Der skal billeder på matematikken

Transkript

1 PULSnr Der skal billeder på matematikken Et udviklingsarbejde Michael Wahl Andersen Lone Kathrine Petersen

2 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Indledning... 4 Baggrund for udviklingsarbejdet... 4 Udviklingsarbejdets placering... 5 Teoretisk forståelsesramme... 6 Sprog... 6 Arbejdshukommelsen... 6 Dual kodning... 7 Projektets metodiske tilgang... 9 Etableringsfasen... 9 Undervisningsforløb Elementerne i forløbet ALP-test Vi anmelder vores matematikbog Relationer mellem repræsentationer Relationer og relationskort Division og repræsentationskort At læse i matematikbogen Fabrikation af en side til en matematikbog Evaluering af forløbet Konklusion Perspektivering Litteratur Denne rapport er udarbejdet af lektor, cand. pæd. psyk. Michael Wahl Andersen mwa@ucc.dk Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 2

3 Forord Dette udviklingsarbejde er kommet i stand med tilskud fra Undervisningsministeriet, Afdelingen for grundskole og folkeoplysning. Udviklingsarbejdet er foregået dels på Engskolen i Herlev, dels på Strandgårdsskolen i Ishøj. Det er resultaterne af arbejdet på Strandgårdsskolen, der formidles i denne rapport. En tak til lærere og elever fra Engskolen for deres bidrag til dette udviklingsarbejde. En særlig tak til lærer Niels Olesen og eleverne fra Strandgårdsskolen for deres bidrag til dette udviklingsarbejde. Boganmeldelse fra to elever i 8. klasse Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 3

4 Indledning Baggrund for udviklingsarbejdet Tosprogede elever klarer sig i gennemsnit ringere i folkeskolen end etnisk danske elever. Ifølge OECD s PISA-undersøgelse fra 2003 og den særlige københavner-pisa, der undersøger københavnske skoler særskilt, er der en betydelig sammenhæng mellem elevernes testresultater og deres etniske baggrund. En mere dybdegående analyse af testresultaterne peger på, at socioøkonomiske forskelle kun kan forklare omkring 50 % af forskellen på tosprogedes og etnisk danske elevers præstationer. Den resterende forskel indikerer, at tosprogede elever generelt har sværere betingelser i undervisningen, fx sproglige og kulturelle, end etnisk danske elever. Rönnberg og Rönnberg (2001) problematiserer opdelingen af matematiklæring og sproglæring. De argumenterer for, at undervisningen i matematik stiller store krav til elevernes sprogbeherskelse. Da sproget har en væsentlig indflydelse på udvikling af elevernes tænkning også i matematik er det en indlysende fordel, at eleverne får mulighed for at anvende det sprog, de behersker i matematik. Savignon (1997) argumenterer for, at begrebsdannelsen udvikles ved, at man kobler ny viden til allerede eksisterende viden. De kognitive strukturer, der opbygges, relaterer sig med andre ord til de lingvistiske input eleven modtager og med elevens allerede eksisterende viden på første og andet sproget. For at kunne tilrettelægge et undervisningstilbud, der inddrager ovenstående problemstillinger, kan lærerne fx tilrettelægge undervisningen i matematik således, at den sproglige dimension styrkes, tilgodeser alle elever, og i særlig grad være opmærksom på at tosprogede elever får mulighed for at deltage aktivt i undervisningen, eller give læreren redskaber til at afgøre, hvilke forhold der påvirker kvaliteten af elevernes tilegnelse af viden og kunnen i matematik. Faldgruppen i denne sammenhæng er, at læreren forsøger at undgå den sproglige dimension for at tilgodese de tosprogede elever; ved kun at stille opgaver uden tekst. Udgangspunktet for dette udviklingsarbejde er at prøve at koble verbalt og nonverbalt sprog til faglig læsning matematik. Nanci Bell and Kimberly Tuley (2003) argumenterer for, at evnen til at skabe mentale billeder (nonverbalt sprog) for matematiske begreber er direkte koblet til succes i matematisk tænkning og informationsbearbejdning. Men fordi nogle børn, ikke har de forudsætninger, der skal for at skabe mentale billeder, bliver de ofte misforstået i retning af ikke at forsøge, være glemsomme og ukoncentrerede eller ligefrem at have dyskalkuli. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 4

5 I udviklingsarbejdet har der derfor været fokus på det verbale og det nonverbale sprogs muligheder i forbindelse med læring i matematik. Det teoretiske grundlag bygger på teorien om dual kodning. Matematik er her forstået som en kognitiv aktivitet, der fordrer det Paivio (2006) kalder for dual kodning (dual coding). Ifølge denne forståelse består tænkning af et verbalt og et nonverbalt afkodningssystem. Damasio (2001) argumenterer for, at vi altid tænker i billeder. De fleste af de ord, vi anvender i vores indre tale, eksisterer som billeder i vores bevidsthed. Hvis de ikke blev til om end aldrig så flygtige billeder, ville det ikke være noget, man kunne vide. Paivio skriver, at den mentale billeddannelse er fundamental for tænkning omkring tal. Fx bliver ordet (det verbale system) "kvart" meningsløst, hvis det ikke knyttes til det referentielle billede (det nonverbale system)"¼". Udviklingsarbejdets placering Udviklingsarbejdet er foregået på strandgårdsskolen i Ishøj. Skolen er en heldagsskole, der har elever i almen-klasser fra bh. -9. klassetrin i 2 spor. Derudover er der gruppeordninger fra 1. til 10. klassetrin. Skolens obligatoriske undervisning er fra 8.10 til for 0. til 6. årgang årgang har normalt skema og tilbydes lektiecafé på skolens læringscenter fra kl til mandag til torsdag. Før og efter undervisningen er der en skolefritidsordning for indmeldte elever fra 6.00 til 8 og fra til 17. Den praktiske udførsel af udviklingsarbejdet er foregået på 8. årgang i juni/juli måned Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 5

6 Teoretisk forståelsesramme Udviklingsarbejdets teoretiske baggrund bygger på såvel klassisk teori om sprog (Vygotsky, 1971) såvel som nyere teori om arbejdshukommelsens opbygning og funktion, der blev beskrevet først gang af Baddely i 1972 (Baddely, 1974), samt teori om dual kodning, der handler om, hvordan mennesker koder information, hvilket er beskrevet af Paivio (2006). Sprog I leg og i andre aktiviteter benytter børn sig af bevægelser og gestik som udtryksformer. Vygotsky ser dette sprog på linje med det verbale sprog, når det gælder begrebsdannelse. Han hævder, at børns billedskabende aktiviteter er en videreførelse af gestikulationer, - stivnede gestikulationer (citeret efter Høines, 1998s. 114). Høines argumenterer videre for, at mange af de udviklingsmønstre, der findes i børns verbale sprog, er at finde i deres billeder. Børn udvikler sig gennem illustrationer forstået som sproglig aktivitet. Børns billedskabende aktiviteter udvikler sig og bliver mere og mere kommunikative. Billederne afslører et budskab, og det er vigtigt, at både modtager og afsender opfatter/tolker dette budskab. Konkrete billeder bliver på den måde et middel til at fastholde tænkning og et middel til at kommunikere et meningshold, der kan forstås som mentale billeder (Høines ibid.). Arbejdshukommelsen Arbejdshukommelsen er den aktive proces, der opstår, når vi tænker os om, når vi overvejer, repeterer, fordyber os, stiller spørgsmål og i det hele taget tager vort kognitive arsenal i brug. En vigtig pointe i denne definition er, at arbejdshukommelsen er dynamisk og opstår i situationen. Arbejdshukommelsen er relateret til den situation abstrakt som konkret der arbejdes med i et givent øjeblik. Arbejdshukommelse eller den arbejdende hukommelse" betegner evnen til aktivt at fastholde de oplysninger, der er nødvendige for at udføre komplekse opgaver som fx ræsonnement, forståelse og læring. Arbejdshukommelsen fungerer som et mentalt arbejdsrum, som man kan anvende i forbindelse med komplekse kognitive operationer. Ifølge Gathercole og Alloway (2009) er hovedregning fx et godt eksempel på en aktivitet, der kræver arbejdshukommelse. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 6

7 Situation: Læreren siger: De to tal skal findes frem fra langtidshukommelsen og lagres i arbejdshukommelsen 2. For at kunne udføre additionen er man nødt til at hente additionsreglerne i langtidshukommelsen 3. Man skal nu anvende reglerne for addition af tocifrede tal med tierovergang. 4. Delresultaterne skal holde i arbejdshukommelsen, mens man regner videre 5. Til slut lægges delresultaterne sammen for at få det endelige resultat. 6. Resultatet siges eller skrives Denne proces stiller store krav til arbejdshukommelsen. Arbejdshukommelsen er en forudsætning for at foretage denne form for kompleks mental aktivitet uden at have hjælpemidler. Arbejdshukommelsen gør eleverne i stand til at planlægge og kontrollere deres aktiviteter. Eleverne kan altså fastholde og bruge en information - ud over den konkrete situation - hvor den er givet eller oplevet, samt relatere informationen til tidligere opnået viden og erfaringer. Arbejdshukommelsen er med andre ord en forudsætning for abstrakt tænkning og derfor essentiel for læring i matematik. Dual kodning Hjernen koder information via den fonologiske sløjfe og det visuospatiale tegnebræt. Matematik er med andre ord en kognitiv aktivitet, der fordrer det Paivio (2006) kalder for dual kodning (dual coding). Ifølge denne forståelse består tænkning af et verbalt og et nonverbalt afkodningssystem. Damasio (2001) argumenterer for, at vi altid tænker i billeder. De fleste af de ord, vi anvender i vores indre tale, eksisterer som billeder i vores bevidsthed. Hvis de ikke blev til om end aldrig så flygtige billeder, ville det ikke være noget, man kunne vide. Paivio skriver, at den mentale billeddannelse er fundamental for tænkning om tal. Relationen mellem indre og ydre repræsentationer ved dual kodning Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 7

8 Model af teorien om dual kodning, Andersen (2009) efter Paivio(2006) Som det ses af ovenstående figur, består dual kodning altså af to systemer; et verbalt sprogsystem og et nonverbalt billedsystem. Dette er grundlaget for abstrakt tænkning. Tænkningen kan komme til udtryk gennem verbalt sprog og gennem nonverbal illustration. De dobbelte pile antyder muligheden af, at man ud fra elevernes responser kan danne en forståelse af deres tænkning. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 8

9 Projektets metodiske tilgang I denne interventionsbaserede undersøgelse inddrages aktiviteter i 8. klasse både som udtryk for undervisningens indhold og for elevernes læring i relation til begrebsudvikling og strategiudvikling. Etableringsfasen Der er tale om et interventionsbaseret udviklingsarbejde med på forhånd fastlagte interventioner. Interventioner ALP test Vi anmelder vores matematikbog Relationer mellem repræsentationer Relationer og relationskort Division og repræsentationskort At læse i matematikbogen Fabrikation af en side til en matematikbog Lærernes målformulering: Formålet med udviklingsarbejdet i 8. klasse er delt op i to faser: Del 1 Vi vurderer, at tosprogede elever i højere grad end etnisk danske elever, har svært ved at skabe relationer mellem de repræsentationsformer, der forekommer i matematikken, ligesom de har vanskeligt ved at danne mentale billeder. Da det ligeledes vurderes, at disse elementer er af afgørende betydning for tilegnelsen af matematiske kompetencer, er formålet med projektets første del at afprøve og udvikle strategier, der i højere grad end nu giver de tosprogede elever mulighed for at tilegne sig matematiske kompetencer. Del 2 Den anden fase af projektet handler om at give eleverne mulighed for at tilegne sig strategier til læsning af tekster i matematik, hvor første del af projektet er tænkt som en understøttelse af dette arbejde. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 9

10 Undervisningsforløb Startdato 3. juni Slutdato 23.juni Tidsforbrug: 20 lektioner, svarende til 5 ugers matematikundervisning. Elementerne i forløbet ALP-test Denne test, der er udviklet af Gudrun Malmer, fungerede som præ-test og post-test for udviklingsarbejdet. Tove Tobisen beskriver ALP-testen som en screeningstest, der afdækker færdigheder i afkodning, læseforståelse, matematiske grundbegreber og matematisk-logisk tænkning. Den er udviklet af Gudrun Malmer, der har været lektor på Lärarhögskolan i Malmö. Hun har mange års erfaringer med undervisning af elever med matematikvanskeligheder, og hun har skrevet en række bøger og artikler om emnet (se litteraturlisten). Testen består af 8 opgavesæt med hver 10 opgaver af stigende sværhedsgrad. ALP 1-5 kan bruges fra de første klassetrin til 7. klasse. ALP 6-8 kan anvendes fra klasse og til voksne. Testen er ikke standardiseret, og lærerne opfordres til at vurdere opgaverne ud fra elevernes aktuelle færdigheder. Til opgaverne stilles spørgsmål på tre niveauer. A. Afkodning af ord B. Fortolkning af ord og udtryk og udførelse af simple regneoperationer. C. Logiske slutninger og sammensatte regneoperationer. Opdelingen i simple og sammensatte regneoperationer kan defineres ved, at den simple regneoperation, B- opgaverne, involverer forholdet mellem to talstørrelser, mens komplekse regneoperationer, C-opgaverne, vil kræve udregninger i flere trin. De logiske slutninger afgør, hvor elegant eller kreativt man klarer en kompleks udregning. Gudrun Malmer anbefaler, at eleven har mulighed for at tegne eller skitsere problemstillingen og eventuelt lave udregninger, som en hjælp til at løse opgaverne. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 10

11 Vi anmelder vores matematikbog En boganmeldelse forstås i denne sammenhæng som en analyse af matematikbogen, hvor eleverne har skullet forholde sig til bogens form og indhold, så de blev klogere på og mere bevidste om, hvordan deres bog er bygget op. Den overordnede hensigt er, at eleverne bliver opmærksomme på, hvad der er nemt, og hvad der er svært ved deres matematikbog. Boganmeldelse fra en elev i 8. klasse Lærerrefleksioner: Vi startede med en mundtlig introduktion. De har arbejdet med bogen før, men de gav op. Det var derfor relativt nemt at klargøre målet for eleverne at de skulle blive bedre til at læse i deres matematikbog Eleverne startede med at lave en boganmeldelse af deres matematikbog. Hensigten med dette var, at eleverne skulle forholde sig bevidst til indholdet og bogens genre. Uddrag af anmeldelserne følger herunder. Matematikbogen er meget stor, hvor der på forsiden er nogle forskellige billeder og navnet på bogen. På bagsiden står der hvor bogen er trykt og diverse ting. Selve bogen består af en masse tekst og illustrationer, der indeholder forskellige opgaver. Bogen indeholder mange forskellige emner og hver emne står øverst på siderne. Bogen kan være svær at forstå, da der er en masse svære tekster til opgaverne. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 11

12 Denne her matematikbog har et indhold. Der er store tegninger på hver opgave det er en grundbog. Jeg synes bogen er svær fordi ordene er svære. Teksten er meget svær og der er meget mere tekst end illustrationer --- der er næsten ikke nogen regnestykker. Det er en stor bog når man tænker på hvor meget vi har arbejdet med før. I selve bogen er der meget tekst, der er mange opgaver i den, bogen er svær at læse, ordene er sat op på en anden måde Der er meget tekst, der står meget. De giver mange eksempler på alle opgaverne. Bogen virker meget stor og tung. Sproget er lidt uforståeligt i forhold til vores sprog dansk. Der er mange svære ord synes jeg, som jeg ikke kan forstå, Der er mange opgaver. Der er nogle gode billeder. Sproget kunne være lidt mere forståeligt. Der er meget tekst i bogen og derfor kan den være svær for nogle. Der er mange sider i bogen, men den har mange billeder. Den passer ellers fint til en ottende klasses elev. Bogen virker stor, og derfor ser det ud til at det er en svær bog. Sproget er svært men forståeligt. Billederne gør opgaverne nemmere at forstå. Jeg synes den er god at bruge. Der er orden i bogen, men nogen gange kan det godt være forvirrende. Jeg synes den er svær for mig og den er også stor, så man ikke forstår meget. Den har mange ord som jeg ikke kender. Den er stor, og den er lidt svært. Der er også tekster, det er godt. Men jeg synes bogen er rigtig god fordi der er mange regninger. Relationer mellem repræsentationer For at kunne tilegne sig kompetence i matematik, skal eleverne have mulighed for at opbygge relationer mellem forskellige repræsentationsformer (Eriksen, 2000). Eriksen argumenterer for, at det ikke er repræsentationsformerne i sig selv, der er i fokus, men snarere relationerne mellem forskellige repræsentationsformer, der gør det muligt for eleverne at danne robuste begreber i matematik. Det er med andre ord fx ikke nok kun at arbejde med konkrete materialer. Det konkret udgangspunkt kan være fint, men det er vigtigt at være opmærksom på, at konkrete materialer har sin tid. Arbejdet med de forskellige matematiske repræsentationsformer skal resultere i en styrkelse af de mentale billeder, hvis det skal blive muligt at tænke matematik. Emanuelsons model (1995) kan læses sådan, at det er variationen i repræsentationsformerne, der internaliseres og muliggør dannelsen af mentale billeder, der lagres som begreber. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 12

13 Transformationer mellem forskellige repræsentationsformer. Bearbejdning efter Emanuelsson (1995) Matematiklæring er en proces, hvor målet er indsigt i symbolske strukturer og relationer. Denne indsigt skabes dog ikke ved blot og bar træning af matematiske symboler. Man skal kunne sætte ord på matematik, knytte matematikken til hverdagssituation, knytte matematikken til konkrete repræsentationer samt generalisere matematikken gennem skriftlige symboler. Disse forskellige forestillinger om matematik, gør det muligt at skabe konkrete og mentale billeder på matematikken, der i sidste ende muliggør matematisk tænkning. Hvordan de forskellige repræsentationer kommer i spil, beror på elevernes forudsætninger, begrebernes beskaffenhed og konteksten. Nyere forskning (Sterner og Lundberg, 2002) understreger vigtigheden af, at eleverne får mulighed for at tilegne sig forskellige repræsentationer som led i deres matematiklæring. Repræsentationerne fungerer som medierende led fra det konkrete arbejde med matematik til dannelsen af abstrakte matematiske begreber. Det er gennem tilknytningen af forskellige repræsentationer til de matematiske begreber, at det for eksempel bliver muligt at håndtere problemer i matematik. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 13

14 Sproget det indre som det ydre er væsentlige elementer i trianguleringen af erfaringer, repræsentationer og begreber ved tilegnelsen af funktionelle matematiske kompetencer. Relationer og relationskort Eleverne blev i første omgang introduceret til hverdagsbegrebet relation, forstået som at relation er en bestemmelse af noget i forhold til noget andet. Lærerne havde udarbejdet en række kort med billeder og symboler, som eleverne skulle parre. Der var tale om relationer fra hverdagen samt fra fysik og matematik, som eleverne kendte til i forvejen. Relationskortene så således ud. Eleverne parrede kortene og begrundede deres indbyrdes relationer. Lærerrefleksioner: Ordet relation blev præsenteret. Herefter arbejdede eleverne i makkerpar om sætninger der indeholdt relationer. Det kunne for eksempel være at et bord og en stol står i relation til hinanden. Drenge og piger kan stå i relation til hinanden hvilket forårsagede en del fnisen rundt om i hjørnerne men ellers en god snak. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 14

15 Herefter blev relationsbrikkerne præsenteret. Eleverne fik at vide, at tekst tegning, billeder, formler parvist stod i relation til hinanden. Dette gav anledning til gode overvejelse. Fx var eleverne hurtige med relationen mellem fodbold og Sydafrika. En overvejelse om at en fodbold og rumgeometri også er en relation blev diskuteret og ja en nye fodbold er jo faktisk en kugle. Mange elever fik gode oplevelser ved selv, eller i samarbejde med en makker, at opdage, at et vinkeljern er et eksempel på en geometrisk figur, at en refleks også er det.. Division og repræsentationskort Division som begreb Eleverne i skolen møder begrebet division med udgangspunkt i at dele lige i konkrete situationer. Der findes to tilgange til begrebet division i forbindelse med løsningen af praktiske problemstillinger, der indeholder division. Man kalder disse kategorier for henholdsvis målings- og delingsdivision. Ved delingsdivision ved man, hvor mange delmængder der er man kender divisor. Vi har 36 boller, som Kristian og Laila skal dele mellem sig. Hvor mange boller får hver? Ved målingsdivision angiver divisor, hvor meget der skal være i hver delmængde. Det, man søger svar på, er, hvor mange delmængder bliver der. Hvor langt rækker det til? Vi har 36 boller. Der skal to boller i hver pose. Hvor mange poser skal der til? Relationen mellem multiplikation og division kan illustreres på følgende måde: 36 : 2 som delingsdivision kan opgaven løses som 2. x = 36 (2 gange har jeg 18 boller.) 36 : 2 som målingsdivision kan opgaven opfattes som x. 2 = 36 (18 gange har jeg 2 boller) Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 15

16 Målings- og delingsdivision Som det fremgår af figuren ovenover, bliver forskellen mellem målings- og delingsdivision først for alvor tydelig, når den underbygges af illustrationen. At forstå regnearterne er en proces. I undervisningen er det centralt, at eleverne udvikler deres evner til at genkende forskellige situationer og repræsentationsformer. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 16

17 Lærerrefleksioner: Dette var svært, men eleverne gik til opgaven. Eleverne laver tegninger af de to opgavetyper. Det gik godt med at lave de to typer af divisionshistorier. Men det er meget svært, og jeg oplevede, at jeg selv kom i vildrede i nogle situationer. Herunder følger to eleveksempler. Elevernes egne repræsentationskort for division Hensigten med undervisningssekvensen var, at eleverne tilegnede sig kompetencer i division som henholdsvis delings- og målingsdivision. relationerne mellem de forskellige repræsentationsformer. relationen mellem sprog, billeder og symboler. anvendelsen af delings og målingsdivision til at løse problemer i konkrete situationer. relationen mellem delings- og målingsdivision - at divisors rolle er forskellig. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 17

18 at behandle begge typer division som omvendt multiplikation det er den samme talmæssige operation. at læse tekstopgaver og danne mentale billeder på det læste. Et sæt kort består af ti individuelle kort: En fortælling med tal Et skriftligt svar Et resultat En billede repræsentation Et abstrakt billede Tallinjehop Fortløben subtraktion Multiplikation (omvendt division) Et brøktal En divisionsopstilling I undervisningssekvensen arbejdede eleverne med repræsentationskort for målings- og delingsdivision. De vedhæftede kort til repræsentationskortene blev lagt i hver deres bunke. Eleverne fik hver en plads på væggen, der var delt i to søjler. En søjle for delingsdivision og en søjle til målingsdivision. Eleverne skulle så tage et kort fra hver bunke og diskutere om kortet skulle placeres som henholdsvis målings- og delingsdivision. Relationerne mellem de forskellige repræsentationer blev diskuteret, samtidig med at leverne overvejede og grupperede de forskellige korts indhold. Repræsentationer var: Det konkrete billede, det abstrakte billede, tallinjehoppet, brøktallet, fortløben subtraktion, multiplikationsstykket, divisionsstykket. Ikke-repræsentationer var: Fortællinger med tal, resultatet, det skriftlige svar. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 18

19 De10 repræsentationskort for henholdsvis målingsdivision og delingsdivision Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 19

20 Lærerrefleksioner Vi valgte de to fortællinger, der ses ovenfor. Vi valgte at samle hele årgangen. Forberedelserne var tidskrævende. Opgaverne skulle kopieres og klippes ud. Der skulle være et sæt til hvert makkerpar. Kortene skulle lægges i bunker og eleverne skulle så passe de 20 repræsentationer i en delebunke og en målebunke Vi var klar over, at det skulle forberedes grundigt. Der skulle være nok tyggegummi og rigeligt med vægplads. Der skulle også være borde nok til at lægge de forskellige stabler kort på. Eleverne arbejdede i makkerpar, og til sidst havde vi en fælles fremlæggelse. Sammenfattende gik det rigtig godt. Der blev talt og diskuteret meget under forløbet. Niels og 8. klasse i samtale om repræsentationskortene. Elevernes repræsentationskort sat op på tavlen. At læse i matematikbogen Styrkenotat Styrkenotat er en strategi, som kan gøre det lettere for eleverne at skelne mellem hoved idéer og detaljer, når de skal afkode og forstå informationerne i deres matematikbog. Styrkenotat kan anvendes i forlængelse af samtale og tankekort, men den kan også anvendes som en selvstændig strategi. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 20

21 Et styrkenotat struktureres efter de forskellige tekstelementers betydning eller styrke. Styrke 1 vurderes som tekstens meningsbærende element. De efterfølgende styrkemarkeringer er udtryk for de andre tekstelementers vigtighed, hvor styrke 3 er underordnet styrke 2 og så fremdeles. Det er vigtigt med lærerstyret vejledning, når man arbejder med styrkenotat som læringsstrategi. Når det arbejdes med faglig læsning i matematik og eleverne skal lave styrkenotat, kan det være en fordel at indlede med en samtale, der kan resultere i et styrkenotat. Man kan eventuelt fremstille et tankekort som udgangspunkt for styrkenotatet. Både tankekort og styrkenotat er en måde at visualisere overordnede og underordnede niveauer. Herunder følger et eksempel på et styrkenotat: Et eksempel på et styrkenotat fra arbejdet i 8. klasse Styrkenotat kan anvendes ved: introduktion til nyt tema eller afsnit som fortsættelse af en samtale eller et tankekort opsummering av et tema repetition Styrkenotatet har fokus på: begrebslæring underordnede og overordnede niveauer at støtte eleverne til selv at strukturere en tekst Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 21

22 Eksempel på et styrkenotat Kolonnenotat Kolonnenotatet kan bruges i rigtig mange læsesituationer. Det er en metode, som eleverne meget hurtigt tager til sig, den giver god overskuelighed, den er enkelt og den er ligetil at lave. I eksemplet herunder er der taget udgangspunkt en side fra en matematikbog. Kolonnenotatet er altså et redskab, der skal hjælpe eleverne med at få styr på de faglige elementer i teksten. Kolonnenotatet kan varieres efter behov, som for eksempel med flere kolonner eller lignende. Kolonnenotat, Job 83, side Teksttyper i jobbet: Overskrift, underoverskrift, brødtekst, opgavetekst, faktaboks, Illustration, diagram, skema Overskrift Job 83 Underoverskrift Opgaver Brødtekst Diagram Faktaboks Illustration Skema Beskrivelse af funktioner Tre opgaver 1, 2, 3 Brødtekst Diagram Silvan Ligefrem proportionalitet Tre opgaver 4, 5, 6 Brødtekst Faktaboks definition Skema Eksempel på anvendelse af et kolonnenotat i matematik Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 22

23 Lærerrefleksioner Vi valgte at skrive ordet Funktion op på tavlen og talte om, hvad funktion kunne betyde i det virkelige liv. Ellers var opgaven: Makkerpar- bladre afsnittet igennem. Skriv nogle stikord eller sætninger ned, som har med funktioner at gøre. Det handlede fx om Sammenhæng, koordinatsystem, ligninger. Det er når 4 æbler koster dobbelt så meget som to æbler. Herefter præsenterede vi styrkenotatet, hvor vi i fællesskab modellerede et afsnit. Eleverne skulle så selv lave et styrkenotat over et andet afsnit (det vi arbejdede med). Vi opdagede, at der er to modeller for styrkenotatet, så vi (lærerne) valgte det ene. Inden vi gik i gang med at lave styrkenotatet, gav vi eleverne en startopgave: Skriv alle de forskellige teksttyper ned, I kan finde i afsnittet. Arbejdet med at lave styrkenotatet tog et modul. Måden vi arbejdede på var: Læs opgaven, udfyld styrkenotatet. Hvilke tekstelementer har du til rådighed? Hvilke skal du bruge her? (tekstboksen gav ingen mening og diagrammet handlede om noget helt andet). Eleverne gik derefter i gang med opgaven. Styrke 1, 2 og 3 var givet - eleverne valgte selv, hvilken styrke de ville give brødtekst, faktaboks og diagrammet. Eleverne brugte også Kolonnenotatet. Fabrikation af en side til en matematikbog Til sidst i forløbet kan man lade eleverne arbejde med selv at formulere et afsnit, der ligner afsnittene fra deres matematikbog. Når eleverne selv formulerer sig, bliver det tydeligt, hvilke kompetencer de mestrer. Hæng de forskellige afsnit op i klassen, lad eleverne løse hinandens opgaver og evt. kommentere dem. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 23

24 Opgaven til 8. klasse var formuleret på følgende måde: Målet: I skal lave en side til jeres matematikbog Den skal være opbygget på samme måde, som den matematikbog I har arbejdet med. Kravene er: Siden skal indeholde mindst 3 opgaver Den skal indeholde en overskrift og en underoverskrift Herudover skal den indeholde mindst to andre elementer Elementerne skal stå i relation til hinanden Sådan kommer I i gang: 1. Find et emne 2. Lav et storyboard Lærerrefleksioner: Eleverne byggede selv en side til en matematikbog ud fra den systematik, som er i deres matematikbog. Opgaverne blev skrevet ind i Power Point. Opgaverne blev sat op i klassen. De enkelte afsnit blev præsenteret og diskuteret. Herunder følger eksempler på sider. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 24

25 Dette er tre eksempler på elevernes egne matematikopgaver Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 25

26 Lærerkonklusioner 1. Arbejdet med relationer og repræsentationsformer skal ind som en central dimension i arbejdet med matematik for at styrke elevernes evne til mental billeddannelse og dermed begrebsdannelse. 2. Det sproglige arbejde skal styrkes, bl.a. som en forudsætning for at kunne læse de faglige tekster. Jeg vurderer, at dette udviklingsforløb gav svaret på, hvornår eleverne for alvor rykker. Det gør de, når deres sprog kommer i spil. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 26

27 Evaluering af forløbet Det er eleverne i de to 8. klasser der har evalueret forløbet. Evalueringen er foregået som en kvantitativ spørgeskemaundersøgelse med 3 spørgsmål, der indeholder såvel åbne som lukkede spørgsmål. Spørgsmålene 1 og 2 er struktureret med lukkede svarkategorier med et begrænset antal svarmuligheder. Spørgsmål 3 har åbne svarkategorier med potentielt ubegrænsede svarmuligheder (kvalitativt element). De tre spørgsmål er gennemgående for de seks elementer i undervisningsforløbet. Spørgsmål 4 er et åbent spørgsmål, der opsamlende spørger ind til elevernes bevidsthed om, hvad de har lært under hele forløbet. Spørgsmålene i evalueringsskemaet så således ud: 1. Hvordan var aktiviteten? Spændende, lidt spændende, ikke særlig spændende. 2. Hvordan opfattede du/i aktiviteten? Svær, lidt svær, let. 3. Hvad lærte du/i i dette arbejde? 4. Føler du/i, at du/i er bedre til at forstå teksterne i matematikbogen? Begrund! I analysen har vi i spørgsmål 1 og 2 valgt at gruppere eleverne i to grupper. I spørgsmål 1 er rationalet, at de elever, der oplever aktiviteterne som spændende eller lidt spændende, er mere motiverede end de elever, der oplever, at aktiviteterne ikke er særlig spændende, hvilket får betydning for elevernes engagement og aktive deltagelse i læreprocessen. I spørgsmål 2 er rationalet, at de elever, der opfatter opgaverne som svære eller lidt svære, har behov for mere støtte end de elever, der umiddelbart oplever opgaverne som lette, hvilket ligeledes får betydning for elevernes engagement og aktive deltagelse i læreprocessen.. Boganmelselsen Analyse Spørgsmål 1 Svarkategori Spændende Lidt spændende Ikke særlig spændende Antal besvarelser Grupperet besvarelse Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 27

28 Spørgsmål 2 Svarkategori Svær Lidt svær let Antal besvarelser Grupperet besvarelse Spørgsmål 3 Eksempler på besvarelser: Jeg lærte, hvordan bogen passede til overskrifterne, om overskrift tekst og alt. Jeg lærte, hvordan man kan kende en matematikbog på en god måde. At beskrive en matematikbog Jeg lærte at forstå teksten lidt Symboler som er i bogen Jeg har lært, hvor ting ligger Jeg lærte, hvordan bogen var opbygget (3) At bogen faktisk var let at læse At bogen er indviklet (2) At den var svær at læse (5) Fandt ud af at bogen var uforståelig Kan ikke huske Ikke noget (2) Ingenting (2) Som det fremgår af analysen, giver 14 elever udtryk for, at aktiviteten er spændende eller lidt spændende, mens 10 elever giver udtryk for, at aktiviteten ikke er særlig spændende. Som det ligeledes fremgår af analysen, giver 14 elever udtryk for, at aktiviteten er svær eller lidt svær, mens 10 elever giver udtryk for, at aktiviteten er let. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 28

29 Vurdering En relativ stor gruppe elever oplevede denne aktivitet som vanskelig. Det er første gang, at de arbejder på denne måde i matematik, hvorfor det er vigtigt, at aktiviteten er godt forberedt. At ti elever giver udtryk for, at opgaven er let, skal ikke ses som et udtryk for, at de havde styr på aktiviteten, men snarere at de ikke var fuldt bevidste om, hvad opgaven gik ud på. Eleverne giver i spørgsmål 3 indikationer på, at de har lært noget, men som det fremgår af besvarelserne, er det lidt svævende for dem, hvad de har fået ud af aktiviteten. Som det fremgår, er der en stor spredning blandt eleverne. En elev giver udtryk for, at bogen faktisk var let at læse. En anden elev fandt ud af, at bogen var uforståelig. Relationer Analyse Spørgsmål 1 Svarkategori Spændende Lidt spændende Ikke særlig spændende Antal besvarelser Grupperet besvarelse 19 5 Spørgsmål 2 Svarkategori Svær Lidt svær let Antal besvarelser Grupperet besvarelse 9 15 Spørgsmål 3 Eksempler på besvarelser: Relation er noget, der hænger sammen med noget (4) At sætte to ting sammen Sammenhæng (3) At man også kan se på billederne, hvad man skal lave (2) At der er sammenhæng mellem tekst og billede (2) Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 29

30 Jeg lærte, hvordan forskellige ting passede sammen fx skole-lære Jeg lærte hvordan ting hænger sammen (2) Jeg lærte at jeg kunne bedre forstå Hvordan man relatere tingene (3) At dele på andre måder Hvordan ting går op i hinanden Jeg lærte at forstå ordene Jeg lærte at arbejde med flere mennesker ikke noget Som det fremgår af analysen giver 19 elever udtryk for, at aktiviteten er spændende eller lidt spændende, mens 5 elever giver udtryk for, at aktiviteten ikke er særlig spændende. Som det ligeledes fremgår af analysen, giver 9 elever udtryk for, at aktiviteten er svær eller lidt svær, mens 15 elever giver udtryk for, at aktiviteten er let. Vurdering En langt større del af eleverne fandt, at denne aktivitet var spændende. Stort set alle elever giver har udtryk for, at de har lært noget om relationer. Opgaven ser ud til at have været motiverende for eleverne. Her ser det ud til, at de elever der oplever at aktiviteten er let og mener, at det er en spændende opgave. Som det fremgår af svarene fra spørgsmål 3, ser det ud til, at mange elever har forstået relationsbegrebet, men også at de i tillæg har opdaget, at der er en sammenhæng mellem tekst og billeder, hvilket er en forudsætning for at arbejde med faglig læsning. Der er dog stadig nogle elever, der ikke finder arbejdet spændende, men færre end i den første aktivitet. Division: Måle og dele Analyse Spørgsmål 1 Svarkategori Spændende Lidt spændende Ikke særlig spændende Antal besvarelser Grupperet besvarelse 23 1 Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 30

31 Spørgsmål 2 Svarkategori Svær Lidt svær let Antal besvarelser Grupperet besvarelse Spørgsmål 3 Eksempler på besvarelser: At der var dele og måle opgaver (7) Jeg lærte, hvordan man skal måle og dele At det også kan være sjovt at regne Jeg lærte hvordan man kan skrive op på flere måder At samme regnestykke kan betyde flere ting Jeg lærte hvordan man kan skrive på flere måder og læse opgaverne At skrive en historie og at tegne til matematik Jeg lærte at lave historier til opgaver Jeg lærte at dele med tegning Jeg lærte noget om ting jeg ikke vidste Jeg lærte at dividere hurtigere At to historier kan give samme resultat (3) Teksten Delmængder Som det fremgår af analysen, giver 23 elever udtryk for, at aktiviteten er spændende eller lidt spændende, mes 1 elev giver udtryk for, at opgaven ikke er særlig spændende. Som det ligeledes fremgår af analysen, giver 14 elever udtryk for, at aktiviteten er svær eller lidt svær, mens 10 elever giver udtryk for, at aktiviteten er let. Vurdering Denne aktivitet er motiverende for eleverne. 23 elever fandt aktiviteten meningsfuld. Det ser ud til, at eleverne har fået en rigere forståelse af begrebet division. Opgaven opfattes dog som svær for en stor gruppe elever. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 31

32 Det ser ud til, at det er en "aha"-oplevelse for eleverne, at en divisionsopstilling kan betyde flere ting. Det er en god idé at lade elever formulere opgaver selv. Relationer i division, måle og dele Analyse Spørgsmål 1 Svarkategori Spændende Lidt spændende Ikke særlig spændende Antal besvarelser Grupperet besvarelse 18 6 Spørgsmål 2 Svarkategori Svær Lidt svær let Antal besvarelser Grupperet besvarelse 17 7 Spørgsmål 3 Eksempler på besvarelser: Jeg har lært at se, hvordan de hænger sammen (2) Jeg lærte, hvad relationen var mellem måle og dele Adskille måle og dele Hvad forskellen er på dele og måle (2) Jeg lærte at måle og dele med sammenhængende ting Ved ikke Intet Ikke noget Jeg har ikke rigtig lært noget Som det fremgår af analysen, giver 18 elever udtryk for, at aktiviteten er spændende eller lidt spændende, mens 6 elever giver udtryk for, at aktiviteten ikke er særlig spændende. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 32

33 Som det ligeledes fremgår af analysen, giver 17 elever udtryk for, at aktiviteten er svær eller lidt svær, mens 7 elever giver udtryk for, at aktiviteten er let. Vurdering En stor gruppe elever giver udtryk for, at aktiviteten er spændende, men det er vigtigt at være opmærksom på, at aktiviteten opfattes som vanskelig. Det er vigtigt, at aktiviteten er godt forberedt. Det er et stort arbejde både for lærere og elever at få denne aktivitet til at lykkes. Du skal lære at skabe overblik over din matematikbog Spørgsmål 1 Svarkategori Spændende Lidt spændende Ikke særlig spændende Antal besvarelser Grupperet besvarelse 17 7 Spørgsmål 2 Svarkategori Svær Lidt svær let Antal besvarelser Grupperet besvarelse Spørgsmål 3 Eksempler på besvarelser: At det minder om danskfaget Jeg fik overblik over bogen og hvordan den var opbygget (3) Hvordan man læste i en matematikbog (2) At få en bedre forståelse Jeg fik mere at vide om bogen Jeg lærte, hvordan man kan læse en side af en matematikbog på en god måde. Rækkefølge, god måde at lave en side Lave en boganmeldelse af bogen (2) At lave kolonnenotat Hvilke dele der var stærkest Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 33

34 Jeg lærte hvor x-aksen og y-aksen er Bogen var alt for indviklet derfor var det kedeligt. Har ikke lavet så meget men okay Som det fremgår af analysen, giver 17 elever udtryk for, at aktiviteten er spændende eller lidt spændende, mens 7 elever giver udtryk for, at aktiviteten ikke er særlig spændende. Som det ligeledes fremgår af analysen, giver 12 elever udtryk for, at aktiviteten er svær eller lidt svær, mens 12 elever giver udtryk for, at aktiviteten er let. Vurdering En stor del af eleverne giver udtryk for, at det er en spændende aktivitet, men at det er vanskeligt for eleverne at skulle danne sig et overblik over en opgave fra deres matematikbog ved hjælp af styrkenotat og kolonnenotat. Men svarene i spørgsmål 3 indikerer, at det har været en god støtte for mange elever, og at det generelt har givet dem en større indsigt i, hvordan deres bog er bygget op. Vi konstruerer en side til en matemtikbog Analyse Spørgsmål 1 Svarkategori Spændende Lidt spændende Ikke særlig spændende Antal besvarelser Grupperet besvarelse 21 3 Spørgsmål 2 Svarkategori Svær Lidt svær let Antal besvarelser Grupperet besvarelse 16 8 Spørgsmål 3 Eksempler på besvarelser: Lærte mere om bogens opbygning (3) Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 34

35 Jeg lærte at opbygge en matematikbog selv At lave en side til matematikbogen (2) Jeg lærte, hvordan man skal konstruere en side til en matematikbog At skrive en sammenhængende tekst om et matematisk emne Lave sine egne opgaver (2) At bygge min egen side Jeg lærte, hvordan man skriver en bog (2) Jeg lærte at skrive det ordentligt Jeg lærte at lave en stat side (2) Hvordan siderne er bygget op. Lærte nærmere om brødtekst, faktorboks osv. Bedre at forstå sproget At alting ikke er så nemt som det ser ud til Ved ikke Som det fremgår af analysen, giver 21 elever udtryk for, at aktiviteten er spændende eller lidt spændende, mens 3 elever giver udtryk for, at aktiviteten ikke er særlig spændende. Som det ligeledes fremgår af analysen, giver 16 elever udtryk for, at aktiviteten er svær eller lidt svær, mens 8 elever giver udtryk for, at aktiviteten er let. Vurdering Mange elever oplever, at aktiviteten er spændende, men også at den er svær. Det er tydeligt, at det flytter meget hos eleverne, når de selv skal formulere sig. Når eleverne selv skal fremstille en matematikside, får de samtidig en kvalitativt bedre forståelse af, hvordan deres matematikbog er bygget op. Spørgsmål 4: Føler I, at I er bedre til at forstå teksterne i matematikbogen? Begrund! Analyse Eksempler på besvarelser: Jeg føler, at jeg er blevet bedre til at læse en matematikbog, fordi vi har arbejdet med det Ja, bedre end før Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 35

36 Ja, fordi jeg lavede min egen matematikside. Nu har jeg overblik over bogens opbygning. Bedre til at læse. Ja, jeg er blevet bedre til at læse min matematikbog Ja, jeg er blevet bedre til at forstå tekster Jeg synes, jeg er blevet bedre til at forstå teksterne i bogen Jeg føler, jeg er blevet bedre til at forstå teksterne i matematikbogen, sproget er nemmere end før. Ja, jeg her overblik over en matematikbog Jeg føler, jeg er blevet bedre, fordi vi har lavet nogle emner, jeg ikke vidste hvad var. Ja, jeg synes det, fordi vi har lært at læse i matematikbogen og forstå det. Ja, fordi nu ved jeg bedre, hvordan man skal starte med at kigge i teksten Jeg er blevet bedre til at forstå ordene i matematikbogen Jeg synes, jeg er blevet bedre til at forstå teksterne og opgaverne i matematikbogen, fordi vi har arbejdet med bogen på forskellige måder, og derfor har jeg fået meget ud af det. Jeg er blevet bedre til at læse matematikbogen, fordi jeg lærte om boganmeldelsen, relation, måle/dele, relation, i måle/dele, styrkenotat og en matematikbog, vi selv skulle lave, men jeg vil lære mere. Jeg ved det ikke, måske lidt er jeg blevet bedre, fordi jeg synes jeg godt kan læse i bogen, når vi har prøver så går jeg i stå, men jeg synes jeg er blevet bedre. Jeg synes, jeg er blevet lidt bedre til at forstå teksterne, fordi jeg har arbejdet med bogen Lidt vi har fået et par nye ord Lidt, fordi noget af ord er svært Er blevet lidt bedre fordi vi gennemgik bogen. Nej, det tror jeg ikke for jeg har lavet det før. Ikke rigtig. Det var ikke svært og spændende nok til at man lærer og husker. Ikke rigtig, har ikke læst i den Ikke særlig Fenerbahce Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 36

37 Vurdering Det er vores vurdering ud fra elevernes besvarelser, at en stor del af dem har lært at læse matematiske tekster. Som det fremgår af svarene, er eleverne mere bevidste om, hvad det vil sige at læse og forstå en matematikbog og ikke mindst, at de selv er bevidste om, at de har lært noget. Men som det fremgår af besvarelserne, kan man groft dele eleverne ind i tre grupper; de elever der har fået et stort udbytte af undervisningen, de elever der er usikre på hav de har fået ud af undervisningen, og så de elever der ikke umiddelbart har fået noget ud af undervisningen. Konklusion Generelt kan det konkluderes at vi for en stor del af elevernes vedkommende har opnået, hvad der var lærernes hensigt med dette pilotprojekt/udviklingsarbejde. Majoriteten af elever giver udtryk for, at de er blevet bedre til at forstå teksterne i deres matematikbog og de er blevet bedre til at arbejde med billeder og relationer. Nogle aktiviteter har været sværere end andre. Boganmeldelsen og at arbejde med repræsentationskort ser ud til at være vanskelige opgaver for eleverne. Tillige opleves boganmeldelsen af mange elever, som en ikke særlig spændende aktivitet. Andre opgaver har været nemmere at gå til for eleverne, det drejer sig om arbejdet med relationer, hvor de selv skulle lave opgaver. Den aktivitet hvor eleverne skulle fremstille deres egen matematikside opfattes som vanskelig, men spændende. ALP testen, som blev anvendt som indledning til projektet og som afslutning på projektet, giver ikke nogen signifikant indikation af, om eleverne er blevet bedre til at arbejde med tekstopgaver i matematik. Perspektivering Dette pilotprojekt har synliggjort, at det er vigtigt at have en bevidst og struktureret tilgang til hvordan man styrker elevers muligheder for at arbejde med tekstopgaver i matematik. Dette gør sig gældende for såvel etsprogede som tosprogede elever. Vi er blevet opmærksomme på, at dette bevidste arbejde støtter eleverne, når de arbejder med tekstopgaver i matematik som det kommer til udtryk i deres matematikbog.det er vigtigt, at dette arbejde med faglig læsning struktureres på en sådan måde, at såvel så lærere som elever og forældre umiddelbart kan se en mening med at arbejde med disse elementer i matematik,. Vi er opmærksomme på, er, at hvis denne arbejdsform skal blive en integreret del af undervisningen i matematik, skal der udvikles arbejdsmåder der understøtter denne tænkning. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 37

38 Vi mener, det er vigtigt, at der på baggrund af dette pilotprojekt gennemføres yderligere udviklingsarbejder med forskellige aktiviteter over et længere tidsrum, for at undersøge og dokumenterer eventuelle langtidseffekter af denne måde at arbejde på, så der kan sættes fokus på det, der virker. Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 38

39 Litteratur Andersen M.W. og Petersen L.K. (In press): Relationer mellem repræsentationer. Baddeley, A.D., Hitch, G.J.L (1974): Working Memory, In G.A. Bower (Ed.), Bell, N. og Tuley, K.(2003): Imagery: The Sensory-Cognitive Connection for Math, findes på: Damasio A. R. (2001): Descartes fejltagelse. Hans Reitzels Forlag Eriksen, D.B., (1993): Personlige og sociale sider ved elevernes tilegnelse af faglig viden og kunnen i folkeskolens matematikundervisning, Afdelig for matematik, Danmarks Lærerhøjskole. Høines, M. J. (1998): Begynneroplæringen. Caspar forlag, Bergen. Malmer, G. (1999): Bra matematik för alle. Studentlitteratur. Lund. Rönnberg, I. og L. Rönnberg (2001): Minoriteselever och matematikutbilding en litteraturoversigt. Skolverket, Liber, Stockholm. Paivio, A. (2006). Dual Coding Theory and education. Draft chapter for the conference on Pathways to Literacy Achievement for High Poverty Children, The University of Michigan School of Education, September 29-October 1, Mental representations: a dual coding approach. Oxford. England: Oxford University Press. Savignon, S.J., (1997): Communicative competence : theory and classroom practice : texts and contexts in second language learning, McGraw-Hill.- New York) Santa, C og Engen, L. (1996): Lære å lære, Projekt Criss, Stiftelsen dysleksiforskning, Stavanger Sterner G. og Lundberg, I. (2002): Läs och skrivsvårigheter och lärende i matematik. NCM-Rapport 2002:2. Göteborg universitet Tuley, K., & Bell, N. (1997): On cloud nine: visualizing and verbalizing formath. San Luis Obispo, CA: Gander Publishing. Vygotsky L. S. (1971): Tænkning og sprog. Hans Reitzel, København Wertheimer, M. (1945): Productive thinking. New York, Harper and Row Der skal billeder på matematikken, PULSnr Side 39