KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009

Transkript

1 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fyik 4 (Elektromagnetime) 26. juni 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må bevare med blyant, men hvad der ikke kan læe, kan ikke bedømme. Opgaveættet betår af 5 opgaver. Der kan i alt opnå 100 point i ættet. Alle underpørgmål i en opgave vægte ligeligt. Opgave 1 (25 point) Vælg et af varene til hvert af de følgende fem pørgmål. Et rigtigt var giver 5 point, et forkert 0 point. Det er tilladt, men ikke påkrævet, at begrunde varet. Hvilket af nedentående udtryk er enheden for volumentrømtætheden J 1. C/( m) 2. C/( m 2 ) 3. C/( m 3 ) Størrelen af B-feltet fra en uendelig plan, hvori der løber en uniform overadetrøm, aftager med aftanden, d, fra planen om 1. d 2 2. d 1 3. d 0, dv. tørrelen af B-feltet er kontant Betragt en ladet, ledende kugle. Det elektrotatike tryk vil øge at 1. holde ammen på kuglen 2. plitte kuglen ad 3. ingen af delene Betragt en meget lang olonoide med n vindinger per længdeenhed. Solonoiden elvinduktan per længdeenhed vil være proportional med 1. n 2 2. n 3. n 0, dv. uafhængig af n En punktladning anbragt en vi aftand fra en grundet, ledende plan vil 1. tiltrække af planen 2. fratøde af planen 3. være upåvirket af planen Side 1 Opgaveættet fortætter på næte ide

2 Opgave 2 (20 point) Betragt en kugle med uniform volumenladningtæthed, radiu R og total ladning +Q Betem potentialet, V (r), uden for kuglen, idet potentialet ætte til nul i uendelig. Betem dipolmomentet, p, af kuglen med henyn til den centrum. Kuglen anbringe nu med centrum i punktet (0, 0, d/2) på z-aken. Samtidigt anbringe en lignende kugle med radiu R og total ladning Q med centrum i punktet (0, 0, d/2), hvor d/2 > R. Tegn ytemet betående af de to kugler og betem ytemet dipolmoment, p, med henyn til punktet (0, 0, 0). Betem potentialet, V (r), for ytemet betående af de to kugler for r >> d. Potentialet ætte igen til nul i uendelig. Opgave 3 (25 point) Vi betragter en ladet kugle med uniform volumenladningtæthed, total ladning Q og radiu a. Koncentrik uden om kuglen er anbragt en kuglekal af et perfekt ledende materiale med indre radiu b og ydre radiu c. Find det elektrike felt, E, overalt. Find overadeladningtætheden for lederen indre overade, σ i, og overadeladningtætheden for lederen ydre overade, σ y. Hulrummet mellem kuglen og lederen fylde nu med et lineært dielektrikum med uceptibilitet χ e. Find D-feltet overalt. Find det elektrike felt, E, overalt med dielektriket til tede. Find polariationen, P, overalt med dielektriket til tede. Side 2 Opgaveættet fortætter på næte ide

3 z b a R Figur 1: Figur til opgave 4 Opgave 4 (30 point) En meget lang cylinder med længde L og radiu R er anbragt med aken ammenfaldende med z-aken, e Figur 1. Cylinderen har en overadetrømtæthed K = Kẑ, hvor K > 0. Find den totale trøm, I, gennem cylinderen. Find magnetfeltet, B, inden i og uden for cylinderen. Vi, at magnetfeltet, B, har den korrekte græneopførel ved cylinderen overade. Et rektangulært ledningloop med idelængder a og b, hvor b > a og b L, anbringe med de lange ider parallelle med cylinderen ake og den nærmete af die i aftanden fra cylinderen ake, e Figur 1. Find uxen af magnetfeltet gennem loopet. Loopet bevæge væk fra cylinderen med hatigheden v = vŝ, hvor v > 0. Find den inducerede elektromotorike kraft, E, i loopet og angiv retningen af den inducerede trøm. (f ) Loopet bevæge parallelt med cylinderen ake med hatigheden w = wẑ. Find igen den inducerede elektromotorike kraft, E, i loopet. Side 3 Opgaveættet lut Charlotte Kritjanen Niel Bohr Intitutet

4 Svar 1 a2 b3 c2 d1 e1 Svar 2 V (r) = 1 Q, for r > R. (1) 4πɛ 0 r p = 0. (2) p = Q (0, 0, d) = Q d ẑ. (3) V (r) = 1 4πɛ 0 p ˆr r 2. (4) Svar 3 Da det elektrike felt altid er lig med 0 inden i en leder, har vi, at For de øvrige områder bruger vi Gau' lov S E da = Q encl ɛ 0 E = 0, for b < r < c. (5) og nder herved E = Q r ˆr, for 0 < r < a, (6) 4πɛ 0 a3 E = Q 1 ˆr, for a < r < b, og r > c. (7) 4πɛ 0 r2 (8) For at det elektrike felt kan blive lig med 0 inden i lederen må vi have at, σ i = Q 4πb 2, σ y = + Q 4πc 2. (9) Gau' lov for D-feltet lyder D da = Qfree S encl. Da der ikke er ændret på de frie ladninger ved anbringelen af dielektriket, er D-feltet lig med ɛ 0 gange med E-feltet fra pørgmål. 1 For et lineært dielektrikum har man, at E = ɛ 0(1+χ e) D. Det er derfor kun i området a < r < b, at E-feltet adkiller ig fra det fundet i pørgmål. Man får E = 1 4πɛ 0 (1 + χ e ) Q ˆr, for a < r < b. (10) r2

5 Polariationen, P, er lig med 0 alle teder pånær inden i dielektriket. Her nder man P = ɛ 0 χ e E = χ e 4π(1 + χ e ) Q ˆr, for a < r < b. (11) r2 Svar 4 I = 2πRKẑ. (12) Af ymmetrigrunde må vi have, at B kun afhænger af aftanden fra cylinderen ake,. Højrehåndreglen fortæller o deuden, at B = B()ˆφ med B() > 0. Vi bruger nu Ampere lov P B dl = µ 0I encl med Ampereloop i form af cirkler med centrum i cylinderen ake og plan vinkelret på denne. Herved nde B = 0, for 0 < < R, (13) B = µ 0RK ˆφ, for > R. (14) Ved cylinderen overade har man, at = R og derfor Den altid gældende græneopførel for B lyder B ydre B indre = µ 0 K ˆφ. (15) B ydre B indre = µ 0 K ˆn, (16) hvor ˆn er den udadrettede adenormal. Efterom K = Kẑ, ˆn = ŝ, og ẑ ŝ = ˆφ, har B-feltet den korrekte græneopførel. Φ = S B da = b/2 +a b/2 µ 0 RK ddz = bµ 0 R K log ( + a ). (17) Lenz lov fortæller o, at den inducerede trøm i loopet løber med uret. Efterom v = d dt nder vi E = dφ dt = a bµ 1 0 R K v. (18) ( + a) (f ) E = 0. (19)