FREMTIDIG VOLATILITET

Transkript

1 AALBORG UNIVERSITET, 2009 FREMTIDIG VOLATILITET IMPLICIT VOLATILITET KONTRA GARCH(1,1) BACHELORPROJEKT CHRISTIAN BALTHAZAR JAKOB TRAUMER MØLLER

2 Titelblad Titel: Fremtidig volatilitet - Implicit volatilitet kontra GARCH(1,1) Emne: Optionsteori, Finansiering Årgang: 6. semester, 2009 Grupper nummer: 14 Vejleder: Hans S. Andersen tegn (med mellemrum): 42,56 normalsider Afleveret: 3. juni 2009 Skrevet af: Christian Balthazar Møller Jakob Traumer

3 ABSTRACT This paper examines the performance of future volatility calculated via implied and historical methods. The participants in the option market mainly use the implied volatility and rarely the historical - but should this be reversed? The future volatility estimate is important when trying to optimize the price of European call options. This is because the future volatility is the only unknown parameter in the Black-Scholes formula. A formula that can calculate option prices. This paper will have highly awareness on the assumption in the Black-Scholes formula, which simplifies the volatility to be constant in the options duration. The data used to measure future volatility is the American S&P 500 index, which is traded at the options market as European options. The benefit of choosing the S&P 500 index is that it contains a large portfolio of assets, which gives a better image of the market s macro volatility. A single asset would be exposed to change in the volatility caused by news/choc on micro level, which does not have our main interest. Dealing with a dividend-paying index, as the S&P 500 index is, forced us to rewrite the Black-Scholes formula. This is inspired by Robert Merton s article from 1973 that extended the original Black-Scholes formula to contain dividend-payments. Both the implied and the historical volatility can be placed in the Black-Scholes formula to find the price on the European call option. The method to calculate implied and historical volatility is quite different though. To find implied volatility we use the Black-Scholes formula. Having the price on the call options, the only unknown parameter is the future volatility, which now can be estimated through Goal-Seek in Microsoft Excel Historical volatility is often in educational books found through standard methods. Standard methods are easy calculated, but often give a poor estimate. Therefore, we introduce the GARCH(1,1) methods, which is, a more sophisticated approach to estimate future volatility. GARCH(1,1) has the advantage of being able to weigh past information, where recent information will have the greatest attention.

4 When comparing the two historical methods, we find that GARCH(1,1) outperforms the standard methods, when comparing to realized volatility. This is the result even if the standard method is based on 30 or 90 calendar day yields. Therefore we continue with the GARCH(1,1) method and compare this with the implied volatility. Implied volatility show to perform slightly better than the GARCH(1,1) estimate on future volatility.

5 Side 1 af 55 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemstilling Problemformulering Afgrænsning Metode Teori Optioner Optionens værdi Grænser for optionspriserne Hvad er Black Scholes formlen? Antagelsen om random Walk Black Scholes prisformel Omskrivning af Black Scholes med dividender for indeksoptioner Egenskab ved Black Scholes: Implicit volatilitet Estimation af volatilitet på baggrund af historisk data Standardmetoden GARCH(1,1) modellen Fremtidig volatilitet GARCH(1,1) gennemsnitligt estimat Empiri og analyse Databehandling Beregning af volatiliteter ud fra historisk data Sammenligning af historiske og GARCH(1,1) estimater Hvorfor er GARCH(1,1) bedre? Kommentar på GARCH estimatetet Beregning af implicit volatilitet GARCH(1,1) kontra implicit Fordele og ulemper ved implicit volatilitet Konklusion Appendiks:... 48

6 Side 2 af Appendiks A: Put Call pariteten Appendiks B: Markov egenskaben Den generaliserede Wiener proces Itô s lemma Appendiks C: Notations oversigt Appendiks D: Underliggende i vores Black Scholes formel Tabel for beregninger af implicit volatilitet Appendix E Beregninger GARCH(1,1), 90 dages historisk og realiseret volatilitet Litteraturliste Artikler Hjemmesider: Bøger Database... 55

7 Side 3 af Indledning Markedet for optioner er vokset markant siden 2003, hvor det samlede antal handlede kontrakter på Chicago Board Options Exchange var ca. 284 millioner, mens der i 2008 blev handlet milliarder kontrakter, en stigning på mere end 400% på fem år (CBOE, 2009). Dette viser også en udvikling i forhold til 1973, da Robert Merton skrev: Because options are specialized and relatively unimportant financial securities, the amount of time and space devoted to the development of a pricing theory might be questioned. Stigende optionsaktivitet sammenholdt med at optioner har en teoretisk interessant afkastprofil, gør det relevant at se nærmere på, hvordan optioner prisfastsættes, og hvorvidt der er forskel på de priser, der handles på markedet og dem, som fastsættes efter teoretiske modeller. Med andre ord er det interessant at undersøge om man, via teoretiske modeller, kan fastsætte en mere rimelig pris på en given option end den, som markedet sætter, og om man kan spore tendenser til at de optionspriser, der fastsættes af markedet generelt, er over- eller undervurderet ud fra et teoretisk synspunkt. I 1973 udgav Fischer Black og Myron Scholes artiklen The Pricing of Options and Corporate Liabilities, hvor de, som artiklens titel indikerer, fremlægger en formel for prisfastsættelse af optioner, europæiske call optioner. I Black-Scholes formlen er en af parametrene volatiliteten. Volatilitet er et mål på spredning af et aktivs, pris omkring dennes middelværdi over en tidsperiode. Det er vigtigt at være påpasselig, når volatiliteten behandles med henblik på at prise optioner. Volatiliteten i Black-Scholes formlen er den fremtidige volatilitet for det underliggende aktiv indtil optionens udløbsdato, som principielt er umulig at forudsige. Dog kan man ud fra teoretiske modeller beregne et kvalificeret gæt, og der er her flere tilgange til, hvordan estimatet af volatiliteten kan fremkomme. Modellen kan endvidere benyttes til at regne den implicitte volatilitet. Den implicitte volatilietet ligger, som navnet antyder, implicit i de optionspriser som handels på markedet, og kan derfor betragtes som værende markedets nuværende forventninger til den fremtidige volatilitet. Dette er dog ikke ensbetydende med, at det er det bedste estimat: Without further analysis, there is no presumption that implied volatilities are optimal forecasts of future volatility or that true option values can best be forecast by forecasting implied volatilities (Kane, 1994, s. 315). Derfor vil der være inte-

8 Side 4 af 55 ressant at se, om der kan findes andre metoder til at finde et bedre estimat, end hvad markedet benytter. Man kan eksempelvis estimere fremtidig volatilitet ud fra historisk data, hvor der findes flere tilgange, både simple og mere sofistikerede. Viser det sig, at vi kan finde et bedre estimat for den fremtidige volatilitet, vil dette betyde, at markedspriserne på optioner, ifølge Black-Scholes, kan betragtes som værende urimelige Problemstilling I gennemgangen af Black-Scholes formlen bliver det klart, at volatiliteten er den ubekendte, når prisen på en option skal fastsættes. Alle andre faktorer, som indgår i Black-Scholes formlen, kan bestemmes objektivt, mens den fremtidige volatilitet er den eneste parameter, som skal estimeres. Man kan derfor på sin vis sige, at når der handles med optioner, er det principielt volatilitet, der handles prisen på en option er prisen på volatilitet. Med denne viden in mente er det meget naturligt at se nærmere på, hvordan vi selv kan beregne et estimat af volatiliteten. Kan dette evt. give et bedre estimat af den fremtidige volatilitet sammenlignet med den implicitte volatilitet. Endvidere så kunne det tænkes, at handlende i optionsmarkedet med et bedre volatilitets estimat kunne skabe profit. Dette medfører en række spørgsmål: Hvor meget spiller de seneste målte svingninger i aktiekurserne ind på optionens pris i forhold til ældre observationer? Kan man finde betydelige forskelle i de optionspriser, som handles i markedet og de priser, som beregnes ved Black-Scholes kontra andre volatilitetsmodeller eks. GARCH(1,1)? Betyder en anden tilgang til volatiliteten noget for priserne på de handlede optioner? Er fortidens information tilstrækkelig, når vi ønsker at forudsige fremtidig volatilitet? Er markedet bedre end historiske estimater til at forudsige fremtidig volatilitet? Vil et GARCH(1,1) estimat, der er bedre end den implicitte volatilitets estimat kunne give arbitragemuligheder via handel med straddles? Vi vil præsentere et teoretisk fundament, som skal sætte os i stand til at analysere de data, vi har valgt at benytte i dette projekt. Dette er med henblik på at besvare disse spørgsmål i det omfang, det er muligt og relevant. Da det ikke er realistisk at bearbejde samtlige spørgsmål, vil fokus være at besvare nedenstående problemformulering, som sammenfatter formålet med den resterende del af projektet.

9 Side 5 af Problemformulering I Black-Scholes nobelprisbelønnede formel fra 1973, der prisfastsætter europæiske optioner, er den eneste ubekendte parameter den fremtidige volatilitet. Dette betyder, at en implicit volatilitet kan beregnes ud fra markedspriserne på optioner. Implicit volatilitet er den volatilitet, markedet forventer på det underliggende aktiv i optionens løbetid. Kan vi ved hjælp af GARCH(1,1) modellen beregne et estimat, som er bedre til at forudsige den fremtidige volatilitet for en 30 dages indeksoptions underliggende aktiv, end den markedet forventer? 1.3. Afgrænsning Vi har valgt at begrænse vores fokus til europæiske call optioner. Da det er europæiske optioner, så vil vi altid kunne finde put priserne vha. put-call pariteten. 1 Valget på netop europæiske optioner skyldes, at amerikanske og specielt eksotiske optioner har en anden og mere besværlig konstruktion. Endvidere vil vi benytte det amerikanske S&P 500 indeks til vores empiriske undersøgelse, da dette indeks er det underliggende aktiv til netop europæiske optioner. At vi fokuserer på S&P 500 indekset skyldes, at vi ønsker et veldiversificeret indeks i stedet for enkelt aktier, da en enkelt aktie kan give et misvisende billede af markedsvolatilitet. Dette kommenteres der yderligere på i afsnittet, hvor vi omskriver Black-Scholes formlen til at medtage dividender og et aktieindeks som det underliggende aktiv. Blandt andet Paul Wilmott nævner flere andre problemstillinger i Black-Scholes, som kan behandles (Wilmott, 2006, s. kap 46). Vi har valgt at holde fokus til behandling af den fremtidige volatilitet, hvilket betyder, at emner som transaktionsomkostninger, hedging, jump diffusion og modellering af renteniveauet ikke behandles dybdegående. Der vil dog til flere af emnerne være specificeret antagelser samt fremskaffelse af acceptable data i vores databeskrivelse. Derudover antages det, at Black-Scholes formlen holder dvs., at den teoretiske konstruktion er den sandfærdige sammenhæng mellem de parametre, der indgår i modellen. Dette betyder, at vi kan betragte den implicitte volatilitet som den volatilitet, markedet rent faktisk forventer. Valget af en generalized autoregressive conditional heteroskedasticity model, herefter benævnt GARCH, skyldes modellens evne til at vægte historisk data, samt at dette er en mere sofistikeret model med en acceptabel resultathistorik. Under GARCH findes flere udgaver. Vi har valgt at benytte GARCH(1,1) modellen, da denne, sammenlignet med andre GARCH modeller, er forholdsvis 1 Put call pariteten er gennemgået i appendiks A.

10 Side 6 af 55 simpel at benytte. Abken og Nandi skriver, at markedet ønsker at benytte simple modeller i stedet for tidskrævende og komplicerede modeller (Abken, 1996, s. 28). Endvidere skriver Hansen og Lunde, at GARCH(1,1) ikke overgås af mere sofistikerede GARCH modeller (Lunde, 2001, s. 1). Kane, Noh og Engle benytter sig af en omskrevet GARCH model, hvor de observerer og implementerer i modellen, at historisk data fremviser, at volatiliteten akkumuleres over weekenden, hvilket giver højere volatilitet om mandagen end i resten af ugen (Kane, 1994, s. 316). Dette har vi valgt at se bort fra i dette projekt, og problemstillingen vil derfor ikke blive behandlet. Sidst skal det nævnes, at flere behandlinger af Black-Scholes og volatilitet fokuserer på volatilitets skævhed og volatilitetssmilet. Begge betegner ændring i volatiliteten ved forskellige strikepriser, og i mindre omfang tid til udløb, i henhold til Black-Scholes antagelsen om konstant volatilitet. Volatilitetssmilet viser højere volatilitet ved ændring af strikeprisen, mens skævhed er smilets hældning, der skaber dyr prisfastsættelse på out-of-the-money puts, hvilket ofte skyldes ønske om at gardere sig mod down-side risikoen. Vi vil i dette projekt ikke behandle volatilitetssmilet yderligere. Fokus vil derfor udelukkende være på at-the-money optioner på erhvervstidspunktet. De call optioner vi behandler, vil have en løbetid på 30 kalender dage Metode Projektet opbygges ved at beskrive, hvad optioner grundlæggende er, da det er disse, Black-Scholes forsøger at fastsætte en pris på. Optionens afkastprofil er vigtig for at kunne gennemskue tankegangen bag optioner. Optioner skal også ses i lyset af put-call pariteten, der er relevant, når vi behandler europæiske call optioner. Derved kan vi, som nævnt i afgrænsningen, undlade at behandle put optioner, da disse altid vil kunne findes vha. put-call pariteten. Ses volatiliteten som to grene, består den ene af den implicitte volatilitet, der findes vha. de markedsbestemte priser på optioner, som indsættes i Black-Scholes formlen. Den anden er estimater beregnet på historisk data for det underliggende aktiv, eksempelvis et standard historisk estimat eller GARCH(1,1). Begge volatiliteter kan efter visse antagelser indsættes i Black-Scholes formlen for at finde call optionens pris. Black-Scholes formlen vil blive introduceret ved at se på antagelserne og i særdeleshed antagelsen om konstant volatiliteten. Udover antagelsen om volatiliteten vil der yderligere blive kommenteret på antagelsen i Black-Scholes om udviklingen på det underliggende aktiv. Dette er vigtigt, da random walk vil blive benævnt ved den senere omskrivning til aktieindeks med dividender samt i

11 Side 7 af 55 afsnittet, hvor vi kommenterer på GARCH(1,1) estimatets teoretiske inkonsistens med Black- Scholes formlens antagelse om konstant volatilitet. Black-Scholes benyttes yderligere, når vi senere i projekt, vha. et Excel-ark, vil beregne den implicitte volatilitet. Efter gennemgangen af den udvidede Black-Scholes formel vil vi behandle det indsamlede datasæt vha. standardmetoden til beregning af estimater på baggrund af historisk data og GARCH(1,1) modellen. Vi gennemgår den grundlæggende opbygning af GARCH(1,1) således, at vi på baggrund af dette kan beregne volatiliteten via historisk data. Disse beregninger vil blive benyttet, når vi vil sammenligne GARCH(1,1)s evne til at forudsige volatiliteten sammenlignet med andre simple estimater af volatiliteten, der også har en tilgang via historisk data. Vi har en forventning om, at GARCH(1,1) klarer sig bedre end de simple estimater, når der skal estimeres fremtidig volatilitet og for at undersøge dette, videreskriver vi GARCH(1,1) modellen til at kunne forudsige en gennemsnitlige volatilitet, der benytter mean-reverting. Til den gennemsnitlige volatilitet vil vi knytte et par kommentarer. Disse kommentarer vil sammenkoble teorien, der er beskrevet tidligere. Specielt vil random walk og GARCH(1,1) antagelsen om mean-reverting blive vurderet, da vi skal se, at volatiliteten i GARCH(1,1) modellen kan betragtes som værende stokastisk, og dermed fremkommer den teoretiske inkonsistens som nævnt i tidligere i afsnittet. Dette er vigtigt at være opmærksom på, når vi skal forsøge at indsætte vores GARCH(1,1) estimatet i Black-Scholes formlen. Vi vurderer, om det gennemsnitlige GARCH(1,1) estimat opfylder de krav, som stilles til Black-Scholes antagelserne i form af konstant volatilitet. Til sidst sammenlignes GARCH(1,1) estimaterne med den implicitte volatilitet for at besvare problemformuleringen. Endvidere vil vi forklare, hvad det er ved de to volatiliteter, der netop gør, at vi kommer frem til vores resultat. Afsnittet hvor vi beregner vores estimater vil indeholde både den empiriske del af projektet samt analysen. Grunden til dette er, at vi finder det naturligt at analysere resultaterne, lige efter de er præsenteret og kommenteret frem for at lave en mere firkantet opdeling.

12 Side 8 af Teori I dette afsnit præsenteres den teori, som vi ønsker at gøre brug af i projektet. Først vil egenskaberne ved optioner kommenteres, hvorefter Black-Scholes formlen præsenteres. Vi har senere valgt at omskrive Black-Scholes formlen med inspiration fra Robert Merton således, at formlen er tilpasset til at behandle et aktieindeks, hvortil der tilskrives dividender. Endvidere vil vi gennemgå de valgte metoder til at estimere volatilitet Optioner Optioner tilhører gruppen af afledte aktiver eller derivater, som er karakteriseret ved, at deres værdi afhænger af et underliggende aktiv. En option, som giver ret til at købe et aktiv, kaldes en call option, mens en option med salgsret på det underliggende aktiv benævnes put option. For begge optionstyper kan man vælge henholdsvis at erhverve (købe) eller udstede (skrive) optionen. Køberen af en option har således erhvervet sig retten, men ikke pligten, til at købe (call optionen) eller sælge (put optionen) det underliggende aktiv efter optionens bestemmelser om udløbsdato og strikepris. Køberen siges at have en lang position i optionen. Omvendt vil skriveren af optionen være forpligtet til at sælge (call option) eller købe(put option) det underliggende aktiv på/før (mere om det senere) udløbsdatoen til strikeprisen. Skriveren har en kort position i optionen. Da optioner for køber kun indeholder en rettighed, men ingen forpligtigelse, til at købe/sælge det underliggende aktiv, har erhververen sikret sig mulighed for uendelig stor gevinst, mens tabet er begrænset til prisen på optionen. 2 Skriveren af call optionen påtager sig en forpligtigelse til at sælge det underliggende aktiv efter optionens bestemmelser om udløbsdato og strikepris, også selvom det er ufordelagtigt. Denne forpligtigelse påtager skriver sig ikke uden at få en præmie for det. Dermed er skriverens eventuelle gevinst karakteriseret ved maksimalt at være optionens pris, mens skriverens tab kan blive uendeligt stort. Dette giver asymmetri i afkastprofilen. Der findes forskellige slags optioner, hvor de mest kendte og mest simple er amerikanske og europæiske optioner. Amerikanske optioner er karakteriseret ved, at indehaveren kan vælge at udnytte optionen før eller på udløbsdatoen, mens de europæiske optioner kun tillader udnyttelse af optionen på selve udløbsdatoen. Disse simple optionstyper benævnes plain vanilla optioner, og står i kontrast til de mere komplicerede eksotiske optioner, som typisk handles udenom børserne. 2 For call optioner. Gevinstens størrelse for put optioner er begrænset af at kursen på det underliggende aktiv ikke kan blive negativ.

13 Side 9 af 55 Den sidste opdeling, vi vil lave af optionerne, henviser til forholdet mellem optionens strikepris og spotkursen. Spotkursen er den aktuelle kurs på det underliggende aktiv. Der skelnes mellem, hvorvidt optionen er in-the-money, out-of-the-money eller at-the-money. For call optioner, der er in-themoney, gælder det, at strikeprisen er lavere end spotkursen og omvendt for call optioner, som er out-of-the-money. Hvis strikeprisen er lig (eller meget tæt på) spotkursen, siges optionen at være atthe-money. Vi vil her vise, hvordan et bedre estimat af volatiliteten ville kunne udnyttes. Prisen på optionen er afhængig af forventningerne til volatiliteten højere volatilitets forventninger medfører højere pris på både call og put optionen. Derfor vil der være store økonomiske fordele i at kunne estimere den fremtidige volatilitet bedre end markedet. Kunne GARCH(1,1) estimere den fremtidige volatilitet systematisk bedre end markedets implicitte volatilitet, så ville der opstå arbitragemuligheder. Havde GARCH(1,1) eksempelvis estimeret en fremtidig volatilitet, som var højere end markedets implicitte, så kunne den handlende med fordel udnytte denne viden. En forventning om højere fremtidig volatilitet end hvad markedet forventer, ville kunne udnyttes ved at gå lang i en straddle. En lang position i en straddle vil sige, at gå lang i både en call option og en put option med samme strikepris og udløbsdato. Erhververen af en lang position i en straddle vil få profit, hvis det underliggende aktiv flytter sig tilstrækkeligt langt væk fra strikeprisen, enten op eller ned. Man skal dog være opmærksom på, at en høj volatilitet ikke er ensbetydende med stor forskel i kursen på det underliggende aktiv fra optionens start- til sluttidspunkt. Det vil sige, at høj volatilitet ikke nødvendigvis giver profit, men øger sandsynligheden for profit. Dette ses i nedenstående figur, der viser en lang position i en straddle.

14 Side 10 af 55 Figur 2-1 Lang straddle, lang position i call og put option Både prisen på en call og en put vil stige ved højere volatilitet, da dette øger sandsynligheden for, at optionen ender in-the-money. Igen, kan vi eksempelvis forudsige en kommende højere volatilitet i forhold til markedets estimat, så ville en lang position i en straddle give højere forventet profit. Vi erkender, at dette ikke er en arbitragemulighed, i ordets forstand, forstået som risikofri gevinst. GARCH(1,1) vil ikke kunne være systematisk bedre end implicit volatilitet. Kunne GARCH(1,1) eksempelvis i 4 ud af 5 tilfælde estimere bedre end implicit volatilitet, så vil der stadig være en risiko for tab. Omvendt, så vil det have stor interesse for de optionshandlende, hvis de kan øge deres sandsynlighed for gevinst Optionens værdi Optionens værdi bestemmes af to komponenter, nemlig den indre værdi og tidsværdien. Den indre værdi er differencen på spotkursen og strikeprisen. På tidspunkt t er den indre værdi givet ved: 3 Call option: Indre værdi MaxS K ; 0 Put option: Indre værdi MaxK S ; 0 Er spotkursen højere end strikeprisen for en call option, vil denne være in-the-money og den indre værdi være positiv. Er strikeprisen derimod højere end spotkursen, er optionen out-of-the-money og den indre værdi være lig nul, og optionen udnyttes ikke. Den indre værdi er med andre ord optionens værdi, hvis den udnyttes på tidspunkt t, men da udløbsdatoen ligger på et fremtidigt tidspunkt, 3 I appendiks C findes en oversigt over projektets notationer.

15 Side 11 af 55 påvirker også tidsværdien optionens værdi. Tidsværdien afhænger af tre faktorer; tid til udløb, den risikofrie rente samt volatiliteten. Volatiliteten vil påvirke tidsværdien således, at en højere volatilitet giver en højere tidsværdi. Grunden til dette er, at jo større kurssvingninger der er på det underliggende aktiv, des større er chancen for, at optionen ender langt in-the-money. Samtidigt tillægges det ingen værdi, hvorvidt optionen slutter at-the-money eller out-of-the-money, da optionen i begge tilfælde er værdiløs Grænser for optionspriserne Den nedre grænse for prisen på en call option er kursen på det underliggende aktiv fratrukket nutidsværdien af strikeprisen. Denne kan ikke være negativ dvs. ; 0. Den logiske forklaring er, at såfremt det ikke var sandt, ville der være arbitrage muligheder ved at købe call optionen, købe det underliggende aktiv samt investere et pengebeløb svarende til nutidsværdien af K til den risikofrie rente r (Grinblatt, 2002, 264). Der opstilles to porteføljer A. Lang position i call optionen samt pengebeløb svarende til investeret til den risikofrie rente B. Lang position i det underliggende aktiv Portefølje A Tidspunkt 0 Tidspunkt T, ST>K Tidspunkt T, ST K Køb call c 0 S T K 0 Invester Ke rt Ke rt K K Cash Flow total c 0 Ke rt S T K Portefølje B Tidspunkt 0 Tidspunkt T Køb aktie S 0 S T Hvis vil call optionen i portefølje A udnyttes. Samtidigt udbetales K som resultat af den risikofrie investering, og portefølje A vil således totalt give S T. Hvis er call optionen værdiløs, og portefølje A vil have værdien K. Det kan sammenfattes til, at værdien af portefølje A må være, på tidspunkt T. Portefølje B vil altid være S T værd ved tidspunkt T. Dermed kan det konkluderes, at portefølje A altid er mindst lige så meget værd som portefølje B ved tidspunkt T. Dette må også være gældende på tidspunkt 0, og under forudsætningen om ingen arbitrage betyder det, at den nedre grænse for call optionen er

16 Side 12 af 55 Da en call options værdi ikke kan være negativ, er det hermed vist, at den nedre grænse for call optionens pris er: ; 0 Den øvre grænse for call optionens pris er lettere at vise, da denne blot er begrænset af spotkursen, altså: Argumentet er, at såfremt prisen på call optionen er højere end spotkursen, opstår der abitrage muligheder for at skrive optionen og købe det underliggende aktiv. Dermed kan vi sammenfatte nedre og øvre grænse for en call option på følgende formel: ; Hvad er Black Scholes formlen? Black-Scholes formlen benyttes til at fastsætte prisen på en europæisk call option. Formlen benytter, som nævnt, 5 parametre, hvor kun volatiliteten er den ubekendte. Er alle parametrene kendte, så kan vi finde fair value på optionen. Formlen er opbygget vha. flere vigtige økonomiske antagelser. Da det er vigtigt at kende til antagelserne, gennemgås de her. Det er muligt at slække på flere af antagelserne, hvilket vi gør senere. Formlen antagelser: Generelt kan antagelserne opdeles i 2 kategorier: fordeling af prisudviklingen og det økonomiske miljø. For prisudviklingen opstilles følgende antagelser: 1. Prisfastsættelsen af finansielle aktiver og derivater skal ske kontinuert. 2. Fokus er alene europæiske optioner. 3. Kursen på aktivet følger en random walk i kontinuer tid og volatiliteten på det underliggende aktiv antages at være konstant. 4. I optionens levetid betales der ikke dividender. Denne antagelse kan der slækkes på, hvilket teoriafsnittet senere vil vise.

17 Side 13 af Der er fuld delelighed på samtlige aktiver. Hvilket vil sige, at det er muligt at købe eks. option. Ofte vil der dog i praksis være tale om, at der investeres i en størrelsesorden af 20, 50 eller 100 aktiver. Der ses efterfølgende på antagelserne vedr. markedets miljø: 6. Der eksisterer en risikofri rente, som er kendt og konstant i optionens levetid. Til den risikofri rente hører antagelsen om ubegrænset ind- og udlånsmuligheder til. 7. Transaktionsomkostninger, skatter og afgifter antages der væk fra. 8. Der findes ingen restriktioner på short-selling. (Black, 1973, s. 640) og (McDonald, 2003, s. 369) Antagelsen om random Walk En kommentar skal knyttes til antagelsen om random walk. Vi har valgt at behandle random walk kort, men har skrevet yderligere kommentarer i appendiks B. Appendiks indeholder omtale af Markov egenskaben, Wiener processen og Itô lemma. Disse kan være nødvendige for at forstå dette afsnit. Random walk beskriver udviklingen i en variabel, der kendetegnes ved at følge en stokastisk proces. Processen kan enten være kontinuer eller diskret, hvor den diskrete proces er mere virkelighedsnær grundet aktiers diskrete udvikling samt, at diverse børser holder lukket. Vi kigger på kontinuer, da dette er en antagelse i Black-Scholes, og da dette er den gennemgåede tendens i nyere tid ved behandling af stokastisk volatilitet. Skal den generaliserede Wiener proces overføres på en aktie, så er det nødvendigt at ændre på antagelsen om konstant driftrate. Dette skyldes, at forventes der eks. 15% afkast på en investering med nuværende værdi på 50kr., så vil samme aktører på markedet også forvente 15% afkast på en investering med en nuværende værdi på 100kr.. Dermed skal antagelsen ændres til at omfatte konstant afkast. Er kursen på tidspunkt t S t, så bør den forventede driftrate være μs t, hvor μ er en konstant. Dermed kan en ændring i kursen over et kort tidsinterval skrives som μsδt, hvor μ er det forventede afkast på aktien. Antages det, at volatiliteten er 0 og lader Δt 0 får vi at µ S dt.

18 Side 14 af 55 Ligningen siger, at en aktie over tid vil øges med en konstant rate, hvilket ved hjælp af en kontinuer tilskrivning kan skrives som. Volatiliteten er naturligvis sjældent 0, men antages det, at variationen i afkastet målt i procent over et kort tidsinterval, er konstant uanset niveauet af aktiekursen fås modellen. Den sidste ligning er ofte benyttet til at beskrive bevægelsen i en aktiekurs. Igen med σ som volatiliteten i aktiekursen, og μ som det forventede afkast Black Scholes prisformel Black-Scholes formlen uden dividender kan udledes ved at tage udgangspunkt i tidligere beskrivelse af optioner. Dertil er det vigtigt at antage, at det ikke muligt at opnå arbitrage handler, samt at agenterne i markedet er risikoneutrale. Risikotilgangen er ikke ensbetydende med, at Black-Scholes formlen ikke er brugbar for andre tilgange til risiko. Den kommende Black-Scholes formel vil vise, at denne er undtaget for forventet afkast, hvilket bevirker, at risikoelementet ikke direkte er indskrevet. Black-Scholes artikel argumenterer i stedet for, at det forventede afkast på optionen er afhængigt af det forventede afkast på det underliggende aktiv (Black, 1973, s. 644). Med dette i mente kan vi, som gennemgået i afsnit , skrive den forventede værdi på en call option på tidspunkt t ved udløb som følgende: max,0. angiver, at vi danner forventningerne på baggrund af antagelsen om risikoneutralitet. Den forventede værdi kommer enten via en udnyttelse af call optionen, hvor værdien er forskellen mellem markedsprisen og den aftalte strikepris. Alternativt lader ejeren af call optionen blot rettigheden udløbe uden exercise og derved værdien 0. Når vi antager risikoneutralitet kan vi tilbagediskontere den forventede værdi vha. den kontinuere risikofri rente 4 max,0. 4 Det er ikke indenfor dette projekts ramme at udlede Black Scholes formlen. Dette kan ses i Hull 2008 kapitel 13, appendiks.

19 Side 15 af 55 Udtrykket kan videre skrives som (Hull, 2008, s. 292). Videre fra dette kan vi skrive Black-Scholes formlen i dennes kendte form, som prisen på en call option: er sandsynligheden for, at optionen vil blive anvendt i en risiko-neutral verden. Når dette led ganges med K, gives sandsynligheden for, at optionen bliver udnyttet. er størrelsen på deltaværdien, der bestemmer, hvor stor en andel af, der er nødvendigt for at replicere optionen i forhold til det underliggende aktiv således, at porteføljen er elimineret for risiko ved dynamisk hedging. er den forventede værdi, hvis værdi vi tidligere har fastlagt til enten S T eller 0 ved tidspunkt T. Beregningen af hhv. d 1 og d 2 skrives som 2 2. (McDonald, 2003, s. 367) Den kontinuert tilskrevne rente er her, og i resten af opgaven, angivet på årlig basis. Vi har valgt at benytte Hulls vurdering af årlig basis, og derfor beregnes denne på baggrund af antal handelsdage i året, hvilket antages til 252 dage. Ydermere betyder den kumulative fordelingsfunktion for standardnormalfordeling. Dette er sandsynligheden for, at en stokastisk variabel med standardnormalfordelingen z~n(0,1) vil være mindre end x. Værdierne for findes enten ved tabelopslag i Hull s eller via Excel formlen standardnormfordeling Omskrivning af Black Scholes med dividender for indeksoptioner Black-Scholes formlen, vi indtil nu har kommenteret, har været med afsæt i en aktie som det underliggende aktiv. Endvidere har vi også antaget, at der ikke udbetales dividender. Vi ønsker at om-

20 Side 16 af 55 skrive Black-Scholes formlen for at tilpasse den til at kunne behandle S&P 500 indekset, der udbetaler dividender. Dette er bl.a. et af de centrale punkter i R.C. Mertons udbygning i 1973 af den oprindelige Black-Scholes formel (Merton, 1973, s. 151). Vi vil gerne behandle indeksoptioner, da disse har et aktieindeks som underliggende. Dette er specielt interessant, da vi har fokus på volatiliteten. Det kan tænkes, at enkeltaktier i højere grad er udsat for større udsving i form at stød/chok end et indeks med flere aktier i. Denne tankegang beskriver Grinblatt-Titman s. 98 som en veldiversificeret portefølje, da spredningen af investering på flere aktiver vil sænke risikoen. Denne idé vil vi gerne overføre på aktieindeks, da flere aktier vil give et mere realistisk udtryk for markedet samlede (makro) volatilitet kontra enkeltaktiers større påvirkning fra mikro/firma chok (Grinblatt, 2002, s. 185). Da vi ønsker at behandle aktieindeks, kan vi benytte den diskrete fremgangsmåde til at beregne den samlede dividende, også kendt som lumpy dividend. Det vil kræve, at vi kender den fremtidige tilbagediskonterede dividende, samt ex-dividende datoerne og vægtningen på samtlige aktier i vores indeks. Endvidere skulle vi tage hensyn til, i hvilken periode optionerne, som vi omtaler, løber i for at sammenholde optionen med de enkelte dividende betalinger. Dette vil være særdeles upraktisk og besværligt, da vi kan begrænses af information om størrelse og tid. Dertil vil der oftest skulle estimeres på de enkelte dividender, hvilket kan give en stor fejlmargin. I stedet antager vi, at vi for indekset kan benytte en samlet kontinuer dividende rate, q. Denne rate antages at være kendt i hele optionens levetid. I databehandlingen vil vi beskrive, hvordan denne fastsættes. Vi udvider nu fra en europæisk call option uden dividender til europæisk call option med dividender. Dividender bevirker, at kursen på aktien falder med præcis størrelsen på dividende betalingen. 5 Dette skyldes, at aktiekursen forventes at give det samme samlede afkast med eller uden dividender. Dermed ville der opstå arbitragemuligheder, hvis der ikke var overensstemmelse mellem det samlede afkast hhv. med og uden dividender. Sættes dividenderaten til q, så vil kursudviklingen ændres således, at kursen reduceres med størrelsen q i forhold til scenariet, hvor der ikke var udbetalt dividende. Dvs., at kursen i dag, S 0, til tidspunkt T, S T, uden dividende vil udvikle sig fra S 0 til. 6 På tidspunkt T vil kursværdien være S T lige meget, om vi har udgangspunkt i S 0 med dividenderaten på q eller i uden dividender. Vi har valgt at beholde notationen som S 0 på trods af, at vi nu behandler aktieindeks. 5 Faldet i aktiekursen kan oftest ikke direkte aflæses gennem dividenderne, da flere skattemæssige aspekter kan bevirke, at kursfaldet kun er en andel af dividendens størrelse. Dette vil vi dog ikke behandle yderligere. 6 Dette kan også skrives som udviklingen fra i dag til tidspunkt T som til uden dividender.

21 Side 17 af 55 Med den ovenstående belysning af kontinuer tilskrivning, kan vi begynde at indskrive dividenderne i de allerede gennemgåede formler uden dividender. Vi omskriver derfor først S 0 til i den laveste grænse på call optionen. og videre i Black-Scholes formlen Det ses via den omskrevet Black-Scholes formel, at sættes q = 0, så vil værdien af call optionen være beregnet ud fra tidligere Black-Scholes formel. Dette er også gældende for hhv. d 1 og d 2. Når vi medtager dividender, så vil dette også påvirke forventningerne til afkastet. Det forventede afkast har vi behandlet i gennemgangen af random walk, og derfor knytter vi en yderligere kommentar hertil. Når vi har antaget, at vi er i en risikoneutral verden, så betyder det, at det forventede afkast er den kontinuere risikofri rente, r. Samtidigt med dette er q-raten også underforstået et afkast. Derfor skal vi omskrive det forventede afkast til i random walk, mens vi stadig bibeholder volatiliteten 2.3. Egenskab ved Black Scholes: Implicit volatilitet Som nævnt tidligere, så er en af egenskaberne ved Black-Scholes, at vi kan beregne den implicitte volatilitet. Implicit volatilitet er markedets forventninger til den fremtidige volatilitet. Det er i praksis denne, som markedet priser optioner efter. Teoretisk antages det, at markedet har fuld adgang til, og benytter al relevant information. Volatiliteten fremkommer på baggrund af de forskellige opti- 7 Her benyttes regnereglen

22 Side 18 af 55 onspriser i markedet. Normal fremgangsmåde er at finde optionens pris vha. volatiliteten, men den implicitte findes omvendt, da vi har alle andre informationer til rådighed, og derigennem finder volatiliteten. Vi vil finde den implicitte volatilitet vha. vores senere udvidet Black-Scholes formel. Dette gør vi, da implicit volatilitet ofte regnes via Black-Scholes formlen eller varianter af denne (Neely, 2004, s. 1). Da implicit volatilitet er bestemt af markedets nuværende holdninger til den fremtidige volatilitet, så vil denne også være påvirket af psykologi. Prisen vil blive bestemt af følelser og forventninger, som afspejles gennem optionspriser, der er dannet på baggrund af udbud og efterspørgsel. En høj volatilitet vil sige, at markedet udtrykker stor nervøsitet. Den implicitte volatilitet er ikke den reelle volatilitet den øjeblikkelige reelle volatilitet er slet ikke mulig at observere. Siden markedet ikke kan have perfekt viden om fremtiden, vil der være afvigelse. Implicit er i stedet markedets forventninger om ændringer i den realiserede volatilitet. Dette kan ses i lyset af et eksempel, hvor markedet ved, at på en given dato i fremtiden, vil volatiliteten stige. Et FOMC møde i USA kan være et godt eksempel eller et andet vigtigt nøgletal, hvor markedet på forhånd kender tidspunktet for offentliggørelsen. Her vil den implicitte volatilitet allerede være højere, da markedet forventer en ændring i volatiliteten i fremtiden. Omvendt vil den absolutte volatilitet først stige ved selve opgørelsen (reelt vil der ofte være visse udsving optil, da markedet forsøge at prise ændringerne ind på forhånd). Den implicitte volatilitet finder vi vha. et selvkonstrueret Excel-ark, hvor vi indsætter bestemte dages observerede priser på europæiske call optioner. Arket vil fremvise den implicitte volatilitet, når vi har fastsat de andre parametre, som indgår i Black-Scholes formlen Estimation af volatilitet på baggrund af historisk data Ved gennemgangen af Black-Scholes formlen fik vi fastslået, at det er volatiliteten, som er den ubekendte faktor, der sammen med andre objektivt observerbare faktorer, afgør prisen på optioner. Det betyder, at vi kan regne en implicit volatilitet, som er den volatilitet, markedet forventer, i en given options løbetid. Spørgsmålet er, om vi ved brug af historisk data, kan komme med et bedre bud på den fremtidige volatilitet, end det den implicitte volatilitet forudsiger. Til formålet præsenterer vi i dette afsnit to måder at beregne et estimat for den fremtidige volatilitet ud fra historisk data; standardmetoden og GARCH(1,1) modellen. I de grundlæggende lærebøger estimeres volatiliteten typisk ud fra standardmetoden, hvilket indebærer en noget tvivlsom antagelse om, at volatiliteten er konstant over tid. En anden måde at bestemme volatiliteten på, ud fra historisk data, er

23 Side 19 af 55 GARCH(1,1) modellen. Vi har valgt at sætte GARCH(1,1) op mod standardmetoden, da denne ikke antager konstant volatilitet, men derimod siger, at volatiliteten ændres over tid. Samtidigt kan modellen bruges til at lave estimater af fremtidig volatilitet. Der findes mere komplekse GARCH modeller end den benyttede GARCH(1,1), men Hansen og Lunde fastslår, at GARCH(1,1) ikke bliver overgået af mere sofistikerede modeller, hvilket giver os tryghed ved at anvende modellen (Lunde, 2001, s. 1) Standardmetoden Når vi estimerer volatilitet ud fra historisk data, kalkulerer vi blot den realiserede volatilitet for en historisk periode og antager, at volatiliteten i næste periode er den samme. Det betyder med andre ord, at historien skal gentage sig selv og dermed være konstant over tid for, at man kan få et acceptabelt estimat af den fremtidige volatilitet. Vi ved, at det ikke er tilfældet, og derfor vil det historiske estimats evne til at forudsige fremtidig volatilitet i høj grad afhænge af, hvor meget data der benyttes. Vi vil i det empiriske afsnit vurdere to historiske estimater. Et baseret på data for 90 handelsdage og et baseret på den seneste måneds handelsdage. Grunden til dette er, at 90 dage vil give et mere stabilt estimat, som reagerer mere trægt på ændringer, hvilket kan være en fordel i perioder med et forholdsvist stabilt volatilitetsniveau. Et kortere estimat vil reagere hurtigere på ændringer, men til gengæld svinge meget i perioder med store månedlige ændringer i volatiliteten. For at beregne den historiske volatilitet skal vi bruge parameteren u i, der er periodens afkast, der typisk defineres som (Hull, 2008, side 282) Denne definition er i kontinuer tid, og vil typisk være den, der bruges til standard metoden, når der beregnes volatilitet ud fra historisk data. I dette projekt benytter vi i stedet u i defineret i diskret tid, da GARCH(1,1) modellen, som introduceres i næste afsnit, operer i diskret tid. Derfor defineres u i som: Da 1 er betydningen af, hvilken definition af u i, der anvendes minimal i praksis, men for at være stringent vil vi benytte den diskrete definition både i GARCH(1,1) modellen og til standard metoden.

24 Side 20 af 55 Et estimat af volatiliteten fås ved at benytte de seneste n observationer af u i, i formlen: Hvor er middelværdien af u i : GARCH(1,1) modellen Vi benytter formlen for det historiske estimat som udgangspunkt men med den ændring, at vi undlader at tage kvadratroden. Derfor benyttes variansen i stedet. Samtidigt laves to modificeringer, som skal vise sig praktiske, når vi skal estimere modellens parametre; antages at være 0, og n-1 erstattes af n. Sidstnævnte modificering betyder, at vi bevæger os fra et unbiased estimat af variansen til et maximum likelihood estimat (Hull, 2008 side 478), hvilket hjælper os, når vi senere skal estimere GARCH(1,1) modellens parametre i Excel. Samlet set betyder de tre modificeringer minimale forskelle i de estimerede værdier, men de lader os til gengæld ændre formlen til det mere simple: 1 I ovenstående formel gives samme vægte til alle tidligere observationer. Da vi i første omgang vil estimere den nuværende volatilitet, vil det være relevant at vægte de seneste observationer højere end ældre. Det gøres ved, at vi tildeler hvert vægten α i, og det gælder, at, hvor i noterer en ældre observation end j og derved mindre vægtning. Samtidigt indfører vi en langsigtet volatilitet, V L, som tildeles vægten γ. Alle vægtene, α i erne + γ, summer til 1. Som et sidste led inden den nye formel præsenteres, definerer vi variablen ω, som ω=. Ligningen udtrykkes herefter således:

25 Side 21 af 55 Denne model kaldes ARCH(n) modellen. GARCH(1,1) modellen tager udgangspunkt i denne, men hvor ARCH(n) modellen blot siger, at vægtene er mindre for ældre observationer, er GARCH(1,1) modellen mere specifik i sin forklaring, da den siger, at vægtene aftager eksponentielt når vi går tilbage i tiden. Dette gøres ved, at GARCH(1,1) modellen arbejder med vægten β, som beskriver, hvor meget variansen fra foregående observation,, påvirker volatiliteten. (1,1) i GARCH(1,1) modellen indikerer, at er baseret på den seneste observation af, samt det seneste estimat af variansen 8. GARCH(1,1) modellen kan skrives på formen(hull, 2008, side 481): Hvor ω= og vægtene 1. Som beskrevet i ovenstående aftager vægtene i GARCH(1,1) modellen eksponentielt, hvilket tydeliggøres ved at substituere i formlen ovenfor: eller Fortsætter vi på denne måde ved at substituere, derefter etc. ses det, at vægten givet til er. Vægtenes betydning aftager således eksponentielt, jo ældre observationerne er med raten β. Er eksempelvis β=0,9 betyder det, at kun er 90% så vigtig som, mens kun er 81% så vigtig som etc. Går man længere ned i rækken, vil eksempelvis vigtigheden af være under 1% af. Dette betyder, at vi ikke har brug for så mange historiske observationer for at beregne vores estimat af volatiliteten, og jo lavere β værdi jo færre observationer er det nødvendigt at inddrage. Hver ny observation betyder med andre ord mere end de foregående Fremtidig volatilitet Som nævnt kræver forudsigelse af fremtidig volatilitet, estimeret på baggrund af historisk data, at historien gentager sig selv. I den finansielle verden, vi kan observere, er det dog let at konstatere, at dette ikke er tilfældet. Historisk data indeholder eksempelvis ikke markedets forventninger til fremtiden, som er én blandt mange faktorer, som spiller ind på aktiekursernes svingninger. Derfor indebærer det stor usikkerhed, når man prøver at sige noget om fremtiden ved udelukkende at basere sit 8 Den mere generaliserede GARCH(p,q) model beregner fra de seneste p observationer af u 2 og de seneste q estimater af variansen.

26 Side 22 af 55 gæt på historisk data. Med denne viden in mente vil vi alligevel forsøge, at estimere den fremtidige volatilitet, både ved standardmetoden og ved et GARCH(1,1) estimat. Det historiske estimat er det simpleste, da man regner med, at volatiliteten er præcis den samme som i den periode, man har estimeret ud fra. Et gennemsnitligt GARCH(1,1) estimat er derimod tidsdeterministisk. Det betyder, at længden af den fremtidige periode er afgørende for GARCH(1,1) modellens forudsigelse. Forskellen er illustreret i nedenstående figurer: Figur 2-2 Konstant kontra tidsdeterministisk volatilitet Volatilitet Volatilitet V T V T V L Tid Tid Vi ser i figuren til venstre, at den historiske volatilitet er konstant over tid. GARCH(1,1) estimatet er derimod determineret af tiden, og vil bevæge sig mod en langsigtet volatilitet, V L. I figuren til højre er illustreret en situation, hvor den nuværende volatilitet er højere end den langsigtede, men det modsatte kunne også være tilfældet. I det følgende forklares, hvorledes GARCH(1,1) benyttes til at estimere fremtidig volatilitet. Når vi skal bruge GARCH(1,1) modellen til at forudsige fremtidig volatilitet, tager vi udgangspunkt i GARCH(1,1) modellens grundlæggende ligning, der estimerer ved slutningen af dag n-1, som efter lettere omskrivning tager formen(hull, 2008, side 487): Vi husker at 1

27 Side 23 af 55 Denne omskrives til På dag n+t i fremtiden Det indføres, at den forventede værdi af er, hvilket fører til at E angiver forventet værdi. Bruger vi denne ligning gentagne gange kommer vi frem til eller Denne ligning forudsiger dermed volatiliteten på dag n+t ud fra den tilgængelige information ved slutningen af dag n-1. Vi har i GARCH(1,1) modellen, at α+β<1, hvilket betyder, at det sidste led på højresiden af ovenstående ligning bliver progressivt mindre, når t øges. Det betyder med andre ord, at den forventede værdi af variansen på dag n+t,, går mod den langsigtede volatilitet, V L, når t øges. Raten, og dermed hastigheden, hvormed går mod V L, afhænger af den vægtning V L får, når parametrene i GARCH(1,1) modellen estimeres, altså GARCH(1,1) gennemsnitligt estimat For at kunne sammenligne GARCH(1,1) med det historiske estimat, skal vi bruge et gennemsnitligt estimat baseret på GARCH(1,1), hvilket udledes således (Hull, 2008, side 489): Vi forestiller os nu, at vi er på dag n og vi definerer V(t) og a således: 1 Ved hjælp af disse definitioner kan vi udtrykke (sidste ligning i forrige afsnit, ) på denne form: 0

28 Side 24 af 55 V(t) er et estimat af den øjeblikkelige variansrate om t dage. Den gennemsnitlige variansrate pr. dag mellem i dag og tiden T er givet ved: Jo større T er, jo tættere er den gennemsnitlige variansrate på V L. Når vi skal prisfastsætte en T- dages option efter årlig volatilitet, gøres det ved, at vi definerer σ(t), som netop er den årlige volatilitet, vi ønsker at benytte. Antager vi, at vi har 252 handelsdage på et år, bliver σ(t) gange den gennemsnitlige variansrate

29 Side 25 af Empiri og analyse Dette afsnit vil, jævnfør metodeafsnittet, indeholde både empiriske resultater og analyse af disse. Vi vil i det følgende beregne volatiliteten ved standardmetoden, GARCH(1,1) og den implicitte volatilitet. Indledningsvist vil vi gennemgå, hvordan vi har fremskaffet, og draget antagelser vedrørende, vores datasæt. Efterfølgende vil vi beskrive, hvordan vi har beregnet vores estimater, samt præsentere og analysere vores empiriske resultater Databehandling Til dette projekt er kurserne på det underliggende indeks, S&P 500 indekset, fundet på hjemmesiden Vi har fundet 569 observationer fra d. 7/ til d. 17/ Yahoo stiller desværre ikke optionspriser på indeks, hvilket har tvunget os til at fremskaffe de handlede optionsindeks på hjemmesiden Begge hjemmesider oplyser den justerede lukkepris, som vi har valgt at benytte, da vi ønsker mindst mulig bias i forhold til tid. Da vi har omskrevet Black-Scholes ligningen, skal vi benytte en årlig dividenderate, udtrykt i procent. Til at udregne en dividenderate, q, har vi benyttet Robert J. Shillers hjemmeside Den årlige dividenderate findes ved at dividere den årlige kontante dividende pr. aktie med den nuværende kurs. Derfor skal vi estimere den årlige dividende, hvilket naturligvis er påvirket af en høj usikkerhed. Vi har forsøgt at kigge på udviklingen i S&P 500 indekset og udviklingen i dividender. Udviklingen i dividenden er ustabil, hvilket gør det besværligt at forudsige dividende raten i I stedet har vi søgt information omkring markedets forventninger til dividende udbetalinger, da markedet forventes at handle på baggrund af disse. Til dette har vi benyttet S&P s officielle hjemmeside: S&P forventer en negativ ændring i den årlige udbetaling pr. aktien på -13,34%, hvilket svarer til $24,6 pr. aktie. Den nuværende kurs på S&P 500 indekset d. 5. maj 2009 er ifølge Yahoo kurs 903,8. Divideres de årlige forventede dividender med kursen på S&P 500 indekset, får vi en årlig dividenderate, q, på 2,72%. Vi forventer, at markedet også har indregnet en forventning til ændringerne i dividenderne. Velvidende at dette er et skøn, fastsætter vi den konstante årlige dividenderate for 2009, q, til 2,72%. Når vi senere i Black-Scholes formlen skal benytte en årlig risikofri rente, så vil vi benytte Treasury Bill 13 weeks. T-bill er en kortfristet nulkuponobligation, som den amerikanske stat udsteder. Ifølge

30 Side 26 af 55 Danske Banks hjemmeside er det denne 3 måneders T-bill, som i praksis benyttes, når vi skal sammenholde renten med amerikanske optioner. T-bill kommer i markedet via ugentlige auktioner, som afholdes af Federal Reserve i USA. Vi benytter kuponrenten, hvilken på 13 ugers sigt er den samme som diskontorenten. Vi har derfor benyttet auktionsrenten fra d. 6. maj Da vi gerne vil sikre, at markedet også benytter denne rente, har vi dobbelttjekket kursen på Yahoo. Denne lukkede ifølge Yahoo d. 6. maj 2009 på 0,17%, hvilket stemmer overens med renten på Vi erkender, at rente ikke er en konstant, men antager dette i optionens løbetid for at simplificere Black-Scholes formlen. Vi har til vores beregninger benyttet den aktuelle rente på den givne dato vi beregner fra. Til beregning af estimater for fremtidig volatilitet ved GARCH(1,1) modellen og implicit volatilitet gennem Black-Scholes, skal vi anvende antallet af dage, vi vil forudsige volatiliteten for. Vi har valgt at benytte antallet af handelsdage, og ikke kalenderdage, da vi mener, det er det mest korrekte. I GARCH(1,1) modellen er estimaterne beregnet på baggrund af handelsdage. Det vil derfor være teoretisk inkonsistent at bruge det til at forudsige volatiliteten efter kalenderdage. I de data vi har benyttet for S&P 500 indekset fra Yahoo Finance, er der kun angivet kurser for handelsdage, og vi har derfor blot benyttet det antal dage, som ligger i disse data fra og med 4. Mandag i én måned til og med 3. fredag i den efterfølgende, hvilket varierer fra 18 til Beregning af volatiliteter ud fra historisk data I dette afsnit viser vi, hvordan vi har beregnet estimaterne ud far de historiske data. 10 Først gennemgås de simple historiske estimater og derefter det mere avancerede GARCH(1,1) estimater. Samtlige beregninger er foretaget i Microsoft Excel Den kurs vi bruger for en given dato er indeksets justerede lukkekurs. Vi vil, som tidligere nævnt i afgrænsningen, estimere den fremtidige volatilitet for S&P 500 indekset for én måned. Estimatet skal således gælde for perioden fjerde mandag i én måned til tredje fredag i den efterfølgende måned. Vi har beregnet to historiske estimater ud fra standard metoden, ét baseret på 90 handelsdage bagud og ét baseret på den seneste måneds handelsdage. 10 Samtlige beregninger kan ses i appendiks E

31 Side 27 af 55 For at beregne den historiske volatilitet beregnes i første omgang u i efter formlen:. Herefter findes den daglige varians, som er u 2 i. Herefter tages middelværdien af den daglige varians, og kvadratroden af denne ganges med kvadratroden af antallet af handelsdage på et år (252). Dette er også fremgangsmåden, når den realiserede volatilitet for en periode skal beregnes. Derfor bliver vores estimat for næste måned den realiserede volatilitet for den netop overståede måned. Dette estimat benævnes i resten af projektet kort historisk, mens estimatet baseret på de seneste 90 handelsdage benævnes lang historisk. GARCH(1,1) estimatet er ikke helt så simpelt at beregne. De førnævnte u i er er også udgangspunktet, men her stopper lighederne også. I næste kolonne har vi V i, som er den estimerede daglige varians. Det første V i sættes lig u i-1 2, og herefter benyttes GARCH(1,1) modellens formel maksimeret til at estimere de følgende daglige varianser. For at finde α, β og ω skal vi have ln. Til dette benyttes Excels analyseværktøj Solver. Målcellen sættes til summen af kolonnen med ln, og Solver sættes til at maksimere værdien. Dette gøres ved at lade Solver ændre i værdierne for α, β og ω, under betingelserne, at 1 samt 0. Et mindre problem med Solver er, at betingelserne ikke kan være strengt mindre end, men kun mindre end eller lig med. For ω værdien er det i vores beregninger ikke noget problem, men for giver det anledning til mindre problemer. Ved nogle estimater kommer Solver frem til 1, hvilket er utilfredstillende. Vi har derfor besluttet at betinge 0,95, hvilket betyder, at der altid ville være minimum 5% vægt på V L, hvilket vi finder passende. Parametrene benyttet i Solver ses nedenfor.

32 Side 28 af 55 Når Solver har maksimeret ln, og vægten på denne: 1. Det gæl- beregne den langsigtede volatilitet: der, at de tre vægte 1., får vi α, β og ω værdiener. Disse skal bruges til at Efter parametrene er estimeret og den langsigtede volatilitet beregnet, mangler vi kun at beregne estimatet af den fremtidige volatilitet. Til dette indføres variablen ln, og denne sættes sammen med de andre parametre ind i formlen: T i formlen er antallet af handelsdage i optionens løbetid. V(0) er variansen på dag 0, hvilket altså er estimatet for den daglige varians, V i på den sidste dag i vores data. For at finde volatiliteten i stedet for variansen tages kvadratroden resultatet for Sammenligning af historiske og GARCH(1,1) estimater I dette afsnit vil vi sammenligne de empiriske resultater for vores estimater af fremtidig volatilitet baseret på historisk data. Vi vil finde frem til, hvilket estimat, kort historisk, lang historisk eller GARCH(1,1), der klarer sig bedst i forsøget på at forudsige den realiserede volatilitet i den følgende måned. Vi vil i dette afsnit afholde os fra at forklare, hvorfor de forskellige estimater reagerer forskelligt og blot kommentere på de forskelle, vi kan observere. Forklaringerne på forskellene i estimaterne vil blive gennemgået i næste afsnit. Fremgangsmåden i afsnittet er, at vi først vil præsentere og kommentere to grafer. Den første viser den realiserede volatilitet som søjler, hvor de fremtidige estimater er præsenteret ved linjer. Den anden viser den absolutte forskel i procentpoint for de enkelte estimater. Efterfølgende præsenteres resultaterne i en tabel.

33 Side 29 af 55 Figur 3-1 Historiske volatilitetsestimater 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% Realiseret GARCH(1,1) Lang historisk Kort historisk 20,00% 10,00% 0,00% maj 07 jun 07 jul 07 aug 07 sep 07 okt 07 nov 07 dec 07 jan 08 feb 08 mar 08 apr 08 maj 08 jun 08 jul 08 aug 08 sep 08 okt 08 nov 08 dec 08 jan 09 feb 09 mar 09 apr 09 Figur 3-1 illustrerer, hvordan estimaterne for den kommende måned klarer sig i forhold til den realiserede volatilitet. Vi ser, at ingen af estimaterne rammer den realiserede volatilitet måned efter måned, hvilket havde været naivt at tro, men vi kan få lidt mere klarhed over, hvilke estimater, der klarer sig bedst. Perioden maj 2007 til april 2009 er, som figuren illustrerer, karakteriseret ved et forholdsvist stabilt volatilitetsniveau indtil august 2008, og herefter er der større svingninger. Vi kan se, at GARCH(1,1) og lang historisk estimaterne er forholdsvis sammenfaldende i perioden med stabil volatilitet, men lang historisk estimatet reagerer mere trægt på de voldsomme ændringer i volatiliteten fra september Sammenligner vi de to historiske estimater, kan vi se, at lang historisk ligger mere stabilt end kort historisk, hvilket virker godt i den stabile periode, mens det korte estimats mere svingende karakter viser sig bedre i perioden med store månedlige ændringer i volatiliteten. Sammenligner vi derimod GARCH(1,1) med det korte historiske estimat, ser vi, at disse to estimater laver de samme bevægelser, men kort historisk er typisk mere voldsom i sine fluktuationer. Vi kan se, at GARCH(1,1) har de gode egenskaber fra begge de simple estimater; det

34 Side 30 af 55 ligger forholdsvist stabilt, som det lange historiske, i perioden med stabil volatilitet, men reagerer hurtigt på store ændringer i volatiliteten, som vi ser det med det korte historiske estimat. Figur 3-2 Forskellen mellem historiske estimater og realiseret volatilitet i procentpoint 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% GARCH (1,1) Lang historisk Kort historisk 10,00% 0,00% I figur 3-2 er hvert af estimaterne for den fremtidige volatilitet afbilledet ved den absolutte værdi af forskellen i procentpoint mellem estimatet og den realiserede volatilitet for perioden. Da det ikke er tillagt særlig betydning, hvorvidt et givet estimat har over- eller undervurderet den fremtidige volatilitet, giver det et mere overskueligt billede at tage den absolutte værdi af differencen frem for at vise både negative og positive afvigelser. Det bemærkelsesværdige ved figur 3-2 er, at GARCH(1,1) estimatet sjældent er det estimat, der forudsiger volatiliteten dårligst. I tre tilfælde er GARCH(1,1) mest ved siden af, men i alle tre tilfælde er det kun marginalt. Kigger vi derimod på de lange og korte historiske estimater, gætter de begge mest forkert i 4 tilfælde, hvor der i henholdsvis 2 og 4 tilfælde, er markant forskel mellem linjerne. Dermed illustrerer figur 3-2, at de to estimater, som er baseret på standardmetoden, ifølge vores beregninger, begge generelt forudsiger den fremtidige volatilitet ringere end GARCH(1,1). Tager vi middelværdien af disse absolutte vær-

35 Side 31 af 55 dier for afvigelsen mellem de tre estimater og den realiserede volatilitet, er GARCH(1,1) da også den med den laveste middelværdi, nemlig 7,92 procentpoint, mens kort og lang historisk afviger med henholdsvis 9,20 og 10,89 procentpoint. Tabel 3-1 Oversigt over og sammenligning af estimerede volatiliteter Måned GARCH(1,1) Lang historisk Realiseret Kort historisk GARCH(1,1) Lang historisk Kort historisk realiseret realiseret realiseret maj 07 12,00% 10,80% 9,41% 9,72% 2,59% 1,39% 0,31% jun 07 11,43% 11,29% 12,78% 9,41% 1,35% 1,49% 3,37% jul 07 13,07% 12,16% 12,47% 12,78% 0,60% 0,31% 0,30% aug 07 11,28% 10,99% 25,99% 12,47% 14,72% 15,00% 13,52% sep 07 19,19% 15,55% 19,03% 25,99% 0,15% 3,48% 6,96% okt 07 19,40% 17,66% 12,87% 19,03% 6,53% 4,79% 6,17% nov 07 17,59% 17,70% 21,87% 12,87% 4,28% 4,18% 9,01% dec 07 21,31% 19,45% 22,68% 21,87% 1,37% 3,23% 0,80% jan 08 19,43% 19,33% 22,78% 22,68% 3,34% 3,44% 0,10% feb 08 21,55% 19,83% 21,61% 22,78% 0,07% 1,78% 1,16% mar 08 22,27% 21,21% 27,98% 21,61% 5,71% 6,77% 6,37% apr 08 25,20% 23,73% 19,98% 27,98% 5,22% 3,75% 8,00% maj 08 23,71% 23,01% 12,73% 19,98% 10,98% 10,28% 7,25% jun 08 20,07% 21,92% 17,84% 12,73% 2,23% 4,08% 5,11% jul 08 19,86% 20,57% 21,47% 17,84% 1,61% 0,90% 3,63% aug 08 20,50% 20,13% 23,55% 21,47% 3,05% 3,42% 2,08% sep 08 19,41% 19,18% 36,46% 23,55% 17,05% 17,29% 12,91% okt 08 39,15% 25,43% 79,20% 36,46% 40,05% 53,77% 42,73% nov 08 68,89% 44,06% 70,63% 79,20% 1,73% 26,57% 8,57% dec 08 59,11% 57,47% 53,14% 70,63% 5,97% 4,33% 17,49% jan 09 54,41% 62,54% 28,10% 53,14% 26,31% 34,45% 25,05% feb 09 48,80% 62,88% 35,71% 28,10% 13,09% 27,18% 7,61% mar 09 39,66% 57,96% 45,28% 35,71% 5,62% 12,68% 9,57% apr 09 47,97% 48,40% 31,53% 45,28% 16,44% 16,86% 13,74% Antal grønne Antal orange Antal røde I tabel 3-1 har vi opstillet resultaterne for vores estimater samt den realiserede volatilitet. I de tre kolonner yderst til højre har vi trukket den realiserede volatilitet fra estimatet, hvilket betyder, at en

36 Side 32 af 55 positiv værdi angiver, at estimatet har overvurderet den fremtidige volatilitet, og en negativ værdi af estimatet har undervurderet den fremtidige volatilitet. En grøn baggrundsfarve indikerer, at estimatet er mindre end 6 procentpoint fra den realiserede volatilitet. En orange baggrundsfarve viser, at estimatet er mellem 6 og 20 procentpoint forkert, og en rød er mere end 20 procentpoint. Vi kan se, at GARCH(1,1) har flest estimater, som ligger i den grønne zone, og samtidigt har GARCH(1,1) kun 2 estimater i den røde zone. I begge tilfælde, hvor GARCH(1,1) estimatet er rødt, er de simple estimater også røde, og GARCH(1,1) er det, der rammer mindst ved siden af. Ser vi overordnet på tabellen, kan man spore et mønster i, at GARCH(1,1) og det lange historiske estimat er omtrent lige gode i perioden med stabil volatilitet, hvor det korte historiske derimod har en del orange estimater. Kigger vi på perioden med store ændringer i volatiliteten, er det til gengæld tydeligt, at GARCH(1,1) håndterer situationen bedst og det lange historiske ringest. Vi har med dette afsnit vist, at GARCH(1,1) modellen performer bedre end standardmetoden, uanset om det er baseret på 90 eller den seneste måneds handelsdage. GARCH(1,1) håndterer både situationer med stabil og mere svingende volatilitet bedre end de to standard estimater. Dette kan blandt andet observeres ved, at GARCH(1,1) sjældent er det estimat som forudsiger volatiliteten mest forkert og i de tilfælde, hvor den gør, er det marginale forskelle. Samtidig er det også det estimat, som oftest ligger indenfor +/- 6 procentpoint af den realiserede volatilitet. Vi er med andre ord kommet frem til, at GARCH(1,1) modellen estimerer fremtidig volatilitet bedre end standardmetoden. Dermed bliver vores GARCH(1,1) estimater vores bedste bud på en fremtidig volatilitet beregnet på historisk data, hvilket betyder, at det er GARCH(1,1), vi vil holde op mod den implicitte volatilitet og vurdere hvorvidt GARCH(1,1) forudsiger volatilitet bedre end markedet Hvorfor er GARCH(1,1) bedre? De tre estimater, som er baseret på historisk data, lider alle under, at historien ikke gentager sig selv. Da estimaterne udelukkende er beregnet på tidligere ændringer i kursen på S&P 500 indekset, indeholder de ingen form for information om fremtiden udover den, som allerede ligger implicit i kursen på indekset. På trods af denne mangel ved alle tre estimater kunne vi alligevel vise, at GARCH(1,1) modellen, som forventet, var bedre til at forudsige fremtidig volatilitet end de to estimater beregnet ved standardmetoden. Vi vil kort opridse nogle af forskellene i estimaterne, og deraf fremgår det, hvorfor GARCH(1,1) klarer sig bedre end de simple estimater.

37 Side 33 af 55 Når der regnes estimater ved standardmetoden, får alle observationer lige stor vægt. Tager vi eksempelvis det lange historiske estimat, som var baseret på data for 90 handelsdage, indgår observationer, som er over 3 mdr. gamle, med lige så høj vægt som den seneste observation. Det betyder naturligvis, at dette estimat vil reagere mere trægt på ændringer i volatiliteten. Dette så vi tydeligt illustreret i figur 3-1, hvor reaktionen på de pludselige og voldsomme svingninger i volatiliteten kommer for langsomt. Det korte historiske estimat, reagerer derimod meget hurtigt på ændringer i volatiliteten. Det største problem ved dette estimat er det modsatte af det lange historiske nemlig, at det reagerer for kraftigt på enkelte måneders udsving, når volatiliteten ellers er rimelig stabil. GARCH(1,1) modellens estimat er mere avanceret, og er baseret på både de seneste observationer samt et langsigtet volatilitetsmål, Derfor kan GARCH(1,1) reagere hurtigert, som et kort historisk estimat, men den langsigtede volatilitet sikrer at estimatet ikke overreagerer på enkelte ændringer i en ellers stabil tid, som er fordelen ved det lange historiske. Man kan med andre ord sige, at GARCH(1,1) estimatet indeholder det bedste fra de to andre estimater. GARCH(1,1) estimatet er for en given tidsperiode, T, en kombination af den langsigtede volatilitet og den estimerede volatilitet for den seneste dag, justeret med størrelsen af den seneste ændring i det underliggende aktiv. Mere specifikt er GARCH(1,1) estimatet sammensat af tre faktorer; ændringen for den seneste observation (u i ), det seneste estimat af den daglige volatilitet (V i ) og den langsigtede volatilitet (V L ). De tre faktorer tillægges hver især en vægt, når der estimeres ved brug af GARCH(1,1) modellen. Disse vægte betyder altså i hvor høj grad, eksempelvis den seneste ændring i det underliggende aktiv vægtes. En stor vægt på den langsigtede volatilitet betyder, at GARCH(1,1) estimatet hurtigt vil bevæge sig mod denne. Vi har, som skrevet i databehandlingsafsnittet, bestemt, at vægten på den langsigtede volatilitet i vores GARCH(1,1) estimater er minimum 0,05. Hvordan man kommer frem til de enkelte vægte, er meget komplekst at svare på, og det har vi ingen intentioner om at udlede i dette projekt. GARCH(1,1) estimatet for fremtidigt volatilitet afhænger også af, hvor lang en tidsperiode man vil estimere for. Estimatet er altså determineret af tiden, hvilket hænger godt sammen med virkeligheden, hvor volatiliteten ikke er konstant over tid, som standardmetoden ellers antager. Dermed er grunden til, at GARCH(1,1) modellen performer bedre end standardmetoden et sammensurium af forskellige faktorer, såsom anerkendelsen af, at de seneste ændringer i kursen betyder mere end ældre, at vi har en langsigtet volatilitet og at volatiliteten ændres over tid.

38 Side 34 af Kommentar på GARCH estimatetet I vores beregninger af GARCH(1,1) har vi fundet et bedre estimat af den fremtidige volatilitet i forhold til den standardmetoden. Dette var realiteten, da vi sammenlignede tilbage i tid. Et bedre estimat af den fremtidige volatilitet giver oftere, når det indsættes i Black-Scholes formlen, et bedre estimat af den reelle pris på en europæiske call option. Der kan dog sættes spørgsmålstegn ved, om indsættelse af GARCH(1,1) estimatet i Black-Scholes er teoretisk konsistent? Når vi tager den gennemsnitlige fremtidige volatilitet i GARCH, så er det et mål på, hvordan volatiliteten udvikler sig, når denne trækkes mod den langsigtede volatilitet. Dette gøres ved at tage en periode og forsøge at beregne dennes volatilitet under antagelse af, at volatiliteten over tid trækkes mod en langsigtet volatilitet med en bestemt hastighed. Dermed også sagt, at der antages, at volatilitet er mulig at forudsige perfekt. I praksis vil volatiliteten dog variere stokastisk, hvilket besværliggøre forudsigelserne. Dette er illustreret i figuren herunder. Figur 3-3 Stokastisk/deterministisk volatilitet Figur 3-3 viser en blå linje, som er den gennemsnitlige GARCH(1,1) volatilitet, som vi har beregnet tidligere. Den røde linje er en mere realistisk udvikling i volatilitet, stokastisk volatilitet. Begge søger mod den tykke sorte linje, der er den langsigtede volatilitet, som vi tidligere har nævnt medfører mean-reverting. Pointen i grafen er, at begge linjer tilnærmer sig V L over tid, men den røde linje indeholder usikkerhed, da den ikke er pænt aftagende. Dermed er det vanskeligere at beregne et estimat af fremtidig volatilitet, end tilfældet er med den eksponentielt aftagende blå linje.

39 Side 35 af 55 Problematikken i grafen betyder, at når vi skal bestemme den fremtidige volatilitet, så skal vi indarbejde endnu en stokastisk variabel udover indekskursen, nemlig volatiliteten. Den nye stokastiske variabel er ikke den sammen som det stokastiske afkast, men disse kan dog være korrelerede. I forhold til vores indsættelse af GARCH(1,1) estimatet er problemet, at Black-Scholes formlen ikke er modtagelig overfor stokastisk volatilitet ifølge antagelserne. Robert Merton skriver i sin artikel fra 1973 s , at volatiliteten i Black-Scholes kan være deterministisk, men ikke er stokastisk: σ is restricted to be nonstochastic and, at most, a known function of time. Når vi omskrivninger GARCH(1,1) estimatet til et gennemsnitligt estimat, der kan indsættes i Black-Scholes, virker det som et forsøg på at transformere GARCH(1,1) fra at følge en stokastisk volatilitet til at følge en tidsdeterministisk volatilitet. Abken og Nandi skriver, at de ikke finder dette teoretisk konsistent (Abken, 1996, s. 28). Var denne omskrivning acceptabel, så vil volatilitets estimatet kunne indsættes i Black-Scholes. Stokastisk volatilitet kan vises ved at videreskrive random walk til, hvor a, V L, og α er konstanter og og er Wiener processer. V er en variabel, der viser variansen på indekset, og netop denne bliver trukket mod V L med en konstant hastighed, a. Den første ligning viser, at vi udvider den tidligere benævnte Geometriske Brown bevægelse. Specifikationen af volatiliteten, V, ses i den efterfølgende ligning. Driftraten i volatiliteten bestemmes af hastigheden på mean-reverting og forskellen på nuværende og den langsigtede volatilitet. Til dette er volatilitetens varians, som følger en Wiener proces. Essensen af stokastisk volatilitet er, at den fremtidige volatilitet ikke kan forudsiges perfekt på baggrund af den information, som er til rådighed i dag. Den større usikkerhed giver en anden tilgange til fordeling. Når stokastisk volatilitet medtages i forhold til det almindelige afkast, så giver stokastisk volatilitet tykkere haler end tilfældet ved en normalfordeling af afkastet. Det vil sige, at der er en højere sandsynlighed for at observere mere ekstreme afkast, når variansen i volatiliteten stiger. Vi vil som nævnt gerne undersøge, om GARCH(1,1) er underlagt en stokastisk proces, da Black- Scholes antager ikke-stokastisk volatilitet. Vi undersøger dette ved at tage udgangspunkt i vores

40 Side 36 af 55 grundlæggende GARCH(1,1) ligning. 11 Kan vi via udtrykket om volatiliteten på tidspunkt n, finde GARCH(1,1) estimatets udvikling over tid? Dette kan omskrives ved at sætte udenfor en parentes, hvor 1 1 Variablen har en middelværdi på, da antages at være normalfordelt med en middelværdi på 0 og en standard varians på. Variansen på kan, vha. af regnereglen, beregnes til Omskriver vi variansen til volatiliteten, så er denne 2. Når vi antager, at u følger en Wiener proces kan vi skrive s middelværdi og volatilitet som 2. sættes på som følge af antagelsen om Wiener processen kan skrives som. Indsættes dette i ligningen, får vi efter omskrivning Dette kan omskrives ved at sætte 2 således at 2,, 1, 11 Dette er gjort med inspiration fra kapitelopgave i Hull 2008 s Det bliver oplyst i Hull 2008 s. 496, at 3

41 Side 37 af 55 Denne ligning minder meget om ligningen for stokastisk volatilitet, som Hull argumenterer, ofte er benyttet (Hull, 2008, s. 597) V L Vdt ξv dz. Denne beregning viser, at GARCH(1,1) estimatet underliggende har en stokastisk volatilitet, hvilket ikke stemmer overens med antagelsen i Black-Scholes formlen om konstant/deterministisk volatilitet. Kigger vi igen på grafen, kan det siges, at den blå linje er realistisk, hvis volatilitetens varians er 0. Det vil medføre, at den ovenstående ligning vil undlade Wiener processen, dz. Omvendt er volatilitetens varians sjældent, nok aldrig, lig med 0, hvilket giver varians i volatiliteten og dermed udsving omkring den gennemsnitlige volatilitet. Der kan være forskel på prisen på en europæisk call option, som er beregnet på stokastisk volatilitet i stedet for konstant eller deterministisk volatilitet. En option hvor fordelingen af det underliggende aktivs volatilitet har tykkere haler, øger sandsynligheden for ekstreme observationer, og optionen vil være dyrere, da det kan medføre større afkast. Den højere pris kan ses som et risikotillæg. Dermed forekommer der forskel i optionspriserne, når Black-Scholes antager konstant eller deterministisk volatilitet, mens andre modeller indregner stokastisk volatilitet. Stokastisk volatilitet kan sågar give en ændring i optionsprisen uden at den anden stokastiske variabel, kursen på det underliggende aktiv, ændres. Er de to stokastiske variabler ikke perfekt korrelerende, så vil volatiliteten over en periode kunne ændre sig, mens kursen, og derved afkastet, forbliver det samme. Abken og Nandi skriver videre i deres artikel, at til trods for den manglende teoretiske overensstemmelse mellem GARCH(1,1) og Black-Scholes formlen, så fungerer dette ganske udmærket i praksis. Kane, Noh og Engle benytter også GARCH(1,1) estimatet i Black-Scholes formlen i deres artikel Forecasting Volatility and Option Prices of the S&P 500 Index. Derfor vil vi fortsætte projektet ved at acceptere indsættelsen af GARCH(1,1) gennemsnitlige volatilitets estimat i Black- Scholes formlen Beregning af implicit volatilitet Vi har hele tiden gerne ville sammenligne vores estimat fra GARCH(1,1) med den implicitte volatilitet for at vurdere, hvilket resultat, der forudsiger den fremtidige volatilitet bedst. Derfor er det nødvendigt, at vi ved, hvordan vi beregner den implicitte volatilitet. Vi har tidligere i afsnittet om implicit volatilitet nævnt, hvordan det er markedets forventning til den fremtidige volatilitet, der

42 Side 38 af 55 skaber den implicitte volatilitet. Dette aflæses via de handlede optionspriser, som kan observeres i markedet. Vi har derfor lavet en model i Excel, der kan beregne den implicitte volatilitet. Modellen er grundlæggende bygget op om Black-Scholes formlen, hvor vi har tilføjet dividender. Modellen kan eksempelvis udregne, hvad call optionens pris er, ifølge Black-Scholes, ved at indsætte alle de ønskede parametre, heriblandt volatiliteten. Som nævnt i afsnittet om implicit volatilitet er dette fremgangsmetoden til at finde prisen på call optionen. Implicit volatilitet bruger i stedet optionspriserne i markedet til at finde volatiliteten. Derfor indsættes alle parametrene samt prisen på call optionen, men uden at vi fastsætter en volatilitet. Excel kan ved disse oplysninger vha. Goal Seek finde den implicitte volatilitet, hvis vi bestemmer, at modellen skal finde den volatilitet, som giver præcis den call options pris, som vi har observeret i markedet. Vores model ses her I appendiks D findes en oversigt over modellens indhold. Vi har i dette tilfælde d. 20/ fundet optionspriserne for S&P 500 indekset. Vi tager den justerede lukkekurs på den option, hvis strikepris ligger tætteste på den nuværende kurs på S&P 500 indekset, da vi ønsker at behandle at-themoney optioner. I dette tilfælde er kursen 768,54, og derfor bruger vi strikeprisen 770 med en tilhørende call options pris på 30,76 for en option med udløb d. 3. fredag i april De andre parametre har vi beskrevet i afsnittet om databehandling. Vi har i appendiks D en oversigt over, hvordan de enkelte parametre har været historiske. Indsætter vi disse i vores model, får vi en nuværende årlig implicit volatilitet på 37,36%. For at tjekke om denne implicitte volatilitet er korrekt, har vi via 13 Vi antager, at vi i de efterfølgende beregninger kan tage exercisepriser i intervallet 5 kurspoint.

43 Side 39 af 55 Datastreams database fået udtrukket den implicitte volatilitet. For den 20/ var den årlige implicitte volatilitet ved lukning 41,19%. Figur 3-4 Beregninger i forhold til Datastream VORES DATASTEAM 10 0 maj 2007 juni 2007 juli 2007 august 2007 september 2007 oktober 2007 november 2007 december 2007 januar 2008 februar 2008 marts 2008 april 2008 maj 2008 juni 2008 juli 2008 august 2008 september 2008 oktober 2008 november 2008 december 2008 januar 2009 februar 2009 marts 2009 april 2009 Figur 3-4 viser vores beregninger sammenlignet med den implicitte volatilitet, som vi har trukket fra Datastream. De tilhørende data er placeret i appendiks D. Grafen viser, at vores beregninger af implicit volatilitet er acceptable. Vores beregninger lider dog under, at de generelt priser volatiliteten for lavt i forhold til Datastream. Dette kan skyldes vores antagelser om parametrene, som ikke er helt perfekte. Dvs., at eksempelvis vores risikofri er rente for høj, eller også er vores dividender er for lave, disse vil i begge tilfælde give en lavere implicit volatilitet ved samme pris på call optionen. De fleste af parametrene, som vi har benyttet, er taget på dagen. Eksempelvis er den risikofri rente taget på dagen, og deri er ikke markedet forventninger til udviklingen i de andre parametre. Der kan også være mindre sammenligningsvanskeligheder, da vi ikke præcist ved, hvad der ligger bag beregningerne fra Datastream. Vi har dog en formodning om, at Datastream benytter et vejet gennemsnit for både call og put optioner, hvor vi kun benytter call optioner. Endvidere kan Datastream muligvis have brugt eksempelvis to optioner med forskellige strikepriser til at beregne den

44 Side 40 af 55 implicitte volatilitet, hvor vi kun har benyttet den option med den nærmeste strikepris. Datastream kan også have benyttet en anden call optionspris end os. Dette kunne eksempelvis have været et mere sofistikeret mål på baggrund af dagens højeste/laveste/åbnings/luknings kurser evt. suppleret med et vejet gennemsnit på bid/ask spreadet. Vores beregninger er et acceptabelt resultat i forhold til Datastreams implicitte volatilitet. Vi bliver bekræftet i, at de antagelser vi har taget os mht. parametrene, som vi har beskrevet i afsnittet om databehandling, ikke har været meget forkerte GARCH(1,1) kontra implicit Vi fik, i tidligere afsnit omhandlende estimater baseret på historisk data, fastslået at GARCH(1,1) modellen er bedre end standardmetoden til at forudsige fremtidig volatilitet. I dette afsnit vil vi klarlægge, hvorvidt GARCH(1,1) modellen også forudsiger bedre end den implicitte volatilitet. Figur 3-5 GARCH(1,1) estimat kontra implicit volatilitet 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% Realiseret GARCH(1,1) Implicit 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% maj 07 jun 07 jul 07 aug 07 sep 07 okt 07 nov 07 dec 07 jan 08 feb 08 mar 08 apr 08 maj 08 jun 08 jul 08 aug 08 sep 08 okt 08 nov 08 dec 08 jan 09 feb 09 mar 09 apr 09

45 Side 41 af 55 I figur 3-5 kan det være lidt svært at vurdere, hvilket estimat der klarer sig bedst. Skal man give et bud, må det alligevel være det implicitte estimat. Specielt omkring månederne maj 2008 til juli 2008 fanger det implicitte den realiserede volatilitet ret godt, men også januar og februar 2009 er det implicitte estimat hurtigere til at forudsige faldet i volatiliteten efter de første chok fra den finansielle krise. Nedenstående figur giver dog et mere overskueligt billede af, hvilket estimat der tager mindst fejl. Figur 3-6 Forskel mellem GARCH(1,1) samt implicit volatilitet og den realiserede i procentpoint 45,00% 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% GARCH(1,1) Implicit 10,00% 5,00% 0,00% I figur 3-6 ser vi tydeligt, at GARCH(1,1) har flere toppe hvor forskellen mellem estimatet, og den realiserede volatilitet er mere end 10 procentpoint, og i alt er 7 måneder for GARCH(1,1) estimatet over denne grænse. Omvendt har det implicitte estimat kun en forskel på over 10 procentpoint i 4 tilfælde. Det skal retfærdigvis nævnes, at ét af de estimater, som for GARCH(1,1) er over nævnte grænse, er estimatet for april 2009, hvor vi ikke har et implicit estimat. Dermed kan vi ikke udelukke, at den implicitte ville forudsige forkert med mere end 10 procentpoint for samme måned, og derfor er denne måned undladt i nedenstående tabel.

46 Side 42 af 55 Tabel 3-2 Sammenligning GARCH(1,1) og implicit volatilitet Implicitrealiseret Måned GARCH(1,1) realiseret maj 07 0,35% 2,59% jun 07 1,23% 1,35% jul 07 0,83% 0,60% aug 07 8,69% 14,72% sep 07 1,20% 0,15% okt 07 6,12% 6,53% nov 07 1,11% 4,28% dec 07 9,26% 1,37% jan 08 0,58% 3,34% feb 08 0,37% 0,07% mar 08 5,08% 5,71% apr 08 6,57% 5,22% maj 08 2,67% 10,98% jun 08 2,86% 2,23% jul 08 0,98% 1,61% aug 08 5,10% 3,05% sep 08 13,17% 17,05% okt 08 24,75% 40,05% nov 08 1,23% 1,73% dec 08 13,33% 5,97% jan 09 11,26% 26,31% feb 09 6,86% 13,09% mar 09 7,92% 5,62% Tabel 3-2 benytter de samme grænser for farverne, som i figur 3-1. Det vil sige, at grøn gives for en forskel på mindre end 6 procentpoint, orange mellem 6 og 20 procentpoint, og rød for mere end 20 procentpoint. Vi ser, at GARCH(1,1) faktisk har flere grønne end implicit, 16 i forhold til 13, til

47 Side 43 af 55 gengæld har implicit kun én rød måned, hvor GARCH(1,1) har to og begge disse er højere (40,05 og 26,31) end den røde, som implicit har (24,75). Samtidigt ser vi, at eksempelvis februar 2009 er orange for begge estimater, men ser vi på de faktiske tal er GARCH(1,1) estimatet næsten dobbelt så mange procentpoint fra den realiserede sammenlignet med det implicitte estimat. Dette fortæller, at selvom farverne er med til at give et godt overblik, kan de være misvisende, hvis man går mere i detaljer. Flere kategorier ville selvfølgelig kunne give et mere nuanceret billede, men det ville være på bekostning af overblikket. Et sidste mål som vi vil præsentere for at sammenligne de to estimater, er middelværdien for afvigelsen fra den realiserede volatilitet i procentpoint. Vi har igen udeladt GARCH(1,1) estimatet for april 2009, men det ændrer ikke på, at det implicitte estimat, målt på middelværdi, er markant tættere på den realiserede volatilitet med en gennemsnitlig afvigelse på 5,72 procentpoint mod 7,55 for GARCH(1,1) modellens ditto. Vi kan dermed konstatere at vores GARCH(1,1) model ikke kan levere bedre fremtidige estimater for den kommende måned, end dem som baseres på den implicitte volatilitet for 30 dages at-themoney optioner beregnet ved Black-Scholes Fordele og ulemper ved implicit volatilitet Da vi tidligere har kommenteret på de historiske volatiliteters fordele og ulemper kigger vi her kun på implicit volatilitet. I akademiske tilgange til implicit volatilitet er der en stærk tiltro til, at det finansielle marked er informations efficient (Figlewski, 2004, s. 70). Dvs., at markedet har adgang til og udnytter al information, der er relevant, når der skal gøres forudsigelser om volatiliteten. Når markedet kan indprise informationerne i markedet, så kan vi også anse vores GARCH(1,1) og historiske estimat som information. Dermed kan agenterne i markedet danne deres forventninger ved bl.a. at tage højde for resultatet fra GARCH(1,1). Den implicitte volatilitet har derved en klar fordel kontra GARCH(1,1) estimatet, da GARCH(1,1) ikke henter information fra den implicitte volatilitet. Agenterne kan inddrage historiske data i deres overvejelser, men de kan også inddrage information om kommende events. Events forstået som nævnt i indledende afsnit om implicit volatilitet, i form af FOMC møde, ISM, internationale events eller valg. Dette er en glimrende egenskab, da det empirisk nemt kan fastslås, at der er højere volatilitet op til en betydningsfuld event, hvilket den implicitte volatilitet kan indregne. Hvorfor er den implicitte volatilitet ikke den realiserede volatilitet?

48 Side 44 af 55 Den implicitte volatilitet fandt vi, var bedre end GARCH(1,1) estimatet til at forudsige den fremtidige realiserede volatilitet. Vi har nævnt flere argumenter for, hvorfor netop den implicitte volatilitet overgår GARCH(1,1). Men hvorfor er den implicitte volatilitet ikke i stand til at forecaste den realiserede volatilitet perfekt? Der er løsningerne, som vi tidligere har nævnt; at ingen kan forudsige fremtiden perfekt, og at markedet kan indprise en højere nuværende volatilitet i forhold til en kommende begivenhed jf. indledende afsnit om implicit volatilitet. Der er udover disse argumenter andre tilgange, som går dybere end de åbenlyse forklaringer. Litteraturen indenfor implicit volatilitet kommenterer, at den implicitte volatilitet indeholder bias i forhold til den realiserede volatilitet. Christopher J. Neely nævner flere årsager, som kan skabe bias (Neely, 2004, s. 4). Vi skriver kan skabe, da Neely pointerer, at der ikke findes en direkte og entydig årsag til denne skævhed. Af populære årsager nævnes, at der kan være grundlæggende fejl i de modeller, der benyttes til at estimere implicit volatilitet, da disse bør indeholde mere information. Eksempelvis benytter Kenneth S. Bartunek sig af flere options observation pr. dag (Bartunek, 1995, s. 61). En anden årsag kan være, at dataene, der benyttes til målingerne af den realiserede volatilitet, skal have en højere målefrekvens. En tredje mulig årsag kan relateres til, som vi tidligere kort kommenterede, at en yderligere usikkerheds variable tilføjes, hvis vi forsøger at behandle stokastisk volatilitet. Den stokastiske volatilitet har både en usikker variabel i det underliggende aktiv og ændringer i volatiliteten. Dermed er der en yderligere usikkerhed, som er svær at gardere sig mod, da det oftest kun er muligt at risikoneutralisere en variabel. Da der, som nævnt tidligere, oftest udregnes implicit volatilitet gennem Black- Scholes formlen, så kan der opstå en bias fra den manglende indregning af stokastisk volatilitet. Er der således systematisk risiko i form af fluktuationer i volatiliteten, så burde niveauet af den implicitte volatilitet være anderledes og dermed en anden prisning af optionerne (Neely, 2004, s. 4). Sagt med andre ord, så kan en beregning af implicit volatilitet give et forkert resultat, når denne findes via Black-Scholes formlen, der ikke kan tage højde for stokastisk volatilitet. I en artikel fra 1993 konkluderer Lamoureoux og Lastrapes, at volatiliteten skal have en pris, og derved kan give bias i den implicitte volatilitet (Lamoureoux, 1993, s. 33). Dette er dog stadigvæk et emne, der ikke har en endelig konklusion, da andre argumenterer for, at prisen på volatiliteten er nul. Med vores begrænsede indblik, synes vi, at volatilitet bør have en pris, da volatiliteten uden tvivl er stokastisk, og derved pålagt usikkerhed. Det er også af denne årsag, at vi tidligere fremhævede, at der kan være teore-

49 Side 45 af 55 tiske problemer ved blot at indsætte en gennemsnitlig volatilitet fra et GARCH(1,1) estimat der, som matematisk bevist indeholder stokastisk volatilitet, i Black-Scholes formlen. Kigger vi på de beregninger som vi har foretaget, så ses yderligere en svaghed i implicit volatilitet. Generelt ligger den implicitte volatilitet tæt på de historiske volatilitets estimater. Der er dog to perioder, hvor den implicitte volatilitet har et bemærkelsesværdigt forkert estimat. I perioden omkring september-november 2008 og januar-februar 2009 er den implicitte langt fra den realiserede volatilitet. Som nævnt i det indledende afsnit om implicit volatilitet, så er markedet nuværende forventninger influeret af agenternes følelser og psykologi. Vores bud er, at markedets agenter omlevede en periode fyldt af paniske og usikre forudsigelser. Den 15. september 2008 gik investeringsbanken Lehman Brothers i USA konkurs. I denne periode har handlende i optionsmarkedet uden tvivl været usikre på, hvad den nærmeste fremtid ville bringe. Markedet blev overrasket over konkursen, hvilket ses i de lave implicitte volatilitet kontra den realiserede fra september til oktober 2008, se figur 3-5. I perioden fra januar til februar 2009 giver udviklingen i den implicitte volatilitet os tegn på, at markedet frygtede flere konkurser i store (investerings)banker eller andre katastrofe nyheder. Som vores graf viser, så ramte den implicitte volatilitet meget skævt i denne periode. Det kan tænkes, at der stadig ligger en frygt for udsving i niveauerne fra oktober og november 2008, eller at der eksempelvis søges information i GARCH(1,1), der også estimere for højt. Sagt med andre ord, så kan den implicitte volatilitet, pga. af dennes påvirkning af følelser og psykologi fra de optionshandlende i markedets, skabe forskel til den realiserede volatilitet.

50 Side 46 af Konklusion Vi har gennem projektet vist, at GARCH(1,1) modellen beregner et bedre estimat af den fremtidige volatilitet i forhold til standardmetoden, hvilket svarede til vores forventning. Vi har ligeledes vist, at GARCH(1,1) modellen benytter volatilitet i modellen, der betragtes som værende stokastisk. Det indebærer, at GARCH(1,1) estimatet for fremtidig volatilitet er teoretisk inkonsistent med Black- Scholes modellens antagelse om konstant eller deterministisk volatilitet. På trods af at indarbejdelse af stokastisk volatilitet i Black-Scholes modellen er en teoretisk umulighed viser det sig, at problemstillingen er tillagt mindre betydning i praksis. Dette betyder, at vi ved indsættelse af GARCH(1,1) modellens estimat i Black-Scholes formlen vil få en mere rimelig optionspris end ved indsættelse af et estimat beregnet ved standardmetoden. GARCH(1,1) modellen har dog sine begrænsninger. Da estimaterne i modellen beregnes udelukkende ud fra historisk data, vil der altid mangle information om fremtidige hændelser samt markedets forventninger til disse, og generelt stemningen på markedet; faktorer der alle spiller ind på volatiliteten. Den implicitte volatilitet tager højde for disse faktorer, men dette til trods er estimatet stadig ikke perfekt. Vi har i projektet diskuteret hvori problemerne med den implicitte volatilitet ligger. Den implicitte volatilitet afviger fra den realiserede fordi markedet laver fejl, når volatiliteten skal forudsiges. Dette kan blandt andet skyldes over- eller undervurdering af fremtidige hændelsers betydning, uforudsete choks på de finansielle markeder, mangel på information etc. Da markedet i nogen grad vil lave disse fejl ofte er den implicitte volatilitet behæftet med en fejlmargin af skiftende størrelse, hvilket bevirker, at det principielt burde være muligt at forudsige volatiliteten bedre end markedet. Såfremt det er muligt systematisk at beregne et bedre estimat af den fremtidige volatilitet end det implicitte, vil det skabe mulighed for at købe/sælge straddles til fordelagtige priser, hvilket kan skabe relativt større gevinst ved relativt mindre risiko. I vores problemformulering stillede vi spørgsmålet, hvorvidt vi kan estimere den fremtidige volatilitet for en 30 dages indeksoptions underliggende aktiv bedre end den implicitte volatilitet ved benyttelse af GARCH(1,1) modellen. Baseret på beregningerne i projektet kan vi svare nej til dette spørgsmål, og det er dermed ikke muligt at skabe arbitragemuligheder ved at benytte GARCH(1,1) modellen på 30 dages optioner med S&P 500 indekset som underliggende aktiv. Vi kan ikke afvise at der findes en anden og bedre måde at estimere fremtidig volatilitet på, som kan gøre det bedre end markedet. Vi kan heller ikke afvise, at resultatet ville blive et andet såfremt vi havde benyttet et andet underliggende aktiv eller andre optionstyper. Vi vil alligevel postulere, at det virker usand-

51 Side 47 af 55 synligt, at der forefindes et estimat baseret på historisk data, som systematisk kan forudsige volatilitet bedre end markedet. Dette skyldes, at markedet altid kan basere forventningerne til fremtidig volatilitet på den bedste model beregnet på historisk data, og dertil ligge de nævnte faktorer, som ikke indgår i historisk data.

52 Side 48 af Appendiks: 5.1. Appendiks A: Put Call pariteten En vigtig sammenhæng mellem priserne på optioner er put-call pariteten. Relationen udledes ved at konstruere en portefølje, hvor man køber det underliggende aktie, køber en put og låner nutidsværdien af strikeprisen. Payoff matrix er vist herunder. Det skal nævnes, at relationen udspiller sig i et perfekt kapitalmarked og behandler europæiske optioner uden dividendebetalinger. Det antages, at put- og call optionen har samme strikepris og samme tid til udløb. Tidspunkt 0 Tidspunkt T, S T K Tidspunkt T, S T >K Køb aktie -S 0 S T S T Køb put -p 0 K-S T 0 lån nutidsværdi af K Ke -rt -K -K Cash flow total -S 0 -p 0 +Ke -rt 0 S T -K Det ses, at denne portefølje, bestående af en lang position i en put option samt lang position i det underliggende aktiv, ved udløb har præcist samme payoff som en call option med strikepris K og udløbsdato T. Dermed har vi skabt en syntetisk call option. Såfremt der ikke er arbitrage muligheder må prisen på den syntetiske call option være lig den rigtige call option: 5.2. Appendiks B: Markov egenskaben Den stokastiske variabel antages at være underlagt Markov egenskaben, hvilket bestemmer, at variablen kun er afhængig af den nuværende værdi, når der forudsiges omkring fremtiden. Fremtiden er uafhængig af fortidens forløb, da markedet øjeblikket vil indeholde evt. mønstre og information fra fortiden. Fremtiden er påvirket af usikkerhed og behandles derfor vha. sandsynlighedsfordeling. Den kontinuerer stokastiske proces benytter Markov egenskaben til at addere variablers perioder. Ses der på en proces på 1 år, der har en sandsynlighedsfordeling, som er normalfordelt, med en middelværdi på 0 og en varians på 1 z~n(0,1)). Denne vil over en periode på 2 år kunne adderes ved brug af Markov egenskabens uafhængighed og give z~n(0,2). Der skal nævnes, at vi sammen-

53 Side 49 af 55 lægger variansen og ikke volatiliteten. Et generelt udtryk for ændring kan skrives z~n(0,t), hvor ændring over et kort tidsrum skrives z~n(0,δt) Den generaliserede Wiener proces Ovenstående normalfordeling er en bestemt type af Markov egenskaben og kaldes en Wiener proces. Navnet stammer fra fysikkens verden og beskriver, hvordan tunge partikler påvirkes af lette(uafhængige) partikler. Dette overføres, hvis tunge partikler ses som kursen og de lette partikler som handler. Dette nævnes ofte som The Geometric Brownian Motion, hvor det geometriske i den brownske bevægelse er tilføjet, da ændringerne i kursen bedst indføres ved procenter i stedet for absolutte ændringer. Wiener processen kan skrives i dennes almindelige form og den generaliserede, hvor vi går direkte til sidstnævnte, der skrives. Ændringen i middelværdien for en stokastisk variabel er omtalt driftraten, mens variansen kaldes variansraten begge målt per enhed. a og b i ovenstående ligning er begge konstanter, mens dz er en Wiener proces, hvor vi tidligere har nævnt, at denne har en driftrate på 0 og en variansrate på 1. Første led i ligningens højreside forklares ved at udelade b dz i ligningen. Derved ses det, at den forventede driftrate over tid, a dt, er lig dx. Isoleres a og integreres der mht. tiden, så er. Dette vil give en ret linje med x 0 som startværdi, hvor stigningen over tiden T er at. Andet led i den generaliserede Wiener proces er forstyrrelsen i x, der kommer fra ligningens b dz, hvor mængden af forstyrrelse bestemmes af b gange a. Da vi ved, at dz er en Wiener proces, så er variationen i b dz er b, da processen har en standard variation på Itô s lemma Ser vi videre fra aktier og til den stokastiske proces i hvilket som helst afledet aktiv, så er den afledet, eks. en option, en funktion af det underliggende aktiv og tiden. Dette kan for den stokastiske variabel, x, skrives som,,, hvor dz stadig er en Wiener proces. a og b er nu, i stedet for at være antaget konstant, funktioner af x og t. Siges G at være en funktion af x og t gælder følgende proces Det er ikke indenfor dette projekts ramme at udlede Itô lemma. Dette kan ses i Hull kapitel 12, appendiks.

54 Side 50 af 55 ½. Trods omskrivningen, så ses det stadig, at første led på ligningens højreside er driftraten, mens andet led er variansraten. dg kan videre skrives således, at middelværdi og varians indgår ½. Det er vigtigt for Black-Scholes formlen at bemærke, at usikkerhed gennem Wiener processen i ligningen både påvirker optionen og det underliggende aktiv. Det antages ofte, når optioner prises, at det underliggende aktiv følger en lognormalfordeling (McDonald, 2003, s. 565). Lognormalfordeling har den egenskab, at følger aktien denne, så kan aktien ikke have negative værdier. En stokastisk variabel, x, siges at være lognormalfordelt, hvis ln er normalfordelt. Itô lemma benyttes til at omskrive S til ln. Sættes G i stedet lig med ln, så kan vi ved hjælp af Itô lemma ligningen for funktionen G finde at 1, 1, 0. Indsættes dette i Itô lemma får vi, at processen er. 2 Dette er en Wiener proces, hvor μ og σ er konstante samt, at driftraten og variansraten er noteret foran hhv. dt og dz. Ændringen i ln er over tiden 0 til T er normalfordelt, hvilket kan skrives som ln ln ~ 2, ln ~ 2, ln ~ ln 2, Ligningen viser, at den stokastiske variabel på tidspunkt T, S T, skrevet på logaritmisk form, ln, er normalfordelt. Det var, som nævnt, aktiekursen, der var lognormalfordelt. Standardafvigelsen på logaritmen ses at være proportional med kvadratroden på perioden mht. afkastet. (Hull, 2008, s. 271)

55 Side 51 af Appendiks C: Notations oversigt K Strikeprisen på optionen T Udløbsdatoen for optionen B Størrelse på lånefinansiering t Tidspunktet hvorfra der observeres τ T-t tid til udløb i hele år S t Spotkursen dvs. kursen på det underliggende aktiv på tidspunkt t c t Prisen på en call option på tidspunkt t p t Prisen på en put option på tidspunkt t σ Volatiliteten på det underliggende aktiv r den risikofrie og kontinuert tilskrevne rente 5.4. Appendiks D: Underliggende i vores Black Scholes formel