MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7

2 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere i 89. Da ma må forudse, at ma seere vil skulle kue avede et egetligt matematikprogram, som agives også ogle af ordrere i programmet Maple Ekelte eksempler er hetet fra læreboge Bjare Hellese, Moges Oddershede Larse: Matematik for Igeiører bid. Adre oter i samme serie er Matematiske grudbegreber Giver e kort geemgag af defiitioer og regeregler for de mest almidelige reelle fuktioer af. variabel, disses differetiatio og itegratio, Vektorer Idhold: ) Vektorer i pla og rum, ) Rumgeometri (relatioer mellem pukt, liie og pla) ) Kurver i pla givet ved e parameterfremstillig Komplekse tal Idhold: ) Rektagulær og polær form, ekspoetialfuktio, ) Biom- og adegradsligig ) Opløsig af polyomier i faktorer og dekompoerig Matricer og lieære ligiger Idhold: ) Regeregler for matricer, ) Lieære ligigssystemer, heruder løsig af overbestemt ligigssystem Differetialligiger Idhold: ). orde (seperable, lieære, umerisk løsig), ). og højere orde med kostate koefficieter, ) Laplacetrasformetio til løsig af differetialligigssystemer og differetialligiger med forsikelse Alle de ævte otater ka i pdf-format fides på adresse jauar 7 Moges Oddershede Larse -ii-

3 Idhold INDHOLD Idledig... Reelle Fourierrækker.... Defiitio og beregig af Fourierrække.... Fourierrække for lige og ulige fuktioer... 6 Fourierrække på kompleks form.... Idledig.... Sammehæg mellem reelle og komplekse Fourierkoefficieter.... Udviklig af fuktio i Fourierrække på kompleks form....4 Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio... 4 Fouriertrasformatio Defiitio af de Fouriertrasformerede X ( ω) af x(t) Ehedstrifuktio og ehedsimpulsfuktio Sammehæg mellem Fourierkoefficetere og de Fouriertrasformerede Regeregler for Fouriertrasformerede... Diskret Fouriertrasformatio.... Idledig.... Defiitio af diskret Fouriertrasformatio.... Beregig af diskret Fouriertraspoerede....4 Foldig... 6 Opgaver iii-

4 -iv- Idhold

5 . Idledig. Idledig Mage periodiske fuktioer ka fremstilles ved e uedelig række beståede af siusled og cosiusled. Er fuktioes halve periode, ka række skrives ( ω ω ) f () t a + a cos( t) + b si( t) eller skrevet helt ud f ( t) a + a cos( ωt) + b si( ωt) a cos( ω t) + b si( ω t) +... hvor t er de uafhægige variable, og vikelfrekvese ω, er et positivt helt tal og a ere og b ere er kostater. Sådae rækker kaldes Fourierrækker. Hvorledes kostatere bestemmes vil fremgå af afsit.. Kostatleddet a kaldes ofte dc-leddet (direct curret jævstrøm). Opfattes t som tide, vil rækkes øvrige led repræsetere svigiger, som etop ved mage praktiske avedelser har e direkte fysisk fortolkig, f. eks. elektromagetiske svigiger, mekaiske svigiger eller lydsvigiger. for < t < Eksempelvis vil e firkatsimpuls f () t med periode 6 (se figure) for < t < f ( t) si t + si t + si t +... have fourierrække + ( ) for < t < og fuktioe f () t med periode (se figure) t for < t < have Fourierrække cos( t) cos( t) cos( t) cos( t) si( t) si( t) si( t) f () t

6 . Reelle Fourierrækker Ma siger, at fuktioe f (eksempelvis e periodisk firkat-impuls ) er blevet udtrykt som e superpositio (overlejrig) af idbyrdes harmoiske ree svigiger, eller ma siger, at der er foretaget e harmoisk aalyse af f. Ofte øsker ma række skrevet på forme f ( t) A + Asi( ωt+ ϕ) + A si( ωt+ ϕ) A si( ωt+ ϕ) +... Grudsvigige er Asi( ωt+ ϕ), mes A kaldes amplitude for de te svigig, ϕ er de te faseforskydig. For de ekelte svigig vil ma ud over amplitude også æve frekvese, dvs. atal svigiger pr. tidsehed. For at forstå dette begreb betragtes række for firkatsimpulse: f ( t) + si t + si( t) + si t +... Grudsvigige si t foretager svigig i løbet af e tidsperiode på 6 (da ω ). Heraf følger, at frekvese er. 6 f ω 6 Oversvigige si( t) si t sviger gage i tide 6 og har derfor e frekves f ω osv. 6 Geerelt gælder, at si( ω t) har vikelfrekvese ω, frekvese f ω og e periode (svigigstid) på. f ω. Reelle Fourierrækker. Defiitio og beregig af Fourierrække De fuktioer som ka fremstilles ved Fourierrækker, er de såkaldte stykkevis differetiable fuktioer (se figur.). Ved e stykkevis differetiabel fuktio f defieret i itervallet [ - ; ], forstås e f, som er differetiabel i hele itervallet påær højst et edeligt atal pukter. I disse pukter har såvel f som de afledede fuktio f dog e græseværdi såvel fra vestre som fra højre (for edepuktere dog blot fra de idre side). Fig... Stykkevis differetiabel fuktio f.

7 . Defiitio og beregig af Fourierrækker Vi vil i det følgede atage, at f er e periodisk fuktio med periode, og at f er stykkevis differetiabel i itervallet [ - ; ]. DEFINIION af fourierrække. Ved f s fourierrække forstås de uedelige række a a t b t a t b t a t b t cos si cos si... cos si +... hvor a f t dt, () a f t, og,,,... t dt ()cos b f t t ()si dt Række skrives kort f t a a t b () + cos + si t Kostatere og kaldes Fourierkoefficetere. a b Forklarig af formlere for koefficietere a og b. Hvis fourierrække er koverget med summe f ( x) må koefficietere ødvedigvis være bestemt ved de agive formler. Dette idses ved at multiplicere ligige f t a a t b () + cos + si t med samme fuktio, som idgår i det led, der ideholder a eller b, hvorefter der itegreres. Multipliceres således på begge sider med cos t og itegreres fra - til, fås f t t dt a t dt a k t t dt b k t ( ) cos cos + k cos cos + k si cos t dt k For k og > fås (ved beyttelse af Maple eller i 89), at de oveævte itegraler på højre side af lighedsteget er. Ligige reduceres derfor til f t t dt a t dt b t ( ) cos cos si cos t + dt. Ved itegratio fås u f t.heraf fås,,,,... t ()cos dt a a + a f t t ()cos dt ilsvarede fides a (ved at multiplicere med cos( t) og b (ved at multiplicere med si ). t

8 . Reelle Fourierrækker Eksempel. Udviklig af e fuktio i e Fourierrække. for < t < Et periodisk firkatssigal med periode 6 er defieret ved f () t for < t < ) Bestem Fourierkoefficetere a samt a og b for,,, 4,. ) Lad Ft a a altså summe af led til og med t b () + cos + si t eg (ved hjælp af lommereger eller Maple) grafe for f(t) og F(t) i samme koordiatsystem. ) Skitser amplitudespektret for f(t), hvor amplitude A er defieret som A a + b () ( ) Eergie i sigalet f t over e periode er givet ved P f () t dt Eergie i sigalet Ft () over e periode er givet ved Q a + ( a + b ) De middelfejl E som opstår, år fuktioe f () t erstattes af delsumme Ft () er E P - Q. 4) Bestem eergiere P, Q og middelfejle E. Agiv i % de adel af eergie i sigalet f () t der repræseteres af delsigalet Ft (). Løsig: ) Vi fider a f t dt dt. 6 () + ) a f t t dt + ()cos t dt cos b f t t dt + ( cos( ) ) ()si t dt si (lommereger beyttet ved itegratioe) Da cos( ) ( ) for ulige fås b for lige for ulige for lige Vi har derfor a, a, b, a, b, a, b, a4, b 4

9 ) Vi har Ft ( ) + si t + si( t) + si t egig: Maple: > w:piecewise(-6<t ad t<-,,t<,,t<,,t<6,); > u:/+/pi*si(pi/*t)+/(*pi)*si(pi*t)+/pi*si(*pi/*t); plot([w,u],t-6..6,discottrue);. Defiitio og beregig af Fourierrækker i 89: Idee er, at ma defierer e fuktio for hvert stykke af de stykkevis differetiable fuktio og så teger i samme koordiatsystem. Y, y(x) /+/ *si( /*x)+/(* )*si( *x)+/ *si(* /*x) Y, y(x)+*x x<- ad x>-6 Y, y(x)+*x x< ad x> Marker y, y og y Vælg GRAPH så bliver de markerede fuktioer teget i samme koordiatsystem Viduet idstilles u, så ma får afbildet det øskede område. Ved sammeligig med grafe for f ses, at ok liger de hiade i hovedstrukture, me umiddelbart bør ok medtages lidt flere led. ) Vi har u følgede tabel: 4 frekves f amplitude A a + b for for lige ulige

10 . Reelle Fourierrækker P f () t dt + dt 7 4) ( ) Q a + ( a + b ) E E P - Q. Relativ fejl P. 7 % Koverges af Fourierrække i et diskotiuitetspukt. Som det fremgår af de to grafer for f () t og Ft () i eksempel., syes fourierrække i sprigpuktet t at kovergere mod midtpuktet f ( t+ ) + f ( t ) + Det ka vises, at dette gælder geerelt.. Fourierrækker for lige og ulige fuktioer Hvis f (t) er e lige fuktio (se figur.), vil vi vise, at Fourierrække for f er e re cosiusrække. Fig. Lige fuktio, dvs. f ( t) f ( t) (grafe symmetrisk om y-akse) Hvis f (t) er e ulige fuktio (se figur.), vil vi vise, at Fourierrække for f er e re siusrække. Fig. Ulige fuktio, dvs. f ( t) f ( t) (grafe symmetrisk om begydelsespuktet (, ) ). Dette fremgår af følgede sætig. 6

11 SÆNING. ( Fourierrække for lige og ulige fuktio ). Hvis f er e lige fuktio med periode, har f Fourierrække f () t a + a cos t.. Fourierrækker for lige og ulige fuktioer hvor a f t dt og,,,.... () a f t dt ()cos Hvis f er e ulige fuktio med periode, har f Fourierrække f () t b si t, hvor b f t dt,,,.... ()si Bevis: g() t f () t cos t og h() t f () t si t. Er f lige, dvs. f () t f ( t), fås ved idsættelse, at g( t) g( t) og h( t) h( t), dvs. g er lige og h er e ulige fuktio. Af symmetrigrude (se på de tilsvarede arealer) må g () t dt g () t dt og h () t dt. Hermed er sætige vist, for f lige. Er f ulige, ka beviset føres på gaske samme måde. Eksempel. Fourierrække for lige fuktio. Lad e periodisk fuktio f have følgede graf ) Bestem Fourierkoefficetere a samt a og b for,,, 4,. ) Lad Ft a a altså summe af led til og med t b () + cos + si t Skitser ved hjælp af lommereger eller Maple grafe for F(t), og sammelig de med de i pukt ) tegede graf for f. 7

12 . Reelle Fourierrækker Løsig: ) Det ses af figure, at f er e lige fuktio med periode 8 og at f () t t+ for t 4 Række er derfor e re cosiusrække. f () t a + a cos t 4 hvor 4 a t dt og a t+ t dt 4(cos( ) ) cos,,, Heraf fås: a, a, a a a a,, 4, ) Ft () + cos t + cos t + cos t egig: Maple: plot(+8/pi^*cos(pi/4*t)+8/(9*pi^)*cos(/4*pi*t)+8/(*pi^)*si(*pi/4*t), t-..); Eksempel. (periodisk firkatsimpuls) Det periodiske firkatsigal vist på figure er defieret over e periode som for < t < xt () for < t < < t < er periodisk med periode (se figure). 8

13 .. Fourierrækker for lige og ulige fuktioer ) Fid fourierkoefficietere ) Bereg amplitudespektret i det tilfælde, hvor 8. Løsig: ) Det ses, at x (t) er e lige fuktio med periode Vi har derfor at række er e re cosiusrække. Idet i formle fås xt () a + a cos t hvor a xtdt dt + dt () si,,,.... a t dt cos Sættes ω (grudvikelfrekvese) fås ( ω ) xt () a + a cos t, hvor a og a ( ),,,.... si ω ) Sættes 8 fås ω og dermed a,,,... si 4 4 a, og a a a, 4 si, si, si 4 7 a4 si ( ), a si, a6 si, a7 si, a7 si, a8 si( ), ) Vi har følgede tabel: og a

14 . Fourierrække på kompleks form. Fourierrække på kompleks form...idledig E Fourierrække på kompleks form for e periodisk fuktio x(t) med periode ka skrives i ω t xt () ce, hvor ω og de komplekse koefficieter er bestemt ved c i ω t xt e dt () ( ) Formle fremkommer ved i Fourierrække xt () a + acos( ω t) + bsi( ω t) e + e e e at idsætte cos og si givet ved Eulers formler : cos( u), si( u). i iu iu iu iu Fordelee ved at gå over til de komplekse form er dels, at mage beregiger bliver meget lettere (jævfør eksempel.) og dels, at ku et tal c både agiver et mål for amplitude ( c )og for faseforskydige ( arg( c ) ). Ulempe er, at resultatere bliver midre overskuelige...sammehæg mellem reelle og komplekse Fourierkoefficieter. ( ( ) ( )) xt () a + a cos ω t + b si ω t i ω ce t a ib Fra reel til kompleks: c a o, c, c c, c a + b for,,,... Fra kompleks til reel: a a Re( c), b IM( c) c o ( ) Skrives Fourierrække f () t a + A si( ω t + ϕ) ϕ Arg c + Arg b + ia er amplitude A c a + b og faseforskydige for,,,... ( ) ( ).. Udviklig af fuktio i Fourierrække på kompleks form. De følgede eksempler viser dels, hvorda ma ka udvikle e periodisk fuktio i e fourierrække på kompleks form, dels hvorledes ma løser e lieær differetialligig, hvor iput er e periodisk fuktio.

15 .. Udviklig af fuktio i Fourierrække på kompleks form Eksempel. Periodisk firkatssigal for < t < Et periodisk firkatssigal med periode 6 er defieret ved xt () for < t < ) Bestem ud fra defiitioe de komplekse fourierkoefficieter c hvor er alle hele tal til og med ±. ) Ma fadt i eksempel. de reelle fourierkoefficieter a, a, b, a, b, a, b, a4, b Fid på det grudlag de komplekse fourierkoefficieter c hvor er alle hele tal til og med ±. Kotroller, at ma har fået samme resultat. ) Opskriv de komplekse fourierrække svarede til de i spørgsmål ) agive værdier af. 4) eg amplitudespektret for de komplekse fourierrække Løsig: ) Idet og ω fås c x t e dt dt () i t e i i i t i t e ω e ω c x() t e dt e dt i ω 6 i ω i i for lige i i e ( ) Da e ( e ) ( ) fås c i i for ulige i i i c, c, c,, i i c i 4 c i i i c, c, c,,. c i 4 c i ) c a o, a ib i i c, c c, i c i, c c, i i c c c,, i c4 i i i, c 4 c4, c, c c, Det ses, at vi fik de samme værdier ved de to metoder. ω ω

16 . Fourierrække på kompleks form i t i t i t i t i t i t ) -.. 4) i i i i i i xt ( )... + e + e + e + e e e c I eksempel. var teget de tilsvarede de reelle fourierkoefficieter, og da et sådat amplitudespektrum er mere askueligt ed de komplekse koefficieter, vil ma ofte se dette avedt evetuelt samtidigt med et fasediagram. I eksempel.4 beregede vi de reelle fourierkoefficieter. Vi vil u getage beregigere for det samme problem. Eksempel. (firkatsimpuls geerelt) Det periodiske firkatsigal vist på figure er defieret over e periode som xt () for for < t < < t < < t < er periodisk med periode (se figure) ) Fid forurierkoefficietere ) Bereg amplitudespektret i det tilfælde, hvor 8.

17 .4. Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio Løsig: Idet periode er, ω fås ) c i t ω xte dt e () : c dt i ω tt i ω t i ω i ω : c e dt ( e e ) e ω dt i ω t e i ω i ω ω e si( ω ) si( ω ) i ω iu iu i ω i e e De sidste omskrivig skyldes Eulers formel si( u). i Sammeliges med resultatet i eksempel.4 ses, at påær a så er a c som forvetet. ) Sættes 8 fås ω og dermed c, helt tal 4 si 4 ± ± ± ± 4 ± ± 6 ± 7 ± 8 c Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio Har ma et elektrisk kredsløb som vist på figure vil sammehæge mellem iput E(t) og output I(t) være bestemt ved differetialligige L d I R di dt dt C I de + + dt

18 . Fourierrække på kompleks form Er højre side af differetialligige e periodisk fuktio, vil ma sædvaligvis være iteresseret i at fide e såkaldt statioær løsig, dvs. e partikulær løsig. De homogee løsig vil i praksis sædvaligvis være af forme e f () t og vil derfor ret hurtigt dø ud, så ma ku har de ihomogee (statioære) løsig tilbage. For de statioære løsigs vedkommede er det ige sædvaligvis især amplitudespektret der er af iteresse, og det fides emmest ved at beytte fourierrækker på kompleks form. il løsig beyttes følgede regler: Differetiatiosregel for fourierkoefficieter Lad f(t) have de komplekse fourierkoefficiet. c Der gælder da: f () t har fourierkoefficiete i c, f () t har ( i ) c, osv. Liearitetsregel for fourierkoefficieter Lad f(t) og g(t) have de komplekse fourierkoefficiet og. Der gælder da, at a f () t + b g() t har fourierkoefficiet a c + b k Eksempel.. Løsig af differetialligig. Lad der være givet differetialligige y () t + 4y () t + yt () xt () hvor iput x(t) er det i eksempel. agive periodiske firkatssigal med periode 6 for < t < xt () for < t < c k at ω Lad de statioære løsig y(t) have de komplekse Fourierkoefficieter c, dvs. i t yt () ce. ) Fid værdie af c for, ±, ±, ±, ± 7med decimaler. ) Output y(t) ka u skrives yt ( ) A + A si( ω t+ ϕ ) + A si( ω t+ ϕ ) + A si( ω t+ ϕ ) +... hvor A c. eg amplitudespektret A for,,,4,,6,7 og afgør herudfra hvilke/hvilke amplitude/amplituder, der er de domierede. Løsig: ) Lad være Fourierkoefficiet for iput k xt () For ehver værdi af må fourierkoefficiete på vestre side af differetialligige være lig med højre side. 4

19 .4. Differetialligiger, hvor iput er e periodisk fuktio Af liearitetsregel og differetiatiosregel fås: ( i) c + 4 ( i) c + c k c k ( i) + 4 ( i) + H ( ) ( i) + 4i + kaldes overførigsfuktioe for differetialligige. for lige I eksempel. fadt vi k og k for ulige i c H ( ) k ( ) Vi har H ( ) ( i) + i + ( 4 + ) + i( 4) ( ) ( ) for for 6 og k for lige dvs. c for lige for ulige for ulige ( ) + 4 Dette giver følgede tabel: ± ± ± ± 4 ± ± 6 ± 7 c ) Vi har u følgede tabel over A ere: A c

20 . Fourierrække på kompleks form Det ses, at påær kostatleddet, så er de domierede amplituder A og A svarede til leddee 4. si t + ϕ og. 88 si t + ϕ. Det er klart, at output udover iput også afhæger af systemet, dvs. de homogee løsig til differetialligige y () t + ay () t + by() t x() t Er dæmpige a lille og e af frekvesere for iput x(t) tæt ved frekvese for e homoge løsig, så vil der kue opstå e resoasvirkig, dvs. e meget stor amplitude. De følgede eksempel illustrerer dette. Eksempel.4. Resoas Lad være givet differetialligige y () t +. y () t + 9y() t x() t, hvor iput xt () er de samme som i eksempel., me u er dæmpige edsat fra 4 til., dvs. de homogee løsig aftager meget lagsomt. Edvidere er de homogee løsigs vikelfrekves tæt ved, da karakterligige er 4 9 λ + λ+ 9 λ. ± (. ).. ± i og. t de homogee løsig derfor af type yh () t Ce si( t+ ϕ). Ma må derfor forvete e resoasvirkig. Differetialligiges overførigsfuktio er H ( ) ( i) +. i + 9 og H ( ) Som før er k for for lige. for ulige for 6 c H k for lige ( ) ( ) ( ) ( + 9) + i(. ) + 9. for ulige ( + 9) + (. ) Vi har u følgede tabel over A ere: A c Vi ser som forvetet, at er det helt domierede led. A 6

21 4.. Defiitio af de Fouriertrasformerede 4. Fouriertrasformatio 4.. Defiitio af de Fouriertrasfortrasformerede X ( ω) af x(t) Iput x(t) har vi hidtil ataget var periodisk med periode. I dette afsit vil vi betragte de situatio hvor x(t) ikke er periodisk. E såda fuktio ka formelt set udledes ud fra e Fourierrække på kompleks form ved at ma lader blive meget stor (gå mod ) E Fourierrække på kompleks form for e periodisk fuktio x(t) med periode ka skrives xt () c i ω t ce, hvor ω og de komplekse koefficieter er bestemt ved i ω t xt e dt. () Lad ω ω, ω ω og X( ω ) c. Idsættes disse udtryk i Fourierrække ovefor fås xt X, e i ω t ω X e i ω t ( ) ( ω ) ( ω ) ω ω hvor X( ω ) x( t) e dt. iω t Lader vi u ka ma vise, at de ikke periodiske fuktio x(t) ka skrives som et i ω t Fourieritegral xt () X( ω) e dω (), i ω t hvor X( ω) x( t) e dt. () Itegralet er græseværdie lim xt ( ) e iω t dt, og det forudsættes, at xt () er stykkevis differe- tiabel. Ma siger, at X ( ω) er de Fouriertrasformerede af sigalet x(t). Kedes de Fouriertrasformerede X ( ω) ka ma gedae det opridelige sigal x(t) ved de iverse Fouriertrasformerede (formel ()). Bemærk: Fouriertrasformatio og tilbagetrasformatio er helt es bortset fra ekspoetes forteg. 7

22 . Fourierrække på kompleks form 4.. Ehedstrifuktio og ehedsimpulsfuktio o fuktioer, der spiller e stor rolle i sigalbehadlig er ) Ehedstrifuktioe ut ( a) (også kalder Heavisides ehedstrifuktio) for t a > Defiitio: ut ( a) for t - a < E firkatsimpuls der tæder i a og slukker i b", hvor a < b (se figure) ka u skrives xt () ut ( a) ut ( b) De Fouriertrasformerede af x(t) er X ( ω) e iωa e iω iωb Bevis: ω b iωb iωa iωa iωb b i t e iωt iωt e e e e X( ω) x( t) e dt e dt a iω iω iω ) Ehedsimpulsfuktioe δ( t a) (også kaldet Dirachs deltafuktio) Ofte atager e fysisk størrelse store værdier i et kort tidsrum t, f.eks. stoftilførsle, år e sækfuld salt pludselig tilsættes eller de elektriske strøm, år e kodesator kortsluttes I praksis er ma sædvaligvis ikke iteresseret i forme af e såda smal puls (eller ige vide om forme). Hvis ma eksempelvis i et tidsrum ε tilsætter 4 kg af et stof A, så vil tilførselshastighede i geemsit være 4 kg pr. ε tidsehed i dette lille tidsrum, mes de er udefor. Det vil derfor være rimeligt at erstatte pulse med de på figure, der er 4 i tidsrummet ε og udefor dette tidsrum. ε Som regel er de øjagtige værdi af ε ude praktisk betyd- ig, år blot ε er lille. Ma lader derfor sædvaligvis ε. Det giver e stor beregigsmæssig foreklig. Ma idealiseres altså pulse til meget (uedelig) smalle og meget (uedelig ) høje pulser, hvor arealet uder hver puls forbliver det samme. Sådae ideale pulser beskrives ved de såkaldte Diracs deltafuktio δ. a 8

23 4.. Defiitio af de Fouriertrasformerede δ( t a) er ikke e sædvalig fuktio, me e såkaldt geeraliseret fuktio da vi jo stregt t a taget har, at δ( t a) for og δ( t a) dt ellers hvilket aturligvis ikke er muligt for e sædvalig fuktio. Ma ka vise, at der gælder, at de Fouriertrasformerede af δ( t a) er e iω a og af δ( t) er. Eksempel 4. Fouriertrasformatio for < t < Lad os betragte e ekelt firkatsimpuls defieret ved xt (). for < t < Bemærk: Fuktioe er ikke periodisk ) Fid de Fouriertrasformerede X ( ω) af x(t). ) Beyt lommeregere (heller Maple) til at tege X ( ω) ) For de tilsvarede periodiske fuktio med periode 6 fadt vi i eksempel. at de komplekse iω e Fourierkoefficiet var c og c for, 6 iω Hvilke sammehæg er der mellem dee og de i spørgsmål ) fude løsig? Løsig: ) xt () ut () ut ( ). Fuktioe tæder i og slukker i. ( ) Heraf fås, at de Fouriertrasformerede X i i i e e e ( ω) iω iω ω ω ω iωt e iω i ω t i ω t e Ka også fide af defiitioe X( ω) x( t) e dt e dt. iω iω ) i 89: Y*abs((-e^(-i*x*))/(-i*x)) Maple: plot(abs(*(exp(-i*x*)-)/(-i*x)),x-6..6); ) Det ses, at 6 c X( ω ) 9

24 . Fourierrække på kompleks form 4.. Sammehæg mellem Fourierkoefficetere c og de Fouriertrasfor- merede X ( ω) i ω t i ω t Som det fremgår af formle for c xt e dt og for () X( ω) x( t) e dt er disse meget lig hiade. Hvis ma som i eksempel 4. Fouriertrasformerer e ekelt impuls, så vil det gælde, at c X( ω ), dvs. vi ka ud fra de Fouriertrasformerede umiddelbart fide Fourierkoefficetere. Formle ka dog give problemer for, me de klares jo sædvaligvis let ude itegratio Regeregler for Fouriertrasformerede I edeståede skema er agivet ogle yttige regeregler for komplekse Fouriertrasformerede. formel r. Fuktio Fouriertrasformeret x(t), y(t) X( ω), Y( ω) (): Liearitetsregel a x() t + b y() t a X( ω) + b Y( ω) (): ids iverterig x( t) X ( ω) X ( ω) (): ids skalerig xat ( ), a a X ω a (4): Forsikelse xt ( a) X( ω) e ia (): Forskydigsregel xt () e iω t X ( ω ω ) ω (6): Multiplikatio med t t x() t,,,,... i d dω X ( ω) (7):Differetiatio i d x() t ( iω) X( ω) tidsdomæe,,,,... dt (8): Foldig i tidsdomæe p ( x* y)( t) x( t p) y( p) dp p X( ω) Y( ω) (9): Dualitetsregel [ ] [ ] xt () X ( ω) Xt () x ( ω) Fourierrasformatio Fourier rasformatio X( ω) x( t) x( ω) X( ω) Ivers Fourier Ivers Fourier rasformatio rasformatio I i 89 ka ma fide defiitioer, regeregler og e lille tabel over traspoerede APPS, EEPro, ENER, F4(Referece), 6: rasforms, : Fourier rasforms Nu fremkommer e lille meu, hvor defiitio, egeskaber og e lille tabel ka fides.

25 4.4 Regeregler for Fouriertrasformerede Eksempel 4..Regeregler for < t < Lad os ige betragte de ekelt firkatsimpuls defieret ved xt (). for < t < med de Fouriertraspoerede X ( ω) iω e iω ) Fid ved beyttelse af e regeregel de Fouriertraspoerede X ( ω) til fuktioe x() t x() t. ) Fid ved beyttelse af e regeregel de Fouriertraspoerede X ( ω) til fuktioe x () t x ( t ) ) Skitser grafere for x () t og x () t samt deres Fouriertraspoerede X ( ω) og X ( ω). 4) Fid ved beyttelse af e regeregel de Fouriertraspoerede X ( ω) til fuktioe x () t t x ( t) ) Skitser grafere for x( t) og des Fouriertraspoerede X ( ω). 6) Beyt relatioe c X( ω ) til at fide de komplekse Fourierkoefficieter til x( t) for ±, ±, ±, ± 4 7) Bestem på grudlag heraf de første led af de reelle Fourierrække for x( t) (sammelig med række på side. Løsig: iω e ) Ifølge formel () (liearitetsregle) er X( ω) X( ω) iω ) Ifølge formel () (tidsskalerig) er X X ω e ( ω) ω i iω e ω iω i for < t < ) x() t x() t, dvs. x() t for < t < for < t < for < t < x() t x( t), dvs x() t x() t for < t < for < t < Da x () t har e periode der er af x t, vil amplitudespektret for de to være idetiske bort- ( ) set fra, at højde af amplitudespektret for X () t er så høj me samtidig gage så bred. x( t) x () t

26 . Fourierrække på kompleks form 4) Ifølge formel (6) (multiplikatio med t) er X ( ω) d e ω( ) ( ) iω iω iω dx ie e i ω ( iω + ) e ( ω) i i dω dω iω ω ω for < t < ) x() t t x( t), dvs. x () t t for < t < iω ( iω + ) e 6) c X( ω ) c ( ω ) i ( i + ) e ( i + )( ) ( ) ( ) Da ω fås c + i ( ) ( ) ( ) c i, c i c i c i c i,, 4, c + i c i c + i c i c, + i,, 4, ) Da ma ikke umiddelbart ka fide c fides de ved itegratio. c tdt 4 Da a c, a Re( c), b Im( c), ω fås: 4 xt ( ) cos( t) + si( t) si( t) cos( t) + si( t) si( 4t) cos( t) + si( t) Det ses, at det er samme række som på side.

27 4.4 Regeregler for Fouriertrasformerede Foldigsregel. Lad os betragte et LFI-system med impulssvaret h(t), output y(t) og iput x(t). Der gælder da, at yt () ( h* x)() t, hvor h*x er foldige og tilsvarede Y( ω) H( ω) X( ω) Lad os som eksempel herpå betragte et system bestemt ved e differetialligig. Eksempel 4.. Foldig Lad der være givet differetialligige y () t + yt () xt () hvor iput x(t) er det i eksempel 4. agive ekelte firkatsimpuls xt () ( ut () ut ( )). at at e for t > Idet det oplyses, at fuktioe ht () e ut (), a > har de Fouriertrasfor- for t < merede H( ω) (fudet i e tabel), skal ma ved foldig fide de statioære løsig til a + iω differetialligige. Løsig. Overførigsfuktioe Vi har derfor u, at p H ( ω) iω +, dvs. ht () e ut t () ( ) yt () ( x* h)() t xp ( ) ht ( pdp ) up ( ) up ( ) e ut ( pdp ) p p p ( ) ( t p) ( t p) For p < er up ( ) up (, dvs. yt () up ( ) up ( ) e ut ( pdp ) For < t < p< t er p t p t ( t p) t p t p yt e dp e e dp e e t t t () e e p p For p p [ ] ( ) p t > er yt e t p ( p) t p t p t 9 () dp e e dp e [ e ] e ( e ) p p Er ma ku iteresseret i amplitudere, bliver regigere meget emmere, idet vi jo så har, ifølge foldigsregle, at de Fouriertraspoerede af foldige x* h( t) er X( ω) H( ω)

28 . Diskret Fouriertrasformatio Eksempel 4.4. Amplitudespektret Lad der være givet differetialligige y () t + 4y () t + yt () xt () for < t < hvor iput x(t) er det i eksempel 4. agive ekelte firkatsimpuls xt (). for < t < med de Fouriertraspoerede X ( ω). iω Fid og teg amplitudespektret for output y(t). e iω Løsig: Af differetiatiosregle (7) fås ( iω) Y( ω) + 4iωY( ω) + Y( ω) X( ω) Y( ω) X ( ω) ( iω) + 4iω + dvs. Y( ω) H( ω) X( ω), hvor H( ω) (overførigsfuktioe) ( iω) + 4iω + Amplitudespektret fås u som Y( ω) Ved idtastig i i 89 fås grafe for amplitudespektret :. Diskret Fouriertrasformatio... Idledig. Vi har hidtil ataget, at iput var e kotiuert fuktio x(t), der ka beskrives ved et relativt simpelt fuktiosudtryk. I praksis ka et sigal være så uregelmæssigt, at det ikke ka beskrives ved et simpelt fuktiosudtryk. Ma udtager så i stedet e række fuktiosværdier (ma sampler det kotiuerte sigal) hvorved der fremkommer som e række tal. Ma ka sammelige det med år e computer teger grafe for e kotiuert fuktio. De bereger fuktiosværdiere i et stort atal tætsiddede pukter, og teger så kurve ved at forbide disse pukter med rette liier. Vi vil i det følgede betege sådae diskrete fuktioer x[] i stedet for x(t)... Defiitio af diskret Fouriertrasformatio. Lad iput være e række tal (et diskret sigal) beståede af N tal x[],[],[],...,[ x x x N ]. Ved de diskrete Fouriertraspoerede Xk [ ] af x[] forstås 4

29 N Xk xe i [ ] [ ] N k. hvor k er et helt tal.. Beregig af diskret Fouriertraspoerede De iverst traspoerede af Xk [ ] er bestemt af x Xk e i [ ] [ ] N k. N Beregigere udføres på computer ved beyttelse af e metode der kaldes Fast Fourier rasform (forkortet FF) med e regetid der er proportioal med N log( N). N bør så vidt mulig være e potes af f.eks. N 4 og skal i praksis skal være et stort tal. Såvel i 89 som Maple har idbygget FF metode... Beregig af diskret Fouriertraspoerede For bedre at forstå formlere vil vi i det følgede eksempel rege med et lille atal N-værdier. Eksempel.. Beregig af diskret Fouriertrasformeret. Lad os atage at sigalet x[] er givet ved følgede tabel (svarede til firkatsimpulse i eksempel 4.) x[] ) Fid de Fouriertraspoerede X[ ] og X[]. ) Beyt i89 eller Maple til at fide alle 8 Fouriertraspoerede. Løsig: ) X[ ] 7 x e i [ ] i i i i i X[] x[ ] e e + e + e + e ( ( ) ) 7 i i i i e + e 4 + e + e 4 ( ) + + i +. 7 i ) Beyttes i 89's FF-program beyttes følgede ordrer: APPS, Vælg EEPro, F, Vælg 6: Fourier rasforms, Vælg : FF Idtast i ime tallee:,,,,,,, F: I Freq fremkommer de traspoerede tal. ryk evetuelt på F4 for at studere dem ærmere. Det ses (forhåbetlig), at de to første tal svarer til de i pukt ) beregede.

30 . Diskret Fouriertrasformatio.4. Foldig Lad os betragte et LFI system med impulssvaret h[], output y[] og iput x[]. Er iput og impulssvaret diskrete sigaler ka ma let fide output ved beyttelse af FF. Ved FF fides de Fouriertraspoerede H [ ] og X [ ]. Idet der gælder samme foldigssætig i det diskrete som i det kotiuerte tilfælde, så ka ma fide de Fouriertraspoerede Y [ ] af Y [ ] H [ ] X [ ] Derefter fides output y[] ved at avede de iverse Fouriertraspoerede på Y [ ]. Det følgede eksempel illustrerer dette. Eksempel.. Beregig af output i et LFI-system. I eksempel 4. havde et LFI-system impulssvaret ht () e t ut [] med iput xt () ut () ut ( ). Vi betragter u i stedet ( ) x [ ] ( u [ ] u [ ] ) h [ ] e u [ ] og. Fid ved FF output y[] for N 8. Løsig: Vi har følgede tabel: h[] e e 6 9 e e e e 8 e x[] Metode: h-værdiere idtastes i FF og ma får et resultat, som automatisk gemmes i Mai uder avet Freq. Vælg Home, Var-lik, marker freq, F, Reame, giv eksempelvis avet h, ENER Aalogt avedes FF på x-værdiere, de gives avet x. Vælg home og skriv h*x ENER. SO, kald resultatet for a, Ma kalder u iverse FF og i freq skrive a, ENER, resultatet fremkommer i ime y[] -. Det er klart, at atallet af pukter burde have været lagt større for at resultatet ka give meig. 6

31 . Beregig af diskret Fouriertraspoerede Eksempel.. Autokorrelatio Lad os atage vi har et sigal x(t), der påær støj atages at have to pukler. Foretager ma e foldig af x(t) med sig selv ( x* x)( t) x( p) x( t p) dp, så får ma et mål for hvor meget fuktioe x( p) liger si ege parallelforskudte fuktio xt ( p). Ma siger, at ma beytter autokorrelatio. Idet de fouriertraspoerede af foldige (x*x)(t) er X( ω) X( ω) ka ma ved FF hurtigt berege (x*x)(t) (først fides X ( ω) ved FF, og derpå fides (x*x)(t) ved ivers FF avedt på ( X ( )) ω ) E mere detaljeret beskrivelse ka fides i B. Hellese, M. Oddershede Larse: Matematik for Igeiører: bid side 97. Eksempel.4. Eergispektrum, dataudglatig, optimal filtrerig. Lad os ige tæke os et sigal x(t), som har et meget uregelmæssigt forløb. ) Ved eergispekteret for x(t) forstås P( ω) X( ω) + X( ω), ω < De spektrale eergitæthed ka derfor hurtigt bereges ved FF. ) Dataudglatig, optimal filtrerig Er sigalet påvirket af e del støj, vil ma søge at fjere så meget som muligt af støje. Ma ka ofte skøe e opspaltig af eergispekteret P( ω) P ( ω) + P ( ω) i sigal P s ( ω) og støj P ( ω). Derpå ka e udglattet fuktio x( t) fides ved tilbagetraspoerig af X ( ω) P ( ω) + P ( ω) s Metode kaldes optimal filtrerig. Er opspaltige korrekt fås emlig e udglattet fuktio med midst mulig RMS-fejl. E mere detaljeret beskrivelse ka fides i B. Hellese, M. Oddershede Larse: Matematik for Igeiører: bid side 97. s 7

32 Opgaver OPGAVER Opgave : Fourierrække. Fid Fourierrække for hver af følgede fuktioer: t for < t ) xx ( ) for < t < ) xt () t for < t< ) t t xx for < t for < t < 4) for < t xx ( ) for < t < for < t < Opgave : vuge svigig, resoas. Idledig: Lad os betragte et lod med masse m der er fastgjort til e fjeder. Loddet bevæger sig frem og tilbage påvirket dels af e fjederkraft og dels af e luftmodstad. Edvidere er dette system påvirket af e ydre kraft ved, at fjederes fastspædigspukt bevæges sig frem og tilbage på e såda måde, at afvigelse fra det opridelige fastspædigspukt til tide t er r(t) (se figure), hvor dee ydre påvirkig r(t) atages at være periodisk. Loddets bevægelse y(t) ka da beskrives ved e differetialligig m y () t + c y () t + k y() t r() t (bemærk, at dee differetialligig er fuldstædig aalogt til det elektriske kredsløb i afsit.4.) Fsi( β t) Fsi( β t) Opgave: Lad m (gram) c. (gram/sec), k (gram/sec ) og r(t) (målt i gram cm/sec ) er e periodisk fuktio med periode t+ for < t < rt () t+ for < t < givet ved Differetialligige bliver da y () t +. y () t + y() t r() t 8

33 Opgaver 4 Det oplyses, at Fourierrække for r(t) er rt () cost+ cos( t) + cos( t) +... ) Fid de komplekse Fourierkoefficieter k for fuktioe r(t), for,,,7. ) Fid overførigsfuktioe H() for differetialligige ) Lad de statioære løsig y(t) have de komplekse Fourierkoefficieter c, dvs. yt () it ce. Fid værdie af c for ±, ±, ±, ± 7 med 4 decimaler. 4) Output y(t) ka u skrives yt ( ) A si( t+ ϕ ) + A si( t+ ϕ ) + A si( t+ ϕ ) +... hvor A c. eg amplitudespektret A for,,,7 og afgør herudfra hvilke/hvilke amplitude/amplituder, der er de domierede. Opgave (regeregler) Givet fuktioe xt () for < t < ellers i e Vi har, at xt () ut ( ) ut ( ), og X ( ω) iω for < t < ) Lad x() t ellers a) Udtryk x( t) ved ehedstrisfuktioer b) Fid de Fouriertraspoerede X ( ω) ) Lad x () t for < t < ellers eg grafe for x () t, og fid X ( ω) for < t < ) Lad x() t for < t < ellers eg grafe for x( t), og fid X ( ω) t for < t < 4) Lad x4 () t t for < t < ellers eg grafe for x4 () t, og fid X 4 ( ω). ) Givet differetialligige dy + yt () x4 () t dt a) Fid de Fouriertraspoerede Y( ω) af yt () b) eg amplitudespektret Y( ω). ω 9

34 Opgaver Opgave 4. Diskret Fouriertrasformatio ) Bereg de diskrete Fouriertrasformerede af, 4,,,,,, 4 ) Bereg de iverse diskrete Fouriertraspoerede af 4 ) Der er givet et LFI-system med impulssvaret h [ ]. u [ ]. Systemet påtrykkes sigalet x [ ] cos N Fid fourierrækkekoefficietere for output y[] for N 4.

35 Stikord SIKORD A amplitude, 4, amplitudespektret 4,, 4 autokorrelatio 6 B C D dataudglatig 7 DCDirect curret deltafuktio 8 differetialligig, iput periodisk differetiatio i tidsdomæe differetiatiosregel for komplekse Fourierkoefficieter 4 Dirac s deltafuktio 8 Diskret Fouriertrasformatio 4 Dualitetsregel E elektrisk kredsløb eergi i sigal 4 eergispektrum 7 ehedstrifuktio 8 ehedsimpulsfuktio 8 Eulers formel F FFFast Fourier rasform firkatsimpuls, 8 foldigsregel,, forsikelsesregel:fouriertrasformerede Forskydigsregel:Fouriertrasform,) Fourierkoefficieter differetiatiosregel 4 komplekse, liearitetsregel 4 reelle, Fourierrække reelle, kompleks for lige fuktio 6, 7 for ulige fuktio 6, 7 Fouriertrasformatio 7 frekves G grudfrekves 9 H harmoisk aalyse Heavisides ehedstrifuktio 8 I ivers Fouriertrasformeret 7 K kompleks Fourierrække L lige fuktio 6 liearitetsregel for Fourierkoefficieter 4 for Fouriertrasformerede M N O optimal filtrerig 7 opgaver 8 overførigsfuktio oversvigig P periode periodisk firkatsimpuls, 4, 8,, R reelle Fourierrækker,, regeregler for fouriertrasformerede ree svigiger resoas 6 S stykkevis differetiabel fuktio superpositio svigigstid ids iverterig ids skalerig

36 Stikord U ulige fuktio 6 V vikelfrekves,

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Riemann-integraler. enote Indledning

Riemann-integraler. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere