenordens resonans Tredjeordens resonans Langsom ekstraktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs mereStrålende eksperimenter 2 dele:
Strålende eksperimenter 2 dele: Relativitetsteori Lys-eksperimenter All the fifty years of conscious brooding have brought me no closer to the answer to the question, 'What are light quanta?' Of course
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements
Læs mereFørsteårsprojekt. Strukturen af mørkt stof
Førsteårsprojekt Strukturen af mørkt stof Lavet af Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt. Vejledere: Steen Hansen og Ole Høst (begge fra Dark Cosmology Centre). Afleveringsdato:
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk
Læs mereStatistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas
Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære
Læs mereFysik 2, Foreslåede løsninger til prøveeksamenssæt, januar 2007
Fysik 2 Foresåede øsninger ti prøveeksamenssæt januar 2007 Opgave a) Størresen af kraften i cirkebevægesen er Totaenergien er da F = m r 2 v = E = m r = m v2 r r + 2 mv2 = m 2r b) umskibets totaenergi
Læs mere