Øvelse i termisk analyse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Øvelse i termisk analyse"

Transkript

1 Øvelse i termisk analyse Fysisk teknik ved Bo Jakobsen Efterår Baggrund Øvelsenhartilformålatsættejerindienmetodetilatbestemmeetmateriales frekvensafhængige varmekapacitet. Målemetoden indgår i en række metoder som anvendes i væskelaboratoriet. Disse metoder, som tildels er udviklet her på stedet, er etableret med det formål at kunne måle et fuldstændigt sæt af elektriske og termo-mekaniske response funktioner. I skal som forberedelse til denne øvelse læse denne vejledning grundigt samt forsøge at regne de forskellige opgaver heri. Efter øvelsens gennemførelse udarbejdes en rapport som indeholder en gennemgang af teorien bag metoden (detvilsigemindstengennemregningafdeflesteopgaveridennenote),samt en grundig analyse af de udførte målinger. De målte størrelser skal færdigbehandles og resultaterne sammenholdes med tabelværdier og teori. Hjertet i metoden udgøres af en såkaldt NTC-modstand (negativ temperatur koefficient), dennes modstand, R, afhænger af temperaturen. Princippet i metoden består i at modstanden på samme tid kan levere varme (Joule varme) og registrere det til varmeproduktionen svarende temperatur response. Ved at sende en kendt elektrisk strøm gennem modstanden og måle spændingen over denne kan man således beregne både varmeproduktion og temperatur response. NTC-modstanden har form af en lille perle. Den har en struktur med en indre halvleder del og en ydre glas kapsel, og forbindes med omverdenen gemmen tilhørende ben (elektroder) (se figure 1). NTC-modstanden anbringes i et termostateret kammer. Vi antager at kammerets vægge, som består af massivt kobber, kan termostateres således at temperaturen her ikke afhænger af den varmestrøm som genereres af NTC- modstanden. Hvis nu modstanden er termisk koblet til en stofprøve, kan dennes termiske egenskaber beregnes. I laboratoriet arbejder vi med to forskellige geometrier, en tynd og en tyk. I den tynde geometri påføres væske perlen og hænger 1

2 NTC Modstand Elektroder Perle NTC Kryostat Kobber væg Indre halvleder del Glas kapsel Figur 1: Venstre Skitse af perle med indre del og glas kapsel. Højre Perlen i kryostaten. som en dråbe omkring denne(p.g.a. overfladespændingen). Væskens specifikke varmekapacitet kan så bestemmes ud fra dråbens vægt, den samlede varmekapacitet samt perlens varmekapacitet. I den tykke geometri, anbringes perlen i en beholder (som er meget større end perlen) fyldt med væske. Disse to geometrier har hver deres fordele og ulemper. I denne øvelse kan vi p.g.a. tidnød dog kun bestemme perlens varmekapacitet, samt varmeledning gennem luft til omgivelserne (kryostatens kammer). 2 Moddelering af det termiske system For at forstå de termiske egenskaber af systemet bestående af perlen og kryostaten, er det en fordel at opstille en nætværks model. I denne model lader vi spændingen være temperature forskellen mellem perlen og kryostaten( T) og strømmen er varmestrømmen (P), begge antages at var harmoniske funktioner med en given frekvens, og udtrykkes ved komplekse amplituder. Med disse definitioner kan vi tale om den frekvensafhængige komplekse termisk impedans (Z = T/P), termisk admitans (Y = P/ T) og termiske kapacitet (C = Q/ T, hvor Q er den samlede varme mængde, altså integralet over strømmen). 1 De termiske egenskaber af systemet kan beskrives ved det elektriske netværk som ses påfigur 2. 1 Denne type modellering har I arbejdet med på Fysisk modellering kurset, se evt. noter der fra for diskussion af generaliseret impedans. 2

3 T P C ntc Y S Y L Y E Figur 2: Elektrisk netværksmodel af det termiske system T 0 r 2 r 1 Figur 3: Skitse af to kugle til beregning af thermiske admitans Strømgeneratoren repræsentere den indre del af perlen. Det ses at strømgeneratoren sender en strøm ind i en parallelforbindelse af perlens varmekapacitet og tre termiske admitanser. De termiske egenskaber af perlen og omgivelserne repræsenteres typisk ved den samlede termiske impedans Z th = T/P. I de følgene opgaver skal I overveje hvordan de termiske admitanser kan findes. Opgaver Hvorfor er de 4 elementer parallel koblet? Hvilke varmeledningsevner repræsenterer Y S, Y L og Y E? Hvodan finder vi C NTC og den samlede ledningsevne ud fraden målte termiske impedans Z th? Tænk på et stof med den specifikke varme ledningsevne λ, hvori der anbringes to koncentriske kugleskaller med radius r 1 og r 2 (se figure 3). Hvis vi nu fastholder temperaturen T 0 i den yderste skal og sender en varmestrøm I 0 fra den indre skal ud i mediet, hvilken temperatur tilvæksten T fås så i ligevægt veddenindreskal.ladnuperlenværedenindreskalogkryostatendenydre, beregn et udtryk for den termiske admitans som ses ved den indre rand, når du desuden antager at r 2 r 1. Beregn et udtryk for den termiske admitans når varmen transporteres via stråling. Beregn endvidere et udtryk for elektrodernes termiske admitans. 3

4 I kammeret kan luftens varmeledningsevne ændres ved at ændre trykket, hvordan afhænger varmeledningskoefficienten, λ, af trykket?. Skitser den teoretiske termiske impedans som funktion af frekvens af det harmoniske varme(strøm)input. I øvelsen skal i måle den samlede varmeledningsevne ved forskellige tryk, overvej hvad vi vinder ved det, og hvordan det gør os i stand til at finde varmeledningsevnen for luft. 3 Et kort intermezzo om kompleks notation I det følgende bruger vi kompleks notation til at repræsentere et periodisk signal. I princippet er det samme teknik som på Fysisk modelerings kurset, men i denne sammenhæng er vi nødt til at være lidt mere grundige. Det skyldes at systemet ikke er lienært og vi derfor, som det senere vil blive klart, er nødt til at eksplicit opskrive det reelle tidsafhængige periodiske signal på baggrund af de komplekse størrelser. Et periodisk signal A(t) kan generelt skrives som en sum af harmoniske termer: A = A 0 + A 1 cos(ωt+φ 1 )+...+ A n cos(nωt+φ n ) (1) hvor A 0, A k er reelle amplituder og φ k faserne. Et sådan sum af harmoniske termer kan skrives som (hvisdu ikke kan se dette umiddelbart så regn pådet) A = 1 2 ( A 0 + A 0 + A 1 e i(ωt+φ 1) + A 1 e i(ωt+φ 1) A n e i(nωt+φ n) + A n e i(nωt+φ n) ). Vedatintroduceredenkomplekseamplitude A k = A k e iφ k ogenkortnotation E k = e ikωt kan summen skrives som A = 1 2 (A 0+A 1 E A n E n +c.c.), (3) hvor +c.c. betyder at man skal lægge den komplekst konjugerede af alle termer i parentesen til (inklusiv af den reelle konstant). Et par regneregler ses at gælde (overbevis dig om det): E 0 = 1, E k E l = E k+l,and E k E l = E k l. (2) Opgave Lad A = 1 2 (A 0 + A 1 E 1 + c.c.) og B = 1 2 (B 0 + B 1 E 1 + c.c.), beregn A B og udtryk det i den ovenstående notation(dvs. angive de komplekse amplituder). 4

5 U R(T) V R pre 0 Figur 4: Måle kredsløb, U er input spændingen, V er den målte spændingen over formodstanden R pre og R(T) er den temperaturafhængige modstand af NTC modstanden. 4 Det elektriske setup og de grundlæggende ligninger Perlens elektrisk strøm/spændings forhold måles v.h.a. kredsløbet som ses på figur 4. NTC modstanden anbringes i en såkaldt spændingsdeler sammen med en kendt formodstand, R pre,som er temperatur uafhængig. Spændingsgeneratoren er speciel bygget af værkstedet og levere en tidsafhængig spænding U(t) = Acos(2πνt), hvor amplituden A kan vælges mellem 0 og 10V i 256 step, mens frekvensen ν kan varieres mellem 1mHz og 100Hz. Den tidsafhængige output spænding U(t) måles v.h.a. et 26 bit digital voltmeter. Målingerne foreligger som et array af 512 målinger taget med ens afstand over en periode af input signalet. I konstruktionen af opstillingen er der gjort megetforatholdestyrpåfasenmelleminputspændingenogdenmåltespænding. Opgave Udled spændingsdeler formlen: V(t) = R pre U(t). (4) R pre +R(T(t)) Perlens temperatur afhængighed kan beskrives som R(T) = R e T a/t, hvorfor det? 5

6 Antag at perlens temperatur er tæt på kryostat temperaturen, T 0, og udtryk R som funktion af T til første orden, som R = R 0 (1 + α T) (hvor T er afvigelsen frakryostat temperaturen). Hvad udtrykker R 0? Vis at temperatur koefficienten α kan findes som α = dlnr dt, og opskrive et udtryk fordens afhængighed af T og T a. Udnyt nu denne førsteordens approksimation til at opskrive V(t) som funktion afu(t) og R(T) til 1. orden i T som: V = 1 ( 1 Aα ) A+1 1+ A T U. (5) Udled endeligt følgende to udtryk for effekten afsat i perlen, ( 1 A P = (1+ A) A ) 1+ A α 1 T U 2 (til første orden i T) (6) R pre P = (U V)V R pre, (7) hvad er fordelen ved hvert af disse toudtryk? 5 Fra tidsdomæne til frekvensdomæne Vi måler som beskrevet det tidsafhængige signal V(t), når man påtrykker et periodisk signal U(t). Vi ønsker at omsætte dette signal til en sum af harmoniske bidrag. Dette gøres i computeren ved at bruge en såkaldt Fast Fourier transform (FFT). I matlab ser det således ud x=fread(multi,512, int32 )*iscale; xfft=fft(x)/256; Første linje henter de 512 målinger af spændingen(denne ganges med en faktor som stammer fra voltmeteret). I anden linje tages den diskrete Fouier transform af dette signal (for at få de absolutte væredier til at passe skal man dividere med det halve antal punkter (se evt. matlab help siden om fft) ). Resultatet er et array hvor 1. plads indenholder 2 gange amplituden til den 0 te harmoniske, 2. pladsen den komplekse amplitude til den 1. harmoniske, 3. pladsen den komplekse amplitude til den 2. harmoniske og så videre (grunden til at vi får 2 gange amplituden til den 0 te harmoniske ligge i definitionen af den Fouier transformerende, hvilket vi ikke kommer nærmere ind på her). Et simple eksempel ses i figur 5. 6

7 %number of points n=512 % array with evenly spaced points between 0 and 2pi x=linspace(0,2*pi,n) %A function y=1+0.5*cos(x+12/180*pi)+0.75*cos(2*x+30/180*pi) % the FFT transform scaled by n/2 yfft=fft(y)/n* Real(y) nr Imag(y) nr Figur 5: Eksempel på de værdier som fremkommer i resultat arrayet efter en FFT transformation af et signal samplet over en periode. Her vises kun de første 5 array pladser. 7

8 I det følgende arbejder vi udelukkende i frekvens domænet. Vi definere altså generelt (hvorder kun er medtaget optil 4. ordens led) V(t) = 1 2 (V 0+V 1 E 1 +V 2 E 2 +V 3 E 3 +V 4 E 4 +c.c.) U(t) = 1 2 (U 0+U 1 E 1 +U 2 E 2 +U 3 E 3 +U 4 E 4 +c.c.) P(t) = 1 2 (P 0+P 1 E 1 +P 2 E 2 +P 3 E 3 +P 4 E 4 +c.c.) T(t) = 1 2 (T 0+T 1 E 1 +T 2 E 2 +T 3 E 3 +T 4 E 4 +c.c.). Ligeledes defineres den termiske impedans for alle de harmoniske, så vi har at. Z th,1 = T 1 /P 1 Z th,2 = T 2 /P 2.. Opgaver GenereltmålervidenfrekvensafhængigetermiskeimpedansZ th,i (ω).hvader sammenhængen mellem Z th,1 (ω) og Z th,2 (ω)? (Dette er en meget vigtig men svær pointe såbrug lidt tidpåat tænke over det). Overbevis dig om at de værdier som ses i figure 5 passer med den funktion som er blevet transformeret. 6 Kalibrering af perlens temperaturafhængige modstand Når perlen sidder i kryostaten kan dennes temperaturafhængige modstand bestemmes ved atmåle V ved forskellige temperaturer ogpåforhånd måleu og R pre som ikke afhænger af temperaturen. Når R på denne måde måles ved at sende en strøm gennem denne, vil perlen ikke have samme temperatur som kryostaten. Antagidetfølgendeatgeneratorener perfekt detvilsigeatdenlevereetrent harmonisk signal, U = 1 2 (U 1E 1 +c.c.), og at den målte spænding kan skrives som V = 1 2 (V 0 +V 1 E 1 +c.c.) (det vil sige at vi ser bort fra evt. højereordens harmoniske led). 8

9 Opgaver Udtryk varmeeffekten fra perlen som en harmoniske serie ved at bruge ligning 7, hvad er de dominerende led? Hvordan kommer temperaturen til at variere på perlen (hvilke led skal medtages hvis denne skrives som en sum af harmoniske led). Vis at DC amplitude af varmeeffekten kan skrive som: P 0 = 1 4R pre ((U 1 V 1 )V 1 +(U 1 V 1 )V 1) (8) Vis at den førsteharmoniske i det målte signal (V 1 )kan skrives som V 1 = 1 ( U A+1 1 Aα 1+ A T 0U 1 1 ) Aα 21+ A T 2U1 (9) (hvor A = R 0 /R pre ). Ved at måle ved forskellige amplituder af U kan man ved ekstrapolation bestemme R ved den aktuelle kryostat temperatur, hvordan? (Bemærk at ledet A Aα T 2U1 kan antages at være lille). Det er på baggrund af dette udtryk også muligt at finde DC niveauet af den termiske impedans (Z 0 ),hvordan? 7 3ω metoden Vi har nu (forhåbentlig) set at et rent harmonisk input, giver anledning til en varmestrøm som variere som 2ω, og dermed til en temperatur som variere med 2ω. Da modstanden er temperatureafhængig, vil dens modstand også variere med 2ω. Spændingsfaldet over den er give ved Ohms-lov (produktet af modstandogstrøm)ogdastrømmenharetdominerende1.harmoniskled,fåset3 harmonisk led i spændingen over modstanden. Man kan altså finde temperaturamplituden ved at studere den 3. harmoniske i det målte signal. Opgave Visatamplitudenafden3.harmoniske idetmåltesignal(v 3 )kanskrivessom V 3 = 1 2 Aα (A+1) 2T 2U 1. (10) 9

10 Vis desuden at amplituden til den 2. harmoniske i varmeeffekten kan skrives som: P 2 = 1 2R pre (U 1 V 1 )V 1. (11) Udnytligning8,9,10og11,tilatfindedenfrekvensafhængigetermiskeimpedans og DC impedansen. Ved hvilke termisk frekvens evalueres den frekvens afhængige termiske impedans? 8 Øvelse 1. øvelsesgang NTC-modstanden monteres i en prøveholder sammen med formodstanden R pre,hvisværdibestemmesmedetmultimeter.prøveholderenanbringesikryostaten og forbindes til måleopstillingen, hvis virkemåde afprøves. NTC-modstandens temperaturafhængighed findes ved at måle V og U ved mindst 3 forskellige amplituder (50, 75 og 100) ved mindst tre forskellige temperaturer(300k, 275K og 250K). Målingen foretages ved 10Hz. På baggrund af disse målinger findes T a og R samt et første gæt på den termiske DC impedans (dette kaldes i det følgende DC-metoden), samt DC temperatur amplituden (overvej hvordan denne hænger sammen med amplituden af den 2. harmoniske varmestrøm). Overvej hvordan vi online kan følge om temperaturen er kommet i ligevægt. 2. øvelsesgang Vedenpassendetemperaturf.eks.200KmålesV ogusomfunktionaffrekvens i intervallet 0.1 til 100Hz, og resultatet analyseres. Kammeret evakueres og målinge gentages. Hvis I vil kan vi nu lave en noget længere måling over et par dage, så vi får bedre lavfrekvens data. Den termiske impedans beregnes nu på to måder h.h.v. ved DC-metoden og 3ω-metoden. Luftens varmeledningsevne og perlens varmekapacitet bestemmes ud fra de to målinger, og sammenlignes med litteratur værdier. 10

11 9 Baggrundslitteratur De nedenstående artikler indenholder en del af baggrunden for den diskuteredemetode.deterikkenødvendigtatlæsedisseforatlaveøvelsenellerskrive rapporten men referencerne tages med her for forstændighedens skyld. Måling af den frekvensafhængige varmefylde ved brug af perlen og en meget tykt væskelag. Indenholder en detaljeret gennemgang af 3ω teknikken: Bo Jakobsen, Niels Boye Olsen& Tage Christensen. Frequency dependent specific heat from thermal effusion in spherical geometry. arxiv: v1 [cond-mat.soft], (Bemærk at det er version 1 af denne artikel som er mest relevant i forhold til denne øvelse). Bo Jakobsen, Niels Boye Olsen& Tage Christensen. Frequency-dependent specific heat from thermal effusion in spherical geometry. Phys. Rev. E, 2010, 81, Måling af den frekvensafhængige varmefylde, ved brug af perlen og et tyndt væskelag: Tage Christensen & Niels Boye Olsen. Thermoviscoelasticity of glassforming liquids. J. Non-Cryst. Solids, 1998, , Detaljeret beskrivelse af kryostat og elektrisk setup findes i følgende to artikler: B. Igarashi, T. Christensen, E. H. Larsen, N. B. Olsen, I. H. Pedersen, T. Rasmussen & J. C. Dyre. A cryostat and temperature control system optimized for measuring relaxations of glass-forming liquids. Rev. Sci. Instrum., 2008, 79, B. Igarashi, T. Christensen, E. H. Larsen, N. B. Olsen, I. H. Pedersen, T. Rasmussen & J. C. Dyre. An impedance-measurement setup optimized for measuring relaxations of glass-forming liquids. Rev. Sci. Instrum., 2008, 79, En introduktion til modellering via elektriske netværks modeller, kan findes i: Niels Boye Olsen, Modellering med elektriske netværk Noter fra Fysik B kurset, IMFUFA tekst nr. 466 (2009). Tage Christensen, Noter til Fysisk Modellering (findes online på 11

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Øvelses journal til ELA Lab øvelse 4: Superposition

Øvelses journal til ELA Lab øvelse 4: Superposition Øvelses journal til ELA Lab øvelse 4: Navn: Thomas Duerlund Jensen, Jacob Christiansen, Kristian Krøier Øvelsesdato: 8/10-2002 Side 1 af 5 Formål: Eksperimentelt at eftervise superpositionsprincippet og

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen

C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede

Læs mere

Figur 1 Energetisk vekselvirkning mellem to systemer.

Figur 1 Energetisk vekselvirkning mellem to systemer. Energibånd Fysiske fænomener er i reglen forbundet med udveksling af energi mellem forskellige systemer. Udvekslingen af energi mellem to systemer A og B kan vi illustrere grafisk som på figur 1 med en

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Theory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point)

Theory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Q2-1 Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner i den separate konvolut før du starter på opgaven. Introduktion Bi-stabile ikke-lineære halvlederkomponenter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2. Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Energitekniske grundfag 5 ECTS

Energitekniske grundfag 5 ECTS Energitekniske grundfag 5 ECTS Kursusplan 1. Jeg har valgt energistudiet. Hvad er det for noget? 2. Elektro-magnetiske grundbegreber 3. The Engineering Practice 4. Elektro-magnetiske grundbegreber 5. Termodynamiske

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Daniells element Louise Regitze Skotte Andersen

Daniells element Louise Regitze Skotte Andersen Louise Regitze Skotte Andersen Fysikrapport. Morten Stoklund Larsen - Lærer K l a s s e 1. 4 G r u p p e m e d l e m m e r : N i k i F r i b e r t A n d r e a s D a h l 2 2-0 5-2 0 0 8 2 Indhold Indledning...

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

Lineære systemer med hukommelse.

Lineære systemer med hukommelse. Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4 El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.

Læs mere

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at

Læs mere

Måling af ledningsevne. I rent og ultrarent vand

Måling af ledningsevne. I rent og ultrarent vand Måling af ledningsevne I rent og ultrarent vand Anvendelse af ledningsevne Mest anvendt til kvalitets kontrol Overvågning af renhed på vand til processen Kontrol af vand i processen Kontrol af drikkevand

Læs mere

Velkommen til. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand. EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus

Velkommen til. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand. EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus Velkommen til EDR Frederikssund Afdelings Joakim Soya OZ1DUG Formand 2012-09-01 OZ1DUG 1 Kursus målsætning Praksisorienteret teoretisk gennemgang af elektronik Forberedelse til Certifikatprøve A som radioamatør

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Læs mere

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter Kollektor Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999 Basis Emitter 1 Indholdsfortegnelse Problemformulering 3 Transistorens opbygning 4 Transistoren DC forhold

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

EMC. Elektromagnetic Compatibility Sameksistens!

EMC. Elektromagnetic Compatibility Sameksistens! EMC Elektromagnetic Compatibility Sameksistens! Forløb for EMC Mandag: Generelt om EMC, R&S kommer på besøg Tirsdag: Brug af instrumenter, signal teori (Cadence), EMC opgaver Onsdag: EMC opgaver Torsdag:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Fysik B - 2.g

Undervisningsbeskrivelse Fysik B - 2.g Undervisningsbeskrivelse Fysik B - 2.g Termin August 2014 Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX Htx Fysik B Tom Løgstrup (TL) Hold 2.b Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Læs mere

Måleteknik Effektmåling

Måleteknik Effektmåling Måleteknik Effektmåling Formål: Formålet med øvelsen er at indøve brugen af wattmetre til enfasede og trefasede målinger. Der omtales såvel analog som digitale wattmeter, men der foretages kun målinger

Læs mere

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt Atomets partikler: Elektrisk ladning Lad os se på et fysisk stof som kobber: Side 1 Atomets

Læs mere

Thevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0.

Thevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0. Maskeligninger: Givet følgende kredsløb: 22Vdc 1,5k 1Vdc Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med. I maskerne er der sat en strøm på. Retningen er tilfældig

Læs mere

Velkommen til. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Steen Gruby OZ9ZI

Velkommen til. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Steen Gruby OZ9ZI Emne 18: Måleteknik Velkommen til EDR Frederikssund Afdelings Steen Gruby 1 Emne 18: Måleteknik I øvrigt Tidsrum :1900 2200 I pause ca. i midten Toilettet er i gangen mellem køkken og dette lokale De der

Læs mere

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Udarbejdet af: RA/ SLI/KW/

Udarbejdet af: RA/ SLI/KW/ Side 1 af 7 1. Formål. Den studerende skal have en elektroteknisk viden inden for områderne kredsløbsteori og almen elektroteknik i et sådant omfang, at forudsætninger for at udføre afprøvning, fejlfinding

Læs mere

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Det skal tydeligt fremgå af besvarelsen hvilken tankegang, der ligger bag løsningen. Dvs. fyldestgørende og præcis forklaring, men samtidig så kort

Læs mere

Ohms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd.

Ohms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Ohms lov Nummer 136050 Emne Ellære Version 2017-02-14 / HS Type Elevøvelse Foreslås til 7-8, (gymc) p. 1/5 Formål Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Princip Et stykke

Læs mere

Spektrumrepræsentation

Spektrumrepræsentation Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede

Læs mere

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V. For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på

Læs mere

EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus. Afsnit 9-9B-10. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand

EDR Frederikssund afdeling Almen elektronik kursus. Afsnit 9-9B-10. EDR Frederikssund Afdelings Almen elektronik kursus. Joakim Soya OZ1DUG Formand Afsnit 9-9B-10 EDR Frederikssund Afdelings Joakim Soya OZ1DUG Formand 1 Opgaver fra sidste gang Pico, nano, micro, milli,, kilo, mega Farvekode for modstande og kondensatorer. 10 k 10 k m A Modstanden

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 -juni 2017 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Gastro-science

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Måling af ledningsevne: Hvordan og hvad skal man være opmærksom på?

Måling af ledningsevne: Hvordan og hvad skal man være opmærksom på? Måling af ledningsevne: Hvordan og hvad skal man være opmærksom på? www.insatech.com Agenda Kort om mig Hvad er ledningsevne Ledende opløsninger Termer, teori Måleteknikker Valg af sensor udfordringer

Læs mere

U Efter E12 rækken da dette er den nærmeste I

U Efter E12 rækken da dette er den nærmeste I Transistorteknik ved D & A forold. 4--3 Afkoblet Jordet mitter: Opbygning og beregning af transistorkobling af typen Jordet mitter ud fra følgende parameter erunder. Alle modstande vælges / beregnes ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016-juni 2018 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Gastro-science

Læs mere

1 v out. v in. out 2 = R 2

1 v out. v in. out 2 = R 2 EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP

Læs mere

Fysik rapport. Elektricitet. Emil, Tim, Lasse og Kim

Fysik rapport. Elektricitet. Emil, Tim, Lasse og Kim Fysik rapport Elektricitet Emil, Tim, Lasse og Kim Indhold Fysikøvelse: Ohms lov... 2 Opgave 1... 2 Opgave 2... 2 Opgave 3... 2 Opgave 4... 3 Opgave 5... 3 Opgave 6... 3 Opgave 7... 4 Opgave 8... 4 Opgave

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin aug 13 - jun 15

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin aug 13 - jun 15 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug 13 - jun 15 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Vid Gymnasier HTX Fysik B Michael Lindholm Nielsen (1.

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for Fag, Fysik B, 1c. 2012-2013 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Teknisk Gymnasium

Læs mere

Digitale periodiske signaler

Digitale periodiske signaler KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske

Læs mere

Teknologier og udfordringer. Claus Melvad

Teknologier og udfordringer. Claus Melvad Måling af vandindhold Teknologier og udfordringer Claus Melvad Indhold Tre definitioner af vandindhold Oversigt over 14 målemetoder Vurdering af begrænsninger, usikkerheder og fejlbidrag Plan for fremtidigt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Laboratorieøvelse Kvantefysik

Laboratorieøvelse Kvantefysik Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Elektronikken bag medicinsk måleudstyr

Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Måling af svage elektriske signaler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 2 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares

Læs mere

Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse

Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 1 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling... 4 Elektriske

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Skriftlig prøve i KDS

Skriftlig prøve i KDS Kredsløbsteori & dynamiske systemer for EIT2/16 Opgavesæt 02 160728HEb Kredsløbsteori & dynamiske systemer Skriftlig prøve i KDS Omprøve d. 16. august 2016 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 4

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

MASKELIGNINGER - KIRCHHOFFS LOVE (DC) Eksempel

MASKELIGNINGER - KIRCHHOFFS LOVE (DC) Eksempel MASKELIGNINGER - KIRCHHOFFS LOVE (DC) Eksempel Ved beregning af kredsløb med flere masker og flere elektromotoriske kræfter (E), er det ofte ret besværligt at løse for ubekendte uden hjælpeværktøjer. Side

Læs mere

Fysik- kalorimetri Roskilde Tekniske Gymnasium 30. oktober Flammetemperatur. Klasse 1.5 Filip Olsen. Indledning Materialer...

Fysik- kalorimetri Roskilde Tekniske Gymnasium 30. oktober Flammetemperatur. Klasse 1.5 Filip Olsen. Indledning Materialer... Flammetemperatur Klasse 1.5 Filip Olsen Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Materialer... 3 Metode... 3 Resultater... 4 Diskussion... 4 Konklusion... 5 Kilder... Error! Bookmark not defined. 1 Indledning

Læs mere

Materialer: Strømforsyningen Ledninger. 2 fatninger med pære. 1 multimeter. Forsøg del 1: Serieforbindelsen. Serie forbindelse

Materialer: Strømforsyningen Ledninger. 2 fatninger med pære. 1 multimeter. Forsøg del 1: Serieforbindelsen. Serie forbindelse Formål: Vi skal undersøge de egenskaber de 2 former for elektriske forbindelser har specielt med hensyn til strømstyrken (Ampere) og spændingen (Volt). Forsøg del 1: Serieforbindelsen Materialer: Strømforsyningen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere