Indholdsfortegnelse Forord 1. Indledning 2. Grundlag og specielle forudsætninger om Mars 3. Hypothesis Vicaria

Transkript

1

2 Indholdsfortegnelse Forord iii 1. Indledning Modelbegrebet Kepler's uddannelse og virksomhed indtil mødet med Tycho Brahe Kepler og Tycho Hypothesis Vicaria og Astronomia Nova Hvad skulle Kepler gøre Kepler's copernicanisme 6 2. Grundlag og specielle forudsætninger om Mars Planetfænomenerne Tycho's 10 observationer De nødvendige parametre Den daglige parallakse Knudelinien Hældningen Triumf Kepler's analyse af oppositionerne Kepler's liste over 12 oppositioner Hypothesis Vicaria Opstilling af modellen De karateristiske parametre og valg af fire oppositioner Opgaven Beregninger til at finde de ønskede parametre i modellen Gennemgang af Del Gennemgang af Del Implementationen af denne fremgangsmåde i Pascal Strukturering af data Selve programmet Beregninger med Kepler middellængder Kepler's egne procedurer Korrektion 1 og Korrektion Korrektion 4 34 i

3 3.8.5 Korrektion Revideret Korrektion 4 og Korrektion Korrektion Revideret Korrektion Beregninger med korrekte middellængder Korrektion 1, 2 og Korrektion 4 og Korrektion Beregninger baseret på de oprindelige Del 1 og Del Resultater ved Kepler middellængder Resultater ved korrekte middellængder Konklusion Afprøvning af de 12 akronytiske steder ved hjælp af den opstillede hypotese Bevægelsen af Mars' Aphel De tre anomalier Parameterværdier til aftestning Sammenligning med Kepler Datasæt Datasæt Datasæt Datasæt Datasæt Datasæt Kommentarer til skemaer Forsøg på konklusion Sammenligning mellem Tycho og Tuckerman Afslutning Bredden Den rigtige model 73 Litteraturliste 74 Appendiks A - M ii

4 Forord Dette speciale er blevet til i et samarbejde mellem Datalogisk Afdeling og Institut for de Eksakte Videnskabers Historie ved Aarhus Universitet. Jeg vil gerne benytte lejligheden til at takke begge mine vejledere, Ole Østerby, Datalogi og Olaf Pedersen, De Eksakte Videnskabers Historie. Men specialet havde nok aldrig fået sin nuværende form, hvis ikke min oprindelige vejleder på Datalogi, Bjarner Svejgaard, havde stået mig bi. Hans utrolige indsigt i de mest forskellige problemområder gjorde det netop her muligt for mig at kombinere de to fag, datalogi og historisk astronomi, der først og fremmest ligger til grund for specialet. Samarbejdet med Olaf Pedersen blev indledt allerede i 1987; men Svejgaards alt for tidlige død i 1988 betød et midlertidigt stop i udarbejdelsen af specialet. Ole Østerby overtog vejledningen og har sammen med Olaf Pedersen fået bragt mig til vejs ende. Bjarner Svejgaard havde på sit kontor en sentens hængende indrammet, som han havde gjort til sit motto. Det lød : "The Purpose of Computing is Insight, not Numbers". Meningen er ikke, at man skal afstå fra at beskæftige sig med tal men derimod sørge for, at man igennem sin behandling af tal får den ønskede forståelse af et problem. Det er ud fra dette motto, at det følgende speciale er blevet til. Forsideillustration : "Dette er den nøjagtige tegning af de bevægelser af Mars, som den gennemløb i himmelrummet fra år 1580 til år 1596, hvis det er rigtigt, at Jorden står stille, som Ptolemaios og Brahe vil det. At fortsætte bevægelsen videre ville give et rod; da rækken af slyngninger går endeløst videre og aldrig vender tilbage i sig selv." Citatet er fra Astronomia Nova, [AN,I,1,p.60n], og beskriver tegningen, som her er gengivet. Kepler forklarer samme sted, at hvis man benytter Copernicus' lære, vil Jorden udføre et omløb omkring Solen på et år. De tilsyneladende "sløjfer" vil forsvinde, og planeterne vil bevæge sig på "en ganske enkel, næsten cirkelformet bane" i deres omkredsning af Solen. iii

5 Et par praktiske oplysninger : Den hyppigste litteraturhenvisning er til Kepler's Astronomia Nova. Den har som oftest følgende form, der her er angivet ved et eksempel : [AN,II,16,p.156ø]. Det betyder : Den tyske udgave af Astronomia Nova, anden del, kapitel 16, side 156 øverst. Hvis man derfor benytter den latinske udgave, vil sidenummeret ikke passe. De andre oplysninger er derimod de samme. Ved angivelse af vinkler er den nutidige notation oftest anvendt. Den kan læses som <grader>;<minutter>,<sekunder> hvorimod Kepler anvender en notation med for grader, ' for minutter og " for sekunder. iv

6 1. Indledning 1.1 Modelbegrebet Et centralt punkt inden for den datalogiske tankegang er at udvikle metoder, som gør det muligt at opstille et forslag til løsning af et problem ud fra en nogle gange temmelig vag formulering. Ofte vil en sådan løsning give sig udtryk i et eller flere EDB-programmer, som tilsammen skal danne en tilfredsstillende implementation, altså et programkompleks, som er i stand til at skabe den behandling af information og de resultater, man i den originale formulering af problemet havde ønsket. Bag det hele ligger der en ide om at kunne lave en model af et lille hjørne af virkeligheden. En model vil ofte forsøge at anskueliggøre, hvordan en given proces eller en given lovmæssighed kan tænkes at foregå. Datalogien har bidraget til afklaring af dette forhold mellem virkelighed og model igennem muligheden af med stor hastighed at kunne afprøve sine modeller. Men derudover er det et krav, at denne model kan beskrives ved hjælp af symboler, som kan forstås af en datamaskine, hvilket vil sige et matematisk beslægtet formelsprog. Desuden skal opbygningen af modellen følge visse retningslinier. En model kan siges at være enten struktureret eller reproducerende. Navnet struktureret model skal tjene til at forklare, at modellen har en indre struktur, som igen kan være beskrevet ved hjælp af andre strukturerede modeller. Et billede på det ville være en stor kasse, hvori der findes mindre kasser, som er indbyrdes forbundet. Nogle af kasserne indeholder som sagt en struktureret model, mens andre viser sig at være såkaldte reproducerende modeller. De er i stand til at reproducere det, som man kan observere i virkeligheden og er ved deres placering i den strukturerede model i stand til at give en tilfredsstillende løsning på et problem. Men en reproducerende model har en atomar struktur, så det er ikke muligt at foretage yderligere opsplitninger i delmodeller. Forbindelsen til det egentlige mål med denne afhandling kan umiddelbart synes noget fjern. Hovedformålet er ikke at gå videre med en abstrakt beskrivelse af modelbegreber. Derimod skal et konkret eksempel på opbygningen af en model gives. Her kunne man tage mange eksempler fra den tid, som datalogien som fag er blevet skabt i, altså de sidste år. Imidlertid har de eksakte videnskabers historie talrige eksempler på modelkonstruktioner. Hvis man skulle nævne et eksempel på en reproducerende model, kan Newtons love om gravitationen tjene som eksempel. Det eksempel, som skal søges gennemgået her, var et trin på vejen til en beskrivelse af planetbanerne i vort solsystem, det som senere er blevet benævnt Kepler's love. Der er også her tale om en reproducerende model, blot var det en model, som fejlede i at beskrive alle fænomener. Den var stedfortrædende for den egentlige model. 1

7 1.2 Kepler's uddannelse og virksomhed indtil mødet med Tycho Brahe Inden Johannes Kepler ( ) påbegyndte sin nærmere behandling af strukturen af planeten Mars' bane i 1601, et arbejde som i 1609 resulterede i udgivelsen af værket Astronomia Nova, [AN], var der allerede sket mange betydningsfulde ting i hans liv. Kepler blev født i 1571 i Weil der Stadt, en lille by cirka 30 km vest for Stuttgart i Baden Württemberg. I 1587 påbegyndte han sin universitetsuddannelse ved universitetet i Tübingen med grunduddannelsen artes liberales og erhvervede i 1591 sin eksamen som magister artium. Her skal bemærkes, at der dengang ikke var nogen skarp skelnen mellem de forskellige universitetsfag, og faktisk var Kepler på dette tidspunkt mere optaget af at følge en videre teologisk karriere for at blive protestantisk præst. En af hans lærere i Tübingen var den berømte astronom Michael Mästlin ( ). Han havde opdaget Kepler's gode evne til behandling af astronomiske data, og det er desuden Mästlin, som igennem sine forelæsninger introducerede den unge Kepler for Copernicus' ( ) nye lære om verdensbilledet. I 1594 blev der i Graz i Østrig en plads ledig som underviser i matematik og astronomi og på anmodning af Kepler's mæcen, Hertugen af Württemberg, flytter han dertil. Han siger selv herom "Jeg accepterede, mere udrustet med talent end med viden", [AN, II,7, p.103]. Det viser sig dog inden for de to næste år, at Kepler beviser sin kunnen inden for astronomien igennem udgivelsen af Mysterium Cosmographicum i Han viser heri, at planetbanerne i det copernicanske verdensbillede med de værdier af deres størrelse, man på det tidspunkt havde til rådighed, hver kunne omskrive en regulær polyeder, inden i hvilken man igen kunne indskrive planetbanen for planeten nærmere solen end den første. Copernicus havde i sin model for planetbanerne i traditon med Ptolemaios (ca ) anvendt epicykler. Det relative forhold mellem størrelsen af radier i epicyklerne ligger dermed til grund for Kepler's beregning. Hans udregning resulterede i følgende forholdstal. Planet Forholdstal bestemt ved geometrien det copernicanske system Saturn heksaeder Jupiter tetraeder Mars dodekaeder Jorden icosaeder Venus octaeder 577 / Merkur 2

8 Tallene i første kolonne forklares sådan, at hvis den om terningen omskrevne kugle (Saturnbanen) har radius 1000, vil den indskrevne kugle få radius 577. Denne indskrevne kugle bliver den omskrevne kugle (Jupiterbanen) for tetraederet. Sættes radius i denne kugle til 1000, bliver radius i den af tetraederet indskrevne kugle 333, o.s.v. Tallet 707 ved forholdet mellem Venus og Merkur fremkommer ved at indskrive kuglen i et kvadrat dannet af fire af octaedrets kanter i stedet for at tage hele octaedret, som giver 577. Tager man planetbanediametrene og beregner de tilsvarende forhold, fremkommer tallene i anden kolonne. I Copernicus' store værk De Revolutionibus fra 1543 er en af hans største bedrifter objektivt at fastlægge rækkefølgen af planeterne, og det er denne sikre grund, som Kepler nu kan udnytte. Indbygget i dette resultat ligger, at Kepler bekender sig som copernikaner; men som det senere skal vise sig, havde han tilføjelser og korrektioner at gøre til det copernicanske verdensbillede. Bogværket Mysterium Cosmographicum bragte ham så megen berømmelse, at Tycho Brahe ( ) inviterede ham til Hven, hvor Tycho siden 1576 havde foretaget observationer, fra 1580 på slottet Uraniborg, og fra 1584 i sit observatorium Stjerneborg. 1.3 Kepler og Tycho Kepler nævner i Astronomia Nova, at han ikke var begejstret for at rejse den lange vej fra Graz til Hven, og han betragter det derfor som et guddommeligt forsyn, at Tycho i 1599 ankommer til Prag for at fortsætte sit arbejde der, efter at han i 1597 som enden på sine uoverensstemmelser i Danmark med rigsrådet og kongen Christian d. 4 ( , kronet 1596) stopper sit arbejde på Hven og forlader Danmark. Kepler aflægger sit første besøg i Prag i februar 1600, og han nævner selv i [AN, II,7,p.104ø], at han først og fremmest håbede at få forbedrede værdier for planeternes excentriciteter. Imidlertid opdager Kepler, at Tycho benyttede middelsolen i tradition med såvel Ptolemaios som Copernicus. I modsætning hertil vil Kepler basere sin planetteori på den sande sol. Dette er en af hans indvendinger imod Copernicus' verdensbillede. På dette tidspunkt er Kepler som protestant udsat for chikanerier fra modreformationen i Graz, og han har derfor besvær med fortsat at kunne beholde sin stilling der. I løbet af foråret 1600 opholder Kepler sig hos Tycho på slottet Benatky lidt uden for Prag, og i oktober 1600 flytter Kepler med sin familie til Prag. Han overtager arbejdet med at fastlægge Marsbanen efter en af Tycho's nærmeste medarbejdere, Christian Sørensen Longomontanus ( ), som mere og mere var opsat på at få udarbejdet en teori for Månens bevægelser. Kepler nævner selv, at det igen må være ved et guddommeligt forsyn, at det netop var Mars, han på den måde fik mulighed for at undersøge. Denne planet har en excentricitet, der er så stor, at Kepler takket være nøjagtigheden af observationsinstrumenter og de deraf aflæste data 3

9 har kunnet opdage, at Tycho's og Longomontanus' opstillede modeller ikke kunne gøre rede for såvel længde som bredde af Mars oppositioner. Samarbejdet mellem Kepler og Tycho fik desværre kun lov til at vare kort tid, idet Tycho dør 24. oktober 1601 og begraves i Tejn Kirken i Prag. På grund af Kepler's nødvendige rejser til Graz fik deres samvær kun en varighed på cirka 10 måneder. Desuden var Tycho og Kepler af forskelligt temperament, og der er beretninger om flere uoverensstemmelser imellem dem, ikke blot af faglig karakter. På trods af det var det et held for Kepler, at han blev tilknyttet det videnskabelige miljø i Prag, som Tycho var en del af og som var helt enestående i datidens Europa. Det var i Prag, at Kepler fik øjnene op for betydningen af at verificere sine teorier ved hjælp af observerede data. På forhånd var han en mester i at regne; men han var muligvis forblevet den talmagiker, han gav udtryk for at være igennem Mysterium Cosmographicum, hvis han ikke havde mødt Tycho. Astronomia Nova er derimod et værk, som for første gang præsenterer nogle af elementerne i vore dages moderne videnskab. Kepler's første forsøg på at opnå en tilfredsstillende model for Marsbanen blev af ham selv senere benævnt Hypothesis Vicaria. 1.4 Hypothesis Vicaria og Astronomia Nova Set i sammenhæng med ikke blot bogværket Astronomia Nova men også med Johannes Kepler's samlede arbejde kan Hypothesis Vicaria synes meget ubetydelig og uden relevans. Dette især hvis man kun husker Kepler for hans tre love. Imidlertid er denne "stedfortrædende hypotese" et af de vigtigste bindeled mellem den tidlige fortolkning af Copernicus' verdensbillede og Kepler's love. Desuden bliver Hypothesis Vicaria brugt af Kepler igennem hele Astronomia Nova til at kontrollere Mars' længde udregnet efter de forskellige andre modeller og til sidst i en kontrol af selve ellipsebanemodellen. Det interessante ved Hypothesis Vicaria set i et datalogisk perspektiv er som tidligere nævnt den egenskab ved en model, at den er i stand til igennem sit resultat (sit output) at reproducere observerede data. Dermed har modellen bevist sin nytte; men modellen behøver ikke at være en korrekt gengivelse af de faktiske forhold. Man behøver ikke altid at have en indsigt i alle forhold af et problem for at kunne lave en model, som ikke har anden funktion end at bidrage ved sin behandling af data til en yderligere klarlægning af problemets natur. At modellen tydeligt fejler på nogle punkter viser kun, hvor der må sættes ind for at løse problemet. Det kan endda betyde, at elementer, som tidligere lå skjult eller syntes uden betydning, nu er blevet afklaret. De kan således bedre angribes og forklares i en ny model. Værket Astronomia Nova udkom i Heidelberg i 1609 som en stor foliant på over 350 sider. Værket er tilegnet den tysk-romerske Kejser Rudolf II ( , kejser fra 1576), som derfor først hyldes i værket. Efter forskellige epigrammer og kommentarer, hvor Kepler sørger for at gøre sin position som dels matematiker dels fysiker klar, følger en indledning til 4

10 selve værket, som er suppleret med en oversigtstavle over bogen, samt en kort omtale af hvert af de ialt 70 kapitler, som af Kepler er delt op i fem dele. Første del, kapitel 1-6, behandler de tre kendte verdenssystemer af Ptolemaios, Copernicus og Tycho. Kepler undersøger, hvorvidt de kan siges at være ækvivalente. Specielt er han interesseret i at klarlægge, om de er ækvivalente, når systemets centrum flyttes fra middelsolen til den sande sol. Anden del, kapitel 7-21, som det her er formålet at gennemgå, handler om Mars' såkaldte første anomali og indeholder gennemgangen af Hypothesis Vicaria. Tredie del, kapitel 22-40, beskæftiger sig med Mars' anden anomali og hvordan den kan beskrives ved Jordens bevægelse rundt om Solen. Det er i denne del, Kepler finder arealsætningen, som senere får navnet Kepler's Anden Lov. Fjerde del, kapitel 41-60, bruges af Kepler til at give en fysisk teori for den første anomali. Det lykkes for ham, idet det er i denne del, han finder loven om ellipsebanerne, nu benævnt Keper's Første Lov. Femte del, kapitel 61-70, afslutter Astronomia Nova med teorien om Mars' bevægelse i bredden. 1.5 Hvad skulle Kepler gøre Tycho havde stillet Kepler den opgave at etablere en samlet teori for Mars, d.v.s. en teori, der gør det muligt at verificere værdierne for såvel længde som bredde af de ti Marsoppositioner, som Tycho havde iagttaget i perioden fra 1580 til 1600 og som han overdrager Kepler. Disse supplerede Kepler efter Tycho's død med to observationer fra 1602 og 1604, så han ialt havde tolv sæt af data til sin rådighed. De bliver præsenteret i anden del af Astronomia Nova. Men Kepler havde som før nævnt flere betænkeligheder ved det copernicanske systems grundlag. Tillige skulle han også forklare, hvorfor han ikke kunne godtage såvel Ptolemaios' som Tycho's systemer. Hvad angår Ptolemaios anfører Kepler, at han ved at have epicykler tilknyttet hver af planeterne faktisk får fem forskellige solteorier. Dette er ikke i overensstemmelse med det såkaldte økonomiprincip i naturen. Det må være tilstrækkeligt med en solteori. Eller som Kepler udtrykker det : "Naturen anvender så få midler som muligt" [AN p.23n]. Tycho har løst dette problem ved i sin model af solsystemet at lade alle de fem planeter, som man på det tidspunkt havde kendskab til, kredse omkring Solen, som så igen kredser omkring Jorden; men sådan at Jorden forbliver i hvile som centrum for universet. Med de størrelser Tycho angiver for radier af planetbanerne, vil Marsbanen og Solbanen da skære hinanden, og teorien om de materielle sfærer, som planeterne tænkes at være placeret i, må derfor opgives af Tycho. Heri bliver han yderligere bekræftet ved observationerne af kometen i 1577, som Tycho mente befandt sig mindst lige så langt borte som Venus, hvis sfære den tilsyneladende bevægede sig uhindret igennem. 5

11 1.6 Kepler's copernicanisme Kepler, som allerede er overbevist copernikaner, argumenterer mod Tycho's system ved at anføre, at Solens omløbstid på 365 døgn numerisk ligger imellem Venus' på 225 døgn og Mars' på 687 døgn. Der må derfor i virkeligheden være tale om en planet mellem Venus og Mars, altså Jorden. Desuden viser variationen af planeternes hastighed i deres omløbsbane, at de er størst i perihel, når de er tættest på Solen og mindst i aphel, når de er længst væk fra Solen. Kepler tyder det sådan, at det er Solen, som er årsag til deres bevægelse. I kraft af dette er det mest naturligt, at den er i hvile. Han betegner det derfor som mest sandsynligt, at Jorden også bevæger sig omkring Solen. Tycho har i sit system afskaffet de materielle planetsfærer, noget som Copernicus ikke havde gjort. Banerne bliver derfor rene matematiske kurver i rummet uden materielt indhold. Kepler tilslutter sig her Tycho's opfattelse og kombinerer det med det copernicanske system. Han bliver som konsekvens heraf nødt til at forklare, hvordan man derefter kan om ikke afskaffe så aflaste de "bevægende forstands- eller sjælekræfter" [AN,p.24ø], som nu tillige med at bevæge planeten rundt i banen med en korrekt omløbstid også skal sørge for at holde de korrekte afstande til det punkt, hvorom bevægelsen sker. Hvis man antager Jordens bevægelse påstår Kepler, at han kan vise at "det mest har årsag i ikke-sjælelige men legemlige, magnetiske kræfter" [AN,p.24ø]. Dette sidste er et af de programpunkter i Astronomia Nova, som Kepler ikke havde held til at gennemføre. Magnetismen som forklaring til planeternes bevægelse havde han fundet inspiration til i den engelske fysiker William Gilbert's ( ) bog De Magnete fra Astronomia Nova er funderet på en forkert antagelse om naturen af kræfterne imellem planeterne. Det får imidlertid ikke resten af værket til at være ugyldigt. Kepler søger generelt at fremhæve muligheden af en legemlig eller materiel kraft, som skal ligge til grund for bevægelsen af planeterne, i stedet for en sjælelig eller immateriel kraft. Han begrunder dette med sit hovedmål, at kunne give fysiske årsager til de iagttagne fænomener. I den forbindelse søger han også at forsvare Copernicus' lære mod kritik fra teologisk side, specielt argumentet om Jordens bevægelse rundt om den stillestående Sol, som synes at stride mod Bibelens lære. Kepler anfører hertil eksempler på, hvordan vi igennem dagligsproget er præget af synssansen mere end andre sanser. Derfor taler man om fænomenerne, som de tilsyneladende ser ud uden at kende den fysiske årsag. Det samme gør Bibelen. "Men nu taler Den Hellige Skrift også om dagligdags ting (som den ikke har til hensigt at belære menneskene om) til menneskene på en menneskelig måde, for at kunne forstås af menneskene; den anvender dertil begreber, som er almindeligt kendt af mennesker, for at bibringe dem noget højere og guddommeligt", [AN,p.29m]. Det videnskabelige sprog kan derfor uden modstrid også udtale sig om fænomenerne, blot vil de give fysiske forklaringer på disse. 6

12 2. Grundlag og specielle forudsætninger om Mars I anden del af Astronomia Nova, som omfatter kapitlerne 7 til 21 og har titlen "Om Stjernen Mars' første anomali", påbegynder Kepler en mere detaljeret gennemgang af det materiale om Marsobservationerne, han har fået overdraget af Tycho. Han giver selv denne del underoverskriften "I efterligning af de gamle". Der er dog tale om en efterligning, hvor Kepler forsøger at se, hvor meget han kan bruge af de teorier, som Ptolemaios, Copernicus og Tycho benyttede sig af. Det er en meget metodisk og kritisk undersøgelse, hvor de givne data bliver behandlet på ny og sat op mod de geometriske modeller, han havde til rådighed. Kapitlerne 8 til 10 benyttes til at analysere Tycho's materiale. Kepler kan herefter konkludere, at der ikke er overbevisende grunde til at fastholde de modeller, man hidtil havde arbejdet med i undersøgelserne af Marsbanen. Han mener derfor med fuld ret, at han frit kan benytte Tycho's oprindelige observationsmateriale til at udarbejde en ny model, eller hypotese. I kapitlerne 11 til 14 lykkes det ham at fastlægge de nødvendige parametre i Mars' bevægelse, så han i kapitel 15 endeligt kan få oppositionerne fastlagt tilstrækkeligt præcist til, at han kan udarbejde sin Hypothesis Vicaria. Her skal kort refereres, hvordan Kepler når frem til sine resultater. 2.1 Planetfænomenerne Kepler søger at dele sine undersøgelser op, så han behandler de forskellige planetfænomener hver for sig. Det drejer sig om de to anomalier, som beskrives her. Den anden anomali tjener til at beskrive de tilsyneladende retrograde bevægelser, som Mars udfører set fra jorden. Ptolemaios havde valgt at lade denne anomali beskrive ved epicyklen, hvis centrum bevægede sig rundt på den excentriske cirkel. Dette system havde til opgave at give en forklaring på den sløjfeagtige bevægelse, der kan iagttages. Den er søgt illustreret idealiseret på figur 1. Øst E Vest B C A Fig. 1 D Knude Ecliptica 7

13 Når Mars er i opposition til Solen, hvilket vil sige at forskellen mellem deres længder er 180 grader, befinder Mars sig i et punkt E på den retrograde bue imellem punkterne B og C, benævnt første og anden stilstand. Disse angiver henholdsvis begyndelsen og afslutningen af den retrograde bevægelse. A og D angiver første og sidste synlighed set fra Jorden. Den rette linie markerer Ecliptica, som er den storcirkel på himmelkuglen, Solen tilsyneladende bevæger sig rundt på fra vest mod øst i løbet af et år. Ecliptica er opdelt i de tolv stjernetegn, hvoraf Vædderen er det første, og regnes derfor for nulpunktet for længdeangivelserne. Hvert stjernetegn optager altså 30. Rækkefølgen af stjernetegnene på Ecliptica er : Vædderen Vægten Tyren Skorpionen Tvillingerne Skytten Krebsen Stenbukken Løven Vandmanden Jomfruen Fiskene Når Mars krydser Ecliptica siger man, at der er tale om en passage igennem en af de to knuder. Det kan være enten den opadgående knude eller den nedadgående, som på figur 1. Som det omtales i de følgende afsnit, finder Kepler i kapitel 12 frem til, at knuderne lå placeret næsten over for hinanden på Ecliptica i 16 2/3 i Tyren og i Skorpionen, som naturligt har en afstand fra hinanden på seks stjernetegn. I det følgende kapitel 13 bestemmes hældningen af Mars' baneplan i forhold til Eclipticas plan til 1;50. Linien, som fremkommer, når disse to planer krydser hinanden, kaldes knudelinien. Den dannes, som navnet siger, ved at trække en linien igennem de to knuder og Solen. Knudelinien findes af Kepler i kapitel 17 til at have en årlig bevægelse relativt til Forårspunktet på 40" og relativt til fiksstjernerne på 10.56". Forårspunktet, også kaldet Vædderpunktet, er skæringspunktet mellem de to tænkte storcirkler på himmelkuglen, himlens ækvator og Ecliptica. Vædderpunktet tjener som nulpunkt for længdeangivelserne, som vokser regnet fra Forårspunktet mod øst. I analogi til Mars' knudelinie kan Forårspunktet kaldes Jordens opadgående knude, mens den nedadgående findes ved overgangen mellem Jomfruen og Vægten. Kepler kan ved at betragte oppositioner undlade at beskæftige sig med de retrograde bevægelser. Han skal derfor heller ikke inddrage epicykler i sin model. Desuden hidrører disse ifølge den copernicanske betragtningsmåde fra Jordens årlige bevægelse, som det ikke er nødvendigt at inddrage ved en model, hvori Solen og Mars indgår. Der er hermed i anden del af Astronomia Nova alene tale om en model, som søger at reproducere Mars' første anomali. Af samme grund har kapitel 16 titlen "Metode til at opstille en hypotese, for at tilfredsstille den første anomali". Denne anomali beskriver den tilsyneladende ujævne hastighed af Mars i et omløb rundt om Solen med en anomalistisk omløbstid på 687 dage, hvilket vil sige den tid det tager Mars at returnere til samme punkt i sin bane. 8

14 Når planetens hastighed i banen når sit minimum er den fjernest fra Solen og siges da at være i sit Aphel. Når hastigheden tilsvarende når sit maksimum er planeten tættest ved Solen og siges at være i sit Perihel. Denne uregelmæssighed i hastigheden søges forklaret ved at antage, at planeten bevæger sig med en jævn hastighed på en excentrisk cirkel, hvis centrum ligger i en given afstand (excentriciteten) fra det punkt, hvorfra bevægelsen iagttages som værende ujævn. Kepler er på dette punkt helt i tradition med såvel Ptolemaios som Copernicus; men det geometriske grundlag for hans Hypothesis Vicaria afviger alligevel kraftigt fra tidligere. Ydermere er der tale om en kinematisk forklaring af Mars' bevægelse om Solen og ikke en fysisk begrundelse. Derfor betegnelsen "stedfortrædende". Den endelige model, som må komme senere, skal give en fysisk begrundelse for planetbevægelsen. 2.2 Tycho's 10 observationer Kepler undersøger først i kapitel 8, [AN,II,8,p ], den tabel, som han har fået overdraget af Tycho. Den er her gengivet i kopi fra den tyske udgave, [AN,II,8,p ]. (fortsat) I denne tabel har Tycho opstillet data for de ti oppositioner i tidsrummet 1580 til Observationerne er behandlet, så de repræsenterer middeloppositionerne. Hermed menes, at oppositionen tænkes observeret fra et imaginært punkt, hvor bevægelsen af Mars synes at 9

15 foregå med jævn vinkelhastighed. En af Kepler's hovedindvendinger mod Tycho's system er som nævnt, at han ikke er i stand til at forklare observationerne fra den sande position, man iagttager fra. Ved en middelopposition skal den beregnede middelposition af Solen og den observerede position af Mars være nøjagtig seks stjernetegn fra hinanden. Kepler finder her afvigelser på op til 0;13,24, når han sammenligner med Mars' position på Ecliptica efter reduktion. Han prøver derefter at sammenligne med positionen af Mars i sin bane men finder igen for store afvigelser. Til gengæld viser en sammenligning mellem middelbevægelsen af Mars angivet i tabellen og den samme bevægelse udregnet af Kepler efter Tycho's tabeller en lille afvigelse, fra 30" til 1'. Kepler bemærker, at dette kan skyldes grundlaget for tabellerne. Trods Kepler's kritik af Tycho's tabel, indeholder den data for præcessionen af fiksstjernerne, som stemmer med de angivelser, Kepler bruger senere hen. Her overtager han noget fra Tycho. I kolonnen "Unsere Präzession der Äquinoktien" kan man ved at beregne forskellen mellem tallene angivet herfor for to på hinanden følgende oppositioner og dividere med antal dage imellem få værdier for præcessionen af fiksstjernerne, som ligger tæt på de 51", Kepler angiver i [AN,II,16,p.147]. Kepler konkluderer, at i første omgang må man se nærmere på metoden anvendt ved reduktion fra Ecliptica til Mars' baneplan, som derfor behandles i kapitel 9, [AN,II,9,p ]. Angående reduktionen viser det sig efter hans opfattelse, at man i tidsrummet omkring en opposition ikke kan være sikker på, at planetens bevægelse er helt uafhængig af den anden anomali. Han indrømmer, at det her er meget små størrelser, der diskuteres. Men netop denne ønskede "finhed" gør, at forkerte metoder til reduktion nu giver uønsket indflydelse. Efter en meget præcis geometrisk analyse af Tycho's metode, kan han konkludere, at hvis planeten i opposition er helt fri for den anden anomali i længden, så vil den anden anomali i bredden på dette tidspunkt være maksimal. Som følge heraf vil Mars' bane på himlen blive en slags bølgebevægelse i bredden, og dette kan ikke forenes med det observerede. Den maksimale norlige bredde ville være 4;33 og den tilsvarende sydlige 6;26. Konsekvensen af det bliver, at Mars' baneplan skulle "knække" i knudelinien, bemærker Kepler. For at løse dette problem foreslår han derfor en ny metode til reduktion. Et eksempel på, hvordan han bruger den, gennemgås senere i dette kapitel. Hovedgrundlaget herfor bygger på den talværdi, som han senere finder i kapitel 13 for hældningen af Mars' baneplan i forhold til Ecliptica. Han sætter den til at have en maksimal værdi på 1;50. Hvis man regner 45 fra en af knuderne vil reduktionen her antage sin største værdi på cirka 1'. En mere præcis regning giver 53". Dette er en af forklaringerne på de store afvigelser i Tycho's materiale, hvor reduktioner på 7' til 9' er anvendt. Herefter følger et ret kort kapitel 10, [AN,II,10,p ], hvor Tycho's bestemmelse af Mars' positioner ved opposition og hans tidsangivelser for disse behandles. Det er svært at kontrollere korrektheden af de opgivne data, da de er funderet på beregninger og overvejelser, dels fra Tycho dels fra Kepler, som ikke er gengivet. Men Kepler finder kun i 1580 og 1597 større uoverensstemmelser, hvoraf den sidste ifølge Kepler kan forklares 10

16 med, at Tycho på det tidspunkt netop havde forladt Hven og havde derfor ikke alle sine instrumenter til rådighed. 2.3 De nødvendige parametre Den daglige parallakse I det følgende lange kapitel 11, [AN,II,11,p ] sætter Kepler sig den opgave at bestemme den daglige parallakse af Mars. Tycho eller rettere hans assistenter havde udført et stort regnearbejde for at bestemme Marsparallaksen i forbindelse med oppositionen i Kepler påpeger dog mangler ved beregningsmetoderne og hæfter sig kun ved deres konklusion, at horisontalparallaksen for Mars er noget større end Solens, som Tycho sætter til 3'. Kepler prøver at bygge på de originale observationer; men finder parallakser, som på intet tidspunkt nærmer sig 3'. Derefter forsøger han at antage Mars' horisontalparallakse til 4' og regner tilbage, stadigvæk uden at få overensstemmelse, idet han får 4',8". Kepler får derefter den ide, at i stedet for at benytte længdeobservationer til bestemmelse af horisontalparallaksen kunne man bruge breddeobservationer. Dette prøves med Kepler's egne observationer fra 1604; men uden stort held, bl.a. grundet besvær med instrumenterne. Til sidst må han konstatere at "Må observationerne være hvad de være vil, fra dem fremkommer dog det sikre resultat, at breddeparallaksen af Mars sikkert ikke er større end 4', en størrelse som kan stamme fra unøjagtigheden i instrumenterne; mere troværdigt er det, at den (parallaksen) er meget lille", [AN,II,11,p.122]. Her rører han ved noget rigtigt. De nutidige værdier for horisontalparallakserne er 8" til 9" for Solen og maksimalt 25" for Mars i opposition. Det er i det hele taget et problem for Kepler, at han må bygge på Tycho's solteori, hvor der benyttes alt for store excentriciteter. Middellængderne er som følge heraf behæftet med fejl på op til 11' Knudelinien Kapitel 12, [AN,II,12,p ], giver derimod den første sikre bestemmelse af knudernes position og dermed af knudelinien. Kepler benytter helt sin egen metode, idet han meget naturligt udvælger observationer af Mars, når planeten observeres tæt ved eller i en af knuderne og derfor har bredden nul. Efter at have korrigeret for parallakse og refraktion kan det fastslås, at afstanden i dage mellem sådanne to observationer er 687 dage, hvilket netop er Mars' anomalistiske omløbstid. Herefter bruges Tycho's metode til at finde den heliocentriske længde ud fra middelpositionen og ækvationerne. Knuderne kommer da til at ligge cirka i 16 2/3 i Tyren og Skorpionen. I kapitel 17, [AN,II,17,p ], bestemmer Kepler den årlige bevægelse relativt til Forårspunktet til 40" og relativt til fiksstjernerne til 10,56". 11

17 2.3.3 Hældningen Hældningen af Mars' baneplan i forhold til Eclipticas plan er den sidste vigtige parameter, som må på plads. Hvis ikke man var sikker på, at planerne havde en indbyrdes fast hældning, ville det ikke være muligt at foretage reduktionerne, særlig ikke med den nøjagtighed Kepler tilstræber. Han bruger i det lange kapitel 13, [AN,II,13,p ], tre metoder, hvoraf de to første er opstillet af Kepler selv og skal kort refereres. Den første bruger observationer, hvor afstanden Mars-Sol er lig afstanden Mars-Jord og retningen Sol-Mars går igennem et af vendepunkterne, som ligger i en afstand af 90 fra knuderne, altså i ca. 17 Løven eller Vandmanden. Kepler benytter tal fra Copernicus til at fastlægge forholdet mellem radius i Jordbanen og Marsbanen i disse positioner. I [AN,II,13,p.127ø] står det ret uklart beskrevet. Men de relevante tal kan hentes hos Copernicus. Hvis Jordbanens radius sættes til 1 bliver Mars' maksimalt 1;39,57 og minimum 1;31,11. Som det kan ses, skrev Copernicus sine tal i seksagesimalsystemet. Ved brøkapproksimation (kædebrøk) af disse tal bliver det til forholdet 5 3 henholdsvis 11 8, som Kepler skriver. I 17 Løven skal vinklen mellem Mars' og Solens position da være 72;33, mens den i 17 Vandmanden skal være 68;40. I Tycho's tabeller finder han observationer tæt på disse krav, og det lykkes ham i alle beregninger at få værdier for Marsbanens hældning tæt på 1;50. For ikke at sætte så store krav med hensyn til forhold i baneradier og vinkler imellem observationer, gennemfører Kepler også beregninger med en anden metode. Den går ud fra den basale erkendelse, at hvis man på linien, som dannes i skæringen af de to planer oprejser en vinkelret i hvert plan ud fra det samme punkt på skæringslinien, så vil disse to vinkelrette have en vinkel imellem sig, som er den samme uafhængigt af, hvor på skæringslinien man befinder sig. Hvis der derfor er observationer, hvor både Solen og Jorden ligger i knudelinien og vinklen set fra Jorden mellem knudelinien og planeten er 90, vil hældningen i vendepunktet være lig med den tilsyneladende bredde af planeten. Igen finder han observationer, hvor dette er tilfældet og igen giver det en hældning af Marsbanen på 1; Triumf Efter at have bragt sig på en så sikker grund er Kepler nu i kapitel 14, [AN,II,14,p ] i stand til at forklare "de gamle", hvad de gjorde galt. Den unøjagtige metode til reduktion og teorierne for breddeangivelser gør, at såvel Ptolemaios, Copernicus og Tycho har opstillet modeller, som var unødigt komplicerede, siger Kepler. Ptolemaios gjorde fejl i at antage, at epicykelplanet ikke konstant er parallel med Ecliptica. Copernicus ændrede intet i Ptolemaios' modeller; men gjorde kun sit system heliocentrisk. Han "var sig ikke sin rigdom bevidst", [AN,II,14,p.133ø]. Tillige kobler han bevægelserne af planeternes baner og Jordens sammen for at forklare tilsyneladende svingninger i den excentriske cirkels 12

18 plan. Dette kæmpede Kepler imod. "Endnu mere livfuldt fryder jeg mig derover, at observationerne er på min side, som de er det i mange andre forudfattede anskuelser", [AN,II,14,p.133m]. Resultatet fra kapitel 13 kunne endda tænkes at gælde for alle planeter, siger han videre, når der ingen grund foreligger til at antage det modsatte. Han slutter kapitlet med nogle spydige bemærkninger rettet mod et bogværk fra 1540, Astronomicum Caesareum, indeholdende astronomiske modeller. En af disse kommentarer kunne udmærket være rettet mod datalogien: "Og hvad skal vi sige til automatfabrikanternes tomme kunst, som behøver 600, ja 1200 små hjul, for at fremstille bredderne (dvs. af menneskelig dannelse) i deres værker, triumfere over denne præstation, og lægge beslag på prisen derfor", [AN,II,14,p.134m]. 2.5 Kepler's analyse af oppositionerne Efter således at have fastlagt de parametre, som er nødvendige for at kunne behandle Tycho's originale observationsdata, gennemgår Kepler i kapitel 15, [AN,II,15,p ], alle tolv oppositioner en for en for at kunne foretage den såkaldte reduktion af observationerne til Eclipticas plan. Han nævner først i kapitlet, at oppositionerne i 1580 og 1597 egentlig kan springes over, grundet manglende sikkerhed i observationerne. Det nævnes ikke direkte; men Kepler må hentyde til sine konklusioner i [AN,II,10,p ], og oppositionerne bliver da også af Kepler behandlet og medtaget i den endelige tabel. For at give et indtryk af hans meget grundige metode, gengives her reduktionen for oppositionen i 1587, som den beskrives i [AN,II,15,p.135n]. På sædvanlig vis angives Mars' position relativt til fiksstjernerne. I forhold til Regulus ("Hjertet i Løven") og Alfa ("Spica") i Jomfruen observeres Mars "natten efter den 4. marts", altså 5. marts 1587 kl. 1:16 i 26;26,17 Jomfruen = 176;26,17 med en tilsyneladende bredde på 3;38,16 nord. Kepler angiver, at Mars stod 37,5 over horisonten, og der skal derfor tages hensyn til den daglige parallakse. Kepler anslår denne til at være de 17", så positionen bliver 176;26. På grund af denne ændring skal bredden forøges. For at fastlægge denne forøgelse gør Kepler brug af de parallaksetabeller, han har gengivet i sit værk Astronomiae Pars Optica fra Der er tale om tabeller, som givet en horisontalparallakse og vinklen mellem horisont og Ecliptica, angivet ved en zenitdistance, til et bestemt tidspunkt kan give en breddeparallakse i eclipticasystemet. Vinklen mellem horisont og Ecliptica benævnes også højden af "Eclipticas 90. grad". Kepler bruger nu Tycho's værdi for Solens horisontalparallakse på 3' og antager, at afstanden mellem Solen og Jorden er cirka dobbelt så stor som afstanden mellem Mars og Jorden. Derfor må Mars' horisontalparallakse også være cirka dobbelt så stor, hvilket vil sige 5'. Opgangspunktet ligger i 9 Skytten. Den "90. grad" får da efter Kepler's oplysning en zenitdistance på 55. Parallaksetabellen er indrettet med zenitdistancerne stående lodret nedefter i hele grader og horisontalparallakserne stående vandret angivet med spring på 1' fra 13

19 1' til 66'. Den giver for indgangen 55 og 5' en breddeparallakse på 4',6". I teksten står der 4'; men Kepler har lagt hele størrelsen til og får bredden af Mars, hvis den var tænkt observeret fra Jordens centrum, til 3;42,22 nord. Herefter angives Solens sande position til 23;59,11 Fiskene. Da det ikke er muligt at se Solen og fiksstjernerne samtidigt, må længdebestemmelsen foretages indirekte. Man regner derfor normalt med det imaginære punkt kaldet "Solens modsatte punkt" og ikke den sande, som angivet her. Når Solen kulminerer ved middag kan man fastlægge dens kulminationshøjde h. Solens modsatte punkt vil da have højden -h og timevinklen 12 H. Tolv timer senere vil dette punkt kulminere ved midnat, og man kan nu bestemme dets position relativt til fiksstjernerne. Men Solens længde ligger ikke hele 180 ("seks tegn") fra Mars, hvilket ses af følgende : Mars' position 176;26, ;00,0 giver teoretisk Sol position 356;26,0 Men Solen er i 353;59,11 Forskel 002;26,49 Heraf konkluderer Kepler, at oppositionen må komme efter det for Marsobservationen angivne tidspunkt, da Solens længde er for lille. For at finde tidspunktet for oppositionen bruges nu forholdsregning. Kepler oplyser den daglige bevægelse af Solen til 0;59,35 og den tilsvarende for Mars til 0;24. Værdien for Mars stemmer godt med værdien angivet i tabellen, Appendiks K i kolonnen "Mars bev./h", som for 1587 giver 58" pr. time. Summen af disse bevægelser bliver 1;23,35. Følgende forhold kan nu opstilles (1;23,35) forholder sig til 24 som (2;26,49) til x hvor x angiver tidsrummet inden oppositionen indtræffer. Omregnet i sekunder bliver forholdet 5015 forholder sig til som 8809 til x hvoraf x fås til sekunder. Omregnet i dage, timer, minutter giver det 1 dag, 18 timer, 9 min. Kepler får 1 dag, 18 timer, 7 min. I dette tidsrum bevæger Mars sig 0;42,7 frem i banen. Tidspunktet for oppositionen bliver nu 6. marts 1587 kl. 19:23. Her skal man huske, at Kepler i sine endelige tidsangivelser benytter det astronomiske døgn, som har midnat kl. 12:00 middag. Tidspunktet bliver derfor 6. marts 1587 kl. 7:23. Positionen bestemmes nu til 176;26,0 0;42,7 = 175;43,53. Kepler mener, at reduktionen til baneplanet svarer til 55", runder af og angiver som endeligt resultat 175;43 = 25;43 Jomfruen. Bredden var i aftagende. Han anfører derfor 3;42 nord. Hermed er reduktionen tilendebragt. 2.6 Kepler's liste over 12 oppositioner Betragter man den resulterende tabel, [AN,II,15,p.141], kan det konstateres, at længderne generelt angives med 10 sekunders nøjagtighed, kun i 1580 bruges 5 sekunders 14

20 nøjagtighed. Bredderne er i ni af oppositionerne uden angivelse af sekunder og i tre angives en brøkdel som sekunder. Dette er et udtryk for en usikkerhedsangivelse, da det er observationsdata, der ligger til grund. Kepler er derfor ganske klar over, at han ikke kan regne helt ned til enkelte sekunder. Desuden er der flere steder uoverensstemmelser imellem de tal, der angives ved reduktionerne, og de tabulerede. Dette er f.eks. tilfældet ved bredden i Det kan være skrivefejl, eller også er tallene rettet til efter at reduktionen var skrevet ned. I tabellen gengives også middellængder direkte efter Tycho. De er udregnet teoretisk ud fra Mars' antagne konstante vinkelhastighed og tiden siden passage af apsidelinien og kan derfor angives med en nøjagtighed på enkelte sekunder. Kepler anfører, at de sikkert behøver en korrektion og vil få den senere. "Dermed er de 12 excentriske Marspositioner (helt fri for den anden anomali hvad angår længden) fastlagt med enhver mulig omhu", [AN,II,15,p.141m]. Tabellen gengives her i sin helhed, som den er nedskrevet. Kun er gradangivelserne angivet med grader imellem 0 og 360 og ikke i forhold til stjernetegn. Dette er Kepler's grundlag af observationer, inden han starter på udarbejdelsen af sin første model for Marsbanen. År Dato Længde Bredde Middellængde gammel stil /11 kl. 1:31 066;28,35 1;40 n 055;49, /12 kl. 3:58 106;55,30 4;06 n 099;24, /1 kl. 19:14 141;36,10 4;32 1/6 n 140;08, /3 kl. 7:23 175;43,0 3;41 n 180;47, /4 kl. 6:23 214;23,0 1;12 3/4 n 224;18, /6 kl. 7:43 266;43,0 4;00 s 275;43, /8 kl. 17:27 342;16,0 6;02 s 339;55, /10 kl. 0:39 047;31,40 0;08 n 037;14, /12 kl. 15:44 092;28,0 3;33 n 083;11, /1 kl. 14:02 128;38,0 4;30 5/6 n 124;35, /2 kl. 14:13 162;27,0 4;10 n 164;59, /3 kl. 16:23 198;37,10 2;26 n 207;00,12 15

21 3. Hypothesis Vicaria 3.1 Opstilling af modellen Kepler vælger som udgangspunkt i kapitel 16 i Astronomia Nova at bygge sin model ud fra den betragtning, at Mars bevæger sig på en excentrisk cirkel med jævn hastighed. Som nævnt i det foregående kapitel er der ikke tale om, at han overtager Ptolemaios' udformning af en sådan model. Kun ideen om, at denne konstruktion kan "redde" den første anomali. Kepler's excentriske cirkel er tænkt at repræsentere den virkelige banekurve for Mars og ikke kun en deferent for epicykelcentret som hos Ptolemaios. Denne epicykel er forsvundet, da det som før nævnt ikke er nødvendigt at inddrage den anden anomali ved oppositioner. Den excentriske cirkels excentricitet regnes ud fra den sande fysiske sol. Dette gør Kepler i overensstemmelse med sin tro på, at kun et virkeligt fysisk punkt kan tillægges nogen betydning, og som følge heraf kan han ikke acceptere Copernincus' definition, hvor excentriciteten regnes ud fra middelsolen, hvilket vil sige centrum for jordens bane. Equantpunktet bibeholdes som det punkt, hvorom Mars bevæger sig med jævn vinkelhastighed. Punktet er placeret på apsidelinien, den tænkte linie som trækkes igennem Solen fra Mars' Perihel til Aphel. Equantpunktet er centrum for equantcirklen, som har en lige så stor radius som den excentriske cirkel. Aphel K F C B A Fig. 1 Perihel Det virkelig revolutionerende i Kepler's model er imidlertid, at han på dette tidspunkt ikke fastlægger deleforholdet mellem excentriciteterne AB og AC, hvor A er Solen, B er centrum for banen og C equantpunktet, hvilket er illustreret på figur 1. F er en vilkårlig 16

22 Marsposition og punktet K bevæger sig på equantcirklen med jævn hastighed. CK skærer da den excentriske cirkel i F, hvor planeten befinder sig. Kepler skriver selv, at han ikke er overbevist om, at punktet B skal ligge nøjagtigt midt imellem A og C, som Ptolemaios anførte. I stedet vil han benytte denne model til at finde deleforhold, som kan begrundes direkte i materialet fra Tycho's observationer. Men B skal stadig ligge på AC. "Også fysiske grunde kræver, at bevægelsen er langsomst der, hvor stjernen er længst væk fra Solen A", altså i Aphel; "dette er kun muligt, når A, B, C ligger på den samme linie", [AN,II,16,p.146ø]. 3.2 De karateristiske parametre og valg af fire oppositioner Hvis Kepler havde fastholdt tvedelingen af den totale excentricitet AC, havde han uden problem kunnet fastlægge den excentriske cirkel, da det var en gammel kendt metode at gøre dette ud fra tre oppositioner. Da han nu lader forudsætningen om excentriciteten falde, mener han at ved brug af fire oppositioner kan det lade sig gøre at fastlægge deleforholdet AB AC og dermed sikre 1) en bestemmelse af Aphel, 2) en korrektion af middellængder (målt ud fra C), så disse blev mere nøjagtige og 3) finde numeriske værdier for AC, AB og dermed BC. "Med denne teori kom jeg i år 1600 til Tycho og erfarede af ham til min glæde, at også han bestemte dette forhold ud fra erfaring ikke som givet på forhånd, som hans talangivelser vidner om", [AN, II,16, p.143n] De fire observationer, som Kepler nu udvælger, stammer fra årene 1587, 1591, 1593 og Der nævnes intet om kriterierne for at udvælge netop disse fire blandt de ialt tolv; men det kan bemærkes, at de stammer fra den periode af Tycho's ophold på Hven, hvor Stjerneborg fungerer som et fuldt udbygget observatorium med alle Tycho's instrumenter i funktion. Dette forklarer imidlertid ikke, hvorfor han undlader at benytte oppositionen fra Grunden hertil kunne være, at Kepler har ønsket at fordele de fire oppositioner nogenlunde jævnt rundt på cirklen. Dette er tilfældet ved de fire valgte oppositioner, hvilket kan ses af figur 2. På firkanten, som derved fremkommer, synes det nu nemmere at ændre længden af siderne samt vinklerne, så de fire hjørner, hvor Mars antages observeret, ligger på cirklen med centrum i B. Kepler har på denne måde dels søgt at udelukke alle fejlkilder fra observationerne, dels har han forsøgt at gøre grundlaget for sine beregninger så fleksibelt som muligt. Talmaterialet hentes fra tabellen [AN, II,15, p.141], som allerede er gengivet til sidst i foregående kapitel. Oppositionerne benævnes som følger F 1587 G 1591 D 1593 E 1595 Kepler må reducere observationerne G,D og E til tidspunktet for den første F. Hertil benytter han den såkaldte årlige præcession, hvor han benytter Tycho's værdi på 51". Præcessionen er 17

23 et mål for den årlige bevægelse af Forårspunktet relativt til fiksstjernerne. Indtegnet på cirklen fremkommer figur 2, hvor sigtelinierne mellem de forskellige punkter er indtegnet, cirka med de gældende gradangivelser. H F C B A E G Fig. 2 I D Forårspunkt Markeringen med pil angiver retningen mod Forårspunktet. I Astronomia Nova har Kepler på sine tegninger byttet G og E om, så der ikke er overensstemmelse mellem de gradangivelser, der fremkommer i beregningerne og deres omtrente placering på figuren. Det er her rettet. H betegner Aphel og I Perihel. De fire positioner, hvor Mars er i opposition til Solen er antaget iagttaget fra punktet A. For at bruge Kepler's egen forklaring : "Ifølge Ptolemaios er A jo i virkeligheden stedet for øjepunktet eller midtpunktet af Jorden, men ifølge Tycho og Copernicus ligger øjepunktet på strålerne FA, GA, DA, EA og A er Solen" [AN,II,16,p.144m]. Ifølge Copernicus vil det sige, at Jordbanen forløber inden for cirklen, hvorpå Mars bevæger sig, og Jorden skærer under omløbet på sin excentriske cirkel netop de såkaldte "stråler"; i 1587 FA, i 1591 GA, i 1593 DA og i 1593 EA. I det tychoniske system er Jorden antaget at være i ro, og som nævnt i kapitlet omkring formuleringen af selve Kepler's problem, kredser Solen rundt om Jorden, mens Mars kredser rundt om den sig nu bevægende Sol. Strålerne mellem de to planeter bliver nu som helhed bevæget rundt og skærer ved opposition igennem Jorden. Hvis man her tager i betragtning, at det er middelsolen, der er tale om, undrer det ikke, at Kepler søger at afklare og forenkle modellen. 3.3 Opgaven 18